（计算数学专业论文）非线性压电层合轴对称圆板的动力分析.pdf

非线性压电蒜合轴对称卿板的动力分析中文提要 中文提要 本论文的选题来自于具有实际应用背景的压电智能结构模型。压电材料是一种机 电耦合材料。被广泛应用子航空航天、精密仪器、医疗器械等需要对形变进行检测和 控制的领域由于位移场和电场的耦合作用，当反映物理问题的数学模型涉及到非线 性时，使得对此模型的求解交得很复杂。因此，大部分研究采用线性几何关系和线性 压电效应。然而，为了进一步发挥材料的特性，揭示压电非线性性对结构的影响，应 该考虑问题的非线性性本文考虑非线性几何关系和非线性压电效应下，对轴对称压 电层合圆板的静力学和动力学行为进行研究。根据力学和压电学导出问题的数学模 型，可归结为非线性偏微分方程组的控制方程。由于考虑了问题的双非线性，使得描 述问题的数学模型很复杂，对它的求解交得更加困难。首先，通过调节坐标轴的位置 对任意铺设层合圆板的非线性控制方程进行简化。然后，利用幂级数解法得到强电场 和机械载荷联合作用下可移简支和夹支两种边界条件的静态控制方程的精确解。接 着，利用o a l e r k i n 法和k b m 法求解可移简支边界条件下振动控制方程。最后，通过 对双、单压电晶片执行器的数值计算及分析，得到电场、外载对位移和轴力的影响范 围以及振幅与自然频率之间的非线性关系。 关键词：几何非线性，材料非线性，电致伸缩，压电层合圆板，强电场，幂级数解， k b m 法 作者：沈纪苹 指导教师：姚林泉 d y n a m i ca n a l y s i so f n o n l i n e a rp i e z o e l e c t r i cl a m i n a t e da x i s y m m e t r i c c i r c u l a rp l a t e s a b s t r a c t t h et o p i co ft h i sp a p e ri sf r o mp i e z o e l o c t r i cs m a r t 翻n m 嘲聃m o d e l sh a v i n gp r a c t i c a l a p p l i e db a c k g r o u n d 。p i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l sa e l e c t r o m e c h a n i c a lc o u p l i l a g m a t e r i a l s e x t e n s i v e l ya p p l i e dt of i e l d so fa e r o s p a c e ，h i g h - p r e c i s i o na n dm e d i c a la p p m n l u st h a tn e e d m o n i t o ra n dc o n t r o lo nd e f o r m a t i o n b u tt h ec o u p l i n g so fd e f l e c t i o na n de l e c t r i cf i e l d s m a k ei tc o m p l i c a t e dt os o l v e 也em a t hm o d e l sm p 托s e n t i n gp h y s i c a lp r o b l e m sc o n s i d e r i n g n o n l i n e a r i t y h e n c e ，m o s to ft h es t u d i e so np i e z o e l e c t r i cs y s t e m sw e r eb a s e d0 1 1l i n e r g e o m e t r i cr e l a t i o n sa n dl i n e a rp i e z o e l e c t r i ce f f e c t s h o w e v e r , i t se s s e n t i a lt oi n v e s t i g a t e n o n l i n e a r i t yt or e v e a lf u l l e rc h a r a c t e r i s t i c so fm a t e r i a l sa n dn o n l i n e a rp i e z o e l e c t r i ce 趱嚣忸 o ns t r u c t u r e s i nt h i sp a p e r , s t a t i ca n dd y n a m i cb e h a v i o r so fap i e z o e l e c t r i cl a m i n a t e d a x i s y m m e t r i cc i r c u l a rp l a t es t r u c t u r ea r es t u d i e dw i t ha