（计算数学专业论文）几类随机延迟微分方程数值方法的收敛性与稳定性.pdf

原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特, 舄l l j j t l 以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名： 逸量! 星日期：趟年埘上日 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文， 允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：趣导师签名蔓碰日期：望年年埘- 日 摘要 随机延迟微分方程既可以视为确定性问题延迟微分方程考虑随 机因素后的推广，也可以视为非确定性问题随机常微分方程考虑时 滞因素后的推广所以随机延迟微分方程往往能够更加真实地模拟 科学实践中某些问题它已被广泛地应用于物理、化学、控制论、金 融学、生物学以及其它领域 近年来，已有一些学者开始研究刚性随机微分方程数值方法的 收敛性与稳定性，提出了一些求解刚性随机微分方程非常有效的隐 式数值方法刚性随机问题是确定性刚性问题的拓展，在确定性问题 中，为了保证稳定性，一般用隐式数值方法求解刚性i 、u j 题因此，用 隐式数值方法求解刚性随机问题是非常必要的 平衡方法是求解刚性随机微分方程非常有效的全隐式数值方法， 它与一些学者研究的隐式数值方法( 只局限于在确定项引入隐式项) 不同平衡方法是在确定项和随机项都引入了隐式项据我们所知， 到目前为止国内外还未见讨论求解中立型随机比例延迟微分方程和 随机延迟微分方程平衡方法收敛性和稳定性的研究因此，开展有关 这方面的研究是很有意义的本文研究了随机延迟微分方程平衡方 法的收敛性与稳定性，中立型随机比例延迟微分方程平衡半隐式 e u l e r 方法的收敛性以及随机比例延迟微分方程平衡半隐式e u l e r 方 法的收敛性与稳定性所获主要结果如下： ( 1 ) 讨论平衡方法求解随机延迟微分方程的收敛性与稳定性证 明了平衡方法的均方收敛阶为：1 ，给出了线性随机延迟微分方程平衡 z 方法均方稳定的条件 ( 2 ) 提出求解中立型随机泛函微分方程的隐式数值方法平 衡半隐式e u l e r 方法，并讨论中立型随机比例延迟微分方程平衡半隐 式e u l e r 方法的均方收敛性证明了平衡半隐式e u l e r 方法的均方收敛 阶为当将文中定理3 2 2 的结论应用于随机比例延迟微分方程，即可 二 得到随机比例延迟微分方程平衡半隐式e u l e r 方法的均方收敛阶为：1 ， 二 所得结论也是新的 ( 3 ) 讨论线性随机比例延迟微分方程平衡半隐式e u l e r 方法的均 方稳定性，给出了线性随机比例延迟微分方程平衡半隐式e u l e r 方法 均方稳定的条件 关键词随机延迟微分方程，随机比例延迟微分方程，中立型随机比 例延迟微分方程，隐式数值方法，平衡方法，平衡半隐式e u l e r 方法， 均方收敛性，均方稳定性 n a bs t r a c t s t o c h a s t i cd e l a yd if f e r e n t i a le q u a t i o n s ( s d d e s ) c a nb er e g a r d e da s e x t e n s i o no fc e r t a i np r o b l e m sf o rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( d d e s ) w h i c hc o n s i d e rt h er a n d o mf a c t o r i tc a na l s ob er e g a r d e da st h ee x t e n s i o n o fu n c e r t a i np r o b l e m sf o rs t o c h a s t i co r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( s o d e s ) c o n s i d e r i n gt h ed e l a yf a c t o r t h e r e f o r e ，s d d e sc a na l w a y s s i m u l a t et r u t h f u l l yc e r t a i ns c i e n t i f i cp r o b l e mi np r a c t i c a l t h e yh a v eb e e n w i d e l yu s e di np h y s i c s ，c h e m i s t r y , c o n t r o lt h e o r y , f i n a n c e ，b i o l o g