（运筹学与控制论专业论文）隐式向量均衡问题及其应用.pdf

隐式向量均衡问题及其应用 专业：运筹学与控制论 研究生：李军导师：黄南京教授 设x 和y 是h a u s d o i f f 拓扑向量空间，k 是x 中的一个非空、闭、凸 子集，c ：k _ 2 是一集值映象满足对任意z k ，e 扛) 是y 中的以零 为顶点的点、闭、凸锥且i n t c ( x ) 口。给定映象g ：k _ 和一向量值二元 函数f ：k k - y ，我们考虑如下的隐式向量均衡问题( 简记为i v e p ) ： 找k 使得，( 9 ( 矿) ，y ) g i n t c ( x + ) 对所有y k 均成立该问题推广 了数值均衡问题，向量均衡问题和向量变分不等式问题 在第一节里，我们介绍了其它作者的主要工作及向量均衡问题研究的进 展情况，进而说明均衡问题具有广泛的应用背景和深远的应用前景；在第二节 里，我们回忆了一些预备知识和在本文主要结论中所需的一些引理；在第三节 里，我们给出了隐式向量均衡问题( i v e p ) 的对偶问题( 简记为d i v e p ) ，以 及在一定条件下建立了( i v e p ) 和( d i v e p ) 之间的等价性；在第四节里，分 别在无单调性、弱e 一伪单调性、e 一伪单调性和严格c 一伪单调性的假设下， 给出了隐式向量均衡问题( i v e p ) 解的存在性定理和解集的刻画。通过有力的 证明和具体的例子，我们可以断定在一定条件下隐式向量均衡问题( i v e p ) 的 解集是不空、闭和凸的；最后在第五节里，我们举出了一些隐式向量均衡问题 ( i v e p ) 应用到向量变分不等式问题和向量优化问题的例子。 关键词：隐式向量均衡问题；向量变分不等式问题；向量优化问题；解的存在 性；解集的刻画 堕删盔堂堡三；! 三堂焦堡塞 一一i i i m p l i c i tv e c t o r e q u i l i b r i u mp r o b l e m sw i t h a p p l i c a t i o n s m a j o r ：o p e r a t i o n s r e s e a lc ha n dc o n t r o lt h e o r y p o s t g r a d u a t e ：j u nl ia d v i s o r ：p r o f n a n - j i n gh u a n g l e txa n dyb eh a u s d o r f ft o p o l o g i c a lv e c t o rs p a c e s ，kan o n e m p t y ， c l o s e da n dc o n v e xs u b s e to fx c ：k _ 2 。a p o i n t t o s e tm a p p i n g s u c ht h a t f o ra n yz k ，c ( o ) i sap o i n t e d ，c l o s e da n dc o n v e xc o n ei nyw i t ha p e x a tt h eo r i g i na n di n t c ( x ) 毋g i v e nam a p p i n gg ：k - ka n dav e c t o r 、，a l u e db i f o n c t i o nf ：k k _ y w ec o n s i d e rt h ei m p l i c i tv e c t o re q u i l i b r i u m p r o b l e m ( i v e p ) o ff i n d i n gz + k s u c ht h a t ，( 9 ( z + ) ，y ) g i n t c ( x + ) f o ra l l y k t h i sp r o b l e mg e n e r a l i z e st h e ( s c a l a r ) i m p l i c i te q u i l i b r i u mp r o b l e ma n d i m p l i c i tv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e m i nt h ef i r s tp a r to ft h i sp a p e r ，w ei n t r o d u c em a n yo t h e ra u t h o r s w o r ko n e q u i l i b r i u mp r o b l e m ( e p ) ，a n ds h o wt h a te q u i l i b r i u n rt h e o r yh a sb e e na p p l i e d w i d e l 3 i s e c o n d ，w er e c a l ls o m ed e f i n i t i o n sa n dl