（计算数学专业论文）基于规范b基表示的空间螺线相关研究.pdf

论文题目： 专业： 硕士生： 指导教师： 基于规范b 基表示的空间螺线相关研究 计算数学 闰峭 康宝生 摘要 ( 签名) ( 签名) 空间圆柱螺线和圆锥螺线是工程应用中常见的超越曲线，对其进行充分研究 有较重要的实际应用价值。 规范b 基即最优规范的全正基，因其具有凸包性、仿射不变性、最优保形 性、端点插值性及b 算法等重要性质，在c a g d 中起着重要的作用。c a g d 中 广泛使用的表示曲线曲面的基函数，如b e m s t e i n 基、b 样条基、n u r b s 基等均 为规范b 基。 由于规范b 基不仅继承了传统曲线、曲面模型的优点，而且可以在更大范 围内表示崃线、曲面，包括可以精确表示空间圆柱螺线和圆锥螺线这类以往不能 精确表示的超越型益线，因此从圆柱螺线和圆锥螺线的规范b 基表示这一具体 问题入手，对两种空间曲线的控制顶点条件进行定的研究，在进一步挖掘螺线 这类曲线的更深一步性质的同时进一步拓展规范b 基的相关理论，是有理论意 义和应用价值的。本文的主要工作如下： 1 基于规范b 基性质，将各类圆柱螺线和圆锥螺线分别在函数空间p i = s p a n ，c o s t ，s i n t 和函数空间l = s p a n 1 ，c o s t ，s i n t ，c o s t ，ts i n t 中予以的精确规范b 基表 不。 2 对圆柱螺线和圆锥螺线在已知首未控制顶点及轴的条件下如何写出精确 规范b 基表示，即对此两类螺线表示的充分条件进行了讨论。 3 对圆柱螺线在已知规范b 基表示的条件下如何判断出其轴线，进而得出螺 线的具体形态特征，即对圆柱螺线表示的必要条件之一进行了研究。 4 由于用规范b 基一次只能构造得到一段( oc6 t c2 7 ) 上的曲线这特点，在 前面讨论的基础上，讨论了c 2 c b 6 z i e r 样条曲线的构造。 5 利用规范b 基，将空间正螺面用c b 6 z i e r 曲面模型生成。 关键词：螺线：规范b 基：函数空阳j ；c a g d ：b 算法 m a s t e rd e g r e ed i s s e r t a t i o n o nt h er e p r e s e n t a t i o no fs p i r a lb y n o r m a l i z e db b a s i s y a h q i a o ( n o r t h w e s tu n i v e r s i t y ，x i a l l 710 0 6 9pr c h i n a ) s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rk a n gb a o s h e n g a b s t r a c t t h ec y l i n d r i c a ls p i r a la n dc o n i c a lh e l i xa r ec o m m o n l ys e e nt r a n s c e n dc u r v e si n a p p l i e de n g i n e e r i n g ，s of u l l yr e s e a r c h i n gt h e mh a si m p o r t a n tp r a c t i c i n gv a l u e n o r m a l i z e db b a s i s ，n a m e l yo p t i m a ln o r m a l i z e dt o t a l l yp o s i t i v eb a s i s ，p l a y sa n i m p o r t a n t r o l ei nc a g d ，f o ri t p o s s e s sp o s i t i v ep r o p e r t i e s s u c ha sv a r i a t i o n d i m i n i s h i n g ，c o n v e x h u l l ，a f f i n ei n v a r i a n c e ，t a n g e n c yt ot h ec o n t r o lp o l y g o na tt h e e n d p o i n t sa n db a l g o r i t h m t h ew i