（运筹学与控制论专业论文）随机单形的两个仿射不变量.pdf

摘要 几何分析是，扯世纪末发展起来的现代几何学科，它通常被称为凸几何或凸分 析，在数学规划、最优化问题、体视学、机器人学中的几何探索、仿晶学和信息论 等领域有着广泛的应用 本硕士论文以西尔维斯特问题( s y l v e s t e r sp r o b l e m ) 为主要研究内容共分四个 部分首先介绍了几何分析的发展历史和研究现状在第二章前部分研究了超立方 体内随机单形的两个仿射不变量m 2 ( k ) 、岛( k ) 的渐近性质；得到了质心在原点 体积为1 的超平行体的迷向常数l k 第二章后部分研究了球体内随机单形的两个 仿射不变量m 2 ( r b 孑) 和& p 毋) 的渐近性质；验证了凸体的迷向常数的下界第三 章研究了关于1 无条件凸体内的两个随机单形的两个仿射不变量m 2 ( k ) 、s 2 ( k ) 的渐近性质作为方法的应用，当霹= z r n ：i i x l l ps1 ) 时，得到两个仿射 不变量m 2 ( 彤) 、岛( 点蛋) 的渐近性质第四章研究了凸体内随机单形的两个不变 量m p ( k ) 、s p ( k ) 关于p 的相互关系作者取得的主要结果是；得到了超立方体、 球体和1 一无条件凸体内随机单形的两个仿射不变量m 2 ( k ) 和兜( k ) 的渐近性质， 同时得到了1 一无条件凸体的迷向常数l k 与两个不变量m 2 ( k ) 。s 2 ( k ) 的相互关 系及凸体内随机单形的两个不变量r n p ( k ) 、昂( k ) 关于p 的相互之间的数量关系 关键词：随机单形，s y l v e s t e r 问题，超立方体，凸体，1 无条件凸体，迷向体， 迷向常数 a b s t r a c t i i c o n v e xg e o m e t r yi sa ni m p o r t a n tb r a n c ho fm o d e r ng e o m e t r y t h ei s o t r o p yo fc o n v e x b o d i e si so n eo fi m p o r t a n ts t u d yo b j e c t si nc o n v e xg e o m e t r y t h ei s o t r o p i cc o n v e xb o d i e s ， a sa s t u d i n go b j e c ti ng e o m e t r i ct o m o g r a p h y , h a v ee x t e n s i v ea p p l i c a t i o n si ns t e r e o l o g y , g e o m e t r i cp r o b i n gi nr o b o t i c s ，c r y s t a l l o g r a p h ya n d i n f o r m a t i o nt h e o r y t h i sm a s t e rd i s s e r t a t i o nr e s e a r c h e ss l y v e s t e r 8p r o b l e m i nt h ef i r s tp a r t t h eh i s t o r y o fc o n v e xg e o m e t r ya n dt h eg e n e r a la s p e c to ft h es t u d ya r ei n t r o d u c e d i nc h a p t e r2 ， f i r s t l y , l e tkb eah y p e r c u b ei nr n ，t h ea s y m p t o t i cp r o p e r t i e so ft w oa f f i n ei n v a r i a n t m 2 ( k ) a n d ( k ) o f ar a n d o ms i m p l e xi n s i d eka r es t u d i e d ；t h ei s o t r o p i cc o n s t a n t l ko fp a r a l l e l o t o p ew i t hv o l u m ei k i = 1a n dc e n t e ro fm a s sa tt h eo r i g i ni so b t a i n e d s e c o n d l y , l e tr 避b eab a l lw i t hr a d i u sri ne u c l i d e a ns p a c e s ，w es t u d yt h ea s y m p