（凝聚态物理专业论文）分形晶格上量子反铁磁heisenberg系统相变的研究.pdf

摘要 摘要 量子反铁磁系统的相变与i 临界性质是凝聚态物理中重要的研究领域。随着该领域 研究的进一步发展，w i l s o n 于7 0 年代发展了重正化群方法，使相变研究有了突破性 的进展。正是由于研究方法上的发展，分形上量子自旋模型的相变问题引起了人们的 研究兴趣，成为统计物理学研究中重要的前沿领域。本文利用重正化群方法，研究了 i 种分形晶格上反铁磁h e i s e n b e r g 系统的相变与临界性质。论文的主要结果如下： 1 研究了分形维数d ，= 1 6 3 的低维钻石型等级晶格上自旋1 2 的各向异性反铁磁 h e i s e n b e 唱模型的相变与临界性质，得到了系统的相图。结果发现相图中呈现重入现 象，并且临界温度在各向异性参数达到临界值，= 0 7 0 3 时趋向于零。在i s i n g 极限 下，铁磁和反铁磁系统具有相同的约化临界温度k 。丁l i 。另外，临界温度趋于零时， 模型的铁磁临界温度乏，反铁磁奈尔温度一1 l n ( 。一) 。 2 文中所采用的等级晶格都是由p 个分支和l 根棒的生成元迭代而成，其特殊性 在于l 可以是偶数或奇数。为了解决l 为偶数的问题，人们用等效变换和重正化群方 法相结合，巧妙地研究了分形晶格上经典的反铁磁p o t t s 模型的相图和临界性质。本文 将这方法扩展到量子模型，分别计算了分形维数为2 和2 5 8 的两种钻石型等级晶格 上各向异性反铁磁h e i s e n b e r g 系统的相图。结果表明，在各向同性h e i s e n b e r g 极限下 ( = o ) ，对于d ，= 2 的等级晶格，系统的临界温度趋近于零，而对于d ，= 2 5 8 的等级 晶格，系统存在有限温度的相变。另外，在i s i n g 极限下，两种晶格上的铁磁和反铁磁 系统具有相同的约化临界温度。对于d ，= 2 的等级晶格，本文还计算了临界温度趋于 零时，反铁磁系统的临界行为。结果表明，系统的奈尔温度满足瓦l h li 。一l ( d ，= 2 时求得的。= 0 ) 。 3 研究了钻石型等级晶格上量子涨落对相变的影响。对于d ，= 1 6 3 的等级晶格， 求解了由量子涨落引起的临界温度的误差磷和臻( 分别对应于铁磁和反铁磁系统) 。 对于d ，= 2 5 8 的等级晶格上的铁磁h e i s e n b e 玛系统，求解了临界温度和各向异性的误 差e k 和酽。进而求得了各自的误差分析图，发现在高温极限下，误差都趋近于零， 表明高温下模型趋于经典的i s i n g 模型。另外，对于同一个系统而言，随着各向异性 参数的减小，误差增大；并且铁磁系统的误差小于反铁磁系统。 关键词：相图，反铁磁量子自旋系统，钻石型等级晶格，重正化群方法 a b s t r a c t a b s t r a c t p h a s e 廿a n s i t i o i l sa i l dt l l e 面t i c a lb e h a v i o ro fq u a n t u ma 1 1 t i f e n 0 m a g l l e t i c ( a f ) s p i n s y s t e m s 踟ev e 拶i m p o r t a n ts t l j d yf i e l d si nc o n d e n s e dm a t t e rp h y s i c s w i t ht h ed e v e l o p m e n t o ft 1 1 i ss t u d y w i l s o nd e v e l o p e dt i l er e n o 姗a l i z a t i o ng r o u pm e m o di nt h e19 7 0 s i nr e c e n t y e a r s ，m eq u a j l t u 】【i ls p i ns y s t e m s0 n 行a c t a l si i l c r e a l s e si n t e r c s ti n “sm o d e l i nm i sm e s i s ， u s i n gt h er e i 的h n a l i z a t i o ng r o u pm e t h o d ，p h 嬲et r a n s i t i o n sa n dc r i t i c a lb e h a v i o fo fm e h e i s e n b e 唱a fm o d e lo nt h r e el 【i n d so fd i 锄o n d 哆p e1 1 i e r a r c k c a l ( d h ) l a t t i c e sa r es t u d i e d t h em a i nr e s u l t sa r ea sf o l l o w s ： 1 t h ep h a l s ed i a