d e l yu s e db a s i sf u n c t i o n s i nc a g d ，s u c ha s b e r n s t e i n ，b - s p l i n ea n dn u r b s b a s i s ，a r ea l ln o r m a l i z e db - b a s i s n o r m a l i z e db b a s i sc a nn o to n l yp r e s e r v et h ea d v a n t a g eo ft r a d i t i o n a ls u r f a c e m o d e l ，b u ta l s or e p r e s e n tc u r v e sa n ds u r f a c e si n aw i d e l yr a n g e i n c l u d i n gp r e c i s e r e p r e s e n tt r a n s c e n dc u r v e s s u c ha s c y l i n d r i c a ls p i r a la n dc o n i c a lh e l i x s o ，t h i s d i s s e r t a t i o ns t a r t sw i t ht h er e p r e s e n t a t i o no fn o r m a l i z e db b a s i sf o rc y l i n d r i c a ls p i r a l a n dc o n i c a lh e l i x ，d i s c u s s i n ga b o u ts o m eg e o m e t r yf a c t o ro nt h ec o n t r o lp o l y g o na t t h ee n d p o i n t so ft h e s ec u r v e s w ee x p l o r et h ed e e pp r o p e r t i e so ft h e s es p i r a l so nt h e o n eh a n d ，a n dt r yt od om o r ew o r ko nn o r m a l i z e db b a s i s0 nt h eo t h e rh a n d s ot h e s t u d yo ni sm e a n i n g f u l m a j o rw o r k sa r ea sf o l l o w s ： f i r s t l y , t h ep r e c i s er e p r e s e n t a t i o n so fn o r m a l i z e db - b a s i sf o rc y l i n d r i c a ls p i r a la n d c o n i c a lh e l i xa r eg i v e nu n d e rf u n c t i o ns p a c e sp 12s p a n 1 ，t ，c o s t ，s i n t a n dl2 s p a n f l ，r ，c o s t ，s i n t ，t s i n t s e c o n d l y ，s u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o r t h ep r e c i s er e p r e s e n t a t i o n so fn o r m a l i z e d b b a s i so ft h e s es p i r a l sa r ed i s c u s s e dh e r e t h ec o n d i t i o ni st h a tt h ee n d p o i n t so f c o n t r o lp o l y g o na n dt h ea x i so f t h e s es p i r a l sa r eg i v e n t h i r d l y ，o n eo fn e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rt h er e p r e s e n t a t i o no f n