t o t i c p r o p e r t i e so ft w oa l i i n ei n v a r i a n t sm 2 ( ，三曙) a n d & ( r 研) f o rar a n d o ms i m p l e xi n s i d e ，研；w ev a l i d a t et h el o w e rb o u n df o ri s o t r o p i cc o n s t a n to fc o n v e xb o d i e s i nc h a p t e r3 ， l e tkb ea1 - u n c o n d i t i o n a lc o n v e xb o d i e si ne u c l i d e a ns p a c e s w es t u d yt h ea s y m p t o t i c p r o p e r t i e so ft w oa f f i n ei n v a r i a n t sm 2 ( k ) a n d 晚( k ) f o rar a n d o ms i m p l e xi n s i d ek a 8 a na p p l i c a t i o no ft h i sm e t h o d ，w ed i s c u s st h ea s y m p t o t i cp r o p e r t i e so ft w oa f l i n ei n v a r i a n t s m 2 ( 娣) a n d ( 彤) ，w h e r e 霹= z 舻：psl i nc h a p t e r4 ，l e tk b eac o n v e x b o d i e si ne u c l i d e a ns p a c e s ，w es t u d yt h er e l a t i o n s h i p so ft w oi n v a r i a n t sm p ( k ) a n d 昂( k ) f o rar a n d o ms i m p l e xi n s i d eka c c o r d i n gt op t h ea u t h o rh a sa b t a i n e dt h ef o l l o w i n gr e s u l t s ：t h ea s y m p t o t i cp r o p e r t i e so ft w oa f f i n e i n v a r i a n tm 2 ( k ) a n d 岛( k ) o far a n d o ms i m p l e xi n s i d ekw h e r eka r eh y p e r c u b e so r b a l l so r1 - u n c o n d i t i o n a lc o n v e xb o d i e si ne u c l i d e a ns p a c e sa r ed e d u c e d ；t h er e l a t i o n s h i p s b e t w e e ni s o t r o p i cc o n s t a n ta n dt w oa f f i n ei n v a r i a n t sm 2 ( k ) 、 ( k ) o f1 - u n c o n d i t i o n a l c o n v e xb o d i e sa n dt h er e l a t i o n s h i p so ft w oi n v a r i a n t sr n v ( k ) a n d 昂( k ) f o rar a n d o m s i m p l e xi n s i d eka c c o r d i n gt opa r es t u d i e d k e y w o r d s ：r a n d o ms i m p l e x ，s y l v e s t e r sp r o b l e m ，h y p e r c u b e ，c o n v e xb o d i e s ，1 一 u n c o d d i t i o n a lc o n v e xb o d y , i s o t r o p i cb o d i e s ，i s o t r o p i cc o n s t a n t 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了 文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写 