v i e wt oi n f l u e n c eo ft h e8 e o m e t f i e n o n l i n e a r i t ya n dn o n l i n e a rp i e z o e l e c t r i ce f f e c t s t h en o n l i n e a rc o n t r o le q u a t i o n so fp d f s a g a i n e db yt h em a t hm o d e ld e r i v e df r o mm e c h a n i c sa n dp i e z o e l e c t r i c i t y b e c 獬o f d o u b l en o n l i n e a r i t y , t h ee q u a t i o n sd e s c r i b i n gt h ep r o b l e ma r ec o m p l i c a t e da n di t sd i 臻c u l t t os o l v et h e m f i r s t , t h en o n l i n e a rc o n t r o le q u a t i o n so ft h eu n s y m m e l r i cp l yl 锄m i i 嫡协d c i r c u l a rp l a t e sa r es i m p l i f i e db ya d j u s t i n gt h ep l a c eo ft h ec o o r d i n a t ea x e s n e x t ，t h ee x a c t s o l u t i o n so fs t a t i cc o n t r o le q u a t i o n so f t h ep l a t e sf o rs i m p l ys u p p o r t e da n df i x e ds u p p o r t e d b o u n d a r yc o n d i t i o n sa mo b t a i n e db yp o w e rs e r i e sm e t h o d t h e n , g a l e r k i nm e t h o da n d k b m p e r t u r b a t i o nm e t h o da 舶u s e dt os o l v et h en o n l i n e a rd y n a m i cc o n t r o le q u a t i o n sf o r s i m p l ys u p p o r t e dc o n d i t i o n a tl a s t , b yn u m e r i c a lc a l c u l a t i o na n da n a l y s i so fb i m o r p ha n d u n i m o r p hp i e z o e l e c t r i cc i r c u l a rp l a t e s ，t h es c o p eo fe l e c t r i c f i e l da n dm e c h a n i c a lf o r c e i n f l u e n c i n gd i s p l a c e m e n ta n da x i sf o r c eo f t h ep l a t e sa 托f o u n da n dt h en o n l i n e a rr e l a t i o n s i i b e t w e e nl a m ea m p l i t u d ea n dn a t u r a lf r e q u e n c i e sa 糟y i e l d k e yw o r d s ：g e o m e t r i cn o n l i n e a r i t y , m a t e r i a ln o n l i n e a r i t y , e l e c t r o s t r i c t i v e ，p i e z o e l e c t r i c l a m i n a t e dc i r c u l b rp l a t e s ，s t r o n ge l e c t r i cf i e l d , p o w e rs e r i e ss o l u t i o n s ，k b mm e t h o d i i i w d t t e nb ys h e nj i p i n g s u p e r v i s e db yp r o f y a ol i n q u a n ? r9 5 7 0 7 f 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不含其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏 