（应用数学专业论文）kdv方程的新解.pdf

摘要 本文主要考虑r 以下问题： i 通过对k d v 方程原有的b i _ c k l u n d 变换进行修正，运用h i r o t a 技巧，求出了 k d v 方程的某些新解 i i 从所求得的修正b i c k l u n d 变换出发，通过对其中参数自的n 次不同赋值， 从而求得k d v 方程异于经典孤子解的新解形式可以证明这两种不同形式的 解是等价的 i i i 对所求得的新形式的解求极限，得到另一类孤子解 i v 运用相同的方法对m k d v 方程进行求解，求得类似形式的m k d v 方程的 某些新解 关键词k d v 方程；m k d v 方程；新解；类孤子解；孤立子；b i c k l u n d 变换 h i r o t a 方法； a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t h ef o l l o w i n gq u e s t i o n sa r e m a k f l yc o n s i d e r e d ： i s o m en o v e ls o l u t i o n so ft h ek d ve q u a t i o na r eo b t a i n e dt h r o u g ht h em o d i f i e d b i i n e a rb 孰k l t m dt r a n s f o r m a t i o n i i an e wr e p r e s e n t a t i o no fn s o n l i t o ns o l u t i o n so ft h ek d v e q u a t i o ni so b t a i n e db y u s i n gb 扯k l u n dt r a n s f o r m a t i o nm e t h o d i t ss h o w nt h a tt h en e wr e p r e s e n t a t i o no f n s o f i t o ns o l u t i o n si si na g r e e m e n tw i t hh i r o t a se x p r e s s i o n i i i a n o t h e rn o v e ls o h t o n - g k es o l u t i o n s0 ft h ek d v e q u a t i o n i sd e r i v e db y p e r f o r m i n g a na p p r o p r i a t el i m i t i n gp r o c e d u r eo nt h ea b o v es o h t o ns o l u t i o n s i v b yu s i n gt h es 8 i n em e t h o da sw h a t su s e di nt h eis e c t i o n s o m e1 j e ws o l u t i o n s o ft h em k d v e q u a t i o na r eg i v e n k e y w o r d sk d v e q u a t i o n ；m k d ve q u a t i o n ；n o v e ls o l u t i o n s ；s o l i t o n ；b a e k l u n d t r a n s f o r m a t i o n ；h i r o t am e t h o d ；s o l i t o n - l i k es o l u t i o n s i i 上海大学 y6 7 8 1 9 0 本论文经答辩委员会全体成员审查，确认符合上海大学硕士学位论文质 量要求 答辩委员会名单 主任：( 工作单位，职称) 】 乏砉，衩指，友旦爻孑款拳可厄乡 委员 导师 答辩日期：玉舻争筝? 目j 多 原创性声明 本人声明：所里交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表 或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：日期 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有j 阪保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可 以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名： 导师签名：日期： 2 0 0 4 上海大学硕士学位论文 第一章引言 1 1 历史背景 孤立子的发现可以追溯到1 8 3 4 年，英国科学家、造船工程师s c o t