（计算数学专业论文）抛物方程的非协调有限元分析.pdf

郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学位论文没有剽窃、 抄袭等违反学术道德，学术规范的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的一 切法律责任和法律后果特此郑重声明 学位论文作者。签名，：冬奎险 2 0 0 6 年9 月 摘要 本文将一个非协调三角形膜元( c a r e y 元) 应用于二维空间中的非线性抛物型 积分微分方程，得到了最优的r 模和模误差估计另外，还讨论了一个较新非 协调矩形元在各向异性剖分下对二阶抛物方程的逼近，利用该单元的特殊性质及 新的技巧，在不需要r i t z 投影或任何修正格式情况下得到最优的误差估计 关键词：非线性抛物型积分微分方程抛物型方程非协调元 最优误差估计 3 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，an o n c o n f o r m i n gt r i a n g u l a rm e m b r a n ee l e m e n ti sa p p l l e d t on o n l i n e a rp a r a b o l i ct y p ei n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o ni nr 2 ，a n dt h e o p t i m a le r r o re s t i m a t e so fr - n o r ma n dh l n o r ma r eo b t a i n e d o nt h e o t h e rh a n d 。t h ea p p r o x i m a t i o no ft h es e c o n do r d e rp a r a b o l i cp r o b l e mi sa l s o s t u d i e do na n i s o t r o p i cm e s h e sw i t han e wn o n c o n f o r m i n gr e c t a n g u l a r e l e m e n t b a s e do ns p e c i a lp r o p e r t i e so ft h ee l e m e n ta n ds o m en o v e l t e c h n i q u e s ，t h eo p t i m a le r r o re s t i m a t ei sd e r i v e dw i t h o u tu s i n gr i t z p r o j e c t i o na n da n ym o d i f i c a t i o no ft h ef o r m u l a t i o n k e y w o r d s ：n o n l i n e a rp a r a b o l i ct y p ei n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u t i o n ， p a r a b o l i ce q u t i o n ，n o n c o n f o r m i n ge l e m e n t 。 o p t i m a le r r o re s t i m a t e s 4 前言 有限元方法是求微分方程数值解的一种重要方法，它起源于1 9 4 3 年，由 c o u r a n t 首先奠定了其数学基础在我国，冯康先生独立于西方科学家发明了这 种方法自5 0 - 6 0 年代以来，有限元方法得到了极大的发展有限元方法的实质是 根据变分原理用有限维空间的离散解去逼近无穷维空间的连续解有限维空间的 构造，s o b o l e v 空间插值理论以及微分方程正则性理论都是这种方法能够实现的 理论前提 传统的有限元方法不仅要求网格剖分满足正则性条件“”，即 h k 觎c , v k e 瓦，这里瓦为区域q 上的剖分，k 和风分别表示单元k 的直 径和内切于k 的最大圆的直径，c 为一个与h 无关正常数而且把r i t z 投影或 修正格式作为必备的工具。”