（计算数学专业论文）亚洲期权定价问题的数值求解.pdf

摘要 本文给出了一种欧式的离散取样代数平均亚洲期权定价问题的数值解法。 该问题中需要求解一个定义在有界区域上、并在边界上退化的抛物方程。我们为 这个退化抛物方程建立了一种c r a n k n i c o l s o nl e g e n d r e 谱格式，即对微分方程的 空间变量与时间变量分别使用l e g e n d r e 谱方法与c r a n k n i c o l s o n 有限差分格式进 行离散。我们推导了半离散格式和全离散格式的稳定性与收敛性，并证明了谱精 度。由于导出的线性代数方程组其系数矩阵是一个五对角阵，该格式可以方便地 计算。我们给出了有关期权定价的一些数值算例。 法 关键词离散取样代数平均亚洲期权，期权定价，退化方程，l e g e n d r e 谱方 a b i s t r a c t t h i sp a p e rg i v e san u m e r i c a ls o l u t i o nt ot h ee v a l u a t i o np r o b l e mo ft h ee u r o p e a n s t y l ed i s c r e t e l ys a m p l e da r i t h m e t i ca s i a no p t i o n s ，i nt h ep r o b l e m ，ap a r a b o l i ce q u a t i o n o nan n i t ed o m a i nw h i c h d e g e n e r a t e s i n t oo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so nt h eb o u n d a r i e s s h o u l db es o l v e d w es e tu pac r a n k n i c o l s o nl e g e n d r es p e c t r a ls c h e m e f o rt h ed e g e n e r a t e p a r a b o l i ce q u a t i o nb yu s i n gl e g e n d r es p e c t r a lm e t h o d i ns p a c ea n dc r a n k - n i c o l s o nf i n i t e d i f f e r e n c es c h e m ei nt i m e s t a b i l i t ya n dc o n v e r g e n c eo ft h es e m i - d i s c r e t es c h e m e a n d f l f l l y d i s c r e t es c h e m ea r ea n a l y z e da n de r r o re s t i m a t e so ft h es p e c t r a la c c u r a c ya r e d e r i v e d s i n c et h ec o e f f i c i e n tm a t r i xo ft h es y s t e mo fl i n e a ra l g e b r a i ce q u a t i o n si sq u i n d i a g o n a l ， t h i ss c h e m ec o u l db es o l v e de a s i l y n u m e r i c a lr e s u l t sa r ep r e s e n t e d k e yw o r d s ：d i s c r e t e l ys a m p l e da r i t h m e t i ca s i a no p t i o n s ，o p t i o n e v a l u a t i o n d e g e n e r a t ep r o b l e m ，l e g e n d r es p e c t r a lm e t h o d 要求 上海大学 y 6 7 8 1 68 本论文经答辩委员会全体委员审查，确认符合上海大学硕士学位论文质量 答辩委员会签名 主任 委员 瘩手艺 铉囫殇璜力手 矽仁茅；咏 导师：旦 答辩日期：刎锋蓦l 问2 7 g 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。