（概率论与数理统计专业论文）排队论中衍生的马尔可夫链的各种遍历性.pdf

摘要 对于各种随机模型来说，随机稳定性的研究有着十分重要的意 义，其中乎稳分布足大家研究的焦点很多马尔可夫模型，平稳分 布的存在性及表达式的研究已经趋于完美，目前在各种遍历性( 即 趋于平稳分布的收敛速度，包括l 遍历，几何遍历( 指数遍历) ， 多项式一致遍历和强遍历) 的研究已经形成了一个新的热点人 们在关注收敛速度的同时，又有许多学者从另外一个角度研究其 稳定性，即平稳分布的尾部性质，且已得出许多很好的结果从直 观上看趋于平稳分布的收敛速度与其尾部性质似乎没有关系，但 对一些具体的模型几何遍历性与平稳分布轻尾的判别条件却很相 近，那么这两者之间是否存在着某种联系呢? 最近，邹捷中与赵 以强老师给出有限位相c x l g l l 型马尔可夫链的几何遍历性与平稳 分布关于水平轻尾等价本论文致力于各种遍历性和平稳分布尾 部性质的研究，对有限位相及无限位相矩阵分析模型，我们独立 的给出了几何遍历性和j - 遍历成立的充要条件，并得到几何遍历 性与平稳分布轻尾等价， 遍历与平稳分布足f - 阶型的等价。 我们利用嵌入链的方法和技巧，巧妙地把二维的矩阵分析模型 转化为一维过程来处理，这样就克服了由于多位相带来的不便， 使问题得以简化利用此技巧奉义给出有限位相及无限位相矩阵 分析模型几何遍历和j - 遍历的充要条件，并证明了对有限位相情 况，几何遍历与平稳分布关于水平足轻尾的等价，f 一遍历与平稳 分布关于水平的尾巴屉f - 阶型的等价。对无限位相的情况上述结 论并不成立，这是由于有限位相矩阵分析模型，位相片向的各种 遍历性自然成立，只需控制水平斤向的转移即可但对无限位相 的情况，既要控制水平方向的转移，又要控制位相片向的，由此可 见仅有平稳分布关于水平的尾部性质是不够的，需要补充上位相 的尾部性质，这使得问题的难度大大增加我们采用的嵌入链方 法巧妙地克服了这些问题，对无限位相矩阵分析模型( 其中的矩 阵a 足简单的g i i g l l 型马尔可夫链) ，我们给出几何遍历性与平 稳分布关于水平和位相均轻尾的等价，扛遍历性与平稳分布关于 水平和位相的尾巴均是j - 阶型的等价。 最后我们讨论了r 上随机游动型的马尔可夫链，定义了i i ， 给出几何遍历性等价于js o 0 ，_ 厂e s o l l s 丌( 如) 十o 。；j - 遍历性等 z e r 苎 价于，i i ：r 1 1 1 - - 1 ”( 如) 0 ，s u c ht h a t ，e $ 0j 1 2 i b r ( d z ) + o o ；a n dl - e r g o d i c i t yi se q u i v a l e n tt o ， j 嚣i 1 - 1 7 r ( 如) x e 避z r ! + o 。w h e r ewi sas t a t i o n a r yd i s t r i b u t i o n k e yw o r d sm a r k o vc h a i n s ，q u e u i n gt h e o r y , q u a s i b i r t ha n dd e a t h p r o c e s s e s ，g i m it y p eo fm a r k o vc h a i n s ，m g 1t y p eo fm a r k o vc h a i n s ， g i g 1t y p eo fm a r k o vc h a i n s ，s t a t i o n a r yd i s t r i b u t i o n ，r a n d o mw a l k ，r a x l - d o r aw a l kt y p eo fm a r k o vc h a i n s ，e r g o d i c i t y , - e r g o d i c i t y , g e o m e t r i ce r g o d i d t y , s t r o n ge r g o d i c i t y , h e a v yt a i l e d l i g h tt a i l e d 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特 l l l j t l 以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中南 大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共同工作的同志对本 研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名：盔垫日期：鱼堕年五月监日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保 