（计算数学专业论文）分数阶反应—扩散方程的数值近似.pdf

摘要 近些年来，久们渐渐发现分数除导数在许多科学领域中发挥了 越来越重要的作用，特别在工程，物理，金融，水文等领域分数阶 的微分方程证明对于模拟许多物理现象是一个很有用的数学工具 与整数阶模型相比，分数阶模壅的显著优点在于它有着坚实的实用 背景和物理解释。其中分数阶反应一扩散方程近年来在许多领域受 到越来越多的关注，但是有关空间时阈分数阶反应扩散方程的数 值方法及稳定性和收敛性的分析还十分有限特别当反应项是非线 性的时候还很难来处理 本文从三个方面来讨论分数阶反应扩散方程的数煎近似，分别 是时阉分数除反应，扩散方程的隐式有限差分格式，空间时间分数阶 反应扩散方程的显式差分近似和隐式差分近似，以及用a d o m i a n 分 解方法求解线性和非线性空闻时间分数阶反应。扩散方程我们首先 考虑时恳分数阶反应扩散方程( 时闻分数酚导数8 ( o 掰s1 是c a - p u t o 定义的) 对此方程我们用有效的差分形式来逼近时间分数阶导 数，并提出了计算有效的隐式差分近似，然后应用数学归纳法和分数 阶离散系数的特点给出了稳定性和收敛性的详细误差分析接着我 们考虑空闻时闻分数阶反应扩散方程( 时间分数阶导数馥( o & 1 ) 是c a p u t o 定义的，空间分数阶导数缪( 羔 2 ) 是r i e m m a n - l i o u v i u e 定义的) ，对此方程我们用有效的差分形式来逼近时间分数阶导数， 用移动的g r i i n w a l d 公式来逼近空闻分数阶导数，并提出了计算有效 的显式差分近似和隐式差分近似，然后应用数学归纳法帮分数阶离 散系数的特点分别给出了两种近似的稳定性和收敛性的详细误差分 析。最后我们考虑线性和非线性空间时间分数阶反应一扩散方程( 时 间分数阶导数a ( o 口1 ) 和空间分数阶导数p ( 1 侈2 ) 都是 c a p u t o 定义的) a d o m i a n 分解方法能够很好的处理非线性反应项，并 且对于方程不用离散就能提供高精度的近似解，而且增加分解序列 新的项就能使总体误差变的很小，所以通过a d o m i a n 分解方法我们 可以很有效的得到线性和非线性空间时间分数阶反应扩散方程的 近似解。在每一部分都给出了数值例子来证实所提出的数值方法的 有效性。从本文的讨论中可以看出这些数值方法也适用于求解其他 类型的分数阶微分方程 关键词：分数阶计算，数值方法，误差分析。 a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，f r a c t i o n a lc a l c u l a t i o np l a y sam o r ea n dm o r ei m p o r t a m r o l ei nv a r i o u sf i e l d so fs c i e n c e ，e s p e c i a l l yi ne n g i n e e r i n g ，p h y s i c s ，f i n a n c e ，a n d h y d r o l o g y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hf r a c t i o n a lo r d e rh a v er e c e n t l yp r o v e dt o b ev a l u a b l et o o l st om o d e l i n go fm a n yp a y s i c a lp h e n o m e n a c o m p a r e dw i t h i n t e g e r - o r d e rm o d e l s ，t h em o s ts i g n i f i c a n ta d v a n t a g eo ft h ef r a c t i o n a lo r d e r m o d e l si sb a s e do ni m p o r t a n tf u n d a m e n t a lp r a c t i c a lb a c k g r o u n da n dp h y s i c a l i n t e r p r e t a t i o n t h ef r a c t i o n a ld i f f u s i o n - r e a c t i o ne q u a t i o nh a sb e e nr e c e n t l y t r e a t e db ym a n ya u t h o r s h o w e v e r ，t h en u m e r i c a lm e t h o d sa n da n a l y s i so f t h es t a b i l i t ya n dc o n v e r g e n c ef o rt h ef r a c t i o n a lr e a c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o