（运筹学与控制论专业论文）广义系统的鲁棒预测控制研究.pdf

鲁东大学硕士学位论文 摘要 预测控制作为一种新型的控制算法，在工业控制界已经取得很多成功的应用由于 实际系统的复杂性以及工业环境中各种变化因素的影响，用来描述被控系统动态特性的 模型往往具有某种不确定性在模型不确定性存在的情况下，依然能将实际系统的某种 性能指标控制在可接受范围之内的预测控制方法，被称为鲁棒预测控制然而，现有的 对鲁棒预测控制的研究成果绝大多数都是针对正常系统，对于广义系统研究较少而广 义系统广泛存在于诸多领域，对其的鲁棒预测控制研究有着重要的意义 本文基于对正常系统的研究方法，并考虑广义系统的特殊性，研究了广义系统的鲁 棒预测控制问题主要内容如下： 1 研究了范数有界不确定广义系统的鲁棒预测控制和多面体不确定广义系统的鲁 棒预测控制采用线性矩阵不等式方法，设计状态反馈鲁棒预测控制器，并证明了优化 问题的可行解保证闭环系统的渐近稳定 2 融合月。控制的鲁棒概念和预测控制的滚动优化原理，提出了一种基于王乙理论 的鲁棒预测控制算法利用线性矩阵不等式，给出了控制律，该算法可以保证闭环系统 的稳定性 3 对于含时滞的不确定广义系统，提出鲁棒预测控制算法通过求解l m i 凸优化 问题得到分段连续的状态反馈控制序列，证明了优化问题的可行解可以保证闭环系统渐 近稳定 4 针对多面体不确定广义系统，给出了离线鲁棒预测控制算法，即离线确定一系 列的线性状态反馈控制律及其相应的椭圆型集合该算法可以减少计算量，并能保证闭 环系统稳定 关键词：广义系统；预测控制；鲁棒控制；线性矩阵不等式 鲁东大学硕士学位论文 a b s t r a c t p r e d i c t i v ec o n t r o l ，w h i c hi sk n o w na san o wt y p eo fc o n t r o la p p r o a c h , h a sb e e na p p l i e d 圈o c e s s 知i ni n d u s t r y b e c a u s eo ft h ec o m p l e x i t yo ft h es y s t e ma n dv a r i o u sf a c t o r si n i n d u s t r y , t h em o d e lu s e dt od c s o r i b et h ed y n a m i c so fc o n t r o l l e ds y s t e ma l w a y sh a ss o m e u n e 髓t a i n t y r o b u s tm o d e lp r e d i c t i v ec o n t r o li sr e f e r r e dt ot h ep r e d i c t i v ec o n t r o lm e t h o d w h i c hc a nm a k et h ep e r f o r m a n c ei n d e xw i t h i nt h ea c c e p t a b l er a n g ei nt h ep r e s e n c eo f m o d e l u n c e r t a i n t y h o w e v e r , t h em a i nw o r ki sc o n c e r n e dt og e n e r a ls y s t e m s s i n g u l a rs y s t e m se x i s t i nv a r i o u sf i e l d s ，a n di ti sv e r yi m p o r t a n tt os t u d yt h ep r o b l e mo f r o b u s tp r e d i c t i v ec o n t r o lf o r s i n g u l a rs y s t e m s b a s e do nb o t ht h es t u d ym e t h o d so fg e n e r a ls y s t e m sa n dt h ep a r t i c u l a r i t yo fs i n g