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绝热条件下二能级系统相干控制的动态分析 郑淮斌 摘要：量子控制作为一门新兴边缘学科，已经引起了许多科技工作者的注意， 他们期待着量子控制技术的发展和应用能够促进化学、生物学、信息科学等学科 的研究。同时，许多科学家对量子控制所关注的一些问题进行了研究，已经取得 了不少成果，特别是在实验方面，已经成功地对一些对象进行量子控制。在过去 的十年中，随着对光波形或者说脉冲整形的深入，使得实验可以根据人们的要求 产生复杂的光脉冲波形。通过脉冲整形可以有效地控制化学反应、产生超短脉冲 序列，进行量子相干控制等。脉冲整形系统作为一种控制超短脉冲波形的实验工 具，已经在超快激光光谱学、非线性光纤光学和量子光学等领域产生了重大的影 响。 然而在实验当中关注的只是实验的结果，对过程的研究较少，因此为实验带 来了大量的准备工作。本文就是对整形激光场同介质的相互作用过程进行了清晰 明了的分析，该工作的意义在于可以指导实验选取更容易在实验室环境中得到的 激光束，以及使介质在受到外界作用时的响应是我们期望的；同时可以为教学提 供演示。本文由如下三个部分构成。 第一部分二能级系统的量子描述 在这一部分中详细推导了缀饰态表象中量子态的描述，重点介绍了绝热条件 下的布洛赫矢量的表达式，以及求解布洛赫矢量的方法。在后面几部分的讨论中 就会发现，采用布洛赫矢量方法讨论激光脉冲同系统的相互作用，可以形象直观 的从理论上观测到色散和吸收或辐射的动态演化过程，既有利于教学演示，又有 助于帮助实验寻求更方便的激光整形方式。 第二部分利用脉冲整形实现相干控制 在这一部分中研究的是目前使用最多的激光相干量子控制法一即通过在时 域中对激光场进行调制，以达到相干控制的目的。首次采用布洛赫矢量方法分析 了这两种调制场作用下的描述系统的参量色散和吸收以及折射率的变化情 况，结果表明：在时域中，通过这两种不同的调制函数，得到了两种不同的整形 脉冲，但这两种整形脉冲同介质系统的相干作用结果是相同的，不同的是在作用 过程中介质受到调制光场的作用后，介质性质的响应有所不同。这项工作的意义 在于通过合适的选择调制场可以达到预期的相干控制目的。 第三部分正弦函数位相调制场作用下的二能级系统跃迁过程的动态分析和 折射率的变化 在这一部分中详细研究了二能级系统在调制场作用下各响应物理参量色 散与折射率、吸收与辐射以及绝热条件下各阶脉冲绝热跟随态的制备情况的动态 演化过程。在该部分中，清晰的给出了在绝热的条件下缀饰态表象中调制场作用 下的二能级系统，在何种条件下制备了绝热跟随态、跟随的哪一个缀饰态以及制 备跟随态的作用；并首次将布洛赫矢量及布洛赫矢量球形图方法应用到作用过程 的动态分析中，采用这种方法可以形象地描述以上相互作用各参量的动态演化过 程，帮助了解介质受到外来场时响应性质的动态变化过程，这项研究为指导实验 研究中选用合适的场或替代场提供了基础。 关键词：量子相干控制激光脉冲整形缀饰态理论布洛赫矢量 d y n a m i ca n a l y s i so ft h et w o - l e v e ls y s t e mq u a n t u mc o h e r e n t c o n t i o iu n d e ra d i a b a t i cc o n d i t i o n h u a i - b i l lz h e n g a b s t m c t q l l 柚t u mc o m r 0 1w h i c hi san e w e d g cs u b j e c th 硒a r i s e nm 卸ys c i e n t i s t s a n c n t i 叨t h e ya f cc x p e c t i n gt l l a tq u 卸t u mc o n t r o lt e c t l n i q u ec 姐a p p l yi nt h er c s e a r c h o ft l l ec h e m i s t r y ，b i o l o g y ，i o r i n a t i s d e n c ca n do t h c rs u b j e c t s a tt h es 锄et i l n e ， m a n yr e s e a f c h e sa b o u tt h eq u 柚t 啪c o n 细1 w h i c hs c i e m i s t si n t e r e s ti nh a sg o n 锄m 卸y r c 蛐l t s ，e s p e c i a l l y i nt h ee x p e r i m 朗t ，w h i c hc 孤q u 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n