g 锄a n dc r i t i c a lb e h a v i o ro ft h es p i n 一1 忽a 1 1 i s o t r o p i ca fh e i s e n b e r g m o d e l ( t h e 趾i s o t r o p i cp a r a m e t e r o ，1 】) o na l ed hl a t t i c ew i t hd i m e n s i o nd ，= 1 6 3 a r es t u d i c d t l l er e s u l t si n d i c a t et 1 1 a tt b e r ee x i s tac r i t i c a lv a l u e 。= 0 7 0 3 ，a tw h i c ht h e c r i t i c a lt e m p e r a t u r eg o e st oz e r o ，a i l dar e e n 仃a i l tb e h a v i o ro nt h ec r i t i c a l l i n eb e t w e e nm e o r d e r e da 1 1 dd i s o r d e r e dp h 2 l s e s f o rt h ei s i n gl i m i t ( = 1 ) ，t h er e d u c e dc r i t i c a lt e n l p e r a t u r e i nt h ef e h o m a g n e t i c ( f ) s y s t e mi sm es 锄ea st h a ti n 也ea fs y s t e m m o r e o v e r i ti sf o u n d t h a tt h ec “t i c a lt e m p e r a t u r ef o rt 1 1 efs y s t e mb e h a v e sa s 瓦w h e n 一0 ，a 1 1 dt l l e n 6 e l t e m p e r a t u r e 巧b e h a v e sa s 巧一l m 色一) 、v h e n i sn e a r 色 2 u s i n gt h ee q u i v a l e n tt 眦s f 0 肌a t i o na n dt h er e a l - s p a c er c n o 姗a l i z a t i o n 伊o u p m e t h o d ，t h ep h a s ed i a g r 锄so ft h e 砌s o t r o p i ca fh e i s e n b e 唱s y s t e 麟o nd h l a t t i c e s 、v i t h d r = 2 锄dd r = 2 5 8 a r es t u d i e d t i l er e s u l t ss h o wt l l a t ：f o rt 1 1 ei s o t r o p i ch e i s e n b e 唱 i i m i t ( = 0 ) ，也ec r i t i c a lt e m p e r a t i l r et e n d st oz e r 0f o rt h el a t t i c ew i t hd ，= 2 ，h o 、阳v e r t h e r ee x i s t sp h a s et r a l l s i t i o no nt h e 办= 2 5 8l a t t i c e m o r e o v e r ，m er e d u c e dc r i t i c a l t e r n p e r a t u r ei nt l l efs y s t e mi st h es 锄e 嬲t h a ti nt h ea fs y s t e mf o rb o ml a n i c e s f u r t h e n n o r e ，f o rt h edr = 2s y s t e m ，w ea l s oc a l c u l a _ t ct h ec r i t i c a lb e h a v i o rw h e n 丁一o i ti sf o u r i dt h a t 巧b e h a v e sa s l l ni 。一l ( 。