（概率论与数理统计专业论文）基于markov半群和半鞅特征的金融建模.pdf

摘要 发表于1 9 7 3 年的b l a c k - s c h o l e s 公式给金融经济学领域带来了一场巨大的革 命自此，随机分析的方法被广泛地应用于现代金融的各个领域，包括衍生品定 价、利率期限结构理论、信用风险建模等等 本论文致力于探讨m a r k o v 半群和半鞅特征在金融建模中的应用具体而言， 我们研究了基于m a r k o v 半群及其无穷小g e n e r a t o r 的衍生品定价理论与i n t e n s i t y b a s e d 信用风险模型，利用算子半群的扰动理论分析短期利率模型，并在半鞅的 框架下，借助半鞅特征构造了一般化的h j m 模型 在市场具有m a r k o v 性的假设下，我们提出了一类定价测度和远期测度然 后，我们分别研究了基于定价半群和远期半群的衍生品定价理论，并从m a r k o v 半群的角度探讨了二者之间的关系进一步，我们探索了即期g e n e r a t o r 和远期 g e n e r a t o r 之间的关系，并推导出基于它们的衍生品定价方程同时，我们考虑了 基于两参数演变算子的定价方法，及其与半群定价之间的联系，并推导了基于演 变算子的无穷小g e n e r a t o r 的定价方程 在i n t e n s i t yb a s e d 信用风险模型中，我们引入违约定价半群和违约远期半 群进而，我们分别得到基于即期g e n e r a t o r 和违约远期g e n e r a t o r 的定价方程 对一类跳跃一扩散过程，我们给出了v a n i l l a 期权和b a r r i e r 期权的积分一微 分定价方程而且，我们提出了a s i a n 期权和b a s k e t 期权的l e s n 一近似定价方 法 f i l i p o v i d 利用m a r k o v 半群的方法于2 0 0 1 年给出了a f f i n e 利率期限结构的 完全刻画我们引入算子半群的扰动理论来研究短期利率过程以a l p i n e 半群作 为出发点，我们用d y s o n - p h i l l i p s 级数来表示扰动a t o n e 半群然后，我们用半 群扰动方法来研究拟多项式系数的短期利率过程，并推导出相应的利率衍生品定 价公式 在半鞅的框架下，借助于半鞅的特征，我们研究了一般的h j m 模型此模型 能包括先前提出的布朗运动、l d v y 过程、跳跃一扩散过程驱动的h j m 模型进 一步，在一种跳跃扩散模型下，我们给出了某些利率衍生品的具体定价公式 关键词：m a r k o v 半群； 无穷小g e n e r a t o r ；半鞅特征； 衍生品定价；利率期 限结构；信用风险；定价测度；远期测度；即期半群；定价半群； 远期 半群； 即期g e n e r a t o r ；远期g e n e r a t o r ；定价方程； a f f i n e 半群；扰动半群； d y s o n - p h i l l i p s 级数；h j m 模型； 学科分类号：9 1 8 7 0 i i i a b s t r a c t t h ep u b l i c a t i o no ft h ec e l e b r a t e db l a c k - s c h o l e sf o r m u l ai n1 9 7 3b r o u g h ta g r e a tr e v o l u t i o ni nf i n a n c i a le c o n o m i c s s i n c et h e n ，t h et h e o r yo fs t o c h a s t i ca n a l - y s i sh a sb e e na p p l i e di na l lt h ef i e l d so fm o d e r nf i n a n c e ，i n c l u d i n gd e r i v a t i v e s p r i c i n g ，t h et e r ms t r u c t u r eo fi n t e r e s tr a t e sa n dc r e d i tr i s km o d e h n g e t c t h i st h e s i si sd e v o t e dt ot h ea p p l i c a t i o no fm a r k o vs e m i g r o u p sa n dt h ec h a r - a c t e r i s t i c so fs e m i m a r t i n g a l e si nf i n a n c i a lm o d e l i n g m o r ep r e c i s e l y ，w es t u d y d e r i v a t i v e sp r i c i n ga n di n t e n s i t yb a s e dc r e d i tr i s km o d e l i n gb ym a r k o vs e m i g r o u p s a n dt h e i ri n f i n i t e s i m a lg e n e r a t o r s ，i n v e s t i g a t et h es h o r tr a t em o d e l sb yt h ep e r - t u r b a t i o nt h e o r yo fo p e r a t o rs e m i g r o u p s ，a n dd e v e l o pag e n e r a lh j m t y p et e r m s t r u c t u r em o d e lo fi n t e r e s tr a t e si naf r a m e w o r ko fg e n e r a ls e m i m a r t i n g a l e s ，b y v i r t u eo ft h e i rc h a r a c t e r i s t i c s i nam a r k o vs e t t i n go ft h em a r k e t ，w ei n t r o d u c eac l a s so fp r i c i n gm e a s u r e s a n df o r w a r dm e a s u r e s t h e nw es t u d yd e r i v a t i v e sp r i c i n ga s s o c i a t e dt ot h ep r i c i n g s e m i g r o u pa n dt h ef o r w a r ds e m i g r o u pr e s p e c t i v e l y , a n de x p l o r et h er e l a t i o n s h i p b e t w e e nt h e mf r o mt h ev i e wo fm a r k o vs e m i g r o u p s f u r t h e r m o r e ，w ei n v e s t i g a t e t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h es p o tg e n e r a t o ra n dt h ef o r w a r dg e n e r a t o r ，a n dd e r i v e t h ed e r i v a t i v e sp r i c i n ge q u a t i o n sb a s e do nt h e m m e a n t i m e ，w es t u d yt h ep r i c i n g a p p r o a c hb a s e do nt w o - p a r a m e t e rp r o p a g a t o r s ，a n di t sc o n n e c t