t r o l t h ew a v ep o c k c “nt h ee x p e r i i i l e n th a s av e r yi m p o r t 柚ti l l n u e n c ei nt l l eu l t m f a s tl a s e rs p e c t m m ，n o n l i n e a ro p t i ca l l dq u 柚t u m 叩t j c n ep a p e ri sm o s n yd i v i d e di n t ot h r e cp a n s i nt h ef i r s tp a n ，i td e s 甜b e1 1 l e t w o l e v c ls y s t e mw i t ht h eq u a n t u mm e c h a n i c sw h i c hi n c i u d et h ed r e s ss t a t ep i d u ”，t h e a d i a b a t i cd e s c r i p t i o no ft l l ei n t e m c t i o n 卸dt h em a t h e m a t i cm e t h o d ；ht h es e c o n dp a n ，王t t e l lu st h a tl l s i n gt h cs h a p i n g p u l s eh o wt om a i l i p u i a t et h eq u a l l t u mc o h e r c i i tc o n t r o l ， c h i pf i c l da n dt 觚h ( 引f i e l da r ei n v e s t e d f i n a l l y ，i ti s rm o s ti i i l p o r t 卸tc h a p t e r w l i i c hd i s c u st h e “，o - l c v e ls y s t e m sw h i c hi n t e r a c t e dw i t ht h es h 印i n g p u l d y i l a m i c p f o 芦e s so ft l l ea b s 0 i p t i o n ，d i s p e r s i o n 卸df e 丘a c t i v ei n d e x p 纽n o n e ： i t 舀v e st h et h e o r yo ft h et r a n s i t i o no ft h et w o l e v c ls y s t e mu s i n gt h ed r e s ss t a t e p i c t l l r e f 咖p h y s i c 卸dm a t h e m a t i cd e d u c e ，w eg o tt h er e l a t i 彻s h i pb e t w e e nt h ed r e s s s t a t ep i c t u r ca n dt h es c h 币d i n g e rp i c t u r c 锄di n t 硎u c e dt h es h a p i n gt e 瑚，b l o c hv e c 雠： p a r t ：t 啊o m i t 百v e st h es h a p i n g - p u l s ei n t h et i m ef i e l dt oa c h i e v et h ea i mo ft h eq u a n t u m c o n t r o ia n da d o p t st h eb 1 0 c hv e c t o rt oa n a l y s c st h ed y n 锄i cp i o c e s so ft h ea b s o r p t i o n ， d i s p e r s i o na n dr e f l e c t i o ni n d e x p a r t ：t h i e l t 酉v e st h et 、o l e v e ls y s t e m sw h i c hi n t e r a c t e dw i t ht h es h a p i n g p u l s ed y n a m i c p r o g r e s s0 ft h ea b s o r p t i o n ，d i s p e r s i o na n dr e f r a c t i v ei i l d c x t l l i sr e s u l tc a nh e l pu st o 矗n dt l l es u b s t i t u t e dp u l s ew h i c hi se