（概率论与数理统计专业论文）马尔可夫骨架过程在数学模型中的应用.pdf

摘要 马尔可夫骨架过程是一类较为综合的随机过程，它包含了许多已 有的随机过程模型，如马尔可夫过程、半马尔可夫过程、逐段决定的 马尔可夫过程等一系列的经典的随机过程，具有重要的理论和应用价 值。1 9 9 7 年，侯振挺教授等人首次提出马尔可夫骨架过程，并且将 其应用于排队论、可靠性等领域，成功地解决了排队论的瞬时分布、 平稳分布、遍历性等一系列的经典难题，并且提出了许多新问题和新 思想。 本文主要是利用马尔可夫骨架过程理论来研究带启动期的 g 1 g 1 排队系统和两修理工的串联可修系统可靠性数学模型。对于带 启动期的g i g 1 排队系统，与前人工作相比，本文所研究的模型中 各个参数均服从较为一般的分布。对于串联可修系统可靠性数学模 型，本文所研究的模型中的各个部件的寿命及修理时间均服从一般分 布，而前人都假定模型中至少有一个服从负指数分布，然后通过建立 方程组来求出一些可靠性指标，或者求出一些可靠性指标的l 变换， l s 变换。 针对以上两种模型，本文利用的是侯振挺教授等人于1 9 9 7 年首 次提出的并在最近加以补充完善的马尔可夫骨架过程理论来研究 模型状态的瞬时分布以及极限性态。本文主要结果有： 第一、利用马尔可夫骨架过程法列出了带启动期的g i g 1 排队 系统队长 ( f ) ，q ( f ) ，岛( ，) ，b ( f ) j 的瞬时分布所满足的方程组，并证明了其 概率分布是菜一方程的最小非负解。进一步又找出了带启动期的 g i g i 排队系统的d o o b 骨架过程，利用d o o b 骨架过程理论和极限理 论给出了系统队长的广义极限分布，极限分布以及不变概率测度存在 性条件和表达式。 第二、分别利用马尔可夫骨架过程法和密度函数演化法列出了串 联可修系统数学模型的状态 ( f ) ，一( ，) ，置( f ) ，巧( f ) ，e ( f ) 的瞬时分布所满 足的方程组，并对密度函数演化法作出了详细的证明，最后对这两种 方法列出来的方程组作了简单的比较。 关键词：马尔可夫骨架过程，分布，带启动期的g i g i 排队系统， 改进串联系统，最小非负解 a b s t r a c t m a r k o vs k e l e t o np r o c e s si san e wt y p eo fs t o c h a s t i cp r o c e s sa n d c o n t a i n i n gm a n yc l a s s i c a lp r o c e s s e sa ss p e c i a lc a s e s i n 19 9 7 ，p r o fh o u z h e n t i n ga n dh i sc o l l e a g u e sr a i s e dt h i sk i n do f p r o c e s s e sa n da p p l i e di tt o f i e l d si nq u e u et h e o r ya n dr e l i a b i l i t y i nt h i st h e s i s ，a p p l i e dw i t ht h et h e o r yo fm a r k o vs k e l e t o np r o c e s s ， w ea n a l y z eg i g 1q u e u ew i t hs e t - u pp e r i o da n do ft h er e l i a b i l i t yo f r e p a i r a b l es y s t e mi ns e r i e s ，a sf o rt h eg i g iq u e u ew i t hs e t u pp e r i o d ， c o m p a r e dw i t ht h ef o r m e rr e s e a r c h e s ，t h ed i s t r i b u t i o no fe v e r yp a r a m e t e r i nt h i st h e s i si sm o r eg e n e r a l a sf o rt h em o d e lo ft h er e l i a b i l i t yo f r e p a i r a b l es y s t e mi ns e r i e s ，d i f f e r i n gf r o mt h ef o r m e rr e s e