ya n d o t h e rf i e l d s i nr e c e n ty e a r s ，s o m es c h o l a r sh a v eb e g u nt or e s e a r c hc o n v e r g e n c e a n ds t a b i l i t yo fn u m e r i c a lm e t h o d sf o rs t i f fs t o c h a s i c d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ( s s d e s ) a n dp r o p o s e ds o m ev e r ye f f e c t i v ei m p l i c i tn u m e r i c a l m e t h o d sf o r s o l v i n gs s d e s t h es t i f f s t o c h a s t i cp r o b l e m sc a nb e r e g a r d e da se x t e n s i o no fd e t e r m i n i s t i cs t i f fp r o b l e m s i nt h ed e t e r m i n i s t i c p r o b l e m s ，i no r d e r t oe n s u r es t a b i l i t y , w eg e n e r a l l yu s ei m p l i c i tn u m e r i c a l m e t h o d sf o r s o l v i n gs t i f fp r o b l e m s t h u s ，i ti sv e r yn e c e s s a r yw i t h i m p l i c i tn u m e r i c a lm e t h o d s t os o l v es t i f fs t o c h a s t i cp r o b l e m s b a l a n c em e t h o di sv e r ye f f e c t i v ei m p l i c i tn u m e r i c a lm e t h o df o r s o l v i n gs t i f fs t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i ti s d i f f e r e n tw i t hs o m e s c h o l a r sw h oh a v es t u d i e di m p li c i tn u m e r i c a lm e t h o d s 一一t h e i n t r o d u c t i o no fi m p li c i t n e s si sr e s t r i c t e dt ot h ed e t e r m i n i s t i ct e r m s t h e b a l a n c em e t h o da r ef u l l yi m p l i c i tn u m e r i c a lm e t h o df o ri n v o l v i n gb o t h d e t e r m i n i s t i c i m p l i c i tt e r m s ( o rd r i f t i m p l i c i tt e r m s ) a n ds t o c h a s t i c i m p l i c i tt e r m s a sf a ra sw ek n o w , t h e r ei sn os t u d yo nc o n v e r g e n c ea n d s t a b i l i t yo fb a l a n c em e t h o df o rs o l v i n gs d d e sa n dn e u t r a ls t o c h a s t i c p a n t o g r a p hd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( n s p d e s ) t h e r e f o r e ，i ti sm e a n i n g f u l t oi n v e s t i g a t et h e s ep r o b l e m s i nt h i sp a p e r ，w er e s e a r hc o n v e r g e n c ea n d s t a b i l i t yo fb a l a c e dm e t h o df o rs o l v i n gs d d e sa