（运筹学与控制论专业论文）基于比例再保险和线性分红策略下风险模型的分析.pdf

印 印 二 l 嬲 a n a l y s i so ft h er i s km o d e l sw i t hp r o p o r t i o n a lr e i n s u r a n c e a n dl i n e a rd i v i d e n dp o l i c y b y z h a n gr u i f a n g b s ( s h a n x id a t o n gu n i v e r s i t y ) 2 0 0 8 at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e m a s t e ro fs c i e n c e o p e r a t i o n sr e s e a r c ha n dc y b e r n e t i c s i nt h e g r a d u a t es c h o o l o f l a n z h o uu n i v e r s i t yo ft e c h n o l o g y s u p e r v i s o r a p r i l ，2 0 1 1 扣 ， - ? r 声 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本 人授权兰州理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密斟 ( 请在以上相应方框内打”4 ”) 作者签名：冰稀芳 导师签名。糊 ，u 7 - 日期：加i 年月扩日 日期：伽厂，年铜矿e l 一_ - 1 2 2 再保险策略的研究 1 2 3 分红问题的研究 1 2 4 绝对破产概率的研究 1 3 破产理论中常用的研究方法 1 4 本文的研究内容和创新点 第二章绝对破产概率的理论基础 2 1 基本概念 2 2 破产模型的介绍 2 2 1 经典风险模型的构建 2 2 2 有关经典风险模型的破产概率已取得的研究结果 2 2 3 具有二阶保费率的e r l a n g ( 2 ) 风险模型的盈余过程 2 2 4 具有二阶保费率的e r l a n g ( 2 ) j k 险模型的破产概率 2 3 绝对破产模型的介绍 2 3 1 绝对破产模型的构建 2 3 2 具有常红利边界的绝对破产模型的盈余过程 2 3 3 具有常红利边界的绝对破产模型的绝对破产概率 第三章具有扩散项的比例再保险风险模型的分析 3 1 引言： 3 2 模型介绍 3 3 主要定理及证明 3 4 小结 3 5 数值分析 第四章线性分红策略下带干扰的复合泊松风险模型的分析 2 l 4 1 引言2 1 2 2 3 3 4 5 5 6 7 8 8 9 m 加加挖 船坞培m 均均 。 冬 4 2 模型介绍2 l 4 3 所建风险模型的基本性质2 2 4 4 索赔额服从指数分布的情形2 5 结论与展望 致谢 附录 2 8 3 3 3 4 。一 摘要 经典风险模型以及各类推广的风险模型，一般都是以破产概率的一些变动性特 征作为理论依据，但是研究发现绝对破产概率才是保险公司更好的预防和控制破产 的手段此外，保险风险模型中的分红策略作为当前研究的热点之一，也得到了人 们越来越多的关注基于再保策略、分红策略、期望折现罚金函数及绝对破产概率 等风险理论所得到的研究成果，本文主要从以下三个方面对破产问题进行研究 首先，介绍风险理论的概念、发展历程、目前主要的发展方向及研究方法，并且 利用期望折现罚金函数的定义和性质对基本风险模型的相关性质做了较为全面深 入的总结 其次，作为本文核心之一，在经典风险模型的基础上，引入比例再保险，建立了 带干扰的比例再保险风险模型以更新定理为工具，结合经典风险理论，对该风险 模型所涉及的盈余过程的统计特性作了简单分析和推导，给出索赔额服从指数分布 时的破产概率和调节系数的显式表达式，求解破产概率的方法与传统方法不同，本 文通过生存概率求得了相应风险模型的破产概率之后，对所得结果进行数值举例， 以最大调节系数和最小破产概率作为最优准则，得到了最优再保险策略，而且发现 这两类最优准则是等价的 最后，作为本文的另一核心，通过考虑贷款和投资，建立了具有线性分红策略且 带干扰的绝对风险模型该模型以一个期望折现罚金函数为基础，得到了更具有实 际意义的绝对破产概率此模型的盈余过程是一马氏过程，通过利用其马氏性和全 概率公式，给出了关于g e r b e r - s h i u 函数的积分微分方程，然后结合期望折现罚金函 数在特定条件下的具体意义，得到了索赔额服从指数分布时的绝对破产概率和绝对 破产时间的l a p l a c e 变换本文较为完整地解决了具有分红策略的绝对破产问题 关键词：破产概率；绝对破产概率；g e r b e r - s h i u 函数；调节系数； 比例再保险； 线性分红策略 。 