这些条件和方法在很大程度上限制了有限元的应 用范围但在实际应用中，如果采用传统的正则剖分，计算量将会变得非常大而 无法接受，这时若采用各向异性剖分可以用较少的自由度而得到同样的最优估计 不过在这种情况下，传统的b r a m b l e - h i l b e r t 引理在插值误差分析中已不再适用 而且对于非协调元来说，其传统边界估计技巧也不再适用，因为此时对单元的长 边，其误差估计中出现的l 爿项将会趋于无穷大t a p e l 等人”o j ”研究了各项异 性下协调元及非协调元的误差分析，并给出了判别一个单元是否具有各向异性特 征的判别定理从而利用具有各向异性特征的单元使我们得以用较小的自由度得 到同样的最优误差效果但这种方法有时难以验证陈绍春和石东洋 1 2 1 对它进行 了改进，给出了一个更为一般的各向异性判别定理，并将之应用于实际问题中， 取得了许多有意义和价值的成果叫4 j ” 非线性抛物型积分微分方程经常在气体扩散、热传导等众多物理问题中出现 是一类非常重要的方程关于它的g a l e r k i n 有限元方法，文【4 】中给出了s o b o l e v 空间中的最优p 模和嚣模误差估计但考虑的是协调元由于非协调元有结构简 单，降低计算量等优点，用非协调元求解非线性抛物型积分微分方程的要求也随 之出现由于非协调性要保证解的收敛性，非协调元需要满足适当的条件，这使得 5 该问题的研究比较困难文【5 】将满足嘲格剖分上的特定条件的四边形w i l s o n 元 文【6 】应用于非线性抛物型积分微分方程。给出了最优r 模和h 模误差估计但 到目前为止，还未见到关于非协调三角形元的研究本文将c a r e y 元应用于非线 性抛物型积分微分方程，研究近似解与精确解的误差估计，得到了最优误差估计 结果 另外，本文还讨论了关于抛物问题在各向异性剖分下的有限元分析近年来 出现了各向异性单元的研究，但主要是对二阶椭圆问题，关于抛物问题在各向异 性剖分下有限元分析的文章到目前为止还不多见本文讨论一个较新非协调矩形 元“对二阶抛物方程1 的逼近，利用该单元的特殊性质及新的技巧，在各向异 性剖分下及不需要r i t z 投影或任何修正格式情况下得到最优的误差估计，因此， 弥补了以往文献的不足，扩展了有限元( 尤其是非协调元) 方法的应用范围 本文写作安排如下： 第一章：预备知识，介绍有限元方法所用到的一些基本定理和记号 第二章：非线性抛物型积分微分方程一个非协调膜元的收敛性分析 第三章：抛物问题各向异性非协调元的超收敛分析 6 第一章预备知识 在本章中，我们引入所需要的一些记号和基本知识 1 设盯= ( q ，) 是一个甩重指标，并且h = 嘶+ 呸+ + ， 。= 矛瓦蠡，其中( 待l ，2 ，功是非负整数 2 定义空间：r ( q ) = s l l l l ( 。) ) ，其中f 是l e b e s g u e 可测i i i 数， i i 儿( 1 i ) 一- q 1 s 1 2 d x ) 啦， 3 s o b 0 1 e v 空间：矽”，( 1 1 ) = f e l p ( 1 i ) i d 4 f , e ( q ) ，网肌) ，元素的范数定义 为： 乩矿( 茎矿眨一妇，其中半酬呻= ( 丕( 杂儿当萨2 时， 记空间h ”( q ) = w ”2 ( q ) 4 s c h w a r z 不等式：，l 2 ( 1 2 ) ，g el 2 ( 1 1 ) ，则，g ef ( q ) ，且 矿g 扎( 。) - o ，三+ 三：1 ，则，v 有 m 抄1i + 扣 6 b r a m b l e - h i l b e r t 引理：设q 是r ”中一个开集，边界满足l i p s c h i t z 条件， 对某些j i o 和某些数p e 【o ，呻，( h t + l , p ( q ) ) 7 ( 日m 一( q ) 的对偶空间) 有 ，( 以) = 0 ，饥最( q ) 那么，存在常数c ( f o 使得 矿( ) l “q ) m i + 。，且b l 。+ ，皿，v ue h “( 劲 其= v l b l ；+ 1 ，皿为( “，上的范数 7 g r e e n 公式：v 1 ，日1 ( q ) ， a 。v a b c 2 一a 池+ l n w 吃出，f = 1 ，2 ，m 8 g r o n w a l l 引理：设y ( f ) 在【o ，川上连续并满足 以，) + f 五( 咖( f ) 打， 其中a ( f ) o 且五( f ) ( o d ，则 ) ，( f ) 能p ( j = 般州力 9 各向异性插值基本定理： 设霞是参考元，w ”一( q ) 和日”( q ) 是勋6 d 伽空间，卑( 旬是它上次数不超 过，的多项式空间 引理1 1 存在常数c ( 霞) 使得v 帚w “，( 露) ，o s 册s “- 1 ，有 辟i 日n f 驴+ 砘，js “詹) 吲，+ 。