留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅：学校可以公布学位论文的全部 或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文；学校可根据 国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者签名： 导师签名i 豸塑日期：盟年月监日 1 1 绪论 第一章绪论及基本概念 马尔可穴过程足研究得相当深入，而且还在莲勃发展的随机过程随着现代科学 技术的发展，很多在应用中出现的马尔可丈过程越来越受到重视，特别是实际生活中 髓处可见的随机服务系统，从中可以抽象出很多马尔可大过程，例如拟生灭过程、 g i i m l l 型马尔可犬链、m g 1 型马尔可大链、a x c 1 型马尔可丈链、随机游动 型马尔可丈链等等，均受到了众多学者的关注 绝大部分徘队摸型，其夺身并不是马尔可丈过程，人们参用定的技巧和方法把 其马尔可大化对在- 捌特殊时刻具有马尔可大性撵队模型，可以利用再生技巧和方 法( 包括嵌入马尔可丈链方法、马尔可大更新过程方法、马尔可大骨架过程方法等) 来处理鉴于马尔可丈过程的固有特性：即已知现在”，未来”与：吐主? 无关 于是人们想到足否可以把“过去的信息加到现在”，则未来只依赖于这个已添加 了“过去”的“现在? 丁，这样就可以把不具有马尔可大性质的随机过程转化为马尔 可犬过程1 9 7 5 年n e u t s 【6 9 发展矩阵几何分析技巧，使p h 分布成为有力的工具 而进入排队论，扩大状态空间把- 些不足马尔可大过程的排队过程化为马尔可丈过 程，然后用矩阵分析方法和技巧对这些马尔可丈过程进行研究，得到了这些过程甲稳 分布存在的宽要条件及其表达式为了把用n e u t s 方法不能化为马尔可大过程的 些摊队过程化为马尔可丈过程h o u 3 7 3 8 】创立了马尔可大骨架过程理论和补充变量 技巧，可以把任+ 排队过程化为马尔可大过程总之很多随机模型问题可以归结为马 尔可丈过程，由此可见有关马尔可丈过程性质的研究就尤其重要 马尔可夫过程按状态空间可以分为两类：可数状态空问马尔可太过程；二是 连续状态空间的马尔可丈过程按时间来划分，也可分为两类：离散时问过程和连续 时间过程在可数状态空间马尔可大链中，矩阵分析模型足非常重要的类，包括拟 生灭过程、g i m 1 型马尔可大链、m g 1 型马尔可丈链、g i c 1 型马尔可丈 1 博十学位论文 第一章绪论及基本概念 链，这些马尔可犬链已经成功地应用到不同的领域，特别足在通信、计算机系统工程 见c h a k r a v a r t h y a l f a 【l s ，l a t o u c h e t a y l o r 【5 1 ) 在矩阵分析模型中最经典的是 拟生灭过程，w a l l a c e 【1 0 0 在计算机系统研究中遇到了多位相问题，并引入丁“拟生 灭过程，这术语后来【7 0 ，1 7 1 ，l a t o u c h e & r a m a s w a m i 【5 0 】引入了g i m 1 型马 尔可丈链、m g 1 型马尔可大链，并对其进行丁系统的分析，利用矩阵分析的方法 和技巧给出了这两种马尔可丈链丫稳分布存在( 普通遍历) 的充要条件及其明确表达 式 g r a 。s s r n a n n 3 5 】引入了比g i m 1 型马尔可大链和m g 1 型马尔可大链更 般的具有重复块结构的马尔可丈链即g i g 1 型马尔可丈链随后g ii g l l 型马尔 可丈链引起很多学者的关注，a s m u s s e n 【9 】，g r a s s m a n n h e y m a n 【3 5 ，a s m u s s e n m c u e r 【1 2 ，z h a o ，l i a l f a1 1 0 4 】，z h a o 5 4 1 1 5 5 1 对于上述的这些马尔可丈模型， 普：通遍历性( 即下稳分布的存在性及表达式) 的研究已经趋于完美，近几年来，各种 遍历性( 即向t - 稳分布的收敛速度，包括z 一遍历，几何遍历( 指数遍历) ，多项式 致遍历和强遍历，详见 4 0 】) 的研究形成了个新的热点【4 l 】【4 2 除了研究各种遍 历性之外，人们从另角度研究其更深入的性质一甲稳分布的尾部性质其中研究 最多的足不变概率向缎尾巴的逼近，包括重尾逼近及轻尾逼近这里我们给出几个相 关概念 定义1 , i 1 称非负序列 ) 是轻尾的( 指数尾巴) ，若存在正数，有 + o o a k e e + 。 ( 1 1 1 ) = 0 定义1 1 2 称非负序列 口 ) 是重尾的，若对任意的正数e ，均有 十 a e e = + o 。( 1 1 2 ) k = o 定义1 1 3 称非负序列 ) 具有j 一阶型尾巴若 + o o a k k t 。 0 ， ，e s r ) 忙1 1 7 r ( d x ) + o o ；l - 遍历性等价于，忙- 1 ，r ( d x ) + o o ，这里w 足 z r i艇 下稳分布 本章的余下部分，我们将介绍马尔可大过程的各种遍历性定义及相关定理 1 2 基本概念 1 2 1 可数状态空间马尔可夫链 设e = t o ，1 ，2 ，3 ，) ，令x ( t ) 足个状态空间为e 的马尔可丈链，转移概率 函数为r ( t ) 当t 0 1u z i 时，x ( t ) 为离散时闻马尔可丈链，风为连续时 间马尔可夫链 定义1 2 1 称马尔可夫过程x ( t ) 是( 普通) 遍历的，若存在e 上概率测度7 r ，使得 对任意的i e 有 j 磷一j | 一0 ，f 一十。 4 第二章拟生灭过程 以指数分布为基础的经典生灭过程足分析处理随机现象的基本工具之，二十世 纪中期以来，髓着计算机通讯网络等高新技术领域的发展，提出了大量复杂随机系统 的设计与控制问题与传统的随机模型不同，这些系统表现出多层次、多位相、变动 参数、随机环境等特征，经典的生灭过程，在处理这些问题时表现出极大的局限性 w a l l a c e ( 1 9 6 9 ) 狂计算机系统研究中遇到了类似问题，并引入了“拟生灭过程”这 术语对于拟生灭过程，普通遍历性的研究已经趋于完美今章研究这类拟生灭过程 的l 一遍历、几何遍历、多项式- 致遍历和强遍历以往人们研究过程的遍历性时，均 是利用。i 句前方程”，我们发现利用。向后方程”可以得到更多的信息，这里我们利 用“i 句后方程。及矩阵分析的方法找出了过程几何遍历和2 遍历的判剐准则，并证 明其不可能是多项式致遍历和强遍历的 2 1 离散时间拟生灭过程 设 x ) ，j ( n ) ，n o ) 是个拟生灭过程。有状态空间 e = ( ，j ) ；k 0 ，1 sj 墨m ) 状态集 ( ，1 ) ，( k ，2 ) ，( k ，价) 称为水下k ，k20 如果将状态按字典顺序排列后 其转移概率矩阵可写成下列分块二对角形式： 最= a o c o b 1 a 1 段一1a 一1 q 一1 ba c t 3 ( 2 1 1 ) 博七学位论文 第二章拟生灭过程 其中所有子块均屉m 阶非负矩阵并且满足 ( a o + 岛) e = ( a + b + g ) e = ( a k - i - b k + g ) e = 1 ， 1 k l i c e 假设奉节所讨论的马尔可大链均是非周期的，这里我们分矩阵日不可约和可约 上三角两种情况进行考虑 2 1 1 矩阵日不可约的情况 我们首先考虑形如( 2 1 1 ) 拟生灭过程中c = 1 的情况，设 j 0 ，n o ) 为e 上 离散时问拟生灭过程，其中e = t ( k ，j ) ，k 0 ，1 s j s m ) ，转移概率为p = p ( i 。) o ) ) 写成分块形式为 p = g b l ob 00 0 g0 a g ( 2 1 2 ) 其中每，j 、块均足m m 阶非负矩阵 令崩，岛表示从状态( ”) 出发，在第n 步首达( 首次回到) 集合e o 的概率 甍= 瑞j 日， f ) j ( 2 ) ，日i 职) ，岛 1 4 博十学位论文 第二章拟圭灭过程 令 ，( 日，( s ) 一，龆，确s ” n = 0 只，岛( s ) = $ c m ，e o ( s ) ，( 2 ) ，岛( s ) ，( i 。) ，岛( s ) 记只，晟l ( s ) 为最( s ) ，取e o = 0 1 ，0 2 ，0 3 ，o m ) ，由 3 9 】中定理6 3 1 知，( t v ) ，e o ( 8 ) 足下片程的最小非负解 茹洳) = ：s 只f ，) d ) 卫o j + s 旦如) ，岛，0 s 1 ，1 扩sm ， o h ) 岛 再由( 2 1 2 ) 得 f o ( 8 ) 。