na r e q u i t el i m i t e d e s p e c i a l l yi t i sd i f f i c u l t t od e a lw i t ht h ec a s ei nw h i c ht h e r e a c t i o nt e r mi sn o n l i n e a r i nt h i sp a p e r ，w ed i s c u s sn u m e r i c a la p p r o x i m a t i o no ft h ef r a c t i o n a lr e a c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o ni nt h ef o l l o w i n gt h r e ea s p e c t s ：( 1 ) a ni m p h c i td i f f e r e n c e s c h e m ef o rt h et i m e - f r a c t i o n a lr e a c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n ；( 2 ) a ne x p l i c i td i f - f e r e n c es c h e m ea n da ni m p l i c i td i f f e r e n c es c h e m ef o rt h es p a c e - t i m ef r a c t i o n a l r e a c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n ；( 3 ) n u m e r i c a la p p r o x i m a t i o nf o rt h el i n e a ra n d n o n l i n e a rs p a c e - t i m ef r a c t i o n a lr e a c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n sb yu s i n ga d o m i a n d e c o m p o s i t i o nm e t h o d f i r s t l y , t h et i m e - f r a c t i o n a lo r d e rr e a c t i o n - d i f f u s i o n e q u a t i o ni sc o n s i d e r e d ，i nw h i c ht h et i m ef r a c t i o n a ld e r i v a t i v eq ( o 口1 ) i s d e 衄e da st h ec a p u t of r a c t i o n a ld e r i v a t i v e i no r d e rt os o l v et h i se q u a t i o n ，w e u s ee f f e c t i v ed i f f e r e n c es c h e m et oa p p r o x i m a t et h et i m ef r a c t i o n a ld e r i v a t i v e a n dh a v ea ne f f e c t i v ei m p l i c i td i f f e r e n c es c h e m e t h ed e t a i l e da n a l y s i so ft h e s t a b i l i t ya n dc o n v e r g e n c eo fi m p l i c i td i f f e r e n c es c h e m e sa r ed e r i v e db ya p p l y i n g m a t h e m a t i c a li n d u c t i o na n dc h a r a c t e r i s t i c so ff r a c t i o n a ld i s p e r s e dc o e f f i c i e n t s i i i s e c o n d l y , t h es p a c e - t i m ef r a c t i o n a lr e a c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o ni sc o n s i d e r e d ， i nw h i c ht h et i m ef r a c t i o n a ld e r i v a t i v eq ( 0 0 f 1 ) i sd e f i n e da st h ec a p u t o f r a c t i o n a ld e r i v a