州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作 出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本 声明的法律责任： 研究生签名： 边、址塾 日期：翌：生兰竺 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论 文合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论 文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的 保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的 全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名：浏u 纽j 辇 日 期：竖6 ，垂b 导师签名：诞蛙嚣日期：兰里丛：垒：兰! 非线性压电层合轴对称固板的动力分析 引言 引言 现代工程技术已经进入信息化和智能化时代，由于压电材料是一种优良的机电耦 合智能材料，它具有卓越的机电性能、制造简单和设计灵活等优点因此，在精确位 置、高音喇叭、震动阻尼、噪音控制、继电器、唱机拾音器、声传感器和压力传感器 等领域有着广泛的应用近年来，随着航空航天、空间开发以及微机电系统( m e m s ) 等领域的发展和要求，对智能结构元件的灵敏度、测量精度和稳定性等性能的要求越 来越高这样，对压电材料作为传感器和执行器的智能结构系统的研究分析显得尤为 重要。在这些系统中，由于位移场和电场的耦合作用，使得对它们的求解变得很复杂 因此，现有的研究绝大部分只考虑了线性压电理论和线性弹性理论i l l ，且已趋成熟。 但考虑非线性影响的工作尚不成熟，尤其是同时考虑双非线性，更是处于萌芽阶段 一方面，当结构发生大变形时，必须考虑几何非线性因素的影响。这在国内外特别是 近几年已有相当一部分人作了研究t z o u 和z h o u 2 1 ( 1 9 9 5 年) 以及石艺娜等【3 1 ( 2 0 0 3 年) 对几何非线性压电圆薄板进行了动，静力方面的分析高坚新等1 4 ；( 2 0 0 0 年) 考虑几何非 线性，求解了悬臂粱结构的动态特性，并对被动控制和自感知主被动控制的控制效果 进行了分析比较田晓耕等p l ( 2 0 0 0 年) 考虑几何非线性及机电弱非线性耦合，分析了 不同条件下简支板的屈曲及后屈曲陈炎等【6 1 ( 2 0 0 3 年) 对于横观各向同性压电矩形薄 板，给出了大挠度条件下四边简支压电矩形薄板非线性自由振动的解析解。陈炎等 7 1 ( 2 0 0 3 年) 得到了简支边界条件下压电矩形薄板强迫振动的解析解，并对共振特性进 行了分析。高坚新等【8 l ( 2 0 0 3 年) 考虑几何非线性，对压电智能结构导出了增量有限元 方程，并将其运用于受均布载荷作用的简支矩形薄板，进行数值分析予以验证z h o u y i - i 等【9 】( 2 0 0 4 年) 考虑几何非线性，分析了压电梁板结构振动控制，并给出了数值分 析结果。s u n d c 等f 1 0 i ( 2 0 0 4 年) 利用有限元法给出了压电执行器对于静态非线性变形 控制的最佳控制电压。s h e nh s ) ( 2 0 0 4 年) 分析了在热环境下受机械载荷和电场联合 作用下简支压电层合矩形板的非线性弯曲，并分别给出了完全覆盖和嵌入式压电执行 器的数据结果。k a p u r i as 等1 1 2 1 ( 2 0 0 5 年) 和h u m a _ gx l 掣3 1 ( 2 0 0 5 年) 分别研究了几何非 线性压电圆薄板和简支压电层合矩形板在热、电、机械载荷联合作用下的非线性变形 非线性电层合轴对称圆扳的动力分析引言 及振动。c h c n gj q 等【1 ( 2 0 0 5 年) 对考虑几何非线性的各项异性层合板的大挠度效果进 行了理论分析。另一方面，在强电场作用下，位移或激励力具有明显的非线性性，根 据线性压电效应得到的结果会产生很大的误差，从而必须考虑非线性压电效应的影响 【1 5 1 但同时考虑几何与材料非线性压电结构对其定性和定量分析研究都有很大的困 难。目前，在国内外这方面的研究尚不多见w a n gq m 等t 1 6 1 ( 1 9 9 9 年) 对压电层合梁 在强电场作用下非线性压电效应的弯曲进行了分析，并给出了实验数据。姚林泉等 i n , i 叼( 2 0 0 4 年) 考虑电致伸缩和电致弹性非线性效应下，对压电层合梁在强电场作用下 的静态及动力进行了定量分析姚林泉等 1 9 1 ( 2 0 0 4 年) 对压电层合矩形板在非线性压 电效应下的面内位移和弯曲也进行了分析l e es 等t 2 0 1 ( 2 0 0 5 年) 通过实验方法研究了 p z t 晶片在强电场和机械压力联合作用下的材料非线性行为，并通过对双p z t 晶片 梁执行器进行验证，得到了与用有限元法相吻合的结果史丽萍等【2 j 1 ( 2 0 0 5 年) 应用四 类压电方程推导了二次压电效应的解析表达式，并基于压电石英晶体从能量的角度验 证了该公式的正确性然而，非线性方面的研究是近十年的事，远远没有满足工程的 需要。