（计算数学专业论文）椭圆型方程的高阶隐式紧致差分方法研究.pdf

摘要 对椭圆型方程的数值求解方法的研究已有很多，高精度紧致差分格式由于具有精度高、使用 网格节点数少和边界条件易于处理等特点而倍受研究者关注目前，对于椭圆型方程提出的各种 高精度紧致差分格式多为具有四阶精度的方程型格式，而对高精度隐式紧致差分格式的研究报道 还比较少见 本文针对两类典型的椭圆型方程定常对流扩散方程和h e l m h o l t z 方程，一阶和二阶导数 的离散采用四阶p a d 6 型紧致差分逼近式，并结合原方程的本身，得到了这两类方程的四阶精度 的隐式紧致差分格式该格式在每个空间方向上只涉及到三个点处的朱知量及其一阶和二阶导数 值，边界处对于一阶和二阶导数利用四阶显式偏心格式然后，利用r i c h a r d s o n 外推法、算子插 值法及一阶和二阶导数在边界点处的六阶显式偏心格式，将本文构造的四阶隐式紧致差分格式的 精度提高到六阶最后，通过数值实验验证了本文方法的精确性和可靠性 关键字：椭圆型方程，高精度，紧致差分格式，r i c h a r d s o n 外推法，有限差分法 a b s t r a c t ag r e a td e a lo fr e s e a r c hw o r kh a sb e e np u b l i s h e dt ot h ed e v e l o p m e n to ft h en u m e r i c a l a p p r o x i m a t i o no ft h ee l l i p 瞳i ce q u a t i o n sa n dh i g h - o r d e ra c c u r a t ec o m p a c td i f f e r e n c em e t h o d sa t t r a c t m o r ea n dm o r er e s e a r c h si n t e r e s t sf o ri t sh i g h e ro r d e ra c c u r a c y , l e s sg r i d sn e e d e da n de a s i e rt r e a t m e n t o fb o u n d a r yc o n d i t i o n s p r e s e n t l y , m a n ys oc a l l e d e q u a t i o nt y p e f o u r t h - o r d e rc o m p a c td i f f e r e n c e s c h e m e so fd l i p t i ce q u a t i o n sa r ec o n s t r u c t e d h o w e v e r , h i g h - o r d e ri m p l i c i tc o m p a c td i f f e r e n c es c h e m e , h a v en o tb e e ns t u d i e dt ot h es a m ee x t e n t b a s e do nt h ep a d 6s c h e m e so ff w s t a n ds e c o n d - o r d e rd e r i v a t i v e s af o u r t h - o r d e ri m p l i c i tc o m p a c t d i f f e r e n c em e t h o di sp r o p o s e df o rs o l v i n gs t e a d y - s t a t ec o n v e c t i o n - d i f f u s i o na n dh e l m h o l t ze q u a t i o n s f o u r t h - o r d e re x p l i c i td i f f e r e n c es c h e m e sa r eu s e dt oc o n s t r u c tt h es a m eo r d e rd i s c r e t i z a t i o no ft h e b o u n d a r yp o i n t s t h e n ，t h ea c c u r a c yo ft h ef o u r t h - o r d e ri m p l i c i tc o m p a c td i f f e r e n c es c h e m e si s u p g r a d e dt os i x t h - o r d e rb yu s i n gr i c h a r d s o ne x t r a p o l a t i o nt e c h n i q u ea n do p e r a t o ri n t e r p o l a t i o ns c h e m e s i x