i o nw i t ht h es e m i - g r o u p sp r i c i n gm e t h o d f u r t h e r m o r e ，w ed e r i v et h ep r i c i n ge q u a t i o n sb a s e do n t h eg e n e r a t o r so fp r o p a g a t o r s i nc r e d i tr i s km o d e l sb yi n t e n s i t yb a s e da p p r o a c h ，w ep r o p o s et h ed e f a u l t a b l e p r i c i n gs e m i g r o u pa n dd e f a u l t a b l ef o r w a r ds e m i g r o u p f u r t h e r m o r e ，w ep r e s e n t t h ep r i c i n ge q u a t i o n sa s s o c i a t e dt ot h es p o tg e n e r a t o ra n dt h ed e f a u l t a b l ef o r w a r d g e n e r a t o r ，r e s p e c t i v e l y f o rac l a s so fj u m p - d i f f u s i o np r o c e s s e s ，w ep r e s e n tt h ei n t e g r o - d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sf o rp r i c i n gv a n i l l ao p t i o n sa n db a r r i e ro p t i o n s m o r e o v e r ，w ep r o p o s ea l e s n a p p r o x i m a t i o nm e t h o df o rp r i c i n ga s i a na n db a s k e to p t i o n s f i l i p o v i 6i n2 0 0 1c h a r a c t e r i z e dt h ea f l i n et e r ms t r u c t u r eo fi n t e r e s tr a t e s ，b y v i r t u eo fm a r k o vs e m i g r o u pa p p r o a c h w bi n t r o d u c et h ep e r t u r b a t i o nt h e o r yo f o p e r a t o rs e m i g r o u p st os t u d yt h es h o r tr a t ep r o c e s s e s s t a r t i n gf r o mt h ea f f i n e s e m i g r o u p s ，w ec a nr e p r e s e n tt h ep e r t u r b e da f f i n es e m i g r o u p sa sd y s o n - p h i l l i p s s e r i e s t h e nw ea p p l yt h es e m i g r o u pp e r t u r b a t i o na p p r o a c ht os t u d yac l a s so f j u m p - d i f f u s i o ns h o r tr a t ep r o c e s s e sw i t hq u a s i p o l y n o m i a lc o e f f i c i e n t s ，a n dd e r i v e i iab s t r a c t t h ep r i c i n gf o r m u l a ef o ri n t e r e s tr a t ed e r i v a t i v e s f o l l o w i n gt h eh j ma p p r o a c h ，w ei n t r o d u c eag e n e r a lt e r ms t r u c t u r em o d e l o fi n t e r e s tr a t e si naf r a m e w o r ko fg e n e r a ls e m i m a r t i n g a l e s b yv i r t u eo ft h e c h a r a c t e r i s t i c st r i p l e to fs e m i m a r t i n g a l e s w ec a nc a p t u r et h em o d e l sd r i v e nb y b r o w n i n a nm o t i o n s ，l d v yp r o c e s s e sa n dju m p - d i f f u s i o np r o c e s s e sp r e s e n t e db e - f o r e f u r t h e r m o r e ，i naj u m p - d i f f u s i o ns e t t i n g ，w ed e r i v ee x p l i c i tp r i c i n gf o r m u l a e f o ri n t e r e s tr a t ed e r i v a t i v e s ，e g b o n do p t i o n s ，c a p sa n df l o o r s k e yw o r d sa n dp h r a s e s ：m a r k o vs e m i g r o u p ；i n f i n i t e s i m a lg e n e r a t o r ；c h a r a c - t e r i s t i c so fs e m i m a r t i n g a l e s ；d e r i v a t i v e sp r i c i n g ；t e r ms t r u c t u r eo fi n t e r e s tr a t e s ； c r e d i tr i s km o d e l i n g ；b l a c k - s c h o l e sf o r m u l a ；p r i c i n gm e a s u r e ；f o r w a r dm e a s u r e ； s p o ts e m i g r o u p ；p r i c i n gs e m i g r o u p ；f o r w a r ds e m i g r o u p ；s p o tg e n e r a t o r ；f o r - w a r dg e n e r a t o r ；p r i c i n ge q u a t i o n ；a f f i n es e m i g r o u p ；p e r t u r b e ds e m i g r o u p ；一d y s o n - p h i l l i p ss e r i e s ；h j m m o d e l ； a m s2 0 0 0s u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n s ：9 1 8 7 0 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名： 年月日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 一”_ j ”，a ，j ? ”， 内部5 年( 最艮5 年，可少于5 年) 一 l 秘密1 0 年( 最长1 0 年，可少于1 0 年) i 机密2 