s ( c f l ( 8 ) + 如e ) 日( s ) = 8 ( b 1 e + a f l ( s ) + c y 2 ( s ) ) 最( s ) = s ( b y k l ( s ) + a 尻( 8 ) + 0 以+ l ( s ) ) ， 兰2 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 令x ( s ，缸) ；登矿f ( 8 ) ，则有 = u t x ( s ，= 焉( 8 ) + u 2 n ( s ) + t 扩f k ( 8 ) k = 2 = t 娲( s ) + t 1 2 只( s ) + t 铲s 陋毋一1 ( s ) + a 以( s ) + g 最+ l ( s ) 1 = 钍娲0 ) + q 2 f 1 ( s ) + s 【b t 2 x ( s ，札) 一b 札2 昂( 3 ) + a u x ( s ，“) 一a u y o ( s ) 一a u 2 f l ( 8 ) + g x ( s ，t ) 一c y o ( 8 ) 一仇目( s ) 一g 让2 f 2 ( s ) j 】 移项整理得 【u i 一8 ( 珏2 b + u a + g ) 】y ( s ，t )= t 蜀( s ) + 乱2 日( s ) + “一b “2 昂( s ) 一a u 娲( s ) 一a 缸2 r ( s ) 一c f o ( s ) 一g u 毋( 8 ) 一? 乜2 f 2 ( s ) ， 把( 2 1 3 ) 和( 2 1 4 ) 代入上式得 阻，一s ( 铲b + u a + g ) 1 。x 0 ，钍) = 8 2 口1 e + u a o e ) 一s 0 2 b + u a + e ) 昂o ) ( 2 1 5 ) 1 再 博十学位论文 第二章拟生灭过程 令 聪( z ) = s ( b z = 4 - a z - 4 - g ) ，z 1 用x ( 8 ，g ) 表示砖( = ) 的最大特征值，令n 。( z ) ，( 。) 分别是q ( z ) 的与x ( s ，。) 相对 应的左右特征向量 引理2 1 1 设r ：= 兄( s ) 是满足 r = s ( 只2 b + r a 十g ) ，0 0 ) 是非负矩阵对所有n ，心( s ) i 。：1 心( 8 ) 足显然的由f 9 6 】 中定理2 2 知3 骢风( 8 ) l 一= ，存在，从而利用控制收敛定理证得r ( s ) 23 骢哦( s ) 存 在并且足个非负矩阵 由r ( s ) 足个非负矩阵，则存在非负且不为0 的左特征向量矿( s ) 足显然的 在( 2 1 6 ) 式两侧同乘以矿( 8 ) 得 ( s ) 叩，( s ) = a + ( s ) a ：( m ( s ) ) ， 由h 足不可约的易证得屯( 卵l ( s ) ) 是不可约的，又知t ? 1 ( s ) 0 且x ( s ，z ) 是a ：( z ) 的 最大特征值，从而存在正向量a 沏( s ) ) 满足 a ( m 0 ) ) x ( s ，卵，0 ) ) = 口( t 7 0 ) ) 毽( m ( s ) ) 1 6 博十学位论文 第二章拟生灭过程 由a ( 7 ( 8 ) 1 ) 足正的，扩( e ) 足非负的，利用f r g a n t m a c h e r s 0 中的注3 知叩1 ( s ) 必屉鬈国l ( 8 ) ) 的最大特征值，由 5 3 j 可知非负矩阵的最大特征值的 争陛i 目量( s ) 可以是严格正的证毕 定义向量矿= ( 2 b + a ) e ，记x ( 1 ，z ) = x ( z ) ，a ( z ) = 鬈( 。) i 。：1 引理2 1 2x ( z ) 在1 处的左导数f ( 1 - ) = n 矿 证明令n ( z ) ，v ( z ) 分别是a ( z ) 的与x ( z ) 相对应的左右特征向量，1 旬量a ( 2 ) ，p ( z ) 可以选为关于z 足连续且可微的，标准化后为 a ( ( = a ( z ) e = 1 ，a ( 1 - ) = i i ，( 1 一) = e 对a + ( 。) ”( z ) = x ( z ) p ( z ) 求导得 【x ( z ) f 一r ( z ) 1 p 7 ( = ) = 【 一( z ) 一x ，( z ) 目v 0 ) 上式两边同乘以u ( z ) 得 x ，z ) = p ( z ) a 。( = ) p ( z ) ，0 1 时，方程 z = x o ) ，0 z s l ( 2 1 7 ) 有两个单根，一个为z = 1 ，另一个为2 = ”且0 r l 0 ，则方程z = x ( z ) 变为 f ( x ) ：= 石+ l o g x ( e 一2 ) = 0 ，z 0 ( 2 1 8 ) 由于h = a + b + c 是随机阵，从而2 = l ( 即盘= 0 ) 足( 2 1 7 ) 的根当= 0 时， f ( 茁) = 0 ，又由于 掣b = 1 一d ( - l o g 如z ( e - ) x _ - - o + = 1 一x l w ( e - 。) 扩e - z ：。+ = 1 一x ( e 一。) l 。：o + = 1 一n 卢+ 0 足( 2 1 8 ) 式的根由 7 0 】中的定理1 3 1 可知当茹0 时，l o g x ( e 1 ) 足凸 函数，则f ( x ) = 。