（计算数学专业论文）两类偏微分方程的最小二乘有限元方法.pdf

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u 、+ a 3 u = f ， i n q ， 注意这里的a 。，a ：，a ，f 与( 1 2 6 ) 中的不同。以及边界条件 ( 1 2 1 0 ) r u = 0 ， o h f ， 其中 只= 仨三，0 引入一个二阶的最小二乘函数 ( 1 2 1 4 ) ，( v ) = ( 三v f ) 2 d r 2 显然精确解u 使，( ) 取得最小值。对此最小二乘函数变分得到弱形式和相应的有 限元格式如下。 ( 1 2 1 7 ) 寻求u 吒，使得 a ( u ，v ) = f ( v ) 对v v e 成立， 其中口( u ，v ) = p u ，l v d f 2 ，f ( 订= f - 三诚2 ，_ 为矿的有限维子空闯。 有限元解的存在性唯一性的证明在第三节给出。第四节是误差分析，给出了本章 的主要结果如下 定理4 1 设uu 分别代表精确解和有限元解，我们有如下估计 眇一u 。峪c h “1 h 。，i l u u 。怦c h h 。 其中“= g r a d a ) ，u = ( “，矿) ，u ，庐；u 。，丸分别表示精确解和有限元解， i f u u 扎= ( 眵一九l 。2 + i i “- u j 。2 ) 必，i i u u 。i t 。= ( 1 舻一九1 2 + i l u - u j ，2 ) z 。 如果用由对q 的三角剖分确定的分片线性连续函数来逼近精确解，那么有 删。+ 犯一“。蚣c h2 ：， 呲+ ”吼sc h l i v l l ： 第二章给出了对h e l m h o l t z 方程的一类最小二乘有限元方法与c h a n g 1 中给出的方法不同，这是一种真j 下的混合元方法。h e l m h o l t z 方程如下给出 i + 七2 驴= 厂 i n q ， i 庐= 0o n 地= f ， 其中q 为r2 中具有l i p s c h i t z 连续边界【_ 的有界开集。h e l m h o l t z 方程在物理 应用中是非常重要的，研究这个方程显然具有重要的实际意义。本章分为四节。 第一节是引言，介绍考虑的问题。在第二节中由对最小二乘函数的变分导出了最 小二乘有限元格式。首先将问题转化成一阶线性系统如下 i d i v t “- k 2 妒= 一厂 i n q ， ( 2 1 2 ) “+ g r a d o = 0 i n q ， l妒= o 锨f ， 与p e h l i v a n o v 【5 】处理p o s s i o n 方程的方法类似，我们引入最小二乘函数如下 j ( u ，) = ( d i v u 一七2 妒+ ，击v u 一七2 庐+ ，) + ( u + g r a d o ，u + g r a d ) j ( u ，妒) = ( c u r l - “，c u r l - “) + ( 硪v u k 1 - ( j + ，击v u 一2 庐+ 厂) + ( “+ g r a d q ) ，u + g r a d q 6 _ ) 其中第二个函数是基于对精确解自然满足c u r l u = 0 的考虑。对以上两个函数的 变分导出两个弱形式，以及相应的有限元格式。 ( 2 2 3 ) 寻求u 。w h ，妒。，使得对v v 。w h ， a ( u ，丸；v ，钆) = ( ，；v ，吼) 成立 ( 2 2 7 ) 寻求“。识，丸，使得对v v 哌，纯吒 万( “ ，庐 ；v ，妒) = ( f ；v ，伊 ) 成立 其中( “，妒：v ，妒) = ( d i v “一七2 ，d i v v 一七2 妒) + ( u + g r a d ( j ，v + g r a d o ) 万( “，妒；v ，妒) = ( c u r l “，c u r l v ) + a ( u ，；v ，妒) ( ，；v ，妒) = ( ，k2 妒一d i v - v ) 第三节是对双线性形式强制性的证明。第四节是误差分析，给出本章主要结果 定理2 4 1 设“，u 。，九分别是精确解和( 2 2 3 ) 的离散解，则有如下估计、 ( 2 4 4 ) 静一九8 。+ 1 u - u h 。，s 国7 删。+ 。，。) 定理2 4 3 设u ，u 。，庐，以分别代表精确解和( 2 2 7 ) 的离散解，则有如下估计 ( 2 4 1 2 ) 恪一圳。+ 恤一“m 。c h7 ( 靴。+ 俐。) 关键字：最小二乘，有限元，混合元，对流扩散，h e l m h o l t z 方程 山东大学硕士学位论文 l e a s t - s q u a r e s f i n i t ee l e m e n tm e t h o d sf o r t w ok i n d so fp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s b a iz i q i a n g 【s c h o o lo f m a t h e m a t i c sa n ds y s t e ms c i e n c e ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n ，2 5 0 10 0 ) a b s t r a c t f r o mt h el9 8 0 st h ef o r m u l a t i o no ff i n i t ee l e m e n tm e t h o d st h a tc i r c u m v e n t s t a b i l i t yc o n d i t i o n ss u c ha st h el b bc o n d i t i o nh a sb e e nt h es u b j e c t o fi n t e n s i v e r e s e a r c h e f f o r t s l e a s t s q u a r e s m e t h o d sa sas u c c e s s f u lm e t h o di ss t u d i e da n d i n t r o d u c e di nm a n yf o r m st i l ln o w v e r s a t i l ek i n d so fp r o b l e m s ( e l l i p t i c e q u a t i o n ， s t o k e se q u a t i o n ，c o n v e c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o n ，e t c ) a r et r e a t e db yl s m sa n dq u i t e g o o dr e s u l t sa r ea c h i e v e d p a v e lb b o c h e v 【4 百v 髓a r e v i e wo fac e a a i nk i n do f l s m s ，i e l s m sb a s e du p o nv a r i a t