a r c h e s ，t h e d i s t r i b u t i o no ft h el i f e t i m ea n dt h er e p a i r i n gt i m eo f e a c hc o m p o n e n ti s g e n e r a l t h e yc a ng e ts o m er e l i a b i l i t yi n d e x ，o rl a p l a c e t r a n s f o r m ，o r l a p l a c e s t i e l o e st r a n s f o r mo f r e l i a b i l i t yi n d e x b ea i m e da tt h et w om o d e l sw h i c hm e n t i o n e da b o v e ，w ea p p l yt h e m a r k o vs k e l e t o n p r o c e s st h e o r y , w h i c hw a sf i r s t l yp u tf o r w a r db y p r o f e s s o rh o u z h e n t i n ge t c ，t os t u d yt h et r a n s i e n ta n dl i m i td i s t r i b u t i o n o fi t ss t a t e i nt h i st h e s i s ，w ed r a wt h ef o l l o w i n gc o n c l u s i o n s f i r s t l y , a p p l y i n gt h em a r k o vs k e l e t o np r o c e s sa p p r o a c h ，w ep r e s e n t t h ee q u a t i o n sw h i c hs a t i s f yt h et r a n s i e n t d i s t r i b u t i o no ft h e l e n g t ho f g i g iq u e u ew i t hs e t - u pp e r i o d ( ，) ，岛( 力，岛( 0 ，只o ) ，a n dp r o v et h a ti t s p r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o ni st h em i n i m a ln o n n e g a t i v es o l u t i o no fs o m e e q u a t i o n s a n dw es t u d yt h el i m i td i s t r i b u t i o n o f l q ) ，q ( ，) ，b ( ，) ，b ( ，) f u n h e r m o mw ef i n do u tad o o b s k e l e t o np r o c e s so fg i g 1q u e u ew i t h s e t u pp e r i o d ，a n dg i v et h el i m i td i s t r i b u t i o n g e n e r a l i z e dl i m i td i s t r i b u t i o n a n dt h ee x i s t e n c eo fi n v a r i a n tp t ：o b a b i l i t ym e a s u r ea n di t s e x p r e s s i o nb y u s eo f t h et h e o r yo fd o o bs k e l e t o np r o c e s sa n dl i m i t t h e o r y s e c o n d l y ，a p p l y i n gt h ed e n s i t ye v o l u t i o na p p r o a c ha n dt h em a r k o v s k e l e t o np r o c e s sa p p r o a c h ，w ep r e s e n tt h ee q u a t i o n sw h i c hs a t i s f yt h e t r a n s i e n td i s t r i b u t