+ l o g x ( e “) 也是凸函数，因此有且仅有唯+ x o 0 足( 2 1 8 ) 式 的根，即得仉= e l o 1 ，则存在充分小的正数s 和6 ，使下列方程 z = x ( s ，z ) 在i u 一r l 内有唯一的根u = ，7 2 ( 8 ) 且这个根在1 8 1 i h c e 甘矿 1 ， 利用引理2 l 1 得啦( s ) 足以( t 7 l ( s ) ) 的最大特征值并且对应的左特征向量，可得 【r s ( r 2 b + 兄a + e ) = 【伪( s ) 一s 加1 ( s ) 2 b + 叼1 ( s ) a + g ) = 0 ( 2 1 9 ) 将( 2 1 5 ) 式两侧同乘以左向量，并令札= ”1 ( s ) 得 【q l ( s ) 一s ( 7 7 i 0 ) 2 b + ”1 ( s ) a + c ) i x ( 8 ，“) = 8 ( 啦( s ) 2 b x e + 叩1 0 ) o e ) 一s ( n l ( s ) 2 b + 叩1 0 ) a + g ) f o ( s ) ，( 2 1 1 0 ) 】8 博叶：学位论文第二| 章拟生灭过程 由( 2 i 9 ) 式可知v s 7 1 ( s ) = s v ( n 1 ( s ) 2 b + 卵1 ( 8 ) a + g ) ，则( 2 1 1 0 ) 即为 0 x 0 ，让) = s f 叼l ( s ) 2 8 1 e + ，7 1 ( s ) 4 0 e 一卵1 ( s ) 昂( s ) 又由当叫 1 时，列向撼x ( s ，牡) 的每元均足解析的，可知左侧等于零时，右侧 s v o v l ( s ) 2 b i e + 叩1 ( 8 ) 山e 一即l ( s ) 晶( 8 ) _ 0 ， 嵋，7 1 p ) 昂( s ) = 地( 玑( s ) 2 b l e + t i l ( s ) 山e ) ， 删扣塑攀舻 蚝f o ( s ) = “( m ( s ) b i e + 山e ) ， 在矧 l 山，由于f ( o o ，蜀l ( s ) ，m 1 足解析函数，所以晶( s ) 足懈析函数列， 又知严格大干零的有限向量，从而得晶( s ) ( 即( 叩( s ) b l e + a o e ) ) 屉 1 山 的解析函数 由引理2 1 4 知忱( 8 ) ，蚝在i s 一1 l d 山解析，所以( s ) b 1 e + 山e ) 在 i s 一1 i 6 内解析由根，7 1 ( s ) 和，7 2 ( 8 ) 唯性，可知 t 7 l ( s ) 一，7 2 ( s ) ，s ( 1 一正1 ) ，7 = ，7 2 ( s ) l 。1 帕，= 协k 由解析扩张定理知u , ( r l ) b 1 e + a o e ) 在f s i i 6 上解析，从而地晶( s ) 在i s 一1 1 6 上解析因此存在8 0 ( 1 ，1 + 6 ) 使得蚝最o ) ，f 。( s o ) 是有限向量，由足严格大于零 的有限向量，所以，( ) ，岛( s o ) h c e ，故由【1 9 】知，对某 陋p 鹕郅叫 1 _ i q l d ； 巍= 三一。和一，i o n i + m n + 。m 一( ，c ，- - ”1 由于现在的户矩阵每行均只有有限个元素，所以必有；d i e e 黝奶 o 。故由【1 9 证明p l 显然足f e l l e r 转移矩阵，由 4 1 】中的命题2 3 即得 对于矩阵口可约的情况，我们仅考虑b ，a 和c 足上二角的情况，因此h 也足 f u i s ( u 2 b + a 十g ) 】x ( 3 ，t ) = s ( u 2 b i e + u a o e ) 一s ( 牡2 b 十“a + g ) 昂0 ) ，( 2 1 1 1 ) 博十学位论文 第二章拟生灭过程 这里x ( s ，“) 和昂( 3 ) 的定义与以前同 令 a ：( z ) = s ( b z 2 + a z + g ) ，z 1 ，则方程m ( 2 ) = 。