= o ) 3 t h ee f f e c t so fq u 锄啪n u c t 嘣i o ni nm ep h a s et r a l l s i t i o n sa r ed i s c u s s e d t h ee 玎o r s o ft h ec r i t i c a lt e m p e r a t u r ea n dt h ca n i s o t r o p yf o rfa i l da fs y s t e m sa r ec a l c u l a t e d t h e r e s u l t ss h o wm a t ：i nt h er 一 l i m i t ，a ne 圩0 r st e n dt oz e r o ；w i t hm ed e c r e 2 l s eo f 也e a n i s o t r o p yp a r a m e t e r ，t l l ee f f e c to ft h ef l u c t u a t i o nw i l lb es n e n g t h e n e d ；a tl o wt e m p e r a t u r e s m en u c t u a t i o no fm ea fs y s t e mi ss t r o n g e rt l l a i lt h a to ft h efo n e k e y w o r d s ：p h a s ed i a 伊a m ，a n t i f e r r o m a g n e t i cq u a n t u m s p i ns y s t e m ， d i a m o n d 啊p eh i e 跏i c h i c a ll a t t i c e ，r e n o r i l l a l i z a t i o ng r o u p m e t h o d i l 曲阜师范大学博士硕士学位论文原创性说明 ( 在口划“”) 本人郑重声明：此处所提交的博士口硕士囱论文分形晶格上量 子反铁磁h e is e n b e r g 系统相变的研究，是本人在导师指导下，在曲阜 师范大学攻读博士口硕士翩学位期间独立进行研究工作所取得的成果。 论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成果。对本文的研 究工作做出重要贡献的个人和集体，均己在文中已明确的方式注明。本声 明的法律结果将完全由本人承担。 作者签名：高中扬 日期：加口扩莎口 曲阜师范大学博士硕士学位论文使用授权书 ( 在口划“ ) 分形晶格上量子反铁磁h eis e n b e r g 系统相变的研究系本人在曲阜师 范大学攻读博士口硕士囱学位期间，在导师指导下完成的博士口硕士 囱学位论文。本论文的研究成果归曲阜师范大学所有，本论文的研究内容 不得以其他单位的名义发表。本人完全了解曲阜师范大学关于保存、使用 学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的复印件和电子版 本，允许论文被查阅和借阅。本人授权曲阜师范大学，可以采用影印或其 他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内容。 作者签名：i 韵啐身勿日期：少矿万石口 导师签名：孑愀 日期：乒“，o 第一章绪论 1 1 相变简介 第一章绪论 相变是自然界中广泛存在的一类突变现象。在给某种物质降温的过程中，当一种 相互作用的特征能量足以和热运动能量相比时，物质的宏观状态就可能发生突变。长 期以来，人们用“平均场”理论描述相变现象，它定性上大体是正确的，定量上却和 日益精确的测量不符，形成比较突出的矛盾。人们在总结实验事实的基础上提出了“标 度律”和“普适性 的概念，找到了相变点附近各种热力学特征量一“临界指数 之 间的关系。1 9 7 1 年k gw i l s o n 将量子场论中的重正化群方法用到相变理论中来，论 证了标度律和普适性，并发展了具体的计算技术，得到了与实验一致的结果，这是统 计物理学的重要进展【l ，2 】。近年来，随着低温实验技术的发展和量子统计理论研究的 深入，基于经典相变的研究，人们发展了量子相变理论 3 】。从量子统计物理发展的前 期，量子效应对多体临界行为的影响就引起了人们浓厚的兴趣，但量子临界现象是在 实窄间蘑正化群方法应用到统计物理以后才有了实质性的进展 4 。 作为相变研究的一种重要方法，重正化群理论不直接计算配分函数，而是研究保 持配分函数不变的变换性质，这些变换构成一个非线性的半群，叫它半群是因为没有 逆变换。从物理上看很清楚，因为这种变换只能“粗细化”，不可能“粗粒化”后再“细 粒化”。重正化变换的实质是对系统进行了一种尺度变换，通过“粗粒化以达到减少 系统自由度的目的。这一变换实际上包含两个步骤：第一步是将“放大镜”的分辨率 降低，就是把比较小的尺度上的运动状态平均掉；第二步是将放大量等重新标度，使 通过平均求得的“有效”哈密顿量又具有原来的形式【5 】。在实际问题中，要根据系统 的特点选择不同的重正化变换，常见的变换有三种：部分格点消约变换( d e c i m a t i o n ) 、 格点元块( s i t e - b l o c k ) 变换和梅格达尔卡丹诺夫键移( m i g d a l k a d 觚。行b o n d m o v i n g ) 6 】。 近年来，分形上量子自旋模型的相变问题引起了人们的研究兴趣，成为统计物理 学一个重要的前沿领域 7 ，8 】。