（计算数学专业论文）asymptotic+stability+of+neutral+delay+differentialalgebraic+equations+and+numerical+s.pdf

上海师范大学硕士学位论文 中文摘要 摘要 延迟微分代数系统( d d a e s ) 是具有时滞影响和代数约束的微分系统，在线路分 析、最优控制、计算机辅助设计、实时仿真、化学反应模拟以及管理系统等科学与工程 应用领域中，有着广泛的应用。中立型延迟微分代数系统( n d d a e s ) 是一种结构较复杂 的d d a e s ，因为它不仅含有延迟项，而且还包含延迟项的导数，所以在n d d a e s 上所取 得的结论几乎都适用于d d a e s 。然而，由于延迟微分代数方程的复杂性，解析解的具体 表达式大多无法得到，因此，数值求解延迟微分代数系统已成为主要和重要手段之一。 而在数值解的研究中，有效可靠的算法及算法的数值稳定性研究，又是我们必须首先面 对的问题。 本文主要讨论了线性常系数中立型延迟微分代数系统理论解和数值解的渐近稳定性。 首先，通过分析相应的特征方程根的性质，给出并证明了一个线性常系数n d d a e s 理论解 渐进稳定的充分条件；在此基础上，进一步讨论了用日方法，线性多步法和龙格库塔法等 数值方法求解线性常系数n d d a e s 的相关算法，详细讨论了三种方法数值解渐近稳定的条 件；最后给出了一些数值实验，数值实验的结果显示理论上的结论是正确的。 关键词：中立型延迟微分代数系统，渐近稳定性，p 方法，线性多步法，隐式龙格库塔 法，a 稳定性 英文摘要上海师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t d e l a yd i f f e r e n t i a l a l g e b r a i ce q u a t i o n s ( d d a e s ) ，w h i c hh a sb o t hd e l a ya n da l g e b r a i cc o n s t r a i n t s ，a r i s e si na w i d ev a r i e t yo fs c i e n t i f i ca n de n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n s ，i n c l u d i n gc i r c u i ta n a l - y s i s ，o p t i m a lc o n t r o l ，c o m p u t e r - a i d e dd e s i g n ，r e a l - t i m es i m u l a t i o n ，c h e m i c a lp r o c e s ss i m u l a t i o n a n dm a n a g e m e n ts y s t e m n e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a l - a l g e b r a i ce q u a t i o n s ( n d d a e s ) i sak i n do f d d a e sw i t hm o i ec o m p l i c a t e ds 仃u c t u r es i n c ei tn o to n l yh a sd e l a yt e r m sb u ta l s ot h ed e r i v a t i v e s o fd e l a yt e r m s t h e r e f o r e ，a l m o s ta 1 1o ft h ec o n c l u s i o n sw eh a v eo b t a i n e df r o mn d d a e sc a l l b ea p p l i e dt od d a e s h o w e v e r , b e c a u s eo ft h ec o m p l e x i t yo fd d a e s i tb e c o m e s q u i t ed i f f i c u l t t oo b t a i nt h ea n a l y t i cs o l u t i o n s t h e r e f o r e ，i ti sn e c e s s a r yt oi n v e s t i g a t et h en u m e r i c a lm e t h o d s f o rdd a e sa n di th a sb e c o m eo n eo ft h em o s tp r i m a r ya n di m p o r t a n tm e t h o d st os o l v ed d a e s f u r t h e r m o r e ，e f f e c t i v ea n dr e l i a b l ec o m p u t a t i o n a lm e t h o d sa n dt h es t a b i l i t yo fn u m e r i c a lm e t h o d s a r et h ep r i m a r y p r o b l e m sw eh a v et of a c ei nt h er e s e a r c ho ft h en u m e r i c a ls o l u t i o n t i l i st h e s i si sc o n c e m e dw i t ht h ea s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fa n a l y t i c a la n dn u m e r i c a ls o l u t i o n so f n d d 肛s f i r s t ，b ys t u d y i n gt h er o o t so fc o r r e s p o n d i n gc h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o n w eg i v ea n dp r o v e an e ws u 伍c i e n tc o n d i t i o nu n d e rw h i c hl i n e a rn d d a e sw i t hc o n s t a n tt o e 伍c i e n t si sa s y m p t o t i c a l l ys t a b l e t h e n ，w ed i s c u s st h ea s y m p t o t i cs t a b i l i t yo f 口一m e t h o d s ，l i n e a rm u l t i s t e pm e t h o d sa n d i m p l i c i tr u n g e k u t t am e t h o d sw h e nm e ya r ea p p l i e dt oa s y m p t o t i c a l l