n db a l a n c e d s e m i - i m p l i c i t e u l e rm e t h o df o rs o l v i n gs t o c h a s t i cp a n t o g r a p hd if f e r e n t i a l e q u a t i o n s ( s p d e s ) ，t h ec o n v e r g e n c eo fb a l a n c e ds e m i - i m p l i c i te u l e r m e t h o df o rs o l v i n gn s p d e s o u rm a i nr e s u l t s i nt h et h e s i sa r e a s f o l l o w s ： ( 1 ) w ei n v e s t i g a t ec o n v e r g e n c ea n ds t a b i l i t yo f b a l a c e dm e t h o df o r s o l v i n gs d d e s i ti sp r o v e dt h a tt h eb a l a n c e dm e t h o di sm e a n - s q u a r e c o n v e r g e n c ew i t hs t o n go r d e r1 2 m o r e o v e r ，w eg i v em e a n s q u a r e s t a b i l i t yc o n t i d i o no ft h eb a l a n c e dm e t h o df o rl i n e a rs t o c h a s t i cd e l a y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( l s d d e s ) ( 2 ) w ep r o p o s e f o r s o l v i n g n e u t r a ls t o c h a s t i cf u n c t i o n a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( n s f d e s ) o ft h ei m p l i c i tn u m e r i c a lm e t h o d a b a l a n c e ds e m i i m p l i c i te u l e rm e t h o d a n dd e a lw i t hc o n v e r g e n c eo ft h e b a l a n c e ds e m i i m p l i c i te u l e rm e t h o df o rs o l v i n gn s p d e s i ti sp r o v e d t h a tt h eb a l a n c e ds e m i i m p l i c i te u l e rm e t h o di sm e a n s q u a r ec o n v e r g e n c e w i t hs t o n go r d e r1 2 w ew i l lb et h ec o n c l u s i o no f 硼始o r e m3 2 2i nt h i s t e x ta p p l i e dt os p d e sa n db ea v a i l a b l et ot h ec o n v e r g e m e eo fe o n c l w s i o n t h a tt h eb a l a n c e ds e m i i m p l i c i te u l e rm e t h o df o rs p d e si sm e a n - s q u a r e c o n v r g e n c ew i t hs t o n go r d e r1 2 t h ec o n c l u s i o n sa r ea l s on e w ( 3 ) w ei n v e s t i g a t em e a n s q u a r es t a b i l i t y o ft h eb a l a n c e d s e m i i m p l i c i te u l e rm e t h o df o rs o l v i n gl i n e a rs t o c h a s t i cp a n t o g r a p h d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ( l s p d e s ) w eg i v em e a n - s q u a r es t a b i l i t y c o n t i d i o no ft h eb a l a n c e ds e m i 。