p a b s t r a c t f o rt h ec l a s s i c a lr i s km o d e la n dv a r i o u sg e n e r a l i z e dr i s km o d e l ，c h a n g e a b l e c h a r a c t e r i s t i c so ft h er u i np r o b a b i l i t ya r et h et h e o r e t i c a lb a s i sf o rt h ei n s u r a n c e c o m p a n y , b u tw ef i n da b s o l u t er u i np r o b a b i l i t y i so fg r e a ts i g n i f i c a n c ei nr e a l i t y i n a d d i t i o n ，t h ed i v i d e n d ss t r a t e g i e si ni n s u r a n c er i s km o d e l ，a so n e o ft h eh o ts p o t si n t h ec u r r e n tr e s e a r c h ，h a sa l s og o tm o r ea n dm o r ea t t e n t i o n b a s e do nt h er e s e a r c ho f t h er e i n s u r a n c es t r a t e g y , d i v i d e n d ss t r a t e g y , e x p e c t e dd i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o n a n da b s o l u t er u i np r o b a b i l i t y , t h es t r u c t u r eo ft h i se s s a yi sa r r a n g e da sf o l l o w s f i r s t l y , w ei n t r o d u c et h ec o n c e p t ，d e v e l o p m e n tc o u r s e ，t h em a i nd e v e l o p m e n t d i r e c t i o na n dr e s e a r c hm e t h o d so fr i s kt h e o r ya tp r e s e n t ，a n ds u m m a r i z e t h er e l e v a n t p r o p e r t i e so ft h eb a s i cr i s km o d e lt h o r o u g ht h ed e f i n i t i o n a n dp r o p e r t i e so ft h e e x p e c t e dd i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o ni nt h i sp a p e r s e c o n d l y , a so n e c o r eo ft h i st h e s i s ，b a s e do nt h ec l a s s i c a lr i s km o d e l ，w et a k ei n t h ep r o p o r t i o nr e i n s u r a n c et h e ne s t a b l i s ht h ep r o p o r t i o n a lr e i n s u r a n c er i s km o d e l w i t hi n t e r f e r e n c e b yc o m b i