对分形结构上经典模型相交问题的研究首先由y g e f c n 等人于8 0 年代初解决，他们在1 9 8 3 年前后发表的三篇系列文章开创性的进行了这方 面的工作【9 1 1 】。1 9 8 8 年杨展如对钻石型等级晶格上i s i n g 模型的临界性质进行了系统 的研究【1 2 】。与此同时，物理学家分别在分形上研究了i s i n g 模型，p o t t s 模型，h e i s e n b e r g 模型等的相变与临界现象，结果发现：1 分叉度有限的分形，不存在有限温度的相交， 这里的分叉度是指为了将分形上一个有界集合分离出来所需要切断的键的数目。2 分 叉度为无穷大的系统存在有限温度的相变，这样的系统在某个温度以下是有序的，超 第一章绪论 过这个温度就处于无序态。3 相变的临界指数不仅与分形维数有关，还与几何参数有 关。自1 9 8 7 年p w a n d e r s o n 指出自旋反铁磁关联和自旋液体行为可能是导致较高转 变温度和高温超导材料正常态的若干反常性质的重要原因以来，二维h e i s e n b e r g 反铁 磁系统的基态和低温性质引起了人们极大关注。本文将要研究的就是类重要的分形 一钻石型等级晶格上的量子反铁磁h e i s e n b e 唱模型的相变与临界性质。 1 2 量子反铁磁h e i s e n b e 玛系统研究的历史 1 2 1h e i s e n b e r g 模型 1 9 2 8 年，海森堡提出了一种描述磁性绝缘体的量子自旋模型，称为h e i s e n b e 唱模 型，其哈密顿量可以表示为 日= 一西。嘭舻 ( 1 1 ) _ 一 ，6 其中西表示格点z 处的自旋算符矢量，6 表示近邻格点的位置矢量。，是交换积分， 当， o 时，对应于铁磁体；当l ， 0 和j o 分别对应于铁磁体和反铁磁体，。 是自旋空间中的各向异性参数，盯。( s = f ，) 为自旋1 2 的泡利矩阵，求和遍及所有的最 近邻自旋。对于各向异性参数的一些特殊值比如。= 1 ，“= o 和，= 嘞分别对应于 i s i n g 模型，各向异性h e i s e n b e r g 模型和x y 模型。 本节用实空间重正化群方法计算了d ，= 1 6 3 的低维晶格上h e i s e n b e 唱模型的相图 和临界性质。在重正化计算过程中，因为相邻生成元之间的哈密顿量是不对易的，所 以不能把生成元从晶格中分离出来，为了达到分离的目的，在计算中忽略了相邻生成 元哈密顿量之间的不对易关系，这种近似所产生的影响将在后面的章节中讨论。 7 一 一 譬 瞄暾 第二章低维钻石型等级晶格上的量子反铁磁h e f s e n b e 唱模型 3 5 2 ( k 薯，厶s ) 图2 2 低维钻石型等级晶格的重正化变换。( a ) 表示玎= 1 级集团，是分形品格的生 成元，( b ) 表示重正化变换得到的两格点集团。 图2 2 中取等级晶格的生成元进行重正化变换，图2 2 ( a ) 给出了晶格的生成元， 各格点上的自旋分别用数字编号。经过重正化变换，消掉了内部格点自旋c r 3 ，盯。，c r 5 和仃。，生成元变成只含有仃，和仃：两个自旋的一根棒( 如图2 2 ( b ) ) ，这种重正化变换过 程可以用如下的关系式表示 其中 e x p ( h ，2 ) = 您4 5 6 ( e x p 蝎2 3 4 5 6 ) ， ( 2 。3 ) q 2 3 。5 6 = k ( 1 一) ( 仃i + 仃? 盯；+ 仃i 仃：+ 仃p ； 6 ；o ；+ 6 g ；g ；o ：o i g ：o 挂寺。潮 口筑 七a ；a i + o ；g ；、+ 恼；a ；+ a ；o ；+ o ；g ；+ a ；o ； + o i a ；+ a i a ； 是我们所考虑的生成元的哈密顿量( 图2 2 ( a ) ) ， = k l ( 1 一色) ( 群砖+ d ? 仃；) + 万j l + ( 2 5 ) 表示变换后的二格点集团的哈密顿量( 图2 2 ( b ) ) ，麟是为了保持配分函数不变引入的 附加常数【4 l 】。表达式( 2 3 ) 建立了重正化前的参数( k ，) 和重正化后的参数 ( e ，蟛) 之间的关系。 近邻自旋的量子不对易关系使问题的求解变得非常复杂，表达式( 2 3 ) 是一种近似， 只在高温极限下是渐近精确的。需要处理的( 2 。4 ) 式是一个6 4 6 4 的矩阵，角动量的z 分 量总是与哈密顿量对易，利用其基矢就可以将矩阵实现块对角化，在块对角矩阵中我 们得到的最大的块是一个2 0 2 0 的矩阵，其计算过程比较复杂。下面，我们根据参考 文献【4 1 】，将e x p 展开 er ，2r r ，3 e x p 日：2 = 1 + + 等+ 鲁+ ( 2 6 ) 8 第二章 低维钻石型等级晶格上的量子反铁磁h e i s e n b e 唱模型 考虑到泡利算符仃f ，仃；( a = 五弘z ) 之间的对易和反对易关系，上式可以化简为 e x p = 口+ 配( 仃+ 吖仃，) + c f 2 ， ( 2 7 ) 其中，d ，6 ：，c i ：是k ，蜗的函数，它们之间的函数关系可以由下面的计算过程求出 来。