因此，对考虑非线性几何关系和非线性压电效应下压电层合结构的非线性振动 进行研究，具有重要的工程应用前景和很高的学术价值。 本文考虑非线性几何关系和非线性压电效应下，对任意层铺设的轴对称压电层合 圆板的静力学和动力学行为进行研究由于考虑了双非线性及圆板的任意层铺设，使 得描述问题的数学模型很复杂，对它的求解变得更加困难 本文第一部分，根据力学和压电学导出问题的数学模型，经一系列简化处理后可 归结为非线性偏微分方程组的控制方程第二部分，求解圆板的静态问题这一部分 考虑强电场和机械载荷的联合作用下，解答可移简支和夹支两种边界条件下的静态控 制方程。首先，利用幂级数法得到挠度、轴力及轴向位移的精确解；其次，通过对双、 单压电晶片执行器的数值计算及分折，得到电场、外载对位移和轴力的影响范围第 三部分，研究可移简支边界条件圆板的非线性自由振动首先，利用级数法对线性特 征值问题进行求解，得到自然频率和振型函数；其次，利用g a l e r k i n 法和k b m 法求 解动态控制方程，得到振幅与自然频率的非线性关系；最后，通过对双、单压电晶片 执行器进行数值计算及分析，得到挠度、自然频率、振幅随电场引起的等效弯矩的变 化曲线和振幅与自然频率之间的非线性关系 2 菲线性压电层台轴对称圆扳的动力分析 第一章方程推导 1 1 控制方程的推导 第一章方程推导 一般地，考虑半径为4 ，总厚度为日，有撑层各向同性的层合圆板，如图1 1 所 示图中，为坐标轴离上表面的距离，待定设第七层厚为嚏，处于z = 气和：= z 之间，则 i i 毛= 也，气= 咄+ 岛，k = 2 , 3 ，n + 1 ( 1 1 ) 枷 假设每层被完好地粘合在一起并略去粘合层的厚度，压电层的极化沿= 轴方向- 对于轴对称层合板，所有的位移及其导出分量独立于坐标口。设沿厚度方向作用电场 丘及机械分布载荷日( ，f ) 。在轴对称情况下，应变和位移的几何非线性关系【2 2 1 为 8 = 8 0 + z 8 l ( 1 2 ) 其中， e 协p = 鹾卜 盟+ 三f 丝1 2 a r 2 l 加j 蚱 ， 盟一生 加， 小鹾 k a 2 w 加2 却 ，知 o 这里，坼( ，f ) 和w ( ，f ) 分别是中面的轴向位移和横向位移，8 0 是薄膜应交矢量，8 是 弯曲应变矢量。 朴线件界电层合轴对称嘲扳的动力分析 第一章方程推导 圈1 1 层台圆根 对于绝大多数压电材料或铁电材料，材料非线性是电致伸缩行为引起的，而电致 弹性引起的非线性效应相对来说要小得多，可略去，故采用以下的非线性压电效应本 构方程【2 4 j o - - q s - e 臣一去b 彰 ( 1 3 ) 其中，o = q 钿 7 为应力矢量，q = ( 岛) 为平面剐度系数矩阵，e = 岛， 为平 面压电系数矢量， b = 为平面电致伸缩系数矢量，这里，f ，j = l ，2 , 6 从圆板内取出一个微小部分，如图1 2 所示根据层合板理论i 2 2 ，2 3 1 ，单位长度上 合成中面内力n = r 一 和弯矩m = 珥坞 7 为 n = i 娩，m = j a z d z ( 1 4 ) 出 图1 2 中面内力和弯矩示意图 将( 1 3 ) 式代a 0 4 ) 式并考虑( 1 2 ) 式，则层合板的广义本构关系为 n = a 8 0 + b e l 一n 9 ( 1 5 ) 4 m = b o + d 8 1 一m ( 1 6 ) 其中，a = ( 4 ) = ( 以) ，b = ( 岛) = ( 吼) 和d = ( 岛) = ( d _ ) 分别为拉伸刚度，拉伸弯 曲耦合刚度和弯曲刚度，n p 吖w 嵋 7 和m ，= 彬w 懈 7 为电场引 起的轴向内力和弯矩它们的分量为 以= 或”( 缸。一以) ( 1 7 ) 蜀= 昙窆够，( 也一蠢) ( 1 8 ) 岛= 艺甜，( 露“一乏) ( 1 9 ) 甲；窆f，砭”+丢蟛，(露，)2l(zt+i-e(t 气) ( 1 1 0 ) w = i ，矽+ 寺拶( 露) 气) ( 1 1 0 ) h i 聊；寻宝( 掣，+ 丢酣，( 群，) 2 1 ( 元。一蠢) ( 1 1 1 ) k - i ， 这里，i , j ：l ，2 ，6 或对轴向内力和弯矩f = ，0 ，r o ，上标( 豇) 表示第七层的量。对于非压 电层。相应的压电系数取为零。 对于横观各向同性材料层，有 科：= q 竖= e 【卜p 江】，鱿；研i ) 。 在横向载荷作用下。层合板的动力平衡方程为吲 孕+ - n o ：0。( 1 1 2 ) 可0 2 m e 七掣+ ，害+ s 坐ro r 妒厶害m 柳 其中，厶= 以为合成惯量 由( 1 。5 ) ，( 1 6 ) 及( 1 2 ) 式，考虑到每层均为横观各向同性材料，层合板的广义本构 关系可表示为 兰些堡曼皇堡垒丝塾整婴蔓箜垫力坌堑 苎二兰查堡堡呈 m 吼陪畦卜和窘也万o w 一胛 = 4 ：( 誓畦( 警) 2 + 4 ，等哦窘也罢一彬 彬= 且。