（运筹学与控制论专业论文）两类生态数学模型的定性分析.pdf

本文分为两个部分 摘要 第一部分：韧：究一类具功能性反应的生态数学系穆 警一g ( z ) 一勋) 似巩 堋) o ； ! 盟d t = ( ，) 一g ( z ) + e 瓠z ) ，( f ) o ， 给出了判定该系统的内平衡点的全局稳定性和极限环的存在唯一性的一些充分条件， 这些结果包含或部分包含了文 9 ， 1 0 ， 1 1 ， 1 2 的结论 第二部分：就一类捕食与被捕食系匀芒， 证明了在某些参数域中存在唯一稳定极限环，而在另一些参数域中存在全局渐近稳定 平衡点 关键词：功能性反应系统；捕食与被捕食；极限环；全局稳定性 y一 时 一、1， 扩 o + 一 o z y 一 一 血一出蚵一mf【 a b s t r a c t t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t ot w op a r t s i nt h ef i r s tp a r t ，b yt h eq u a l i t a t i v et h e o r ya n ds t a b i l i t yt h e o r yo f o r d b n a r yd i f f e r e n t i a le q u t i o n s ，w ed i s c u s s e dac l a s so f f u n c t i o n a lr e s p o n s em o d e l ： i 等= z 9 ( z ) 一黝) 议吨 巾) o ； 0 ，满足初值条件的解存在、唯一且连续考虑到实际的生态意义，对模型中 的函数作如下假设： ( h d g ( o ) o ，存在 0 ，使得g ( ) ；0 且当z k 时，( 。一k ) g o ) 0 ； ( h3 ) 以0 ) 一0 ，面( z ) 0 ； ( h4 ) q ( 0 ) = 0 ，矿( 口) 0 。 ( 打5 ) g ( o ) 0 ，g 0 ) 0 且u m 口( z ) = 忙 0 很明显对于任意实数c ，系统( 2 1 ) 都有平衡点0 ( 0 ，0 ) 和( t ，0 ) 引理l如果c o ，则平衡点0 是鞍点，正z 轴是它的不稳定漉形，正y 轴是它的 稳定流形；稳定结点( t ，o ) 在 ( z ，) z o ， 0 内全局渐近稳定 证明：只证( t ，o ) 在( ( z ，y ) 【z o ，r 0 内全局渐近稳定 当c o 时，系统( 2 1 ) 无内平衡点，显然无闭轨而对一切 ( z ，f ) ( z ，f ) i z o ，f o ) ，均有雨d y 0 ，y 0 ) 内全局 渐近稳定 由引理l ，当c 0 时，系统( 2 1 ) 的动力学行为在第一象限内是平凡的，所以在以 下的讨论中都假设c o 如果一q ( z ) + c 武z ) 一0 有实根i ，则由( 3 ) ，( h5 ) 知，i 必唯一 2 引理2 如果孑 ，则平衡点( 女，o ) 在 o ，) l z o ， o 内全局渐近稳定 证明；如果i t ，则易知系统( 2 1 ) 只有两个平衡点0 ( o ，o ) 和n ( ，o ) ，其中0 是 鞍点，正，轴是0 的稳定流形，正z 轴是0 的不稳定流形；( ，o ) 是稳定结点 如果( z 。，y 。) 在直线z 一孑的右侧，则从( zo ，yo ) 出发的轨线( z ( ) ，y ( 幻) 必与 z ；i 相交，否则的话，p h = f = x 十- - n o 有譬笋 o ，从而可知。粤。，( ) = + 。，且 对一切 o ，有i t 时，恒有尘笋 + o 。时 掣一 b 。时有尘笋 一，将此式关于c 从“到 “积分得 z ( ) z ( 口) 一r ( 一t o ) 对f 取极限得l i r az ( ) = 一。o ，这与u mz ( ) 一a 矛盾从而可知从( za ，。j 宝发的 轨线必与z = i 相交，进入：= ；左侧 由于当z 0 ) 内全局稳定+ 如图 3 一 、 ，蟛 。、 、 、 o k 泛 7 考虑到( 日2 ) ，为了保证系统存在一个正平衡点肘( i ，i ) ，进一步假设一一 ( - q6 ) 3i ，d 0 ，使得当t 时，z ( 幻 0 ，。 