t i v ea n dt h es p a c ef r a c t i o n a ld e r i v a t i v ep ( 1 p 曼2 ) i sd e f i n e d a st h er i e m m a n - l i o u v i l l ef r a c t i o n a ld e r i v a t i v e i no r d e rt os o l v et h i se q u a t i o n ， w eu s ea ne f f e c t i v ed i f f e r e n c es c h e m et oa p p r o x i m a t et h et i m ef r a c t i o n a ld e r i v - a t i v ea n ds h i f tg r i i n w a l df o r m u l at oa p p r o x i m a t et h es p a c ef r a c t i o n a ld e r i v a 广 t i v e t h ee f f e c t i v ee x p l i c i td i f f e r e n c es c h e m ea n di m p l i c i td i f f e r e n c es c h e m ea r e g i v e n t h ed e t a i l e da n a l y s i so f t h es t a b i l i t ya n dc o n v e r g e n c eo fb o t hd i f f e r e n c e s c h e m e sa r ed e r i v e db ya p p l y i n gm a t h e m a t i c a li n d u c t i o na n dc h a r a c t e r i s t i c so f f r a c t i o n a ld i s p e r s e dc o e f f i c i e n t s f i n a l l y , t h el i n e a ra n dn o n l i n e a rs p a c e - t i m e f r a c t i o n a lr e a c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n sa r ec o n s i d e r e d ，i nw h i c ht h et i m ef r a c - t i o n a ld e r i v a t i v e 仅( o 口1 ) a n dt h es p a c ef r a c t i o n a ld e r i v a t i v ep ( 1 声2 ) a r ed e f i n e da st h ec a p u t of r a c t i o n a ld e r i v a t i v e s t h ea d o m i a nd e c o m p o s i t i o n m e t h o dc a np e r f e c t l yd e a lw i t hn o n l i n e a rr e a c t i o nt e r m ，a n dp r o v i d eh i g h l y a c c u r a t en u m e r i c a ls o l u t i o n sw i t h o u td i s c r e t i z a t i o nf o rt h ep r o b l e m t h eo v e r - a l le r r o r sc a nb er e d u c e dt oam u c hs m a l l e re x t e n tb ya d d i n gn e wt e r m so ft h e d e c o m p o s i t i o ns e r i e s w ec a no b t a i na p p r o x i m a t es o l u t i o n so ft h el i n e a ra n d n o n l i n e a rs p a c e - t i m ef r a c t i o n a lr e a c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n sb yu s i n ga d o m i a n d e c o m p o s i t i o nm e t h o d n u m e r i c a le x a m p l e sa r ep r e s e n t e di ne a c hc h a p t e r ， w h i c hv e r i f yt h ee f f i c i e n c yo ft h ea b o v en u m e r i c a lm e t h o d s t h et e c h n i q u e s c a na l s ob ea p p l i e dt od e a lw i t ho t h e rt y p e so ff r a c t i o n a lo r d e rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s 。 