t r u s s e l l 1 偶然观察到一种奇妙的水波，它是一个光滑突出水面且以恒定速度传播的巨 大孤立波峰，这一现象的物理本质在当时引起了广泛的争论6 0 年后荷兰科 学家k o r t e w e g 和他的学生d ev r i e s 建立了单向运动浅水波的数学模型吼即 著名的k d v 方程，并得到了与r u s s e l l 观察一致的形状不变的孤立波解然而 这样的孤立波是否稳定，两个这样的孤立波相互作用后是否变形，这一直是科 学家们感兴趣却又无法证实的问题因此，在没有新的发现之前，孤立波仍然 长期处于被埋没之中 直到1 9 6 5 年美国科学家z a b u s k y 等人【3 用数值模拟法详细地考察了等离 子体中孤立波相互间的非线性碰撞过程，证实了孤立波相互作用后不变波形和 传播速度的论断这一结果使人们感到极大的惊喜，同时激发了科学家们对它 研究的热情+ 两年后美国的另外一个研究小组g g k m ( c s ，g a r d n e r ，j m g r e e n e ， m d k r u s k a la n d r m m i u r a ) 4 在解k d v 方程时首次成功地应用了著名的解析 方法一逆散射变换( i n v e r s es c a t t e r i n gt r a n s f o r m a t i o n ，简记为i s t ) ，并得出了 k d v 方程n 个孤立波相互作用的精确解这一方法后经l 【5 】、a k n s 6 等人 把它推广到大批非线性演化方程中去，完善为一种较为普遍的解析方法，至 此，孤立子“事业”才蓬勃发展起来 1 , 2 孤子方程精确解的研究状况 孤立子理论经过近几十年的发展，现在已经得到了逐步的完善在这个 过程当中，寻求孤子方程的精确解一直是其中的一个重要内容前面所提到的 反散射方法的创立是非线性发展方程显式解研究的里程碑事件，它使人们看 到，虽然非线性发展方程的显式解工作是一项艰难复杂的任务，但人们毕竟为 解决这一难题迈出了充满希望的一步二十世纪七十年代，反散射变换法主 要应用于l + 1 维的非线性发展方程，人们发现这一方法还可以应用于1 + 2 维的非线性发展方程以及微分积分方程、p a i n l e v e 方程的求解九十年代以 来，许多学者都致力于1 + n 维的非线性发展方程及其它方面的研究，有许多 2 0 0 4 上海大学硕士学位论文 2 问题急需解决，a b l o w i t z 和c l a x k s o n 在其专著【1 中提出了非线性发展方程和 反散射方法需要研究和未解决的六个问题：多维方程的求解问题，有限区间或 半有限区间上的初边值问题，常微分方程问题，泛函分析与2 + 1 维问题，量 子反散射与统计学问题，完全可积性问题 在求解孤立子方程当中，还有其它一些方法占有很重要的地位，比如b c k l u n d 变换方法、h i r o t a 方法、w r o n s k i a n 技巧等b ；_ c k l u n d 变换i s , o 最初是几何学 家b 赴k l u n d ( 1 8 8 3 年) 在研究负常曲率曲面时发现的，并得到了s i n e - g o r d o n 方程的b a c k l u n d 变换这一方法的思想是将求解高阶的微分方程转化为求解 包含解之间关系的较低阶的微分方程组但该方法涉及到求解微分方程组，往 往在求多孤子解时会遇到困难直到1 9 7 4 年，h i r o t a 1 0 给出了一种b 抽k l u n d 变换的双线性导数形式，使得求多孤子解变得简单起来h i r o t a 方法是孤子 方程求解当中另外一个重要而直接的方法，它的一般步骤为：引入位势u 的 一个变换，使原方程改写成双线性导数方程；将扰动展开式代入到双线性导数 方程中，在一定的条件下该展开式可以被截断；由此构造出n 一孤子解的表达 式这种方法已从求k d v 方程、m k d v 方程、s i n e - g o r d o n 方程、t o d a 晶格 方程和b o u s s i n e s q 方程的n 个孤立子解而发展成为一种求解一大批非线性发 展方程孤立子解的相当普遍的方法此外，用这种方法还可以求得这些非线性 发展方程的b i c k l u n d 变换实验证明，这种方法是在孤立子求解中是一个强 有力的工具w r o n s k i a n 技巧也是一种求孤子解的直接方法，它是由f r e e m a n 和n i m m o “】提出并建立起来的该方法以h i r o t a 方法为基础，首先要导出孤 子方程双线性形式的b 赴k l u n d 变换，然后选择适当的函数来构造满足方程的 解这个方法的优势就在于构造出的解是可以代入方程进行验证的f r e e m a n 等人应用该方法获得了一系列方程的w r o n s k i a n 形式的解，这些例子包括： k d v 方程 1 1 , 1 2 】、k