a s i e rt 0r e c c i v ei l lt h ee x p e r i m e n t a b s t m c t ：q u 孤t u mc o h e r e n tc o m r 0 1 ，p u l s e s h a p i n 舀d r e s s s t a t e p i c t u r e ，b l o c h v e c t o r i v 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：日期：艺立：竺：兰 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西 师范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文 的电子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进 入学校图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索：有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名 1 1 研究现状与背景 第一章引言 光脉冲整形对飞秒脉冲的产生有着重要的意义。在过去的十年中，随着对光 波形或者说脉冲整形的深入，使得实验可以根据人们的要求产生复杂的光脉冲波 形。通过脉冲整形可以有效地控制化学反应“1 1 、产生超短脉冲序列“，进行量子 相干控制1 等。脉冲整形系统作为一种控制超短脉冲波形的实验工具，已经在超 快激光光谱学、非线性光纤光学和量子光学等领域产生了重大的影响。 量子控制的主要目标是根据实际的需求，在预先选定的时间丁内，操纵系统从 观测的初始量子态妒( 0 1 到达目标态妒( r ) 。量子控制的被控对象主要是微观领域 的量子系统，遵循的是量子力学定律，因而具有以下显著特点： 1 ) 微观性：微观世界的量子力学系统具有量子效应，由此产生的一系列区别 于经典力学系统地现象，无法直接用经典控制的理论和方法加以解决，必须用量 子控制的理论和方法来操纵微观系统的量子态。 2 ) 相干性：量子系统量子态间可以发生相干，量子计算、量子通讯的许多优 越性都源于量子系统的相干性。但量子系统也容易受环境影响发生相干”，使其优 越性丧失。因而量子控制应该充分利用系统的相干性，合理克服消相干。 3 ) 不确定性：在量子控制中必须满足海森伯不确定性原理，位置和动量无法 同时精确获得，因而具有不确定性的特点。同时，量子纠缠现象的存在，使得对 系统中某个对象量子态的观测会影响到关联对象量子态，也带来实际操作中的不 确定性。 量子控制作为一门新兴边缘学科，已经引起了许多科技工作者的注意，他们 期待着量子控制技术的发展和应用能够促进化学、生物学、信息科学等学科的研 究。同时，许多科学家对量子控制所关注的一些问题进行了研究，已经取得了不 少成果，特别是在实验方面，已经成功地对一些对象进行量子控制。 最早的量子控制始于1 9 3 3 年的辐射频率共振技术，而后微波也曾用于量子控 制中。但量子控制技术的发展要归功于二十世纪七十年代末激光法用于量子相干 态控制“”。随后激光作为一个强大的工具，被广泛的用于量子控制中，同时，科 学家们也在不断探索新的量子控制技术。到目前为止，在实验方面，科学家们主 要以激光、磁场、电场为手段展开对量子控制的研究。 激光脉冲具有瞬时功率高、聚焦能力强、易操作等特性，且能够与一些量子 系统发生量子相干，使目前研究量子控制最强大、最理想的工具。它已被广泛应 用于量子系统的捕捉、冷却、观测和控制中，在对物质量子态进行控制时，它能 促使物质性质发生积极变化，从而获得期望的量子态。根据激光与物质相互作用 的原理不同，激光量子控制法大体可分为两类“：激光相干量子控制法和激光时 间分辨量子控制法。激光相干量子控制法的原理是：利用一定位相的多束连续发 射的激光激发被控对象，通过调节激光束的相位变化来控制对象的量子态。激光 时间分辨量子控制法的原理是：利用具有高速时间分辨机能的激光脉冲激发分子， 由激光与系统相互作用产生的局域能量来控制被控对象的量子态。目前使用最多 的是激光相干量子控制法。w e i n a c h t 等重构了一个铯原子中受约电子的量子态， 他们用不同的量子态的激光立体摄影技术来测量电子的量子态“”。激光立体摄影 技术是靠目标对象与参考波的干涉来测量量子态的。该实验中，电子的量子态为 目标对象，参考对象是一已知激光脉冲，通过测量相互作用后的振幅和相位所得 数据来重构电子波函数。实验中，他们还找到了一种如何获得特定激光脉冲的方 法，使该激光脉冲能驱使被控对象有给定的初态到达目标态。w e i n a c h t 和 b u c k s b a u m 还设计了一种操纵r e d b e r g 波包量子相位的方法，他们用激光脉冲来相 干激发波包获得相应相位，相位信息的直接探测靠目标波包的干涉获得【”】。