过的研究成果参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示了谢意 签名：弹唁主日期：加，8 7 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布 论文的全部或部分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：赤高芝导师签名： 啉胪纩c l 第一章绪论 在本章中首先介绍本论文所属学科的发展历程和研究现状，主要代表人物以及 我国数学家的工作接着阐述本硕士论文研究的主要问题及作者所取得的成果，最 后说明论文的结构安排 1 1课题来源与应用背景 本硕士论文选题来源于导师何斌吾教授主持的作者参与的国家自然科学基金 项目”超球截函数与b o u r g a i n 问题”( 批准号：1 0 6 7 1 1 1 9 ) 中的子项”s y l v e s t e r 问题 凸几何分析( c o n v e xg e o m e t r i ca n a l y s i s ) 是上世纪初形成，上世纪末蓬勃发展起 来的一门现代几何学科在上世纪，它通常被称为凸几何( c o n v e xg e o m e t r y ) 或凸 分析( c o n v e xa n a l y s i s ) ，主要应用于数学规划，优化问题等领域近年来在美国，经 过e l u t w a k ，d y a n g ，张高勇( g z h a n g ) 等人的工作，使得其经典理论在信息论中 找到应用( 见【1 6 ，1 7 ，1 9 ，3 2 】) ；在美国微软公司总部设有专门的研究部门，我国青年 数学家宗传明教授曾在此做过研究工作通过r j g a r d n e r 和a v a s s a l l o 等人的 工作，使得它广泛地应用于体视学( s t e r e o l o g y ) 、机器人学中的几何探索( g e o m e t r i c p r o b i n g ) 、仿晶学( s r y s l a l l o g r a p h y ) 和数理经济学等领域几何分析的应用分枝。几 何断层学”( g e o m e t r i ct o m o g r a p l y ) 已在医学中的x 射线光机、c t 扫描、核磁共 振、以及计算机模式识别中得到了很好的应用在欧洲，以j b o u r g a i n ( 1 9 9 4 年度菲 尔兹奖获得者) 和v d m i l m a n 等人的工作，使几何分析方法在偏微分方程、概率论 等领域得到广泛的应用 1 2 学科发展历程与研究现状 凸体几何起源于1 9 世纪下半叶，h b r u n n 和h m i n k o w s k i 是两位杰出的奠基 者2 0 世纪3 0 年代，前苏联著名数学家a d a l e k s a n d r o v 以及t b o n n e s e n 和w f e n c h e l 引进凸体的混合表面积测度，使得凸体几何成为一个独立的数学分支 2 0 世纪7 0 年代，p e t t y 发现了各种各样新的等周不等式，其中不少结果在许多领域有 着广泛的应用2 0 世纪8 0 年代，以j e a nb o u r g a i n 和v i t a l im i l m a n 为代表的几何分 析学派，用现代泛函分析为工具研究凸体的度量性质，取得了突破性的进展，使得 一些经典的凸体几何难题得以解决，也使得对凸体理论的研究空前繁荣，成为现代 1 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 2 数学重要的主流方向之一，b o u r g a i n 也因此而得到f i e l d s 奖进入2 0 世纪9 0 年代 后，凸体几何的研究领域迅速扩大，研究对象从凸体扩大到星体1 9 9 6 年b e r k e l y 数学科研所( m s r i ) 将几何分析列为一个半年项目( ah a l f - y e a rp r o g r a m ) ，项目结束 后出版了两本书：c o n v e xg e o m e t r i ca n a l y s i s 和”f l a v o r so fg e o m e t r y ，这两本 书，特别是后者列举了大量关于凸体的等周极值问题的研究结果，其引言中指出这 种研究将是近期数学研究的一个十分重要的方面 凸体几何是以凸体或星体为主要研究对象的现代几何学的一个重要分支，它是 以微分几何、泛函分析、偏微分方程、点集拓扑为基础的现代几何学凸体几何可 分为组合理论和度量理论，组合理论 3 1 】主要研究几何体的组合关系，讨论它们的 面数、顶点数、棱数等的数量关系度量理论主要研究几何体的度量性质，如几何 