p 方程 1 1 , 1 2 】、b o u s s l n e s q 方程f 1 3 、非线性s c h r s d i n g e r 方程 1 4 , 1 s 、m k d v 方程 蚓、s i n e g o r d o n 方程 1 0 1 、t o d a 链 1 7 1 、m k d v - s i n e g o r d o n 方程【1 8 】等等 在本文当中，主要应用的方法是h i r o t a 方法和b i | c k l u n d 变换方法通过 这两种方法，我们可以在前人工作的基础上得到某些方程的一些新解 1 3 发展前景 2 0 0 4 上海大学硕士学位论文 3 近三十年来，随着数学和物理的发展，孤立子引起人们越来越广泛的兴 趣事实上，在现代物理，如场论、固体物理、非线性光学、生物物理等诸多 领域中，均包含了与孤立子理论相关的重要问题孤立子的发展之所以如此 迅速，可能有以下两个原因；其一是发现越来越多的具有重要物理意义的非线 性波动方程均有孤子解例如k d v 方程，它首先从浅水波方程得到，后又在 等离子体的离子声波和磁流体动力波、非调和品格弹性杆中的纵向色散波、 液体气泡混合物中的压力波、低温非线性品格中热激发声色等反复出现这 些孤立子最重要的特征是，通过弹性碰撞或非弹性碰撞后，其形状和速度保持 不变或只有微弱的变化其二是孤立子及其理论在一些物理领域中被证实得 到了应用，并对过去一些难以解释的现象做出了科学的说明例如，继1 8 3 4 年r u s s e l l 在河流中发现孤立波之后，上世纪7 0 年代初，物理学家i k e z it a l o y 和b a k e r 在水箱实验中终于人为地产生了r u s s e l l 浅水波，即k d v 孤立波的传 播利用孤立子理论，有人已经成功地解释了激光打靶中产生的密度坑及红 外线外移等问题超导中的j o s e p h s o n 效应对当代物理和电子科技均有重要意 义，在构成j o s e p h s o n 结的两块超导材料中，超导电子波函数的位相差咖满足 s i n e - g o r d o n 方程，采用带有j o s e p h s o n 隧道结分路的超导传输线，证实了孤立 子的存在最近，美国新泽西州荷尔姆代贝尔电话实验室的科技人员，在石英 蕊光纤材料中观察到了光脉冲型孤立子的传播 现已发现，一大批非线性发展方程除存在孤立子解外，还具有一系列共同 的特征：它们具有无穷多个守恒律，对散射反演法是可解的，存在b i c k l u n d 变 换和l a x 对，完全可积等对于这些重要特征及相互作用关系正在做一系列 相应的研究，在数学研究方法上，也出现了许多独特的分支为了考察孤立子 的稳定性和相互作用，一大批非线性发展方程的数值方法也随之应运而生， 并得到了很大的发展目前，孤立子研究正在向更深入的方向发展，一是向空 间多维方面发展，二是向非线性耦合的方程组方向发展，特别详尽地考察了在 等离子物理中非完全可积系统的孤立子，并对这些孤立子和耗散系统中混沌 现象的某些联系进行了新的探索 2 0 0 4 上海大学硕士学位论文 4 第二章预备知识 在本章中，分别介绍一下以后章节中所用到的有关概念记号、性质及公 式 2 1 双线性导数的概念及性质 设f ( t ，。) 与g ( t ，z ) 是变数t 与z 的可微函数，引进微分算子玩与d 。，使 对任意的非负整数m 和n 成立 d d ；，g = ( 岛一4 ，) ”( 如一吃，) “，( t ，z ) 9 ( t ，。) i ，：t 。，：。( 2 1 1 ) 式( 2 1 1 ) 称为函数，与g 对t 施行m 次d 。，对z 施行n 次d 。的双线性导 数这种导数具有以下性质： 1 。函数，( t ，z ) 与自身的奇数次双线性导数为零就是m + n 为奇数时 d p - d ：，f = 0 ( 2 12 ) 2 。交换函数，( t ，z ) 与口( t ，。) 的双线性导数的顺序，当导数是偶次时其值 不变，而导数是奇次时要改变符号 d d ；，9 = ( 一1 ) “+ “z 猡 礞9 ，( 2 1 3 ) 3 。函数，( t ，z ) 与数1 的双线性导数是通常的导数就是 d d ；，1 = 0 尹露，( 2 1 4 ) 若指数函数的指数是与。的线性函数，则称它为线性指数函数于是有 4 。两个线性指数函数的双线性导数等于指数相加的线性指数函数的适当 倍数就是设 白= 畸t + 幻z + 9 0 1o = 1 ，2 ) ，( 2 1 5 ) 则有 d d 2 9 1 e 2 = ( w l 一。2 ) m ( 一如) 8 乒- + 如( 2 1 ，6 ) 由此推得相同的线性指数函数的双线性导数为零 d 尹磁e 1 e 2 = 0 ( 2 1 7 ) 2 0 0 4 上海大学硕士学位论文 5 5 。