该方 法的优点是：人们甚至可以在不知道原子势的细节或光脉冲的形状的情况下，就 能够造目标相位函数，因为它依靠来自系统相位信息的自适应反馈进行控制。 m e s h u l a c h 和s i l b e r b e r g 用超短脉冲技术特制的飞秒脉冲激光成功地对铯原子的双 光子跃迁进行了量子控制1 1 4 】，并进行了一系列的控制研究【1 5 。0 】。通过改变脉冲成 分中的光谱状态，观察到了预先的跃迁相消。同时，适当的调制脉冲的形状和成 分，可以不影响跃迁几率。相干控制的实验结果和理论计算相当吻合。他们也预 测：在不知道系统任何先验知识时，复杂量子系统得相干控制需要通过自适应超 短脉冲操纵技术来优化光谱状态达到控制目标。w a i l g 等利用两个光致电离过程的 相干来控制钡原子电离至不同状态的比率【3 l 】。他们在实验中用了两个可调激光源， 结合原子跃迁的共振频率，可以通过调节激光器来改变干涉的相位，观测了跃迁 过程的干涉导致不同的粒子态变化，并能对电离至不同状态的比率进行控制。也 探索了相干控制对激光强度、原子束密度、激光场成分的相对极化参数的依赖， 并发现对其中原子束密度的依赖关系最强。 此外，w i l s o n 等运用特制的光量子束对分予系统进行量子反馈控制，产生了 一种新的分子的报道系统，可以用来测量分子尺度化学环境的超快现象、测量p h 值等，并预测可用于观测生物化学和生物物理的动力学过程1 3 2 】。h e r e k 等用特制的 相干光源对一种光合成紫色菌l h ，的能量流路径进行反馈优化控制，提出了能量 的内部转化率【3 3 】。实验结果说明，对复杂分子也能进行相干控制，加以推广，相 干光源或许可以用于探索和影响生物功能研究。t a m b o r e n e a 和m e t i u 用激光脉冲 的干涉来影响被激发电子的数量，通过变化激光脉冲的参数来对被激发电子的数 量加以控制【矧。h a v c o c k 等对用光脉冲来控制一个中性铯原子进行了实验，说明该 系统能以一种被控的方式与环境发生相互作用1 3 5 】。s u d z i u s 等用激光对b l o c h 振荡 进行了相干控制，结果显示波包的空间移动能被激光激发加以控制【捌。b a r d e 锄等 用特制的光脉冲对气相碘分子进行量子控制，实验结果与理论预测相当吻合，意 味着通过调节激发脉冲的相位，人们能控制分子波包的传播阳。同时，由于激光 自身具有许多优越性，也被广泛的用于量子力学系统的捕捉、冷却、观测中。研 究表明，一些原子被冷却到足够低的温度和高浓度时，将会坍塌成单一量子态， 描述每个原子的物理属性如位置、速度将相同，从而为实际应用操纵原子的位置 和速率提供可能i 堋。p u 等研究发现旋量凝聚物对研究相干控制、量子态的动力学 约束等问题提供了极具吸引力的系统【圳，而且量子力学系统具有超快特性。为了 更好的对其进行量子控制，很多情况下必须加以捕捉、观测，因而激光冷却、捕 捉、观测技术得到迅速发展，许多科学家已经将这些技术用于之际的实验研究中 【9 1 叩9 一。还出现了以光学跃迁为基础的原子干涉仪，能够对原子重力、原子旋转、 光子反作用进行精确测量i l “。 量子控制在实验方面的研究已经取得了许多进展，随着观测技术、激光技术、 纳米技术的不断发展，进行量子控制实验研究的手段也在不断的增加，必能促进 量子控制论的发展。在实际工作中应该机组一切可能的新技术和实验手段，深入 地对与化学反应、纳米材料、生物细胞、量子信息等领域相关联的量子力学系统 进行量子控制的研究。同时还应充分利用比较研究方法，将量子控制与经典控制 实验比较，相互借鉴；将理论预测与实验结果比较，相互促进。 量子控制论作为一门新兴的边缘学科，正引导人们能动的改造客观物质世界， 量子控制的研究也获得了相当大的进展。特别是在实验研究方面，激光、磁场、 电场等被广泛的应用于量子系统的观测、捕捉、冷却和控制中，取得了系列的 成果。我们的研究是希望把更多的新技术、新思想融入到实验研究中，以促进量 子控制的进一步发展。 1 2 本论文的工作 本论文的工作主要分为三部分。第一部分是对二能级系统进行量子描述，包 括缀饰态理论，相互作用过程的绝热描述以及用到的数学理论；第二部分讲述了 通过对激光脉冲的整形，实现量子态的相干控制的方法，并以啁啾场和t a n h ( 出) 场 为例对相干控制的过程进行动态讨论；第三部分是本文的重点，首次采用布洛赫 矢量来分析调制场作用下二能级系统跃迁过程得动态演化过程以及折射率的变化 情况，包括在相互作用时吸收和色散的动态演化过程以及折射率随色散的变化导 致光速的变化等。 第二章二能级系统的量子描述 本章利用缀饰态表象“1 讨论了二能级原子系统原予的跃迁过程；通过严格的物 理和数学推导，得出缀饰态表象和薛定谔表象的关系，并引入激光脉冲的调制项。 