体的构形、体积、表面积、宽度、角度、投影等，其中最富有吸引力的是形形色色 的应用广泛的等周不等式【3 ，1 4 ，6 7 ，7 3 凸体几何的度量理论与其它经典的数学分支紧密联系，相互交叉渗透，既有严 密的理论基础有具有广泛的应用前景，下面对凸体几何的度量理论中的一些主要的 研究方向做一个概述 ( 1 ) b r u n n - m i n k o w s k i 理论与岛一b r u n n - m i n k o w s k i 理论 经典的b r u n n - m i n k o w s k i 理论源于1 8 8 7 年h b r u n n 的论文【1 3 】和h m i n k o w s k i 开创性工作的实质部分 6 6 】，最核心的定理是b r u n n - m i n k o w s k i 不等式：设a 和召 是r n 中的紧集，则 ， v ( ( 1 一a ) a + 入b ) 者( 1 一入) y ( a ) 素+ 入y ( b ) 尝，v a 【0 ，l 】 由于它基本的几何内涵，它被认为是b r u n n - m i n k o w s k i 理论的基石经典理论的第 一位代表人物是h e r m a n nm i n k o w s k i ( 1 8 4 6 - 1 9 0 9 ) ，出生于立陶宛( l i t h u a n i a ) ，后来在 哥尼斯堡( k o n i s b e r g ) 接受教育，他的主要贡献是在b r u n n 的基础上，证明了b r u n n - m i n k o w s k i 不等式和被称为m i n k o w s k i 存在定理的凸体构造性定理，第二位代表人 物是俄罗斯数学家a l e k s a n d e rd a n i l o v i c ha l e k s a n d r o v ，他对经典理论的主要贡献是 建立了a l e k s a n d r o v - f e n c h e l 不等式和找到了一种研究椭圆型偏微分方程新的几何方 法作为经典b r u n n - m i n k o w s k i 理论的继承与发展者，纽约理工大学( p o l y t e c h n i c a l u n i v e r s i t yo fn e wy o r k ) 的e l u t w a k 教授一直在从事b r u n n - m i n k o w s k i 理论的研究， 他在经典的b r u r m - m i n k o w s k i 理论方面做了大量的研究工作【4 2 ，4 3 ，4 4 ，4 5 ，4 7 ，4 9 ， 5 0 ，5 1 ，5 2 】在l p b r u n n - m i n k o w s k i 理论方面，他首先认识到了w j f i r e y 所引进的 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 3 p - m i n k o w s k i 加法【2 0 ，2 1 】的重要性，并且定义了p 面积测度的概念，推广了著名的 m i n k o w s k i 问题，做出了许多开创性的工作阳，5 2 】 在e l u t w a k ，d e a ny a n g 和g z h a n g 等人的系列论文中【5 3 ，5 4 ，5 5 ，5 6 ，5 7 ，5 8 ，5 9 ， s 0 ，b r u n n - m i n k o w s k i 理论中的许多经典结果被推广到了岛一b r u n n - m i n k o w s k i 理论 中e l u t w a k 把这些内容称做b r u n n - m i n k o w s k i - f i r e y 理论k b r u n n - m i n k o w s k i 理论为整个凸几何的发展提供了更为宽广的背景，正如r j g a r d n e r 所讲“也许我 们看到的仅仅是冰山一角，一个更为深刻的理论正在浮现”【2 6 】 r s c h e i d e 的专著( c o n v e xb o d i e s ：t h eb r n n n - m i n k o w s k it h e o r y ) ) ( c a m b r i d g eu n i v p r e s s ，( 1 9 9 3 ) ) 7 2 】总结了b r u n n - m i n k o w s l 【i 理论截至到上世纪9 0 年代的经典结果 r j g a r d n e r 最近对于b r u n n - m i n k o w s k i 理论的综述论文 2 6 】和宗传明最近关于立方 体的综述论文【8 1 】分别对凸几何的发展和其中一些有趣的问题作了很好的介绍 ( 2 ) 对偶b r u n n - m i n k o w s k i 理论 1 9 7 5 年，e l u t w a k 给出了对偶混合体积的概念【4 1 】 1， y ( 尬，) 2 云厶一。