t h - o r d e re x p l i c i td i f f e r e n c es c h e m e so ff i r s t a n ds e c o n d - o r d e rd e r i v a t i v e so nt h eb o u n d a r i e sa r eu s e d a tl a s t ，n u m e r i c a le x p e r i m e n t sa r eg i v e nt op r o v et h ee f f i c i e n c ya n d d e p e n d a b i l i t yo fp r e s e n tm e t h o d k e yw o r d s ：e l l i p t i ce q u a t i o n ，h i g ha c c u r a c y , c o m p a c td i f f e r e n c es c h e m e ，r i c h a r d s o ne x t r a p o l a t i o n ， f i i l i t ed i f f e r e n c em e t h o d - i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示了谢意。 研究生签名：df 习钧b 时间： 沙咯年弘月必日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交 论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复制手 段保存、汇编学位论文。同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位 论文的全部或部分内容。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此协议) 研究生签名： 导师签名： 时间： 时间： 年月日 年月日 宁夏人学硕仁学位论文 第帝绪论 1 1 研究目的和意义 第一章绪论 计算流体力学数值模拟已经越来越成为许多工程问题解决的重要手段在一般问题中，流动 均匀区域计算精度达到二阶就可以模拟实际流动但是在流动变化剧烈的区域，流动现象比较复 杂，低阶精度的离散方法可能会对许多流动结构造成“失真”模拟，不能真实反映流动现象为真 实地刻画流场内流动细节，人们纷纷要求采用高阶格式因为高阶格式的耗散误差和色散误差都 很小，这使得它的差分方程与微分方程之间差别就小，从而，在同样条件下高阶格式能分辨出更 加精细的流场，捕捉到更细微的流场结构变化因此发展高分辨率、高精度离散格式是计算流体 力学发展中的迫切需要 高精度计算格式的研究与应用在当今计算流体力学中已占有不容忽视的地位，并越来越多地 被工程计算所采用尽管高精度格式的研究与应用取得了巨大的进展，但还存在某些不足例如， 对于大多数高精度格式而言，随着格式精度的提高，格式点数增加，势必使相应系数矩阵带宽加 大，造成求解困难同时在计算靠近边界的内点时，可能需要边界以外的点，也给算法的设计带 来不便又例如，相当多的高精度格式难于同时满足稳定性和无振荡条件 近年来，在研究很多多尺度复杂流动时，紧致差分格式引起了人们的广泛关注采用相同的 网格模板构造出的紧致差分格式，可以达到比传统差分格式更高的精度，同时它还具有更高的尺 度分辨率以及更小的波相位误差，这对于那些富含高频、低振幅波的流动模拟尤为重要，如在湍 流的直接数值模拟( d i r e c tn u m e r i c a ls i m u l a t i o n s ，d n s ) 、大涡模拟( l a r g e e d d ys i m u l a t i o n s ，l e s ) 以 及计算电磁学( c o m p u t a t i o n a le l e c t r o m a g n e t i c s ，c e m ) 等的应用中 另一方面，1 9 1 0 年r i c h a r d s o n 提出了一种外推技术，又叫“h 2 外推法”、“延迟极限法”或“迭 代外推法”，后人多将之称为r i c h a r d s o n 外推法1 9 2 7 年又有所改进它是一种简便易行而精度 又很高的数值方法，是对较粗糙的近似解进行精加工得到较准确的近似解；通过把两个不同步长 下的计算结果进行加权平均和外推处理，从而使已有的计算方法的计算精度整体提高二阶将 r i c h a r d s o n 外推法与高精度紧致差分格式相结合，可以获得相当高的计算精度，从而可以通过减 少网格数来实现减少计算工作量和计算时间，达到提高问题求解效率的目的 目前高精度紧致格式已经逐渐成为数值计算方法研究的一个主要方向，开展高精度紧致格式 的研究工作具有十分重要的意义此外，目前普遍认为，普通低阶格式导致的数值耗散与色散可 通过高精度格式潜在地降低即使在受网格非均匀性、边界条件的低阶近似以及非线性现象的捕 