o r m a l i z e db b a s i so f c y l i n d r i c a ls p i r a li sg i v e n f o u r t h l y t h ec o n s t r u c t i o no fc 2t h r e e o r d e rc b 6 z i e rc u r v e s b yn o r m a l i z e d b b a s i su n d e rf u n c t i o ns p a c e sp i = s p a n f l ，c o s t ，s i n t i sd i s c u s s e d f u r t h e r m o r e ，a n e x a m p l ea b o u tc y l i n d r i c a ls p i r a li sg i v e n l a s t l y , b yu s i n gn o r m a l i z e db b a s i s ，t h er e p r e s e n t a t i o no fp o s i t i v es p i r a ls u r f a c e b yc - b 6 z i e rs u r f a c em o d e li sg i v e n k 吖w o r d s ：s p i r a l ；n o r m a l i z e db b a s i s ；f u n c t i o n a ls p a c e ；c a g d ；b - a l g o r i t h m 西北大学学位论文知识产权声明书 f7 9 0 5 5 1 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻 读学位期间论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被 查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学 位论文。同时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文 章一律注明作者单位为西北大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：指导教师签名： 年月日年月日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 年月 日 采溯窟匆全文公蠢”。 排。 第一章绪论 本章简要介绍规范b 基的研究背景、发展历史，及本文的研究内容及相关安 1 1 研究背景 在c a d c g 中，曲线、曲面的表示和造型是一个有着较长历史的领域，二十 世纪六十年代初期就已经诞生。1 9 6 3 年，f u g e r s o n 提出将曲线曲面表示为参数向 量函数形式，在此之前曲线曲面都是采用函数表示形式y = ) 和z = 彤，y ) 或它们 的隐式方程f ( x ，y ) = o 和f ( x ，y ，z ) = o 的表示形式，f u g e r s o n 所采用的曲线曲面的参 数形式成为形状数学描述的标准形式。1 9 6 4 年，c o o n s 发表了一种由四条边界曲 线确定的参数曲面，即c o o n s 曲面片的构造方法，从而使由分片曲面表示完整曲 面成为可能。b 6 z i e r 于1 9 7 1 年发表了一种由控制多边形定义曲线的方法，可以方 便地控制曲线的形状，出色的解决了整体形状控制问题，为c a g d 的进一步发展 奠定了坚实的基础。虽然b 6 z i e r 方法简单、易于形状控制，但仍存在着连接问题、 局部修改问题。二十世纪7 0 年代初，d eb o o r g o r d o n 和r i e s e n f e l d 等人发展了b 样条曲线曲面的理论与算法。b 样条方法不仅继承了b 6 z i e r 曲线的大部分优点， 而且允许对曲线曲面进行局部修改。但是上述各种方法均不能表示圆锥曲线和球 面、椭球面等初等二次曲面，为此，v e r s p r i l l e 于1 9 7 5 年提出了有理b 样条方法。 在l p i g e l ，w t i l l e r 和f a r i n 等人的努力下，于二十世纪8 0 年代后期发展成为广为 使用的非均匀有理b 样条( n o n u n i f o r mr a t i o n a lb s p l i n e ，简称n u r b s ) 技术。 