设 仍= a j t + 岛z + ，j = 1 ，2 ，一，n ( 2 1 8 a ) 则 d ：d ；( 叩1 即2 聊e 自叩f + 1 叼i + 2 e f 2 ) 1m = e 1 + 2i i ( r i p + 唧如。+ 岛乩，) i i ( 舶+ 仇。+ 岛乩。) ( 1 一r 2 ) 7 ( u l u 2 ) 8 ， p = l a = f + 1 ( 2 1 8 b ) 其中鸭= 鸯，= 鸯；吩，岛及都为实数 6 。设 = w t + k x + i ，叩= a t + h x + 叩( 0 ，( 2 1 9 a ) 则 d d ：e ，( t ，。) e n g ( t ，。) = e + ” d t + 一 “ d 。+ ( 一 ) ”f ( t ，。) s ( t ，z ) ( 2 1 9 b ) 证明 考虑 d ：e ，e l g = ( 如一，) n 毒，( ，。) e 目9 ( t ，z 7 ) j 。 ：壹( 一1 ) n 一。嚷( a ：；一，) ( a _ r 。”7 9 ) l 。，- 。 j 1 0 ：妻( 一1 ) 一晖壹q ( 。f ) ( 醒一t ，) n - 3 暖一，( 。”) ( 眵州g ) k 。 j = o i = ol = o = e + 1 e 嚷( + 巩) ( 一h 吃，) ”一i f g 。，：。 j = o = e f + ” d 。+ ( 一 ) “，- g( 2 1 1 0 ) 利用上式有 d 。m 。n e ，印g ：( 晚一4 ，) m e f + 一壹嘎( ) n 一壤，g i ： = 0 量( 一1 ) m 一。c 僻q m ，- i 。f + y t 壹d ；( 一 ) n 一，c i ，9 i 。，- 。 i = 0 j = 0 2 0 0 4 上海大学硕士学位论文 6 证毕 = ( 一1 ) 一四珥 ) ”( 毹e ，) ( 节1 9 ) k t i = 0 j = o mn = e + ”( 一1 ) “一c 嚷d ； 一 ) ”一( u + 岛) i ( 口+ o t ，) m - i ，gj ：t i = 0 j = o mn 一+ ”g ( u + 魂) 。( 一a 一4 ，) ”一c z ( 如一吃，) ( k 一 ) ”j 9 1 t ，：。，：。 i = 0 j = o = e f + 1 d t + ( 叫一盯) m d 。+ ( 七一 ) “，g( 2 1 1 1 ) 2 2b 盆c k l u n d 变换的有关概念 一般的，我们有如下定义：设给定一非线性发展方程 u t = f ( t ，z ，“) ，( 2 2 1 ) 其中f ( t ，“) 是自变数t ，。，未知函数”与“关于z 直到n 阶导数的函数，若 存在关系式 9 ( t ，。，“， ) = 0 ，( 2 2 2 ) 式中9 ( ，。，u ，”) 是t ，z ，”及“， 关于z 直到m 阶( m n ) 导数的函数或 函数组，使得当u 是方程( 2 2 1 ) 的解时，从( 2 2 2 ) 所确定的口也是( 2 2 1 ) 的 解，则称( 2 2 2 ) 是方程( 2 2 1 ) 的b i c k l u n d 变换 研究b a c k l u n d 变换的基本问题是：对于给定的非线性发展方程，如何设 法导出它的b c k l u n d 变换( 2 2 2 ) ，以及用简单的形式通过此变换由已知解给 出新解v 的显式 2 2 1k d v 方程的b 苴c k l u n d 变换 对于k d v 方程族，我们有下面的定理 定理1 设给定k d v 方程族的线性问题 屯。= ( a 一“) 毋，( 2 2 3 a ) 丸= a ( “， ) 咖十b ( “， ) 咖。( 2 2 3 b ) 与 妒。= ( a 一 ) 妒，( 2 2 4 a ) 2 0 0 4 上海大学硕士学位论文 7 妒t = a ( v ， ) 妒+ b ( v ，a ) 妒。( 2 2 4 b ) 其位势分别为“及 其中a ( u ，a ) 与9 ( u ，a ) 是 的n 次多项式则存在规范 变换 妒= 纯+ 6 屯b = q = ( 1 n p ) z( 2 2 5 ) 将( 2 2 3 ) 化为有完全相同形式但位势为”的谱问题及时间发展式( 2 , 2 4 ) ，且位 势u 及”满足关系式 = + 2 ( 1 n 日) 。，( 2 2 6 ) 式中0 是谱参数为q ( a ) 的线性问题( 2 23 ) 的解，即0 满足 0 。= ( q u ) 0 ( 2 2 ，7 ) 称规范变换( 2 2 5 ) 为d a r b o u x 变换 在证明此定理之先来介绍一个引理 引理设7 ( ) 和( ) 是与z 无关的 之n 次多项式，如果 随t 的变化 规律为 a t = 2 a u ( 4 a ) ( 2 28 ) 对于k d v 线性问题( 2 2 3 ) ，a a ) 和b ( u ， ) 满足边值条件 a ( u ，a ) f “= 0 = 0 ，日( ， ) l 。