捉等相关因素的影响全场精度不得不降阶时，建立在可靠的高阶公式基础上的高精度格式也比末 优化过的低精度格式计算结果更加精确即便高精度格式的运算量在每个迭代步有所增加，但它 整个过程的计算仍有着更高的效率 宁夏大学硕士学位论文第一章绪论 1 2 国内外研究现状 在过去的几十年，有关发展高阶精度与高分辨率的差分方法已取得很大的进展好的差分格 式在数值计算与数值模拟实验中能够得剑问题精确的数值解和数值模拟图像，这样的格式习惯地 被称为具有高分辨率【l 】( h i g hr e s o l u t i o n ) 1 9 8 3 年，h a r t e n 在他的论文中【2 】最早提出了这一概 念随之，发展高阶精度格式以解决c e m 、l e s 以及湍流d n s 等问题也日益引起人们广泛的重 视并且高阶精度紧致格式己经逐渐成为数值计算方法研究的一个主要方向 紧致格式一般分为两类，其中一类称为“方程型格式”，即格式中仅含有朱知量在离散点处的 函数值而不涉及其导数值如g u p t a p j 提出的二维p o i s s o n 方程的四阶精度的紧致差分格式，k w o n 和s t e p h e n s o n 【4 1 及g u p t a 和k o u a t c h o u 【5 l 采用不同的途径得到的三维p o i s s o n 方程的四阶精度的紧 致差分格式；田振夫【6 】及s p o t z 和c a r e y l 7 】则分别采用待定系数法和对截断误差项进行修正的办 法得到的二维和三维p o i s s o n 方程的六阶精度的紧致差分格式；陈国谦等人提出的四阶指数型格 式 8 , 9 1 ，指数型摄动格式及迎分变换方法1 1 】；r a d h a k r i s h n a p i l l a i 【1 2 1 构造的另一种新的指数型 差分格式；z h a n 9 1 1 3 1 构造的三维定常对流扩散方程的显式四阶紧致差分格式，m a n o h a r 和 s t e p h e n s o n 及a n a n t h a k r i s h n a i a h 等人提出的一般的二维和三维线性椭圆型方程的高精度紧致差分 格式【l 1 习；c h o o 【l6 】则就椭圆型方程的一阶导数项问题提出的一种稳定的高阶方法；s p o t z 和 c a r e y 【l7 】在九点模板下构造的求解定常涡量流函数型的n a v i e r - s t o k e s 方程组的四阶紧致差分格 式；“和t a n g 及f o r n b e r g 构造的求解定常不可压n s 方程组的四阶紧致差分格式【l 引 另一类称为“隐式型格式”，即格式中不仅含有未知量在离散点处的函数值，而且涉及其各阶 导数值如1 9 7 5 年，a d a m 0 9 ，k r e i s s l 2 0 和h i r s h 【2 l 】几乎在同一时间提出了三点四阶精度的 h e r m i t i a n 型紧致格式，其中h i r s h 首次将这一格式用于求解b u r g e r s 方程、平板边界层问题和驱 动方腔问题 2 q ；1 9 9 2 年，l e l e 【2 2 l 发展了具有伪谱分辨率的紧致差分方法，提出了不限于三点的 对称型紧致格式，如五点的六阶精度格式，七点的十阶精度格式等，并且给出了高阶导数的紧致 逼近公式，同时对这些逼近所能正确模拟的波数范围做了分析；为了改善数值解在激波附近的非 物理的高频振荡，马延文和傅德薰提出了迎风紧致格式【2 3 l ；为了不增加点数而进一步提高精度， 他们又提出了超紧致格式【2 刮；c h u 和范辰五提出了六阶精度的三点联合紧致( c c d ) 格式【2 别；沈 孟育与蒋莉提出了一种三点三阶精度的紧致格式【2 6 1 ，它满足墒增原则与稳定性原则，成功地计 算了无粘b u r g e s 方程与一维激波管流动，但缺点在于公式的系数求解复杂；沈孟育等人将上述紧 致格式进一步推广，提出了广义紧致格式【27 1 ，前述的对称型紧致格式、迎风紧致格式和超紧致 格式都是它的特例 一般情况下，对二维问题，“方程型”的紧致格式只涉及9 个网格节点，三维问题的网格节点 数不超过2 7 个其紧致格式的构造方法一般有以下种，一种是基于t a y l o r 级数展开的方法l l ” 2 】； 一种是利用中心差分和截断误差余项修正的方法 7 , 1 6 , 1 7 】；采用这两种方法构造高阶紧致差分格式， 其推导过程一般比较复杂繁琐，特别是对三维问题因此提出了另一种方法，就是借助数学符号 软件的方法【5 ，l3 1 ，这种方法正是为了克服格式构造推导过程的复杂性比起“方程型”的紧致格式， “隐式型”紧致格式的构造往往比较简便，可以利用已有的各阶导数的紧致差分逼近公式，并且格 式所依赖的网格点数也较“方程型”格式少一般情况下，构造四阶精度的隐式紧致格式，每个空 宁夏大学硕l j 学位论文第一章绪论 间方向上只需用3 个网格点也就是说，对二维问题，只需用5 个网格节点，三维问题只需7 个 网格节点。