0 ，显然对所有的o 0 ，有z ( ) ，y ( ) 均为正 分两种情况证明z ( ) 有界 1 )如果z 。i ，则可证对于所有的t 0 有z ( ) 0 ，使 得 x ( t 1 ) = k 且面d z o 则由系统( 2 1 ) 及条件( 目1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 可得 4 面d x b 一一 ( ，( 议z ( “) ) ，则由系统( 2 1 ) 及条件( h 1 ) ，( h 2 ) ，( h 3 ) 可知面d z k j 或者jt ， o ，使得 z ( 如) j ，则如同1 ) 中z ( o ) ，o ，并设z z ( ) ，y 一，( ) 是 系统( 2 1 ) 在时刻t = o 时从点a ( n ，m ) 出发的轨线由于在射线 。一a ，y 0 ) 上有 生弓产 o 有z ( ) 8 时有 掣 o ，从而可知必有】曲，- ( ) 一+ ，且对一切 o 有 u b f 一 + z ( ) g ( z + ( ) ) 一 ( ，( ) ) 积z ( ) ) 0 ， 即业毫盟 o ，这表明z ( ) 在区间( o ，。) 上单调减少，故，粤。z ( f ) 存在，记 l i r a z 。0 ) 一d ，6 = d g ( d ) 一 ( + o 。) 缸d ) 显然b o ，使得s 时有业毫盟 i r + n 。z + ( ) 一d ( i d 口) 矛盾 若一o 。 o ，故有，； m 再用d 记点( o ，f i ) ，o i g 点( o ，o ) ，曰记 点( n ，o ) 则易知在线段面一j z ；右。- dy 出( t ) o ，且其中等号仅在日点可能成立在假设条 件下系统( 2 i t ) 关于初值问题的解具有存在唯一性，易知轨线z = z ( o ) - ，= ，( f ) 不可 能跑出由直线段岔口，d o ，o bb a 及轨线段a 口所组成的闭曲线所围区域而进入其外 部，从而y ( ) 有界 3 0 il b ，鹱) p = - 二二玲， m - 一。一一 过。 七。 o ， i q - 要证明存在t 0 ，使儡对一切f t 有z ( ) z ，如果y ，则由系统( 2 1 ) 的第二个方程知 生妒 o ，而在z = 女右侧系统没有平衡点，从而必有当一 + o 。时，f ( ) 无界，矛 盾 定理证毕 由引理4 ，定理1 的证明及上图显然易得 定理2 。d i 巴爱胡f ：； 。，则系统( 2 1 ) 至少存在一个围绕平衡点时的极 限环 定理3如果 腊一鲡) ( z i ) 。l 而一l ”1 o 一。j ” 则( i ，i ) 在第一象限是全局稳定的 6 证明：构造l i a p u n o v 函数 r 一雠蚪f 雠a a 沿着系统( 2 1 ) 的解计算r 对t 的导数得 - y - h ”= 黔叫i ) 陬z ) 叫州i ) 一百i ；。厂一g l ，jl 。吼。j g u ，j + 在假设条件下有 警】( ，o d 记 = 川d 面vh 。，= 。) = 川斯) = 搿，。) 显然v 的最大不变集为口一 ( i ，i ) ) 由定理】和l a s a l l e 定理可知，当t 一 + 。时， ”l i r a h ( 。( ) ，y ( ) ) 一( 。，) 其中( z ( ) ，y ( d ) 是从第一象限内任一点出发的轨线 定理得证 定理4 假设系统( 2 1 ) 的平衡点m ( i ，i ) 是局部稳定的，即h ( i ) o ) 内无极限环即可下面用d u t a c 函数法来证明这一 结论 记 f - 0 ，f ) 一z 9 0 ) 一 ( y ) 议z ) ， f t ( x ，y ) 一_ ( f ) e - q ( z ) + c 畎z ) 作d u l a c 函数 占( z ，y ) 一 议z ) “( ) i 其中z o ，y 0 ，“ 一1 为实数，待定 关于系统( 2 1 ) 有 垒i 掣+ 曼掣 = 似。) 。2 _ ( f ) f ( z ，y ) ( 1 ) 其中 f ( z ，) = 矿。) 置轰劈 ，+ ( ”+ 1 ) 矿( ，) 豇z ) c 豇。) 一g ( 。) ( 2 ) 由定理1 知，jt 0 使得当t 时z ( ) ，所以只需证明系统( 2 1 ) 在区域 d 。