p m ( t ) p m ( u ) d u ， 这里p 表示星体舰的径向函数相对于经典b r u n n - m i n k o w s k i 理论的m i n k o w s k i 和，它用径向和，相对于经典b r u n n - m i n k o w s l 【i 理论的支撑函数，它用径向函数，相 对于经典理论研究凸体的投影，它研究星体的截面该理论的建立解决了一系列经 典理论未解决的问题如果说经典的b r u n n - m i n k o w s l 【i 理论是研究凸体投影问题的 主要工具，那么对偶b r u n n - m i n k o w s k i 理论就是解决关于凸体截面问题的有力武器 【4 8 】这一理论目前最为著名的应用就是解决b u s e m a n n - p e t t y 问题，即如果一个凸 体过原点的任意截面面积总是小于另一个凸体在同一方向上过原点的截面面积，那 么这个凸体的体积是否一定小于另一个凸体? l a r m a n 和r o g e r s 利用概率方法巧妙地证明了当n 1 2 时b u s e m a n n - p e t t y 问 题不成立【3 9 b a l l 利用立方体和球的截面和体积的关系证明了当n 1 0 时， b u s e m a n n - p e t t y 问题不成立 2 1 ；g i a n n a p o u l o s 2 8 】和b o u r g a i n 1 0 】分别独立地利用适 当的圆柱体和球的任意小的摄动体取代立方体，改进b a l l 的证明得到了当t i 7 时b u s e m a n n - p e t t y 问题的否定回答后来，e l u t w a k 发现了b u s e m a n n - p e t t y 问题 的解与相交体的关系，为后来彻底解决该问题开创了新的局面【4 6 】r j g a r d n e r 对 n = 3 时的b u s e m a n n - p e t t y 问题给出了肯定的回答【2 2 】；张高勇1 9 9 9 年发表在a n n a l s m a t h 上的论文【7 9 】解决了b u s e m a n - p e t t y 问题的最后遗留的情形一即n = 4 时的 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 4 情形 r j g a r d n e r 的专著( ( g e o m e t r i ct o m o g r a p h y ) ) ( c a m b r i d g eu n i v p r e s s ，( 1 9 9 5 ) ) 2 5 】 对于对偶b r u n n - m i n k o w s k i 理论给出了相当详细的论述 ( 3 ) 渐近凸几何理论( a s y m p t o t i cc o n v e xg e o m e t r y ) b a n a c h 空间的局部理论是凸体几何与泛函分析结合的最引人注目的产物，这被 认为是现代国际数学研究的主流方向之一此研究方向源于2 0 世纪a d o l fh u r w i t z 的工作，h u r w i t z 于1 9 0 1 年发表了关于平面区域等周不等式的f o u r i e r 级数的证法， 并在后继的论文中运用球面调和分析对3 维空间的凸体证明了类似的不等式，随 后，h m i n k o w s k i 用球面调和分析的方法证明了孓维常宽凸体的有趣特征，由此开 辟了运用分析和球面调和研究几何的方法，此方法具有很强的生命力，j e a nb o u r g a i n 和v i t a l im i l m a n 是该方向的代表人物，他们开创了凸渐近理论的研究，在凸体逼近 研究中获得了大量深刻的结果【6 2 ，6 3 】，他们合作的篇关于凸体b l a s c h k e - s a n t a l o 不等式的逆的著名论文 9 】是b o u r g a i n 接受f i e l d s 奖引用的第一论文p i s i e r 6 8 ， l i n d e n s t r a u s s 等在该领域也作出了创见性的贡献 渐近凸几何理论( a s y m p t o t i cc o n v e xg e o m e t r y ) 主要探讨凸几何、泛函分析以 及概率论之间的关系，是一个比较年轻的数学分支它主要以凸几何、组合数学、 概率论和调和分析为工具，来研究有限维b a n a c h 