i o no fq u a d r a t kl e a s t - s q u a r e sf u n c t i o n a l s ，a s o p p o s e d t og a r l e r k i nl e a s t s q u a r e so rs t a b i l i z e dm i x e dm e t h o d sw h e r el e a s t s q u a r e s t e r m sa r ea d d e dl o c a l l yo rg l o b a l l yt om i x e dv a r i a t i o n a lp r o b l e m s t h em e t h o d sw e u s e di nt h i sp a p e r b e l o n g t ot h ef o r m e rk i n d t h i s p a p e r i sc o m p o s e do ft w o c h a p t e r s i nc h a p t e rlw e d e v e l o pal s m f o rt h eg e n e r a lc o n v e c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n 。 w h i c hi si n t r o d u c e da s p 刖砂删由+ b g ，r a d 。f qi sab o u n d e d o p e nd o m a i ni n r 2 w i t hl i p s c h i t zc o n t i n u o u sb o u n d a r y f 爿( x ) i sa2 x 2s y m m e t r i cm a t r i xo f f u n c t i o n s i n 吃( q ) ( z ) = ( 口“( j ) ) ，x e 孬 d u ( x ) 列( n ) w e a s s u m e 爿( 石) i ss y m m e t r i cp o s i t i v ed e f i n i t e i nt h el s mw ed e v e l o p e d ，g r a d # ，西c a nb ea p p r o x i m a t e ds i m u l t a n e o u s l y , w h i c hi s d i f f e r e n tf r o mt h eu s u a ll s m si nw h i c hi ti sa ( x ) g r a d ( ，庐t h a ta r e a p p r o x i m a t e d t h i sc h a p t e ri so r g a n i z e da sf o l l o w ss e c t i o n1i sa l li n t r o d u c t i o nt ot h ep r o b l e m s e c t i o n2g i v e sal e a s t - s q u a r e sf i n i t ee l e m e n tf o r m u l a t i o n f i r s tw ec a s tt h ea b o v e p r o b l e m i n t oaf i r s to r d e rl i n e a rs y s t e m ，a s 4 ( 1 2 1 ) f 一讲v 4 上) + “) + ! 。“+ c 妒= ， n g r a 。d 4 6 。- ：u 。= ，。i nr ，q 【 庐= 0 ， o n f ， a n df u r t h e ra s ( 1 2 6 ) 一l u 。+ a 2 u ，+ a 3 。u = f ， i n q ， w h e r e a l ，a 2 ，a 3 a r ea l l 3 3 m a t r i x ，u = g r a d 妒，u = 0 ，庐) ，u ，= “，识) u y = ( u y , 丸) i no r d e rt om a k et h i ss y s t e mb e s t r o n ge l l i p t i ci nt h es e n s eo f p e t r o v s k i 2 ，w ea a a c h e q u a t i o n c u r lt u = 0t o ( 1 2 1 ) ，w h i c hh o l d sn a t u r a l l yf o re x a c ts o l u t i o n “n o wt h e n e w s y s t e m c a nb e p r e s e n t e da s ( 1 2 9 ) l u = a 1 u ，+ a 2 u ，+ a 3 u = f ， w h e r e a t ，a 2 ，a 3 a r e a l l 4 x 3 m a t r i x ，w h i c h i s d i f f e r e n t f o r m 她s e i n ( t 2 6 ) w i t hb o u n d a r yc o n d i t i o n ( 1 2 1 0 ) r u = 0 ， o h f ， r0 0 i 、 w h e r e 肛l h ：叫o j 。 i n t r o d u c ea l e a s t s q u a r e sf u n c t i o n a l ( 1 - 2 1 4 ) ，( v ) = ( 工v 一，) 2 d r 2 w eg e tt h ew e a kf o r mo fp r o b l e m ( 1 2 9 ) ，a n dt h ec o r r e s p o n d i n gf i n i t ee l e m e n t f o r m u l a t i o n ( 1 21 7 ) t os e e ku k ，w h i c h s a t i s f i e s a ( u ，v h ) = f ( v )f o rv v ， w h e r e i s af i n i t ed i m e n s i o n s u b s p a c eo f 矿 t h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s so ft h ed i s c r e t es o l u t i o ni sd e s c r i b e di ns e c t i o n3 o p t i m a l h 。，l 2n o r me r r o re s t i m a t e sa r ed e r i v e di ns e c t i o n4 ，a s t h e o r e m1 4 1 l e t u r e p r e s e n tt h e s o l u t i o no fd i s c r e t ef o r m ，a n dut h e e x a c ts o l u t i o n ，t h e nw eh a v et h ef o l l o w i n ge s t i m a t e s i p u i i 。