n i n gt h eu p d a t et h e o r e mw i t ht h ec l a s s i c a lr i s kt h e - o r y , t h es t a t i s t i c a lp r o p e r t i e si n v o l v e dt h es u r p l u sp r o c e s sa r es i m p l ya n a l y z e da n d d e r i v e d t h es p e c i f i ce x p r e s s i o no ft h er u i np r o b a b i l i t ya n dt h ea d j u s t m e n tc o e f f i - c i e n ta r eg i v e nw h e nt h ea m o u n to fc l a i m so b e yt h ee x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n t h e m e t h o do fs o l v i n gt h er u i np r o b a b i l i t yi sd i f f e r e n tf r o mt h et r a d i t i o n a lm e t h o d ，a n d w eo b t a i nt h er u i np r o b a b i l i t yc o r r e s p o n d i n gr i s km o d e lt h r o u g h s u r v i v a lp r o b a b i l i t y i nt h i sa r t i c l e a f t e rt h a t ，s o m en u m e r i c a le x a m p l e sa r ep r e s e n t e dt os h o wt h a tt h e o p t i m a lr e i n s u r a n c es t r a t e g i e st om a x i m i z e t h ea d j u s t m e n tc o e f f i c i e n ta n dm i n i m i z e s t h er u i np r o b a b i l i t y , w h i l ew ef i n dt h e s et w oc r i t e r i aa r ee q u i v a l e n t f i n a l l y ，a sa n o t h e rc o r eo ft h i sp a p e r ，b yc o n s i d e r i n gl o a n sa n d i n v e s t m e n t ，w e e s t a b l i s ht h ea b s o l u t er i s km o d e lw i t ht h el i n e a rd i v i d e n d ss t r a t e g ya n d i n t e r f e r e n c e t h em o d e lp r o c e s si sam a r k o vp r o c e s s ，u s i n gt h em a r k o vp r o p e r t ya n dt h et o t a l p r o b a b i l i t yf o r m u l a ，w eg i v ead i s c o u n to ft h ei n t e g r a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n o n t h eg e r b e r - s h i uf u n c t i o n ；t h e na c c o r d i n gt os p e c i f i cm e a n i n g so ft h eg e r b e r - s h i u f u n c t i o nu n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s ，t h ea b s o l u t er u i np r o b a b i l i t ya n dt h el