i o no ft h es t a t e o f 上( ，) ，置( f ) ，x 2 ( t ) ，巧o ) ，t ( ，) ) f o r t h e m o d e lo ft h er e l i a b i l i t yo fr e p a i r a b l es y s t e mi ns e r i e s a n dg i v eo u tt h e m i n u t ep r o o f o f t h em e t h o d o f d e n s i t ye v o l u t i o n a tl a s t ，w eg i v eas i m p l e c o m p a r i s o nt ot h ed i f f e r e n te q u a t i o n s ，w h i c ha r eg o tf o rt w od i f f e r e n t m e t h n d g k e yw o r d s ：m a r k o vs k e l e t o np r o c e s s ，d i s t r i b u t i o n ，g i g 1q u e u e w i t hs e t 。u pp e r i o d ，t h ei m p r o v e ds y s t e mi ns e r i e s ，m i n i m a l n o n n e g a t i v es o l u t i o n 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。论文主要是自己的研究所得，除了已注明的地 方外，不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共同工作的 同志对本研究所作的贡献，已在论文的致谢语中作了说明。 作者签名；盘逮壶日期：_ 二；d 。- 年l 月：l 日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论 文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其他手段保存学位论文； 学校可根据国家或湖南省有关部门的规定，送交学位论文。对以上规 定中的任何一项，本人表示同意，并愿意提供使用。 作名签名：嫩导师签名：i 壅丝丝日期；3 越年血一月驾l - 日 硕十学位论文第一章绪论 第一章绪论 1 1 问题提出的背景与研究现状 首先，我们来介绍模型研究的历史发展和应用背景。 排队论是一类重要的随机过程，有着广泛的应用。排队论的历史要向前追溯 到j 9 0 2 年一1 9 2 2 年，丹麦工程师、著名的数学家统计学家a g a e rk r a r u p e r l a n g ( 1 8 7 8 - 1 9 2 9 ) 在哥本哈根电话公司任职期间所完成的一系列关于远程通信 的论文。1 9 0 9 年，e v l a n g 与哥本哈根电话公司的管理者f j o h a n u n s e n 相识，此 前j o h a n u n s e n 所发表的两篇论文已经为排队论的产生奠定了基础，即在1 9 0 7 年发表的等待时间与呼叫次数( 关于手摇电话交换总机中新来呼叫的延迟问 题) 和1 9 0 8 年的忙( 分析电话用户在一条或多条线路上繁忙情况的频率) 。 尽管其观点此时还没有上升为严格数学意义上的新理论，但其中所使用的概率证 明和应用分析方法却成为了排队论形成的前提。第一个经典模型是g i g l ( 及 g i g n ) 排队系统，研究工作是从它的十分简单的特例w m 1 排队开始。由于顾 客的到达时间间隔f 。和服务时问从服从的负指数分布的“无后效性，使m m l 的队长工( f 】成为一个十分特殊的m a r k o v 链一生灭过程，这个生灭过程在所有生 灭过程中也是根简单的，于是借助于生灭过程理论，求出了( n 的平稳分布，稍 后又求出了三( ，) 的瞬时分布。由于m m n 排队的队长l ( t ) 也是一个生灭过程，所 以稍后又求出得到l ( t ) 的平稳分布和瞬时分布，见 1 ，2 ，3 ，4 ，5 。 接着研究m i g l l 排队系统的队长l q ) ，仍然是由于顾客到达时间间隔服从的 负指数分布的“无后效”性，使z ( ) ( 0 ) 成为一个m a r k e r 链，这里 f n = 0 ，l ，兰1 ) 是第n 个顾客服务完毕后离开系统的时刻，但本身并不是 m a r k o v 链。l ( r 。) 