( 警+ 虱, i o 西- 7 ，j + 垦：等一o - ，窘一日：等一聊 鸩= 马：( 誓+ 圭2 + 置争一日z 害一日t 罢一蟛 ( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) ( 1 1 7 ) 【1 i z ) 瓦j 以化刀 虬= 昙( ，) o 1 s ) 据( 1 1 4 ) 和( 1 1 5 ) ，并利用( 1 i s ) 式消去n e ，可得誓及蚱关于w 和，的表达式为 誓= ( 一譬+ 訇( 舶。咆蚴雾心a “引等心- “) + 4 。昙( 盼锵 泓2 刮 蚱；，f ( 4 l 耻锚) 害+ ( 销。“日：) 筹+ ( ”4 ：) w + k ( ，) “r 弘4 1 2 - - 砰) ( 1 2 0 ) 对( 1 2 0 ) 式两边关于，求导，并与( 1 1 9 ) 比较，可得 和，的关系式 ( 撕训r 昙b 昙( r 卦印孙or , o , 2 m ) + 华( 铲捌， t i t ( 1 1 6 ) ，( 1 1 7 ) ，( 1 1 8 ) 代入( 1 1 3 ) ，整理得 置。三r 旦o t ，否o 陆l o r u ，) 峨澍警雾) + 学冰笥k ：， 峨州州卅吾昙( ，警) 巾睾 6 菲线性压电层台轴对称圆板的动力分析第一荤方程推导 万程( 1 2 1 ) ，( 1 2 2 ) 园j 为压电层台圆欢的v o n k d r m c i n 极万栏，w 和，为待求函数其 中圳= 斟昙b 吾( r 驯) ，枷碱批 1 2 控制方程的简化 要求解非线性微分方程组( 1 2 1 ) 和( 1 2 2 ) 是非常困难的通过与单层各向同性轴对 称圆板的y o nk d r m d n 方程相比。可以发现，在单层板中岛= o ，而在这里由于 岛o 引起了方程( 1 2 2 ) 更复杂，也就是多了方程( 1 2 2 ) 中的前三项由于本文考虑的 是层合板，一般情况下系数岛不可能全为零，但通过改变坐标轴的位置可使其中某一 系数为零。为此，令尽j = o ，则由( 1 1 ) 及( 1 8 ) 式，可得 = 喜阮l ( z 打气 1 j i ( 2 和q n z s ， = iq f 趣l2 一气| l i2 q f ：l ( 1 2 3 ) i l l lt i 此时，方程( i 2 0 ) ，( 1 2 1 ) 和( 1 2 2 ) 简化为 驴，卜e ：等一4 ：蜀：丽o w + ( 4 咆) “昙( ，) 一4 ：r 弘印一4 2 2 ) ( 1 2 4 ) 射霉昙( ，剀+ ，_ d 。 1 dt 帆) + 鱼莘( 务。n z s ， d 撕蒯+ 鲁导呤 2 一号( 以刳叩喀 2 s ， 方程( 1 2 s ) ，( i 2 6 ) 便是简化后的层合板控制方程。进一步，当层合板为对称铺设 时，旦2 = 0 ，从而方程( 1 2 4 ) ，( 1 。2 5 ) 和( 1 2 6 ) 简化为 坼= ，卜“) 彤“昙( r ，) “，弘尔一4 2 2 ) ( 1 2 7 ) ，驰d rl r “d r 、2 ，) + 鱼莘滢 2 = 。 m z s ， 7 非线件压电层合轴对称四板的动力分析第一章方程推导 她) 】一等( ，期干厶窘 2 ， 在此基础上，考虑到边界条件和初始条件，便可构成求解未知函数w = 以，) 及 ，= v , ( ，r ) 的定解问题。 1 3 边界条件和初始条件 。 常见的边界条件( 见图1 3 ) 有 1 可移简支边界： 1 = 0 ，- - - 0 ，鸩= o( 1 3 0 ) 2 固定简支边界：w = 0 ；u r - - - 0 ，m - - 0 ( 1 3 1 ) 3 夹支边界： w - - - - 0 ，掣= 0 。蚱= 0 防 4 自由边界：，= 0 ，坼- - 0 ，咋- - 0 ( 砟为横向剪力) 对于圆板，在板中心有 r = 0 。i a w = 0 ，有限 劈 ( 1 3 2 ) ( 1 3 3 ) ( 1 3 4 ) 0 厂一e 三囊嘉气午一e 三磊r 气午一e 三荔卜气d 厂一e 三 气 叫 叫卜卫叫 叫 ( a ) 可移简支边界( b ) 固定简支边界( c ) 夹支边界 图1 3 常见支承边界 初始条件： w ( r ，o ) = w o ( r ) ，( r ，o ) = “( r ) 这里，w o ( r ) ，“( 厂) 为板在，处的初始位移和初始速度 8 ( d ) 自由边界 ( 1 - 3 5 ) 非线性压电层合轴对称癌扳的动力分析 第二章静态问题采解 第二章静态问题求解 2 1 静态定解问题 当考虑静态问题时，挠度和轴力等量只是位置的函数，而与时间无关此时，根 据( 1 2 5 ) 和0 2 6 ) ，静态控制方程即为， 即霉昙( r 剀+ ，霉知心) + 盈亭( 掰= 。， 聃 俐矗2 r 到d , l f k 盟d r ) ) 2 1 ! r 旦d r f ，_ k 蚴d r ) = ? 这里，下标s 表示静态情况。