ys t a b l en d d a e s f i n a l l y , s o m en u m e r i c a le x p e r i m e n t sa r ec a r r i e do u tt od e m o n s t r a t et h ec o n c l u s i o n s k e yw o r d s ： n e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a l a l g e b r a i ce q u a t i o n s ，a s y m p t o t i cs t a b i l i t y , 0 - m e t h o d s ， l i n e a rm u l t i s t e pm e t h o d s ，i m p l i c i tr u n g e k u t t am e t h o d s ，a s t a b l e 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除了特别 加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或机构已经发表或撰写过的研究成果。其他同 志对本研究的启发和所做的贡献均己在论文中做了明确的声明并表示了谢意。 作者虢嗌匀= 吼笙乒：生三 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以 采用影印、缩印或其它手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此规定。 作者签名：钪j 导师签名：薄日期：竺乒z 望 上海师范大学硕士学位论文 c h a p t e r1i n t r o d u c t i o n c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n 1 1d d a e sa n dn d d a e s a sw ek n o w , m o s tt r e a t m e n t so fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( o d e s ) ，b o t ha n a l y t i c a la n d n u m e r i c a l ，b e g i nb yd e f i n i n gt h ef i r s to r d e rs y s t e m f ( t ，z ( t ) ，z ) ) = 0 ， ( 1 1 1 ) w h e r efa n dza r ev e c t o rv a l u e d a c t u a l l y , i nm a n yr e a l i s t i cm o d e l s ，w es h o u l dk n o ws o m ep a s t s t a t e se v e ns o m ep a s tc h a n g er a t e so ft h e s es y s t e m s t h u s ( 1 1 1 ) c o n v e r t st ot h ef o l l o w i n gf o r m s f ( t ，z ( t ) ，x ( t 一7 - ) ，z ( t ) ) = 0 ， f ( t ，z ) ，x ( t 一7 ) ，z ( t ) ，z 7 一r ) ) = 0 ， ( 1 i 2 ) ( 1 1 3 ) w h e r e7 - d e n o t e st h ec o n s t a n td e l a y a na s s u m p t i o nt h a t ( 1 1 1 ) ，( 1 1 2 ) o r ( 1 1 3 ) c a nb er e w r i t t e n i nt h ee x p l i c i t ，o rn o r m a lf o r m z 讯) = f ( t ，z ( t ) ) ， z 他) = f ( t ，z ( t ) ，x ( t 一下) ) ， z 7 ( t ) = f ( t ，。 ) ，x ( t 一7 - ) ，z 7 ( t 一7 - ) ) ( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) i st h e nt y p i c a l l yi n v o k e d t h e r e a f t e r , m o s tt h e o r e m sa n dn u m e r i c a lt e c h n i q u e sd e v e l o p e dc o n - c e l - no n l y ( 1 1 4 ) ，( 1 1 5 ) o r ( 1 1 6 ) t h es y s t e m s ( 1 1 5 ) a n d ( 1 1 6 ) a r er e s p e c t i v e l yc a l l e dd e l a y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( d d e s ) a n dn e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( n d d e s ) h o w e v e r , t h e r ea r ea l s om a n yr e a l i s t i cm o d e l st h a tt h er e w r i t i n gi si m p o s s i b l eo rl e s sd e s k - a b l e t h e s es y s t e m s ，w h i c ha l eg i v e nm o s tg e n e r a l l ya s ( 1 1 1 ) a n dc a l l e dd i f f e r e n t i a l - a l g e b r a i c e q u a t i o n s ( d a e s ) ，a r i s ei naw i d ev a r i e t yo fs c i e n t i f i ca n de n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n ss u c ha sc i r c u i t l c h a p t e r1i n t r o d u c t i o n 上海师范大学硕士学位论文 a n a l y s i s ，o p t i m a lc o n t r o l ，c o m p u t e r - a i d e dd e s i g n ，r e a l - t i m es i m u l a t i o n ，c h e m i c a lp r o c e s ss i m u l a - t i o na n dm a n a g e m e n ts y s t e m f u r t h e r m o r e ，i ns o