因此格式构造所需要的网格点数比“方程型”格式显著减少 就r i c h a r d s o n 外推法而言，目前被r “泛的应用于系统截断误差实验和精度估计工作，而在有 限差分法中的应用并不多见，特别是在高阶紧致差分方法中2 0 0 2 年，孙志忠和李雪玲【2 8 】提出 了二维常系数反应扩散方程的紧交替方向隐式差分格式，时间为二阶精度，空间为四阶精度然 后应用r i c h a r d s o n 外推法将格式的时间和空间精度同时提高两阶，但遗憾的是更高阶精度只能在 粗网格上得到；2 0 0 3 年，s u n 和z h a n g 【2 9 】将其应用于一维和二维定常对流扩散方程的数值求解， 可在细网格上得剑六阶精度解；2 0 0 6 年，r a h u l 和b h a t t a c h a r y y a 【3 0 j 将其应用于单侧有限差分逼 近的数值求解；2 0 0 7 年，邓定文p l 】针对一类二维和三维非线性发展方程做了数值逼近分析研究， 运用二阶导数的紧致型有限差分格式和差分算子逼近分裂方法对二维和三维非线性发展方程构 造了一种新的差分格式，并应用r i c h a r d s o n 外推法将格式的时间精度从二阶提高到四阶 1 3 本文的主要工作 本文构造了两类典型的椭圆型方程的四阶精度的隐式紧致差分格式，利用r i c h a r d s o n 外推法 和算子插值法将本文格式的精度提高到人阶，为此本文主要进行了以下几方面的工作： 1 针对定常对流扩散方程和h e l m h o l t z 方程，一阶和二阶导数的离散采用四阶p a d 6 型紧致 差分逼近式，并结合原方程的本身，得到了这两类方程的四阶精度的隐式紧致差分格式，该格式 在每个空间方向上只涉及到三个点处的未知量及其一阶和二阶导数值，而一阶和二阶导数在边界 点处的值，利用文献 2 2 】中给出的四阶显式偏心格式 2 为了进一步提高精度，在已建立的四阶隐式紧致差分格式的基础上，利用r i c h a r d s o n 外 推法和算子插值法，以及一阶和二阶导数在边界点处的六阶显式偏心格式，将本文构造的四阶隐 式紧致格式的精度提高到六阶 3 为了检验本文所提方法的精确性和可靠性，对几类典型的椭圆型方程的d i r c h l e t 边值问题 进行了数值实验 宁夏人学硕卜学位论文第一：章对流扩散方程的岛阶隐式紧致差分方法 第二章对流扩散方程的高阶隐式紧致差分方法 对流扩散方程是描述粘性流体流动的非线性方程的线性化模型方程，该方程可用于描述许多 自然现象，例如水和大气中污染物质浓度的扩散，海水盐度、温度扩散，流体流动和流体传热等过 程，因此求解对流扩散方程的计算方法已成为近年来的研究热点 对于对流扩散方程，已经存在不少的高精度紧致差分格式 8 - 1 3 , 2 5 , 3 2 - 3 6 1 ，比较具有典型性的是 g u p t a 等人p 2 】在9 点模板下构造的求解二维变系数对流扩散方程的四阶紧致差分格式以及c h u 和范辰五【2 卅提出的人阶精度的c c d 格式；最近，t i a n 和d a i 【3 3 1 又提出了求解一维和二维对流扩 散方程的高阶指数型紧致差分格式对定常三维对流扩散方程，文献 1 3 1 在等距网格上构造了一 种1 9 点显式四阶紧致差分格式；文献 3 6 】在非等距网格上利用四阶紧致差分算子结合微分方程本 身，构造了一种四阶紧致差分格式 本章采用一阶和二阶导数的四阶p a d 6 、型紧致差分逼近式，结合微分方程本身，得到了关于 对流扩散方程的四阶精度的隐式紧致差分格式，该格式在每个方向上只涉及到三个点处的未知量 及其一阶和二阶导数值，边界处对于一阶和二阶导数利用文献 2 2 1 提出的四阶显式偏心格式基 于r i c h a r d s o n 外推法、算子插值法及文献 2 2 1 提出的一阶和二阶导数在边界点处的六阶显式偏心 格式，将本文构造的对流扩散方程的四阶隐式紧致差分格式的精度提高到六阶，并通过数值实验 验证了本文方法的精确性和可靠性 2 1 一维对流扩散方程 首先考虑如下一维定常对流扩散方程： s 慧却 咖，+ 、甙寥叫o ) ，胜似) ( 2 1 ) l “( 口) = 口，”( 6 ) = 夕 、7 其中，材( z ) 为未知函数，p ( x ) 、q ( x ) 、r ( x ) 为已知函数，且均具有充分的光滑性当 l p ( 力l f ，g ( 功0 ，rp ( x ) 、g ( x ) 在【口，6 】上连续时，方程( 1 ) 有唯一的解3 7 1 2 1 1 高阶隐式紧致差分格式 将区间 口，6 】等分，其节点为毛= 口+ 访，f = o ，l ，步长办= 1 b - r a ，并假设是偶数为 了书写方便，我们用终、u i l 、u i + l 、( u x x ) 、( u x x ) f 、( u x x ) f - l 、 ，) f + i 、( u x ) f 、( u x ) i _ t 、p i 、 q i 及吩分别表示“( 玉) 、“( 一。) 