n u r b s 方法将有理和非有理b 6 z i e r 曲线曲面、b 样条曲线曲面及圆锥曲线和初等 二次曲面统一在一种表示之中，成为用于曲线曲面描述最广为流行的方法，并最 终使成为c a d c a m 行业的国际标准。然而，n u r b s 技术在形状设计和分析中仍 然存在一些局限性，例如： ( i ) 一般来说，一条k 次有理多项式曲线的导数是2 七次有理曲线。而一些 c a d c a m 系统不能处理高次的有理曲线、曲面。有些系统即使能处理，但是次 数越高，越容易导致数值计算的不稳定，而且有理曲线、曲面界的估计比较困难。 ( i i ) n u r b s 方法不能精确表示工业应用中广为使用的摆线、螺旋线、凸轮 线等超越曲线。 ( i i i ) 有理曲线、曲面表示形状时除了控制顶点以外，还需要额外的参数 即每一个控制顶点处的权因子。人们对于权因子的选取以及它们对形状的影响还 不是非常清楚。 有关n u r b s 技术的其他局限性，f a r i n l 6 1 ，p i e g l 9 1 十 1 1 e m a i n a r 15 1 给出了较为 详尽的讨论。 为了保持n u r b s 技术的优点，克服其缺点，许多学者提出了曲线、曲面造 型的新方法。a r d e s h i rg o s h t a s b y 3 j 提出了有理o a u s s i a n 睦线、曲面；g 6 r a l d i n e m o r i n h 4 1 提出了p o i s s o n 曲线、曲面；吕勇刚、汪国昭 2 4 - 2 5 j 提出了均匀三角多项式 b 样条曲线和均匀h y p e r b o l i c 多项式b 样条曲线：韩旭罩【2 6 l 提出二次三角多项式 曲线：陈秦玉1 2 ”提出了b 6 z i e r - l i k e 曲线。另外，还有一些学者将b 样条曲线的某 些多项式项用非多项式项来代替而得到，o 1 p o t t m a n n | 】给出的张量形式的指数样 条和张纪文| 4 ，”j 给出的c b 样条等。 然而一t 述新的曲线、曲面方法都只是或多或少地继承了传统曲线、曲面方 法的部分优点，且构造模型的方法没有理论支持可循，更多的是个人的天才与智 慧。为了真证继承传统曲线、曲面模型的优点克服其缺点，扩大基函数的表示 范围，e m a i n a r 和j m c a m i c e r t 2 ，1 3 , ”j 等人引入了规范b 基，建立了规范b 基理 论。觌范b 基即最优规范的全j 下基，因其具有凸包性、仿射不变性、最优保形性、 端点插值性及b 算法等重要性质，在c a g d 中具有重要的作用。c a g d 中广泛使 用的表示曲线的基函数，? l l l b e r n s t e i n 基、b 样条基、n u r b s 基等均为规范b 基。 e ，m a i n a r 和j m c a m i c e r 将传统的曲线、曲面模型统一在规范b 基理论框架之内， 这对新的曲线、曲面模型的建立，提供了重要的理论支持! 1 2 规范b 基研究现状 规范b 基的研究及应用始于j m c a m i c e r 、j m p e f i a 、j s a n c h e z r e y e s 口e m a i n a r 的丌创性工作。j m c a r n i c e r , t l j m p e f i a pj 提出了b 基的概念；e ，m a i n a r 和j m p e f i a l l 3 l 给出了b 算法和b 基的构造方泫，并对b 基的应用进行了探索；e m a i n a r 、j m p e f i a 丰f l j s i n c h e z r e y e s is 】给出了寻找b 基的实用方法，推动了b 基 的广泛应用。 如果：t 哿c a g d 中曲线曲面模型的发展统一在规范b 基理论下，图1 1 便可说明 这一情况。由图l ，1 可知，代数多项式函数空l 剖的规范b 基就是b e m s t e i n 基；样条 函数空问的规范b 基就是b 样条基；有理样条函数空间的规范b 基就是n u r b s 基。 