= ( z ，) 1 0 0 ，所以 m a ) 口，( y ) 存在对f ( z ，y ) 关于z 求偏导 蹦卅) ；2 龇) 矧，+ 弛) 觥” + ( + 1 ) ( y ) 叫( z ) c 似z ) 一g ( 。) 十( n 十1 ) 矿( ，) 双z ) c 一( 。) 一q7 ( z ) ( 3 ) 因为f ( o ，f ) = 0 ，而 以( o ，f ) = 一( n - f1 ) q ( o ) 掣( o ) ( ，) 0 ，使得当0 z 0 时，f ( 。，) 0 让 。 n + - m i n 丽矿岽掰， 一。i l 粤划” = 砸孽器b ， 愿鬟。幽业蠢产型篱“，) 。 、“ 则由题设司知 f ( i ，g ) 0 ， f ( k ，f ) 一t 畎k ) g ( 女) + ( + i ) _ 7 ( ，) 。议女) 一g ( 自) 旺t ) o 时f ( 。，f ) o 用反证法若不然，存在z t ，d ， 。，且对一切z ( 。，i ) u ( i ，女) ，有 昙 冀) 0 则系统( 2 1 ) 在( i ，i ) 外围恰有一个极限环，并且它是稳定的 证明；- e h ( 。) 一。，7 ( z ) + 9 ( 。) 一! 卫群， ( 7 ) m = 掘警b ( z _ ) ( 8 ) 由定理2 知，j 瓦d 巴笔期k ； 。时，系统( 2 1 ) 至少存在一个极限环，并且极限环一 定位于闭区域夏五i 面内 假设极限环不唯一，c - ，。，是两个围绕平衡点m ( 茅，i ) 的极限环，c 。c 。：，并且可 很宁c ，县内稳常阳 设_ p 是。- 上横坐标最小的点( z ，y ，) ，并且令 l 0 ) = 西武z ) 一g ( 。) m z ) 一m ( z ，) ( 9 ) 由定理的假设可知，对一切# ( o ，i ) u ( 孑， ) ，有业曼生o ，所以当o 。 。， 9 时，m ( z ) m ( z ，) 从而可知当0 z o 这是因为当z ， 0 ， ( y i ( z ) ) 一( ，2 ( 。) ) 0 ， 。g ( z ) 一 ( ，2 ( z ) ) 双z ) o 同理有 ( j 五一j g ) 沁) d o 而 k 地= 一c 业铲a ，。 由( 1 2 ) ，( 13 ) ，( 1 4 ) ，( 1 5 ) 可得 啦“”出一虻以枷 o - 即 支l c 。，a c ，厶c z ，a 。， 由于c - 是内稳定的，所以 啦l ( 2 ) d r o ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( i 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) 1 1 从丽 击l ( z ) d 0 ，系统( 2 2 ) 产生一个内稳定的极 限环c - c c - 和一个至少有一侧不稳定的极限环瓦 c 。这与( * ) 矛盾，所以e 。不是 半稳定的极限环 从以上的证明可知，系统( 2 1 ) 在( i ，i ) 外围恰有一个极限环，并且它是稳定的 些应用 例i 考虑下面的一类功能性反应种群模型： j 詈一( 4 一。) 一哺) ， 鲁剐脚) 叫 。 其中a ，b ，m 均为正数，矿o ) = e ( ) ，z o 时；p ( o ) ：o 当8 l 且；= ( 一志) 肋b 时，设z - ，z ：是方程2 。2 o + 6 ) z + 劬= o 的两根，则有 o o l o2 b 由本文的引理4 易知，下面的引理成立 引理1i ) 若o + b ) 2 8 a b ，如果i z ：，则( i ，i ) 必是局部稳定的 如果z ， i z 。，则( ；，歹) 必为不稳定的 由本文的定理3 易知，下面的定理成立 定理i当0 + 6 ) 2 8 a b ，且z l f z t ，则方程( 3 1 ) 至少存在一个极限环 由本文的定理5 可知 定理若函数 日( z ) = z 2 = 一o + 6 ) + 警 e - ；一m “ 在( o ，孑) u ( i ，。) 内满足型鍪生o ，则方程( 3 1 ) 最多有一个极限环 以上的结果正是文 1 2 所得到的结论 例2 考虑系统 id i x = z o 一c z 一6 ，) ， 面2 。u 。一。