u l a r s y s t e m s , t h i sp a p e rs t u d i e st h ep r o b l e mo f r o b u s tp r e d i c t i v ec o n t r o lf o rs i n g u l a rs y s t e m s t h e m a i nc o n t e n t sa r es t a t e da sf o l l o w s ： 1 1 卫em e t h o do fr o b u s ts t a t ef e e d b a c km o d e lp r e d i c t i v ec o n t r o li sp r e s e n t e df o rl i n e a r s i n g u l a rs y s t e m sw i t hp o l y t o p i cu n c e r t a i n t i e sa n dn o r m - b o u n d e dp a r a m e t e ru n c e r t a i n t i e s t h e s t a t ef e e d b a c kc o n t r o ll a wc a nb eo b t a i n e db ys o l v i n gl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e sa n dt h er o b u s t s t a b i l i t yo ft h ec l o s e ds y s t e m si sg u a r a n t e e db yt h ei n i t i a lf e a s i b l es o l u t i o n so ft h e o p t i m i z a t i o np r o b l e m 2 c o m b i n i n gt h er o b u s tc o n c e p to f 以c o n t r o la n dt h em o v i n gh o r i z o np r i n c i p l eo f m o d e lp r e d i c t i v ec o n t r o l ，ar o b u s tp r e d i c t i v ea l g o r i t h mb a s e d0 1 1 以t h e o r yi sp r e s e n t e d b y l m i , t h ec o n f f o ll a wi so b t a i n e da n dt h ec l o s e ds y s t e mi sa s y m p t o t i c a l l ys t a b l e 3 ar o b u s tp r e d i c t i v ea l g o r i t h mf o rp a r a m e t e ru n c e r t a i ns i n g u l a rs y s t e m sw i 山s t a t ed e l a y i sp r e s e n t e d r e c e d i n gh o r i z o ni m p l e m e n t a t i o no ff e a s i b l es o l u t i o n sg u a r a n t e e sc l o s e d l o o p s t a b i l i t y 4 a no f f - l i n er o b u s tp r e d i c t i v ec o n t r o la l g o r i t h mf o rl i n e a r s i n g u l a rs y s t e m sw i t l l p o l y t o p i cu n c e r t a i n t i e s t h ec o n t r o ll a wa n dc o r r e s p o n d i n ge l l i p s o i da r eo f f - l i n ed e t e r m i n e d t h i