叫做( f ) 的嵌入( m a r k o v ) 链。l ( r 。) 是m a r k o v 链这一现象首 先出k e n d a l l 7 于1 9 5 1 年所发现并加以研究，他求出了( f 。) 的转移矩阵及其 遍历性存在的充要条件。接着k e n d a i l 6 3 于1 9 5 3 年又研究g i m n 排队的队长 ( f ) ，由于顾客的服务时间服从的负指数分布的“无后效”性，使( t ) 成为一 个m a r k o v 链，这里厶= 0 ，。伽1 ) 是f 0 后第h 个顾客到达的时刻，k e n d a l l 7 求出了( i 。) 转移矩阵，后来f o s t e r 8 给出了它遍历的充要条件。 t a k a c s 【9 于1 9 6 1 年发现队长l ( t ) o 0 ) 与嵌入链z ( 0 ) 加0 ) 的关系，从 而m g 1 排队的队长l ( t ) 的分布及其平稳分布。其后，昊方 1 0 、徐光辉 4 以 及b h a t 1 1 给出了g i m 1 ( 及g i m n ) 排队的队长“) 的瞬时分布及平稳分布。 硕十学位论文 第一章绪沦 对于一般情况，g i g l 也有一个嵌入m a r k o v 链l 瓦) ，瓦= 0 ，o 1 1 是系统第 个忙期开始时刻，利用这个m a r k o v 链，f i n c h 2 y - 1 9 5 9 年在( 0 ) = 0 条件下 找出了队长的极限分布存在的一个很好的充分条件。由于无法计算概率 e ( z q ) = j , t ij ( o ) = n 所以对( f ) 的瞬时分布和极限分布也就无法给出计算 方法。 1 9 7 5 年n e u t s 1 2 ，1 3 发展的矩阵几何分析技巧，使p h 分布成为有力的工具 而进入排队论。人们用它研究了p h m i ，p h g i ，m p h i n 。p h p h i ，g p h n 等 排队系统和m n 型休假及g i s 1 型休假排队系统 1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 7 1 8 等等。 几乎同时，排队网络 1 9 及其应用的研究也发展迅速，在n e u z s 以前是用m a r k o v 过程理论对在排队论中发现的一些m a r k o v 过程进行研究，而在n e u t s 时代是用 矩阵分析方法和技巧以扩大状态空间，把一些不是m a r k o v 过程的排队过程化为 m a r k o v 过程，而后对这些m a r k o v 过程进行研究，得到这砦过程的甲稳分布存在 的充要条件及其表达式及各种遍历性准则。把“，一遍历性”、几何遍历性、多项 式一致遍历性和强遍历性等四种遍历性的研究引入了排队论，讨论已经是 m a r k o v 过程以及可用n e u t s 方法化为m a r k o v 过程的诸多排队过程的各种遍历 性。但有许多排队系统，用n e u t s 方法不能化为m a r k o v 过程。如何化为m a r k o v 过程，化为m a r k o v 过程后，如何判断其遍历性准则尤其是m g i 及g l g l 排队系统队长( f ) 及等待时问w ( t ) ，如何进行马氏化，如何判断其遍历性，无 论在理论上，还是在应用上，都是十分重要的。在这一方面，侯振挺等 2 0 ，2 1 ，2 2 ，2 3 利用马尔可夫骨架过程理论作了系统而深入的t 作。 2 0 世纪中期以来，随着计算机通讯网络、柔性制造系统( f m s ) 、异步转换模 式( a t m ) 等高新技术领域的发展，提出了大量的复杂系统设计和控制问题。这些 系统的行为通常依赖于随状态而变化的参数，经典排队模型在处理这类问题时表 现出极大的局限性。休假( v a c a t i o n ) 排队研究正是在这种背景下始于2 0 世纪7 0 年代。作为经典捧队系统的推广，休假排队中允许服务台采取各种在某些时候不 接待顾客的策略，这些暂时中断服务的时间( 通常是随机变量) 统称为休假。导 致暂时服务中断的理由可以有多种多样的解释。在计箅机通讯网络中，把多路复 用程序处理某项特定工作的时间，看出对其他类型工作需求的休假；在交通问题 研究中，把堵车或机场关闭时间视为服务员休假等等。一方面，休假排队反映了 服务可能发生中断这一客观事实；另一方面，各种休假策略为系统的优化设计和 过程控制提供了极大的灵活性。 