m es i t u a t i o n s ，f o re x a m p l e ，i nr e a l - t i m es i m u l a t i o n ，w h e r et i m ed e l a y sc a nb ei n t r o d u c e db yt h ec o m p u t e rt i m en e e d e dt oc o m p u t ea no u t p u t a f t e rt h ei n p u th a sb e e ns a m p l e d ，a n dw h e r ea d d i t i o n a ld e l a y sc a nb ei n t r o d u c e db yt h eo p e r a t o r - i n t h e - l o o p 1 d e l a y sa r i s ea l s oi n c i r c u i ts i m u l a t i o na n dp o w e rs y s t e m s ，d u et o ，f o re x a m p l e ， i n t e r c o n n e c t sf o rc o m p u t e rc h i p s 【2 l a n dt r a n s m i s s i o nl i n e s ，a n di nc h e m i c a lp r o c e s ss i m u l a t i o n w h e nn o d e l i n gp i p ef l o w s 3 ，3 2 s ow eh a v et of a c et h ed e l a yd i f f e r e n t i a l - a l g e b r a i ce q u a t i o n s s u c ha st h ef o l l o w i n gf o r m ( 1 1 7 ) w h e r et h ej a c o b i a no ffw i t hr e s p e c tt oz j ( d e n o t e db yo f o z j = b i ) i sn o n s i n g u l a ra n d i ss i n g u l a r h e r e ，t h es e c o n de q u a t i o ni sf r e q u e n t l yc a l l e da l g e b r a i cc o n s t r a i n so nt h ev a r i a b l e s a f t e rl e t t i n gz = ( z 1 ，x 2 ) t ，w ec a nr e w r i t e ( 1 1 7 ) a st h ef o l l o w i n gf o r m s a x 他) = f ( t ，z ( t ) ，x ( t 一丁) ) ， ( 1 1 8 ) a x 讯) = f ( t ，z ( t ) ，x ( t 一丁) ，z 他一7 - ) ) ( 1 1 9 ) w h e r et h ec o e f f i c i e n tm a t r i xai ss i n g u l a r w h e n7 - = 0 ，t h es y s t e m ( 1 1 8 ) o r ( 1 1 9 ) i sj u s t d i f f e r e n t i a l a l g e b r a i ce q u a t i o n s ( d a e s ) w h e n7 0 ，t h es y s t e m ( 1 1 8 ) a n d ( 1 1 9 ) a r er e s p e c t i v e l yc a l l e dd e l a yd i f f e r e n t i a l - a l g e b r a i ce q u a t i o n s ( d d a e s ) a n dn e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a l - a l g e b r a i ce q u a t i o n s ( n d d a e s ) t h e r ea r es e v e r a lr e a s o n st oc o n s i d e r ( 1 1 8 ) o r ( 1 1 9 ) d i r e c t l y , r a t h e rt h a n ( 1 1 5 ) o r ( 1 1 6 ) f i r s to fa l l ，w h e np h y s i c a lp r o b l e m sa r es i m u l a t e d ，t h em o d e l so f t e nt a k et h ef o r mo fd d a e s o rn d d a e s f o re x a m p l e ，t h ee q u i v a l e n tc i r c u i t ( p e e c ) m o d e lo fp a r t i a ld e m e n ti nc i r c u i t 2 o = r一 ，2 0 = 石 吖 丁 一 吐 心 吖 z z 丁 一 现 石 吖 t z z 丁 丁 一 一 t t z z z z f g ，ljl_-l 上海师范大学硕士学位论文c h a p t e r1i n t r o d u c t i o n s i m u l a t i o ni sg e n e r a l l ya l ln d d a e s 4 m3 c z 7 ( 亡) + 瓯，m z 7 一t 。l ，m ) = - g x ( t ) 一台t j z ( t 一噶) + b 钍( 亡) ， ( 1 1 1 0 ) k ，r a = li d = 1 w h e r et h es t a t ev a r i a b l e szi st h en o d a lv o l t a g e t h ec o e f f i c i e n tci ss i n g u l a r d d a e sa r i s e s w h e nd i f f e r e n t i a l - a l g e b r a i ce q u a t i o n s ( d a e s ) f r o mc i r c u i t so rp o w e rs y s t e m so rm e c h a n i c a lo r c h e m i c a ls y s t e m sa r es u b j e c tt od e l a y s t h ep u r p o s eo ft h i sw o r ki st os t u d yt h ec o n d i t i o n i n go f s o m eo ft h e s es y s t e m sa n dt h e i rn u m e r i c a ls o l u t i o n 3 s e c o n d l y , p a r a m e t e r sa l ep r