首先，哈密顿量( 2 5 ) 式在仃? 和仃；的共同表象中的矩阵形式为 f ，k + 弼 ooo 、1 = l 三茹篡，鼍篙三1 l ooo k + 弼 由( 2 8 ) 式可以得到 其中 e x p ( 叫：) = p w00o 1 _ 2 1 2 + p 墨 p 以一p 墨 0 x = k s + k ；， 1 2 l _ 2 p 如一e p 呓+ p 0 疋= 一k + 蜀+ 2 k ( 1 一厶) ， = 一k ，+ 蜗一2 e ( 1 一。) 为的本征值，用同样的方法可以将( 2 7 ) 式右边展开为 口7 + 彳2 oo o 口一0 22 o 2 口一 o00 0 0 0 口+ 彳2 o 0 口可 由( 2 7 ) 和( 2 9 ) 一( 2 1 3 ) 式可以得到下边的关系式 口+ c f 2 = e x p ( k + 蟛) ， 口一c i ：= 乒e x p ( k ，一2 k 4 ，+ 蟛) + e x p ( 3 k ，+ 2 b ，+ 蜗) ， 6 f ：= 丢 e x p ( k 一2 k 色+ 瑶) 一e x p ( 3 k + 2 k 色+ 瑙) 由以上三式可以得到 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 9 第二章低维钻石型等级晶格上的量子反铁磁h e i s e n b e 唱模型 唧c 4 驴龋， e 州一隅， e 冲( 耻龋 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 同样地，将e x p ( 日m 。，。) 在盯；( a = l ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ) 的共同表象中展开，并考虑到 仃? ，仃；，仃f ，仃孑，盯f 和仃；( a = ( x ，j ，z ) ) 之间的对易和反对易关系，最终展开式简化为 e x p ( q ：，。s a ) = 口+ 屯( 吖町+ 吖吖) + 勺叮j 吖 + 。差+ 脚乩，胁啊柿碌 ( 2 2 0 ) + 弋fa + 、b + r d ：叮：d ；叮：口：蠢。 ”。 o 积可) o u 卜劬i ，l 。) 1 。3 其中 么= d 州p j 仃；+ 仃扣j 弦；吖 ( 2 2 1 ) + e h j k l 如；o ：+ o ? a j 、如：a ；+ o ：a ? 、) ，矗鲥a ；a ：g ：o ；， b 2 g 删朋p ? 仃；+ 仃? 仃；弦；仃： ( 2 2 2 ) + 删( 吖盯；+ 盯江；) ( 西+ 仃：仃拟+ 盯：) ， 、 。 系数口，6 1 ，r 都是k 和的函数。对等式( 2 2 0 ) 两端求部分迹可得 巩4 5 6 ( e x p q 2 3 4 5 6 ) = 1 6 口+ 1 6 岛2 ( 叮i 仃；+ 仃，仃；) + 1 6 c 1 2 仃i 仃； ( 2 2 3 ) 联立式( 2 3 ) ，( 2 7 ) 和( 2 2 3 ) ，我们可以得到展开系数之间的关系 口，- 1 6 口， 研：= l6 6 1 2 ， c ：2 = 1 6 c 1 2 ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 将上面三式带入到( 2 1 7 ) 和( 2 1 8 ) 中，可以得到 e x p ( 4 剐。蒜， ( 2 2 7 ) e x p ( 4 k 2 器， ( 2 2 8 ) 其中，口，6 l ：和c ，2 是重正化变换前参数( k ，) 的函数，所以等式( 2 2 7 ) 和( 2 2 8 ) 是变换 前后相互作用参量( k ，) 和( k ，。) 之间的关系式，也就是重正化群方程。从变换过程 ( 图2 2 ) 我们可以看出，不管对铁磁还是反铁磁系统，变换前后系统的磁性质都不变， 1 0 第二章低维钻石型等级晶格上的量子反铁磁h e i s e n b e 唱模型 因此，不管是办= 1 6 3 的钻石型等级晶格上的铁磁还是反铁磁系统，我们通过对上面 所得到的重正化方程进行数值迭代，都可以得出系统的相图。具体的数值迭代程序将 在附录中给出。 2 3 相图 通过数值迭代求解重正化方程q 2 7 ) 和( 2 2 8 ) ，可以得到d ，= 1 6 3 的低维钻石型等 级晶格上铁磁和反铁磁系统的相图和不动点，图2 3 为( k 丁i i ，) 空间的相图。从图 中可以看出，相空间被分成有序相( o ) 和无序相( d ) 。对反铁磁系统，在各向异性参数 【o ，1 】的范围内，系统存在两个完全稳定的不动点：其中( 嘲，1 ) 对应于无序相，( o ，1 ) 对应于有序相，一个半稳定的不动点( - 0 9 4 ，1 ) ，对应于i s i n g 系统。另外，相图中存 在重入现象，在。