利用布洛赫矢量“川的定义式，得出了在缀饰态表象中绝热条件下的布洛赫矢量表 达式，并给出了求解方程的方法一尤盖库塔法“。这是以后各章讨论的基本理论， 对量子态进行相干控制起着指导作用。 2 1 二能级系统的量子表述 考虑一个如图2 2 1 所示的由基态1l 和激发态1 2 组成的二能级系统，在光 场的作用下产生缀饰态i 唬) 、l 屯) ，壳q 和壳吡分别为基态1 1 和激发态1 2 的本征能 量，为失谐量。 2 1 1 薛定谔表象 图2 一卜1 二能级系统示意图 在薛定谔表象中，系统的波函数描述为： 织( 小- c 1 ( f ) 1 1 ) + c ：( t ) 1 2 ) 或 州。 其中c l ( f ) ，c ：( f ) 为几率振幅。 光场与系统作用后的哈密顿量为： ( 2 1 一l a ) ( 2 一l l b ) h ；h o + h l 其中h 。为未受微绕时系统的哈密顿量： 叫：。三，) 且为光场和系统相互作用项： q 一 。 孚e x p 【f ( 纠 罢e x p 卜f ( 。气r + 妒) 】 o ( 2 1 2 ) ( 2 一l 一3 ) ( 2 1 4 ) 其中， q 垒掣为拉比频率【5 l ，吡是光场载频，是光场的初始相位。 2 1 2 表象变换从薛定谔表象到缀饰态表象 在旋转波近似和旋转变换下1 6 1 ，系统的哈密顿算符表示为： 日d 一壳 。 里 2 旦a 一西 2 鲁壳 。一丝盟 壳 一丝盥x 壳 ( 2 1 5 ) 式中，z ；一妒。当庐一所时，此脉冲即为啁啾脉冲，除此以外，通常认为妒为常 数，即= o 。 解薛定谔方程，求得其本征值为： 争孵) 峥种孵) 如图2 2 2 所示，定义函数日( r ) 为： t a n ( 2 一) ；旦 x 则： ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) x q 图2 1 2 函数日( r ) 定义 i 一南s i n 2 ( 一) 九。南耐( 口) 壳( 尢训一壳厢一南 s 日一 s i n 口篁 q 2 + 卜届万) 2 1 i 幽( 算+ 届i ) 2 r 归一化后的本征矢： ( 盛黝 则缀饰态表象中波函数： 眇。( r ) ) 一4 ，( t ) e | 唬) + 4 ：( f ) e l 晚) 其中 i 诅) 一s 口1 1 ) + s i n 口1 2 ) l 唬) - 一s i n 曰1 1 ) + c o s 口1 2 ) e ，z e x p 【一：( f ) 出，】【” ( 2 一l 一1 2 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 1 1 0 ) ( 2 一l 一1 1 ) 叭叭 2 2 绝热过程 缀饰态表象中的两个基矢即圩。的两个瞬时本征态l 唬) 和i 如) 称为绝热态，它们 均由与时问相关的未受微扰的态1 1 ) 和态j 2 ) ( 对应的称为透热态) 叠加而成。当两 个绝热态间无能量交换，而粒子可以在透热态间发生布居转移，我们称之为绝热 过程。 2 2 1 绝热条件册 ( i ) 薛定谔方程 下面推导满足绝热过程的绝热条件。缀饰态表象中的薛定谔方程： 访杀m r ) ) = 峨m r ) ) ( 2 _ 2 - 1 ) 把波函数1 1 l ，。) 的表达式代入上式可得： j ；a ：i 九：) 2 访昙忙：o ) 正 破) + n 。( f ) 巧1 唬) + n ，( r ) f 爿) + 口；( f ) ，2 i 兜) + n ：( r ) 爿i 晚) + 口：( r ) e i ) 因为互j 2 一氓，：五：，所以上式简化为： 口：p ) 互f 诅) + 4 。o ) 巧f 幻+ n ：0 ) 最l 唬) + n ：( f ) 五i ) 。o 用积，：f 分别左乘上式两端，得： ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 口：( f ) 量+ 口：( f ) 最( 唬i 以) 。o 口：( f ) f 2 + n 。( f ) 只( 晚i 硝) 。o 2 2 4 ) 因为( 唬，：j a ：) = 1 ，所以： 言( ( 办地：) ) = ( 程：k ) + ( 唬，：l 蛙：) ：o 由上式可以看出秭：f 与f “：) 相互正交。 ( 1 1 ) 本征值方程 ( 2 2 5 ) 缀饰态的本征值方程为： 吼l 九：) = a 札k ) 对上式两边进行求导得： ( 2 2 6 ) 昙( h 。l 九：) ) ；珥i 唬，：) + 日。i 戎：) 一向一：| 九：) + 壳 ，：j 磋：) ( 2 2 7 ) 两边同时左乘( 如。