例析因式分解的应用.doc

例析因式分解的应用因式分解又称分解因式，是对多项式进行的一种恒等变形，它要求把每一个因式分解到不能再分解为止，结果的特征是保留积的形式。在初中阶段，涉及到因式分解应用的问题有以下几个方面：一. 有关整除性问题例1. 求证：当n为整数时，能被28整除。分析：由的形式联想到用平方差公式找出其一个因数28。证明：因为n为整数，所以n+7也为整数。所以能被28整除，即能被28整除。练习1：若能被2030之间的两个整数整除，则这两个数是（）A. 22、24 B. 24、26C. 26、28 D. 25、27二. 有关质数与合数判别问题例2. 若a是自然数，则是质数还是合数？给出你的证明。分析：把原式分解因式，再对a的取值进行讨论。证明：因为且当且仅当a1或a2时，所以当a1时，是质数；当a2时，是质数；当且时，可表示为两个大于1的自然数的积，此时是合数。说明：此题利用拆项法把变成进行局部分解，最后利用平方差公式整体分解，讨论得出结果。练习2：证明：是合数三. 有关数的奇、偶性的判别问题例3. 已知三个数a、b、c的和为奇数，那么为（ ）A. 一定是非零偶数B. 等于零C. 一定是奇数D. 可能是奇数，也可能是偶数分析：把恒等变形为，以的奇偶情况加以讨论。解：因为而为奇数，且与的奇偶性相同，所以与同为奇数，所以是奇数，即为奇数，选C。说明：解决某些看似棘手的问题时，往往可以考虑把问题进行恒等转化，要善于运用不变量和不变性质为问题服务。例2、3此类题目一般在竞赛中常出现。练习3：已知a、b是相邻整数，且，则为（ ）A. 偶数 B. 或奇或偶C. 奇数 D. 不好确定四. 简化计算例4. 计算：分析：式子的每一项中都有数“3.14”，可考虑运用提取公因式法分解因式。解：原式练习4：计算：五. 有关完全平方问题例5. k为何值时，多项式是完全平方式？分析：考虑到和是两个平方项，则只能是与1积的2倍。解：设即所以解得或当或时，多项式是完全平方式。说明：遇到有关完全平方问题时，要注意完全平方公式的两种形式，否则有可能漏解。练习5：二项式加上一个单项式后是一个完全平方式，求这个单项式。六. 有关化简求值问题例6. 已知，求代数式的值。分析：所求代数式含有，可通过已知的与求得，但把它们分别代入代数式里仍不好求值，此时不妨考虑把代数式变形。解：因为所以所以原式说明：本题如果从条件出发求a、b、c的值，再代入代数式里求值，显然很麻烦。在代数式求值之前，一定要认真分析已知条件与所求代数式之间的联系。练习6：已知，且，求的值。七. 求多项式中项的系数例7. 多项式被除，所得商式是（ ）A. B. C. D. 分析：能被除，说明其能分解成除式与商式的积。注意到是二次多项式，是一次多项式，因此商式也应是一个一次多项式。解：设商式为，由题意得所以解得所以因此选D说明：本题考查了因式分解与整式运算的相关知识。解题的方法较多，例题选用的是待定系数法。其它的方法还有多项式的除法、求值法等。练习7：已知二次三项式能分解成整系数的一次因式的乘积，求整数m的取值共有几个？八. 解方程例8. 解方程分析：方程左边可分组后提取公因式进行分解因式。解：原方程可化为：即所以即所以，解得说明：用因式分解法解方法，特别对于一元二次方程，等号右边必须是零，并且等号左边能分解两个因式的积，才能有每个因式分别等于零来求解。练习8：解方程九. 解应用题例9. 正方形A的周长比正方形B的周长长96cm，它们的面积相差，求这两个正方形的边长。解：设正方形A的边长为xcm，正方形B的边长为ycm（xy），则由题意得由得：由得：把代得：解得由联立解得所以正方形A、B的边长分别为32cm和8cm。说明：利用因式分解解应用题，要注意整体性思维的运用。练习9：已知矩形的面积是其中一边长是，求矩形的周长。十. 利用因式分解证明等（不等）式例10. 已知a、b、c是三角形的三条边，则代数式的值（ ）A. 大于零 B. 等于零 C. 小于零 D. 不能确定分析：利用因式分解将所求式子进行变形，从而得到三角形三边易判断的关系。解：因为a、b、c是三角形的三条边所以所以，所以即选C例11. 已知凸四边形ABCD四条边的长顺次是a、b、c、d，且，则四边形ABCD是什么形状？解：因为，所以即即因为a、b、c、d为四边形ABCD的四条边所以则有及，所以，所以四边形ABCD为平行四边形。说明：例10、11是利用因式分解解决几何问题，这也是近年来中考试卷中命题的一种趋势。练习10：（1）已知a、b为任意有理数，证明：（2）若三角形的三边a、b、c满足关系式，则该三角形是什么形状的三角形？为什么？因式分解是初中数学中的重要内容。它是我们学习过的运算律、指数律、符号法则、整式乘法及乘法公式等知识的综合运用，也是为以后学习分式、二次根式的加减乘除运算以及解一元二次方程乃至高次方程作奠基，特别是它与“整式的乘法”是互逆的两种恒等变形，这两种互逆的变形过程正好给我们提供了还原和检验结果的平台，也给我们提供了逆向思维的机会，从而使我们对问题