a p l a c e t r a n s f c r mo ft h ea b s o l u t er u i nt i m ea r e e x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n g i v e nw h e nt h ea m o u n to fc l a i m so b e yt h e k e yw o r d s ：r u i np r o b a b i l i t y ；a b s o l u t er u i np r o b a b i l i t y ；g e r b e r - s h i uf u n c t i o n ； a d j u s t m e n tc o e f f i c i e n t ；p r o p o r t i o n a lr e i n s u r a n c e ；l i n e a rd i v i d e n ds t r a t e g y 。 。产 第一章绪论 本章首先简介风险理论的研究背景和发展历史，接着引入破产理论已有的主要 研究成果，最后提出论文准备研究的基本问题、主要目标和贡献，重点介绍比例再 保险的破产概率和与期望折现罚金函数有关的绝对破产概率问题 1 1 破产理论的研究背景 保险是投保人将自己的风险转移给保险公司的一种机制保险公司一方面是连 续不断的保费收入，另一方面则是因损失发生而不断地进行理赔支付，如果在某一 时刻发生的理赔很大，或是连续的小理赔导致理赔总量巨大，保险公司的盈余都有 可能出现小于零的情况，这就意味着保险公司面临“破产”破产概率是保险公司设 计险种、收取保费、制定再保险等策略的基础，它对保险公司设计相应的财务预警 系统以及某些管理指标系统有直接的借鉴作用破产概率高意味着保险公司不稳 定，这时保险人必须采取诸如进行再保险或者提高保费设法吸收一些额外的资金等 措施来降低保险公司破产的机率 破产理论的研究源于瑞典精算师l u n d b e r g 于1 9 0 3 年发表的博士论文【1 1 ，正是他 首次在这篇论文中提出复合p o i s s o n 过程不过，l u n d b e r g 的工作不符合现代数学 的严格标准之后，以h a r a l dc r a m e r 为首的瑞典学派，将l u n d b e r g 的工作建立在坚 实的数学基础之上，已将随机分析、随机过程、鞅论、测度论等众多数学理论作 为理论工具应用到了实际操作中，并且发展了严格的随机过程理论1 2 1 此外，期望 罚金函数作为近阶段风险理论的又一重要工具也被广泛地运用现已公认，l u n d - b e r g 与c r a m e r 的工作成为经典破产理论的基础综上所述，破产理论作为保险的本 质，其风险受各种随机因素的影响，因此，我们需要在考虑各种实际因素的基础上， 来建立相应的数学模型，达到与实际运作更加贴切的目的 1 2 破产理论已有的部分研究成果 随着风险理论研究方法和工具的不断改进，以及随机过程理论的逐步完善和成 熟，关于风险模型，针对保险公司实际运作中遇到的种种问题，通过对模型进行修正， 附加种种条件，已建立了很多更加接近保险公司实际运作的数学模型现主要从以 下几个方面来介绍破产理论已取得地部分研究成果： 1 存概率的积分表示，并在指数分布的情况下求出了无限时间生存概率的具体表达式 文献 7 - 9 在经典风险模型的基础上考虑了带扩散扰动项的复合泊松风险过程 1 2 2 再保险策略的研究 再保险也叫分保，是指原保险人将其承担的保险义务，以承保的形式，全部或 部分转移给其他保险人的行为再保险可以分为比例再保险和非比例再保险两大类 比例再保险是指原保险公司与再保险公司相互签订再保险合同，按照保险金额比例 分担原保险责任的一种分保方法，该比例也是双方分配保费和分摊赔款时的依据 非比例再保险是指原保险公司与再保险公司相互签订再保险合同，以赔款金额作为 基础分担原保险公司责任的一种再保险形式最常用的非比例再保险就是停止损 失再保险，停止损失再保险是再保险公司承受损失超出指定免赔额的超额部分文 献f 1 0 ，1 1 1 较早的关于再保险策略问题进行了研究，他们通过实际例子给出最优再保 险策略的算法，是将原先的保费和再保险取定值，然后求出新的最优再保险策略，再 将新的最优再保险输入重复这个过程文献【1 2 】在常数利率的假设下，研究了使所有 盈余的精算现值最大时的最优再保险比例问题文献【1 3 1 