，j 引理1 2 对某些膏0 和所o 假设“9 ( 的一矿。4 ( 哟，j l ( w ，9 ( 【的； w 。4 ( q ) ) 是w “如( q ) 到形”4 ( 2 ) 的有限元插值算子使得 参= 声，跆毋( 霞) ， 存在常数c ( j ，霞) 使得， p 一叫“sc ( ，它制帅j 设多是霞上的一个维数为m 的多项式空间，夕是声的共轭空间， 侈i ，一，丸) c 户和碱，以 c 少是户和p 的一对共轭基，满足 疵( 多，) = 色 ( 1 1 ) 称惋，矾) 为单元自由度 设j ：日( 霞) 一声，| i 1 是有限元插值算子，满足 疵( 铆= 危( 田，f = l ，册v 争e 日瞳) ， ( 1 2 ) 显然 向= 疵( 口) a ， ( 1 3 ) e i = 奇n 0 皂争 ( 1 4 ) 设口是一个多重指标，则d 4 户也是霞上的多项式空间，设d i m ，= j 6 ：， 饿疑。是d 4 声的一组基，则西4 矗可表示成 西“知2 犯( p 归4 a = 屏( 口蜿， ( 1 5 ) i f f i l j = l 其中旬是函8 办是的线性组合，历( 口) 是缸( ) 蔓的线性组合，设 尼( 口) = c ，砖( 国， ( 1 6 ) l f f i l 则( 1 6 ) 和( 1 2 ) 我们有 店( 帚) = q 见( 订= q 疵( 知) = 局( 知) ( 1 7 ) 引理i 3 设口是一个多重指标，异( 霞) c d 4 户，假设j ：矽l 埘“，( 霞) 一户 是满足，( q ) hw ”一( q ) ，j 三( l 州扎，( 霞) ；w i , e ”一( 露) ) 的有限元插值 算子，设于? w ，( 启) 一西4 户是满足于工( w “妇( 霞) ；w ”一( 重) ) 的一个插 值算子，且 西4 知= f 西4 p ，v p 矿l 叫“+ 妇( 霞) ， 则存在常数c u ，霞) 使得， p 4 ( 帝一刮。sc 口，霞) p “q 帆稚 v p ，r l d f “9 ( 它) ( 1 8 ) 引理1 4 设口是一个多重指标，异( 霞) c d “声，假设j ：形i 枷( 自_ 户是 满足矿“( q ) 卜w ”一( q ) ，j 工( 矽i 枇妇( 重) ；矿i 珥”一( 霞) ) 的有限元插值算 子，如果( 1 6 ) 的局( 囝可以表示成 局( 口) = 乃( d 呵，1 _ ，r ， 其中 9 c ( 形“却( 霞) ) ，1 - ， 则存在常数“j f ，露) 使得， p 4 ( 一刮。jsc ( j ，霞) p 4 q ，+ 。“ v 口矿l 帅，9 ( 旬 ( 1 9 ) 1 0 设矩形单元k = 【h 一以，i k + 吃】【欺一以，儿+ 以】，中心点为( k ，y k ) ， 引进误差函数 层( 的= 三( ( j k ) 2 一暖) ， f ( z ) = 寺“y y k ) 2 一嘭) 1 1 引理1 5 v u e h “( q ) ，p 只( q ) ，f l u 圪为甜的有限元插值，t 为q 上的矩形剖分。有 i ，一n u l c h ”i - i 。+ 。 ( 1 1 0 ) 其中 5 m 。a 。x 。h z ，这里及以后出现的常数c 在不同的地方表示不同的常数，但均i i 与h k 风及无关 证明：陋一n “啦2 ；工。一n 摊) 2 蚴 2 ；i ( 卉一n 毋) 2 以以聊叩 c 以以吲：+ 心 2 以一i i 磊c 若2 咖 c 善蚺工胪“磊；( 2 氓钞锄 c 矗狮o 峨。j 西2 “蛾仙 所以 p n 卅岫 o 表示与h 和f 以及考虑的函数无关的常数。 证明：关于( 2 7 ) ，( 2 8 ) 和( 2 9 ) 的证明可参见文 1 3 。 下面我们来证明( 2 1 0 ) ： 呲。= 陌+ 以t 。啪e ，上 ( 等) 2 + 2 ( 器) 2 十( 钎卜 = g 孕 ( 砰+ 槎+ 瑶) 2 + ( 鲆+ 舅+ 爵) 2 + 2 ( 碾六+ 仍磊+ 蠡) 2 p c 咖 掣16 s 【垃坐塑2 垫笪k = 掣3 2 5 ( 芊+ 譬+ 学) 2 4 詹 7 j 、 2 ， 一f 2 h ) 一 3 2 s 3 同理ih l , 。