：0 = 7 ( 4 a ) + w ( 4 a ) x ( 2 2 9 ) 由相容性条件咖。n = 妒“。给出 ( 2 a x + 玩z ) 也+ 阻t a t + a 。+ 2 ( a u ) b 。一u 。日】= 0 ，( 2 2 1 0 ) 即 2 a 。+ i k 。= 0 ， “= 一a z 。一2 ( a u ) b 。+ “b + 九 则由上式可唯一定出a ( u ，a ) 和b ( u ，a ) ，且一般k d v 方程族为 u t = 7 ( t ) 十u ( t ) 扛“。+ 2 乱) ， 其中t 是k d v 递推算子t = a 2 + 4 u + 2 u 。0 1 ， ( 2 2 1 1a ) ( 2 2 1 l b ) ( 2 2 1 2 ) 2 0 0 4 上海大学硕士学位论文 8 从此引理之待定函数a ( u ，a ) 与b ( u ，a ) 的唯一性可以推出：如果a ( u ，a ) 与 b ( u ，a ) 是a 的n 次多项式，且满足( 2 2 1 1 ) 和边值条件( 2 2 9 ) ，则函数a ( u ， ) 与雪( “，a ) 分别恒等于a ( u ，a ) 与曰( “，a ) 以下是前面定理的证明。 证明 观察一般的线性变换 妒= n 也+ 卿，( 2 2 1 3 ) 使( 2 2 3 ) 化为( 2 2 4 ) 为此计算变换( 2 2 1 3 ) 对x 的二阶导数，并利用谱问题 ( 2 2 3 a ) 消去高阶导数得 k 。= ( 一锚) 口+ a ：z 。+ 2 k 毋。一( 钍。o 一( a u ) ( 2 a 。+ 一。 庐，( 2 ，2 1 4 ) 欲使( 2 2 1 4 ) 与( 2 2 4 a ) 一致，则应有 ( a 一) n + 4 + 2 b x = ( a 一 ) n ，( 2 2 1 5 a ) u z n 一( a u ) ( 2 a z 十b ) b x 。= 一( a 一 ) 6 ( 2 2 1 5 b ) 这些等式可简化为 0 一) 。+ 。+ 2 5 。= 0 ， ( 2 2 。1 6 a ) 2 o 一2 u a x 一。o + 扣一u ) 6 4 - b z = 0 ( 2 2 1 6 b ) 如果假设待定函数。及b 与谱参数a 无关，由( 2 2 1 6 5 ) 推知a 2 为零，于是可 取。= 1 ，面( 2 2 1 6 ) 化为 v = “一2 b z ， ( 2 2 1 7 a ) 。一0 一) 6 6 z z = 0 ( 2 2 1 7 b ) 由此解得 = k b 2 + 口，( 2 2 1 8 a ) = 一6 。一b 2 + q ， ( 2 2 ，1 8 b ) 其中q 是与。无关的常数若将b 视为修正k d v 方程谱问韪的位势，则( 2 ，2 1 8 ) 除常数”外就是一对m i u r a 变换，令 b = 千( 1 n 目) 。，( 2 2 1 9 1 2 0 0 4 上海大学硕士学位论文 9 分别代入后，这些变换化为 ( 2 2 2 0 a ) 如。= ( q o 妒( 2 2 2 0 b ) 其恰是由谱函数0 与位势“或”构成的谱参数q ( a ) 的s c h r s d i n g e r 谱问题 这时0 也应满足谱参数”的时间发展式( 2 2 3 b ) ，即有 o t = a ( ，q ) p + b 陋，q ) 艮( 2 2 2 1 ) 由此算得 坟= 一a 。( ，) + ( b ( ，劝。( 2 2 2 2 ) 现在我们进而说明，如果变换( 2 2 1 a ) 中的系数b 满足条件( 2 ，2 ，1 8 ) 与( 2 2 2 2 ) ， 且当z 趋于负无穷或正无穷时，k 趋于零则此变换也将时间发展式( 2 2 a b ) 变换成( 2 2 4 b ) 事实上，将( 2 2 1 a ) 对t 求导并利用( 2 2 3 ) 得 妒= a 。( 札，a ) + b a ( u ， ) + ( 一乱) b ( ，a ) + 6 t 】庐+ ( 且( “，a ) + 吼，a ) + b b ( u ，a ) ) 九， ( 2 2 2 3 ) 由( 2 2 1 3 ) 又算得 = 击( 忆一b e ) ， ( 2 2 2 4 a ) 1 如= 南 - b e 。+ ( a u k ) ( 2 2 2 4 b ) 于是( 2 2 2 3 ) 可写成 啦= a ( v ，a ) 妒+ b ( v ，a ) 她，( 2 2 2 5 ) 其中 a ( v ，a ) = a ( u ，a ) + 口。( ，a ) 十b b ( u ，a ) 一6 亩( ，a ) ，( 2 2 2 6 a ) 雪扣，a ) = i 与【a 。( “， ) 一6 岛( u ，a ) + ( a 一叩一k ) b 扣，a ) + 6 ( 2 2 2 6 b ) 将b t 的表达式( 2 2 2 2 ) 代入( 2 2 2 6 b ) 可见亩( ，a ) ，i ( ”， ) 是a 的n 次多项式， 并且这些函数满足与b ( v ， ) 及a ( v ，a ) 相同的相容性条件 2 a z 十b 。