空间在维数趋于无穷时的渐近性 质随着维数的升高，我们往往可以得到一些低维凸几何中所没有的性质其最为 著名的一个结果就是d v o r e t z k y 定理，粗略的讲，即每一个b a n a c h 空间都有一个 子空间近似于欧氏空间在过去的二十多年中，许多数学家在这一领域做出了贡献 【1 ，1 8 ，2 7 ，3 5 ，3 6 ，3 7 ，a s ，如g o w e r s ，d a r ，l o v 缸z ，m i l m a n ，p i s i e r ，k l a r t a g ，t a l a g r a n d ， t s i r e l s o n 等其中，g o w e r s 由于解决了b a n a c h 提出的一些长期没有得到解决的问 题而荣获了1 9 9 8 年的f i e l d s 奖；著名期刊g e o m e t r i ca n df u n c t i o n a la n a l y s i s 的主编v i t a l im i l m a n 在这一方向做出了突出的贡献，他与j e a nb o u r g a l n ( 曾获1 9 9 4 年的f i e l d s 奖) 合作给出的逆向b l a s c h k e - s a n t a l 6 不等式【1 2 】至今仍是这方面的最好 结果，他和他的学生b k l a r t a g 以及j b o u r g a i n 合作最近在著名的截面问题( s l i c i n g p r o b l e m ) 1 l 】方面开辟了新的方向 1 9 9 6 年，b e r k e l y 数学研究所( m s r i ) 将凸几何分析列为一个半年项目( ah a l f - y e a rp r o g r a m ) 项目结束后出版了两本书l 。c o n v e xg e o m e t r i ca n a l y s i s ”和。f l a v o r s o fg e o m e t r y 。这两本书，特别是后者列举了大量关于凸体的渐近性理论和极值问 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 5 题的研究结果，其引言中指出这种研究将是近期数学研究的一个十分重要的方面 m i l m a n 和s c h e c h t m a n 的著作【6 5 】是这方面很好的入门读物 2 0 世纪4 0 年代，陈省身【1 5 】教授和a w e i l 教授将局部紧群上的不变测度的观念 纳入积分几何，从而形成齐性空间理论结构的积分几何，对这门学科的进一步发展 作出了极为卓越的贡献吴大任是我国最早从事积分几何方面研究的数学家之一。 他第一个对椭圆空间的积分几何作系统的研究，获得了运动基本公式等重要结果， 他证明了关于欧氏平面和空间中的凸体弦幂积分的一系列不等式，并由此导出一些 关于几何概率和几何中值不等式任德麟在积分几何、随机几何和凸体论的研究中 取得了丰硕成果【7 0 ，6 9 】，积分几何学引论是我国目前唯一积分几何专著，同时 被国际同行广泛引用有限点集和特殊凸体的几何不等式的研究源于距离几何中的 构形问题，几何体的度量性质、嵌入问题以及相关的几何不等式和几何极值问题一 直是几何分析研究的一个充满活力的方向著名数学家杨路教授及张景中院士做出 了系统的、创造性的成就尤其是2 0 世纪8 0 年代在单形不等式与极值问题、初等 图形的嵌入问题等方面作出了开创性的工作，独创了证明不等式或涉及不等式的几 何定理的非常强有力的方法，至今仍被国际同行广泛引用，影响深远【7 7 ，7 6 ，7 8 ，8 0 】 宗传明【8 2 】在几何分析和离散几何中的球堆积与密码方面有着突出贡献，得到了国 际学术界的重视和高度评价 凸几何理论与其他数学分支的联系日益广泛，在整个数学中的地位越来越重 要正如r j g a r d n e r 在文【2 6 1 中描述的那样：。在数学的海洋里，b r u n n - m i n k o w s k i 不等式像是一只章鱼，它的触须是那样的宽广，它的形状是那样的多变，它的颜色 是那样的璀灿夺目” 1 3 研究问题和主要工作 十八世纪六十年代，数学家西尔维斯特( s y l v e s t e r ) 提出测定平面凸体内任意均 匀选取四点所组成的凸包为四边形的概率问题及当凸体为何形状时? 