j s a n c h e z r e y e s 给出了三角多项式空间中的规范b 基，e m a i n a r 1 s 和张纪文1 4 j 给出了四维代数和三角混合多项式空f i | j p l = s p a n l ，t ，c o s t ，s i n t 中的规范b 基( 即 c b z i e r 基) ；e m a i n a r 平l l j m p e f i a 17 1 给出了代数和三角混合样条空阳j p l = s p h f l ，c o s l ，s i n t ) 的规范b 基。进一步的工作将是继续完成代数和三角混合多项 式空侧、代数和三角混合样条空间中规范b 基的建立，以及有理函数空间中规范 b 基的构造，包括有理三角多项式样条空问和有理代数多项式样条与有理三角样 条多项式混合空阳j 中规范b 基的建立等。 图i i 规范b 基的研究现状 1 3 本文研究内容与安排 众所周知，空间圆柱螺线和圆锥螺线是工程应用中最常见的超越曲线，对其 表示和性质的研究前人已经丌展了不少。但以前人们对其只能进行参数表示，这 种表示缺乏精确性，不便于实际应用。由于规范b 基不仅继承了传统曲线、曲面 模型的优点，而且可以在更大范围内表示曲线、曲丽，包括空间圆柱螺线和圆锥 螺线这类超越型曲线。因此，研究在相应函数空间中空i b j 圆柱螺线和圆锥螺线的 精确规范b 基表示及在该组基下的相关性质具有十分重要的理论意义和应用价 值。 本文针对圆柱螺线和圆锥螺线的精确规范b 基表示这一具体问题，根据螺线 的性质及函数空间的性质，对这两类空间曲线的规范b 基表示条件进行了研究， 其具体工作如下： 1 ，基于规范b 基的性质，将圆柱螺线和圆锥螺线依据轴的不同，分别分为中 心轴与z 轴平行和中心轴方向任意两大类，并在在函数空f i j p i = s p a n 1 ，c o s t ， s i n t 年1 3 函数空f 日j l = s p a n 1 ，c o s t ，s i n t ，c o s t ，t s i n t ) 中予以精确规范b 基表示。 2 根据轴的类型不同，分别对圆柱螺线和圆锥螺线在已知首末控制顶点及 轴的条件下如何给出精确规范b 基表示，即对此两类螺线表示的充分条件进行了 讨论。 3 研究了圆柱螺线规范b 基表示的必要条件。 4 针对用规范b 基只能表示一个周期( 0 2 r r ) 的曲线，即 构造参数连续的组合c b z i e r 曲线，构造产三次c b 6 z i e r 样条曲线。 第五章对本文工作的技术等作出总结，同时提出了进一步的研究工作设想。 第二章规范b 基基本理论 本章系统讨论了规范b 摹的研究现状、规范b 基的理论和应用问题。2 1 节介 绍了规范b 基与形状保形表示之间的关系。2 2 节介绍了规范b 基的有关命题、定 理。2 3 节介绍了规范b 基的性质。2 4 节介绍了规范b 摹的b 算法。2 5 节回顾 了规范b 基的几种构造方法。2 6 节介绍了规范b 摹的一些应用。 2 1 形状保形表示与规范b 基 在c a g d 中通过控制多边形定义曲线的方法一直是一条丰线。下面沿着这一主 线回顾如何找出具有最优保形表示的规范b 基。 控制多边形：如果给定空间彤中一点列风，“，那么就定义一条曲线 三 ，( ，) 2 乞pr q ( ，) ， j - 0 ，。i = o ，”，称为控制顶点，顺次连接形成的多边形叫做曲线| 口( r ) 的控制多边形。 对于基函数“，( f ) ，i = o ，n ，通常要求它们非负且满足条件q ( f ) ；1 ，即函数系 面 u = ( “。，) 是规范的。一个规范的非负函数系通常称为调配函数系。 l “i 包性对于曲线设计来说十分重要。对任何控制多边形，曲线总位于控制多边 形的i “i 包内。1 1 1 1 包性成立的充要条件是u 为一调配函数系。此外，对于调配函数系， 仿射不变性同样成立：计算曲线上的一个点然后再对这个点作仿射变换与先对控制 多边形作仿射变换然后再计算变换后曲线上的点的结果是一样的。 调配函数系具有i i i i 包性和仿射不变性。那么如何判断一个函数系是调配函数系 昵? 除了用定义以外，下面再给出一个判断条件，这就要0 入函数系的配置矩阵的 概念。 配置矩阵：给定一个定义在区间r 上的函数系u = ( ，虬) ，u 在，中关于 ，。c cr 。的配置矩阵定义为 m 川= ( 吣) ) 笛，：。 ( 2 1 ) 、0 m 显然，u 是调配函数系的充要条件是它的所有配置矩阵都是s t o c h a s t i c 的( 非负且 每一行的和为1 ) 。 