= 0 ，f 2 2 2 7 a ) 2 0 0 4 上海大学硕士学位论文 1 0 “t = 一a 。一2 ( 一“) b 。+ 。b + 沁， 和相等的边值条件，所以由前面所介绍的引理知道 a ( v ，入) = a ( v ，a ) ， b ( 口， ) = b ( 刘， ) 定理得证 称规范变换( 2 2 5 ) 为k d v 方程d a x b o u x 形式的b i c k l u n d 变换 我们已经知道k d v 方程是作为谱问题( 2 2 3 a ) 与时间发展式 也= 咖。z 。+ 3 ( a + ) 妒。 的相容性条件此时若作变换 u = 2 ( 1 n ，) 。v = 2 ( 1 n 9 ) 。， 并代入( 2 2 6 ) 得 口= 旦f 这时线性问题( 2 2 3 a ) 与( 2 2 2 9 ) 可利用双线性导数写成 ( d ；一q ) 9 ，= 0 ， ( 2 2 3 1 ) ( 2 2 3 2 a ) ( 耽一珑一3 r d 。) 9 ，= 0 ，( 2 2 3 2 b 1 其中以q 代替谱参数a 我们由此得到了k d v 方程双线性导数形式的b i c k l u n d 变换 2 2 2 m k d v 方程的b i c k l u n d 变换 应用类似的方法，也可推导出m k d v 方程的b i c k l u n d 变换下面以定理 的形式给出 定理2 给定m k d v 方程族所对应的具有位势“的s c h r 6 d i n g e r 谱问题及 时间发展式 咖。+ 2 u 也= 妒，( 2 2 3 3 a ) 咖t = a ( “，a ) 西+ b ( “，a ) 九 ( 2 , 2 3 3 b ) 嘲 柳 2 2 2 ： “ “ 叭 他 引 曩 “ 但 2 0 0 4 上海大学硕士学位论文 其中a ( u ， ) 与b ( u ，a ) 是 的扎次多项式则存在规范变换 妒刮。埘。= 千罢， 将( 2 ，2 3 3 ) 化为有完全相同形式但位势为口的谱问题及时间发展式 也m + 2 q 如= = = ：a 妒， 且位势u 及q 满足关系式 仇= a ( q ，a ) 妒+ b ( q ， ) 币。 ( 2 2 3 4 ) ( 2 2 3 5 a ) ( 2 2 3 5 b ) 口= + ( 1 n 口) z 一( i n 如) 。， ( 2 , 2 3 6 ) 式中目是谱参数为叩( 乒a ) 的线性问题( 2 2 3 3 ) 的解，即0 满足 如。十2 u 如= 加 如。+ 2 9 艮= = = ：加， 吼：= ：a ( ，q ) 口卜口( u ，n ) o 。 ( 2 23 7 a ) ( 2 , 2 3 7 b ) ( 2 2 3 7 c ) 称规范变换( 2 2 3 6 ) 为m k d v 方程d a r b o u x 形式的b c l ( 1 l l i l d 变换 若作变换 “= t ( 1 n 扣( i n 代入( 2 2 3 6 ) 并由( 2 2 3 7 a i b ) 和时间发展式 吼= ( 4 q r 1 2 + 2 q z r + ，儡m 一2 q 3 ) - 2 ( 一4 r a i2 q 2 q ) p 一( 4 q r 2 2 如”+ q 矗一2 9 3 ) 口2 ，( 2 2 a 9 ) 得 珥，。可：= ：一叼， ( 2 2 4 0 a ) ( d 十3 q 2 d 刊- d a ) f - g 一0 r 2 2 4 0 b ) 即为m k d v 方程双线性导数形式的b g c k l u n d 变换 2 0 0 4 上海大学硕士学位论文 1 2 第三章k d v 方程修正b i c k l u n d 变换的新解 k d v 方程作为孤子方程中的经典方程，前人已经通过多种方法，如双线 性导数法，反散射变换和b i c k l u n d 变换，求得其多种形式的n 孤子解本章 的工作是在前人工作的基础上，经过b f i i c k l u n d 变换的某些修正来获得其类孤 子解。 3 1 知识回顾 3 1 1 n 孤子解 双线性导数法是由日本数学家h i r o t a 提出并成功应用于求各种孤子方程 的多孤子解下面以k d v 方程举例说明这种方法的求解过程 给定k d v 方程为 “+ 6 u u x + z 。= 0 ，( 3 1 1 ) 若令 u = 2 1 nf ( t ，。) k 。，f 3 ，1 2 ) 则f ( t ，z ) 满足的双线性导数方程为 ( d , d z + d 4 ) ，- f = 0( 3 13 ) 设，( t ，。) 可按参数s 展开成级数 ，( t ，) = 1 + ，( 1 ) + ，( 2 ) 2 + - + f ( j ) e j + ，( 3 1 。4 ) 将其代入( 3 1 3 ) ，并比较e 的同次幂系数给出 璧+ 毡。