e m m a sw h i c hn e e d e di nt h e m a i nr e s u l t so ft i f f sp a p e r i nt h i sp a p e r ，w ep r o p o s et h ed u a lo ft h ei m p l i c i t v e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m ( d i v e p ) a n de s t a b l i s ht h ee q u i v a l e n c eb e t w e e n ( i v e p ) a n d ( d i v e p ) u n d e rc e r t a i na s s u m p t i o n s a l s o ，w eg i v ec h a r a c t e r i z a - t i o n so ft h es e to fs o l u t i o n sf o r ( i v e p ) i nc a s eo fn o n m o n o t o n i c i t y ，w e a kc p s e u d o m o n o t o n i c i t y ，c p s e u d o m o n o t o n i c i t ya n ds t r i c tc p s e n d o m o n o t o n i c i t y ， r e s p e c t i v e l y u n d e rt h e s ea s s u m p t i o n sa n da d d i t i o n a lc o n d i t i o n s ，w ec o n c l u d e t h a tt h es e t so fs o l u t i o n sf o r ( i v e p ) a r e n o n e m p t y ，c l o s e da n dc o n ；e x f i n a l l y ， w e g i v es o m ea p p l i c a t i o n so f ( i v e p ) t ov e c t o rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e m s a n dv e c t o ro p t i m i z a t i o np r o b l e m s k e yw o r d s ：h n p l i c i tv e c t o re q u i l i b r i u mp i o b l e m s ，v e c t o rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e m s ，, f e c t o ro p t i m i z a t i o np r o b l e n i s ，e x i s t e n c eo f s o l u t i o n s ，c h a r - a c t e r i z a t i o no fs e to fs o l u t i o n s 四川大学硕上学位论文 1 引言 设e 是任意一非空集合，r 是实数集，：e xe 一r 是给定的实值二 元函数。所谓的数值均衡问题( 简记为e p ) 是指：找$ e 满足 ( e p )f ( x + ，v ) 20 ，v y e ， 众所周知，数值均衡问题( e p ) 具有非常广泛的应用背景和深远的应用前景， 它和经济、金融、优化与控制、博奕论、变分不等式和补问题、算子研究以及工 程和力学中的一些非线性分析问题有着很密切的联系( 请见参考文献f 1 - 8 ， l o 一2 2 ) 。近年来，许多作者对数值均衡问题( e p ) 作了深入广泛的研究( 请见 参考文献【2 ，4 ，1 0 ，1 l ，1 81 ) 与此同时，该问题已经被推广成如下的向量情形( 请见参考文献f 3 ，1 0 ， 1 1 1 ) 。设x 和y 是h a u s d o r f f 拓扑向量空间，k 是x 中的一个非空、闭、 凸子集，e 是y 中的以零为顶点的点、闭、凸锥且i n t c 0 。给定映象 g ：k _ k 和一向量值二元函数，：k k _ y ，向量均衡问题( 简记为 v e p ) 是指：我z k 满足 ( v e p )，( z + ，可) 岳- i n t c ，v k 。 受如卜诸多作者工作的启发和激励，在本文中，我们将引入并研究隐式向 量均衡问题( i v e p ) ，该问题推广了数值均衡问题( e p ) 、向量均衡问题( v e p ) 和向量变分不等式问题。