在破产概率最小的意义下， 用扩散模型和经典模型研究了最优再保险策略问题他通过建立破产概率最小时满 足的h j b 方程来求最优再保险策略所满足的条件文献【1 4 ，1 5 】将上述两者统一在了 一个模型中，建立了使所有盈余的精算现值最大时破产概率所满足的h _ j b 方程 1 2 3 分红问题的研究 近年来，分红策略作为一个研究的热点，得到了人们越来越广泛的关注目前 研究较多的分红策略是常数障碍分红策略和阈红利策略所谓常数障碍策略是指当 盈余低于某一常数时，便不发放红利；而当盈余总额达到常数障碍时，超过的部分 全部作为红利发放给股东文献【1 6 1 在经典风险模型下研究了该策略，并且得到了最 优的常数障碍水平文献【1 7 】全面研究了常数障碍下复合p o i s s o n 风险模型，并且得 到g e r b e r - s h i u 折现罚金函数的表达式此外文献【1 8 ，1 9 ，2 0 ，2 1 1 也对常数障碍分 红策略进行了深入的研究而阈红利策略是指当盈余总额小于障碍时不分红，超过 障碍时以低于保险费率的速度分红显然，这种策略是对常数障碍策略的推广文 2 1 - 一 f 兰州理工大学硕士学位论文 献【2 0 】证明了广义常数障碍策略是最优的分红策略，并且讨论其g e r b e 卜s l l i u 折现罚 金函数的表达式文献 2 1 】利用马尔科夫性推导了指数理赔分布下的经典风险模型 的具体的破产概率文献【2 2 】又引进了一个线性分红策略，它是把一个线性函数设定 为红利界限，最后给出破产概率的一个上界，并证明了生存概率及红利付款的期望 折现分别满足的积分一微分方程有关线性分红的研究还可以参见文献【2 3 】 1 2 4 绝对破产概率的研究 期望折现罚金函数，也p q g e r b e r - s h i u 函数，最早是g e r b e r 和s h i u 在1 9 9 8 年发表 的论文中构造的【2 4 1 该函数不仅提供了一种研究破产量的统一方法，而且通过选择 适当的罚金函数和参数，还可以得到关于这三个变量的很多结果绝对破产是指保 险公司的债务或者负盈余低于某个特定值时，保险公司无力通过保费收入来使盈余 为正的情况自从期望折现罚金函数引入之后，很大一部分关于绝对破产问题的研 究就把它作为了理论工具g e r b e r 和s 1 d u 【2 5 l 首次考虑了经典风险模型中，初始盈余 为u 的条件下，破产前瞬时余额和破产赤字的带折扣的联合分布f ( z ，yiu ) ，并把此 模型推广到了带利率的情况嘲文献【2 7 】考虑了经典风险模型，在随机利率下，破产 时期望折现罚金函数所满足的更新方程关于风险模型破产时期望折现罚金函数的 研究可参见文献 2 7 - 2 9 其次，我们分析有关绝对破产时期望折现罚金函数方面的 研究绝对破产问题经周明，张春生引入经典风险模型之后，经过人们对模型的 改造和修正，以及研究方法的改进，已经取得了很大的进展文献【3 1 】研究了经典复 合p o i s s o n 风险模型的绝对破产问题，并通过鞅方法推导了，理赔额服从指数分布时， 绝对破产概率的表达式对绝对破产的其他研究亦可参见文献【3 2 3 5 】文献【3 6 】通过 期望折现罚金函数，研究了绝对破产时g e r b e r - s h i u 函数所满足的一系列积分微分方 程关于绝对破产时期望折现罚金函数的研究还可以参见文献 3 7 - 4 0 1 3 破产理论中常用的研究方法 随着风险理论的发展以及应用的数学工具的更新，作为当今风险理论的研究者， 如果没有很强的数学背景，例如随机分析、鞅论等相关理论知识，那么，对于风险理 论的研究就只能望文兴叹对于风险理论的研究，传统上人们常常采用全概率公式， 得出相应的生存概率满足的更新方程和破产概率的l u n d b e r g 不等式，并利用更新定 理得到破产概率的l u n d b e r g - c r a m e r 表达式m 随后b r e m a u d ( 1 9 7 2 ，1 9 7 4 ，1 9 8 1 ) 利 用鞅论对过程的随机性作了系统而完整的描述 4 1 , 4 2 , 4 3 1 ，使风险理论的研究以及应用 和统计分析的研究进入了一个新的发展阶段之后，h u g e r b e r 和e s w s h i u 弓l 入 了期望折现罚金函数，该函数非常方便地刻画了破产概率，破产时间的l a p l a c e 变换 以及破产前瞬时盈余与破产赤字的联合分布函数之间的关系，提供了一种研究破产 