c h “l p k + ，0 u - u 0 c h i p k + ， 5 w h e r e u = g r a d 4 ，u = ( “，妒) ，“ ， r e p r e s e n t sf i n i t ee l e m e n t d i s c r e t es o l u t i o n ，a n d 桫一u 1 i 。= 啪一九0 。2 + 1 1 - 一“。必， 眇一u 。l | l = ( 础! + 1 1 u - u 。1 1 2 ) 必 i fp i c c e w i s el i n e a rc o n t i n u o u sf u n c t i o nb a s e do i la t r i a n g u l a t i o ni n qi se m p l o y e dt o a p p r o x i m a t e t h ee x a c ts o l u t i o n ，i e k = 1 ，t h e nw eh a v e 。 1 1 4 一圳。+ l l u - - u 0 。c h2 ：， 忪一刚。+ 1 1 “一“。峪c h l l v l l ：， i nc h a p t e r2w ed e v e l o pam i x e dl e a s t - s q u a r e sf i n i t ee l e m e n tm e t h o df o rt h e h e l m h o l t ze q u a t i o n , w h i c hi sar e a lm i x e dm e t h o dc o m p a r e dw i t hw h i c hi n t r o d u c e d b yc l c h a n g 【l 】h e l m h o l t ze q u a t i o n i si n t r o d u c e d 牡 i + k 2 4 = f i n q ， l 庐= 0o n 弛= r ， w h e r eqi sab o u n d e dd o m a i ni nr2 w i t hl i p s e h i t zc o n t i n u o u sb o u n d a r yf h e l m h o l t ze q u a t i o ni sv e r yi m p o r t a n ti np h y s i c a la p p l i c a t i o n s o ，s u c har e s e a r c hi s i m p o r t a n tp r a c t i c a l l y t h i sc h a p t e r i s o r g a n i z e d 鹤f o l l o w s s e c t i o n 1i sa l l i n t r o d u c t i o nt ot h ep r o b l e m s e c t i o n2g i v e sl e a s t - s q u a x e sa p p r o a c hb a s e do nv a r i a t i o n o ft h el e a s t - s q u a r e sf u n c t i o n a l f i r s tw ec a s th e l m l m l t zp r o b l e mi n t oaf i r s to r d e r l i n e a rs y s t e m ，a s l d i v “- k 2 = 一厂 i n q ， ( 2 1 2 ) “+ g r a d 4 = 0 i n q ， l 妒= o 彻r s i m i l a rw i t ht h em e t h o dd e v e l o p e db yp e h l i v a n o v 【5 】，w h e r eap o s s i o ne q u a t i o ni s c o n s i d e r e d ，w ei n t r o d u c el e a s t s q u a r e sf u n c t i o n a l sa s j ( u ，) = ( d i v u 一女2 庐+ f ，d i v - u 一女2 妒+ f ) + ( u + g r a d 4 ，u + g r a d 4 ) 歹( “，痧) = ( c u r l - “，c u r l “) + ( d i v 一“一女2 庐+ ，d i v “一七2 妒+ ，) + ( “+ g r a d 4 ，“+ g r a d e ) t h es e c o n df u n c t i o n a li sb a s e do nt h ef a c tt h a tc u r l u = 0h o l d sn a t u r a l l yf o re x a c t s o l u t i o nu t h e nw eh a v et h ef o l l o w i n gt w of i n i t ee l e m e n tf o r m u l a t i o n sb a s e do n v a r i a t i o no ft w of u n c t i o n a l s ( 2 2 3 ) t os e e k “。玎0 ，。，w h i c hs a t i s f y a ( u ， ；v ，p ) = ( f ；v ，妒 )f o rv v 。，妒。 ，圪a r ef i n i t e e l e m e n ts p a c e sw h i c ha r ee m p l o y e dt o a p p r o x i m a t et h ed i s c r e t e s o l u t i o no f ( 2 2 3 ) 6 山东大学硕上学位论文 ( 2 2 ，7 ) t os e e k “。l ! i j ，。，w h i c hs a t i s f y 万( “ ，妒 ；v ，9 ) = ( 厂；v ，妒 ) f o rv v 。呒，妒。以， w h e r e 访h y k a r ef i n i t ee l e m e n t s p a c e se m p l o y e d t oa p p r o x i m a t e n h 争j t h ed e f i n i t i o no f ，呒w i l lb ep r e s e n t e di ns e c t i o n4 ，a n d a ( u ，；v ，伊) = ( d i v u 一是2 庐，d i v v 一七2 9 ) + ( u + g r a d 矿，v + g r a d e p ) 万( “，多；v 妒) = ( c u r l “，c u r l v ) + a ( u ，；v ，9 ) ( f ；v ，妒) = ( ，k 2 伊一d v - 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