k e y w o r d s ：f r a c t i o n a lc a l c u l u s ，n u m e r i c a lm e t h o d s ，e r r o ra n a l y s i s i v 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研 究成果本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究 成果，均在文中以明确方式标明。本人依法享有和承担由 此论文而产生的责任 声明人( 签名) ： 于弓敏 移哆年f 月f f i 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规 定。厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送 交论文的纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目 的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅，有权将 学位论文的内容编入有关数据库进行检索，有权将学位论 文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用 本规定。 本学位论文属于 1 保密( ) ，在年解密后适用本授权书 2 。不保密( ) ( 请在以上相应括号内打” ) 作者签名：于；铁日期：1 。噼 月7 日 导师签名：亩1 发日王日期：p ，7 年6 月，o 日 分数阶反应一扩数穷程的数值近儆 序言 l 近几十年来，人们渐渐发现分数阶导数在许多科学领域中发挥了越来越 重要的俸耀，特别在王程，物理，金融，水文等领域【l ，2 ，3 ，嗣。近年来已经证 明了分数阶的微分方程对于模拟许多物理现象是一个很有用的数学工具与 整数阶模型相比，分数阶模型的显著优点在于它有着坚实的实用背景和物理 解释【2 , 5 ，嘲 反应扩散方程通常用来模拟生物种群的增长和蔓延当传输是扩散的 时候【7 】或者连续时间随机游走模型是带有短暂记忆和初始过程i s 】的时候， 我们就能够扶一个连续时间随机游走模型推导出一个分数酚反应一扩散方程 ( f r d e ) 分数阶反应扩散方程近年来在许多领域受到越来越多的关注，侧 如生物系统【9 】，化学和生物化学应用【1 0 】 经典的反应扩散方程对于模拟入侵种群的蔓延是非常有效的【l l 】在 这个模型审，位予警点处和时间妻时刻的种群密度程譬，t ) 是下面反应一扩散 方程的解 t o u ( x , t ) = d 掣4 - 伽( 删。 方程右边第一项是扩散顼，模拟种群移动；第二项是反应项，模拟种群增长 反应项的一个典型选择就是k o l m o g o r o v - f i s h e r 方程f ( u ( x ，t ) ) = r u ( x ，亡) ( 1 一 鞑( 露，t ) l k ) ，其中r 是种群的基本增长率，k 是承载量，表示最大可支持的 种群密度因为边缘带有幂定律的典型入侵种群的种群密度比t 扩散的更快 【1 2 】，所以在实际应用中经典的反应一扩散方程模型最大的不足是不合实际的 缓慢扩散b a e u m e r 等人【9 】提出一个改进的分数阶反应- 扩散方程： 掣= d 掣删锃( 笫) 其中0 p 2 当p 一2 时方程就变为经典的方程 分数阶反应一扩散方程的数德近似 2 因为在一个随机等待时间后就会出现一个随机粒子跳跃，所以连续时间 随机游走模型就能用来推导反常扩散非常大的粒子跳跃就可以和空间分数 阶导数联系起来f l 羽，同样非常长的等待时闻就能推出时阚分数阶导数【1 4 】。 在连续时间随机游走模型中，粒子跳跃的大小依赖于跳跃之间等待的时间 对于这牲模型，被限制的粒子分布是被包含空间，时间分数阶导数算子的分 数阶微分方程所控制的f 1 5 】 已经有很多入提出了解空阌或时阚或是空阆一时闻分数阶偏微分方程的 不同的数值方法l i u 等人【1 6 ，1 7 】用行方法把分数阶偏微分方程转化为常微 分方程，然后用向后差分公式来解决方程r o o p 1 8 1 研究了分数阶对流扩散 方程变量解的数值近似m e e r s c h a e r t 等人【l 明对于分数阶对流一扩散流方 程提出了有限差分近似z h u a n g 和l i u 【2 0 用有限差分近似研究二维时间分 数阶扩散方程s h e n 等人【2 1 1 对于空间分数阶扩散方程提出了一个显式有 限差分近似，并且给豳了误差估计。