本文按如下方式组织：在第二节里，我们回忆了一些 预备知识和在本文主要结论中所需的一些引理；在第三节里，我们给出了隐 式向量均衡问题的对偶问题( 简记为d i v e p ) ，以及在一些合适的条件下建立 起了隐式向量均衡问题( i v e p ) 及其对偶问题( d i v e p ) 之间的等价性；在第 四节里，分别在无单调性、弱e 一伪单调性、c 一伪单调性严格和e 一伪单调 性的假设条件下，我们给出了隐式向量均衡问题( i v e p ) 解的存在性定理，以 及讨论了隐式向量均衡问题( i v e p ) 解集的刻画通过有力的证明和具体的例 子，我们可以断定在一定条件下隐式向量均衡问题( i v e p ) 的解集是不空、闭 四川大学硕士学位论文 2 和凸的；最后在第五节里，我们举出了一些隐式向量均衡问题( i v e p ) 应用到 向量变分不等式问题和向量优化问题的例子。 2 预备知识 本文始终假设x 和l 是h a u s d o r f f 拓扑向量空间，k 为x 中的非空、 闭、凸子集，c ：k - - 2 y 是一集值映象满足对任意x k ，g ( z ) 是y 中 的以零为顶点的点、闭、凸锥且i n t c ( x ) 0 。 众所周知，y 中的一个非空子集p 被称为点、凸锥，如果p 满足： f ( i ) p + j p = p ； ( i i ) a p 垦p ， v a o ； 【( i i i ) p n f p ) = o ) 。 我们考虑如下的隐式向量均衡问题( 简记为i v e p ) ：给定映象9 k _ k 和一向量q i - 元函数，：k k _ y ，找z + k 满足 满足 ( i v e p )，( f ( z ) ，y ) 垡一i n t c ( x + ) ，v y k 。 如果有c ( z ) = c 对所有的x k 均成立，则( i v e p ) 简化为：找z k ( w e e ) ，( 雪( z + ) ，y ) g i n t c ，v y 。 隐式向量均衡问题的特殊情形 ( i ) 给定向量值二元函数f ：k k _ 】7 且令g 是k 上的单位映象，则 ( i v e p ) 简化为下面的向量均衡问题：找z k 满足 ( v e p ) ，( 。，y ) 隹- i n t c ( x ) ，v y k 该向量均衡问题已经在f l o 中被研究过。 四川大学硕士学位论文 3 ( i i ) 给定映象9 ：k _ 斗k 和向量值二元函数，：k k - r ，并且假设 ，( 9 ( z ) z ) 0 和c ( x ) = r + = 【0 ，+ o 。) 对所有z k 均成立，则( i v e p ) 简 化为如下的隐式均衡问题( i e p ) ：找x + - 满足 ( i e p )，( 9 ( z + ) ，y ) 0 ，v y k 。 ( i i i ) 给定映象9 ：k _ k ，t ：k k - - + l ( x ，y ) 和9 ：k k 叶x ， 并且令_ ，( g ( z + ) ，y ) = ( t ( 9 ( z + ) ) ：o ( y ，9 ( z ) ) ) ，则( i v e p ) 变成了下面的广义向 量变分小等式i 剐题：找。k 满足 ( g v v i )( t ( g ( x + ) ) ，口( ，9 ( x + ) ) ) 车一i n t c ( x + ) ，v y k ， 其中l ( x ，y ) 表示从x 到y 的全体线性连续算子空间，( 丁( z ) ，y ) 表示算子 t ( z ) 在y 处的值。进一步地，如果令9 是上的单位映象，y = r 以及 c ( x ) = r + = 0 ，o 。) 对所有x ek 均成立，则l ( x ，y ) = x + 一x 的拓扑对偶 空间，( g v v f l 简化为b e h e r a 和n a y a k 【1 所考虑的非线性变分型不等式问 题。 ( i v ) 如果令9 是上的单位映象，h ：k - k 及e ( y ，z ) = y 一 ( 。) 对 所有z ，y k 均成立，则( g v v i ) 简化为找z k 满足 ( g v v i ) ( 7 1 ( r + ) ，y h ( ，+ ) ) 隹一i n t c ( z + ) ，v y k 该广义向量变分不等式问题已经被s i d d i q i ，a n s a r i 和k h a l i q 【2 1 】研究过 ( v ) 如果令h 是上的单位映象，则( g v v i ) 简化为向量边分不等式问 题( v v i ) ：找z k 满足 f ( z + ) ，y z + ) 簪- i n t c ( z ) ，v y k ， 该向量变分不等式问题问题已经在【5 ，6 ，7 中被研究过 ( v i ) 若令l = r ，丁：x _ x + ，以及e ( 。) = r 十= 0 ，+ 。) 对所有 r e 均成立，则f g v v i ) 7 简化为如下问题：找。ek 满足 ( v v i ) ( 丁( 。+ ) 、y h ( x ) ) 0 ，v y k 网川大学碗士学位论文 该向量变分不等式问题已经在 8 ，1 7 ，2 0 ，2 2 】中被研究过。