i 得： 蚓兰1 唬 吐删唉 ( 2 _ 2 - 8 ) ( 唬i 彰l 晚) 一壳( 也一 ) 锄i 硝) 一 把( 2 2 8 ) 式代入( 2 2 4 ) 式便可以得到缀饰态几率振幅得运动方程： 州小刊铡鲁 口；( r ) 一一。( t ) 渊每 ( i i i ) 绝热条件 绝热过程是两个绝热态i 唬) 和i 九) 间无能量交换， 问无关，因此绝热过程的绝热条件为： 4 ：( f ) _ 4 ；( f ) 一o ( 2 2 9 ) 也即缀饰态的几率振幅与时 将缀饰态表象下的哈密顿量矩阵形式展开后得： 也一缸1 2 ) ( z 日1 ) ( 2 l 一扣( ，i 把( 2 2 1 1 ) 式代入( 2 2 9 ) 式，分以下两种情况讨论绝热条件： 幻若q = o ，则： 积i 彰l 晚) 一似i 剜i 唬) 一 一s i n p ( 1 | + c o s 口( 2 1 ) 觑，| 2 ) ( 2 i c o s 口1 1 ) + s i i l 口1 2 ) ) ，三缸，。i n 加：垒! 堡 2 2 q 2 + x 2 则由( 2 一卜8 ) 式、( 2 2 9 ) 式和( 2 2 1 2 ) 式可得在此种情况下满足绝热条件的 表达式为： 渊| = j 稿l 引壳( 九一 ) i1 2 ( q 2 + 工2 ) r 1 以高斯脉冲为例，则队唧怍) ，那么有： ( 唬i h ：i 兜) = ( 戎l 卅f 办) = _ s 劬卅训( 2 彬| 2 ) ( 2 吲专瑚1 ) ( 2 | + 1 2 ) ( 1 | ) ) c o s 口1 1 ) + s i n 疗1 2 ) ) 刑血口+ 烈一私砰口耐口) 2 if 。j 、 7 一扣m 日+ 纠一砉) c o 跚 22if 2j 瓤q ，丑、 自q o 2 习霸尹+ 【一7 j 习霖手2 q 2 + x 2 if 2 2 q 2 + 工2 职剖删l 由( a ) 、( b ) i 蹦| = _ i 南( z 一笋) i 撇绝热貅 可知，要使系统绝热的演化，则作用时应满足的绝热条件是： o & 1 。 2 2 2 绝热跟随技术 ( 2 2 1 5 ) 下面讨论绝热跟随技术，假设光场同系统的作用过程满足绝热条件。没有光 场作用时，系统布居在基态1 1 ) 上：当系统受到外来光场的作用后，产生了缀饰态 i 唬) 、1 兜) ，如图( 2 一卜1 ) 所示，在缀饰态表象下系统用( 2 一卜1 0 ) 式描述，通过 表象变换，可以得到缀饰态表象本征态i 唬) 、i 兜) 同薛定谔表象本征态1 1 ) 、1 2 ) 之 间的关系，即( 2 一卜1 1 ) 式： 噍) 一c o s 日1 1 ) + s i n p l 2 ) 晚) 一一s i n p l l ) + s 口1 2 ) ( 2 2 1 6 a ) ( 2 2 1 6 b ) 如前所述，在薛定谔表象下，初始时刻粒子布居在基态1 1 ) 上，光场作用到系统后， 粒子会吸收能量跃迁到激发态1 2 ) 。在缀饰态表象下，若初始时刻s i n 口一o ， s 口一1 ，由于1 2 ) 态上没有粒子布居，上式中和1 2 ) 有关的项都为零，因此粒子 图2 2 1 绝热跟随示意图 将完全的布居在i 唬) 上，则系统只在缀饰态l 咖) 一i 咖) 问发生跃迁，这样的一个过 程我们就说光场在同系统作用的过程中制备了一个绝热跟随态，如图2 2 1 所示。 同理，若初始时刻c o s 口一o ，s i n 8 1 ，那么作用过程制备的绝热跟随态就是i 如) 。 2 3 布洛赫( b l o c h ) 矢量【2 3 l 2 3 1 几率振幅和密度矩阵元嘲 利用( 2 1 1 0 ) 和( 2 1 1 1 ) ，可以求得基态1 1 ) 和激发态1 2 ) 的几率振幅c 1 ( f ) 、c 2 0 ) 分别为： c 1 ( f ) 一( 1 i 妒。( f ) ) = n 。( f ) e c o s p n ：( f ) f 2 s i n p( 2 - 3 - 1 a ) c 2 ( f ) 一( 2 i 妒。( f ) ) 一q ( f ) 互s i n p + 口：( f ) e c o s p 则相应的密度矩阵p 的各个矩阵元p 。可以表示为： n 。( f ) 一h o ) 1 2 ( 2 3 1 b ) = 1 口。( r ) 1 2c o s 2 口+ i 口：( r ) 1 2s i n 2 日 一* ( r ) 口：( r ) ，2 。帆( 悯( t ) 蹈) s i i l ( 2 口) ( 2 - 3 2 a ) p 2 2 = i c ：o ) 1 2 = m t ) | 2 s i n 2 p + m r ) 2 c o s 2 口 + 吾 n 。( f ) 口：( f ) 疋+ n ：( f ) 口。( f ) e e ) s i n ( 2 疗) ( 2 3 - 2 b ) p l ：；c l o ) 幸c ：p ) = 三( i 口。