除了要求i ”l 包性，我们还要求有端点的插值性，目u 曲线通过首末控制顶点。这 是因为在外形设计中，为了能更好地控制曲线和实现多段曲线的拼接，设计者希望 能够对曲线的端点进行精确地控制。此外，在交互式设计中，我们同样希望牛成的 曲线能够模仿其控制多边形的形状，这样就可以通过适当地选择和改变控制多边形 来控制曲线的形状。 为了能满足上述性质，就需要引入规范全正基。 规范全正基：一个矩阵是全正的，如果它的所有予式非负。一个函数系是全正 系，如果它的所有配置矩阵( 2 1 ) 是全正的。因此，如果给定了一组规范的全正基， 那么它一定满足保形性，这由全正矩阵的变差缩减性所保证。另外，它也满足端点 插值性。因为规范的全正基一定是调配函数系，所以对于给定的规范的全正基，它 就同时满足l “j 包性、仿射不变性、端点插值性利保形性。 进一步，对于形状保形性，只是说曲线模仿其控制多边形的形状，那么这种模 仿中，是否有最优的呢? 从几何上看，就是如果有几组规范的全正基，是否存在这 样一组规范的全正基，当它与其他任何一组规范的全正基表示同一条曲线时，它的 控制多边形最接近曲线，也就是它的控制多边形总是位于其他的控制多边形和牛成 曲线之间呢? 对于这个问题的数学描述，就是要找一个规范的全正基b = ( ，6 。) ， 使得对任何一个规范的全正基u = ( 0 ，“) ，都有u = b k ，这里k 是一个s t o c h a s t i c 全正矩阵。如果存在，则称这样的规范全正基为最优规范全正基，即规范b 基，它 具有最优保形表示。1 9 9 4 币，c a r n i c e r 和p e f i a 2 1 给出了一个满意的答案：一个空间如 果有规范的全正摹，那么一定有惟一的规范b 基。此外，规范b 基有相应的b 算法， 这样的算法具有计算曲线上点利了分曲线的性质，这对应用带来了方便。 至此，我们已经找到了在c a g d 设计中，我们想要得到的基规范b 摹，它具 有i l l 包性、仿射不变性、最优保形性、端点插值性利相应的b 算法。已经证明：定 义在区间 c , b 】上的次数不超过”的多项式函数空间中，b e r n s t e i n 基就是规范b 摹：在 样条空间中，b 样条基就是规范b 基；在有理样条函数空间中，n u r b s 摹就是规范b 基。 2 2 规范b 基及其性质 定义221 定义在，r 上的函数系u = ( “。，) 称为全正函数系，若它的所有 配置矩阵( 21 ) 是全正的。 定义222 设( b o ，b 。) 是函数空间h6 】的一组基，若6 ，( ，) * l ，f h 6 】i 则 ，= 0 称( “，6 。) 为规范基。 定义223 对于一组规范的全正基b ：( “，6 。) ，如果满足：对任何一个( 规范 的) 全正基u = ( ，) 都有u = b k ，这里k 是一个s t o c h a s t i c 全正矩阵。那么这组 规范的全正摹( 6 ，乩) 就是最优( 规范的) 全正皋。 定义2 2 4 令w 是一个定义在，上的有限维向量空间，w 中的b 摹( “，b ) 是 组全正基，它满足b c ( w ) m ”。( ) ，f - o ，月。 命题2 2 1 如果有限维函数向量空间有全正基，那么它就有b 基。 由上述的定义，我们看到最初规范b 基和最优规范全正基不是同一个概念。b 基 的概念是强调它的构造，有其相应的函数性质；而最优规范全正基则是从几何的观 点出发的。下面说明最优规范全正基和规范b 基的意义是一致的。 命题2 2 2 设( c 。，o ) 是一个全正基。如果满足对任何的全正基( ，) 都有 变换公式( ，) = ( c 。，o ) k ，k 是全正的，那么( ，巳) 是一个b 基。 命题2 2 3 令( 6 0 ，以) 是空间中的全正摹，那么( b o ，一，b 。) 是b 基的充要条件 是 i n f b , ( t ) b ) l ，b ，( f ) 0 _ 0 ，v i ( 2 2 ) 至此，我们给出了b 基和最优规范全正基的一致性利b 基的存在性。虽然可以应 用到规范b 摹上，但还没有解决惟一性。 定理2 2 1 已知一个定义在，上的有规范全正基的函数向量空间，那么存在惟 一的最优规范全正基，也就是规范b 基。 命题2 24 令( c o ， ) 是函数空间w 的一组b 基( 或规范b 摹) ，则空间w 中的 基是b 基( 或规范b 基) 的充要条件是它有形式( d 。