l i u 等人【2 2 焉隧机游走和有限差分方 法来讨论l 6 v y - f e l l e r 对流一扩散过程的近似z h a n g 等人【2 3 】用数值逼近来 讨论i a v y - f e l l e r 对流扩散过程和它的概率解释l i u 等人【2 4 】对于时间分 数阶扩散方程推导出个离散的非一马尔可夫随机游走近似的分析。z h u a n g 纛l i u 2 5 提出了时闻分数酚扩散方程的一种隐式格式，利耀分数阶离散系数 的特点，给出了收敛性及稳定性分析l i u 等人【2 6 】用差分方法研究空间一 时间分数阶对流一扩散方程，并给出了稳定性和收敛性分析l i n 和l i u 【2 7 】 对于分数阶常微分方程f o d e ) 提出了高阶( 2 - 6 阶) 近似，并豆分析了这些 分数阶高阶方法的相容性，稳定性和收敛性j 毹a x i 和d a f t a r d a r - g e j j i 2 8 用 a d o m i a n 分解方法求解线性非线性分数阶扩散和波方程 近些年来有许多人研究了时阕或空闻分数阶反应一扩散方程。h e n r y 窥 w e a r n e 8 从带有短暂记忆和初始过程的连续时间随机游走模型里推导出分数 阶反应一扩散方程y u s t e 和l i n d e n b e r g 【2 9 】考虑了在一维情形下粒子次扩 散运动的c o a g u l a t i o n 动力学a + a a 和a n n i h i l a t i o n 动力学a + a 一 分数阶反应扩散方程的数值近似 0 g a f i y c h u k 和d a t s k o 3 0 提出了空间时间分数阶反应一扩散方程的模型： e o d ? u = 1 2 d u g ( 链，移，a ) ， o 礴秽= 毛2 霹移一q ( u ，秽，a ) ， 3 其中z ，己分别是心和u 变量的特征长度，a 是确定的参数但是在文中进 行理论部分的讨论时，g a t i y c h u k 耨d a t s k o 哭是分别讨论了时i 萄分数阶反应 扩散方程和空间分数阶反应一扩散方程的p a t t e r nf o r m a t i o n 关予空间一时问分数阶反应一扩散方程( s t f r d e ) 还很少有人讨论，有 关( s t f r d e ) 的数值方法及稳定性和收敛性的分析还十分有限，特别当反应 项是非线性的时候还缀难有合适缒方法来处理 本文分别考虑了时间分数阶反应扩散方程，空间时间分数阶反应一扩 散方程以及线性和非线性空间时间分数阶反应一扩散方程为了便于读者阅 读，本文先给出了有关酶预备知识列出了常见的几种分数阶导数和分数阶 积分及它们之间的相互关系这些预备知识都是阅读本文必不可少的接着 第二章，考虑时间分数阶反应扩散方程( 时间分数阶导数穰( o 口1 ) 是 c a p u t o 定义的) 对此方程我们用有效的差分形式来逼近时闻分数阶导数并提 出了计算有效的隐式差分近似，然后应用数学! 籽纳法和分数酚离散系数的特 点给出了稳定性和收敛性的详细误差分析数值例子也证实了我们的数值方 法的有效性第三章，考虑空间时间分数阶反应一扩散方程( 时间分数阶导数 理( o 晓1 ) 是c a p u t o 定义的，空闻分数阶导数p ( 1 多2 ) 是r i e m a n n - l i o u v i l l e 定义的) ，对此方程我们用有效的差分形式来逼近时间分数阶导数， 用移动的g r i i n w a l d 公式来逼近空闯分数阶导数，并提出了计算有效的显式差 分近似和隐式差分近似，然后应用数学舞纳法襁分数阶离散系数的特点分另l 给出了两种近似的稳定性和收敛性的详细误差分析，通过数值例子证实了我 们的数值方法的有效性第四章，考虑线性和非线性空间时间分数阶反应一扩 散方程( 时间分数阶导数& o 搜s 薹) 寝空间分数酚导数f l ( 1 零2 ) 都是 c a p u t o 定义的) a d o m i a n 分解方法能够很好的处理菲线性反应项，并且对于 方程不用离散就能提供高精度的近似解，而且增加分解序列新的项就能使总 分数阶反应一扩散方程的数值近似4 体误差变的很小，所以通过a d o m i a n 分解方法我们可以很有效的得到线性和 非线性空间时间分数阶反应- 扩散方程的近似解最后，也给出了数值例子来 说明方法的有效性从本文的讨论中可以看出本文中所提出的数值方法也适 用于求解其他类型的分数阶微分方程 分数阶反应扩散方程瓣数蓬近徵 第一章预备知识 5 定义1 1t r i e m a n n - l i o u v i l l e 定义的分数酚导数) 【1 l ； 瑚；= 善黔bz 茄卜一班眠 l 舞) ， p = m gm 定义1 2 。( c a p u t o 定义的分数阶导数) 【1 】t 斛m ) = | 南z 鹃胚一一( 1 2 ) l 煎k 多= 蕊越 定义1 3 g r i i n w a l d - l e t n i k o v 态义的分数阶导数) f l lt 假定导数 ，知( t ) ，( 七= 1 ，2 ，) 在区间f 0 ，亡】上是连续的，且0 一1 p 犯， 。