= 0 7 0 3 时，临界温度趋向于零。在i s i n g 不动点，求得系统的临界 指数为 y = 等_ 1 7 7 9 ， ( 2 2 9 ) y = 一= 1 ，y i z z yj 1 i la 其中6 = 3 是系统的标度因子，a 暑( 粼，a ) i d 。抽 。与较高维数的钻石型晶格相比， i s i n g 系统的临界温度较低，而临界指数较大，这与之前求得的临界温度和临界指数随 维数的变化规律是一致的【1 2 ，4 2 】。 莘 皇 图2 3 低维办= 1 6 3 的钻石型等级晶格上各项异性h e i s e n b e 唱模型的相图。d 和 o 分别表示有序相和无序相，f 和a f 分别表示铁磁临界线和反铁磁临界线，圆圈 和黑方框分别表示半稳定的不动点和其中的一个完全稳定的不动点。 对于铁磁系统，在各向同性h e i s e n b e 玛模型，我们得到y = o ，这与精确解的结果 一致 1 3 】。在【o ，1 】范围内，临界线连接i s i n g 不动点和各向同性h e i s e n b e r g 不动点， 把相空间分成有序相和无序相，这条临界线表明，系统经历了从量子各向同性的 h e i s e n b e r g 模型到经典i s i n g 模型的交跨过程；所有临界线上丁0 的点都与i s i n g 模型 第二章低维钻石型等级晶格上的量子反铁磁h e i s e n b e 唱模型 属于同一个普适类。 对于反铁磁系统，计算得到的临界各向异性参数。= 0 7 0 3 ，在。附近，有明显 的重入现象，也就是说在较高温度下存在有序相但在较低温度下有序相消失。这一结 果与之前在二维钻石型格子上所得到的结果，= o 3 9 9 2 8 】和在二维正方格子上所得 到的结果，= 0 2 9 2 9 】和，= o 1 8 【3 1 不同。值得一提的是，用平均场重正化群方法所 得到的相图呈现两次重入现象【3 1 】。这种重入现象是由量子涨落( q u a 纳l mf l u c t u a t i o n ) 导致的，对于相对较小的各向异性参数，有序相被哈密顿量中x y 部分所引起的量子 涨落破坏，从而出现无序相。在有限温度，与热力学涨落相比，量子涨落不起作用。 然而，如果温度变的很小，具有各向异性的物质的量子涨落就会突然变的很大，从而 影响到系统的临界行为。这种量子涨落的大小与临界温度和各向异性参数有关系，我 们将在第四章中给出具体的讨论。 图2 4 临界温度与各向异性参数在温度趋近于零时的相图：其中( a 滚示铁磁系统 的临界温度随里线性关系，( b ) 表示反铁磁的奈尔温度在。附近与的关系。 在本章中，我们还研究了温度趋近于零时，铁磁和反铁磁系统的临界行为。结果 1 2 第二章低维钻石型等级晶格上的量子反铁磁h e i s e n b e 曙模型 发现，对于铁磁系统，温度与各向异性参数满足以下关系： 乏( 2 3 0 ) 说明在临界温度趋于零时，与各向异性参数近似成正比例关系，图2 4 ( a ) 给出了专0 时临界温度与的相图。而反铁磁系统在临界各向异性参数附近的临界温度与各向 异性参数则满足如下关系： 1 瓦南， ( 2 3 1 ) 其中，= o 7 0 3 ( 如图2 4 ( b ) 所示) 。 2 4 小结 本章利用实空间重正化群方法，研究了d ，= 1 6 3 的低维钻石型等级晶格上自旋 1 2 的各项异性量子h e i s e n b e r g 铁磁及反铁磁系统的相变与临界性质，求出了系统的 相图，不动点和临界指数。结果表明，在i s i n g 极限下，临界温度比较高维数的晶格上 的临界温度要低，而临界指数要高，这与之前得到的临界温度与维数的关系是一致的 【1 2 ，4 2 。另外，在各向同性h e i s e n b e r g 极限下，系统的临界温度趋向于零，这与严格 解的结果一致 1 3 】。此外，对于反铁磁系统，我们发现在临界各向异性参数。= o 7 0 3 附近有明显的重入现象，这与实空间重正化群方法和平均场重正化群方法在较高维数 的钻石型格子和正方格子上求得的各向异性反铁磁h e i s e n b e r g 模型的结果一致。另外， 系统在o 。 时发现有长程序，其中，是临界各向异性参数，即当各向异性参数是。时，临界温度 趋向于零。然而，以上结果不同于格林函数方法和数值模拟方法得到的结果。对任意 的各向异性参数，格林函数的结果表明对二维和三维格子上的h e i s e n b e 玛模型有 瓦= 正 4 6 ，4 7 】；数值模拟的方法则表明。= 0 。此外，人们用量子m o n t ec a r l o 模拟 方法求解了正方格子上的各向异性反铁磁h e i s e n b e r g 模型，结果证明在1 0 。2 时仍 有相变 3 4 ，3 5 】；最近的结果显示1 0 。时也有相变，这表明专o 时，临界温度趋近 于零 3 6 ，4 8 】。 在本章中，我们采用等效变换和实空间重正化群相结合的方法，研究了两种钻石 型等级晶格上的h e i s e n b e r g 模型，它们的维数分别为2 和2 5 8 。