so f f - l i n ea l g o r i t h mc a nr e d u c et h ec o m p u t a t i o na n dg u a r a n t e ec l o s e d - l o o ps t a b i l i t y k e y w o r d s ：s i n g u l a rs y s t e m , m o d e lp r e d i c t i v ec o n t r o l ，r o b u s tc o n t r o l ，l i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t i e s ， 鲁东大学学位论文原创性声明和使用授权说明 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成 果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表 或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名彳丧盏瓦日期l 哥莎月葛日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权鲁 东大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密瓯 ( 请在以上相应方框内打“4 ”) 作者签名：罕垂三 九日期：) 刁年6 月岔日 聊鹕：卅叶聃汜习引月7 日 鲁东大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 选题背景和意义 预测控制是上世纪7 0 年代后期直接从工业过程控制中发展起来的一类先进控制方 法它采用基于实验的预测模型，是一种对模型精度要求低且易于获得、综合控制质量 好、在线计算方便的新型计算机优化控制方法预测控制问世以来一直受到控制界的广 泛关注，并被成功地应用在各种复杂的工业实践中，显示了强大的生命力【埘 随着当代科学技术水平的提高，在深入研究许多实际控制问题过程中，控制对象复 杂并且存在着各种不确定性因素，影响了控制系统的效果，这就要求在控制系统设计中 必须考虑系统的不确定性系统的不确定性可能来自所描述控制对象的模型化误差，也 可能来自外界的扰动在系统不确定性存在的情况下，依然能将实际系统的某种性能指 标控制在可接受范围之内的预测控制方法，被称为鲁棒预测控制鲁棒控制理论基于不 确定性的非精确模型来分析和设计控制器，充分考虑了被控对象所存在的各种不确定因 素 随着现代控制理论与方法应用于工程系统的深入和向其它学科领域的渗透，一类具 更广泛形式的系统被发现，它与我们通常讨论的正常系统相对应，被称之为。广义系 统”自从上世纪7 0 年代初期h h r o s e nb r o c k 在研究复杂电网络系统的过程中首先提 出广义系统概念以来，人们在经济管理、电子网络、生物工程和航空航天技术等领域发 现很多的广义系统的实例广义系统也因理论上的学术价值和广泛的应用前景而吸引了 国内外众多研究工作者的关注和重视三十多年来，广义系统的研究工作也取得了十分 丰硕的成果3 ” 由于广义系统结构的特殊性，对其的鲁棒预测控制研究很少本文基于对正常系统 鲁棒预测控制的研究方法，结合广义系统的特殊性，探索对广义系统的鲁棒预测控制方 法 1 2 鲁棒预测控制 1 2 1 预测控制 模型预测控制是上世纪7 0 年代后期直接从工业过程控制实践中发展起来的一类新 型控制算法，一经问世，就在石油、化工、电力、航空等领域获得了成功的应用最早 鲁东大学硕士学位论文 应用于工业过程控制的模型预测控制算法是1 9 7 8 年r i c h a l e t 等任提出的基于有限脉冲 响应( f 瓜) 模型的模型预测启发控制( m p h c ) 5 1 ，或称为模型算法控制畔眦) 嘲；随后相 继出现了c u r e r 等人提出的基于有限阶跃响应( f s r ) 模型的动态矩阵控制( d m c ) 口l ； g a r e i a 和m o r a r i 提出的内模控 目j ( n v f c ) 即；c l a r k e 等人提出的基于受控自回归积分滑动 平均模型( c a r 蹦a ) 的广义预测控制( g p o 【9 1 0 】、广义预测极点配置控制( g p p ) 1 1 1 ；到8 0 年代后期，r i c h a l e t 等人又提出了第三代模型预测控制算法即预测函数控制( p f c ) 1 2 ，1 3 1 此后人们相继提出了各种改进算法【悱r n ，并和系统辨识结合起来形成自适应预测 控制 t s ，唧。