一d ，) ， ；等= ， 一a + 踟 其中口，6 ，c 声，为正数( 讨论时假设，= 1 ，6 ；1 ) 由本文的结果可得到下面的定理 定理 系统( 3 2 ) 在区域。= 。，) i z o ，o 内当a 、詈时不存在 正平衡点；当、芝a 万易知，奇点。是双曲鞍点，正。轴和正， 轴分别为它的不稳定流形和稳定流形；奇点也是双曲鞍点，正z 轴是它的稳定流形 下面讨论奇点m 的性态 引理1 若d + 6 c 一口c 2 o ，则当6 2 a c 时，m 是不稳定的双曲焦点( 或结点) 引理2 若d + b c d 一 0 且6 2 a c , 则奇点射为稳定的一阶细焦点 证明 当d + 知一a ， o 且6 2 b c m ，系统( 1 ) 在射处的两特征根是一对共 轭纯虚根通过变换 ，t 厂_ j 毒一。c ， ( 叩= 正( f d ) ， 其中k 、詈一“”，可将系统( 1 ) 化为( 为方便计，仍以z ，记 ，_ ) f d z j 万一一”，+ i ( z ，) ， 1 鲁蚓卅， 其中 m = 石忑万石万0 。 ，( z ，f ) = ( z + 7 - - j ) b + 6 ( z + i ) i 一。( 。+ y j ) 。 一f 詈+ d ) 4 + w ， g ( z ，y ) = ( 口+ 托) ( + c y c 一z 利用文献 1 6 中计算焦点判定量的公式可得到 r e c i = 去( ( ，+ ，坍+ 9 叫+ 9 ) + 丢 ，( ，+ ，) 一 9 t ，( 9 ：t + 9 r r ) ，；f ，：+ f g 。 f ，。 一一 小c p “ o 且d 一2 a c 时，奇点m 是稳定的一阶细焦 点 定理1 当d + b c n c 2 0 且0 o ，b 一2 a c 是h o p f 分支曲线 证明由引理1 和引理2 可知，当b 一2 a c 时，系统( 1 ) 以奇点埘为稳定的一阶细 焦点；当b 2 a c 时，系统( 1 ) 以奇点，- 炯；稳定焦点由文献 5 中的定理可知，当 6 + b c n c 2 o 且o 0 且0 0 时，系统( 1 ) 百两个无舅远奇点p ( 1 ，0 ，0 ) 和 q ( o ，1 ，o ) 若还有2 n m ，则p 是不稳定结点，0 是高次鞍点 证明当2 ”m 时，对系统( 1 ) 作变换 z = ，：兰，d t ：= 一d t ， 将其化为 f 警= w _ 一( 6 一1 ) ，一( c + d ) 驴+ 矿扩一” ， | i d z = ：( d 一6 r d 产+ ”- p n ) l d f 系统( 3 ) 在“轴上的唯一奇点( 0 ，o ) 是不稳定的结点，从而可知系统( 1 ) 的无穷远奇点 p ( 1 ，o ，o ) 是不稳定的结点 再作变换 z 一号，y = ：1 ，d t = z u d f ， 则系统( 1 ) 化为 f 芝一让一尹- - a v z + ( 6 1 ) 矿矿+ 。+ d ) p ， 1 ：；：- + - c 。一。= 。， 4 系统( 4 ) 的奇点( o ，0 ) 是一个高次奇点，为了确定它的类型，将系统( 4 ) 改写成如下形 式： 警= v m ( 吣) + 蛐劫， ( 5 ) 【篓= 引一) ， 其中 1 7 ( ”，：) 一一”0 2 是d 和z 的= 2 n m + 1 次齐次多项式，而 z n ( ”，。) = 一= + 1 ( ”。一8 ) 是u 和：的n = 2 n + 1 次齐次多项式， 西o ，：) = 让一d 。矗+ 0 1 ) v ，+ ( c + 6 ) ：“ 是”和= 的次数高于m 的多项式再令”= r c o s 8 ：一r s i n 8 ，运用文献 4 中确定高次 奇点类型的方法经计算可得： 0 0 ) = 一s i n 8 p 7 m ( c a s e ，s i a e ) = c o s o ( s i n e ) “一4 十1 令g ( 目) 一o ，得p = o ，詈，“，警由此可见，系统( 5 ) ( 即系统( 4 ) ) 的轨线只可能沿着 。= o ，詈，”，警这四个方向进入奇点( o ，o ) 因为”= o ，：= o 均为系统( 4 ) 的轨线，而 在：轴( ”= ” 。d z 。= c p “，在u 轴( 。