、“( 如，) 、( 。) 、“。( 薯) 、“。( 玉一1 ) 、u x ( 玉+ 1 ) 、蚝( 薯) 、 咚( 薯一。) 、p ( x ，) 、g ( t ) 及，( 而) 的近似值 根据一阶和二阶导数的四阶p a d 6 型紧致差分格式川 宁夏人学硕l j 学位论文第二章对流扩散方程的高阶隐式紧致差分方法 以及 壶( ) f + 。+ i 5 ( ) ，+ 西1 ( k 。= 塾学+ 。( j l z 4 ) ， 丢( u a “+ j 2 ( “，) ，+ 丢( “。) = 堡丛丢丝+ 。( 五4 ) ， ( 2 2 ) ( 2 3 ) u f 2 u f ， ( 2 4 ) 将( 2 2 ) 詈s + ( 2 3 ) 三3b + ( 2 4 ) 吼，可得 击s ( ) + s ( ) ，+ 而1s ( ) h + l p , ( u x ) 川+ n ( 畋) ，+ 石1 只( 以) h + 吼 ! 旦亟! ! 二丝= 1 2j 4 h 咝虻掣+ g f 吩+ o ( h ) ， 5 h 2 1 注意到由原方程( 2 1 ) ，可得 6 ( u 。) f + 只( 蚝) f + q i u i = r i ， 将( 2 6 ) 式应用于( 2 5 ) 式，并略去高阶项后整理可得 嚣+ 瓷柏；一嘉h + c 熹一瓷h = 去占( ) + 而1s ( ) h + 三只( 虬) 川+ 百1 只( 虬) h + ，：， ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 方程( 2 7 ) 就是求解一维定常对流扩散方程的高阶隐式紧致差分格式( h o i c ) ，由推导过程可知 其截断误差为o ( h 4 ) 方程( 2 7 ) 中含有未知量的一阶和二阶导数值由于其值在边界点处是未知的，因此，为了保 持格式的整体精度达到四阶，利用文献【2 2 】给出其在边界点处的同阶离散格式 图l左边界离散区域 二阶导数在左边界点处的离散格式为 ( “。) 。= 石萨1 ( 2 2 5 一7 7 。“l + 1 0 7 。吃一7 8 。+ 3 0 5 u 4 - 5 0 鸭) ， ( 2 8 ) 二阶导数在右边界点处的离散格式为 ( “。) = 丽1 ( 2 2 5 一7 7 一l + 1 0 7 0 u , v - 2 - 7 8 一3 + 3 0 5 u _ 4 - 5 0 办( 2 9 ) 宁夏人学硕 ：学位论文第二章对流扩散方程的高阶隐式紧致差分方法 一阶导数在左边界点处的离散格式为 ( u 2 。= 一丽1 ( 7 5 u 0 - - 1 4 4 + 1 毗一4 8 甜3 + 9 “。) ， 一阶导数在右边界点处的离散格式为 ( “，) = 3 - - 去h ( 7 5 一1 4 4 一。+ 1 0 8 u n _ 2 - - 4 8 u n _ 3 + 9 h 一。) ， 2 1 2r i c h a r d s o n 外推法 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 下面用研表示细网格上截断误差为d ( 五4 ) 的解空间，如图2 所示磁表示粗网格上截断 误差为d ( ( 2 五) 4 ) 的解空间，如图3 所示p ：表示细网格上截断误差为o ( h 6 ) 的解空间 图2 细网格( f i n dg r i d ) 图3 褪网格( c o a r s eg r i d ) 赋初值澎p ：、2 6 磁和矽p ：，利用钟p ：及追赶法求解方程( 2 2 ) 、( 2 8 ) 、( 2 9 ) 和( 2 3 ) 、( 2 1 0 ) 、( 2 1 1 ) 的系数矩阵为对角占优的三对角方程组，求得( ) ? p ：和( “，) ? p ：， 利用u 。h p ：及低松驰迭代法求解方程( 2 7 ) ，求得心d 。4 ；同样的办法利用砰6 跣求得 。) ；6 、( 虬) ；6 和“磁 因为方程( 2 7 ) 的右端项是关于未知量的一阶和二阶导数值，所以不能直接利用r i c h a r d s o n 外 推法和算子插值法求得未知量的六阶精度解，必须首先求出关于未知量的一阶和二阶导数在内部 点和边界点处的六阶精度解 首先求解( 站) ；d ：，之前通过求解三对角线方程组得( ) ? p ：和( “。) 磁，然后， 直接利用r i c h a r d s o n 外推法3 引，外推法公式如下： ( 站) 垫掣，圳，1 ，n ( 2 1 2 ) 通过算子插值可得( 站) 乞= ( 站) y ，这样就得到关于未知量的二阶导数在偶数网格点处的六 阶精度解即( 。删h p ： 下面通过方程( 2 2 ) 建立关于未知量的二阶导数值在偶数网格点和奇数网格点处的关系 ( 站圪一。= ；6 亟学一壶( 站屹一：一西1i 。