此时的概率可 以取到最值由f u b i n i 定理可知，计算这一概率问题也就变化成计算均匀选取凸体 内三点构成的凸包的面积期望问题拓广的西尔维斯特问题则是计算关于n 维空间 中的凸体内任意均匀选取的n + 1 个点所组成的凸包的体积期望问题，以及对于何 种凸体类此时的体积期望取到最值所谓西尔维斯特问题( s y l v e s t e r sp r o b l e m ) 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 6 【3 0 】即m p ( k ) 最值凸体仿射类问题设kcr n 中的凸体，对任意p 0 ，定义【3 0 】： m p ( k ) = ( 面高雨厶厶l c o ( 钆，z n + 1 ) i p 如n + t d x ) 5 ，( 1 3 1 ) s p ( k ) = ( 南。厶 胪d x d x ) ；( 1 3 2 ) 其中凸包c o ( x 1 ，z n ，z n + 1 ) 是k 中的随机单形当k 为何种凸体仿射类时? m p ( k ) 取到最大或最小值它与著名单形猜想( 对于舻中的任意凸体k 和随机单 形晶，有m l ( k ) m 1 ( & ) ) 和凸体迷向常数三k 的上下界有着紧密联系本硕士论 文主要研究了s y l v e s t e r 8 问题中两个仿射不变量m p ( k ) 、昂( k ) 当k 为某特殊几 何体时的极值性质及当空间维数趋于无穷时m 2 ( k ) 、s 2 ( k ) 的渐近性质 作者的主要工作是。 ( 1 ) 当k 是超立方体及球体时，得到了两个不变量m 2 ( k ) 、s 2 ( k ) 的表达 式及其渐近性质： 定理2 1 设p = 2 ，n 1 ，g 是棱长为2 的超立方体，则 吲g ) = ( 等( 耖) 考， m 2 ( c n ) m 2 ( c n + 1 ) ， 。r i m m 2 ( c n ) = 0 n + + 定理2 3，曰是舻中半径为r 的球体且p = 2 ，n22 ，则 m 2 ( 嘲= 揣， 仇2 ( ，霹) m 2 ( ，_ 霹+ 1 ) ， 1 i m m 2 ( r b ) = 0 n - - - * + o o ( 详见第二章) 注：部分结果已发表于鬈上海大学学报自然科学版，2 0 0 7 ，1 3 ( 1 ) ，3 3 - 3 6 ) ( 2 ) 当k 是1 一无条件凸体时，得到了两个仿射不变量m 2 ( k ) 、s 2 ( k ) 与 凸体迷向常数l k 之间的关系式并导出了其渐近性质。 定理3 1k 是形中的1 一无条件凸体且p = 2 ，n 2 ，则 忱c 耻产， 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 7 l i m m 2 ( k ) = 0 n + + 推论3 1 p 1 ，娣= z r n ：i l z o p 1 ) ，则 硼：( 字) 弋器攀赫广 螂，：( 州器鬻群广 1 i m m 2 ( 霹) = 0 ， n t 1 i m & ( 霹) = 0 n + + o o 7 ( 详见第三章) 注。此结果已被j o u r n a l o fs h a n g h a iu n i v e r s i t y 接受 ( 3 ) 当k 是质心在原点的凸体，得到了两个仿射量m p ( k ) ，昂( k ) 之间的 数量关系： 定理4 1k 是质心在原点的凸体，则 m 2 ( k ) ：丽s 2 ( k ) 定理4 3如果1 p 0 ，定义【3 0 】： m p ( k ) = ( 五厶i ( z ，z 2 ，z n + z ) i p 如n + t 如) ； i g l = 1 m p ( k ) = ( 面高两厶厶l c o ( ，z 蚪) 1 p 出n + 出) ； i g l # 1 s p ( k ) = ( 面品上上l ( o ，z n ) 1 p 如n 出t ) ； 其中凸包c o ( x 1 ，z n ，x n + 1 ) 是k 中的随机单形 设k 是瞅中一个体积为1 质心在原点( 即b ( k ) = & f ( x ) d x = 0 ) 的凸体 ( 具有非空内点的凸的紧子集) 个熟知的事实是【6 叫：存在唯一的线性变换m ，具 有d e tm = 1 ，使得对任意的单位向量t 扩，有 厶k ( 刚) 2 如= l 女 通常把数l k 称为k 的迷向常数，若变换m 是单位映射，则称k 为迷向体，或 者称k 处于迷向位置l k 的下确界在1 9 1 8 年被b l a s c h e 找到【4 ，5 ，3 4 ，更好结 果是l k 靠w - 1 花n ，已被e l u t w a k ，d y a n g 和g z h a n g 在文【5 3 】中找到；而作 为l k 上确界还是一个未被解决的重要问题，j b o u r g a i n 做了许多工作，证明了 l k m 2 ( g + 1 ) ， 1 i r a m 2 ( c ) = 0 n + + o o 定理2 2设p = 2 ，n 1 ，g 是棱长为2 的超立方体，则 ( g ) = ( 两1 ( 西1 ) n ) 壶， ( g ) & ( g + 1 ) ， l i ms 2 ( g ) = 0 - - - * - b o o ( 2 ) k 是球体时，得到了两个不变量的表达式及其渐近性质： 定理2 3r 毋是舻中半径为r 的球体且p = 2 ，n 2 ，则 州= 踹， m 2 ( r 磷) m 2 ( r 霹+ 1 ) ， 1 i 艰m 2 c , b 多) = 0 n + + 定理2 4r 叨是舻中半径为r 的球体且p = 2 ，住之2 ，则 蹦r b 釉2 鼎， s 2 ( r b 多) 岛( r b 2 n + 1 ) ， 。