3 本学位论文以经典风险模型为基础，一方面致力于研究带干扰的比例再保险风 险模型，最后在索赔额服从指数分布的情形下，得到了与比例系数有关的原保公司、 再保公司的破产概率以及调节系数的表达式，并通过实例分析，找到最佳比例再保 险系数；另一方面考虑了线性分红策略下带干扰的风险模型，并对此模型的绝对破 产概率问题进行了研究；最后给出本论文结论以及对今后研究的展望根据以上内 容，本文的结构安排如下： 第l 章绪论，简要介绍了风险理论的产生背景和发展情况以及风险理论的研究方 法等；重点介绍了经典风险模型的若干研究结果及破产理论的研究进展，最后说明 本论文的研究意义和内容： 第2 章作为预备知识，对前人所做的工作做了一个细致的回顾，包括古典风险模 型和绝对破产模型的概念、性质以及相关结论； 第3 章是本文的核心之一，在总结已有成果的基础上，考虑了带干扰的比例再保 险风险模型，借助随机过程和经典风险理论，对该风险模型所涉及的盈余过程的统 计特性作一简单介绍和证明，给出了索赔额服从指数分布时的破产概率和调节系数 的显式表达式；最后通过数值举例，以最大调节系数和最小破产概率作为最优准则 得到了最优再保险策，找到了最佳比例再保险系数； 第4 章是本文的另外一个核心部分，考虑了线性分红策略下带干扰的复合p o i s s o n 风 险模型，利用其马氏性和全概率公式，得到了一个关于期望折现罚金函数的积分一微 分方程；然后结合期望折现罚金函数在特定条件下的具体意义，给出了索赔额分布 服从指数分布时的绝对破产概率和绝对破产时间的l a p l a c e 变换 本文主要创新点： 1 引入比例再保险，通过对已有的生存概率的分析，得到了比例再保险风险模 型的破产概率： 2 引入线性分红策略，并对其风险模型的绝对破产概率进行了研究： 3 采用了一种研究绝对破产概率的新方法( 期望折现罚金函数) ，它比以往通 过全概率公式研究绝对破产概率更加全面和简洁 4 第二章绝对破产概率的理论基础 本章将重点介绍风险理论的一些基本概念和方法，例如古典风险模型的相关结 论、分红策略已有的结果、以及绝对破产概率的概念和性质 2 1基本概念 定义2 1 1p o i s s o n 过程 所谓计数过程，是指一随机过程 ( t ) ，t o ) ，其中( ) 表示到时n t 为止发生 的“事件 总数，而p o i s s o n 过程是计数过程中最重要的类型之一 若计数过程 ( z ) ，t o ) ( 其中含有参数a ) 满足如下条件： ( 1 ) ( o ) = o ； ( 2 ) 具有独立增量； ( 3 ) 在任一长度为t 的区间内事件的个数服从均值为入的p o i s s o n 分布，即对一 切s ，t o 有p ( ( t + s ) 一n ( s ) = n ) = e - - ) , t f ，n = 0 ，1 ，2 则称此计数过程为p o i s s o n 过程 定义2 1 2w e i n e r 过程 若随机过程 ( t ) ，t o ) 满足如下条件： ( 1 ) w ( 0 ) = 0 ； ( 2 ) ( t ) ，t o ) 具有平稳独立增量； ( 3 ) 对每一个t 0 ，w ( ) 服从正态分布，均值为0 ，方差为o r 2 ，口为正常数 则称此随机过程为布朗运动，又称w e i n e r 过程 当盯= 1 时，这一过程为标准布朗运动或标准w e i n e r 过程，且具有如下性质：均 值p ( t ) = e 【w ( o ) 】= 0 ，方差口2 = 1 定义2 1 3 再保险 再保险的方式很多，但是本文只涉及到下列两种常见的再保险方式：比例再保 险和停止损失再保险 首先给出这两类再保险的数学表达式，为了叙述方便，我们定义以下几个基本 变量： x 是原保险公司的责任风险； x ，表示原保险公司的自留风险； 表示再保险公司的分出风险 ( 1 ) 比例再保险：我们用卢表示比例系数，则 坼= ( 1 一p ) x ，义n = p x 5 定义g e r b e r s h i u 函数( 期望折现罚金函数) ： 。 