除 了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰 写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公 布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 蜱吼碰和叩幻 第一章引言 在股票的价格遵循几何布朗运动( g e o m e t r i cb r o w n i a nm o t i o n ) ( 即具有对数 正态分布) 的假设下，基于该种股票的欧武代数平均亚洲期权( e u r o p e a ns t y l e a r i t h n m t i ca v e r a g ea s i a no p t i o n ) 的价格满足一个无界区域上的二维空间的抛物型 方程 1 ，2 ，3 。除了极少数一些简单的情况，代数平均亚洲期权的定价方程没有 显式的解析解。许多文章研究了通过数值求解偏微分方程来得到近似的期权价 格( 例如，【2 ，4 ，5 ，6 ，7 ) 。本文给出欧式代数平均亚洲期权中的一类离散取样代 数平均亚洲期权( d i s c r e t e l ys a m p l e da r i t h m e t i ca s i a no p t i o n s ) 定价问题的一种偏微 分方程数值解法。 通常，亚洲期权的二维定价方程可以通过某些降维方法转化为一维空间的偏 微分方程 1 ，2 ，4 ，6 1 。a n d r e a s e n 6 给出了一种将离散取样代数平均亚洲期权的二 维定价方程降为一维方程的途径并求解了该方程。他所推导的方程仍然是定义 在无界区域上的，因此在数值求解时他人为地加入了边界条件( 类似可见 2 ) 。 近来，z h u 8 将离散取样代数平均亚洲期权的一维定价方程转化为有界区域上 退化方程。由于经过了变换后的方程在两个边界上退化为常微分方程，这使得在 数值求解时不再需要人为加入边界条件。z h u 使用了c r a n k n i c o l s o n 有限差分格 式求解了该方程。考虑到有限差分法的精度在格式建立时已经确定，在一定程度 上限制了求解效率的提高。为了寻求解的性质能有进一步的提高，本文尝试了用 谱方法采求解该问题。 我们知道，谱方法采用整体无限光滑的函数系( 例如：三角多项式、c h e b y s h e v 多项式、l e g e n d r e 多项式或更一般的j a c o b i 多项式等) 作为逼近空间的基函 数，可以在相对较少的基函数下得到高精度曲逼近解，而且逼近解的精度会随 精确解的光滑性的提高而自动提高，这与传统的差分法或有限元法相比是一个 优点。谱方法正日益广泛地被运用于物理、力学、大气、海洋等领域的数值计算 引言 2 不过，虽然谱方法有着非常好的逼近性质，但它的高精度在某些问题上是可 能被破坏的。以前关于包括退化方程在内的奇异问题的谱方法应用和数值分析 的工作较少。最近，g u o 1 5 ，1 6 ，1 7 ，1 8 ) ，g u o 和w a n g 1 9 研究了谱方法在求解奇 异问题上的应用，并给出了在奇异问题上的谱精度估计。在1 7 1 中，g u o 讨论了 g e g e n b a u e r 谱逼近及其在奇异问题上的应用，并以非线性退化的l o g i s t i c 方程为 例，推导了它的向前差分一g e g e n b a u e r 谱方法全离散格式的稳定性与收敛性，得 到了” i l 。+ r i l 趣意义下的d 一十n 卜) 阶误差估计，其中u 是一个与奇异 性有关的权函数，” | 牙，定义如下 备j = 2 ：+ ， 关于空间的误差阶在原方程的真解属于h 时可成立。这证明了谱精度的存在。 本文考虑的离散取样代数平均亚洲期权的定价问题中，需要求解的退化方 程具有如下的形式： 仇u ( 茁，t ) 一以( o o 地2 ( z ) 如乱( 。