在( 0 ，1 ) 有唯一根讯 证明易知方程m ( 2 ) 一z = 0 有两个大于0 的根z 1 ，z 2 ( z l 0 ， 可知砘= 1 令哺一z l ，娜我们有口t ( z ) 一z = 0 在( 0 ，1 ) 上有唯根协 引理2 1 6 若磊k 0 ，则方程啦( 2 ) = z 在( 0 ，1 ) 有唯一根讯 证明方程啦( z ) 一z = 0 有两个大于0 韵根z 1 ，句( z l z 2 ) 由啦( 1 ) 一l 0 并且对任意的0 z 1 有n ：( 2 ) 一1 l ，0 z l 1 ，- h = 1 ，则存在足够小的两个 正数e 和6 ，使得对任意1stsm ，方程 z = o ) ，f 8 一l f 6 ， 在区间j u 一协i 内有唯一的根u = 仇( s ) ，并且这个根在区间i s l l 1 ，则存在 s 0 使得，( ( 巍) 0 ( 3 证明( 2 1 1 1 ) 两边同乘以l 句量黾，并令札= ，7 ( s ) ，则我们有 e t h 0 ) ，一s ( r i ( s ) 2 b + 仇扣) a + g ) x 0 ，椎( s ) ) = 8 e ( 卵l ( s ) 2 b l e + m ( 8 ) a o e ) 一s q ( 讯( s ) 2 b + 叩i ( s ) a + g ) r 0 ) ， 即 0 x ( s ，臻( s ) ) = s q 耽0 ) 2 b l e + 哺( s ) 山e ) 一( 哺( s ) 2 b + 吼( s ) a + g ) 娲( s ) 】， 从而得 s e t h ( s ) b l e + a o e ) 一p o ( 8 ) 】= 0 类似千定理2 1 2 ，我们可以证得存在s i ( 1 ，1 + 6 ) 使得 m y ( o i ) ( s ) = 8 1 ( b j l k t 7 i ( s , ) + ( 山) 娃 o 。 k = 1 命题2 1 2 若上k 0 ，对任意k ，i 七sm ，有f ( o ，t ) ( s t i ) 1 证明由【4 1 中的命题2 1 知，几何遍历链定是j - 遍历和( 普通) 遍历的，因此我们 只需证若p 是( 普通) 遍历则p 足几何遍历即可由于c 是非负矩阵，可知c k 。o ； 下面我们分两种情况考虑若g 一：0 ，由( 2 1 3 ) 可得，0 1 ( s ) ：s 萎( 山) m 0 ，由日是上二角的随机矩阵可知日。= 1 ，利用引理2 1 1 ，存在s 。 i 使 得，( o ，呐( 8 。) 礼唧 1 使得，( o t ) ( s 计1 ) 札一1 存在8 n - 1 1 使得 ，( o ， ) ( 8 。一1 ) 1 可知存在8 ：一1 1 使得 o ，。) ( 8 ：一1 ) 1 有，( ) ( 8 0 ) 1 的情况，类似于钜阵日不可约情况可得以下定理： 定理2 1 6p 1 是f 一遍历和几何遍历的充要条件是p l 是借通j 遍历，即对每一个满 足鼠= 1 和c ：i 0 的i ，1 兰i m 有( 1 一) 1 定理2 1 7p 1 不是多项式遍历，也不是强遍历的 2 3 博十学位论文 第二章拟生天过程 2 2连续时间拟生灭过程 拟生灭过程 x ( ) ，l ，( t ) ) 足个马尔可大过程，有状态空间 e = ( ，j ) ；七0 ，l s j s m ) 其无穷小生成矩阵q 可写成下列分块= 对角形式 山岛 b 1a 1a b c la c _ 1c o 一1 b ag ba c ( 2 2 1 ) 其中所有子块均足m m 阶矩阵，q ，非对角线上的元素是非负的，对角线上的元 素足严格负的，并且满足 ( 凡+ e o ) e = ( a k + b k + c k ) e = ( b + a + c ) e = 0 ， 1sk l i c e ，这里r i 是日平穗分布q 1 的平稳分布= ( 。o ，z l ，) 由下式给出 o i = x o r t ，i 兰0 ， 其中r 是冗2 b + r a + c = 0 的最小非负解 本节研究连续时间拟生灭过程的l 一遍历、几何遍历、多项式- 致遍历和强遍历 假设奉义所讨论的马尔可大链均是非周期的，这里类似于上节，我们仍分矩阵日不 可约和可约上三角两种情况进行分析 2 4 壁主兰垡堡茎笙三兰型兰至垫垦 2 2 1 矩阵日不可约的情况 令 首j 乜考虑如下的拟生灭过程 q = 山c0 - b 1a c 0 0b a g 00 。 。 ( 2 2 3 ) 令瑙) ，玩表示从状态( 伽) 出发，在时刻t 首达( 首次回到) 集合e o 的概率记 露留， 删胁 础) ，蜘 胁岛( s ) = o 。础涵e “出 只e 0 ( s ) = ，( t 1 ) ，岛( s ) ，( t 2 ) e o ( 8 ) ，( i 。) ，岛( 8 ) 用只( s ) 表示只，e 0 ( s ) ，取e o = ( 0 1 ，0 2 ，0 3 ，o m ) ，由【3 9 f l - , 定理9 3 1 知几，) ，岛( s ) 足下方程的最小非负解 z ( t 。) = 整理后即得 0 h ) e ( o , ) u e o 口( 讧) ( j h ) u 砷 s + 吼y ) + 掣，8 0 ，1 psm ， ( ，埘考妄( s + 口( t ，一) 。 一一 7 船“，) = 口( 。