本文在 1 4 基础上利用马尔可夫骨架过程理论来研究顾客到达和服务都为 一般的带启动期的g i g i 排队系统，利用了马尔可夫骨架过程法求出了此种排 队系统队长的瞬时分布以及极限分布。 颂十学位论文 第一章绪论 以前人相比，本文是结合马尔可夫骨架过程理论来研究更一般、更有使用价 值的带启动期的c o l ，g ，l 排队系统，并刹用d o o b 骨架过程铰方便的得出了系统 队长的极限性态。这将对研究排队网络，随机神经网络，计算机网络，通讯网络 等有较大的理论价值。 其次我们束介绍串联可修系统可靠性数学模型的发展背景。 可靠性理论是以产品的寿命特征作为其主要研究对象，这就离不开对产品寿 命的定量分析和比较，从这种意义上来看，可以说可靠性理论是一门定量的科学。 一般来说，产品的寿命是个非负随机变量。研究产品寿命特征的主要数学工具 足概率论。可靠性问题有它本身的结构，且反过来刺激了概率论中一些新领域的 发展。町靠性数学成了应用概率和应用数理统计的一个重要分支。同时，在可靠 性的研究中，又与决策问题和各种晟优化问题有密切的关系，这就决定了可靠性 数学又是运筹学的一个重要分支。 在解决可靠性问题中所用到的数学模型大体可分为两类：概率模型和统计 模型。概率模型是指，从系统的结构及部件的寿命分布、修理时间分布等等有关 的信息出发，来判断出与系统寿命有关的数量指标，进一步可讨论系统的最优设 计、使用维修策略等等。统计模型足指，从观察数据出发，对部件或系统的寿命 等进行估计、检验等。 粗略地讲，有一些基本部件( 其中也可以包括人) 组成的完成某种指定功能 的整体，称之为系统。系统的概念是相对的。在可修系统中，组成系统的部件不 仅包括物，也可以包括人修理工。产品( 部件或系统) 丧失规定功能称为失 效或故障。通常，对不可修产品称失效，对可修产品则称故障。 对一个较为复杂的系统，瞬时可靠性数量指标往往不容易求到。在多数的场 合，只能求出其相应的拉普拉斯变换( l a p l a c e 变换，简记为l 变换) 或拉普拉 斯斯蒂尔吉斯变换( l a p l a c e s t i e l t j e s 变换，简记为l s 变换) ，他们般不容 易反演出来。但是有关的平均值或稳态指标通常比较容易得到。对串并联可修 系统研究较多 2 4 ，2 5 , 2 6 1 ，但都局限于可靠性数量指标( 首次故障前时间分市、 瞬时可用度，稳念可用度、( o ，f i 时间内产品故障次数的分布等等) ，并且假定至 少有一个参数服从负指数分布，对状态转移概率满足的偏微分方程组和积分方程 组，还没研究过，而这又是十分重要的。 最后，我们来介绍马尔可夫骨架过程的发展背景。 马尔可夫过程的原型是马尔可夫链，是由俄国数学家a a 马尔可夫【2 7 】于 1 9 0 6 年提出的，此后许多学者对马尔可夫过程进行了源源不断的研究，在 【2 8 ，2 9 ，3 0 ，7 ，3 2 ，3 3 的基础上，侯振挺等人结合自己的丁作于1 9 9 7 年 3 4 ，3 5 ，3 6 ，2 3 】 首次提出了包括马尔可夫过程，半马尔可夫过程，逐段决定马尔可夫过程，更新 硕i 学竹论文 第一章绪论 过程及半更新过程等诸多随机过程为特例的马尔可夫骨架过程这一新概念，并建 立了比较完善的马尔可夫骨架过程的理论，并将其应用到排队论，存储论、控制 论、可靠性等领域，成功的解决了排队论的瞬时分布，平稳分布，遍历性 2 0 ，3 7 ，3 8 ，3 9 ，4 0 ，4 1 等一序列经典难题。最近， 4 2 ，2 1 又对应用中广泛存在的 类特殊的马尔可夫骨架过程一一d o o b 骨架过程给出了广义的极限分布，极限 分布蚍及不变概率删度的存在性条件和表达式。 本文是利用马尔可夫骨架过程理论来研究带启动期的g 1 g 1 排队系统，利 用马尔可夫骨架过程法列出了队欧的瞬时分布极限分布，且找出了启动期的 g l g 1 排队系统的d o o b 骨架过程，并给出了在一定条件下其广义极限分布， 极限分布以及不变概率测度的存在条件和表达式。对于串联可修系统可靠性数学 模型，本文利用密度演化法列出了此数学模型所满足的偏微积分方程组，并给予 了详细的证明，同时也利用马尔可夫骨架过程法列出了其状态的瞬时分布所满足 的方程组，由于此模型各个部件服从一般分布，不存在再生点，故对其极限性态 暂时无法讨论。 与前人相比，本文是结合马尔可夫骨架过程理论来研究启动期的( 3 1 g i 排 队系统，并利用d o o b 骨架过程较方便地得出了启动期的g i g i 排队系统队长 的极限性态。以及用马尔可夫骨架过程法和密度演化法来研究串联u 丁修系统可靠 性数学模型，这将对研究生态数学模型，排队网络，随机神经网络，计算机网络， 通讯网络等有较大的理论价值。 