i m p l i c i te u l e rm e t h o df o rl s p d e s k e yw o r d ss t o c h a s t i c d e l a y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，s t o c h a s t i c p a n t o g r a p h d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，n e u t r a l s t o c h a s t i c p a n t o g r a p h d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，i m p l i c i t n u m e r i c a lm e t h o d ，b a l a n c e dm e t h o d ， b a l a n c e d s e m i i m p l i c i t e u l e r m e t h o d ，m e a n s q u a r ec o n v e r g e n c e ， m e a n s q u a r es t a b ili t y i v 目录 摘要 a b s t r a c t 第一章前言1 1 1 研究背景与意义1 1 2 随机延迟微分方程3 1 2 1 随机延迟微分方程的理论分析3 1 2 2 随机延迟微分方程的数值分析3 1 3 中立型随机比例延迟微分方程和随机比例延迟微分方程：4 1 4 本文的主要工作5 1 5 进一步的工作展望6 第二章随机延迟微分方程平衡方法的均方收敛性与均方稳定性7 2 1 预备知识7 2 2 随机延迟微分方程平衡方法的均方收敛性1 0 2 3 线性随机延迟微分方程平衡方法的均方稳定性18 2 4 数值试验2 1 第三章中立型随机比例延迟微分方程平衡半隐式e u l e r 方法的均方收敛性2 3 3 1 预备知识一2 3 3 2 中立型随机比例延迟微分方程平衡半隐式e u l e r 的均方收敛性2 5 3 3 例子3 4 3 4 数值试验3 5 3 4 1 平衡半隐式e u l e r 方法应用于中立型随机比例延迟微分方程3 5 3 4 2 平衡半隐式e u l e r 方法应用于随机比例延迟微分方程3 8 第四章线性随机比例延迟微分方程平衡半隐式e u l e r 法的均方稳定性4 l 4 1 稳定性分析4 l 参考文献4 6 致谢5 0 攻读学位期间主要研究成果5 l v 硕十学位论文第一章前言 第一章前言 本章首先阐述随机延迟微分方程、中立型随机比例延迟微分方程以及随机比 例延迟微分方程的研究背景以及重要的研究意义，然后简要综述了它们理论分 析及数值分析的研究进展，最后扼要地介绍了本文的一些主要工作，并提出了进 一步工作的展望 关键词随机延迟微分方程，随机比例延迟微分方程，中立型随机比例延迟微分 方程，平衡方法，平衡半隐式e u l e r 方法，数值分析 1 1 研究背景与意义 随机延迟微分方程既可以视为确定性问题延迟微分方程考虑随机因素后的 推广，也可以视为非确定性问题随机常微分方程考虑时滞因素后的推广，所以随 机延迟微分方程往往能够更加真实地模拟科学实践中某些问题因此它已被广 泛地应用于物理、化学、控制论、金融学、生物学以及其它领域 随机常微分方程( s o d e s ) 趔( ，) = ( t , x ( ，) ) 衍+ g ( ，x ( ，) ) d w ( ，) ，o ，( ) i x ( t o ) = 孝， 、7 的研究，是随着随机过程理论与常微分方程理论的发展而迅速发展起来的，但对 它确切而又严格的数学描述，直到1 9 5 1 年伊藤( 肺) 发表著名的肺型随机微分 方程的论文“o ns t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ”之后才建立此后，随机微分方程 得到了广大理论科学工作者和实际应用科技人员的重视 随机延迟微分方程( s d d e s ) j 趟( ，) = 巾，x ( f ) ，x ( ) ) 承+ gt , x ( ，) ，x ( ，- f ) ) d w ( ，) ， ， o ， 叭2 ) ix ( ，) = 伊( f ) ，【吒o 】， 、7 随机比例延迟微分方程( s p d e s ) j 批( f ) = 巾，x ( f ) ，x ( g ，) ) 西+ g ( ，x ( r ) ，x ( q t ) ) d w ( f ) ，t e m ， ( 1 1 3 ) i x ( o ) = x o ， 、7 以及中立型随机比例延迟微分方程( n s p d e s ) 硕t ：学位论文第一章前言 id ( x ( f ) 一d ( x ( 矿) ) ) = ( ，x ( f ) ，x ( ) ) 出+ g ( ，x ( ，) ，x ( 矿) ) d ( ，) ，t 0 ， l x ( o ) = x o ，( 1 1 4 ) 的研究工作是近几十年的事它们的引入主要是考虑到影响事物运动规律的因 素不仅仅取决于当前的状态和过去的状态，而且还取决于某些白噪音( 随机因 素) 因此，为了更精确地刻画实际现象，不仅需要引入过去状态的描述，即延迟 项，而且还需要引入白噪音，即w i e n e r 过程，所以随机延迟微分方程、随机比例 延迟微分方程和中立型随机比例延迟微分方程往往能够比延迟微分方程、比例微 分方程、随机常微分方程更加真实地模拟科学实践中某些问题实际上，随机泛 函微分方程在入口动力学、造血干细胞动力学、金融学中股票债券定价、经济系 统与管理系统等许多科学与工程领域中有大量的应用 对于随机泛函微分方程在实际中的应用，我们仅以如下几个例子加以初略 说明： 例1 2 0 0 1 年s w i s h c h u k 和k a z m e r c h u k 5 0 在研究金融学中股票债券市场模 型问题时，考虑下列随机延迟微分方程 f 嬲( ，) = ( 舔( ，) + s ( ，一f ) ) 者+ 盯s ( ，一p ) d ( ，) ， i a s ( t ) = ( b b ( t ) + v b ( t 一) ) 衍， 其中s ，b 是分别表示股票、债券价格 例2 2 0 0 5 年，i a c o n o 和r 弓y n o l d s 2 3 】在研究湍流中物体的轨迹时得到 l a g r a n g i a n 随机模型： jd v = 丘( v ，y ) d t + c x f - 磊0 6 d w ， i d y = v d t + 4 2 k d w ，。 其中，v 表示流体的速度，y 表示流体中物体的位移，及形独立的w i e n e r 过 程 例3 2 0 0 5 年，m a o ，y u a n 和z o u 4 6 用如下的随机延迟微分方程描述，个物种 的l o t k a v o l t e r r a 模型： d x ( t ) = d i a g ( x 。( ，) 以( ，) ) i ( 彳( x ( ，) 一i ) + b ( 石( ，r ) 一i ) ) 出 + c r x ( 1 一f ) d 形( ，) 其中，a ，b 为n 阶矩阵，b 为 阶向量，i 满足方程b + ( a + b ) i = 0 表示一种平 衡状态 例4 2 0 0 7 年，l e i 和m a c k e y 3 3 在研究造血干细胞动力学模型时，考虑了下 列随机延迟微分方程 础) = ( 嘶) 咧，- 1 ) ) 斫+ 云l b x ( t - 1 ) 嘲+ 鲁一吵 2 硕十学何论文 第一章前言 1 2 随机延迟微分方程 1 2 1 随机延迟微分方程的理论分析 1 9 6 4 年i t 3 和n i s i o 2 4 首先研究随机延迟微分方程 fd x ( t ) = 口( ，一o a t + 6 ( ，- o a w ( , ) ，t 0 ， l x ( t ) = 妒( f ) ，t 0 ， 得到了上述方程解的存在定理，并得到了相容解存在的相关结论 19 6 8 年k u s h n e r 3 0 给出了随机延迟微分方程 x ( ，) - - - x ( o ) + f i ( x ( s f ) ) 西+ i g ( x ( s f ) ) d 形( s ) o0 的解的稳定性定理 1 9 8 4 年m o h a m m e d 【3 5 1 给出了随机延迟微分方程( 1 1 2 ) 解的存在唯一性以 及零解p 阶矩渐近稳定的条件同时，对方程( 1 1 2 ) 的解的有界性等问题作了深 入研究 1 9 8 6 年k o l m a n o v s k i i 和n o s o v 2 6 给出了当漂移函数以及扩散函数满足局部 l i p s c h i t z 条件以及线性增长条件时，方程( 1 1 2 ) 的零解p 阶矩渐近稳定的条件 1 9 9 0 年m o h a m m e d 4 2 给出了线性随机延迟微分方程几乎处处指数稳定的 条件1 9 9 1 年m a 0 【4 3 】研究了一类非线性随机延迟微分方程几乎处处指数稳 定性 1 9 9 4 年m a c k e y 和n e c h a y e v a 3 6 讨论了线性随机延迟微分方程的稳定性，得 到了均方稳定的一个充分条件 1 9 9 6 年m a o 3 7 得到了有名的r a z u m i k h i n m a o 定理，给出了随机泛函微分 方程零解均方渐近稳定的一个充分条件 19 9 7 年m a o 4 5 在他的专著中对于随机延迟微分方程进行了系统论述，这给 后来的随机延迟微分方程数值解的研究提供了一定的理论基础 