= 0 ，( 3 ，1 5 a 1 2 ( 摆+ ，f 。x ( 。2 ) 。) = 一( d t d 。+ d ：) ，( 1 ) ，( 1 1 ，( 3 1 5 b ) 艨+ 矗翌。= 一( d t d 。十d ：) ，( 1 ) ，( 2 1 ，f 3 1 5 c ) 2 ( 艨+ ，湛。) = 一( d t d 。+ d 4 ) ( 2 f ( 1 ) ，( 3 ) + f ( 2 1 ，( 2 ) ，( 3 1 5 d ) 2 0 0 4 上海大学硕士学位论文 1 3 从方程( 3 1 5 a ) 知，( 1 ) 有线性指数函数形式的解 ，( 1 ) = e n ，6 = u l t + 南1 盘+ f i 们，w l = 一七 ( 3 1 6 ) 将此，( ) 代入( 3 1 5 5 ) ，根据双线性导数的性质得 | 鲁十| 霪。= 0 若取，( 2 ) = 0 ，则从( 3 1 5 c ) 又有 璧+ ，魏。= 0 ( 3 17 ) ( 3 1 8 ) 故得，3 = 0 继续这种推理可知，( 4 ) = ，( 5 ) 一= 0 这样一来，级数( 3 1 4 ) 被截断而取有限形式当s = 1 时其为 从而方程( 3 1 1 ) 有解 “_ 2 h ( ，“1 ) 一譬s e c n 。业学， 这与用行波法求出的解是一致的，通常称它为单孤子解 由于( 3 1 5 a ) 是线性微分方程，所以它也应有迭加形式的解 ，1 1 = e 1 + e 缸，白= w i t + k j x + 爵叭，屿= 一碍o = l ，2 ) 代入( 3 1 - 5 b ) 后给出 摆) + ，臻。= 3 k l k 2 ( k 1 一k 2 ) 2 e 叶如 ( 3 1 9 ) ( 3 1 1 0 ) ( 3 1 1 1 ) ( 3 1 ，1 2 ) 由此解得 ，( 2 ) = e f l 十f 2 + a z ，e a l 2 ( 女k 。l + - 女k 。2 、i 2 ( 3 1 1 3 ) 于是从( 3 1 5 c ) 与( i = 1 ，2 ) 的表达式推知 趱+ ，骢。= 0( 3 1 1 4 ) 2 0 0 4 上海大学硕士学位论文1 4 这又回到出发时的方程( 31 5 a ) ，n i ：a - i 取，( 3 ) - 0 如此继续，不难导出，( 4 ) i ，( 5 ) 一= 0 而方程( 3 13 ) 的截断解当e ：l 时为 厶0 ，窖) = 1 + e 1 + e f 2 + e f l + 如+ d 1 2 f 3 1 1 5 ) 从而k d v 方程的双孤子解为 若设方程( 3 1 ，5 a ) 的解为 ( 3 1 ，1 6 ) ，1 = e 1 + e 如+ e 如， 白= 岣t + b 茹十0 1 ，哟= 一砖，( = 1 ，2 ，3 ) ( 3 1 1 7 ) 类似的计算说明k d v 方程的三孤子解有形式 “= 2 1 n ( 1 + e 1 + e 如十e “+ e f l + 如+ a 1 2 + e 自十f 3 + a 1 3 + e 如+ 矗+ 一2 3 e 呜 ： r 磅一恕、2 i 再i ( j l ，j ，= 1 ，2 ，3 ) ( 3 1 1 8 a ) ( 3 1 1 8 b ) 这样的求解过程可以继续直到获得k d v 方程的n 孤子解，它可表示为 “= 2 f l n ( e ，心白十匙矧脚m “，f ) 。( 3 1 1 9 ) = 0 ，i 3 1 2 类孤子解 k d v 方程新类孤子解的导出是假设方程( 3 1 5 a ) 有如下形式的解 ，( 1 = 协e 白， j = l 其中q ，岛以及都为实数 在求解过程中会用到公式f 2 1 8 ) 对于n = l ，我们有 ) = r h e 1 哪= c u t + 岛。+ ，( 3 1 2 0 ) 侣1 2 1 1 通过求解( 3 1 5 ) ，可得 ，( 2 ) 一番水- ，旷卅煳圳触 ，( 3 1 2 2 a ) 2 0 0 4 上海大学硕士学位论文 1 5 ，( 8 ) = 0 ( 3 ) 因此级数( 3 1 4 ) 截断为 = l + 舭n 一暴r 2 e 2 n ， k d v 方程所对应的单类孤子解即为 “( z ，t ) = 2 1 n ( 1 + 舭囟一是8 撕) 一 口z 对于n = 2 ，如果我们取 ，( 1 ) = r 1 e 自+ ，7 2 e t 2 ， 吻= 一砖，= 一3 岛磅0 = 1 ，2 ) ， 经过类似的计算给出 ，( 2 k 一暴拶一鬟芦一 ( k t 恂- k 2 、，2 帅喝鬻替”。 岬警孝啦堋，胁瓮笋眵州。， 产k i 箍( 糕) 4 。，铆，鹾鑫器p 毪 一 磊( 糕) 4 时z 舶器端卜恂， ，( 4 k 簇22 k l - k 2 k 2 8 h 2 缸， 。 