这种方法曾被用来求 解钻石型等级晶格上经典的p o t t s 反铁磁模型 4 9 】，据我们所知，用来求解量子系统则 是首次。 1 6 第三章钻石型等级晶格上的量子反铁磁h e i s e n b e 唱模型 3 2 模型和研究方法 h e i s e n b e 堵模型的有效哈密顿量可以写为 日= k l ( 卜) ( 吖+ 吖) + 1 ， ( 3 1 ) ( f ) 其中k e k 丁，是交换积分，七。是玻尔兹曼常数，丁是绝对温度， 0 对应于反 铁磁模型，“，) 表示最近邻自旋对，是各向异性参数。 所要研究的钻石型等级晶格的构造过程如图1 1 ( b ) 和( c ) 所示( 图中给出了分形的 前三级) 。这两种等级晶格的求解方法是相同的，本节中我们给出d ，= 2 的等级晶格的 求解方法。 ( e t ( k ，) r g a )( b ) i c ) 图3 1 重正化变换过程。e t 表示等效变换，将一个反铁磁的集团变为一个铁磁的 集团；r g 表示重正化变换。 图3 1 ( a ) 给出了d ，= 2 的等级晶格的一个集团，通过等效变换，消去每一个生成 元内部的自旋，得到的( b ) 为铁磁系统，表明重正化后的相互作用变为等效的铁磁作 用。因此如果能知道等效铁磁系统的临界性质便能求得原来系统的临界性质 4 9 。对 等效变换后得到的等效铁磁系统再次应用部分格点消约重正化群方法，可以得到该系 统在重正化前后相互作用参数( k ，) 和( k ”，) 之间的关系。 由3 1 ( b ) 到3 1 ( c ) 的重正化变换过程可以用下面的等式来表示 e x p ( ) = 砑e x p ( 置2 3 4 ) ， ( 3 2 ) 其中q ：，。和叫：分别对应于生成元和重正化后的两格点集团的哈密顿量。根据( 3 1 ) 式， q ：，。和q ：可以分别表示为 h 。2 3 。= k ( 1 一) ( 盯吖+ 仃? 盯多+ 吖 + 仃f ，仃；+ 仃；一+ 吖+ 仃；仃： ( 3 3 ) + 仃汐：) + d ：+ + 仃；仃；+ 盯；】， 1 7 第三章钻石型等级晶格上的量子反铁磁h e i s e n b e 唱模型 和 叫：= f 【( 1 一，) ( 吖仃；+ 仃扣；) + 仃；】+ ， ( 3 4 ) 其中( k ，) 和( k 7 ，) 分别表示重正化前后的相互作用参量，k 。是为了保持系统重正 化前后配分函数不变而引入的常数。利用与第二章相同的计算方法，通过计算( 3 2 ) 中 的部分迹就可以求出重正化变换前后参数之间的关系，也即重正化变换关系。 把e x p ( 日i ：) 进行级数展开，同时考虑到泡利算符吖，略 = x ，y ，z ) 之问的对易和 反对易关系，展开式最终化简为 e x p = 口，+ ( 盯f + 吖盯，) + c f 2 吖， ( 3 5 ) 买中口，6 ：2 ，c 厶是【尺，) 的函数，等效变抉关系式用上一荦所片j 的万法得剑为 e x p ( 4 f ) = 熊， ( 3 6 ) e x p ( 4 ，) = 龋 ( 3 7 ) 同样的，我们把e x p ( 且：，。) 在仃i ，仃；，仃；和仃；的共同表象中展开，考虑到仃? ，仃；， 和仃孑( a = ( x ，j ，z ) ) 之间的对易和反对易关系，展开式可化简为 e x p ( 骂：，t ) = 口+ 嗡( 吖町+ 叫吖) + 勺群吖】 + 。k 磊奶哝( q 。歹+ ) 吖 ( 3 8 ) ( j ) t ( i o 。对于等效的 铁磁系统，同样的可以得到重正化变换方程，方程的形式与等效关系式一致 e x p ( 4 卜撩， ( 3 1 2 ) e x p ( 4 ) 2 器， ( 3 1 3 ) 其中，6 1 2 ，c i ：是( k 7 ，) 的函数。数值迭代重正化方程( 3 1 2 ) 和( 3 1 3 ) ，可以得到等效 铁磁系统的相图，将相图上的点分别带入到等效关系式( 3 1 0 ) 和( 3 1 1 ) 中，可以依次得 到反铁磁系统的相图，结果将在下一节中讨论。 采用同样的方法，可以计算办= 2 5 8 的等级晶格上反铁磁h e i s e n b e 玛模型的相图。 然而，由于这种等级晶格的生成元的哈密顿量具有更大的矩阵形式，因此计算上就变 得相对复杂。我们发现利用现有的条件，不能得到式( 3 1 0 ) 和( 3 1 1 ) 的解析形式，因此， 计算中采用了一种近似的方法，将e x p ( ：3 4 ，) 近似的展开成如下形式 e x p ( 5 ) 1 + + 鲁+ 一+ 鲁 ( 3 1 4 ) 在这一过程中我们截取了展开式的前十二项进行计算( 结果发现截取前十二项对 计算精度的影响很小) 。通过这种方法，就可以得到等效变换方程的解析形式，再利用 以上的方法就能计算出d ，= 2 5 8 的等级晶格的相图，结果将在下节中讨论。 3 3 相图 图3 2 中给出了维数为d ，= 2 和d ，= 2 5 8 的两种分形上的h e i s e n b e r g 系统在相空 间f 尼。