= 笔导，2 因此v i i ：曲2 k 已定理得证。 3 收敏性分析 为了估计误差，一，引入“的广义椭圆投影二：日。恤) 一，使得仇 ( 口( z ，) + c 材) 咖乳) 。2 蛩+ ) 乳+ 1 6 ( f ，瓦甜) 叫) 屹蚴 ( 3 1 ) 由( 3 1 ) 及( z ) = o ，可知品( o ) = o 记u 一玎= ( u 一二) + # 一甜) 皇善+ ，7 ， 我们有 引理3 1 假定矿h ( q ) ，咋 障l 帆叫刮刎，i i 协 ( 3 - 2 ) 障l 础l 西2 o _ | 卅| h l ( 3 3 ) 其中刀= f n a ，n 2 ) 为a k 上的单位外法向量。 i i e 唾j , v 圪，由( 2 - 3 ) 知2 屹+ 域， 显然莓l 厩础地所以莓l 既+ 融2 莓l 州，触 定义岛y 2 南呦，v 2 v 一昂v 则；l 以础2 善l r 溅嵋础+ 莓l r 蝎嵋- 础+ 莓l 昂州脑 7 皇缸 ( 3 4 ) 下面依次估计霉( j = l ，2 ，3 ) 。首先正可估计为 俳k l l 民溅记劬l s 莓( 丘( r 妒) 2 凼) ；( l ( r ) 2 丞户曲i i 妒l l 怫n ， 由( 2 8 ) ，( 2 l o ) 可得 i z i c h u r l 。慨l c h 2 刎。h 乙 1 4 其次，因为以2 丽1 k 1 删h s 剖l 儿自( 2 9 ) 可知州c i i k 札， 从而i r , i ；i l r 蝎以+ r i d s i 莓( k ( 民y ) 2 凼) - ( l ( 昂一) 2 凼) - 拍i i 少i ks c h 2 i i v l l 。j k 。 最后，由( 2 7 ) 得l 一以凼2l 嵋西= o ， 所以吲= 陲l 昂叫础| 陲昂y l “础| - 。 综上，定理得证。 引理3 2 下述估计成立 批- c h ( 1 l 甜| 1 2 + 肌8 2d r ) ( 3 5 ) 证明；在( 3 1 ) 中应用g r e e n 公式可知 ) v 巧+ j o b ( t , r , u ) v 枇) 。 ；l ( 口( 甜) 芸+ f 6 ( f ，死甜) 要d r 卜幽 弘 ( s 6 ) 因兀“k ，则由( 口( 甜) v ，7 ，v r l ) 。物i i ：和 ( j ：6 ( 坛( f ) ) v 刁( f ) 以v 吐s c 肪( f ) i i n i i l l l 。s c 肭f ) 融+ 知8 ：， ( 3 7 ) 以及( 3 2 ) ，插值理论 1 可知 华一怕i 胁v 刁+ 胁瓦甜) v 嗄姚v 吐 ( 口( 站) v ，7 + f 6 ( ，f ，) v 刁( 椰 v ( 磊一甜+ n 甜一材) ) 。 陲l ( 出) 鲁+ 训赛叼( 汕甜) 凼i + c 物扎肛一k + e 0 町8 。i 扣一1 - 1 u 8 s d f 1 5 西i i h z ，0 h + c h f l l “i i ：以p 1 1 甜0 + c h l l u l l ：i i z 0 。十c h l l “啪呲d r - c h l l 甜i i ：( 卜甜h 卜1 1 圳+ 幽删：d 谁一甜卜肛一r l “k ) + c h l h ：h z l l 。+ 曲f i i z l l n c h l l ”u ：+ 曲2 i i z ，伊c h f i i 甜p + 曲2 ( 肌1 1 2 叫2 + 肛一1 1 “l ：+ 西怕i i ：蚓l + 曲陋8 ：f 1 1 1 1 。打 曲2 ( i i ：眶+ ( 剧甜i i ：咖) 2 + c 蜘玎l | 2 如+ 鲁l l 叩， 整理后，由g r o n w a l l 不等式得 l l 刁k s c h ( u 叫删：纠2 r 曲( 肛8 ：+ 舭i i 叫 引理3 3 下述估计成立 l r l c h 2 ( i s ”6 ：+ 胁i i ：d 刁 证明：强r ( q ) ，令伊h 2 ( q ) n 叫( q ) ，满足 - v ( 口( ”) v 力= g ，魄f l , 则有先验估计 i 例： - c l l g j l o 因为矧：。f 一1 1 i ：。+ i n 甜b ，则由逆不等式和引理3 2 ，得 甩s 打挣一n 甜n + l 一甜k + 盹咖i i ：+ 伽也叫， 由( 3 9 ) 和g r e e n 公式，得 ( 玩g ) 。2 ( 仉v 。( 口( “) v 咖) 。