此外，如果令 是 k 上的单位映象，则( v v l ) 简化为著名的h a r t m a n n s t a m p a c c h i a 变分不等 式问题 1 2 ，1 9 】。 ( v i i ) 若令：k _ y 以及( x ，y ) = ( 可) 一( z ) 对所有z ，y k 均成 立，则( i v e p ) 简化为如下的隐式向量优化问题( i v o p ) ：找z + k 满足 ( i v o p )( ) 一( 9 ( z + ) ) 掣一i n t c ( x + ) ，v y k 进一步地，若令g 是k 上的单位映象，则( i v o p ) 简化为如下的向量优化问 题( v o p ) ：找x + k 满足 ( v o p )妒( 口) 一( z + ) g i n t c ( x + ) ，v y k ( v i i i ) 如果令c ( x ) = c 对所有z k 均成立，则( i v o p ) 简化为如下的 隐式向量优化问题：找x + k 满足 ( i v o p ) 7庐( ) 一曲( 9 ( z + ) ) g i n t c ，v y k 从以上可以看出；适当选择映象，和g ，空间x 和y 以及c ( x ) ，很多 已知的向量( 数量) 均衡问题、向量( 数量) 变分不等式和补问题都可以看成 我们引入的了隐式向量均衡问题( i v e p ) 的特殊情形。 接下来，我们回忆一下本文主要结论中所需的一些概念和引理。 定义2 1 设是拓扑向量空间x 中的一个非空子集，集值映象f ：k o 2 1 被称为k k m 一映象，如果对k 中的每一个有限子集 z ，z z ，z 。) ， c o n v z l ，z 2 ，。) u f ( 。) ， l = l 这里c o n y 表示凸包。 定义2 2 设f ：kxk _ y 是一个向量值二元函数，我们称 ( i ) f ( x ，y ) 关于y 是g 一凸的，如果对任何z k ，有 f ( x ，t y l + ( 1 一t ) y 2 ) t f ( x ，y 1 ) 十( 1 t ) f ( x ，y 2 ) 一c ( x ) 四川大学硕士学位沦文 5 对所有玑k ( i = 1 ，2 ) 及z f o ，1 成立； ( i i ) ，( 。，y ) 关于y 是仿射的，如果对任何z k ，有 ，( z ，t y l + ( 1 一t ) y 2 ) = t ，( z ，y 1 ) + ( 1 一t ) i ( x ，y 2 ) 对所有y i k ( i = 1 ，2 ) 及t 冗且满足y = t y l + ( 1 一t ) 2 k 成立。 注2 。1 设f ：k xk 呻y 是一个向量值二元函数。那么容易证明： ，( z ，y ) 关于y 是g 一凸的，当且仅当对任何z k ，有 nn ，( 。，t i y i ) t i i ( x ，y i ) 一c ( z ) i = li = 1 对所有y i k ，t i 0 ，1 】( i = 1 ，n ) 及坠l t 。= 1 成立。 注2 2 如果映象y 一，“y ) 是仿射的，则y h ，( ，y ) 是c 一凸的。 定义2 3 设，：kxk 叶y 是一个向量值二元函数我们称 ( i ) ，是弱c 一伪单调的，如果对任何，g k ，有 ，( z ，y ) 仨一i n t c ( z ) = ，( g ，z ) i n t c ( y ) ； ( i i ) f 是d 伪单调的，如果对任何，y k ，有 f ( x ，y ) 岳一i n t c ( x ) 辛，( g ，) ( 1 ( y ) ； ( j i i ) ，是严格。伪单调的，如果对任何z ，y k ，z y ，有 ，( z ，y ) 仨一i n t c ( x ) 令f ( y ，z ) - i n t c ( y ) 。 注2 3 从以上定义不难看出：严格g 一伪单调隐含c 伪单调，c 一伪单 调隐含弱c 一伪单调 定义2 4 设，：xk - - + 是一个向量值二元函数我们称，( z ，y ) 关 于y 是半连续的，如果对任何z 盯，有 。螺m t 1 十( 1 一t ) y 2 ) = ，( 。，y z ) 对所有y l 、y 2 k 均成立。 四川大学硕士学位论文 6 定义2 5 设，：k - 7 是一个向量值二元函数，c 是y 的一个凸 锥。我们称 ( i ) 知，y ) 关于。是；一拟凸的，如果对任何y ，函数妒0 ，( ，) ： k _ r 对所有妒c 。是拟凸的，即， 妒( ，( z 1 + ( 1 一t ) x 2 ，封) ) sm a x 妒( ，( zj ：可) ) ，妒( ，( z 2 ，割) ) ) 对所有妒c 4 ，茹l ，z 2 及t 【0 ，1 j 均成立，这里c + = 妒y + l 妒( z ) 0 ，v z g ，是g 的对偶锥； ( i i ) f ( x ，v ) 于z 是。一拟凹的，如果- f ( x ，) 关于。是+ 一拟凸的， 即， ：( f ( t x l + ( 1 t ) z 2 ，y ) ) m i n ( p ( f ( x l ，g ) ) ，垆( ，( z 2 ，可) ) 对所有妒e + ，z 1 ，乳k 及t 1 0 ，1 】均成立。 