坛h 】，f = 1 ，2 ，i n ( 2 1 3 ) j l 黾过( 2 1 3 ) 式求得关于未知量的二阶导数在奇数网格点处的六阶精度解，即( 站) ：h p ： 毒 宁夏人学硕 ：学位论文第- 二章对流扩散方程的商阶隐式紧致差分方法 然后求解( 或) ，p ：，之前通过求解三对角线方程组得( ”，) ? p ：和( “，) ；6 跣，然后， 同样利用r i c h a r d s o n 外推法 ( 硝6 = 憋訾丝，删，一n ( 2 1 4 ) 通过算子插值可得( 瓯) ：，= ( 玩) y ，这样就得到了关于未知量的一阶导数在偶数网格点处的 六阶精度解即( 以) ! ，硝 通过差分方程( 2 3 ) 建立关于未知量的一阶导数值在偶数网格点和奇数网格点处的关系， ( 虢。= 3 簪7 1 引：h m 刁i 圳h ，扛1 ，2 ，i n ( 2 1 5 ) 通过( 2 1 5 ) 式求得关于未知量的一阶导数在奇数网格点处的六阶精度解，即( 玩) ：h 磁 求得( 或) ? d ：和( 站) ? d 。6 ，保证了方程( 2 7 ) 的右端项达到了六阶精度 最后求解( 厅) ? p ：，之前通过低松弛迭代法求解方程( 2 7 ) ，求得钟p ：和“y 跣，然 后利用r i c h a r d s o n 外推法 牡普芋，f = l ，2 ，( i n 一1 ) f 2 。1 6 ) 通过算子插值有珐= 彰6 ，得到了未知量的在偶数网格点处的六阶精度解即磅p ： 通过( 2 7 ) 式建立未知量在偶数网格点和奇数网格点处值的关系，将( 2 7 ) 式的等式两边同时称 以h 2 ， 【( 等+ 了3 h p 鹏- h ，+ ( q i h 2 1 2 5 e ：- f f h ，( 警一孚如】 = 而h 2 占( 站) 乞+ 而h 2 占( 丸) + 等2 只( 或) 乞+ i h 2 易( 哎) k + k 。j i l 2 ) + 。( 6 ) ， f = 1 ，2 ，了n ( 2 1 7 ) 利用秽e 。6 、砣p ：和( 2 1 7 ) 求得未知量在奇数网格点处的六阶精度解，即硅一。p ： 通过上述步骤，我们即可求出全部细网格上未知量的六阶精度解，即影p ：具体算法描 述如下： 算法2 1 ： 1 赋初值钟d 。4 、蚝2 6 d 。4 和霹p ：，并给出收敛准则哪 2 利用钟磁求细网格上”6 、( 甜。) 6 和( “。) 6 磁 宁夏大学硕l 学位论文 第二章对流扩散方程的高阶隐式紧致差分方法 ( a ) 求解( 2 2 ) 、( 2 8 ) 和( 2 9 ) 式的系数矩阵为( n - 1 ) x ( n - 1 ) 的三对角线方程组，求得 ( ) 6 群 ( b ) 求解( 2 3 ) 、( 2 1 0 ) 和( 2 1 1 ) 式的系数矩阵为( n - 1 ) x ( n - 1 ) 的三对角线方程组，求得 ( 蚝) 6 磷 ( c ) 求解( 2 7 ) 式的系数矩阵为( n 一1 ) x ( n - 1 ) 的三对角线方程组，得甜6 研 3 利用吩2 6 求粗网格上“拍、( “，) 2 6 和( 甜。) 2 6 磁 ( a ) 求解( 2 - 2 ) 、( 2 8 ) 和( 2 9 ) 式的系数矩阵为( 譬一1 ) ( 了n 一1 ) 的三对角线方程组，求得 ( 甜。) 2 6 咙 ( b ) 求解( 2 3 ) 、( 2 1 。) 和( 2 1 1 ) 式的系数矩阵为( 了n 一1 ) ( i n 一1 ) 的三对角线方程，求得 ( c ) 求解( 2 7 ) 式的系数矩阵为( 譬一1 ) i n 1 ) 的三对角线方程组，求得“2 破 4 利用( “。) 6 p ：、( “。) 2 6 磁和矽p ：求解细网格上( 站) 6 磁 ( a ) 利用二阶导数的r i c h a r d s o n 外推公式( 2 1 2 ) 式和算子插值法，以及( “。) ? p ：和 ( u 2 6 磁求得( 致) ：，磁 ( b ) 利用彩硝、( 站) 刍硝及( 2 1 3 ) 式，求得( 站) 磁 5 利用( “，) 6 磁、( ) 2 6 跣和影p ：求解细网格上( 或) 6 磁 ( a ) 利用一阶导数的r i c h a r d s o n 外推公式( 2 1 4 ) 式和算子插值法，以及( “，) ? p ：和 ( 畋) ；6 磁求得( ，删h p ： ( b ) 利用- h 硝、( 吃) 乏群m 2 1 5 ) 式，求得( 以) 耋h 磷 6 利用“6 磁、u 2 6 跣和( 站) 、( 或) 6 、霹磁求解细网格上矿p ： ( a ) 利用未知量的r i c h a r d s o n 外推公式( 2 1 6 ) 式和算子插值法，以及钟p ：和砰6 跣 一求得“- 2 h f d 。e ( b ) 利用( 砧) 6 、( 瓯) 6 、群磁和露硝m 2 1 7 ) 式，求得必一。