西p ， ，：妊怒r 一声墨。一l ，jr _ 1 f ( t - - j j = o r ，e 1 3 ， t 萨m ) = 溉r 一声( 一1 ) 叫l r )( 1 3 ) 1i 鞍 砌，= 薹群岛+ 南8 尚4 ， 以主三个分数酚导数闻有如下酶关系； 分数阶反应一扩散方程的数值近似 6 性质1 1 ：具有相同的非整数阶的c a p u t o 分数阶导数和r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶导数有如下的关系式【1 】： 卜一言九剀 t d 譬，( 亡) = ，m 一1 p 仇( 1 5 ) l m ) 一m 高- - 1 币f k ( o + 而) t k _ 卢 特别地，当m = 1 有 it 胪【，( t ) 一，( o + ) 】 t d 譬，( 亡) = ，0 p 1 ( 1 6 ) 【。d a f ( t ) 一锈并 性质1 2 。如果函数，( 亡) 在区间【a ，列上在区间( 他一1 ) 次连续可微，且 ，( n ) ( 亡) 在【a ，卅上可积，那么对于任意一个p ( o o ， ( 1 7 ) j o f ( t ) = ，( 亡) ， r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶积分算子户和c a p u t o 分数阶导数d 拿有下 面的性质【1 】： 性质1 3 。如果，l i o ，6 】，q ，p 0 和7 一1 ，则 分数阶反应一扩散方程的数值遗似 7 1 户j p f ( t ) = 户+ 芦，( t ) ， 2 3 。：孑! 装嚣 8 ， 一端”， 、 4 职= 尚 性质l 。4t 如果歹l l 【o ，6 】和m 一1 分数阶反应一扩散方程的数德近议 第二章时间分数阶反应- 扩散方程的隐式差分近似 8 时间分数阶反应扩散方程是由标准反应扩散方程演变丽来的，只需 把标准反应一扩散方程中的一阶时间导数替换为分数阶a ( n ( 0 ，1 ) ) 即可 本章考虑下列时间分数阶反应一扩散方程t 掣端b202u(x,t)一c2乜(z，壬)，o冬z毛o亡正o况ax 2 。”r r ”一“一一。一。一一 和初边值条件。 ( 2 1 ) u ( z ，0 ) 一夕( 髫) ，0 嚣l ， 2 2 ) u ( o ，亡) 一u ( l ，t ) = 0 ，0 t t ，( 2 3 ) 这里0 8 o , c 2 0 ，方程中( 2 1 ) 的警是c a p u t o 意义下的分 数阶导数 2 1时间分数阶反应一扩散方程的隐式差分近似 现在对空闻和时间分别进行鲔下酶离散；定义t k = k t ( k = 0 ，王，2 ，弦) ， 翰= 叠汔( i = 0 ，1 ，2 ，m ) ，h 0 ，这里7 = 詈和h = 鬲l 分别是空间和时间步 长设札( 兢，如) ，( i 一1 ，2 ，m 一1 ；k = 0 ，1 ，2 ，n ) 是方程( 2 1 ) 在网格 慨，瓿) 点处的精确解 在时间分数阶扩散一反应方程( 2 1 ) 中为了逼近二阶空间导数，我们在 点t = t k + 1 层上采用对称二阶中心差商时间分数阶导数可以用下面序列来 近似； 七 掣南 l 吼o 一 r ( 1 一a ) f ：一 j = o 七 l r ( 1 - a ) = 丽1 2 丽 一l a 2 丽 一a + 币 钍( 戤，屯+ 1 ) 一u ( x i ，t j ) 丁 u ( 现，t j + 1 ) 一u ( x i ，t j ) f o + 1 ) f 必 j r ( t k + l 一) 口 厂七卅+ 1 ) f 却 j c k j ) 下 7 7 q u ( x i ，t k + 1 一j ) 一u ( z l ，亡七一歹) u ( x l ，t k + 1 一j ) 一札( z i ，亡七一歹) j = o 【u ( x i ，t k + 1 ) 一仳( 鼢，t k ) 】 七 阻( 戤，t 知+ l j ) 一u ( x ，t k - j ) ( j + 1 ) 1 一a - j 卜a 】 设u ? 是“( 甄，t k ) 的数值逼近，则我们得到一种隐式差分近似。 钍p 1 一u ? +( 让：+ 1 一j u ：一j ) 0 + 1 ) 卜a j 1 一a 】 ( 2 4 ) = # b 2 f ( 2 一c n ， 。u 。k 1 - t 1 2 t 正：+ 1 + t 正d t k 一+ 1 l 】一c 2 丁q r ( 2 一a ) t 正；+ 1 ， 其中i = 1 ，2 ，m 一1 ，k = 0 ，1 ，2 ，n 和p = 磊设r = p b 2 r ( 2 一q ) ，s = c 2 产r ( 2 一q ) 和= o + 1 ) 1 一一j 1 一，我们就能得到下面方程： 七 一，- u 料+ ( 1 + 2 r + s ) u ? + 1 7 u 褂= u ：一屿( u ，一u i k 。) ， ( 2 5 ) 3 = 4 因此，隐式差分近似可以写成下面形式s 当k = 0 时： 一r “0 l + ( 1 + 2 r 十s ) 缸i r 让l 1 = u o i ， 当k 0 时： 一r u 。