l i m 。岛r 研) = 0 n + 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 1 0 2 2 几个引理 为证明引百中叙述定理的相关结果，百先建立f 述引理； 弓i 理2 1 任意t r n ，t g l ( n ) ，贝0m p ( t k + t ) = m p ( k ) 证明s m p ( t k + u ) = ( 厅南t k - i - u , 二k 扣i c o ( ，z n + ) i p 出t 如t ) 刍 = ( 丽o 厶，m 1 ) l 叩i 咽i 州如- ) 砉 = ( 南卜f ki c o ( z l , - - , 妒+ 1 d z l ) 刍 = m ( k ) 1 7 5 i 埋2 2 仕葸2 g l ( n ) 阳或任父快，则( k ) = ( kj 证明： s p ( t k ) = ( 南o 上kl e o ( 吣h 一而) 1 p 蝣岫) 刍 = ( 南卜厶钆础i 刑it i n d z l ) 刍 = ( 而1 卜c o ( 吣”一删如幽) ； 引理2 3 3 0 】任意p 0 ，有m e ( k ) m p ( 研) ，当且仅当k 为椭球时取等号 引理2 4 3 0 】设k 是舻中一个质心在原点且体积为1 的凸体，则 l 努= n ! 谚( k ) 引理2 5 1 3 0 设k 是职中的迷向体，霹是r n 中的单位球，则l k l 叼，当且 仅当k 为椭球时取等号 2 3 超立方体的渐近性质 定理2 1 设p = 2 ，n 1 ，g 是棱长为2 的超立方体，则 仇2 ( g ) ：( 等( 抄) 5 ， m 2 ( c ) m 2 ( c “1 ) ， 仃。l i m + o om 2 ( g ) = 0 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 证明s m 2 ( g ) = ( 2 n ) n + 2 + 1 ( 2 n ) 叶2 + 1 u c j c 1 厂1，1 l 1 ，一1- 1 ( 2 n ) n + 2 + 1 1 ( 2 n ) ”2 + 1 厂1厂1 l 1 ，一1，一l 厂1厂l l i ，一1，一1 i ( z 。，z 2 ，+ 。) 1 2 如。如2 如n + 。) 5 x l l x 2 1 z n + 1l 2 3 1 2 z 沈 z ，l + 12 x ln x 2n x n + ln 1 1 2dz。dz。2dzn。n5 ( - 1 ) r o r i n + d x i l l x i , , n ) 2 竹) 5 ，k ， ( 5 1 ，i n + 1 ) & n + 1 ) z 丢。z 乏2 z 乏n d x l l d x l 2 d x n + ln ) 5 ：刍( 高器序池2 2 咖虮。n ) 5 = 去( 蒜饕c 弦2 ) 吾 ：( 等c 分) 5 因为依计算可知m 2 ( 岛) 0 ， 丽m 2 ( c + d = 臀飞州n + 2 尹u 1 2 壬 s 2 ( r + 1 ) ， h m 岛( r ) = 0 n - - - * - i , - o o 推论2 4设霹是舻中的单位球，则 n 岛( b 。t i ) = 0 证明：由引理2 4 有： l 2 殿n = n ! 磅( 霹)l 爱= 他! 磅( r ) ， 由引理2 5 有：岛( 晶) 岛( 毋) 结合推论2 3 及( r ) 的定义可得： 0 = l i m 岛( r ) l i m s 2 ( b ；) 0 ， n _ + n _ 十 l i m 岛( 霹) = 0 i ：1 n + 十 推论2 5设超平行体r 的质心在原点，且i r i = 1 ，则 1 地产丽 证明：由推论2 3 与引理2 4 有： & ( r ) = ( 丽1 【西1 ) n ) 言， l 跫= 礼! 霹( 岛) ， 地。焘 口 特例。设g 是质心在原点的超立方体，棱长为1 ，则l g = 蕊1 ( 2 3 i i ) ( 2 3 1 2 ) ( 2 3 1 3 ) ( 2 3 1 4 ) ( 2 3 1 5 ) 2 0 0 8 年上海大学硕士学