c o ，a c 。) ，吐 o 或一= 1 对所有的 i = 0 ，一，n 成立。 命题22 5 如果w 是连续函数空间，令( 6 。，6 。) 是w c ( ，) 上的规范全正基， 则( 氏，吒) 是规范b 基的充要条件是 l i r a6 ，( r ) b ，( r ) = o ，i ，l i m6 j ( ，) b ，( ，) = 0 ，i ( 2 3 ) ，mp + p 一 这里，盯，= i n q l ，l ，c 尺u 一c c ) ，卢，= s u p ，i t ，c r u + t ，= ，p ，( ，) o l 。 定义225c ”k 纠表示定义在区间瞳剀上的一次可微的连续函数空间。 下面给出( 一+ i ) 维空间c ”h 川上规范b 摹的两个有用的结论。 命题226 设wc c ”【_ i 】是( n + i ) 维函数空间，若对任一区间k6 】c ( 日，i ) ，存在 w 中的函数系( ，) ，满足条件 “j ”( 口) = o ，j 。o ，一，i 一1 “j ”( 。) o ，f ：o h( 2 4 ) “! ”( 6 ) = o ，= o ，- ，n t i z f ( 6 ) 0 则( ，) 是w a ，6 j 中的b 基。 命题22 7 若( ，h ) 是伽+ 1 ) 维空间w c c “ - ，5 】中的b 苯，则 ”( 日) = 0 = 0 ，一，i 一1 ，i = 0 ，一，”( 2 5 ) “j ”( 6 ) = 0 ，= 0 ，一， 一i i 若要求是规范b 摹，还应满足条件 女 l f ；( 口) = o ，“：，( 6 ) = 0 ，k = i ，- ，” ( 2 6 ) - 0，；0 规范b 摹具有以下重要性质： ( 1 ) j l l i 包性： ( 2 ) 仿射不变性； ( 3 ) 最优保形性； ( 4 ) 端点插值性： ( 5 ) 边界切性； ( 6 ) b 算法。 性质( 1 ) 和( 2 ) 由调配函数的性质保证，性质( 3 ) 则由命题2 2 2 保证。 2 3 规范b 基的b 算法 规范b 摹都有b 算法，它是一种类似于d ec a s t e l j a u 算法的割角算法，具有分割和 求值的性质。 已经知道，全正矩阵的乘积还是全正矩阵。全正矩阵可以分解为若干个两对角 非负矩阵的乘积。一个非奇异的s t o c h a s t i c 全正矩阵可以分解为l u ，l ( u ) 是非奇异 的s t o c h a s t i c 下( 上) 二角全正矩阵。另外，( m + 1 ) ( + 1 ) 非奇异的下( 上) - - 角s t o c h a s t i c 矩阵l ( u ) 可以惟一地分解为两对角s t o c h a s t i c 矩阵的乘积。 定理231 s l 设l ( u ) 是非奇异s t o c h a s t i c t ( 上) 二角全正矩阵，则枷+ 1 ) ( m + 1 ) 的非奇异下二角s t o c h a s t i c 矩阵l 可以惟一地分解为两对角s t o c h a s t i c 矩阵的乘积 l = l 。一，- l 。l 。其中 l ，=0 1 0 7 l - 0 类似地，一个非奇异上二角s t o c h a s t i c 矩阵u 可以惟一的分解为两对角s t o c h a s t i c 矩阵的乘积u = u 。u u 。，其中 u = “品i - l i 出 010 0 l 定义231 一个摹本割角是一个变换，它将任一多边形p o p 。变换成另一个多 边形风b 。变换定义如下 b ，= p j , j i ，b = ( 1 一a ) p ，+ 印，i o ，n l ，0 o ，= o ，1 ，2 ，3 ； ( 3 ) 端点性质 f | 口( o ) = p o ，p ( 口) = p 3 k 。) = ( ”m 州。) = i ( p 3 - p 2 ) ( 4 ) 当a _ 0 时，互( ，) _ e3 ( ，) ，i = 0 ，1 ，2 ，3 。 为了应用更广泛起见，对z 。( f ) ，z i ( f ) ，z ：( f ) ，z ，( f ) 作参数变换f - t a ，则得到 定义在区间【口6 上的规范b 基： j z 。( ，) = 华，z l o ) = ，( 华一z 。( ，) ) ，。【。，6 ，口。6 一。2 ，( 3 1 2 ) 【z 2 ( ，) = z i ( 口+ b f ) ，z 3 ( t ) = z o ( 口+ b 一，) 3 1 2 中心轴与z 轴平行的圆柱螺线的规范b 基表示 中心轴通过点q ( x q , y 。