总之，无论何种形式模型预测控制均具有如下三个基本特征 2 0 l ：预测模型、 滚动优化、反馈校正 ( 1 ) 预测模型 预测控制是一种基于模型的控制算法，这一模型称为预测模型对于预测控制来说， 只注重模型的功能，而不注重模型的形式，预测模型的功能就是能根据对象的历史信息 和未来输入预测其未来输出从方法论的角度讲，只要是具有预测功能的信息集合，无 论其具有什么样的表现形式，均可作为预测模型因此，状态方程、传递函数这类传统 的模型都可以作为预测模型对于线性稳定对象，甚至阶跃响应、脉冲响应这类非参数 模型，也可直接作为预测模型使用此外，非线性系统、分布参数系统的模型，只要具 备上述功能，也可在对这类系统进行预测控制时作为预测模型使用预测控制打破了传 统控制中对模型结构的严格要求，更着眼于在信息的基础上根据功能要求按最方便的途 径建立模型 预测模型具有展示系统未来动态行为的功能这样，就可以利用预测模型为预测控 制进行优化操作提供先验知识，从而决定采用何种控制输入序列，使未来时刻被控对象 的输出变化符合预期的耳标。 ( z ) 滚动优化 预测控制的最主要特征是在线滚动优化预测控制通过某一性能指标的最优化来确 定未来的控制作用，这一性能指标涉及到系统未来的行为例如，通常可取对象输出在 未来的采样点上跟踪某一期望轨迹的方差为最小，也可取更广泛的形式，例如要求控制 能量为最小而同时保持输出在某一给定范围内等等性能指标中涉及到的系统未来的行 为是根据预测模型由未来的控制策略决定的 预测控制的优化与传统意义下的离散最优控制有很大的差别这主要表现在预测控 制中的优化是一种有限时段的滚动优化在每一个采样时刻，优化性能指标只涉及从该 时刻起未来有限的时间，而到下一采样时刻，这一优化时段同时向前推移不同时刻优 2 鲁东大学硕士学位论文 化性能指标的相对形式是相同的，但其绝对形式，即所包含的时间区域，是不同的因 此，在预测控制中，优化不是一次离线进行，而是反复在线进行的，这就是滚动优化的 含义，这也是预测控制区别于传统最优控制的根本点一般来说，预测控制常采用的优 化性能指标主要有以下三类： ( i ) 二次性能指标 m i n j = 吼【萝( | + o 一”( 七+ d 】2 + u ( k + i - i ) - u ( k + i - 2 ) 2 l = o i = i ( i i ) 一范数性能指标 上 m i n j = ：【歹( 七+ o - y , c k + 明 面 ( i i i ) 无穷范数型性能指标 m i n j = m a x q 夕( 七+ 1 ) 一”( 七+ f ) p ( 3 ) 反馈校正 预测控制算法采用的预测模型通常只能粗略描述对象的动态特性，由于实际系统中 存在的非线性、时变、模型失配、干扰等因素，反馈校正是不可少的滚动优化只有建 立在反馈校正的基础上，才能体现出它的优越性因此，预测控制在通过优化确定了一 系列未来的控制作用后，为了防止模型失配或环境干扰引起控制对理想状态的偏离，预 测控制通常不是把这些控制作用逐一全部实施，而只是将当前时刻的控制输入作用于系 统到下一采样时刻，则首先检测对象的实际输出，并利用这一实时信息对基于模型的 预测进行修正，然后再进行新的优化 反馈校正的形式是多样的，可以在保持预测模型不变的基础上，对未来的误差作出 预测并加以补偿，也可以根据在线辨识的原理直接修改预测模型不论采取何种校正形 式，预测控制都把优化建立在系统实际的基础上，并力图在优化时对系统未来的动态行 为作出较准确的预测因此，预测控制中的优化不仅基于模型，而且利用了反馈信息， 因而构成了闭环优化 综上所述，预测控制作为一种新型的计算机算法，是具有鲜明特征的，是一种基于 模型、实行滚动优化并结合反馈校正的优化控制算法 1 2 2 鲁棒预测控制 预测控制也和其他控制算法一样，鲁棒性问题是其理论和实际应用中最富有挑战性 