( r ) f 2 一i 口：( t ) 1 2 ) s ；n ( 2 口) + q ( f ) 口：( f ) 墨最+ c o s 2 口一口：( f ) 4 。( f ) f 2 e s i n 2 口 ( 2 3 2 c ) 戊。= 0 ( f ) 4 c ：o ) = 三( 1 n 。( t ) 1 2 一k ：( r ) 1 2 ) s ；n ( 2 口) 一q ( f ) n ：( f ) 鼻最s i n 2 口+ 口：( f ) 口。( f ) f 2 e s 2 8 ( 2 3 2 d ) 可以看出，密度矩阵元各自均包含了本底项( i n 。( f ) 1 2 和1 4 ：( f ) 1 2 ) 和干涉项 ( q ( f ) n ：。( f ) e 最。和如( f ) 1 ( f ) e e + ) 两部分。 2 3 2 布洛赫矢量 光学布洛赫方程的表述为： 塑：矗。口 d f ( 2 3 3 ) 其中口( “，v ，w ) 是布洛赫矢量，它的分量“，v ，w 分别表征激光作用到系统后的色散效 应、吸收或辐射效应和上下能级间的粒子数密度差；口为有效场，它表征入射光 学的特征。因此根据御洛赫矢量的定义可知，光学布洛赫矢量口( “，v ，) 的各分量 可以写为： “( f ) 一n 2 + 仍， = ( 1 口1 ( r ) h n ：( t ) | 2 ) s i n ( 加) + c o s ( 加) q ( r ) 口：( r ) e e + n ：( r ) 4 ( f ) e e 】 v ( f ) 一f ( 见，一n ：) = 十：( f ) q ( f ) e 墨+ 1 ( f ) 4 ：( f ) 互最 ，( f ) 一如一n 。 = ( 眦) h 口。( r ) | 2 ) c o s ( 加) + s i n ( 幻) h ( t ) 口：( f ) e 最+ + 口：( r ) 4 ( r ) e e 研究( 2 3 4 ) 式发现，表征介质在激光场作用下色散作用的布洛赫分量“和表征 着介质上、下能级粒子数几率密度之差的布洛赫分量w ，二者的表达式中都是既 包含了本底项又包括了干涉项：而反应介质宏观电极化强度大小( 即作用过程中 的吸收与辐射效应) 的布洛赫分量v 只有干涉项，而这就说明了介质极化强度的大 小实质上是缀饰态间量子干涉的结果。 下面从( 2 3 4 ) 式出发，推导出满足绝热条件的布洛赫矢量。由( 2 3 4 ) 式 可以得到： | 1 ( f ) 1 2 一1 4 ：( f ) 1 2 - 越s i n ( 幻) 一w s ( 2 p ) ( 2 3 5 a ) 4 。( f ) 4 ：( f ) e e 塑坚坚芸堕垫生坐 ( 2 - 3 - 5 b ) 4 2 ( 咖，( f ) e 互型坐坐竽垫堕兰 ( 2 3 5 。) 设光场与系统作用的过程满足绝热条件( 2 2 1 5 ) 式，因此绝热态i 唬) 和l 晚) 上的 布居数将各自保持恒定，即： 口。( f ) 一4 。( f 0 ) 4 ：( f ) - 4 ：( 气) ( 2 3 6 ) 假设初始时刻：e k ) 一f 2 ( 岛) 一1 ，将( 2 - 3 - 5 ) 式代入( 2 3 4 ) 式即可以得到绝热条 件下的布洛赫矢量的表达式为： “2p 1 2 + 仍1 一 s i n 砜c o s 幻s 【a o ) 卜c o s 2 岛s i n 加 + 一1 3 王l o s i n 2 吼s i n 2 口+ c o s 2 吼c o s 2 臼c o s 【i 口p ) 】) 一c o s 2 口s i n 【a o ) 】 ( 2 - 3 7 a ) v = i ( 戊。一n 2 ) 一ks i n 2 吼s i n 陋( f ) 】+ “o c o s 2 岛s i n 陋o ) 】+ c o s 【a o ) 】 ( 2 3 7 b ) w ；p 2 2 一n l - c o s 2 吼c o s 2 口+ s i n 拍s i n 2 吼c o s 陋( f ) 】) + h o s i n 加c o s 2 吼c o s 陋o ) 卜s 2 一s i n 2 卜s i n 2 疗s i l l 陋o ) 】 ( 2 - 3 _ 7 c ) 其中，a ( r ) i 上( 厮p ，即脉冲面积，t a n ( 2 岛) 量旦笋，“。、w 0 为脉冲 作用初始布洛赫矢量各分量的值。 将( 2 3 7 ) 各式平方相加得： “( f ) 2 + v ( f ) 2 + w ( f ) 2 - “。2 + 2 + w 0 2 ( 2 - 3 - 8 ) 由此可见，在不考虑能级驰豫时间影响时的整个脉冲作用过程中，布洛赫矢量的 模保持为常数。 2 4 尤盖- 库塔( r u n g e - k u t t a ) 法【4 】 本文在进行方程的计算与分析时采用的数学方法是尤盖一厍塔法，其基本理论 如下： 设有如下的初值问题： 脍；m ，y )( 2 - 4 - 1 ) l y ( 口) 置y 。 