，) o ) z o h ) 4 -口( 如) o h ) ，占 0 ，1sp m ( 2 2 4 ) o ”聋最l( j ) 点h ( 如) 博十学位论文第二章裂生灭过程 令0 0 表示把a o 非对角线上的元素变为0 后所得到的矩阵，则( 2 2 4 ) 可等价地写 为如下块形式 8 f 0 0 ) = c f l ( s ) + ( a o q o ) e + q o 昂( s ) s 毋( s ) = b l e + a f l ( s ) + c 局( s ) s r ( s ) = b r l ( s ) + a f k + c r + l ，k 2 设x ( s ，“) ：萎小f ( s ) ，则有 k = o ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) u ( s a ) x ( s ，札) = u ( s a ) f o ( s ) + u 2 ( s a ) f i ( s ) + t ( s a ) “r ( s ) k = 2 = u ( s a ) f o ( s ) + u 2 ( s a ) f i ( s ) + t 札 b f k 一1 ( s ) + c f k + i ( 8 ) = u ( s a ) f o ( s ) + u 2 ( s a ) f i ( 8 ) + b u 2 x ( s ，u ) 一b u 2 f 0 ( s ) + g x ( s ，t ) 一c f o ( s ) 一g “f 1 ( s ) 一c u 2 f 2 ( s ) 整理得 【s u l 一( u 2 b + u a + g ) 】。y ( s ，t ) 把( 2 2 5 ) 和( 2 2 6 ) 代入上式得 = u 0 一a ) f o ( s ) + u 2 ( s a ) f i ( s ) 一b u 2 f o ( 8 ) 一c f o ( 8 ) 一g u f l 0 ) 一c u 2 尼( s ) s u i 一( u 2 b + u a + c ) x ( s ，) = t 2 b l e + u ( a o 一0 0 ) e + 札q b 晶( s ) 一( u 2 b + u a + c ) f o ( s ) ( 2 2 7 ) 令a i i 表示矩阵a 的第i 个对角线上的元素，再令c = l m ，。a ：x 。 一a “) 0 ，于是 有 今 8 u i 一( u 2 b + t 4 + g ) = c o - 1 s u i 一( t 上2 b + u a + g ) = - - e ? 1 2 c 一1 b + w 一1 ( a s ) + c - i q a ( 8 ) = c - 1 ( a s i ) + ，亩= c 一1 b ，0 ：c 一1 c 博十学位论文 第二章拟生灭过程 易证d = a ( 8 ) + 宫+ 0 足正矩阵并且d e = ( 1 一s ) e 设 a ：( z ) = h z 2 + a ( s ) z + 0 ， 名 0 令x ( s ，2 ) 表示q ( z ) 的最大特征值，令( 2 ) ，坞( z ) 分别足a * 。c z ) 的与最大特征值 x ( 8 ，2 ) 相对应的左右特征向量 令x ( o ，z ) = x ( z ) ，a ( 2 ) = 仓( g ) | 5 = o ，并定义向量矿如下 矿= ( 2 台+ a ) e 引理2 2 1 若i i b e r i c e ，则方程 z = x c z ) ，z 0 有两个单根，一个为z = 1 ，另一个为z = 町且0 n o e 由 d e = ( + 唐+ 0 ) e = c 一1 ( a + | b + c ) e + l e = e ， 可知0 e = e 一( 1 3 + a ) e 因此 唐e n 抚 0 锌n ( 2 h + a ) e = n 矿 1 结合引理2 1 3 即得结论 引理2 2 2 若r i b e i i c e ，则存在充分小的正数和6 ，6 。 i k n f 。 a 触 ，使下方 程 z = ) ( ( s ，z ) ， 6 2 7 博十学位论文 第二章拟生灭过程 在 u 一”1 i e 内有唯一的根u = 啦( 8 ) 且这个根在i 8 i 6g - j 均是单值解析函数且 满足i 叩2 ( s ) i l i c e 证明由命题2 2 1 糍_ 我们只需证充分性在( 2 2 7 ) 两边同乘以向量并取u = 卵1 ( s ) ， 则我们有 v , s u l 0 ) 一( 盱l ( s ) 2 b + ，7 l ( s ) a - 1 - g ) y ( s ，札) = h l ( s ) 2 8 1 e + 叩1 ( s ) a o e 一，7 1 ( s ) q