r1 m 卢( 让) = ei e 一胡u ( r ( 一) ，ir ( ) 1 ) j f 乃 0 ，z 2 o ；r ( 乃一) 为绝对破产 前的瞬时盈余；i 冗( 乃) i 为绝对破产赤字，乃= i n f t o ；r ( t ) 一吾 为绝对破 产时间 g e r b e r - s h i u 函数刻画的是绝对破产概率、绝对破产时间的l a p l a c e 变换以及绝 对破产前瞬时盈余与绝对破产赤字的联合分布函数之间的关系，此函数提供了一种 研究绝对破产量的统一方法，通过选择适当的罚金函数，再配合参数的取值，就可以 得到关于这三个变量的很多结果，如下： 当q = 0 ，u ( z l ，z 2 ) = l 时，期望折现罚金函数即为绝对破产概率， 当a = 0 ，u 1 ，z 2 ) = i r l z ，x 2 可) 时，期望折现罚金函数就成为绝对破产 前的瞬时盈余与绝对破产赤字的联合密度函数， 当u ( z 1 ，z 2 ) = 1 时，期望折现罚金函数就成为绝对破产时间的l a p l a c e 变换 定义2 1 5 线性分红策略 假定初始盈余为z ，保费率为c ，索赔总额过程为 s ( t ) ，t o ，则t 时刻的盈余r 便 可以表示为r = z + c t 一& 之后，我们引入线性分红策略，首先设定一个线性红利 界限y = b + q t ，其中b 为初值，q ( 0 g c ) 为递增速率这样，只要盈余在红利界限 以下，便不发放红利若盈余在红利界限以上，每单位时间便发放c 一口的红利，直到 下一次索赔发生为此，盈余过程有如下表达式： ，。ic d t d s t ，忌 0 是单位时间内的保费 收入，n ( 0 q 1 ) 是红利率，c 2 = c l q ，s ( t ) = 髫五， 五， 1 ) 表示理 兰州理工大学硕士学位论文 赔额，是分布函数为p ( z ) 均值为p 的独立同分布的非负随机变量序列，且p ( z ) = p ，( z ) n ( ) 表示( o ，t 】内的理赔次数，姒表示i 一1 0 ：与i 次理赔出现的时间间隔 w ：，i 1 ) 是服从e r l a d l g ( 2 ) 分布的独立同分布随机变量序列，其密度函数为k ( t ) = 卢2 t e 一肛，且 睨，i l 与 五，i 1 ) 相互独立 风险模型( 2 5 ) 的破产时刻为： r b = i n f t 0lu b ( t ) 0 ，也就是说公司盈余在没有索赔得情况下严格递增，因此 还有可能恢复为正值，而当u ( t ) 一丢时，公司盈余递减，此时认为公司负盈余已无 法恢复为正值，我们就定义保险公司发生了绝对破产，其中一i c 就- 、是此模型下公司的 绝对破产界，至此我们就可以给出绝对破产下的盈余过程 2 3 2 具有常红利边界的绝对破产模型的盈余过程 关于分红问题的研究很多，而且目前研究较多的是关于常数障碍分红策略，即 保险公司以某一确定的常数作为红利的界限文献【1 9 】利用g e r b e r - s l l i u 函数，考虑了 具有常红利边界的复合p o i s s o n 风险模型的绝对破产，以下就对此类模型进行简单介 绍 1 0 兰州理工大学硕士学位论文 在上述经典风险模型( 2 2 ) 的基础上，假定红利边界为常数b ，当盈余超过常数水 平b 时，将以比率c 分红，也就是保险人将超出b 的盈余全部作为红利分发给股东，直 至下次索赔发生；当盈余为负时，保险人以利率卢借入资金维持经营；当阢一告时， 保险人无法通过保费收入来弥补债务，绝对破产发生此时的盈余过程记为以( ) 如 图2 2 ，且具有常红利边界的绝对破产风险模型的盈余过程“( ) 可以表示为： i - d s ( ) ，“( t ) = b ， “( ) = c d t d s ( t ) ，0 “( t ) b ， i ( c + p 魄( ) ) d t d s ( t ) ，一虽 “( t ) 0 令= i n f ；“( t ) 一善 为绝对破产时间，九( u ) = p ( r b 0 0l 以( 0 ) = u ) 为 绝对破产概率相应的g e r b e r - s h i u 函数为： m ：( u ) = e e 一u ( 以( 一) ，i “( ) i ) 气 ) l “( o ) = q ( 2 6 ) 其中q 0 为一常数，可以看做折现利率，或者l a p l a c e 变换的虚拟变量；i a 为a 的示性函数；u ( z 1 ，x 2 ) 为一非负函数，( x l ，x 2 ) ( 一号，+ ) i 号，+ o o ) ；“( 一) 为 绝对破产前的瞬时盈余，l 以( ) i 为绝对破产赤字 易知，当q = o ，u ( z l ，x 2 ) = 1 时，( 2 6 ) 式即为绝对破产概率； 当q = 0 ，u ( z 1 ，z 2 ) = j ( z l z ，t 2 y ) 时，( 2 6 ) 式即为绝对破产前瞬间盈余与 破产赤字的联合密度函数： 当叫( z l ，z 2 ) = 1 时，( 2 6 ) 式便变为绝对破产时间的l a p l a c e 变换 以( f ) 矗 缸 。