，t ) ) + 6 ( z ) u l ，1 ( z ) 如让( z ，t ) + c ( z ) “( z ，t ) = ，( 。，t ) ，一1 z 1 ，乃 t t 2 ，( 1 1 1 ) u 扛，n ) = u o ( z ) ，l 。s 1 ， 其中，瓯u ( z ，t ) = 表( ，t ) ，如 ( z ，t ) = 盎 ( 。，t ) ，t 1 o ，n o 是一个正常数， 6 ( z ) 和c ( z ) 都是 一l ，1 上的有界函数，口( z ) = ( 1 一z ) 。( 1 + 。) 口。我们给出了 ( 1 i i ) 的一种l e g e n d r e 谱方法求解，并结合c r a n k n i c o l s o n 有限差分格式给出了 方程的一个全离散格式的数值解法。我们证明了的半离散l e g e n d r e 谱方法与全 离散c r a n k n i c o l s o n l e g e n d r e 谱格式的稳定性与收敛性并得到了 i l 莳。意义下的 0 ( 产+ n 。7 ) 阶误差估计，当原微分方程的真解属于h r 时成立。因此该方法具 南谱精睦， 由于方程( 1 1 1 ) 是退化的，没有附加的边界条件，在基函数的选取时我们直 接使用了l e g e n d r e 多项式。我们知道在谱方法的数值计算中，尤其是在结合时间 方向的隐格式求解发展方程时，最后的计算总是归结为对一个线性代数方程组 的求解，该代数方程组的形状与谱方法基函数选取密切相关。能否构造出适当的 引言 3 基函数，使得相应的系数矩阵尽可能是稀疏的，从而算法可以有效率的执行是使 用谱方法求解的一个非常重要的问题。 例如，当求解具有一般边界条件的问题时，不管是l e g e n d r e 谱方法或者是 c h e b y s h e v 谱方法，多数情况下都是不能直接用l g e n d r e 多项式或c h e b y s h e v 多项 式作为逼近空间的基函数的。为了能满足边界条件，通常使用的基函数是它们的 一些组合。比如，以l e g e n d r e 谱方法为例，对于一维h e l m h o l t z 方程： fa “一磷“= l “( 一1 ) = u ( 1 ) = o 可取如下的基函数： 机( 。) ： ：! 。? 一l ，o ( x ) ? 苎或饥( 。) ：( 1 一。z ) l 女一。( 。) ， il ( z ) 一工l ( o ) ，k 奇， 与逼近空间 v n = s p a n 也( z ) ，机( z ) ，_ ( z ) ) 上面的基函数都将导出一个满系数阵的代数方程组。换成是c h e b y s h e v 多项式也 是一样。满系数矩阵会带来相当大的计算量，降低了效率，显然这样的基函数是 不能令人满意的。所以，s h e n 2 0 ，2 1 】提出了另一种基函数构造方法。如对于一维 h e l m h o l t z 方程的l e g e n d r e 谱方法，选取 。2 赢，机( 。) 2 吼( 仇( 。) 一l 啪( z ) ) ， i 佃= s p a n 咖o ( 。) ，曲l ( 。) ，c n 一2 ( z ) ) ， 为基函数和逼近空间；其c h e b y s h e v 谱方法取 c k ( z ) = t k ( z ) 一t k + 2 ( x ) 为基函数。这样得到系数矩阵都具有良好稀疏性，便于计算。 我们推导证实，由于在方程( 1 1 1 ) 中因子1 一z 2 及其平方项分别出现在关于 z 的一阶偏导数项和二阶偏导数项之前的系数中，在本问题中直接选取l e g e n d r c 多项式作为基函数是适当的。当6 ( z ) 和c ( 。) 都为代数多项式时，得到的代数矩阵 引言4 是一个带状矩阵。特别地，在本文所讨论的期权定价1 7 题中，b ( 。) 和c ( 。) 都是线 性多项式，对应的代数矩阵是一个很好的五对角矩阵。这使得问题可以方便而快 速有效地求解。我们给出了几个期权的算例并同 8 中的方法比较，数值结果显 示在得到相近的误差时，我们的c r a n k n i c o l s o nl e g e n d r e 谱格式比c r a n k n i c 0 1 s o n 有限差分格式在空间上的计算量要少得多。 