一般来说，方程组( 2 4 1 ) 是很难得到解析解的。为此可考虑抽取y ( 工) 上的一系列 点，使得相邻的点与点之间的距离为_ i l ， 称之为步长。数值计算的基本思想就是 以相邻的两点之间的折线来代替由方程组( 2 4 1 ) 决定的实际曲线。 如果将函数_ ) ，o 。) 在x 一茗。处做泰勒展开，则有： ) ，( + 。) 一) ，( _ ) + 。( ，y ( ) ) + 等，c 1 ( 吒，) ，( ) ) + + 等厂p - l ( _ ，y ( 毛) ) ( 2 4 2 ) 式中，一( ，y ( _ ) ) 表示的是在曲线上某点( _ ，) ，( ) ) 处函数厂( z ，_ ) ，) 的p 一1 阶导 数。在通常情况下，函数具有如下的形式： ，“叫( w ( ) ) ；丝譬剑+ ，型导剑 = y ( ) ( 2 - 4 3 ) 在展开式( 2 4 2 ) 的右边截取若干项，并以儿，只+ 。分别代替y ( ) ，) ，瓴+ 。) 后，可以得 出如下等式： k + 。- 咒+ 够( ，n ) + 筹，”( 毛，n ) + + 等，p 一”( ，n ) ( 2 - 4 4 ) 首先，设法计算函数，0 ，y ) 在某些点上的数值，然后对这些计算出的函数值作线 性组合，构造近似计算公式后，把近似公式和精确解的泰勒展开式相比较，使得 它们最前面的若干项相重合，就可以得到一个具有一定精确度的数值计算公式。 将它表示为： ) ，一一y 。+ 嵋屯 ( 2 4 5 ) 式中 t v ( 毛+ q ，只+ 茎岛七，) z 一2 ，3 ， ( 2 4 - 6 ) 在( 2 - 4 5 ) 和( 2 - 4 6 ) 式中，参量m ，q ，成与函数， ，) ，) 以及，l 无关。按选取数值 的步长 的幂次做升幂排列后，可得： y 。y 。+ 啪+ 等，2 + 譬吩+ ( 2 4 - 7 ) y 。y 一+ 砷+ 酉，2 + 可吩+ ( 2 47 ) 而微分方程( 2 4 1 ) 的精确解y o ) 在点z z 。处的泰勒展开式为： y ( 毛+ 。) 一) ，( + j 1 1 ) 一_ ) ，( 毛) + 砂( ) + 翁y ( 2 ( 毛) + + 等_ ) ，( ，( ) + d n “) ( 2 4 8 ) 将( 2 4 7 ) 式与( 2 4 8 ) 相比较，使得它们有尽可能多的项重合。这就应该要求： 吒一五，吒一无， - 搿哪 于是就可以得到p 个方程， 得： ) ，一巩+ 荟毗 ( 2 4 - 9 ) 从而可以得到参量，q ，岛，再联立( 2 - 4 - 6 ) 式，可 ( 2 4 1 0 ) ( 2 - 4 1 0 ) 式称之为r 阶的龙格库塔计算公式。 在通常情况下，( 2 4 - 1 0 ) 式中参量嵋，q ，岛的取值并不是唯一的。一般来说， 阶数取得越高所得数值计算结果就越接近于精确值，获得计算精度就越高，但计 算过程也就越复杂。在通常的数值计算应用中，人们一般使用的是3 阶和4 阶计 算公式。它们的具体表达式如下： ( a ) 3 阶标准计算表达式为 ) 二+ 。一只+ 专( 女。+ 钳：+ 屯) 限= 砂( ，只) 七：4 v ( + 鲁，y 。+ 鲁) c 2 - 4 _ t ， i 屯一( + j i l ，_ ) ，。一+ 觋：) ( b ) 4 阶标准计算表达式为 _ ) ，。+ 1 = y 。+ ( 岛+ 放2 + 挑3 + 七4 ) n = 可( ，y 。) 七：。缈( + 鲁，) ，一+ 鲁) 。2 4 。：， 七，。够( + 鲁，y 。+ 等) i 。一矗，( + ，) ，。+ 如) 2 5 小结 本章详细推导了缀饰态表象中，绝热条件下的布洛赫矢量的表达式，以及求 解布洛赫矢量的方法。在后面几章的讨论中就会发现，采用布洛赫矢量方法讨论 激光脉冲同系统的相互作用，可以形象直观的从理论上观测到色散和吸收或辐射 的动态演化过程，既有利于教学演示，又有助于帮助实验寻求更方便的激光整形 方式。 第三章利用脉冲整形实现相干控制 光脉冲整形对飞秒脉冲的产生有着重要的意义。在过去的十年中，随着对光 波形或者说脉冲整形的深入，使得实验可以根据人们的要求产生复杂的光脉冲波 形。通过脉冲整形可以有效地控制化学反应“、产生超短脉冲序列“，进行量子 相干控制帅3 等。脉冲整形系统作为一种控制超短脉冲波形的实验工具，已经在超 快激光光谱学、非线性光纤光学和量子光学等领域产生了重大的影响。 3 1 引言 量子控制作为一门新兴边缘学科，已经引起了许多科技工作者的注意，他们 期待着量子控制技术的发展和应用能够促进化学、生物学、信息科学等学科的研 究。同时，许多科学家对量子控制所关注的一些问题进行了研究，已经取得了不 少成果，特别是在实验方面，已经成功地对一些对象进行量子控制。 量子控