v t 7 j 一 ， o y， k ( y d i c 晷 一一 图2 2 具有常红利边界的绝对破产风险模型的盈余过程 1 1 令q = o ，u ( z ，z 。) = l ，此时a ( u ) = l - f ( 乱+ 号) ，a ( 一号) = 1 ，m b ( u ) = 九( u ) ， l l p g e r b e r - s h i u 函数m b ( t ) 变为绝对破产概率咖( t ) ，其咖b ( u ) 满足如下的积分一微分方 程： ( c + 罟) 苁( 乱) + ( e 7 一a ) 磊( t t ) = o ，o 牡 6 ， ( 2 1 2 ) ( c + 阢+ 吾) ( 牡) + + 所札+ 吖一a ) 无( 让) = o ，一丢 0 ) 记发生的损失为五 1 3 ( t ) ( t ) = u + c o t 一p 五+ w ( z ) ，t 0 ( 3 4 ) 其中印= ( 1 + p ) a 卢e ( 五) 为再保险公司在单位时间内收取原保险公司的保费c = ( 1 + 口) a e ( 五) 为原保险公司在单位时间内收取保险人的保费 下面给出破产问题中的一些定义由于口 0 ，所以足以保证阢( t ) ，i = 1 ，2 的期 望值大于初始资本金u 但是当盈余首次为负值的话，则就说保险公司发生了破产， 其相应的概率称为破产概率定义 圣1 ( u ) = p ( e o olu ( 0 ) = t 正) ，t 0 为原保险公司的破产概率 圣2 ( u ) = p ( 乃 o olu ( 0 ) = t 1 ) ，t i 0 为再保险公司的破产概率其中正= i n f 0 ：u ( t ) z ) 如( 3 6 ) + a z 佃p ( ( 1 卅酗舳 结合引理( 3 3 2 ) 从而上式变为： t d d 西l ( u ) + ( c 一印) 西- ( t t ) = az u 圣( u z ) e 一南如+ az 佃e 一南似3 7 ) =ae一南圣1(z)e南+(一p)aeitae d x1a e 一南 =一研 圣1 ( z ) e 邳+ ( 一口) 一向 j 0 在( 3 7 ) 式两边同乘以e 尚可得： e 南堡专掣+ e 南( c 一印) 西- ( 牡) = az u 西( z ) e 南如+ a ( 1 一卢) ( 3 8 ) 在( 3 8 ) 式两边关于t 求导可得： a 西，( 让) e 南= 南e 南旦象盟+ e 南些瓮掣 + 篙e 南州钍) + e 南( c 一印) 掣 1 5 ( 3 9 ) 垂1 ( u ) ：c l e $ 1 - - 南卜+ c 2 e ( 驴南卜，( 3 1 1 ) 其中s 1 ，2 ：考e 学根据布朗运动的特点可知西1 ( o ) ：1 ，从而有 c l + c 2 = 1 ( 3 1 2 ) 为了求解这两个常数，再将( 3 1 1 ) 式代x ( 3 5 ) 式，整理得 d c l ( s 一南) 毋l - 南) 叫c 一咖- 毋卜南) u ( 3 1 3 ) + 。饧( s 2 一南) e 。喃卜+ ( c 刊c 2 e ( 驴矧u = e 一南a e 以u 鱼8 1 + e _ 南u 彬2 u 竺8 2 + 沁一南 ( 1 一卢) 一( 旦8 1 + 垒8 2 ) 1 jl 。 l l 较( 3 1 3 ) 两边e 一南的系数，可得 c _ a 十丝= 1 一卢( 3 1 4 ) 8 18 2 联立方程( 3 1 2 ) ；b i ( 3 1 4 ) ，即可求得c l = 一a l - - ( 。1 。- - 一卢。) s 1 8 2 ，c 2 = ( 1 - t 。) 。s 一1 船8 2 - 一8 2 ( 2 ) 如果= ( ( c 一印) 一南) 。+ 4 a d = 0 ，显然有c 一印= d = o 意味着不收 取保费，此时破产概率为1 。 ( 3 ) 如果仅d = 0 ，表示只有干扰项消失，则由方程( 3 7 ) 可以得到破产概率的精 确表达式西1 ( 仳) = 南e i ：匀南u 定理3 3 2 记1 = ( 印一詈) 2 + 4 a d 为方程d s ，2 + ( 印一詈) s ，一入= o 的判别 式，对于标准指数分布的素赔额兑，如果