的问题之一这是由于环境和条件的变化使系统不可避免的要受到内部结构参数变化摄 动和外部干扰的影响因此，对预测控制系统的鲁棒性研究显得十分重要对于鲁棒预 测控制来说，可以分为鲁棒分析和鲁棒综合两方面的问题 鲁东大学硬士学位论文 预测控制的鲁棒稳定性分析是指对于按照标称系统设计的预测控制器，分析其对于 给定的不确定系统模型能否保持闭环系统的鲁棒稳定性根据所基于的框架结构可以分 为三类，分别是基于内模控制框架、基于输入输出框架和基于状态空间框架 鲁棒预测控制器的综合方法是建立在被控对象模型不确定性描述基础上，给出能够 确保可行性和鲁棒稳定性的预测控制设计方案，事实上也就是在线优化问题的设计方 案大多数鲁棒预测控制设计都是基于m i n - l n a x 描述，具有点乙控制的思想，即将预测 控制的在线r a i n 优化问题变为n a i n - m a x 优化，求解控制律使在不确定性最坏的情况下 的目标函数最小根据目标函数和不确定性描述的不同。也将鲁棒预测控制设计分为三 类：基于不确定f i r 模型的1 1 1 i n - i n a x 设计、基于线性矩阵不等式的预测控制和滚动时 域风控制 。 1 3 广义系统 1 3 1 广义系统的研究现状 广义系统是一类比正常系统更具广泛形式的动力系统，广义系统理论是2 0 世纪7 0 年代才开始形成并逐渐发展起来的现代控制理论的一个独立分支1 9 7 4 年，英国学者 r o s e n b r o e kh h 发表了题为。一般动态系统的结构性质”一文，对线性广义系统的解 耦零点及系统受限等价性做了研究，首次提出了广义系统的概念随后，美国学者 l u e n b e r g e rd g 发表文章对线性广义系统解的存在性和唯一性等问题展开研究从此， 拉开了对广义系统理论研究的帷幕 在广义系统理论发展阶段的初期，即2 0 世纪7 0 年代，研究进展较慢，除上述开创 性成果之外，这一时期的突出成果还有l u e n b e r g e r d g 关于非线性广义系统的研究进 入2 0 世纪8 0 年代，越来越多的控制理论工作者对广义系统产生了浓厚的兴趣，广义系 统理论也进入了一个新的发展阶段，从2 0 世纪8 0 年代初到8 0 年代末的1 0 年中，广义 系统理论取得了蓬勃的发展i 舶口7 】，这一阶段的代表性成果有：c o b bd 提出了广义系统 的能控性、能观性及对偶原理；迸一步地，d a il 将其推广到离散广义系统：y a n gc 等提出了广义系统的最小实现问题；f a h m ym m 等进行了观测器的设计；f l e t c h e rl r 等分别研究了广义系统的干扰解耦及特征结构配置等问题；d a il 分别关于连续及离散 广义系统设计了动态补偿器：b e n d e r d j 等分别关于连续及离散广义系统研究了线性二 次最优调节器问题；l i nj 和l i nx 分别讨论了时变和时不变广义系统的最优控制问 鲁东大学硕士学位论文 题综合上述各基本问题的一系列研究成果，d a il 于1 9 8 9 年出版了广义系统理论的第 一本专著【4 1 ，系统地介绍了广义系统的基础理论，从而标志着广义系统的基础理论已经 形成，广义系统理论研究又将进入一个新的发展阶段 在广义系统理论的最后发展阶段，即从2 0 世纪9 0 年代至今，已经过了十余年的发 展，广义系统的研究已从基础向纵深发展，涉及了从线性到非线性，从连续到离散，从 确定性到不确定性，从无时滞到有时滞，从线性二次型最优控制到皿和 乙控制等各个 专题，取得了丰硕的成果【3 】 1 3 2 广义系统的鲁棒预测控制 广义系统的鲁棒预测控制可看作是正常系统预测控制的延伸，近年来已经受到人们 的关注 2 e 1 由于广义系统特殊的结构和特性，使得对广义系统的鲁棒预测控制研究变 得复杂而富于挑战性目前，研究广义系统的鲁棒预测控制的工作刚刚开始，文 2 8 】讨 论了不确定广义系统的鲁棒预测控制，控制器存在性的条件和表达形式由线性矩阵不等 式给出然而，对广义系统的鲁棒预测控制研究还处于起步阶段，研究成果还很不完善 1 4 论文的主要内容 目前，对正常系统的鲁棒预测控制在理论和应用方面取得了一定的进展，但对广义 系统的研究不多本文在对正常系统的鲁棒预测控制研究方法的基础上，并考虑广义系 统的特殊性，研究了广义系统的鲁棒预测控制全文共分为七章，具体内容安排如下： 第一章：简要概述了m p c 的发展过程和基本原理，介绍了广义系统的相关知识， 并给出了本文研究的主要内容 第二章：介绍了本文中所需的一些预备知识，它包括广义系统、凸优化算法、不变 集理论等 第三章：研究了范数有界不确定广义系统的鲁棒预测控制和多面体不确定广义系统 的鲁棒预测控制 第四章：融合王乙控制的鲁棒概念和预测控制的滚动优化原理，提出了很多基于日。 