第二章离散取样代数平均亚洲期权 的定价问题 期权( o p t i o n ) 是一种衍生证券1 ，其持有者享有在未来某段特定时间内买 卖某种标的资产( u n d e r l y i n ga s s e t ) 的特定权利【2 2 ，2 3 。标的资产可以是实物商 品、股票、股票指数、债券、货币或期货合约等物。看涨期权( c a l lo p t i o n ，即买 权) 与看跌期权( p u to p t i o n ，卖权) 是期权的两种基本类型。看涨期权的持有者 拥有的是某种购买标的资产的权利，看跌期权的持有者拥有的是某种卖出标的 资产的权利。期权给予的是一种可选权利，当执行期权无利可图时，期权持有者 可以放弃执行期权，期权过期自动作废。根据执行方式的不同，期权又分为欧武 期权( e u r o p e a no p t i o n s ) 与美式期权( a m e r i c a no p t i o n s ) 。欧式期权只有在期权的到 期日才能执行买卖标的资产的权利而美式期权在期权有效期内的任何( 营业) 日 均可行使权利。 一个标准的期权是指其持有者可以在到期日( 欧式期权) 或者整个期权有效 期内( 美式期权) 以一个确定的价格，称为执行价格( e x e r c i s ep r i c e ) 或履约价格 ( s t r i k ep r i c e ) ，购买或卖出定量的标的资产。假设一个标准的欧式期权的执行价 格为e ，在到期日标的资产的价格为s ，则期权买方可以获得的收益( 不记购买 期权的成本) 为： “( s e ，o ) ， 看涨期权， ( 2 2o 1 )iu ) 【m a x ( e s ，o ) ，看跌期权 随着市场需求复杂程度的提高，出现了一些非标准的期权，通常称为新型 期权( e x o t i co p t i o n s ) 。这些期权经常是由金融机构根据客户的特定需求而订立 1 衍生证券( d e r i v a t i v es e c u r i t y ) ，兄称为或有债权( c o n t i a g e n tc l a i m ) ，是基于某种( 些) 标的资产的 杠杆或信用交易工具，可以用来规避标的瓷产的价格波动风险，也可以作为一种投资( 投机) 工具远期 ( f o r w a r d ) 、期货( f u t u r e s ) 期权( o p t i o n ) 以及互换( s w a p ) 等都是常见的衍生证券 离散取样代数平均亚洲期权的定价问题 6 的，大多在场外交易，其盈亏状态( 的计算) 也要比标准欧武或美武期权要复 杂。比如，百慕大期权( b e r m u d a no p t i o n s ) ，它是一种非标准的美式期权，不同 于标准的美式期权，它的提前行使只限于期权有效期内的特定日期；障碍期权 ( b a r r i e ro p t i o n s ) 是一种收益依赖于标的资产的价格在一段特定时期内是否达到 了一个特定水平的期权；回望期权( l o o k b a c ko p t i o n s ) 的收益依赖于期权有效期内 标的资产的最大或最小价格；亚洲期权( a s i a no p t i o n s ) 的收益依赖于标的资产在 期权有效期内的至少某一段时间内的平均价格。许多新型期权都具有路径依赖 性( p a t h d e p e n d e n c e ) ，其收益不仅依赖于执行期权时标的资产的价格，也依赖于 标的资产在期权有效期限内直到期权被执行时的历史价格这类期权在交割时 通常是通过结算盈亏使用现金交割，而不是真正的实物交割。路径依赖期权，尤 其是欧式路径依赖期权，可胯低在到期日由于标的资产价格的异常变化带来的 风险，可避免因标的资产的异常变动带来的损失因而广受欢迎。 亚洲期权是一类路径依赖期权，它的收益依赖于标的资产在期权有效期内 的至少某一段时间内的平均价格以平均价格的不同定义，有多种类型的亚洲期 权。本文考虑其中的三种，即平均执行价格期权( a v e r a g e s t r i k eo p t i o n s ) 、平均价 格期权( a v e r a g ep r i c eo p t i o n s ) 和双平均期权( d o u b l ea v e r a g eo p t i o n s ) 。 