0 年( 最长2 0 年，可少于2 0 年) i 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、己公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名： 年月日 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n t h i st h e s i si sd e v o t e dt ot h ef i n a n c i a lm o d e l i n gb ym a r k o vs e m i g r o u p sa n dc h a r - a c t e r i s t i c so fs e m i m a r t i n g a l e s b ys u c hd i s t i n g u i s h e dm e t h o d s ，w ec a no b t a i nv e r y g e n e r a lr e s u l t si nm a n yf i n a n c i a la p p l i c a t i o n s ，i n c l u d i n gd e r i v a t i v e sp r i c i n g ，t h et e r m s t r u c t u r eo fi n t e r e s tr a t e sa n dc r e d i tr i s km o d e l i n g i n1 9 7 3 ，b l a c ka n ds c h o l e s 【5 】p u tf o r w a r dt h e i rc e l e b r a t e do p t i o np r i c i n gf o r - m u l a ，w h i c hi sk n o w na st h eb l a c k s c h o l e sf o r m u l a u n d e rt h ea s s u m p t i o n so ff r i c - t i o n l e s sm a r k e t ，n oa r b i t r a g eo p p o r t u n i t i e s ，ac o n s t a n tr i s k - f r e ei n t e r e s tr a t e ，a n d t h a tt h eu n d e r l y i n ga s s e tb e h a v e sa sag e o m e t r i cb r o w n i a nm o t i o n ，t h e yd e r i v e dt h e p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nf o rp r i c i n go p t i o n s ：l e tu ( t ，z ) d e n o t et h eo p t i o np r i c e a tt i m et ，g i v e nt h a tt h ep r i c ea tto ft h eu n d e r l y i n ga s s e ti sz ，t h e n o u1a 2 缸孔 瓦+- 2 x 2 孬+ r z 瓦2 7 u ，( 1 0 1 ) w i t ht h eb o u n d a r yc o n d i t i o nu ( t ，z ) = ( z k ) + f o rc a l l sa n du ( t ，z ) = ( k z ) + f o rp u t s i n s p i r e db yt h ec o n n e c t i o nb e t w e e nm a r k o vp r o c e s s e s ，o p e r a t o rs e m i g r o u p sa n d p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，w es h a l ld e v e l o pat h e o r yo fd e r i v a t i v e sp r i c i n gb a s e d o nm a r k o vs e m i g r o u p sa n dt h e i ri n f i n i t e s i m a lg e n e r a t o r s l e tt0b eaf i ) ( e dt i m eh o r i z o n ，a n d 丁= 【0 ，卅l e t ( q ， 五) 7 ，p ) b e af i l t e r e dr i s k - n e u t r a lp r o b a b i l i t ys p a c e ，e q u i p p e dw i t ham a r k o vp r o c e s s 五r d s u p p o s et h a t 五= 0 - ( x s ，s ) ，a n dd e n o t eb y 曰= 0 - ( 丘，8 u t ) l e t l 1 ( o ) b et h es p a c eo fo m e a s u r a b l ea n d p - i n t e g r a b l er e a lv a l u e dr a n d o mv a r i a b l e s ， 2 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n a n dl 。( 丁r d ) t h eb a n a c hs p a c eo fr e a lv a l u e de s s e n t i a l l yb o u n d e dm e a s u r a b l e f u n c t i o n so nt r d ，w i t ht h en o r ml i f l l = e s s s u p ( 抽) 丁r dl f ( t ，x ) 1 l e tr t = r ( t ，托) b et h er i s k - f r e es h o r tr a t ep r o c e s sf o rs o m ep o s i t i v ec o n t i n u o u s f u n c t i o nr ( t ，z ) o n 丁r d ，a n dd e n o t eb y 展= e 菇r 。幽t h es a v i n ga c c o u n tp r o c e s s f u r t h e r m o r e ，l e tb ( t ，t ) d e n o t et h ep r i c ea tt i m eto far i s k - f r e ez e r oc o u p o nb o n d m a t u r i n ga tt i m et f o ra n y ( s ，z ) 丁r d ，d e n o t eb yp ( 8 声) o n 咒：z d e f i n et h ep r i c i n gm e a s u r e 声( 叩) r e s p e c t i v e l y , w h e r e 矗声( 叩) d q ( 掣) t h ep r o b a b i l i t ym e a s u r ec o n d i t i o n a l l y a n dt h ef o r w a r dm e a s u r eq ( 叩) b y e 一r u d u d p ( 即) 。 毒( s ，x ) ( 1 0 2 ) e 一铲r u d u d p ( 卵) ，( 1 0 3 ) ( 5 ，z ) ：砖，$ e p r u 如】 i sc a l l e dt h eb o n dp r i c ef u n c t i o n ，s i n c eb ( s ，t ) = ( s ，咒) ( 1 0 4 ) f o ra n ys e c u r i t yw i t ht h ec u m u l a t