2 ( 口 ) v 玩v 矿) 。一莓l 口。弦鲁凼 ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) 2 ( 口( 妒琅v ( 矿一n 矿) k + ( 口( 雄) v t , v h 妒) 。一莓l 口( 砌誓丞皇喜，( 3 1 2 ) 首先由引理3 2 和插值理论，可估计为 = ( 口( 砧) v ，7 ，v ( 矿一n 尹) ) c 炉n 砘s 葫2 ( 雌+ f 肛p ) 黼， 1 6 其次，因为兀缈，( 3 3 ) ，( 3 6 ) ，( 3 1 1 ) 和引理3 2 厶= ( 口( “) v 刁，v n o o ) 。 = l ( 口( ) 嘉+ f 6 ( f ，l 甜) 嘉砷神一( f 坼，甜彬瓦v n 吐 = l ( 出) 芸+ 肌刎芸砷油 + ( f a ( 甜) v 哆v ( 妒一n 缈) ) 。一( f 6 ( 罗讹v 破 曲2 l ：+ i n 甜8 ：叫眺+ c 肭p 护兀砘 + 胁f ) 黟( 6 ( ) v 俐肛一莓l ( 肌l 甜) 独) 警豳 幽2 ( 批+ f 叫。砘+ 幽2 印也+ f i ：d f 卜8 砘 + c 肭刎硎2 + c h 2 胴：。d f c p k + l i t 甜1 1 2 叫+ 肭叫 最后，l = 一善丘口( 甜妇警西2 l 口( 乒警凼幽2 同：，。6 谁 o h 2 ( + 肌4 2 d 刁黼， 综上，由( 3 1 0 ) 得悱硎s u p 寄鲥( i r o n 2 + 删：叫+ 伽批 由g r o n w a l l 不等式，引理得证。 引理3 4 下述估计成立 + c h 2 ( 8 ：+ 批k d f ) ( 3 1 3 ) 证明：对( 3 6 ) 两边关于t 求导，得 ( 口( 甜) v 研+ ( ( 口( 甜) ) ，+ 6 ( f ，甜) ) v 可+ f 讹f ，甜) v 讹乳) 。 = l ( 出) 鲁+ ( ( 出) h ( f 枷) ) 鲁+ 脚舢) 芸办戤 ( s “) 1 7 田与l 埋3 z ，得 【口( 甜) v 琅+ ( ( 口( “) ) ，+ 6 ( q ，“) ) v 叩+ 【6 i ( f “) v 枇v 哺) 。 嘞i h 眩一c i 妇b 扎一c f u 1 1 1 d d , 7 儿 训_ 2 m i + ( i l l “i i ：叫2 卜华 = 铷卜曲2 州伽i f f ) 2 ， ( s 耶) 且( 口( 甜) v 研+ ( ( 口( 甜) ) ，+ 6 ( f ，f ，“) ) v 刁+ f 吣f 甜) 专批v 珥) 。 2 ( 口( “) v 研+ ( ( 口( ) ) ，+ ，甜) ) v 叩+ f 讹刎v 他v ( z n u t + i i u , 一坼) ) 。 = 比( ”) 鲁+ ( ( 小) ) f + 6 ( f ，f 州) 芸+ 胁圳嘉d f ( 乏一n 坼) 德 一( 口( 甜) v 仍，v ( 坼一n 坼) k 一( ( ( 口( ”) ) ，+ b ( t , t , u ) ) v 玑v “一坼) ) 。 一( f6 ，( f ，t 甜) v , l a f v ( 坼一q ) ) 。， 由( 3 2 ) ，插值理论和引理3 2 可得 ( 口( 甜) v 研+ ( ( 口( ) ) ，+ 6 ( ，f ， ) ) v ，7 + i b , ( t , r , u ) v t l d ，v 1 1 , ) 。 鲥m ：+ i i 小( 肭悟l 氆i | ：， ( 3 1 6 ) 由( 3 1 5 ) 和( 3 1 6 ) ，再利用g r o n w a l l 不等式，得 慨n c h ( n u l + 鼽8 ：+ 肌1 2 出) ( 3 1 7 ) 下面来估计慨l ，取( 3 1 2 ) 中的玎为绣，相似于引理3 3 的证明 由( 3 1 7 ) ，( 3 1 4 ) ，( 3 1 1 ) ，( 3 2 ) 和引理3 2 ，得 ( 研，g ) 曲2 ( i i 十+ i n 甜i ：叫， 又由。甜i i ：= k ) + “叫：胍h ：妃 删悱础s u p q 皆蚴2 ( + i n 州， 1 8 8 矾k - c h ( 1 1 , l l ：+ i i l 虬i i ：d f ) 引理3 5 设材，q t ( 胃2 ( n ) n w l 恤) ) ，则v 品，五和v 乏是一致有界 的，即存在不依赖h 和t 的常数c 满足 i i v 磊i f l 。l ，+ i f ，i i 厶。