平均执行价格亚洲期权是一类期权其持有者可在到期日( 欧式期权) 或者整 个期权有效期内( 美式期权) 通过执行期权获得如下的收益 “( s - & m o ) ， 看涨期权， ( 2 0 【m a x ( 咒。一s ，o ) ，看跌期权 4 其中s 为期权被执行时标0 9 资产的现价，。是标的资产某一段时间内的平均 价格。比较( 2 0 2 ) 式与( 2 0 1 ) 武可以看出，在平价执行价格亚洲期权中标的资 产平均价格取代了标准期权中的某个固定的价格e 作为执行价格来计算期权收 益。平均执行价格亚洲期权又被称作浮动执行价格亚洲期权( f l o a t i n g - s t r i k ea s i a n o p t i o n s ) 。 平均价格亚洲期权也被称作平均率期权( a v e r a g e r a t eo p t i o n s ) ，是一类期权 其持有者可在到期日( 欧式期权) 或者整个期权有效期内( 美式期权) 通过执行 离散取样代数平均亚洲期权的定价问题 7 期权获得如下的收益 “a x ( s n w e ，o ) ， 看涨期权， ( 2 0 3 ) 【m a x ( e 一。o ) ，看跌期权 在平均价格亚洲期权中，标的资产在某一段时间内的平均价格。取代了标准 期权中执行期权时刻标的资产的价格来计算期权收益。平均价格亚洲期权又被 称作固定执行价格亚洲期权( f i x e d ，s t r i k ea s i a no p t i o n s ) 。 双平均亚洲期权是一类期权其持有者可在到期日( 欧式期权) 或者整个期权 有效期内( 美式期权) 通过执行期权获得如下的收益 “( 一8 1 , 0 ) ， 看涨期权， ( 2 0 4 ) 【m a x ( 。一。，o ) ，看跌期权 即双平均亚洲期权以标的资产在两段时间内的平均值的价差作为了期权的收益。 亚洲期权收益公式中的平均价格可以是标的资产价格的几何平均值，也可 以是其代数平均值。平均价格可以是连续价格的平均值，也可以是离散点上的价 格的平均值。在实际中，离散的代数亚洲期权更普遍一些。在本章中，我们将介 绍如何使用期权定价中常用的b l a c k s c h o l e s 模型为离散取样代数平均亚洲期权定 价，并导出一个求解的数学模型。 2 1 期权定价的b l a c k s c h o l e s 模型 1 9 7 3 年，费台尔布莱克( f i s c h e rb l a c k ) 和迈伦斯科尔斯( m y r o ns c h o l e s ) 在期权定价上取得了一个重大的突破，推导出基于无红利支付股票的任何衍生 证券的价格必须满足的微分方程，并运用该方程推导出股票的欧式看涨期权和 看跌期权的价值 2 4 。罗伯特默顿( r o b e r tm e r t o n ) 将b l a c k s c h o l e s 模型推广到 了基于支付连续红利率股票的衍生证券，并导出了基于支付连续红利率股票的 衍生证券的价格所满足的微分方程 2 5 】。本节我们将对b l a c k s c h o l e s 定价模型进 行阐述，在下一节中我们讨论b l a c k s c h o l e s 模型在亚洲期权定价中的推广。 离散取样代数平均亚洲期权的定价问题兰 假设某种标的股票的价格变化遵循几何布朗运动，即股票价格s ( ) 遵循如 下的i t o 过程： d s = “s d t + 口s 出 ( 2 1 1 ) 肚代表股票的预期收益率，a 代表股票的变动率。在几何布朗运动模型中，这 两个参数都假设为常数。z 是一个遵循维纳过程( w i e n e r p r o c e s s ) 的变量，d z 是 a 。：。 瓦的极限形式，其中e 为标准正态分布中取的一个随机值。 假设y 是基于s 的某种衍生证券的价格，它应该是s 和时间t 的函数，从 而由i t o 引理得到v ( s ，t ) 应该遵循如下的随机过程， a y = ( 筹p s + 豢+ ；等a 2 s 2 ) 班+ 丽o v s 出， c 。，埘 其中z 遵循与( 2 1 1 ) 中的z 一样的维纳过程。 