注2 4 如果映象z 卜，( z ，- ) 是仿射的，则z f ( x ，) 既是+ 一拟凸的 又是+ 一拟凹的。 引理2 1 ( 9 1 ) 设k 是h a u s d o r f f 拓扑向量空间x 的一个非空、凸子集。 设g ：_ 2 x 是一个集值映象满足对任何z k ，c ( x ) 是闭的，以及对 某些矿k ，g ( z + ) 被包含在一个紧子集d x 里面那么存在y d 使 得a ( x ) 对所有的z k 均成立，即是，a = e k g ( z ) 0 。 引理2 。2 ( 【1 9 ) 设k 是h a u s d o r f f 拓扑向量空间x 的一个非空、凸子 集，a 是k k 的一个非空子集。假设如下条件满足： ( i ) 对每一个z k ，( 贯，z ) a ； ( i i ) 对每一个z k ，a ，= z k ，) 4 ) 在中是闲的； ( i i i ) 对每一个z k ，a 。= k i ( z ，) ga ) 是凸的或空的； ( i v ) 存在一个k 的不空、紧、凸集d 使得b = z k j ( x ，y ) a ，v y d 1 在中是紧的。 那么，存在矿k 使得 。) k a 。 四川大学顼上学位论文 3 隐式向量均衡问题( i v e p ) 的对偶问题 7 在这一节里，我们将给出隐式向量均衡问题( i v e p ) 的对偶问题( d i v e p ) ， 以及在一定条件下建立起( i v e p ) 和( d i v e p ) 之间的等价关系。 定义均衡问题( e p ) 的最常见方法是：找。+ e 使得 ( d e p )，( ，z + ) 0 ，v y e ， 或等价地，找x e 使得 ( d e p )一f ( y ，z ) 0 ，v y e 。 类似地，我们可以如下定义隐式向量均衡问题( i v e p ) 的对偶问题：找 矿ek 使得 ( d l i v e p )( y ，9 ( z ) ) 仁i n t c ( y ) ，v y k ， 及 ( d 2 i v e p )( y ，9 ( z 4 ) ) 一c ( ) ，v y k 。 如果令c ( z ) = c 对所有z k 均成立，则对偶问题( d i i v e p ) ( i = 1 ，2 ) 分别简化为：找z + ek 使得 ( d ，i v e p )，( g ，9 ( z + ) ) gi n t c ，v y k 及 ( d 。i v e p )i ( y ，g ( z + ) ) 一c ，v y ek 。 为了简便起见，在本节及以下各节里，我们分别用e 9 和e “4 表示( i v e p ) 和( d ；i v e p ) ( i = 1 ，2 ) 的解集。 定理3 1 设k 是h a u s d o r f f 拓扑向量空间x 的一个非空、闭、凸子集， 是另一个h a u s d o r f f 拓扑向量空间，给定映象g ：k 斗k 和向量值二元函 数r ：x - 。如果以下条件满足： 四川大学硕士学位论文 8 1 ) ，( 口( z ) ：r ) ( ? ( 。) 和c ( 夕( z ) ) e ( z ) ，y x k ； 2 ) 对任何ei i ，( z ，y ) 关于z 是半连续的； 3 ) g 是仿射的，以及对任何z i t 7 ，y ) 关于y 是仿射的； 4 ) _ 厂是弱g 一伪单调的； 5 ) 对任何正，y k ，( 9 ( ) ，y ) i n t c ( z ) 隐含着，( z ，g ( g ) ) i n t c ( z ) ； 6 ) w ：k _ 2 。是一集值映象满足对任何j r k ，w ( z ) = ，7 ( 一i n t c ( x ) ) 在k y 中有闭图像。 那么，e p = e “。 证明任取x + e p ，我们有，( 9 ( 矿) ，y ) 譬- i n t c ( x ) 对所有y 均 成立。于是根据条件1 ) ，对任意z k 有c ( 9 ( z ) ) c ( z ) 成立，我们不难推 出，( 9 ( 矿) ，y ) g - i n t c ( g ( x 4 ) ) 对所有y ek 均成立。这样，直接由条件4 ) ， ，是弱c 一伪单调的，我们得到i ( y ，9 ( 一) ) 掣i m , c ( y ) 对所有yek 均成立， 即是，矿e 出。 相反地，任取z + ed 1 ，我们有，f ( v ，目( z 。) ) 掣i n t c ( y ) 对所有yek 均成立。对任意y k 及t ( 0 ，1 ) ，我们令y t = ( 1 一t ) x + + t y ，从而有 f ( y t ，目( z + ) ) 彰i n t c ( y t ) 。 ( 3 1 ) 假设 ，( g ( 玑) ，y ) 一i n t c ( y t ) 。