- ，+ i l v 品r l 上- 。- ，c ， ( 3 t 8 ) 其- * i i v , 8 1 ( k ) 2 s 。u ，p m 。a x l l v d l 怔) i i e 明利用三角不等式，逆不等式和引理3 2 ， 4 v ；k 愀磊一n ”) l l + l l v i n 甜一) l + l l v ”i i k l 卜n + l u - n 甜k ) + i v ( 一h 材) i l + 慨k 啦! 1 2 + l u 甜b a r + u v “扎) + 扩( 一甜) 8 。， 下面来估计4 v p n 甜) 壮 e a 于- l i u e 圪，由( 2 3 ) 可知材= 面+ ( m ) 因而l l v ( 甜一n ) k - l l v 一面) k + 0 v ( n ) k s 8 v p 一面) 8 l + 曲“i i ( n ) l l v ( “一i i ) 吐+ 西。( 1 | n 搿一甜扎+ l 甜一( r i ) 0 ) c ( o n k + 陋i i ：) ， 从而可知，v 云是一致有界的。类似的，我们可以证明z 与v z 的一致有界性。 下面给出f 的估计 引理3 6 若坼r ( 曰2 ( q ) ) n l ( 。- ( q ) ) ，则下述估计成立 龇。岛，删她，曲2 ( 肌妒2 ) - ， ( 3 1 9 ) 证明l 取v 。k ，在( 2 4 a ) 两边同乘以v - ，则 ( k 一( v ) 砚+ f 6 ( f ，l 村) v 叫，) 。= ( 坤) ，) 。，( ，加) 从而( i ，) 。= ( q 一珥，) = ( q ，) 。一0 7 , ，屹) 1 9 = ( ，( ”) ，h ) 。一( v 口( ”) v 甜+ f 6 ( r ，f ， ) v ”d r 】，l 一( ，7 ，h ) 。 = ( ( 甜) ，) 。+ ( ) v 品+ ，) v 叫，v ) 一( 批) 。， 田上瓦发【z 6 j 得 ( 毒，) 一( 口( u ) v 孝+ 肌，t u ) v 鼽v 咋) 。 = ( u 一品川) 一( 口( u ) ( v ( ，一v 磊) + f 6 ( f ，v ) v ( v 一品) 以v ) 。 = ( ( u ) 一m ) 佛吒) + ( ( 4 ( 甜) 一口( u ) ) v 品+ f ( 6 ( 托搿) 一6 ( f ，f ，u ) 罗力，v ) 。 ( 3 2 1 ) 取( 3 2 1 ) 中的= 孝= ( ，一品，将式子两端从。到f 积分，且注意到孝( o ) = o ，则 由引理3 3 - 3 5 得 扣| 1 2 + 口0 删：舶一f ( r 6 ( t v 鼬，v 孝) j r + f ( f 【u ) 一，( ) 一巩，o 。d r + f ( ( 删一a ( u ) v + 胁f ，s ，u ) 一s ，t o ) w d s 彤) 。c ，f s c f ( r 卜+ j a 土8 吉k 2 d f + c ( f 慨0 2 以+ f o 孝4 2 叼 s c 【( 【卜+ 导f 俐什c ( 矿f 肛，眶咖+ f l 孝2 d 刁 由g r o n w a l i 不等式，得 l 乱。岛) + 恍。嵋，西2 ( in 枷打) - 引理3 7 若q 工- ( 日2 ( q ) ) n ( 形“( q ) ) ，则有 8 钝( 岛，+ 6 乱 c h 2 ( f ，哐以) - ( 3 2 2 ) 证明： 0 v 乱( 1s l ， 在( 3 2 1 ) 中取屹= 考，将式子两边从。到f 积分，因参( o ) = o ，有 ( 3 2 3 ) 剧钏2 咖+ 了a o 2 = f 慷1 1 2 打+ j 1 ( a ( u ) v 乒v 孝) = j lf ( 勺p ) u v 孝，r e ) 。d f f ( r 6 ( 铂u 罗铷，v ) 。mf ( ( a ( 甜) 一d ( 训v 五十r ( 6 ( t 酬一6 ( 铂吲v 施，v 磊) + f ( ，( u ) 一o ) 一仉，姜) d f ：4 4 以， 利用了引理3 5 ，( 3 2 3 ) 以及分部积分等技巧，可得一到以的估计，整理后可 得 删2 如+ c ( 8 硎2 + 删2 m 肌1 1 2 a f + 删2 h 打 ， 由g r o n w a l l 引理及引理3 4 ，引理3 6 可知 腑k 动2 ( ：2 d 寸 ( 3 2 4 ) 下面我们来验证归纳假设( 3 2 3 ) ，只需证明当h 充分小时，( 3 2 3 ) 成立即可。 