考虑有如下的证券组合： 一1 ：衍生证券 + 丽o v ：股票 即该证券组合的持有者卖出一份的衍生证券，买入数量为 高度可分且证券组合的持有者可随时调整股票的持有量) 值应为： = 矿+ 器s 籍的股票( 假设股票 因而该证券组合的价 ( 2 1 3 ) 在区间碡，t + 删上，该证券组合的价值变化值应为： 棚一y + 筹扯( 一罾；筹粕2 ) 出 协， 由于造成股票价格与衍生证券价格存在风险的随机变量d z 正好相互抵消，d 的表达式中不再存在出，这说明证券组合n 必定是无风险的。因此在市场不存 在无风险套利的假设下，该证券组合的瞬时收益率一定与市场中的短期无风险 证券收益率r 相同，即： d h = r f ! d t ( 2 1 5 ) 将( 2 13 ) 和( 2 1 4 ) 代入上式就得到了微分方程： 瓦o v 州筹+ 2 豢= r ( 2 ) 离散取样代数平均亚洲期权的定价问题 9 方程( 2 1 6 ) 即为b l a c k s c h o l e s 微分方程，它是基于无红利支付股票的任何一种衍 生证券的价格必须满足的微分方程。如果以欧式期权的收益函数为方程的终值 条件，印 v ( s ，? ) ： “( s - e , 0 ) ， 看涨期权， f 2 1 7 ) 【m a x ( e s ，o ) ，看跌期权 就可以从方程中解得无套利状态下完全市场中无红利支付股票的欧式看涨期权 和看跌期权价格的显式解，即： y ( s t ) ： s ! i ：f e l 口“( d 2 l 看涨期权， ( 2 1 8 ) 【e e l ( t 。) ( 一d 2 ) 一s n ( 一d 1 ) ，看跌期权， 其中 d 1 = d 2 = 。1 n ( s e ) + ( r + 2 2 ) ( t - t ) “厅c 1 l n ( s 。e ) + ( r - ，。a 2 2 ) ( t ，- t ) d 、履t 1 ( 。) 为标准正态分布变量的累计概率分布函数。 = d l 一口、t 一 当股票支付连续恒定红利率q 时，则该证券组合( 2 1 3 ) 的持有人在出时间 章除j 获孑黑的增值外，还因为持有股票而收到了价值为筘挚的红荆，因 此，对于这种情况( 2 1 5 ) 应修改为： d i i + 筘丽e o v 疵= r 以 ( 2 1 9 ) 从而，基于支付连续红利率股票的衍生证券的价格满足的微分方程为： 型o t + ( r 刊s 丽o v + 2 筹州 ( 2 1 1 。) 结合( 21 7 ) 式可求得基于支付连续红利率股票的衍生证券的价格的显式解： 哪，2 e e ：絮撼s e ! q ( 一t 现儿黧器仁， 【 1 ( 丁一q ( 一如) 一 一 一f ) ( 一d 】) ，看跌期叔 忙上“ d 1 = d 2 = i ( s e ) + ( r q + ( y 2 2 ) ( t t ) i 亍i 一 l n ( s e ) + ( r - ：= q ：- ：c = r 2 1 2 ) ( t - t ) 口、t f d 】一口 t 一 离散取样代数平均亚洲期权的定价问题 ) 为标准正态分布变量的累计概率分布函数。 2 2 离散取样代数平均亚洲期权的定价 在上一节中，公式( 2 1 2 ) 的成立需要一个前提，即v 的值应由s 的当前值 次定。而对亚洲期权来说，这一条件并不成立。因为在亚洲期权中，v 的终值不 仅依赖于s ( t ) ，还依赖于s 在期权到期日以前的平均值。为了使亚洲期权的定 价仍然能利用b l a c k s c h o l e s 模型，可瞄将s 的平均值看做一个新的变量，这样v 的值就只决定于s 与这个新的变量的当前值，从而使用二维情况下的i t o 引理可 得到类似于( 2 1 2 ) 的随机过程，然后按照一样过程就可导出欧式股票亚洲期权的 价格所满足的微分方程。由于代数亚洲期权的收益依赖于标的资产价格的代数 平均，而对数正态分布变量的和不再具有对数正态分布及任何已知概率分布，大 多数的代数亚洲期权的价格不能像标准的欧式期权那样从相应的微分方程中解 得类似( 2 ，1 8 ) 、( 2 1 1 1 ) 这样的解析表达式。本文将给出一种求解离散取样代数 亚洲期权定价方程的数值解法。这一节我们先介绍离散取样代数亚洲期权的定 价方程的推导。 2 2 1 无界区域上的二维定价问题 假设一个基于支付连续红利率q 的欧式股票亚洲期权在t 时刻到期。死。