关于随机延迟微分方程的定性理论进一步的相关阐述还可以参见文献 5 ，5 4 ， l o ，3 9 ，4 0 】 1 2 2 随机延迟微分方程的数值分析 要得到随机延迟微分方程的理论解是非常困难的，只有线性随机延迟微分 方程及很少一部分非线性情形可以写出其解析解的显式表达式有时即使求得 出随机延迟微分方程解析解的表达式，但由于表达式太复杂而难以用于研究系 统的某些性质因此，研究随机延迟微分方程的数值求解方法是十分重要而有 硕十学位论文第一章前言 意义的事情本节对已有的随机延迟微分方程数值求解方法作简单回顾 首先回顾随机延迟微分方程显式数值方法的研究 2 0 0 0 年，b u c k w a r 在文献【3 】中证明了应用于方程f 1 1 2 ) 为自治系统的显式单 步方法局部收敛阶只与全局收敛性尸之间的关系为p = 只一k ， 2 0 0 3 年m a o 和s a b a n i s 4 1 讨论了连续e u l e r - m a r u y a m a 方法的收敛性。得到 了当带变延迟的随机延迟微分方程满足局部l i p s c h i t z 条件时，数值解收敛于问 题本身的真解2 0 0 4 年c a o ，l i u 和f a n 在 9 q h 将e u l e r - m a r u y a m a 方法应用于线 性随机延迟微分方程求解时，得到了数值解保持理论解均方稳定的条件同年， l i u ，c a o 和f a n 在文献【3 2 】中得到了线性随机延迟微分方程半隐式e u l e r 方法的收 敛性和稳定性的相关结论王文强在其博士论文【6 4 】中给出了非线性随机延迟微 分方程e u l e r - m a r u y a m a 方法的收敛性与稳定性结论，同时得到了非线性随机延 迟微分方程m i l s t e i n 方法和半隐式e u l e r 方法稳定性要进一步了解有关随机延 迟微分方程数值方法稳定性的内容，可参见文献 6 7 ，6 1 显然，对于随机延迟微分方程显式数值方法已有较多的研究，但是对于求解 随机刚性微分方程非常有效的隐式数值方法研究较少随机刚性问题是确定性 刚性问题的拓展，在确定性问题中，为了保证稳定性。一般用隐式数值方法求解 刚性问题因此，用隐式数值方法求解随机刚性问题是非常必要的随机延迟微 分方程隐式数值方法主要的研究有： 1 9 9 8 年m i l s t e i n ，p l a t e n 和s c h u r z 4 4 1 在扩散项中引入隐式项，得到了求解随 机刚性系统的全隐式数值方法平衡方法，且给出了随机微分方程平衡方法 的均方收敛性的相关结论 2 0 0 6 年a l c o c k 和b u r r a g e 1 给出了随机微分方程平衡方法的渐近稳定和均 方稳定的结论，同时给出了如何选取最优化参数以得到好的稳定性的一些结论 2 0 0 6 年k a h l 和s c h u r z 2 7 研究了随机微分方程数值积分平衡m i l s t e i n 方法 的相容性，收敛性，稳定性的结论 2 0 0 9 年w a n g 和l i u 5 6 研究讨论了随机刚性系统分裂向后平衡m i l s t e i n 方 法的收敛性与稳定性 1 3 中立型随机比例延迟微分方程和随机比例延迟微分方程 前面一节介绍众多学者在随机延迟微分方程理论研究以及数值方法研究方 面的工作本节主要介绍中立型随机比例延迟微分方程以及随机比例延迟微分 方程的理论研究和数值方法研究方面的成果 硕十学位论文第一章前言 近年来，中立型随机比例延迟微分方程取得的成果 1 9 9 6 年k o l m a n o v s k i i 和s h a i k h e t 2 8 给出了非线性中立型随机延迟微分方程 均方稳定的判别条件 1 9 9 7 年m a o 在其专著【4 5 】中详细讨论了中立型随机延迟微分方程解的存在 唯一性，矩估计，均方指数稳定性 2 0 0 8 年张浩敏在其博士论文 6 6 】中证明了非线性中立型随机比例延迟微分 方程( 1 1 4 ) 解的存在唯一性和矩估计，同时给出了方程( 1 1 4 ) 半隐式e u l e r 均方 收敛性给论 目前，随机比例延迟微分方程理论分析与数值分析研究的文献还比较少 2 0 0 0 年b a k e r 和b u c k w a r 6 证明了线性随机比例延迟微分方程解的存在唯 一性，得到了连续伊方法的均方收敛性结论 2 0 0 7 年f a n ，l i u 和c a o 1 2 证明了菲线性随机比例延迟微分方程f 1 i 3 ) 解的 存在唯一性，并得到了半隐式e u l e r 方法的收敛性结论 2 0 0 9 年张浩敏等人在文献【6 5 】中给出了随机比例延迟微分方程带线性插值 的半隐式e u l e r 方法的均方收敛性结论 1 4 本文的主要工作 目前，国内外文献对随机延迟微分方程、随机比例延迟微分方程与中立型随 机比例延迟微分方程数值解法已有较多的研究，主要研究它们的显式数值方法， 但对它们的隐式数值方法研究较少然而，对于刚性随机系统，我们一般要用隐 式数值方法求解平衡方法是求解刚性随机微分方程非常有效的全隐式数值方 法，它与一些学者研究的隐式数值方法( 只局限于在确定项引入隐式项) 不同平 衡方法是在确定项和随机项同时引入了隐式项据我们所知，到目前为止国内外 还未见讨论求解中立型随机比例延迟微分方程和随机延迟微分方程平衡方法收 敛性和稳定性的研究因此。