e s e n ti nm a n y a p p l i c a t i o n s c h a n g i n gm o d e l sm e a nc h a n g i n gp a r a m e t e rv a l u e sw h i c h c a l la l t e rt h er e l a t i o n s h i p s b e t w e e nv a r i a b l e s t h i r d l y ，i ft h eo r i g i n a ld d a e sc a nb es o l v e dd i r e c t l y , t h e ni tb e c o m e se a s i e r f o rt h es c i e n t i s t sa n d e n g i n e e r st oe x p l o r et h ee f f e c to fm o d e l i n gc h a n g e sa n dp a r a m e t e r v a r i a t i o n i ta l s ob e c o m e se a s i e rt oi n t e r f a c em o d e l i n gs o f t w a r ed i r e c t l yw i t hd e s i g ns o f t w a r e 【5 i t i s o b v i o u s t h a t t h es t r u c t u r e s o f t h es y s t e m s ( 1 1 8 ) a n d ( 1 1 9 ) a r e d i f f e r e n t f r o m t h es y s t e m s ( 1 1 5 ) a n d ( 1 1 6 ) t h u sd d a e sm e r i t sas e p a r a t ei n v e s t i g a t i o ni nt h e i ro w nr i g h t a sp e t z o l d 【6 】h a sc o m m e n t e df o rd a e s ，“d a e sa r en o to d e s ”，a n di ti saf o r t i o r it r u et h a td d a e si s i ng e n e r a ln e i t h e rd a e sn o rd d e s 7 t h er e l a t i v et h e o r e t i c so fd d e so rn d d e sc a nn o tb e a p p l i e dt od d a e s o rn d d a e s s oi ti sb e c o m em o r ea n dm o r es i g n i f i c a n tt os t u d yt h et h e o r yo f n u m e r i c a lm e t h o d sf o rd d a e so rn d d a e s 1 2c u r r e n tt h e o r ya n da l g o r i t h mr e s e a r c h t h es t a b i l i t yo fn u m e r i c a lm e t h o d sf o rd d e sa n dn d d e sh a sb e e nv e r yi n t e n s i v e l ys t u d i e d s i n c e1 9 8 0 s a n dg r e a ta c h i e v e m e n t sh a v eb e e no b t a i n e d f o re x a m p l e ，t h en u m e r i c a ls t a b i l i t yo f t h e0 - m e t h o d sc a l lb er e f e r r e dt o 【1 3 ，1 9 ，2 1 ，2 7 t h es t a b i l i t yo fl i n e a rm u l t i s t e pm e t h o d sc a n b er e f e r r e dt o 【1 4 ，16 ，18 - 2 0 ，2 8 ，2 9 】a n dt h es t a b i l i t yo fr u n g e k u t t am e t h o d sc a nb er e f e r r e dt o 【1 7 - 1 9 ，2 5 w i t hf u r t h e rr e s e a r c hi nt h es t a b i l i t yo fd d e sa n dn d d e s ，s o m er e s e a r c h e r sh a v ep a i da t - 3 c h a p t e r1i n t r o d u c t i o n 上海师范大学硕士学位论文 t e n t i o nt or e s e a r c ho nt h en u m e r i c a lm e t h o d sa n ds t a b i l i t ya n a l y s i so fd d a e sa n dn d d a e s c a m p b e l l 【8 ，9 】c o n s i d e r e dd d a e s w i t has i n g l ec o n s t a n td e l a y t h ea s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fh e s - s e n b e r gd d a e sw i t ho n ed e l a y e dd i f f e r e n t i a lv a r i a b l ea n do n ed e l a y e da l g e b r a i cv a r i a b l e ，b o t h w i t ht h es a m ec o n s t a n td e l a y , h a sb e e na n a l y z e db yz h ua n dp e t z o l d 【3 3 a s c h e ra n dp e t z o l d 【3 】h a dp r e v i o u s l ya n a l y z e dt h ec o n v e r g e n c eo fn u m e r i c a lm e t h o d sf o rt h i sc l a s so fh e s s e n b e r g d d a e s h a u b e r 【10 】a n dl i u 【11 】c o n s i d e r e dt h en u m e r i c a ls o l u t i o no fs e m i e x p l i c i td d a e s o fa r e s t r i c t e dc l a s so fp r o b l e m so ft h es e m i e x p