理论的鲁棒预测控制 第五章：针对广义时滞不确定系统，探讨了对其的鲁棒预测控制问题 第六章：针对多面体不确定广义系统，给出了离线鲁棒预测控制算法 鲁东大学硕士学位论文 第七章：本文的结论及展望 鲁东大学硕士学位论文 第二章预备知识 本章介绍本文在研究广义系统的鲁棒预测控制中所需的一些预备知识 2 r 广义系统理论 本节我们介绍广义系统的相关定义和结论一般地，连续时间的线性时不变广义系 统的状态空间描述可以表示如下 最o ) 2 血( f ) + 踟) ( 2 1 ) ) ，( f ) = c x ( t ) + d u ( t ) 、7 定义2 1 如果存在$ c 使得行列式d e t ( s e 一彳) 0 ，则称广义系统( 2 1 ) 是正则的 广义系统对于给定的允许初始状态存在唯一解的充要条件是该广义系统正则，可见 正则性是对广义系统最基本的要求 广义系统的特征值分类： ( 1 ) 有穷模正则矩阵束姬一4 的有穷特征值，即d e c ( s e - a ) = o 的根，共 d e g d e t ( s e - a ) = ，个 ( 2 ) 脉冲模正则矩阵柬s e a 的无穷特征值，即当如= 0 , 0 y l r 1 时，满足 巩= a r k 。，k = 2 ，3 ，的广义特征向量h 所对应的无穷特征值，r a n k ( e ) - r = q - ，个 ( 3 ) 静态模满足式如= o 的特征向量h 所对应的无穷特征值，共n - q 个 定义2 2 如果矩阵对( e ，彳) 正则且没有脉冲模，即r = g ，则称矩阵对( e ，御是无脉 冲的，或称广义系统( 2 1 ) 无脉冲 显然，广义系统无脉冲还等价于d e g d e t ( s e 一4 ) = r a n k ( e ) 如果广义系统( 2 1 ) 正则，那么存在两个非奇异矩阵p 和q 使得 p e q = 心o jp a q = i o 甜船锚c q 粥c d 其中，是幂零矩阵经过这种变换，( 2 1 ) 可以化为下面的快慢形式 墨= 4 石+ 届“，y d t ) = c 。y n ( t ) ( 2 2 ) 电( f ) = 毛( f ) + 最“( f ) ，咒( ，) = c ：五( f ) ( 2 3 ) ) ，( f ) = y l ( t ) + y z ( t ) 这种分解称为快慢子系统分解，又称为第一种受限等价形式式( 2 2 ) 称为慢子系统，式 ( 2 3 ) 称为快子系统 定义2 3 如果慢子系统( 2 2 ) 是渐近稳定的，则广义系统( 2 1 ) 是渐近稳定的 鲁东大学硕士学位论文 广义系统还存在第二种受限等价分解，总存在可逆矩阵暑，q ，使得 p , e q , = 凼昭( ，o ) 令簖1 工( f ) = 睛( f ) ，五( f ) 】，暑( f ) 彤，是( f ) r ”，广义系统受限等 价于 。 i ( f ) = 4 。暑o ) + 4 ：五( f ) + 骂“( f ) 0 = 4 。葺( f ) + 彳。五( f ) + 垦u ( t ) y ( t ) = q 暑( f ) + c 2 , 2 ( t ) 其中 日阳= 墨牡q = 陵纷丑树州g 幺 定义2 4 如果广义系统匝( f ) = a x ( t ) ，石( o ) = x o 是正则、稳定且无脉冲的，则称该广 义系统是容许的，或称( e 彳) 是容许的 2 2 凸优化 近年来，以线性矩阵不等式为代表的凸优化技术【3 0 , 3 1 1 取得了很大的发展，它为系统 和控制问题的处理提供了一种有效的工具，在许多领域已经得到了广泛的应用在m p c 的设计中，凸优化技术不仅能够直接作为优化算法求解控制律，而且还可用于构造终端 约束集等其它方面 定义2 5 若矩阵f r 满足f = f 7 且f 0 ，即对v x e 矽，f x 0 ，则称，是正 定的；若矩阵f r 满足f = f 7 且f 0 ，即对蜥r 。