k r + 1 + ( 1 + 2 r4 - s ) u ? + 1 一r u 斟= ( 蛐一w 1 ) u ? + w k u ? ( i =1 ，2 ，m 一1 ；k = 1 ，2 ，n ) 七一l + ( 屿一屿+ - ) 仳 j = l ( 2 6 ) ( 2 7 ) 1 一 却一矿 l r， 咖 d + _ r 叶 譬譬 触 触 分数阶反应一扩敖方程的数值近似 隐式差分近似也可以写为矩阵形式： 1 0 l 加k 般 a u 1 = ( 一w 1 ) u 老+ ( 屿一屿+ 1 ) u 知- j + u 知u o ，k21 ， ( 2 8 ) i j 引 lu o = f ， 其中u 蠢= l ，锃，磙一，】t ，k 瓣l ，2 ，珏，f = 【，( z t ) ，( 髫2 ) ，f ( x m 一1 ) 1 7 a = a i ，爿是系数矩阵，当i 一1 ，2 ，m 一1 和j = 1 ，2 ，m 一1 时， 这些系数定义为； l 0 ，当歹芝i + 2 ， a i d = 1 + 2 r + s ，当j f 蕊主， ( 2 9 ) l 一奠 其他。 从m e e r s c h a e r t 1 9 ，我们有l 引理2 1 系数w k ( k = 0 ，1 ，2 ，) 满足： ( 1 ) w k o 蠡+ l ，k 一0 ，1 ，2 ，； ( 2 ) w o = 1 ，w 0 ，k = 0 ，1 ，2 ， 注释1 在( 2 8 ) 式中我们看到矩阵a 的对角线元素是正的且斜对角线元 素是非正的，所以矩阵a 是严格对角占优的因此方程( 2 8 ) 就可以求解。 注释2 矩阵a 是个陲矩阵如果牡0 i ，i 嚣0 ，1 ，2 ，m 是菲负的，则 解让，1 保留非负性 2 。2稳定性分析 我们假设谤，i 一0 ，1 ，2 ，m ；k = 0 ，1 ，2 ，n 是( 2 5 ) 的近似解，误差 ：= 磷一吣k ，i = 0 ，1 ，2 ，弼k 一0 ，1 ，2 ，豫满足 分数阶反应一扩教方程的数值近似 一r ，1 + l ( 1 + 2 r + s ) 8 ；一r s l l r 搿+ 1 专2 r + s ) s ：+ 1 一尹g 搿 鸢， ( 鳓一翻1 ) ? + 0 3 。0 。 1 1 ( 2 1 0 ) k - 1 ( 一嗡l 磁。，( 2 ，1 1 ) j - - 1 其中i 鬻1 ，2 ，m 一1 ；k = 1 ，2 ，n 1 以上公式也可写成矩阵形式； 三i：i兰：咖一ut，e膏+暑k-1c一+t，e奄。+帆e。，七l，e21 其中e 彪= k ，e ，8 袅一1 】。因此我们可以得到下面的定理； 定理2 1 ：l i e 奄| | l i e o l l o o ，k 之l ，2 ，绍，而且由( 2 5 ) 定义的隐式差 分近似是无条件稳定的 证明t 我们应用数学归纳法来分析稳定性 当k = 1 时，设l l e l l | = ，恶郧，i l e l l ( 1 z m 一1 ) ，我们有。 9 e 1 | l o 。= l g l 篓 - r i c h l | + ( 1 2 r + s ) k | 一r l 1 l l r + l + ( 1 十2 r + s ) 8 一7 g _ l l 旧i | | e o 。 现在假设l i e j l l 。竖| t e o | | ，j = 1 ，2 ，k 一1 设l i e 盘| | 2l m ； a m x l | g | = l e v i ( 1 zs 激一1 ) ，则我嬲同样有： 分数黔反应一扩散莠程瓣数薅透钕 e 岛| | = | 蓬- r l s t + l | + 1 + 嚣+ $ ) 沁 | 一r | 啦l 整i 一嚏薹+ ( 1 争2 r s 毋一尹枣l | 篓( 蛐一u 。) g 一t l + 熏兰( 衅一+ ，) l ；l 。l 十魄一，l l j = 1 k - 2 蓬一w 1 ) l i e k - i | | 簿专鲰一蛙待1 ) | | 嚣奄一l o | | j = l + 蛾一i l t e 。| | i i e 0 f ( 一w 1 ) + ( 哟一咄+ 1 ) + 一1 1 j = l 徽| | 拶| | 所以幽( 2 5 ) 定义的隐忒差分近似是无条件稳定的 2 。3 收敛性分析 设u ( x i ，兹) 是时阊分数阶扩散一反应方程( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 猩网格点( 搿t ，t k ) 处精确解定义噬k 燃髓( 魏，故) 锚 ，薏= l ，2 ，嚣馨一l ；奄黜l ，2 ，髂秘 e k = 8 ，罐，磊一1 ) 喾。应焉e o 一侥我嚣煮 一r 8 基l + ( 1 + 2 r + 嚣) 砖一r e l l _ l = 奄一l r e k 。+ 。1 + 王黔+ 葶) 羔一r 艘= ( o d 0 - - o d l ) e ；她 霹聪， 其孛毒拦1 ，2 ，m 一熏；老一羔，2 ，- 一，秣一1 。 