考虑下面两种边界条件； 1 可移简支边界o = ： w j = o m - o ，砜争- d 1 l 争_ d 1 2 等一桦= 。 ( 2 1 3 ) 2 夹支边界( ，= 口) ： 对于圆板中心点( ，= 0 ) ，则有 其中，由下式表示 w j _ 0 ，警- o ，= o 譬札以有限 甜 。 ( 2 4 ) ( 2 5 ) = ，卜置：警一4 ：岛：石a w , + ( 4 。一4 2 ) 岬“吾帆) 一4 ：_ 弘4 1 2 一钌) ( 2 6 ) 现在，先利用圆板中心点条件简化方程( 2 2 ) ，再利用无量纲化方法简化定解问题 将方程( 2 2 ) 两边同乘以，并对，积分，得 ro z l z ( ，剀一m 斟- 譬滢) 2 = 胁胁+ c 9 非线t 牛压电层合轴对称四板的动力分析 第二章静态问题求解 头甲，c 为侍足雨裂凼为征倒惯刚v 。u 她胜孺疋u ) ) a ，烈出i - a 口j 得o = 0 此 时，( 2 7 ) 式化为 ， 日，昙b 昙( r 刳 + 鲁( 纠2 一坼警= 1 ，r q r d r ， 引入下列无量纲量及参数： ) ，= ；，形= 鲁，织= y 百d e , ，- - 4 y n , , ， = 紊即矿= 南胁腑= 南r 虿砂，u - 2 萨矿2 面j ，删脯2 而j ，g u ) 砂 日毫 兰生! ! ： ( a ir 2 - a 1 2 2 ) 日2b = 孚互，e = 鲁，只= 彘( 2 9 ) y 2 粤a e + 只y 2 粤a y + 死2 = 。 一 y 2 j d 2 矿1 p , + 只仍2 一只足织= 妒y 2 板的两种边界条件( 2 3 ) ，( 2 4 ) 及中心点条件( 2 5 ) 化为 1 可移简支边界( y = 1 ) ： 形一o 一o ，q 纯+ 誓蝴鲁+ 钙= 。 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 其中，口i = 一是忍( 1 + h ) + ( 1 一段) ，= 2 ( b b 一1 ) ，钙= ( 1 一朋) 丑b 一筹， m 噜，段= 鲁 2 夹支边界o = 1 ) ： 形一o ，见一o ，q 警+ 吩蔓+ 2 等+ = 。 l o 其中，= 2 忍，；一( 1 + m ) ，- - 0 一朋) b 吖 圆板中心点( ) ，= o ) ： 死= o ，& = o ( 2 1 4 ) 对于均布载荷，方程( 2 1 1 ) 中描述载荷的函数矿( _ y ) 为常数，由( 2 9 ) 知 = 丽q a 4 = q ( 2 - m 这里，q 为无量纲化的均布载荷。 2 2 级数解 为求解边界条件( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 和( 2 1 4 ) 下无量纲控制方程( 2 1 0 ) 和( 2 1 1 ) ，将吼及最 构造成幂级数解的形式【2 5 l 纯= e 4 y ，最= e ， ( 2 1 6 ) 其中，4 ，羁为待定系数。由此得无量纲轴力：，轴向位移及挠度呒的幂级数解 形式为 虻专= 喜矿 ( 2 1 7 ) = 万 薯 一e ( 1 + 朋) + 2 愿 4 + r 一( 1 + h ) + 2 司马 + i 1 一岛) 丑吖 ( 2 1 8 ) 形( y ) = 一f 吾纪西= 一喜孚( 一y ) ( 2 ) 形式( 2 1 6 ) 的级数解自动满足) ，= o 的边界条件( 2 1 4 ) 。将矿【力展成幂级数形式 y 嘻岳y ( 2 2 0 ) 1 j ，o 非线性压电层合轴对称圆扳的动力分析 第二章静态问题求解 鼽吼= 击牮 将( 2 1 6 ) 和( 2 2 0 ) 式代入方程( 2 1 0 ) 和( 2 1 1 ) ，比较的同次幂系数，可得关于系数 4 ，置的递推关系 4 = 一丽1 萎t - 14 ( 弓钆一只) + 丽1 ，3 4 ，( 2 2 1 ) 丑= 喝4 - ，l ，。lj , 艺j 。4 4j 嗽3 4 ，( 2 2 2 ) 而系数4 ，目由y - - 1 的边界条件( 2 1 2 ) 或( 2 1 3 ) 式确定 将( 2 1 6 ) 分别代入边界条件( 2 1 2 ) ，( 2 1 3 ) ，得y = 1 时两种边界条件的表达式为 1 可移简支边界： 杰马= 0 ，妻 ( q + 嘞f ) 4 + 2 塌置 + 钙= 0 ( 2 2 3 ) 2 夹支边界： 妻4 ：0 ，妻 吼鹤+ ( + 2 f ) 蜀 + = 0 ( 2 2 4 ) 再结合递推关系( 2 2 1 ) 及( 2 2 2 ) 5 。便得一组关于4 ，蜀的非线性方程组，可用牛顿 迭代法求解。将4 ，旦应满足的超越代数方程组( 2 2 3 ) 或( 2 2 4 ) 写成下列形式： x ( 4 ，旦) = 0 。r ( 4 ，且) = o ( 2 2 5 ) 则牛顿迭代公式为 4 ”d = 4 ”+ 善，旦m 1 = 旦“+ f ” ( 2 2 6 ) 其中， 毒“= r 署一瑶 a x a ya xa y 烈a a , 姐弛 ”卅”1 ，f 町= l 聊邓“) ( 2 2 7 ) 非线性压电层合轴对称四板的动力分析 第二章静态问题求解 为了保证牛顿迭代法能收敛到精确值，应正确选取初值由于在荷载不大时，板 处在小挠度状态，可取( o ，o ) 作为初值。