，f x 0 ，则称f 是负定的 定义2 6 假设葺，是一组实数标量，e = e 7 r ，i = l ，m 是一组给定的实对 称矩阵，那么形如 ，( 曲= f o + 五焉+ + c 0 且a b 7 c - b 0 结论b ：若彳是非奇异的，则f 0 的充分必要条件是a 0 且c b 7 a - 1 b 0 引理2 2 给定适当维数的矩阵y ，日和e ，其中】，是对称的，则对任意满足，7 f s ， b 鲁东大学硕士学位论文 的矩阵， 】，+ l i f e + e 7 f 7 h 7 0 ，使得 】，+ c h h r + 占1 e 7 e 0 一般地，l m i 的求解可归结为下列三类问题： ( 1 ) 可行性问题( l m i p ) ：对给定的线性矩阵不等式f ( 功 0 ，检验是否存在x ，使得 ，( 力 0 成立的问题，称为一个l m i 的可行性问题如果存在这样的x ，则该l m i 问题 是可行的，否则是不可行的 ( 2 ) 特征值问题：该问题是在一个l m i 约束下，求矩阵g ( 功的最大特征值的 最小化问题或确定问题的约束是不可行的它的一般形式为 m i l l a 豇j g ( 功 舡， 1 日( 力 0 这个问题也可转化成以下的一个等价问题 l n l n c r 工 s t ，( 砷 0 ( 3 ) 广义特征值问题( g e v p ) ：在一个l m i 约束下，求两个仿射矩阵函数的最大广义 特征值的最小化问题它的一般形式为 m i l l 五 l g ( 曲 o ， 1 日 o 若中心为零点，那么 乓= 工掣：x z p x o - ( 2 4 ) 引理2 3 考虑椭球集( 2 4 ) ，若爱是一个具有适当维数的矩阵，那么对觇e p ，k x 的最大值是8 尼p 啦 证明 学= m a x ， k p - t 2 胪】 m a x l k p - t 2 i i | j 工i i _ l l i ii ii i乳ii 证毕 关于线性系统的椭球不变集，有如下的引理： 引理2 4 对于线性自治系统 主( f ) = 血( f ) ( 2 1 ) 其中工o ) e r “，若存在矩阵p = ，r 满足下面的矩阵不等式 a 7 p + p a 0 ( 2 2 ) 那么椭球e = x ：x z p x l 是系统( 2 5 ) 的不变集 证明定义l y a p u n o v 函数y ( 工( f ) ) = 石( f ) 7 p x ( t ) ，由不等式( 2 6 ) 推得矿o ( f ) ) 0 因此， 函数矿( j ( f ) ) 单调递减，即有 x ( t + f ) 7 p x ( t + r ) s 工( f ) 7 p x ( t ) ，f 0 ( 2 3 ) 若j ( f ) e ，则根据不等式( 2 7 ) ，f + f 时刻的状态工( f + f ) 乓，那么椭球乓是系统( 2 5 ) 的不变集 定义2 4 考虑受控系统j ( f ) = ，( 工( f ) ，“( f ) ) ，假。i 。z 单“o ) = g ( 工( f ) ) ， 若集合j 是满足闭环系统j ( f ) = ，o ( f ) ，g o ( f ) ”的不变集，那么x 称之为系统关于控制 器g 0 ( 2 ) 如果e 巧阡7 + s 哆非奇异，则存在旷使得 ( e k 降x 7 + s 哆) 一7 = u 螂e + u 2 雪 其中，矿= ：1 w - 1 ：，雪= u ；( e 巧阡x 7 + s 曙) 。7 引理2 6 给定适当维数的矩阵q q ，g 2 ，其中q 是对称的，则对所有满足 ，( f ) 7 f o ) ，不等式q + g 1 ，( f ) g 2 + g ；，( f ) 7 砰 0 ，使得 q + 占g 1 砰+ 昙碍g 2 o 使得 , zl l x ( ) 1 1 2 矿( 毒( f ) ，t ) a l l x ( t ) 6 2 呈矿(缸f)，f)srllj(f)12口卫dt 则x ( f ) 渐近趋向于0 在引理2 7 中，注意到l y a p u n o v 函数y ( 工( f ) ，f ) 由状态和时间同时决定而 。