( 3 2 ) 既然映象g 卜，( - ，y ) 是仿射的，于是根据( 3 2 ) 式，我们有 f ( g ( y t ) ，y ) = t s ( g ( y t ) ，y ) + ( 1 一t ) ，( 9 ( 玑) ，z 。) 一i n t c ( y ) + ( 1 一t ) ，( 9 ( 鼽) ，卫) 。 这样，根据条件1 ) ，对任何。ek ，( 9 ( z ) ，2 c ) e ( z ) ，我们得到 ( 1 一t ) f ( g ( y d ，z 4 ) e ，( 9 ( 玑) ，y t ) + i n t c ( y t ) c ( y t ) + i n t c ( y | f ) i n t c ( y ，) 。( 3 3 ) 四川大学硕士学位论文9 既然c ( 刚是凸锥，由( 3 3 ) 式可以推出，幻( 玑) ，x + ) i n t c ( y t ) 。然面条件5 ) 隐含着f ( y t ，g ( x + ) ) i n t c ( y t ) ，这与( 3 ，1 ) 式矛盾。因此假设的( 3 2 ) 式不成 立，我们便得到，( 9 ( 玑) ，”) g i n t c ( y 。) 。于是，我们知道( y ，f ( g ( y 。) ，可) ) g r a p h ( w ) ，这里 g r a p h ( w ) = ( z ，z ) k x1 7 f 孑m ，( z ) 是t 1 7 的图像。既然映象z f ( x ) 是半连续的以及9 是仿射的，我们可以推 出当t - 0 + 时，( 玑，( 9 ( 玑) ，g ) ) _ ( z ，0 ) 、g ) ) 。又因为在1 7 中有 闭图像，所以( 矿，( 口( z 4 ) ，) ) g r a p h ( w ) ，即是，f ( g ( x + ) ，y ) 型 i n t c ( x ) 。 根据”的任意性，我们得到矿e p 。证毕。 如果在定理3 1 中取g ( z ) = c 对所有o k 均成立，则我们得到如下 结论。 系3 1 设k 是h a u s d o r f f 拓扑向量空间x 的一个非空、闭、凸子集， 是另一个h a u s d o r f f 拓扑向量空间给定映象g ：ko 耳和向量值二元函 数f ：k 彤- 5y 。如果以下条件满足： i ) ，( 9 ( z ) ，x ) c ，b o k ； 2 ) 对任何y ，( 上，y ) 关于x 是半连续的； 3 ) 9 是仿射的，以及对任何z k ，( z ，y ) 关于y 是仿射的； 4 ) f 是弱c 一伪单调的； 5 ) 对任何z ，y k ，( 9 ( z ) ，y ) i n t c 隐含着f ( x ，9 ( 9 ) ) i n t c 。 那么，e v = e d l 。 定理3 2 设k 是h a u s d o r f f 拓扑向量空间x 的一个非空、闭、凸子集， 1 7 是另一个h a u s d o r f f 拓扑向量空间给定映象g ：k - k 和向量值二元函 数f ：kxk 一y 。如果以下条件满足： 1 ) ，( g ( z ) ，z ) g - i n t c ( x ) 和c ( 口( z ) ) ca ( z ) ，v z k ； 2 ) 对任何k ，( z ，y ) 关于z 是半连续的； 3 ) g 是仿射的，以及对任何z k ，( e g ) 关于y 是仿射的； 4 ) ，是e 一伪单调的； 四川大学硕士学位论文 1 0 5 ) 对任何z y k ，( 9 ) ，y ) g c ( z ) 隐含着，( z ，粤( ，) ) 掣一c ( x ) ； 6 1 1 1 7 ： + _ 2 】7 是一集值映象满足对任何_ ，w ( z ) = y ( 一i n t c ( x ) ) 在a ，中有闭图像。 那么，e p = e 如。 证明任取矿e p ，我们有，( 夕( 矿) ，y ) g i n t c ( x + ) 对所有y k 均 成立。根据条件1 ) ，对任意z k 有g ( 9 ( z ) ) c ( 。) 成立，我们不难推出 ，( 9 ( z t ) ，) g i n t c ( g ( x + ) ) 对所有y k 均成立。这样，直接由条件4 ) ， 是c 一伪单调的，我们得到f ( y ，9 ( z + ) ) 一c ( y ) 对所有y k 均成立，即是， z + e 如 相反地，任取z e 幽，我们有，( g ，g ( 矿) ) - c ( y ) 对所有y k 均成 立。对任意y k 及t ( 0 ，1 ) ，我们令y t = ( 1 一) 上4 + t y ，从而有 ，( 。，9 ( z + ) ) 一g ( t ) 。 ( 34 ) 假设 ，( 9 ( 可0 ，y ) 一i n t c ( y t ) 。 ( 3 5 ) 既然映象y 卜厂( ，y ) 是仿射的，于是根据( 3 5 ) 式，我们有 ，( g ( 。) ，y e ) = ，( 夕( 纨) ，y ) + ( 1 一) ，( 萝( 玑) ，z + ) 一i n t c ( y 。) + ( 1 一t ) ，0 ( 玑) ，z + ) 。 ( 3 6 ) 我们可以断定 ( 1 一f ) ，( 9 ( g t ) ，z 8 ) 掣一c ( t ) 。 ( 3 7 ) 事实上，如果( 3 7 ) 不成立，则根据( 3 6 ) 式，我们有 ，( g ( 玑) ，y c ) 一i n t c ( y f ) 一g ( 吼) c - i n t c ( 仇) ， 这与条件1 ) 中的对任意茁k 有，( 9 ( z ) ，z ) g i n t c ( z ) 成立矛盾。因此 ( 3 7 ) 式成立。既然e ( 虮) 是凸锥，由( 3 7 ) 式我们可以推出 ，( 9 ( 可t ) ，z + )gg ( g ) ， 四川大学硕士学位论文 这样一来，条件5 ) 隐含着，( 执，9 ( 2 ) ) - c ( y # ) ，这与( 3 ，4 ) 式矛盾。因 此，假设的( 35 ) 式不成立，从而i ( g ( v c ) ，y ) 仨- i n t c ( y ) 。于是，我们知道 ( y c ：l 厂( 9 ( t ) ，”) ) g r a p h ( w ) ，这里 g r a p h ( w ) = ( z ，z ) kx 】7 i zew 7 ( z ) ) 是w 的图像。既然映象z ( ”) 是半连续的以及g 是仿射的，我们可以推 出当t _ 0 + 时，( y ，f ( g ( v 。) ，p ) ) _ ( z + ，( 9 ( 。：+ ) g ) ) 。又因为w 在k 7 中有 闭图像，所以( r 4 ，( 9 0 ) ，可) ) g r a p h ( w ) ，即是，_ 厂( 9 扛4 ) ，y ) 掣一i n t c ( z 4 ) 。 根据y 的任意性，我们得到x + e p 。证毕。 如果在定理3 2 中取g ( z 】= c 对所有2 2 k 均成立，则我们得到如下 结论 系3 2 设k 是h a u s d o r f f 拓扑向量空问y 的个非空、闭、凸子集， y 是另一个h a u s d o r f f 拓扑向量空间。给定映象g ：k - - + k 和向量值二元函 数，：i t _ 】7 。如果以下条件满足： 1 ) ，( 9 ( 。) ，x ) g i n t c ，v x k ； 2 ) 对任何y k ，f ( z ，y ) 关于t 是半连续的； 3 ) g 是仿射的，以及对任何z k ，j ( z ，y ) 关于y 是仿射的； 4 ) 厂是c 一伪单调的； 5 ) 对任何z ，y k ，( 9 ( z ) ，y ) 仨一c 隐含着，( z ，9 ( ) ) 仁一c 。 那么，e p = e “。 4 隐式向量均衡问题( i v e p ) 解的存在性及解集的刻画 在本节里，分别在无单调性，弱g 一伪单调性，d 伪单调性，和严格g 一伪 单调性情况下，利用上节中得到的结果，我们给出了隐式向量均衡问题( i v e p ) 解的一些存在性定理，以及讨论了隐式向量均衡问题( i v e p ) 解集的刻画。并 四川大学硕士学位论文 1 2 通过有力的证明和具体的例子，我们可以断定在定条件下隐式向量均衡问 题( i v e p ) 的解集是不空、闭和凸的。 ( i ) 无单调性情况 定理4 1 设k 是h a u s d o r f f 拓扑向量空间x 的一个非空、闭、凸子集， 】7 是另一个h a u s d o r f f 拓扑向量空间。给定映象9 ：k - 彤和向量值二元函 数，：k k - - y 。如果以下条件满足； 1 ) ，( 9 ( z ) ，z ) 仁一i n t c ( z ) 和e ( 口( z ) ) c ( z ) ，v 。辰； 2 ) g 是连续的，以及对任何y k ，( 。，y ) 关于z 是连续的； 3 ) 对任何z k ，f ( x ，y ) 关于y 是e 一凸的； 4 ) i k - 2 y 是一集值映象满足对任何x k ，w ( z ) = y ( 一i n t c ( z ) ) 在k 】7 中有闭图像； 5 ) 存在一个k 的不空、紧、凸子集d ，使得对任何z k d ，都存在 y d 满足 ，国( z ) ，y ) 一i n t c ( x ) 。 那么，e p 必。 证明令a = ( 立，y ) k l ，妇( z ) ，y ) 掣一i n t c ( x ) 该定理的证明 分以下四个步骤。 第一步对每一个z k ，由条件1 ) ，对任意x k 有_ ，c 夕( z ) ，z ) g i n t c ( x ) 成立，我们知道( z ，z ) a ， 第二步证明对每一个y k ，a ，= z | ( z ，y ) a ) 在耳中是闭 的。事实上，假设 z 。) 是a p 中的任意网满足x 。_ x o k 既然。a 。， 我们有，0 ( z 。) ，y ) g - i n t c ( x 。) ，即是，。，0 ( 。) ：y ) w ( z 。) 。这样便有 “z 。，f ( g ( z 。) ，v ) ) ) g r a p h ( 1 1 7 ) 既然映象g 和z ，( z ，) 是连续的，我们 得到( z 。