事实上，由逆估计及( 3 2 4 ) ，有 l o v 钆l ) 西。螂) 曲( 胍寸= 。( 1 ) 通过上述讨论，由引理3 2 - 3 7 以及三角不等式，可得下面u 一甜的误差估计。 定理3 1 假设”和u 是( 2 5 ) 和( 2 6 ) 的解，若蚱l ( 日2 ( n ) n w “( q ) ) ， 则有 妙一甜蛀( 如) + i 阿一以k ( 1 2 ) + | j l l v 一甜趾( 啪 饥， 记 5 m 。a l x d i a m ( k ) ，其四顶点分别为z i ( x k 一以，y x 一以) ，z 2 + 以，) ，x 一以) ， z 3 ( x 。+ 以，y r + 以) 及z 4 ( x x 一以，儿+ 以) 四边为= 互z “i ( j = 1 ，2 , 3 ，4 ， 乙= z 。) 记霞= 卜l ，q x 一1 ，l 】为f 一砑平面上的参考元，四顶点坐标依次为 a 。( 一t , - i ) ，龟( 1 - 1 ) ，也( 1 ，1 ) 及吼( 一1 ，1 ) 其四边为= 否j i ( i = l ，2 ，3 , 4 ， 盈= g l 。) 那么存在露到k 的仿射交换最：它- - k ： i x = h x + x x ， i y = h 】, r l + y x 记p ( 霞) = 妒鲫札f ，刁，r 】，那么，存在唯一插值算子矗：h 2 ( 旬一p ( 旬，满足： l 矗谧= f 口罐垒e ，f = l 2 34 ， 通过计算，可得插值为： n 口= i 1 ( 3 ( 日+ 色) 一如一五) + 三( 吃也) f + 三( e e ) 玎 + 三( 也+ 五一也一哦) f 2 我们有 引理l 上述插值满足各向异性插值特征，即对多重指标纠= l 存在常数 c ，使得v p h 2 ( 霞) ，有 6 4 ( 帚一n 口牝c i 西4 钆 ( 3 ) 这里及以后出现的常数c 在不同的地方表示不同的常数，但均h 与h x p 。及无 关 证明：当口= ( 1 ，0 ) 和口= ( o ，1 ) 时 伊o ) 前= 毒m = 岛+ 2 f ，伊，1 ) m = 南m = 吗， 经过计算小难验证 呸2 商挚觚吗2 商睛和仍啦。痫量c f 旁f + 考枷扣琅 因此由 1 4 中基本插值定理可知( 3 ) 式成立定理得证 3 有限元逼近及误差分析 在t 2 上构造有限元空间 2 y ；y i 。= 哥。巧，p p ( 露) ，f 【仙= o , v k t h ，f a 畸，这里 ， 表示函数 ， 在单元k 的边，上的跳跃值。当f e a t 2 时， ， = ， 定义插值算子：h 2 ( q ) - 噌如下； v v eh 2 ( q ) ，( n v ) i f = h ，= n p 。f ；1 问题( 2 ) 的有限元解是：求矿圪，使得： 舱d 叩矿，叻= u ，v ) ，址唁， ( 4 ) 【材”【o ) 2 0 ， 那么有限元解和真解之问具有下面的误差估计： 定理1 设 ( f ) ，u ( r ) 分别是( 2 ) ，( 4 ) 的解，蚝，材，“。h 2 ( 哟则有 o ( f ) 一( ，) i 。s c 4 z f ( ，) 如+ ( f 硼珥( 力d 力； ( 5 ) 其中，= ( 皤。) _ 是瑶上元素的范数 证明：令口= u , ( t ) - i i u ( t ) ，v v e 瑶，由( 2 ) ，( 4 ) 及g r e e n 公式， ( 包，v ) + ( v 只v v ) = ( 坼一( m l v ) + ( v 一m ) ，w ) + 莓l 赛谲 ( 6 ) 在上式中取1 ，= b 蹭，并利用( 3 ) 得 例e + j l 面d 棚。2 彬i l , l l d + 万d ( v 一甜) ，r e ) + ( 氓一l - l u ：) ，v s ) + 磊d ( 百- - 。- 咖加- - - - o d s ) 丘象严 7 ， 再利用( 3 ) 与 1 2 ，1 3 相似的技巧得 心一n ) ，v o ) c h u u 。1 1 2 | | 硼。，萋l k 专 9 d ss c h u u t 硼。 ( 8 ) 由y o u n g 不等式得 肥j c + 三丢l l 叫1 2 曲2 l l u , l l ：+ l l o , o ：+ v ( u - n , , ) ，v 缈 + 石d 备k 五删+ 丢i 佻 对上式积分芽注意到o ( o ) = 0 得， 吾i i o l l ：c h 2 ( = t ( i h 电2 ) 凼) + 一n 材) v 缈+ ( 萋l 未拙) + 丢蜘6 1 c d s ，( 9 ) 再利用( 8 ) 锝 主1 1 卅：- c h 2 ( t q h 4 2 2 ) 凼) + c h 扣4 ：8 砘+ 三f 8 娟d s ， ( 1 0 ) 对( 1 0 ) 再利用y o u n g 不等式 丢。娥曲2 ( t ( 0 2 ：) 西) + c h 2 i u 眭+ 丢f 8 毹d s ， ( 1 1 ) 对( 1 1 ) 应用g r o n w a l l 引理得 i l u , ( t ) - n “( o l 嘶j ：( 0 + 撇) 凼】_ ( 1 2 ) 利用三角不等式得 8 甜( r ) 一o ) l ls i i l ，( f ) 一甜( f ) k + 陋( t ) - n 甜( f ) k c 珥：q h + 肛0 ：) 丞1 i 参考文献 1 c i a r l e tp g t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o df o re 1 1 i p t i cp r o b l e n o r t h h o ll a n d ，a m s t e r d a m ，1 9 7 8 李开泰，黄艾香，黄庆怀有限元方法及其应用 埘 西安交通大学出版社，1 9 8 4 王烈衡，许学军有限元方法的数学基础 m 】科学出版社，2 0 0 4 张铁发展型积分一微分方程的有限元方法 m 东北大学出版社，2 0 0 1 公敬。杨献忠，李潜非线性抛物线积分微分方程w i l s o n 元逼近的收敛性估计，工程 数学学报2 0 0 4 2 1 ( 5 ) ：7 0 9 7 1 4 6 1v t h o m e e g a l e r k i nf i n i t ee l e m e n tm t h o d sf o rp a r a b o l i cp r o b l e m s 1 1 s p r i n g e r - v e r l a g ，b e r l i nh e i d e l b e r g1 9 9 7 7 1v t h e m 6 e ，j x u a n d n z h a n 霉s u p e r c o n v e r g e n c e o f t h e g r a d i e n t 8 1 9 1 0 1 1 1 f i n i t ee l e m e n ta p p r o x i m a t i o nt oap a r a b o l i cp r o b l e m j 1 j n u m e r a n a l 1 9 8 9 ，2 6 ：5 5 3 ，、一5 7 3 ， i np i e c e w i s el i n e a r s l a h v t h o m 6 e ，n z h a n g e r r o re s t i m a t e sf o rs e m i d i s c r e t ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d s f o rp a r a b o l i ei n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j 】m a t h c o m p 1 9 8 9 ，5 3 ：1 2 1 1 3 9 y l i n ，v t h o m 6 ea n dl w a h l b i n r i t z v o l t e r r ap r o j e c t i o no nf i n i t ee l e m e n t s p a c e s a n da p p l i c a t i o n st oi n t e g r o d i f f e r e n t i a la n dr e l a t e de q u a t i o n s j s i a m j n u m e r a n a l 1 9 9 1 ，2 8 ：1 0 4 7 1 0 7 0 t a d e la n dm d o b r o w o l s k i a n i s o t r o p i ci n t e r p o l a t i o nw i t ha p p l i c a t