本文主要研究随机延迟微分方程、随机比例延迟微分 方程与中立型随机比例延迟微分方程隐式数值方法的收敛性与稳定性 第二章主要讨论平衡方法求解随机延迟微分方程的收敛性与稳定性证明 1 了平衡方法的均方收敛阶为，给出了线性随机延迟微分方程平衡方法均方稳 2 定的条件 第三章提出求解中立型随机泛函微分方程的隐式数值方法平衡半隐式 e u l e r 方法，并讨论中立型随机比例延迟微分方程平衡半隐式e u l e r 方法的均方收 1 敛性证明了平衡半隐式e u l e r 方法的均方收敛阶为随机比例延迟微分方程 硕十学位论文第一章前言 是中立型随机比例延迟微分方程当o ( x ( q t ) 1 = 0 时的特殊情形，因此将本章3 2 节中的定理3 2 2 应用于随机比例延迟微分方程，即可得到随机比例延迟微分方 l 程平衡半隐式e u l e r 方法的均方收敛阶为，所得结论也是新的 2 第四章主要讨论线性随机比例延迟微分方程平衡半隐式e u l e r 方法的均方稳 定性，给出了线性随机比例延迟微分方程半衡半隐式e u l e r 方法均方稳定的条件 同时，数值试验验证了我们所获结论的正确性 1 5 进一步的工作展望 1 考虑非线性随机延迟微分方程平衡方法的均方稳定性 ，。2 考虑非线性中立型随机比例延迟微分方程平衡半隐式e u l e r 方法的稳定 性 3 考虑中立型随机变延迟微分方程平衡半隐式e u l e r 方法收敛性与稳定性 4 考虑平衡方法以外的其他隐式数值算法求解随机泛函微分方程与中立型 随机系统，研究它们的收敛性与稳定性，特别是稳定性 5 考虑随机泛函微分方程与中立型随机系统平衡方法的其他随机稳定性， 如指数稳定性、矩稳定性 6 硕十学伉论文第二章随机延迟微分方程平衡方法的均方收敛性与均方方稳定性 第二章随机延迟微分方程平衡方法的均方收敛性与均 方稳定性 本章讨论平衡方法求解随机延迟微分方程的均方收敛性与均方稳定性证 明了随机延迟微分方程平衡方法的均方收敛阶为主，给出了线性随机延迟微分 方程平衡方法均方稳定的条件 关键词随机延迟微分方程；平衡方法；均方收敛性；均方稳定性 2 1 预备知识 设( q ，a ， a ，) 脚，p ) 是完备的概率空间，其中仃一域流 a f ) 御满足通常条件， 即它是右连续的，a 。包含a 中所有p 零测集且对任意0 j ，有a ，妄a ，设 r d 表示d 一维欧氏空间，向量x ，y r d 的欧氏内积记为( x ，y ) ，即( x ，y ) = x r y 令 1 i 表示r d 中由欧氏内积导出的范数，如果b 是一个向量或矩阵，则b 7 表示b 的转置如果b 是一个矩阵，则b 的迹范数为l b l ，即蚓。舳c p ( 召7 b ) 形( ，) 是定义在完备的概率空间( q ，a ， a ， 脚，p ) 上的一维标准w i e n e r 过程， 7 r ( 【o ，7 1 】；r ) 表示所有r 值、可测、 a ， 脚适应的且以概率l 有1 厂( ，) 印 的 0 随机过程= 厂( ，) 。g ；r 的集合，r ( 【o ，7 1 ；r d ) 表示所有r 。值、可测、 a ，) 渤适 7 应的且以概率l 有j 1 9 ( ，) 1 2 衍 的随机过程g = g ( f ) 。g s r 的集合进一步设 0 0 = t o t o o ，函数 f ：r ，尺d 一只d ，g ：只d r d 专r d ， 均为b o r e l 可测的考虑硒意义下的d 维自治随机延迟微分方程 7 硕十学位论文 第二章随机延迟微分方程平衡方法的均方收敛性与均方方稳定丝 梨2 删味t ( ，一2 ) 西+ g ( m x ( ) ) d 咻仲丁】( 2 1 1 ) l x ( ，) = 伊( ，) ，【_ ，o 】， 、7 其中妒( ，) c ( 【一l 。】；) 是a ( 这罩a = a 。) 可测的，且满足e ( 墨l 缈( ，) 1 2 ) 0 是常数，t = s f ( s 为正整数) 定义2 1 1 称一个r j 值随机过程x = x ( ，) j 的，是方程( 2 1 1 ) 的强解，若它 满足以下性质： ( i ) x = x ( ，) 旧；r 是连续的，a ，适应的； ( i i ) ( x ( ，) ，x ( ，一f ) ) 晒ref ( 【o ，丁】；尺d ) ，并且 g ( x ( f ) ，x ( ，一f ) ) 。