，f ( g ( x 。) ，) ) 叶( x 0 ，s ( g ( x 0 ) ，可) ) 。又由于在k y 中有闭图像， 因此( x d ，( 9 ( t o ) ，口) ) eg r a p h ( w ) ，即是，。，( 9 ( 工o ) ，y ) 一i n t c ( z o ) 从而， z 【】a p 。 第三步证明对每一个z k ，a 。= g k l ( z ：y ) 仁 ) 是凸的或空 四川大学硕士学位论之 1 3 的。假设对某个z k ，a ：0 。我们证明a 。是凸的，对任意y l ，y 2ek 及t 【0 ，l 】，我们令y = t y l + ( 1 一t ) 玑。根据y 。ea 。，我们容易知道 ，( 目( 丁) ，y i ) i n t c ( x ) ( i = 1 ，2 ) 。既然c ( 。) 是凸锥，我们有 t f ( g ( x ) ，y 1 ) + ( 1 一t ) ，( 9 ( z ) ，驰) 一i n t c ( x ) 。 ( 4 1 ) 又因为，( z ，y ) 关于y 是e 一凸的，因此我们可以得到 ，( g ( 。) y z ) ，( 雪( 。) ，y 1 ) + ( 1 一) ，( ，( 。) ，y 2 ) 一o ( z ) 。( 4 2 ) 联合【4 1 ) 式和( 4 2 ) 式，我们可以推出 ，b 扛) ，玑) 一i n t c ( x ) 一g ( z ) 一i n t c ( x ) 即是，y t a 。 第四步令b = z k l ( x ，y ) a ，v y d ) ，易知口是d 的紧子 集。事实上，根据条件5 ) ，如果xek d ，那么存在一点y d 使得 ，( g ( o ) ，y ) - i n t c ( x ) ，即是，( z ，y ) ga ，由此可得xgb 这样我们便有 b d 。容易看出b = n e d a ”，而a 是闭的，d 是紧的，从而b 是d 的闭紧子集。 根据以上四个步骤的证明和引理22 ，存在9 2 + k 使得 z k 垦a ， 即是，( 9 ( 。) ，y ) 譬一i n t c ( = r ) 对所有yek 均成立，证毕 铡4 1 设x = y = r 2 ，k = 【1 ，1 1 l ，1 】及e ( z ) = r 军= 【0 ，o 。) 【0 ，o o ) 对所有z k 均成立。容易看出映象9 ( z ) = ( x 2 ，z 1 ) 和二元函数 ，( z ，9 ) = ( x l 一驰，玑一- 2 ：2 ) ，z = ( 。l ，2 ) ，y = ( y l ，y 2 ) ，满足定理4 - i 的条件1 ) 一 5 ) 。经过简单的计算可知e p = ( 一1 ，2 ) l 2 一1 ，1 】 u ( z 1 1 ) i x , - - 1 ，1 ) 是不空、闭的，但不凸。 和数值均衡问题的解集相比较 性，应该给，附加额外的条件， 如果在定理4 1 中，取c ( z ) = 到如下定理。 e p 一般不是凸的。为了保证e p 的凸 c r 对所有搿k 均成立，于是我们便得 四川大学硕士学位论丈 定理4 2 设k 是h a u s d o r f f 拓扑向量空间x 的一个非空、闭、凸子集， r 是另一个h a u s d o r f f 拓扑向量空间。给定映象g ：k - k 和向量值二元函 数，：k k 一】7 ，并且令c ( z ) = c 对所有z k 均成立如果以下条件 满足： 1 ) ，( g ( z ) ，x ) g i n t c ，v xek ； 2 ) g 是连续的，以及对任何y k ，f ( x ，y ) 关于z 是连续的； 3 ) 对任何z k ，( z ，y ) 关于y 是e 凸的； 4 ) 存在一个k 的不空、紧、凸集d ，使得对任何z k d ，都存在 d 满足 ，( 9 ( z ) ，y ) 一i n t c 。 那么，e p 是不空、闭的。此外，如果，：k k _ 一i n t c u g ) ，且 满足 5 ) g 是仿射的； 6 ) 对任何y k ，s ( z ，y ) 关于z 是仿射的。 那么，e p 是凸的 证明根据定理4 1 ，容易知道e 一0 。现在我们证明俨是闭的。 假设 z 。) 是驴中的任意网满足z 。- - + x 0 k 。既然z 。e 9 ，我们 有l 厂( 9 ( z 。) ，y ) g i n t c 对所有y k 均成立，即是，f ( g ( x 。) ，y ) w = 1 7 - i n t c 。既然映象夕和z 卜，( z ，) 是连续的，我们得到，( 夕( z 。) ，y ) _ ，( 9 ( z 。) ，y ) 。又由于w = y 一i n t o 是闭的，因此f ( g ( x o ) ，y ) w = 】7 - i n t c ，即是，f ( g ( x o ) ，y ) 仁一i n t c 。从而有x 0 e 9 ，也就是说，驴 是闭的。 接下来，我们证明如果有f ：kxk 寸 一i i l t c ) u