，z 。) 且与z 轴平行的圆柱螺线可表示为： 由于 p ( o = 1 ， c o s t s i n t x ( r ) y ( f ) z ( f )妄j ( 3 1 3 ) 将其代入式( 3 1 3 ) ，即得中心轴过点q ( x 。，y 。，= 。) 且与z 轴平行的圆柱螺线的规 范b 基表示： 3 p ( r ) = p ，z ，( f ) j = 0 j4 - h k 0 l | i 、j一 + 吲m 幻 c s厅 、l l | 历五易历 6 66_c 6 6 培 培 7 - 1 + rn 曲卜 s nr 引 口 口 n n。( = = ，+ 一 口一哪 口 o口m r z 。( ，) 6 c o s q - f 。q 6 ( c 0 5 a - t s i “4 ) + 。q6 ( c o s b + t s i n b ) + 。q 。0 3 6 + x qlz i ( ，) 。5 i n a + 托6 5 ”a t + ( 。t + c o r s ) a + y q6 5 1 “b 女- ( 6 t c o s ) b + 儿“5 1 n b + 9 0z2(t)ka tk b l2 t 七( o + r )七( 6 一)0 l z ，( ，) 特别，当中心轴是z 轴时 p ( f ) = 旧( f ) h c o s ah ( c o s 口ts i n d ) h ( c o s b + t s i n 6 ) h s i n 口h ( s i n a + tc o s 口) h ( s i n6 一t c o s b ) k a k ( a + t )k ( b t ) 3 1 3 中心轴方向为而的圆柱螺线的规范b 基表示 z o ( f ) z 。( ，) z ! ( f ) z 3 ( t ) ( 3 14 ) ( 3 1 ，5 ) 中心轴过点q ( x 。，y 。，z 。) ，方向为单位向量i = ( m n p ) 的圆柱螺线可表示为 p ( t ) = x ( 1 ) y ( t ) z ( t ) nc o s f = a lh s i n t 打 x v y v _ 一q x 。l s kf l 1 2 h ，。”3 女”i h ”2 h ：。n s k ”、 n 2 h 其中，驴为i 和z 轴夹角，日为i 在x o y 面投影和x 轴夹角。 由于 a = l t c o s ， s i n t f i1 2 脚l优2 胛in 2刘 c o s c o s 目一s i n 目s i n c o s 口 c o sr o s i n 目c o s 口s i n s i n 目 一s i n 妒0c o s 妒 ll 口t+口 c o s 日c o s a ts i n d s i n ot c o s 口+ s i n a 1l 6 一tb t s i n b + c o s bc o s 6 s i n b t c o s bs i nb z o ( f ) z ，( t ) z 2 ( ，) z ，( f ) 将其代入式( 3 1 6 ) ，即得中心轴过点q ( x q ，y q ，z 。) 方向为i 的圆柱螺线的规范b 基表示： 1 5 ( 3 1 7 ) ，w叫0 菪| m 的 厅 ，吣c 一 p roiiiioiii趣 磊互己一乙 r；，j，l，l 6 日6+口 l 兰一 i | p z n ，m | 1 )p i 。q + f 3 女a + i hc o s a + l a h s i n 口1f k f 】h s i n 口+ f 2 hc o s 口 q = f 朋+ m 3 后日+ m i hc o s a + m 2 h s i n 口f ，b l = t f m 3 k 一聊i hs i n 口+ m ，矗c o s d f l 毛3 肠栅i 觚0 5 a + n 2 h s i n aj l 1 3 t n l hs i n a + n 2 c 。s 口f f 。q + 1 3 k b + ，l h c o s b + 1 2 h s i n b1f k 一 s i n 6 + f c 。s 6 吗= h + m 3 k b + m i h c o s b 2 h s i n b ，b ! = t m 3 k m l h s i nb + m ，h c o s 6