a 。( 幻i k ( f ) 1 1 2s ，晟s 五。( r ) l k ( f ) 2 ( 2 1 0 其中，z 是对称的，西是只取决于状态的l y a p u n o v 函数，因此引理2 7 的两个不等 鲁东大学硕士学位论文 式可由下面的式子取代 ，五工 矿( 工( f ) ，f ) o 为加权矩阵假设状态加) 完全可测，x ( k r ) = x ( k t , k t ) 表示状 态在采样时刻七r 的测量值，x ( k t + r , k r ) 表示在七r 时刻基于模型( 3 1 ) 的k t + r 时刻的状 态预测值，“( 灯+ f ，k t ) 表示求解优化问题( 3 5 ) 得到的受控输入序列在灯+ f 时刻的值 鲁棒预测控制的目的是：在每一采样时刻i r 求解优化问题( 3 4 ) ，确定出最优状态 反馈控制律 u ( k t + r ，j n = k x ( k t + r ，七d ，f 2 0 ( 3 6 ) 在每一采样时刻耵，直接求解含有模型不确定性的优化问题( 3 4 ) 是比较困难的在 此，首先给出性能指标以的上确界，将无限时域优化问题( 3 4 ) 转化为可求解的线性规划 鲁东大学硕士学位论文 问题并运用l m i 方法，提出状态反馈综合方法，给出控制律存在的充分条件 考虑二次函数 y ( x o ) ) = j ( ，) 7 e 7 既o )( 3 7 ) 其中，p 满足 e 7 p = t f e o ( 3 8 ) 在每一采样时刻玎，假设矿满足以下条件 丢( r ( x ( k r + f ，船m ) s 一( 石 r + f ，七乃7 q x ( k t - i - f , 七d ( 3 9 ) 口f t j y ， + u ( k t + t ，k t ) r u ( k t + t ，七劢 为了使以有限，在反馈控制律( 3 6 ) 作用下，有工( 哆i d = 0 ，那么，将式( 3 9 ) 从f = o n 积分，得 以矿 ( 七d ) ( 3 1 0 ) 显然，y ( 上( 七刀) 是以的上界因此。可以将最小化性能指标以转化为对矿似船求最 小 定理3 1 2 町设x ( k r ) 为在采样时刻七r 测量的系统状态如果存在状态反馈控制律 使矿( 石( 七7 最小，则状态反馈矩阵 k = y 7 ( e 巧巧7 + s 曙) 一7 ( 3 1 1 ) 其中w o ，y 和s 可由下面的凸优化问题得到 m i l j l ( 3 1 2 ) 厶。 撑 牟 槔 i l r , 聋f l k t ) m 矿w k1 2 o ， j 。 y ( e k 玎一7 + s 匕7 ) h 1 7 + y h 2 7 oo r q - 1 0 os i ( 3 1 3 ) 0 ， 0 ， 1 4 暇矿o o 聊佗o o l e 鲁东大学硕士学位论文 y = ( e k 阡7 + s 吁) k 7 和s 使得( 3 1 4 ) 成立在反馈控制律( 3 1 1 ) 的作用下，如果z ( 七d 满 足( 3 1 3 ) ，则有 m 赆x ( k t + f ，七d 7 k - 1 巧7 x ( k t + r ，k r ) 。 b 回 其中，乃“二，i o ，j = 1 ，2 , - - - , m ，s s j 有i u ( k t + r ，忉峰l 我们将( 3 1 6 ) 转化为用定理3 1 中的矩阵表示，由s c h u r 补引理， p麟。jkpkkp t r r 。j p 三k ： o ，r o 为加权矩阵假设状态工o ) 完全可测，x ( k r ) = x ( k t ，k r ) 表示状态在 采样时刻k t 的测量值，x ( k t + r ，盯) 表示在灯时刻基于模型( 3 2 0 ) 的k t + r 时刻的状态 预测值，u ( k t + r ，k r ) 表示_ j r 时刻使性能指标( 3 2 1 ) 优化的受控输入序列在g f + r 时刻 的值 鲁棒预测控制的目的是：在每一采样时刻灯求解优化问题( 3 2 1 ) ，确定出最优状态 反馈控制律 u ( k t + r ，e r ) = k x ( k t + r ，k r ) ，f 0 ( 3 2 3 )