、 孔e 、e 、正为【0 ，明上的四个时刻，满足 0 噩ss 乃。s 正 瓦st 在田s ，乃。】与阢，正 上分别取k z 和尥个离散价格样点位于时刻 t = 如= 噩s + ( i 一) 兰凳i 三孚，l i k 。， 与 k 仁死+ ( z k 1 1 ) 措， 1 + 1si k j + 鲍 mm 离散取样代数平均亚洲期权的定价问题 产( 归上i = l 即) 嘶叫帆 k ：z 。弹卜引打， 怛驯 其中6 为d i r a cd e l t a 函数。对于平均执行价格期权、平均价格期权，由于只需要 一个平均值，此时只要令t 1 。= 孔。= 0 、k 1 = 0 及1 1 = 0 。离散取样代数亚洲期 权的收益可以用如( 和1 1 ) 表示为： n l a x ( s - - 且k 2 ，0 ) r n a x ( 五k 2 书0 ) ， m a x ( 惫一即) m a x ( e 一且k 2 ，0 ) m a x ( 且k 2 一击，0 ) m a x ( 袅一惫，0 ) 平价执行价格看涨期权， 平价执行价格看跌期权， 平均价格看涨期权， 平均价格看跌期权， 、。 双平均看涨期权， 双平均看跌期权 已 l 立k 2 ， 平均执行价格期权， d 2 e 一惫， 平均价格期权， 【岛一惫， 双平均期权， 因而亚洲期权的价格v 是关于s 、d 与t 的函数根据i t o 引理，有 d y = ( 丽o v p s 十面o v + j 1 丽0 2 v 。2 。2 + 型o d 些d t 疵+ 器a s 出， 其中 f 22 3 1 ( 22 4 ) 1 l + k 2 二k 2 s ( t ) 5 ( t 一如) d t ， 平均执行价格期权 4 = k 1 + 1 i + 2 雨i 刚d ( t 一屯) 妣 。# 1 + 1 ( 击势那吨，。笺邓h 小 平均价格期权 双平均期权 离散取样代数平均亚洲期权的定价问题 1 2 所以投资组合( 2 1 3 ) 在时间区问 t ，t + d t 上的变化值为： d w + 筹d s = ( 一面o v 一：10 拶2 v o _ 22 一旦o d 塑d t1 出 ( z 2 s ) 再由( 2 ) 式得到：, 1 9 面o v + 互1 a 2 s 2 器+ c r 一啪器+ 筹等一r v = 。， 旧。 0 t s t ，0 s ，d a ， 其中 i 0 ，o o ) ，平均执行价格期权， a 。 ( 一。，。) ，平价价格期权， i ( 一。，o o ) ，双平均期权 该方程即为离散取样代数平均亚洲期权价格应该满足的二维微分方程，结合终 值条件 v ( s ，d ，t ) m a x ( s d ，o ) ，平价执行价格看涨期权 m a x ( d s o ) ，平价执行价格看跌期权 m a x ( 一d ，0 ) ， m a x ( d ，0 ) ， m a x ( - d ，0 ) ， m a x ( d ，0 ) ， 0 s 求解方程得到的v ( s ，0 ，o 一) 、y ( s e ，0 平均价格期权和双平均期权的价格。 2 2 2 无界区域上的一维定价问题 平均价格着涨期权， 平均价格看跌期权，( 2 27 ) 双平均看涨期权， 双平均看跌期权， d a 一) 和v ( s , o ，o 一) 分别为平均执行价格期权、 在适当的变量变换下，方程( 2 2 6 ) 可以转化为一个一维方程。例如，作如下 的变换， q = ；，= 掣， ( 2 2 _ 8 ) 离散取样代数平均亚洲期权的定价问题 1 3 由于 a v o t a v a s 护v a s 2 a y a d q o w “出 彤一q 掣 d 竹 1 。a 2 否”面f a i 矿 a ( 2 2 6 ) 可以转化为一个关于的一维问题，满足 又由于 d d d t s 百o w + 互1 。2 ”2 可0 2 w + ( g 叫”筹一。+ 等筹_ o ，m 。， 0 t t ，”a 1 + k 2 去d ( t h ) d t 。；= 1 + 1 ，1 + 2 一去6 ( t t ) 出 k j 厶”。， 。