丁l ，i ，) 中的相图。为了对不同维数的相图进行比较，相空间中还给出了维数为 d ，= 1 6 3 的反铁磁系统的相图。相空间被临界线分成顺磁相和反铁磁相，对于d ，= 2 的 系统，得到的i s i n g 不动点为( 一1 6 4 ，1 ) ，在各向同性h e i s e n b e 玛极限下，系统的临界 温度趋近于零。对于d ，= 2 5 8 的系统存在两个不稳定的不动点，其中i s i n g 不动点为 ( 之7 7 ，1 ) ，各向同性h e i s e n b e r g 模型的不动点为( 一2 0 6 ，1 1 。 1 9 第三章钻石型等级晶格上的量子反铁磁h e i s e n b e 曙模型 图3 2 维数为2 5 8 ，2 和1 6 3 三种钻石型等级晶格上的反铁磁h e i s e n b e 唱模型的 相图。 从图中可以看出：对低维系统，相图有重入现象；对维数为d ，= 2 的系统，在各 向同性h e i s e n b e 略极限下，临界温度趋近于零；对维数为d ，= 2 5 8 的较高维数的系统， 在各向同性h e i s e n b e r g 极限下，模型存在有限温度的相变。我们认为这种现象与分形 维数的大小和下章将要讨论的量子涨落有关系。随着分形维数的增大，i s i n g 模型的临 界温度逐渐变大。在这种情况下，量子涨落和热力学涨落之间的竞争就表现的特别的 明显；另一方面，低温情况下量子涨落占优势，此时若各向异性参数变小，量子涨落 增大到足以破坏掉有序时，临界温度就会很快趋近于零温，相图出现重入现象。而当 临界温度增加时，热力学涨落逐渐显示出优势，这时候热力学涨落就起主要作用，而 且这种涨落由于温度较低而不足以破坏系统在较低的各向异性参数时的有序性，因此 维数为2 时的临界温度在各向同性h e i s e n b e 娼极限下趋近于零，而d ，= 2 5 8 时则出现 了有限温度的相变。 另外，我们还计算了一o 时d ，= 2 的晶格上系统的临界行为，得到奈尔温度和 各向异性参数的关系如下 巧去 ( 3 1 5 ) 图3 3 给出了专o 时兀与的相图。 第三章钻石型等级晶格上的量子反铁磁h e i s e n b e 唱模型 图3 3 各向异性参数一o 时，奈尔温度与的相图，可以看出奈尔温度与某种 形式的各向异性参数呈正比例关系。 3 4 小结 本章中，利用等效变换与实空间重正化群的方法研究了分形维数d ，= 2 和 d ，= 2 5 8 两种钻石型等级晶格上的各向异性反铁磁h e i s e n b e 唱模型的相图。从结果可 以看出，低维晶格上模型的相图有重入现象，矗，= 2 的晶格上模型的临界温度在各向 同性h e i s e n b e r g 极限下趋近于零，较高维数的晶格上的各向同性h e i s e n b e 唱模型有相 变。这一研究表明，低温情况下量子涨落对相变起着关键的作用，这一点将在下一章 单独讨论。 2 1 第四章低温量子涨落对相变造成的影响 第四章低温量子涨落对相变造成的影响 4 1 引言 近年来，关于低温区相变的研究使人们对量子涨落的认识更加深入。然而，关于 量子涨落的讨论由来已久，1 9 7 7 年，f r o h l i c h 和“e b 研究了各向异性h e i s e n b e r g 模型 的相变，提出在较小的各向异性参数下，哈密顿量中的x y 部分导致的量子涨落可能 会破坏系统的有序性【5 0 。他们证明，各向异性铁磁系统和自旋很大的反铁磁系统中 晕子涨落的影响并不重要。对于经典的系统，线性的链可以分段求解，也就是说整个 链的精确解可以通过求解有限大小的链得到。但是当系统存在不对易关系时，这种简 单求解的性质就会消失，正是系统内部的不对易关系引发了量子涨落。这种涨落的影 响曾被础a 1 1 0 和s u z u k i 于1 9 8 1 年检验，他们分析了精确解和近似解之间的差异 5 1 1 。 1 9 8 5 年，m 撕z 等人系统的讨论了量子涨落的影响 4 0 】：对于钻石型等级晶格，他们 采用两种方法求解，一种是由重正化群方法求出的精确解，另一种是由 m i g d a l k a d a n o 行键移方法求出的近似解，通过两种方法所得结果的比较就可以直观的 看出量子涨落的影响。1 9 9 3 年，d es o u z a 求解了一种二维等级晶格上的量子各向异性 h e i s e n b e 唱模型的相图，在反铁磁模型的相图中发现有重入现象，他认为这一现象是 由于哈密顿量中x y 部分所引起的量子涨落的影响破坏了系统的有序性引起的 2 8 】。 另外，h q d i n g 研究了高温材料的反铁磁相交，文章中指出在低温各向同性的情况 下，自旋有很强的关联【3 4 】，因为每一个方向都是等价的，所以关联自旋在空间内所 有的方向存在涨落，此时系统的磁化强度为零；如果给系统增加个非常小的各向异 性，就相当于系统有了一个特殊的方向，在这种情况下，已经具