而当荷载较大时，应将前一荷载求得的4 ，矗值 作为下一荷载的初值，然后进行牛顿迭代求解。 2 3 数值分析 为了进一步分析压电的非线性效应，下面考虑强电场和均布载荷联合作用下，针 对双，单压电晶片执行器在可移简支和夹支两种边界条件下的情况进行数值计算和分 析计算中把p z t3 2 0 3h 1 3 ( 5 - ht y p e ) 陶瓷软块作为我们的压电材料，材料参数为： e - - 6 0 6 g p a ，= o - 2 7 ，p 3 i = 毛2 = 2 2 7 4 x i 0 吨，b 3 i = = 5 5 x 1 0 对于双压电晶 片，p z t 块陶瓷被切割成半径d = 1 0 0 o m m ，厚为_ i l = o 5 r a m 的薄片，两个具有相反的 极化方向压电片被环氧树脂粘合在一起构成双压电晶片在此情况下属于对称铺设， 因而进一步有旦z = 0 ，县= 只- - 0 对于单压电晶片，半径为口；1 0 0 o m m ，厚度 h = 0 6 9 r a m 极化了的压电片同半径为a = 1 0 0 0 r a m ，厚度h = 0 3 8 r a m 的不锈钢片 ( e = 2 1 0 g p a 。芦= 0 3 ) 用环氧树脂粘合在一起环氧树脂的厚度略去不计下面给出 两种边界条件下的计算结果 1 可移简支 采用无量纲形式，图2 1 和图2 2 分别给出了可移边界条件下双压电晶片执行器 和单压电晶片执行器中心挠度随载荷q 变化的曲线在横向荷载与电场联合作用 下。横向荷载对挠度的贡献要比电场的贡献大得多，尤其在双压电晶片执行器中横向 荷载与电场联合作用时的结果与仅有横向荷载作用时无显著差别。图2 3 2 8 分别给 出了不同荷载下挠度矿，轴力，轴向位移以随径向，口变化的曲线。由图可知 电场对挠度、轴力，轴向位移的影响相对机械荷载而言非常小。由图2 7 和图2 8 可 知，轴向位移关于机械荷载是非线性的，而对电场显示出线性变化。 2 夹支 图2 9 和图2 1 0 给出了夹支边界条件下中心挠度随横向荷载q 变化的曲线 菲线性压电层合轴对称圈板的动力分析 第二章静态问题求解 图2 1 1 2 。1 6 分别给出了不同荷载下挠度矽，轴力 r ，轴向位移珥随径向r 口变化 的曲线。材料线性即无电致伸缩效应下，电场对挠度、轴力、轴向位移几乎无影响， 尤其在双压电晶片执行器中，电场对挠度、轴力、轴向位移无影响。 幽2 1 可移简支双晶执行器中心挠度与载荷关系图2 。2 可移简支单晶执行器中心挠度与载荷关系 譬 ； g i 图2 3 可移简支双晶执行器的挠度图2 4 可移简支单晶执行器的挠度 非线性压电层合轴对称圆板的动力分析第二章静态问题求解 舍 萱 言 孑 g 署 图2 5 可移简支双晶执行器的轴力图2 6 可移简支单晶执行器的轴力 。 予 图2 7 可移简支双晶执行器的轴向位移图2 8 可移简支单晶执行器的轴向位移 q 图2 9 夹支双晶执行器中心挠度与载荷的关系图2 1 0 夹支单晶执行器中心挠度与载荷的关系 1 5 非线性压电层合轴对称圆扳的动力分析 第二章静态问题求解 产 o ； 言 g 孑 图2 11 夹支双晶执行器的挠度 图2 1 3 夹支双晶执行器的轴力 o ； 莹 萱 g 孑 图2 1 2 夹支单晶执行器的挠度 图2 1 4 夹支单晶执行器的轴力 图2 1 5 夹支双晶执行器的轴向位移 图2 1 6 夹支单晶执行器的轴向位移 1 6 非线性压电层台轴对称霸板的动力分析 第三章非线性自由振动分析 第三章非线性自由振动分析 对于压电层合圆板的自由振动分析将不考虑机械载荷，即口= 0 假设圆板的自 由振动是在非线性静态分析基础上讨论，考虑可移简支边界条件下电场对自然频率和 振幅关系的影响首先，用幂级数法解得线性特征值方程的解析解；然后，用g a l c r k i n 法和摄动法得出非线性自由振动的频率和振幅的关系。 由于圆板的动力分析与非线性变形的静态平衡位置相关，因此，可以把动力分析 分成静态和动态两部分。假设 i ，= w 寸，) 及，= r ( r ，f ) 可表示为静态分量和动态分量 之和 以r ，f ) = m ( r ，r ) + ( ，) ( 3 1 ) ，( ，f ) = 心( r ，f ) + 扎p ，f ) ( 3 2 ) 这里，下标s 表示静态情况，下标d 表示动态情况。在第二章中，已给出静态控制方 程 即霉导( ，剀+ r 船扣m ) + 生摹( 笥= 。 她+ 参吾 ( 封一rd r f ，- k 蚓d r ) = 9 其边界条件满足 r = 口： 嵋；o ，m = o ，峨；曩：等一日；争一d l ：等一聊= o ( 3 5 ) ，；0 ： 华；0 ，坼有限 ( 3 6 ) 胛 。 