第十八章勾股定理题型总结.doc

勾股定理题型总结勾股定理是数学中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三边之间数量关系，把三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边的“数”的关系，是数形结合思想的典范. 一、判断三角形的形状 例1 三角形三边、，适合，则此三角形为（ ）（A）锐角三角形 （B）等腰三角形 （C）直角三角形 （D）钝角三角形分析：将等式变形为，即，由非负数性质，得，.由于，所以有此三角形为直角三角形.解：应选（C）. 二、求三角形的边长 例 2 在中，A、B、C所对的边分别是a、b、c。其中，求. 分析：此题已知直角三角形两直角边，可直接应用勾股定理，由，可求得的值. 解：根据题意，可得，所以，所以.三、利用勾股定理解决实际问题 例3 一天某海关缉私巡逻艇在巡逻时.发现在其所处的位置0点的正北方向10海里处的A点,有一走私船只正以24海里/时的速度向正东方向航行.为迅速实施拦截,巡逻艇调整好航向,以26海里/时的速度追赶,在不改变行速和航向的前提下.问最少需要几小时才能追上走私船?分析:根据实际问题可以得到OAB，该三角形为直角三角形,根据借助勾股定理求解.解:如图,设需要x小时可以追上走私船.则AB=24xcm,AB=26xcm. 在RtABO中,OB2=OA2+AB2,即(24x)2+102=(26x)2,解得x2=1。所以x=1或x=-1(不符合题意，舍去)。答：最少需要1小时才能追上走私船。.例4 如图，某海滨浴场岸边A处救生员发现海中的B处有人求救，救生员没有直接从A处游向B，而是沿岸边自A处跑到离B最近的C处，然后从C处游向B处，若救生员在岸边行进的速度是5m/s，在海中行进的速度是2m/s，请分析求生员的选择合理吗？分析：本题要判断救生员的做法是否合理，主要是看沿AB方向行进与沿AC+BC行进所用时间的大小，用时间短的较合理.解：在RtABC中，AB2=AC2+BC2=4002+3002，所以AB=500。沿AB行进的时间为5002=250（s），沿AC+CB方向的时间为4005+3002=230（s），因为230250，所以救生员的选择较合理. 例5 如图，在公路l旁有一块山地正在开发，现有C处需要爆破，已知C与公路停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠点B的距离为400米，且CACB，为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，需要暂时封锁吗？ 分析：要判断公路AB段是否需要封锁，只需要判断点C到l的距离是否大于250米，若大于250米，则不需要封锁；若小于250米，则需要封锁. 解：过点C作CDAB于点D，在RtABC中，因为BC2+AC2=AB2，BC=400，AC=300，所以AB2=，所以AB=500。根据三角形的面积相等，得ABCD=BCAC， 所以500CD=300400，所以CD=240。 因为240250,所以公路AB段有危险,需要暂时封锁.例6 如图，已知某山的高度AC为800m，从山上A处与山下B处各建一索道口，且BC=1500m，一游客从山下索道口做缆车到山顶，已知缆车每分钟走50m，那么大约多少分钟后，该游客才能到山顶？分析：要求大约多少分钟后，该游客才能到山顶，需要根据实际构造直接三角形，然后通过运用勾股定理进行解决.解：根据已知可得ACB=90，在RtABC中，ACB=90，根据勾股定理，得AC2+BC2=AB2，即8002+15002=AB2，所以AB=1700(m).由于缆车每分钟走50m，所以大约需要170050=34（分钟）该游客才能到达山顶。四、利用勾股定理解决立体图形问题（一）、圆柱问题例7 如图如图所示，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于3cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，需要爬行的最短路线是多少？（取3）分析：蚂蚁从底面的点A到上底面的点B有无数条行走路线，看上去是一条曲线，但实际上是一条直线问题。可以将圆柱展开，它的展开图是一个长方形，B点是长方形上面的边的中点，实际上从点A到点B的最短路线就是线段AB的长度，求出线段AB的长度问题就可以解决。解：圆柱的地面周长为2r=18，取一半为18=9。因为在直角三角形CBA中，AC=12所以AB=cm，答：蚂蚁走线段AB这条路线最近，这个最短路线的长是15cm。（二）、长方体问题例8、如图所示，有一个长为12cm，宽4cm，高3cm的长方形铁盒，在其内部要放一根笔直的铁丝，则铁丝的最长长度是多少？图4分析：当铁丝处于BC位置放置是，铁丝的长度是最长的。可以先连接AC，根据已知条件可以判断BC是RtBAC的斜边，AC是RtDAC的斜边，DC=12cm，AD=4cm，BA=3cm，先求出AC的长度就可以求出BC的长度。解：连结AC、BC在RtDAC中，ADC=90, DC=12cm，AD=4cm，所以，在RtBAC中，AB=3cm，所以，所以铁丝的最长长度是13cm。练习：如图所示，将一根24cm长的筷子，放置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯内，设筷子露在杯子外面的长为acm，则a的取值范围是 。答案：11a12四、利用勾股定理解决折叠问题折叠图形中，一般都会存在全等的图形，抓住这些全等图形就可以得出有关于线段相等，角度相等及其他的一些重要结论，有利于解决题目中的问题。（一）、长方形中的折叠例9、如图所示，将长方形纸片ABCD的一边AD向下折叠，点D落在BC边的F处。已知AB=CD=8cm，BC=AD=10cm，求EC的长。分析：根据折叠可以知道AFEADE，其中AF=AD=10cm，EF=ED，AFE=90，并且EFEC=DC=8cm。在直角三角形ABF中，根据勾股定理可以得出BF=6，则FC=4，在直角三角形FEC中，可以设EC=x，则EF=8x，根据勾股定理可以得EC2FC2=EF2，即x242=（8x）2。解：根据题意可得，AFEADE，所以AF=AD=10cm，EF=ED，AB=8 cm，EFEC=DC=8cm，所以在直角三角形中，根据勾股定理得，所以FC=4cm，设EC=xcm，则EF=DCEC=8xcm，在直角三角形EFC中，根据勾股定理得EC2FC2=EF2，即x242=（8x）2，解这个方程得x=3cm，所以EC的长为3cm。（二）、三角形中的折叠例10、一张直角三角形的纸片，如图所示折叠，使两个锐角的顶点A、B重合，若B=30，AC2=3，求DE的长。分析：由题意可知，DEADEB，B=DAE=30，DE=DC。因为ABC为直角三角形，B=30，所以BAC=30，所以DAC=30。在直角三角形DCA中，根据“在直角三角形中，如果有一个锐角等于30度，那么它所对的直角边的等于斜边的一半”，所以DC=DA，可以设DC=x。解：根据题意可得DEADEB，B=DAE=30，DE=DC，因为ABC为直角三角形，B=30，所以BAC=30，所以DAC=30，在直角三角形DCA中，DC=DA（在直角三角形中，如果有一个锐角等于30度，那么它所对的直角边的等于斜边的一半）。设DC=x，则DA=2x，在直角三角形DAC中，根据勾股定理得DC2CA2= DA2，即x