硝 7 收敛性判断：如果e r r o r ( 历) e p s ，则转到第2 步 8 输出结果，停止程序运行 一8 宁夏大学硕 ：学位论文 第二章对流扩散方程的高阶隐式紧致差分方法 2 1 3 数值实验 为了检验本文格式的精确性和可靠性，下面考察一维对流扩散方程四个有精确解的问题本 文将构造的基于r i c h a r d s o n 外推法的对流扩散方程的高阶隐式紧致格式记为( r h o i c ) ，收敛阶记 为r a t e = l n ( e i e 2 ) h l ( 啊) 下面考察的问题都是在等距网格上计算的 问题1 【3 9 1 jz k 一蚝= - - 7 2s i n ( z x ) 一万c o s ( 万力 【u ( o ) = 0 ，u o ) = 0 该问题的解析解为：u = s i n ( z x ) 问题2 【3 9 】 j “。一( 1 + z ) 2 u ，一e - x “= 1 一( 1 + 石) 2 p 。- - t 9 2e o s ( z x ) + z ( 1 + x ) 2s i n ( z x ) 一1 一p 一。c o s ( x x ) 【“( o ) = 2 ，u ( 1 ) = e - 1 该问题的解析解为：u = e x + c o s ( n x ) 问题3 1 2 9 j i “。一u x 一“= 一c o s ( x ) 一2 s i n ( x ) 【“( o ) = 0 ，“协) = 0 该问题的解析解为：u = s i n ( x ) 问题4 f 2 9 】 i 一致= 0 【“( o ) = o ，甜( 1 ) = 0 该问题的解析解为：“：e x - 1 e l 表2 1 和2 2 分别给出了问题1 和问题2 本文格式( h o i c ) 与中心差分格式( c d s ) 和四阶紧致格 式( v d s ) t 3 9 1 的比较 表2 3 和2 4 分别给出了问题3 和问题4 本文格式( r h o i c ) 与三点联合紧致格式( c c d ) 【2 5 1 和 基于r i c h a r d s o n 外推法的高阶紧致格式( r e c ) 的比较 表2 1 问题1 的最大误差和收敛阶 一一! ! ! 堡墨! ! ! 竺坚i 竺! 竺竺竺! 竺! 竺：翌竺! ! 翌! ! ! 堕巴! ! 竺! c d s 格式 f d s 格式【3 9 1 h o i c 格式 h er a t ee r a t e er a t e 1 1 0 8 4 3 ( - 3 )3 6 8 ( - 5 )5 2 0 ( 5 ) 1 2 0 2 1 l ( - 3 ) 2 0 0 2 3 0 ( - 6 ) 4 0 0 2 0 6 ( - 6 ) 4 6 6 1 3 0 9 3 9 ( - 4 ) 2 0 0 4 5 5 ( 7 ) 4 0 0 4 7 6 ( 7 1 3 6 l 1 4 0 5 2 8 ( 4 ) 2 0 0 1 4 4 ( 一7 ) 4 0 0 1 5 8 ( 7 1 3 8 3 注：8 4 3 ( 一3 声8 4 3 x 1 0 - - ，下同 宁夏人学硕1 ：学位论文 第二章对流扩散方程的高阶隐式紧致差分方法 -_-_i_-_-_-_i-_-_-_-_i_-_-_-_-_-_-_-_-_i_。一 表2 2 问题2 的最大误差和收敛阶 ! 型! ! ：! ! ! ! 翌璺兰! 里竺旦翌! 竺壁竺竺塑婴! ! 垡! 坠已翌堕竺! c d s 格式f d s 格式1 3 9 】h o i c 格式 he r a t eer a t eer a t e 11 1 0 1 2 5 ( 一2 、1 2 9 ( - - 4 ) 4 9 4 ( - 5 ) l 2 0 1 3 0 l ，4 0 3 il ( 一3 ) 2 0 1 8 0 4 ( 6 ) 4 0 0 2 5 6 ( - 6 ) 1 3 8 ( 一3 ) 2 0 0 1 5 9 ( 一6 ) 4 0 0 4 9 2 ( 一7 ) 7 7 7 ( - 4 ) 2 0 0 5 0 3 ( 7 ) 4 0 0 i 5 3 ( 一7 ) 4 2 7 4 0 7 4 0 6 表2 3 问题3 的最大误差和收敛阶 ! 型! ! ：i ! ! ! 竺型竺翌竺竺塑璺! 竺! 塑竺! ! 型! ! ! ! 鬯堕竺! c c d 格式f 2 5 】r e c 格式1 2 9 】r h o i c 格式 er a t e er a t eer a t e x 1 1 6 3 5 2 ( 8 )3 3 8 ( 一7 )1 5 5 ( - 5 ) 万3 2 2 7 6 ( 1 0 ) 6 9 9 5 4 9 ( - 9 ) 5 9 4 2 4 4 ( 7 ) 5 9 9 6 42 i6 ( 一1 2 ) 7 0 0 8 6 8 ( - 1 1 ) 5 9 8 3 4 6 ( 一9 ) 6 1 5 2 l 1 2 8 1 8 2 ( - 1 4 ) 6 8 9 1 3 1 ( 一1 2 ) 6 0 5 4 9 6 ( - 1 1 ) 6 1 2 表2 4 问题4 的最大误差和收敛阶 ：! ! 望! ! ：兰! ! ! 竺坚! 竺兰翌竺竺竺皇1 2 旦! 堡竺竺垡! ! 堕旦翌竖! 