1 2 论文的结构 本文主耍研究的内容有两个：第一是带启动期的g 1 g 1 排队系统队长的瞬 时分布和在一定条件下的广义极限分布，极限分布和不变概率测度。第二足串联 可修系统可靠性数学模犁中其状态的瞬时分布。 第一章是绪论。主要介绍论文的选题背景及研究现状，以及本文的结构。 第二章是预备知识。主要介绍马尔可夫骨架过程的定义、基本性质、向前方 程和向后方程、有限维分布、极限分布、广义极限分布与不变概率测度，另外还 介绍了向量马氏过程。这是本文处理带启动期的g 7 g 1 排队系统以及串联可修 系统可靠性数学模型的理论基础。 第三章是带启动期的g i f g i 排队系统的模型描述以及队长的瞬时分布和 极限性态。本章利用马尔可夫骨架过程方法列出了传染病数学模型中传染病人数 ( ，) ，b ( ，) ，睦( ，) ，岛( f ) 的瞬时分布所满足的方程组，并证明了其概率分布是某一 方程的最 i t f 负解，进一步又讨论了扛( f ) ，q ( f ) 岛( f ) ，o a t ) 的极限分布。进一步 叉找出了带启动期的g 1 g i 排队系统的d o o b 骨架过程，利用d o o b 骨架过程理 硕十学位论文 第一章绪论 论和极限理论给出了带启动期的g ，g l 排队系统队长的广义极限分布、极限分 布以及不变概率测度的存在性条件和表达式。 第四章是串联可修系统可靠性数学模型的模型描述以及其状态的瞬时分布。 本章利用马尔可夫骨架过程法和密度演化法分别列出了串联可修系统其状态 ( ，) x 。( ，) ，x ：( ，) ，k ( ，) ，k ( ，) ) 的瞬时分布所满足的方程组，并对密度演化法做出了 详细的证明；最后对这两种方法列出来的方程组作了简单比较。 硬十学位论文第二章预备知识 第二章预备知识 2 1马尔可夫骨架过程的概念 设( ，占) 是可测空间，x = x ( t ，) ，o ， m 是定义在完备概率空间 ( q ，p ) 上取值于( e ，) 的随机过程， 互。，r o ) 是x 自然一一代数流。只为 推移算子：( q o o ，= ( o r 。( c o ，) n 定义2 1 1 称随机过程x = x ( t ，c o ) ，0 f 为马尔可夫骨架过程，如果存 在一停时列 f 。) 。，满足 ( 1 ) f o = 0 且r t ，并对任意的打o ，f 。 j o 0 “； ( 2 ) 对于一切- = o ，l ，2 ，有f m = f 。+ 六 ( 3 ) 对每一个f 。和任意定义在三f o m 上的有界占f o 一可测函数厂，有 e l f ( x ( 。+ ) ) i c ! 】= q ，( x ( 。+ - ) ) 悟( r 。) 】 ，一口 ， ( 2 1 ) 其中q = ( 甜：l ( 珊) o 。) 一= f 一：v t 2o ，a n ( 珊：f 。，) f 。，是q 上的叮一代 数。我们把扣。叫做马尔可夫骨架过程x 的骨架时序列进而，如果在q 。上 e f ( x ( g + ) ) l 譬】= e f ( x ( r 。+ ) ) i 石( f 。) l = e 。( 。) 【，( r ( l ) ) 】p 一口j 成立， 则称是时齐的马尔可夫骨架过程，记为m s p 。这电，( ) 表示对麻干尸( - i x ( o ) = x ) 的期望。 注2 1 1 在本文中，设为p o l i s h 空间，s 是b o r e l 口一代数，n 定义在 尺+ = 【0 ，m ) 上取值于e 的右连续函数空间。 注2 1 2 由于p o l i a h 空间可度量化可视z 是定义在度量空间上的右连续 随机过程，所以z 关于 z x , t 0 ) 是循序可测的。故( o ) 和f ( x ( r 。+ 。) ) 是可 测的，这里，是( e l 。一，占【0 9 ) ) 上的可测函数 命题2 1 1 如果x = x ( t ，c o ) ，0 ， 是以 r 。 为骨架时序列的马尔可夫 骨架过程。则f 一r 。是a ( x ( r 。+ ，) ；f 0 ) 一可测的。 证明：由f l 是一停时可知它是凡一可测的，从而存在一可测函数，和一序 列 t ，t ， 使得 硕寸：学位论文 第一二章预备知识 q ( ) = f ( x ( t i ，) ，x ( t 2 ，) ，- ) 故由l “一f 。= 以f i = f ( x ( r 。+ f 1 ) ，j ( o + f 2 ) ，) 可得f 川一f 。是 a ( x ( r 。