1 6 砖 七g b +5 ， ，( “) ：0m 5 ) 此时级数f 3 1 4 ) 截断后表示为f ，：1 1 ( 3 1 2 2 b ) f 3 1 2 3 1 ( 3 ，1 2 4 ) ( 3 1 2 5 a ) ( 3 1 2 5 b ) ( 3 1 2 6 a ) ( 3 1 2 6 b ) ( 3 1 2 6 c ) f 3 1 2 6 d 1 丘= 1 + ，( 1 ) + ，( 2 ) + ，( 3 ) + ，( 4 1 ( 3 1 2 7 ) 与其相对应的k d v 方程双类孤子解由( 3 1 2 ) 确定 这样的求解过程可以继续直到获得k d v 方程的n 类孤子解，它可表示为 一2 例z ，脚f i ( 虫2 i k d 州旷1 ) r t 目a 圳州2 叫) e x p 嘉哟+ 。妻。嗍钏 ( 3 1 2 8 a ) 2 0 0 4 上海大学硕士学位论文 1 6 其中 ，塑1 2 码+ 如果令岛= 0 ，w = 10 = 1 ，2 ，n ) ，则( 3 1 2 8 ) 化为( 3 1 1 9 ) 式所表示的经典 的孤子解 3 1 3b i i c k l u n d 变换的解 k d v 方程b a c k l u n d 变换的双线性导数形式已导出为( 2 2 3 2 ) 在此式中，若令，= 1 及q = 譬，推知 g l = e 争+ e 一譬，1 ：u l t + k l z + 叭，u l ： ，( 3 1 2 9 ) 其对应k d v 方程的单孤子解若取 及q = 譬，则所求函数g 为 啦= 。( e 学+ e - 学) + 卢( 。学+ e - 学) ( 3 1 3 0 ) 白= “。t 十幻+ 0 1 ，“。= 碍，( j = l ，2 ) ，( 3 1 3 1 a ) 其中 a 2 k l k 2 ，卢= 一( k l + k 2 ) ，( 3 1 3 1 b ) 此即对应k d v 方程的双孤子解同样，若取 ，= ( h 一排学- i - e - 学) 一( 自1 倒( e 学+ e - 学) ，( 3 1 3 2 ) 则从方程( 2 _ 2 3 2 ) 可得”= 譬，且所求函数g 为 9 3 = a ( e n 学+ e n 譬盘) 十卢( e 二n 学+ e 一二h 学1 + ，y ( e 譬产- b e - 哗纽) + j ( e 警p + e - 止譬鱼) ，( 3 1 3 3 a ) 式中 d = ( 女l 一2 ) ( 女1 一k a ) ( k 2 一 3 ) ，卢= ( k 1 + k 2 ) ( k 1 + 艇 ) ( 如一k 3 ) 2 0 0 4 上海大学硕士学位论文 1 7 ，y = ( k 1 + k 2 ) ( 女l k 3 ) ( k 2 + ) ，d = ( k l k 2 ) ( k l + 3 ) ( b + k a ) ， ( 3 1 3 3 b ) 由此即得k d v 方程的三孤子解 按照这种方法继续下去，一般的在求得对应于k d v 方程的n 一1 孤子解 之鼽一1 的表达式后，取骱一。为，则从双线性导数方程( 2 2 3 2 ) 给出q = 警， 且 g 。= f le f ( 勺砀咱k 1 ) e 响， e = 1l ! j l 白= 岣t + 磅。+ 拶1 ，哆= 砖，o = 1 ，2 ，) ， ( 3 1 3 4 ) 我们即得k d v 方程的n 孤子解 “= 2 1 n ( n 吡巧咱乜) e ，蛹) k ( 3 1 3 5 ) = 1 1 9 z 可以证明，以上所求的孤子解与( 3 1 1 9 ) 式是一致的 1 9 3 2 修正b f i c k l u n d 变换的新解 本节利用k d v 方程b & c k l u n d 变换的修正形式与h i r o t a 方法的某些技巧， 依次求得k d v 方程的新类孤子解表达式， 3 2 1 修正的b 最c k l u n d 变换 在( 2 , 2 3 2 ) 中_ 以e 勺代替g ，以参，代替，并借助公式( 2 1 9 ) 得 ( d ：十女d 。) ，g = 0 ，( 3 2 1 a ) ( d t 一噬) ，- g = 0 ，( 3 , 2 1 b ) 其中令k = 2 ( k h ) ，a = ( 一 ) 2 ，一口= 4 ( k 一九) 3 即为k d v 方程修正的 b f i c k l u n d 变换 设f ( t ，z ) 与9 ( t ，z ) 可按参数e 展开成级数 ，( t ，茹) = l + ，( 1 ) e 十，( 2 ) ，+ + ，( j ) 矿+ ，( 3 2 2 a ) g ( t ，z ) = 1 + 9 ( 1 ) e + 9 ( 2 ) 2 + + 9 0 ) d + 一， f 3 2 2 b ) 将这两个展开式代入( 3 2 1 ) ，并比较e 的同次幂系数给出 ( d ：+ d 。) ( ，( 1 ) 1 + 1 9 ( 1 ) = 0 ，( 3 2 3 a ) 2 0 0 4 上海大学硕士学位论文 及 ( d ；+ d 。) ( ，( 2 ) ，1 + ，( 1 ) 9 ( 1 + 1 9 ( 2 1 )