j = l ( 2 薰3 ) 一嗡1 ) 毒 2 1 4 ) 嚣p 1 = u ( x i ，t k + 1 ) - = ( x l ，故) + 善1 屿弛( 鼢，热+ l 。) 一( 翰，考蠢一歹) 】 一l 嚣( 茹“l ，t k + 1 ) 一( 2 r 十$ ) 髓( 翟，t k + 1 ) 十r u ( x i 一1 ，t k + 1 ) 】 = 名臻岣囊魏，孝蠡手薹) - u ( x t ，毒象麓 一鞋( 藏+ l ，t k + 1 ) 一( 2 r + 8 强甄，t k + 1 ) + r u ( x i 一1 ，蔷蚰1 ) 】， 坌墼险星堕：芏墼立墨丝塑笪逗型 一 1 3 应用t a y l o r 定理和积分中值定理，我们有 和 r ( 2 一c t ) t n t 1 一o r ( 2 一a ) 伊乱( z t ，t k + 1 ) 凫 屿心( t k + l j ) 一u ( x i ，“圳 j = o j = o【堂掣 r ( i q ) 1 r ( 1 一q ) t 1 一a r ( e q ) + c ( 7 - ) 】，( 2 1 5 ) + l 0 u ( x i ，7 ) 打 升 ( t k + 1 一丁) 口 + 1 ) ro u ( x ，亡七+ 1 一r ) 堂絮型 d r r a ( 2 1 6 ) 其中白d 7 ，o + 1 ) 7 - 】注意到丝鱼拶一丝照掣= c ( 7 - ) 和( 七十1 ) 1 - = 亡七+ 1 为常数，则由( 2 1 5 ) 和( 2 1 6 ) 我们就有； 俨u ( 观，亡七十1 ) 砒a = 2 t 1 一a r ( 2 一口) = 2 禹t k + l ) = m 所以我们就得到： 岛 r ( 2 0 f ) 丁a j = o + 1 ) l - - a c ( 下) ( 2 1 7 ) 阻( x i , t k + l - j ) 一仳( x i , t k - j ) 】= i ：t u 矿( x l , t k + 1 ) + q 7 - ， u ( x i + 1 ，t k + 1 ) 一2 u ( x i ，t k - i - 1 ) + u ( z 一1 ，t k + 1 ) h 2 ：0 2 u ( x t , t k + 1 ) + c 2 h i2 = - - - 一十 。 o x 2 札 z 七 伽七触 努数阶反应扩散方程的数德近戳 因此 矽= 丁n r ( 2 - o ) f 掣“2 掣+ c 2 u ( 列) 】 + ( q r l 枷岛尹舻) c ( r 1 十n + 7 口九2 ) 1 4 ( 2 1 8 ) 所以我靛就可以得婺下面的定理； 庭璎2 2 设程；是( 2 5 熬数德解，剃我瓣有| l e k l t 彬k - l e 丁1 和r 疆舻) k = 1 ，2 ，n ，而且存在一个正常数c ，使得 | 避一铤( 藏，t 蠡) | 曼c ( t 妒) ，i 蒋1 ，2 ，m 一1 ；k = 董，2 ，鼹。 证明；应用数学归纳法 2 1 9 ) 当k = 1 时，设l i e l l l = l 受i n a xli e l = 1 4 1 ( i m 1 ) ，我们宥 | l e l | | 8 | - , 1 4 + ，| 1 2 r s ) | 冒| 一r l e l ，| l r e + l + ( 14 - 2 r + s ) e 一t e l l i | 磷| g ( r 1 相+ 产妒) w 1 g ( 7 1 1 扣+ 俨 2 ) ( 2 2 0 ) 假设1 1 t i s 霹l g r 1 心+ 严舻歹拦薹，2 ，k 一1 。设l l e k t l = 1 m i a m x li e ? l = l e v i ( 1 鬟z m 一1 ) 注意到叮1 竖记l ，歹燃o ，1 ，k 一1 ，则 我们有 一 坌塾堕星壅：茭墼友堡塑墼堡夔堡 1 5 _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ - - _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ - _ _ _ _ _ m _ _ _ - 。一一一 因为 l l e 知怯= l e f ir i e & l i + ( 1 + 2 r + s ) l e i r l e h l i | 一r e 墨l + ( 1 + 2 r - i - 8 ) 4 一r e i l l ( 咖一u 1 ) l e 一1 i + k 扭- 1 2 ( 吣一屿+ 1 ) l e ? - 1 - j c ( r 1 + a 十r 忱 2 ) 【譬( 屿一吩+ 1 ) 记2 1 1 c ( 1 如+ t 窿h 2 ) 【葛泓一吻+ 1 ) 记l + 1 c ( r 1 扣十九2 ) u 芒1 【箸( 岣一屿+ 1 ) 十帆一l 】c ( 7 - 1 + a + 7 - a h 2 ) 记l c ( r 1 蛳+ p 九2 ) 熙藩一恕再等芒杀一熙d 器 一恕若裂每一击 因此存在一个正常数g ，使得 l