+ ，) ，0 ) 一可钡4 的 定理2 1 1 若( u ，u ) 为一个r a d o n 可测空间，则对于任意得取值于( c ， d ) 的随机元及f 的子口一代数g ，存在关于g 混合条件分靠。 定理2 1 2 如果r 是取值于( v ，m ) 可测空间的随机元，n 是取值于( u ， u ) 的随机元，( u ，u ) 为一个r a d o n 可测空削则存在v u 上的( 混合) 条 件分布k ( y 。爿) ，使得 ( i ) 对于固定的y v ，g ( y ，) 是( u ，u ) 上的概率测度； ( i i ) 对于固定a u ，k ( ，爿) 是v 上的m 可测函数； ( j i i ) 对于固定的a u ，k ( y ，j 4 ) 是尸( # “( 一) 悟( r ) ) 的一个版本 注2 1 3 由于p o l i s h 空间是r a d o n 可测空间，故上述二定理对于取值于 p o l i s h 空间的随机元也成立。 对于马尔可夫骨架过程x = ( f ) ，t 0 ) 来说，由于其轨道右连续，所猷 x ( r 。) ，n = 1 , 2 ，是取值于( e ，占) 的随机变量，( f 。，z ( o ) ) 是取值于p o l i s h 空间 腰+ e 的随机变量，于是由定理2 1 2 知，( 厶，x ( t 。) ) 关于随机变量x ( o ) 的条件 分布口仰( x , d s ，司一= h “d s , x 。别j ( o ) = j ) 存在。 对任意的x e ，0 ，q l ”) ( z ，【o ，f ) 砂) 是( e ，占) 上的测度，记作叮( 砷( x ，t ，咖) q ( ) ( x ，4 ) 简记作q ( x ，t ，一) 。 定理2 1 3 对于任意的n n ，1 0 ，a ef ，x e ，有 一( 列，爿) = f i 口一( t d s ，d y ) q ( y , t - s , a ) = j 口出，d y ) q 一( 列，爿) ee 2 2 向前和向后方程 定义2 幺1 称时齐的马尔可夫骨架过程x = ( f ，c o ) ，0 ， t l x ( f 。) p 一口。 令 p ( r ，f ，爿) = p x ( t ) a l x ( 0 ) = x 7 硕十学竹论文第二章预备知识 定理2 2 1 设x = z ( r ) ，r o ) 是以( f 。 ：。为骨架时序列的正规的马尔可夫 骨架过程，则对于任意的x e e ，t 0 ，a es 有 尸( ，椰= ( 州，栅+ 豇( 薹扩o ，西，咖m ( y , t - s , a ) ( 2 2 ) 从而e ( x ，t a ) 是如下非负方程的最小非负解： j d ( x ，r ，爿) = 矗( x ，爿) + j j 玎( z ，a s , a y ) p ( y ，f 一文爿) ， j e ，o ，a e 占( 2 - 3 ) 证明：对任意的j e ，t 20 ，a s ，月n ， p ( x ( f ) 一，r i - f 。l x c o ) = x ) = f f 尸( 爿( ，) a ，。， “l ( “) = _ ) ，“= s j ( o ) ；x ) p ( x ( r 。) 如“叫x ( o ) = j ) e = j p ( x ( t - - s + f n ) 4 ，f s 以，一l z ( l ) = 只。= b _ ( o ) = x ) 拿砷( x ，d a ，a y ) | 由命题( 2 1 1 ) ，x = 似( ，) ，o ) 的齐次性及x = x ( ，) ，t 0 j 在f 。处的马尔可夫 性立得： p ( x ( t j + f ，) a , t s 0 f i l ，r ( f 。) = y ，f 。= s ，r ( o ) = 工) = p ( x ( f s ) a ，f s l i x ( o ) = y ) = h ( y , t 一以爿) 故 p ( ( r ) a ，“， i x ( o ) = 聊= 仆g 町( 以出，a y ) h ( y ，f 一以爿) e0 从而 e ( x ，a ) = p ( j ( ，) 爿l 爿( o ) = 曲 = p ( x ( f ) 皂爿，f 0 ，ae e ，有 9 硕十学位论文第二章预备知识 p a x ，) = h a x ，一) + 压g ( x ，d y ) h c v , a ) ( 2 6 ) en = l 从而t 只o ，一) 是如下方程的最小非负解a 只( x ，爿) = h l o ，a ) + i q4 ( x ，a y ) 只( j ，4 ) ( 2 7 ) i 方程( 2 - 7 ) 也称为z 的向后方程。