l i c i td d a e c a m p b e l la n dl i n h 【1 2 】a l s os t u d i e dt h e a s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fd d a e s w i t hm u l t i p l ed e l a y s t h e s ep a p e r sp r o v i d ev a l u a b l ei n s i g h ti n t o v a r i o u sf e a t u r e so fd d a e s o nt h eo t h e rh a n d ，i n19 9 7 ，z h ua n dp e t z o l d 【3 2 f i r s tc o n s i d e r e d h o m o g e n e o u sl i n e a rc o n s t a n tc o e f f i c i e n tn d d a e s a x ( t ) + b x ( t ) + c x 7 一丁) + d x ( t 一7 ) = 0 ( 1 2 1 ) w h e r ea ，b ，c ，d c ，ai sas i n g u l a rm a t r i x ，丁i sag i v e np o s i t i v ei n t e g e rc o n s t a n t ，z ( t ) i s t h ev e c t o r - v a l u e du n k n o w nf u n c t i o n t h e yh a v es h o w nt h a tt h es y s t e m ( 1 2 1 ) i sa s y m p t o t i c a l l y s t a b l ei f t h em a t r i xp e n c i l ( a ，b ) o n l yh a ss i n g u l a rv a l u e sw i t hn e g a t i v er e a lp a r t ， ( 1 2 2 ) s u pp ( s a + b ) _ 1 ( s c + d ) 】 0 t h ea n a l y t i c a ls o l u t i o no f ( 1 2 1 ) s a t i s f i e s 1 i mz ( t ) = 0 t - - - - o o a sw ek n o w , t h es o l u t i o no fad i f f e r e n t i a le q u a t i o nc a nb es t u d i e dv i at h ec h a r a c t e r i s t i ce q u a - t i o no ft h eo r i g i n a ls y s t e m i nt h i sp a p e r , n d d a e s ( 1 2 1 ) c a nb er e d u c e dt oal i n e a re s s e n t i a l u n d e r l y i n gd e l a yo d e 【15 a n dt h es t a b i l i t yo fi t se x p o n e n t i a ls o l u t i o nc a nb es t u d i e dv i a t h e c h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o n h o w e v e r , w en o wc o n s i d e rd i r e c t l yt h es t a b i l i t yo ft h ee x p o n e n t i a ls o l u t i o n st o ( 1 2 1 ) x ( t ) = e 时，专= ( 1 ，已，知) t c a s s u m i n ge x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fac o n t i n u o u ss o l u t i o na r es a t i s f i e d t h e nt h ec h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o no f ( 1 2 1 ) c a l lb ee a s i l yo b t a i n e d p ( s ，e 一盯) = d e t ( s a + b ) + ( s c + o ) e 一盯】= 0 ( 2 0 2 ) a c c o r d i n gt ot h et h e o r yo fm i r a m k e r 2 4 ，n d d a e s ( 1 2 1 ) i sa s y m p t o t i c a l l ys t a b l ei ft h e f o l l o w i n gi ss a t i s f i e d p ( s ，e 叫r ) = 0 兮r e ( s ) 一r 0 ， ( 2 0 3 ) w h e r e7 i sap o s i t i v er e a lc o n s t a n t i no t h e rw o r d s ，t op r o v et h ea s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fn d d a e s ( 1 2 1 ) ，w en e e do n l ys h o wt h a tt h er o o t sso f ( 2 0 2 ) a l lh a v en e g a t i v er e a lp a r t sb o u n d e da w a y f r o m0 i no r d e rt op r o v eo u rm a i nt h e o r e m ，w h i c hi st h es u f f i c i e n tc o n d i t i o no ft h ea s y m p t o t i c 7 c h a p t e r2a s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fa n a l y t i c a ls o l u t i o n sf o rn d d a e s 上海师范大学硕士学位论文 s t a b i l i t yo fs y s t e m ( 1 2 1 ) ，w ef i r s tg i v et h ef o l l o w i n gl e m m a l e m m a2 0 1a s s u m et h a t d e t ( a + c e 叫7 ) = 0 号r e s 0 ，8 c ， t h e nt h er e a l p a r t so f t h ez e r o so f d e t ( a + c e 一8 r 1a r eb o u n d e da w a y f r o md ( 2 0