= o ) 上有警= 一d ”1 ，所以轨线在正负= 轴上均远离( o ，o ) ，在正负 轴上均进入奇点( o ，o ) 由以上分析可知，系统( 4 ) 的奇点 ( o ，o ) 是高次鞍点，从而可知系统( 1 ) 的无穷远奇点q ( o ，1 ，o ) 是一个高次鞍点 当2 u 0 ，6 0 时，系统( 1 ) 在第一象限内无极限环 证明 作。u l a c 函数b - ( z ，) ；五1 ，则对于系统( 1 ) 有 d i v ( 即幽口) = 字( 6 咄川 当6 。时，恒有塑笋( 6 一勋z ) 。，即d i v ( b 。p ，占，曰) 。，且不在任何区域内恒等 1 8 于零，所以系统( 1 ) 在第一象限内不存在闭轨 引理4当d + b c a c 2 o 且o o 且0 0 ，b 2 a c ，2 n m 时，埘为系统( 1 ) 的全局渐近稳定 平衡点 证明由引理3 和引理4 可知，当d + b c 一4 一 o ，b 2 a c 时系统( 1 ) 在第一象 限内无闭轨而由引理1 和引理2 知，此时系统( 1 ) 在第一象限内部有唯一的稳定平衡 董埘当2 n m 时，由定理2 可知，系统( 1 ) 的两个无穷远奇点p ( 1 ，0 ，o ) 和0 ( o ，1 ，o ) 分别为不稳定的结点和高次鞍点这样，由全局相图分析即知，对第一象限内的任意点 p 有l i m ，( p ，) 一m ，因此系统( 1 ) 的奇点埘是全局渐近稳定的 定理4 当d + b c d 0 ，b 2 a c 时，系统( 1 ) 存在唯一的极限环，且是稳定的 证明对系统( 1 ) 作变换 k yd 矗c , t 得到系统( 仍以z ，y 记“， ) ( 6 ) 其中9 ( z ) = c ( e ”一1 ) ，似f ) = d “( 矿一1 ) ，f ( z ) 一d 1 一( d + b c e “一c 2 e “。) 易 见，下列条件成立： 1 ) z g ( z ) 2 c z ( e “一1 ) o ，z o ；g ( z ) 一f ：g 。) d z = 詈e ”一c z 一詈， g ( 一o o ) 一g ( + 。) = + 。；g ( z ) 在任何有限区间内连续可微 2 ) ，( z ) 一f 7 ( z ) = m c e ”( 2 a c e = 一6 ) 连续；f ( o ) 一o ；当b 2 a c 时， 1 9 )0 、 f +) y议 l o 一 9 一 = 血一毗曲一小j1 阴1 | u 2 e = 2 a c ( e ”- - 1 一) 2 、 f ：( b - - 2 a c ) o ，z o ，1b ( z ) j( e ”一) 2 ”“7 ” 即分l 在( 一o o ，o ) 上和( o ，+ 。) 上不下降；在z = o 的邻域内， 巡一n e ( 2 a c e - - b ) 兰n g ( z )e 灯一l 7 3 ) 当y 0 时，y 积y ) 一d 4 ( e ”r 一1 ) y 0 ；缸+ d o ) = + c , o ， 似一o 。) = 一d “ 0 由张芷芬定理可知，系统( 6 ) ( 从而系统( 1 ) ) 至多存在一个极限环，且若存在，则 必稳定再结合定理1 ，可知当d - 4 - b c 一。c 2 0 ，6 2 a c 时，系统( 1 ) 恰有一个全局稳 定的极限环 3 一些应用 例1 在系统( 1 ) 中令m 一“= c 一1 ，得到下面的系统 f 坚d t ：。+ 妇一。z 一，) ， 14 4 ， l韭：y(x一。)，de y i一。， 上述结论都成立，这正是文r - 2 的结果 例2 在系统( 1 ) 中令m = c l ，n = 2 得到下面的系统 f坚d：。(d+掘2一。t一，)，t l “、“l ”。 ， i d y ：，o 2 一c ) ，d t lj 、4 。， 上述结论都成立，这正是文 1 3 的结果 ( 7 ) ( 8 ) 参考文献 e l i 陈兰荪数学生态学模型与研究方法北京：科学出版社，1 9 8 8 2 陈兰荪，井竹君捕食者一食饵相互作用中微分方程的极限环存在性 和唯一性，科学通报，1 9 8 4 ( 9 ) ：5 2 1 - - 5 2 3 f 3 3 张炳根生态学数学模型青岛：青岛海洋大学出版社，1 9 9 0 e 4 张芷芬，丁同仁，黄文灶，董镇喜著微分方程定性理论北京：科学出 版社，1 9 8 5 5 张锦炎。常微分方程几何理论与分支问题( 蝗订本) 北京：北京