同样，我们也把与( 2 - 5 ) 等价的方程 只( x ，爿) = h 2 ( x ，4 ) + 1 只( x ，咖) 乱( y ，4 ) ( 28 ) e 称为x 的向前方程，其中4 。( l a ) = i p 4 ( x ，f ，a ) , t ； 由定理2 2 1 知正规马尔可夫骨架过程是我们进一步研究的对象，下面我们 给出马尔可夫骨架过程成为正规马尔可夫骨架过程的一个充分条件，这个充分条 件就是过程轨道以概率1 处处有左极限。在实际应用中，到目前为止，我们所遇 到的马尔可夫骨架过程都具有这个性质。 定理2 2 4 如果( e ，占) 足p o l i s h 空间，x = x ( f ) ，f 0 是取值于( e ，占) 且具有右连续左极轨道的马尔可夫骨架过程，则x = x ( o ，t 20 是正规的。 2 3 正则- f 生准则 为讨论方便，我们假定马尔可夫骨架过程x = x ( r ) ，t20 ) 是不中断的( 或称 正则的) 。实际上，上面得到的定理2 2 1 2 ，2 4 对于中断马尔可夫骨架过程 x = j ( ，) ，0 s t 0 则工正则 2 4 有限维分布 令d ”= ( f i ，2 ，。) ；，l ，2 ，0 1 r + ，0 ，i ，2 ， ，。， 定义2 4 1 称时齐的马尔可夫骨架过程x = ( x ( f ) ，t 20 ) 是严正规的，如果 对于任意的n ，存在e x d 占”上的函数h ( x , t 1 ，7 一， ，a i ，爿2 ，a 。) 使得 ( i ) 对于固定的五i 一，i n , ，是( 占”，占”) 上的有限测度； ( i i ) 对于固定的4 ，a 。， ( ，a l 。4 ) 是e x d “1 上的b o r e l 可 铡的函数； ( i i i ) 对于任意的0 ，： 1 ，z e e ，v ( t 1 ，) d ，a l 占，a 。占) ( 2 一l 】) 下面我们不加以证明地给出马尔可夫骨架过程成为严正规马尔可夫骨架过 程的充分必要条件一过程的轨道1 概率处处有左极限。 1 l 硕十学伊论文第二章预备知识 定理2 4 2 设x = ( f ) ，o ) 是以 f 。 乙为骨架时序列的马尔可夫骨架 过程。如果x 的轨道是左极的。则x = ( f ) ，f o 是严正规的马尔可夫骨架过 程。 2 5 极限分布： 定义2 5 1 设x ( o 是( q ，f ，j p ) 上的取值于( e ，力的随机过程 尸( x ，f ，一) = 尸( x ( f ) 4 防( o ) = j ) ，若对于任意的x e ，a ，姆户( x ，川存在且 与z 无关，并且，( 一) z l i m p ( x ，t ，a ) ( a s ) 是( e ，s ) 上的概率分布，则称z ( ，) 的 极限( 概率) 分布存在，称p ( ) 为x ( t ) 的极限( 概率) 分布。 定义2 5 2 设x ( f ) 是一个以( f 。 为骨架时序列的马尔可夫骨架过程，如 果存在( e ，) 上的概率测度，r ( 0 ，使得对于任意的a s ， p ( x ( r 1 ) 一j ( o ) = z ，q = s ) = p 【x ( r 1 ) e a ) = x ( a ) ( 2 1 2 ) 则称( ，) 为d o o b 骨架过程，称口( ) 为( ，) 的特征测度， f 。) 蚤称为上( r ) 的再生 点。 注：d o o b 骨架过程是齐次可列马尔可夫过程中d o o b 过程的推广。在应用 中，我们会常常遇到d o o b 骨架过程，或者通过骨架时序列的再选择而得到d o o b 骨架过程。 令 f ( x ，) = 尸( f 1s t j x ( o ) = x ) ，、k e ，t o ； 巴 f ( ，) = i 石( ( h ) f ( 而f ) ，v f 0 ； 引理2 5 1 若x ( ，) 为d o o b 骨架过程，则 q ( x ，西，a y ) = f 口，凼如( a y ) ( 2 - 1 3 ) 引理2 5 2 若x ( ，) 为d o o b 骨架过程，则 p ( x ( r 。) 4 ) = p ( x ( r ) e a ) = 厅( )( ”1 ) ( 2 1 4 ) 引理2 5 3 若z 0 ) 为d o o b 骨架过程，则 p ( r 肿i o t ) = ，( f 2 一f is ，) = ，( r )( ”2 1 ) ( 2 - 1 5 ) 令 硕十学位论文第二章预备知识 只( x ) = 卜f ( x ，础)