g ；丁r ( 【o ，丁】；r j ) ； ( i i i ) 当一f ，o 时，x ( ，) = 矽( f ) ，r 对每- - + o ，t ，下面方程以概率1 成立 x ( f ) = 缈( o ) + f 厂( x ( s ) ，x ( s r ) ) 凼+ 陪( x ( s ) ，x ( $ - t ) ) d 形( s ) 强解 x ( r ) ) 。g ；r 称是唯一的，如果对任意其它强解 牙( f ) ) 。g r 与 x ( ，) ) 。g ；r ，均 以概率1 无区别，即p j ( f ) = x ( ，) ，vf 【o ，丁】) = 1 下面我们给出函数f 和g 的几个假设条件 ( l i p s c h i t z 条件) 存在正的常数托，使得对任意墨，x 2 ，k ，e r d 以及f 【o ，r 1 ，有 l ( 五，x ) 一f ( x 2 ，e ) 1 2v k ( 五，k ) 一g ( 五，砭) 1 2 吒( 1 五一置1 2 + 陬一k 1 2 ) ； ( 2 1 2 ) ( 线性增长条件) 存在正的常数，使得对任意x ，】，r d 及r 【o ，丁】，有 l f ( x ，r ) 1 2 vi g ( x ，r ) 1 2 ( 1 + h 2 + l r l 2 ) ( 2 1 3 ) 其q ? avb = m a x a ，b 引理2 1 1 【4 5 】如果条件( 2 1 3 ) 成立，且x ( ，) 是方程( 2 1 1 ) 的强解，则 8 硕十学位论文第一二章随机延迟微分方程平衡方法的均方收敛性与均方方稳定性 e ( 恶阶) 1 2 ) 其中m = ( 圭m ( 三u p l 俐2 ) ) p “7 + 4 ) 引理2 1 2 【4 5 】如果条件( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) 成立，则方程( 2 1 1 ) 存在唯一的强 解x ( r ) ，且满足( j i x ( ，) | 2 西) 下面我们对时问区间【o ，t 】作等步长均匀划分，分点记为t o ，l ，乙，其中 乙2 刀办，以= o ，l ，- ， r ，步长厅2 夕( f 为正整数) 考虑随机延迟微分方程 ( 2 1 1 ) 的单步方法 元+ 。= 元+ 矽( 乃，元，元一m ，睨) ，n = o 1 ，n - i ( 2 1 4 ) 这里只是真解x ( ，) 在网格点f = 处的近似值，即兄x ( 乙) = x ( n h ) ；元一r 是真解x ( f ) 在网格点f = t n f 处的近似值，即兄一f x ( 乙一r ) = x ( ( 刀一) 办) ，且当咒一f o 时，初值只一f = 妒( 乙一f ) ；矽( ，只，兄一坼，呢) 是增量函数， 其中= 矽( 乙+ 。) 一形( o ) ，且呢一n ( o ，h ) 注2 1 1 为了方便，我们用j ( o ) 表示从真解出发，, j m ( 2 1 4 ) 计算一步所 得到的值，即又( o 。) = x ( ) + 矿( 矗，x ( 乙) ，x ( 乙一f ) ，氓) 定义2 1 2 - - , p 0 - 燃( 2 1 4 ) 的局部误差随机变量序列 瓯+ l 万= o ，1 ，n - i 定义为瓯+ = x ( o 。) 一牙( o 。) 而其全局误差随机变量序列 毛，l = 1 ，2 ，n ) 定 义为毛= x ( f 。) 一只 定义2 1 3 单步方法( 2 1 4 ) 是露- 阶均值相容，一阶均方相容的，若， 只+ ，并且有 黔愀“i a 觇c h 毋，当厅专o ， ( 2 5 ) 9 硕十学位论文第一二章随机延迟微分方程平衡方法的均方收敛性与均方方稳定性 鬟卜c 饧岛，当h - - , , o ( 2 1 6 ) i 其中常数c ，c 不依赖于步长 ，但可能依赖于7 及初值这罩肛吐= ( e l z l 2 ) i 将e u l e r - m a r u y a m a 方法应用于方程( 2 1 1 ) ，有 l = 兄+ ( 兄，最f ) + g ( 兄，兄一f ) 睨，o s 疗s 一l ， ( 2 1 7 ) 相应地可把它写成单步格式形式 元+ 。= 冠+ ( 办，只，疋以，岷) ，o 刀s 一l 其中增量函数为 ( 向，只，元一r ，) = 厂( 只，兄一f ) 办+ g ( 只，只叱) 呢， o ”n 引理2 1 3 【3 】如果方程( 2 1 1 ) 中的函数和g 满足条件( 2 1 2 ) 矛1 1 ( 2 1 3 ) ， 则e u l e r - m a m y a m a 单步方法是只= 2 阶均值相容，县= 1 阶均方相容的 引理2 1 4 15 】如果f 是a 可测的，( x ，w ) 与a 相互独立，w q ，且有 e ( 厂( x ，) ) = 矽( x ) ，则e ( 厂( f ，w ) l a ) = 矽( f ) 2 2 随机延迟微分方程平衡方法的均方收敛性 将平衡方法应用到方程( 2 1 1 ) 上，有