翌! c c d 格式【2 5 】r e c 格式【2 9 】r h o i c 格式 he r a t eer a t eer a t e 1 1 6 2 6 0 ( - 1 0 )6 1 0 ( - 1 1 ) 7 1 5 ( 一9 ) 1 3 2 4 3 4 ( - 1 2 ) 5 9 0 9 8 8 ( 一1 3 ) 5 9 5 1 3 3 ( 一1 0 ) 5 7 5 1 6 4 7 1 8 ( - 1 4 ) 5 9 2 3 6 6 ( - 1 4 ) 4 7 5 2 3 4 ( 1 2 ) 5 8 3 1 1 2 8 2 7 9 ( 1 4 ) 1 3 6 1 1 9 ( - 1 4 ) 1 6 2 3 9 6 ( 一1 4 ) 5 8 8 由计算结果可以看出，对于问题l 和问题2 ，本文h o i c 格式达n - ；四阶精度，与文献 3 9 】 中的f d s 格式具有同等的精度对问题l 本文h o i c 格式的精确性较f d s 格式略低，但是对于 问题2 本文h o i c 格式的精确性要高于f d s 格式并且本文h o i c 格式精度明显高于中心差分格 式，即使在粗网格( 五= 1 1 0 ) 下，本文格式的精确度仍高于c d s 格式在精细网格( j l l = 1 4 0 ) 下的 结果这与我们的理论分析是一致的 对于问题3 和问题4 ，本文r h o i c 格式达到了六阶精度，与文献【2 5 】中的c c d 格式和文献 【2 9 】中的r e c 格式具有同等的精度 1 0 主墨盔兰堡! ：兰垡笙苎 一一 第二章对流扩敬方程的高阶隐式紧致差分方法 2 2 二维对流扩散方程 接下来考虑如下二维定常对流扩散方程： “+ i t s , + p ( x ，y ) u ，+ g ( x ，y ) u ，= f ( x ，y ) ( x ，y ) o ，t a o ，】 7 ( 2 1 8 ) 其中甜( 石，y ) 是待求的函数，为了保证文中所得格式的完整性，不失一般性，假定函数 p ( x ，y ) ，q ( x ，y ) ，f ( x ，y ) 均为已知函数且具有充分的光滑性 2 2 1 高阶隐式紧致差分格式 首先将二维计算区域在直角坐标系中用一族平行于坐标轴的直线族进行网格剖分将区间 0 ，m 也等分，记忽5 惫妒灿姚m ；将刚。圳作t 等分记彬= 毛， 乃5 巩，o - 也并假设m ，m 都是偶数，其中吃和嘭分别为石和y 方向的网格步长 根据阶和二阶导数的四阶p a d 亡型紧致差分格式 西1 ( ) 件- ，+ 言( “。x ，+ 西1 ( ) 卜。，= 竺堡堕挚+ 。( 吃4 ) ，( 2 1 9 ) 壶( b + ，+ i 5 ( x + 壶( ) t 产一2 垒丛产+ 。( 哆“， ( 2 瑚) 吾( 吩) f + t ，+ 詈( 虬) f ，+ 吾( h 。，= 兰丛丢生丛+ 。( 吃“， 吉( 哆) f ，+ t + 詈( “y ) j ，+ 吉( 哆x ，一t = 竺生皆+ 。( 乃4 ) ， ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 将( 2 1 9 ) + ( 2 2 0 ) 焉+ ( 2 2 1 ) 磅取一2 2 2 ) 磅g ，应用( 2 1 8 ) 式，并略去高阶项后 整理可得 c 毒+ 薏，c 玎6 一面3 p g h ，+ c 毒+ 鬻h 毒一薏。 一( 昙+ 芳) = 击【( h 。，+ ( ) h ，+ ( x 川+ ( x 产。 + 鲁【( h ，+ 沁) h ，】 + 等陬a 。峋a 产l 】+ z ( 2 2 3 ) 方程( 2 2 3 ) 就是求解二维定常对流扩散方程的高阶隐式紧致差分格式( h o i c ) ，由推导过程可 知其截断误差为d ( 吃4 + 彬) 宁夏大学硕卜学位论文 第二章对流扩散方程的高阶隐式紧致差分方法 方程( 2 2 3 ) 中含甭。禾知量的一阶和二髟r 导数1 直，由十兵值在边界点处是禾知阴， 保持格式的整体精度达到四阶，利用文献 2 2 给出其在边界点处的同阶离散格式 二阶导数在x 方向左右边界点处的离散格式为 ( ) o 2 壶( 2 2 5 ”吣川，+ 1 0 7 0 ，娟+ 3 0 5 “厂5 ) ， ( ) u2 赢( 2 2 5 厂7 7 岷- i ，+ 1 0 7 0 咄，。咖 + 3 0 5 u n x - 4 j 一5 0 u n x - 5 ， 二阶导数在y 方向上下边界点处的离散格式为 ( ) 油2 壶2 2 5 辑, o - 7 7 0 u i ，i + 1 0 7 舰啦。7 8 3 + 3 0 5 u t , 4 - - 5 0 u i , 5 ) ， ( ) 鹕2 赢2 2 5 ，_ 7 7 0 u i , 州+ 1 0 7 ，以- 2 - - 7 8 0 u 1 ，怕 + 3 0 5 u | n ，一4 5 0 u i 心一0 ， 一阶导数在x 方向左右边界点处的离散格式为 ( u 2 吣一轰( 7 5 u o , j - 1 4 4 u t , j + 1 0 8 u 2 , j - 4 8 u 3 j + 9 u 4 ，= ，) ，2 轰7 5 u n , , j - 1 4