其中，由下式表示 = r 4 i 蜀：警一 ：蜀：警+ ( 4 ，一 昙) 咆m 弘4 1 2 “2 ) ( 3 7 ) 现在，将假设( 3 1 ) ，( 3 2 ) 代入动态控制方程( 1 2 5 ) ，( 1 2 6 ) 和边界条件( 1 3 0 ) ，( 1 3 4 ) ， 1 7 矍些堡堡皇星室苎翌苎堕堡堕垫垄坌堡： 苎三! 斐垡丝皇叟墨垫坌堑 并考虑静态控制方程( 3 3 ) ，( 3 4 ) 和边晃条件( 3 5 ) ，( 3 6 ) ，可得在静态平衡位置附近的 非线性动态控制方程 即导b 吾( ，等) + ，昙b 昙( ，2 虬) + 争 2 警等+ ( 封 - 0 s ， 相应边界为 日川峋( ，) 】+ 鲁昙 z 警等+ ( 等 2 一三r 旦a r f ，l 盟d r + 幔誓+ 以誓) _ 一厶争 ( 3 9 ) ，= 口： = 。，k = 。，屹= 旦：争一q 。等一d i ：鲁= 。 ( 3 1 0 ) ，= o ： 誓= o ，扎有限 ( 3 1 1 ) 钟 其中，由下式表示 = r 卜马：争鸣旦：等+ 码专帆) 一4 ：弘印“2 ) c ， 再次，引入下列无量纲量及参数： ，= 三说= q i ，_ j = 口i ，矾= 丢屹，瓦= 苦心， 彳= 筹硝一，q l = 其中，是自然频率，五是频率参数 ( 3 1 3 ) 此时，非线性动态方程( 3 8 ) 及( 3 9 ) g j 白 q af 删1 3 ( 咖卅岛工丢阱卦一降譬+ 三( 剀g ， 1 8 非线性压电层合轴对称圆板的动力分析 第三章非线性自由振动分析 其中，线性算子t 定义为t h = ；i 缸al 【x 舐a 。x l 出o 、( 工去门) 边界条件c s 。，。m ，化 为 说- o ，耻o q 2 2 降一譬剥+ q 2 旦( 厩) 撕- - 降+ t 胁厩- 、j = 。 ( 3 1 6 ) x = 0 ：罢竖= 0 ，丙。有限 盘 ( 3 1 7 ) 7 y 程( 3 1 4 ) - - ( 3 1 7 ) 就是无量纲化后的非线性动态方程及相应边界条件以下将先 求解线性特征值问题，再讨论非线性摄动解。 3 1 线性特征值问题的解 忽略( 3 1 4 ) ，( 3 1 5 ) 中的非线性项，对于自由振动设一w d ( 工，f ) 和丙( 而f ) 具有简谐形 式的解 一w d ( 毛f ) = r a ( x ) s i n r ，瓦( x ，r ) = s d ( x ) s i n r ( 3 1 8 ) 其中，凡( 功和蜀( 曲是线性特征函数 。 将( 3 1 8 ) 代入( 3 1 4 ) 和( 3 t s ) ，并忽略非线性项，得线性特征方程 z 丢巴扣岛) 卜旦d x 旧l xd x k x 剀= 毒警 t 瞰州+ q 警( 誓刳= 弛+ 妻丢b 冬+ 厩警 z 相应线性状态下的边界条件变为 1 9 l o 亟知 列厩 到一辑亟苏 + k 匠缸丽 一批出 一挑一出 a 一缸 一w l 引l 小。工 f d v 砚 ，、 2 一， d 0 一i v 拦a r l l 、 f 以 非线性压电层合轴对称圆板的动力分析 第三章非线性自由振动分析 川心嘁一o ，q 2 睁d 2 r d 一鲁警 + q 曙( 讣m 蜀 - 悟+ 譬刳= 。 工= 0 ： 孕：o ，蜀有限 d x i ! e 2 2 中，已求得静态情形下织及& 的幂级数解为 纪= 4 y ，墨= 置) ， ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) 由于无量纲形式的不同，在此作适当调整根据静态情况f ( 2 。9 ) 中无量纲化的前四式， 即 y = ；，呒= 音，鲁，& = 只戌 ( 3 2 4 ) 和动态情况下( 3 。1 3 ) 中无量纲化的第三式、第五式，即 冠= q i 嵋，n r , - - 瓦a 2k ( 3 2 5 ) 可得静态情形下_ d w v 及瓦的表达式为 m 警= 喜驴属= 势。 ( 3 2 6 ) 其中， a - - - - 2 嘲4 ，百- - 。蔷e 司 2 ，3 ， ( 3 2 7 ) 从静态表达式( 3 2 6 ) 可知特征函数髓o ) 和墨，( 工) 具有如下级数形式 r d ( x ) - - q x “， ( 3 2 8 ) 其中，q ，6 i 为待定系数 。 形式( 3 2 8 ) 的级数表达式自动满足工= 0 的边界条件( 3 2 2 ) 。将表达式( 3 2 8 ) 代入特 非线性压电层台轴对称踊扳的动力分析第三章非线性自由振动分析 征方程( 3 1 9 ) 和( 3 2 0 ) 可得关于系数q ，魏的递推关系为 岛= 一 4 q d ( i + 1 ) ：q + l + 壹蚂互小ii ，f = 1 ，2 3 ， ( 3 2 9 ) j - i j = 丽i 拓 。g c ，州姜婀互叫娃+ 他+ ：c ，邶芸( 2 妈画刊+ j 一包刊) ， i = 0 ，i ，2 ，( 3 3 0 ) 从以上关系式可以看出系数口f ，6 f 中只有a o ，q ，6 0 是独立的，它们由边界条件确定。将 表达式( 3 2 8 ) 代入边界条件( 3 2 1 ) 式得 q = o ，岛= o ，2 i ( q 2 2 -