f = 1 + 1 击静“， 所以( 2 2 9 ) 等价于下面三式 平均执行价格期权 平均价格期权 南) ，双平均期权 咖筹卅_ 0 ) ( 2 ：1 0 ) t k l + 2 ，q a ， 嘶，= w ( ”+ 鬲1 ，t 产) ， 仅双平均期才又 ( 2 2 1 1 ) ( ”，f ) = t = 屯正= r e ，2 ，t k l ) ，q a ， ( q + 面1 ，t 产) ， 平均执行价格期权 w ( ”一面1 - t = 屯7 i i ( t k l 平均价格期权 焉1 ，) ， 双平均期权， + 1 】t k 】+ 2 ，t k l + j v 2 )叩a ( 22 1 2 ) 警一 ，一配 如栅一卵啪 产t矿且 l 一2 1 + j等邙 离散取样代数平均亚洲期权的定价问题 1 4 一一 其中w ( n ，产) = 1 1 mw 切，) 。结合由( 2 2 7 ) 转化而来的终值条件 t - - * t i ： m a x ( 1 r ，o ) ， 平均执行价格看涨期权 m 一( 一l ，o ) ， 平均执行价格看跌期权 m “c - v ，0 ) m a x ( r ，o ) ， m a i c ( - r l ，0 ) m a x n ，0 ) ， 平均价格看涨期权 平均价格看跌期权 双平均看涨期权、 双平均看跌期权， 就可求得平均执行价格期权、平均价格期权与双平均期权的价格，分别为s w ( 0 ，0 一) s ( 导，o 一) 与s w ( o ，o ) 。 对于平均执行价格期权，定价问题只需在f o ，。) 上求解。而对于平均价格期权 和双平均期权，虽然q 是定义在( 一。，o o ) 上的，但因为方程( 2 2 1 0 ) 在q = 0 时退化 为一个常微分方程，l n - j 题也只需在 o ，o o ) 上数值求解，其中，在计算w ( q ，i ) ，t ：丁 时，根据( 22 1 2 ) ，需要用到的w n ，t ) 在q 卜击，o ) 、t l 丁上的值由w 在 q ( 一o 。，0 、t ( 丑e ，明上的解析解【6 ，8 ： 哪) ：1 ”口“切+ 壶莩8 ”口廿“。一1 ，觥黻， 【0 ，看跌期权， ( 2 。2 1 4 ) 一 qs0 ，孔e t s t 给出，是对所有满足t 0 t k 。+ k 。的j 求和。所以，对平均执行价格期权、 平均价格期权和双平均期权，定价问题都只需要在【0 ，。) 上数值求解，其中平均 执行价格期权的定价需要用到( 2 2 1 0 ) 、( 2 2 1 2 ) 与( 2 2 1 3 ) 式，平均价格期权的 定价需要用到( 2 2 1 0 ) 、( 2 2 1 2 ) 、( 2 2 1 3 ) 与( 2 2 1 4 ) ，双平均期权的定价需用到 ( 2 2 1 0 ) 、( 2 2 1 1 ) 、( 2 2 1 2 ) 、( 2 2 1 3 ) 与( 2 2 1 4 ) 。 2 2 3 有界区域上的一维定价问题 方程( 2 2 1 0 ) 可以使用显格式或是二叉树法( 三叉树法) 在时问段( z 。】，。) 上 离散取样代数平均亚洲期权的定价问题 1 5 方便地求解，但为了使用一些更有效率的数值解法，往往需要一个有界的定义域 及加入人工边界条件【2 ，6 】。z h u s 证明了在适 - 3 的变换下，方程( 2 2 1 0 ) 可以转 换为一个有界区域上的退化方程。由于经过变换后的方程在两个边界上退化为 常微分方程，这使得在数值求解时不再需要人为加入边界条件。本节我们以双平 均期权为例介绍离散取样代数平均亚洲期权的有界区域上的定价问题的推导。 考虑如下变换 一2 焘- 1 j 吣，牡端，一o o r 。o ， ( 2 2 1 5 ) p m 是一个正常数( 见 8 ) 。由于 a - 矿 珧 a 却 a 2 砰7 刁万2 岛 p m + ( p m 十l ”i ) 豢， 加船编塞 。堡丝 ( p 竹。+ 蚓) 3o x z 1 一下 z + 1 1 ， 当q o ，。) 时，方程( 2 2 1 0 ) 通过上述变换转化为一个关于面的方程： 抛a - 7 + 百1 以l + z 2 ( 1 叫, 2 丽0 2 u + j 1 ( q - r ) ( 1 + x ) ( 1 叫塞 一i ( g ( 1 一。) + r ( 1 + 。) ) = 0 ， ( 22 1 6 t 0 ，卅且t g t l ，t 2 ，t l + 心) ， 一1sz 1 当z 叶1 时，( 2 2 1 6 ) 就趋于 a 面 瓦一”面2 0 ， ( 2 2