o e + r h ( s ) q o 娲( s ) 一( ，7 1 ( s ) 2 b + 印1 ( s ) + g ) 娲( 8 ) ( 2 2 8 ) 由引理2 2 2 可知，7 1 ( 8 ) 足以( z ) 的最大特征值并且7 l ( s ) 1 于是有 v , s r 一( 月2 口- i - r a + g ) = c m l ( s ) ，一r h ( s ) 2 c 一1 b - t - 7 7 1 0 ) ( c 一1 ( a 一8 j ) + j ) + d - 1 g ) 1 = 0 把上式代入( 2 2 8 ) 得 0 x ( s ，缸) = h ( 町l ( 5 ) 2 b l e + 7 1 0 ) ( 山一( ) o ) e ) - i - 蚝m ( s ) ( s j + q 。) 昂( 8 ) 由于向量x ( s ，u ) 在区问川 0 时，如) ，目l ( 5 ) ，1si5m 屉解析的，即晶( 5 ) 是解析的由g l 理 2 2 2 可得，7 2 ( ) ，在区问 d 内是解析的因此地( q ( s ) b l e + ( 4 0 一0 o ) e ) 在区 俩1 8 l 6 内解析由根m ( 8 ) 和啦( s ) 的唯。睫，可知 t 7 l ( s ) = m ( 8 ) 8 ( 一6 ，o ) 心，= 搽： 由解析函数扩张定理可知v , , ( t l ( 8 ) b l e + ( 凡一q o ) e ) 在区问例 d 内是解析的 从而v v o ( 8 ) 在区阅h d 内是解析的因此存在s o ( 一玩0 ) 使得蚝岛( s o ) 屉 个有限向量由于向量( 这里 s i 6 ) 的每项均是严格大于0 ，于是我们有 _ ，。岛( s o ) 0 ，从而 民( ，嘞) = j ( ”如觥皿 = f o 。e - , , o t f ( 0 1 ) 岛( t ) 出 = 硒) 岛( s o ) l - i c e 证明由手q l 与q 有相同的压缩矩阵，由f 8 】中的引理2 1 和定理3 4 即的结论 定璎2 2 30 不是强遍历的，也不是多项式遍历的 博十学位论文第二章拟生灭过程 证明由命题1 2 2 可知，要证q 1 足强遍历的只需证q 。足f e l l e r 阵并且零流入的 雠篡苫三 ，严 。 只有零解y = 0 ，这里y = ( y o ，m ，y 2 ，蚝，) ，k ，k 0 是m 维向量由( 2 2 9 ) 我 即 各式相加得 y ( 8 i q 1 ) e = 0 8 0 ( k a o + m b l ) e = y 0 8 e ； ( k g b + m a l + y 2 8 2 ) e = m 8 e ( y k i c k 一1 + k a k + k + 1 b k + 1 ) e = k 8 e ，c 一1 k 1 ( k 一2 g 一2 + k 一1 a ，1 + y c b ) e = k 一1 8 e ( k 一1 c ：一1 + k a + k + 1 b ) e = k 8 e ； ( k l c + 砭a + 妖+ 1 8 ) e = y k s e ，k c ( 2 2 1 0 ) c - - 1 n n 【k + a k 一8 1 + b k ) e + y k ( c + a s l + 曰) e + y o a o e + y o c e = s e y k e = l k = c k = 0 ( 仇+ 十b k ) e = ( c + a + b ) e = ( , 4 0 + c b ) e = 0 可知 n 8 k e = k ( b + a ) e + k 件l a e = 曲 令n 一。，则我们有 o v s y k e = 0 = 0 结合已知条件0 k y e 0 ，即得y = 0 a +坛 + a + bk +岛 十 +k b + a + g k “j l 上。0 b+a+q 圪 “m i | k 蓬脚由 博十学位论文第二章拟生灭过程 2 2 2 例子 下面给出几个应用的例子： 例1p h m c 排队：顾客的到达形成- 个。p h 更新过程，到达时问问隔有m 阶尸日表示( d ，刃，设a e = 1 ，a - 1 = a t - 1 e 服务时闯服从参数为“指数分布 令l ( t ) 表示时刻t 的队长，l ，( t ) 表示到达过程在时刻t 所处的位相，则仁( t ) ，t ，( t ) ) 是个q b d 过程，有状态空问 e = o ，j ) ；i 20 ，l j sp ) 过程的无穷小生成元是 q ( 1 ) = tp a o00 恤it 一社i铲解 o 02 血f t 一2 # 1 丁o a o ! i ! i 0000 c # lt c # l t o a o