（运筹学与控制论专业论文）非均质timoshenko梁的反馈镇定.pdf

浙江大学硕士学位论文 5 5 2 蚋 摘要 本文主要研究非均质t i m o s h e n k o 梁的二个镇定问题： 1 仅使用弯矩( 或剪力) 局部分布控制。 2 使用一个局部分前i 反馈和一个边界反馈耦合控制。 本文分为四章。 、 第一章绪论。 第二章我们考虑具有一个局部分布反馈控制的非均质t i m o s h e n k o 梁的镇 定问题。用乘子法证明了当两波速相等时，系统能指数镇定。 第三章我们考虑具有一个局部分布反馈和一个边界反馈耦合控制的非均 质t i m o s h e n k o 梁。用乘子法证明了系统能指数镇定。 第四章给出了论文“中立型时滞抛物系统稳定性”的一个注记，并给出一 个时滞抛物系统的稳定性的参数区域。 关键词：非均质t i m o s h e n k o 梁，局部分和反馈控制，边界反馈控制，c o 一半 群，乘子法，指数镇定，中立型方程，稳定区域。 浙江大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i s p a p e r ，w em a i n l ys t u d y t w o p r o b l e m s o fs t a b i l i z a t i o n f o r n o n h o m o g e n e o u s t i m o s h e n k ob e a m ： 1 o n l yu s i n g o n el o c a l l yd i s t r i b u t e dc o n t r o lf o r b e n d i n gm o m e n tf o rs h a r e f o r c e ) 2 。u s i n go n el o c a l l yd i s t r i b u t e df e e d b a c ka n do n eb o u n d a r yf e e d b a c k t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t of o u rc h a p t e r s i nc h a p t e ro n e ，w eg i v ea ni n t r o d u c t i o nt oo u rw o r k i nc h a p t e rt w o ，w ec o n s i d e rt h ep r o b l e mo fs t a b i l i z a t i o nf o rn o n h o m o g e n e o u s t i m o s h e n k ob e a mw i t ho n el o c a l l yd i s t r i b u t e df e e d b a c kc o n t r 0 1 i ti sp r o v e dt h a tt h e s y s t e mc a nb ee x p o n e n t i a ls t a b i l i z a t i o nb ym u l t i p l i e rm e t h o dw h e nt w ow a v es p e e d s a r ee q u a l i n c h a p t e rt h r e e ，w ec o n s i d e rn o n h o m o g e n e o u st i m o s h e n k ob e a mw i t ho n e l o c a l l yd i s t r i b u t e df e e d b a c ka n do n eb o u n d a r yf e e d b a c k i ti sp r o v e dt h a tt h es y s t e m c a r lb ee x p o n e n t i a ls t a b i l i z a t i o nb ym u l t i p l i e rm e t h o d i nc h a p t e rf o u r ，w eg i v ear e m a r kt ot h ep a p e r ( s t a b i l i t yo fs o l u t i o n st on e u t r a l t y p ep a r a b o l i cs y s t e m sw i t ht i m ed e l a y ) w eg i v eap a r a m e t e r sr e g i o no fs t a b i l i t yf o r t h ep a r a b o l i cs y s t e m sw i t ht i m ed e l a y k e yw o r d s ： n o n h o m o g e n e o u st i m o s h e n k ob e a m 、l o c a l l yd i s t r i b u t e df e e d b a c k c o n t r 0 1 b o u n d a r y f e e d b a c k c o n t r o l ，co - s e m i g r o u p ，e x p o n e n t i a l s t a b i l i z a t i o n ， m u l t i p l i e rm e t h o d ，n e u t r a lt y p ee q u a t i o n ，s t a b l er e g i o n 浙江大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 引言 分布参数系统一般是指由偏微分方程，积分方稳，泛函微分方稷，威抽象空 间中的微分方程所描述的无穷维动力系统。如弹性体的振动控制，装有流体的网4 性容器的晃动控制，温度场的控制，以及热核受控反应中的等离子体约束的控制 等等，都是典型的分布参数控制系统。 从工程技术角度来说，对于这类系统，我们囊然会提出什么是系统的稳定性， 什么是它的过渡特征，如何进行系统分捱，怎榉设计一个潢足实际限制两又能达 到既定搬撼的控制装置，馊系统满足舰定的接术要求等。以艇常用的方法是将系 统的解按媚应的系统的本，珏函数聂玎成无穷级数，蠲有穷鄹柬逡近，这秘方法穆 为援念分攒法。它烬原拳鲍翅 嶷微分方程攒述盼分东参数系统转化为用常微分方 程攒述的集中参数系统，然霭夺些时候，这糖基子集中参数遥 菇模蘩设计酶控制 律不能对器柬煞分布参数系统缀好地发挥俸用，特别是当控制能精度疆隶较裔 时，不链简荜地化为有限维问题束缝理。同时，在实践中，还鍪须考虑捌这种摸 墅近 瑷所产生的观测与控锎溢密润毯。 近年来，辛才料科学的发展为弹性结构的柿掇提供了新酌方法。例如，当由智 能材料翎成的补钉站在或嵌入到基底结构中作为被动或主动的阻尼器时，基底结 构的材料密度，杨氏模精，阻尼系数等会产生棚应的改变，特别是在补钉的边缘 这墼性质往往会发生骤变( 不连续) 现象。对这种其有间断系数的偏微分方程进 行稳定性分析在数学上往往会遇到许多困难。讵因为有许多困难，弹性结构的抑 振引起了许多人的注意。例如，c h e n ，d e l f o u r , k r a l l ，和p a y r e 2 ，c h e n ，k r a n t z ，m a 和w a y n e 3 ，l i u ，k 和l i u ，z 1 9 ， 2 0 】， 2 1 】r a o 2 4 】及r e b a r b e r 2 6 】研究 e u l e r _ b e m o l l i 梁c h e n ，l i u ，k 和l i u ，z 4 】及r a o 2 5 i , 开究r a y l e i g h 粱。均质弹性 系统的指数镇定有大量参考文献( 夸见l i o n s 1 6 ，【1 7 】，k o m o m i k 1 2 ，l i u 1 8 1 及 其参考文献) ，但是对于非均质鹗性系统的指数镇定只有较少的参考文献e l a g n e s e 1 3 ，l t o 6 拳1k i m 9 】研究了带有局部玲布有晃控制或阻尼的j # 均腹弦： l a g n e s e 1 4 1 , nw y l e r 3 0 砑究了带肓边界反馈阻尼的盯维非均质波动方程； 浙江大学硕士学位论文 l a g n e s e 1 5 1 研究了带有边界反馈阻尼的”维非均质弹性动力学方程。 关于t i m o s h e n k o 梁的指数镇定，k i m 和r e n a r d y 1 1 】，f e n g ，s h i 和z h a n g 5 】 及s h i ，h o u 和f a n g 2 7 研究均质t i m o s h e n k o 梁；司守_ - 牵- 2 9 】，k i m 1 0 ，s h i 和 f e n g 2 8 研究非均质t i m o s h e n k o 梁。这些都是同时使用两个内部或两个边界控 制。l i u ，k ；l i u ，z a n dr a o 2 2 讨论了带一个内部控制的简支均质t i m o s h e n k o 梁， 用特征向量判别法证明：当两波速相等时能指数镇定，当两波速不相等时不能指 数镇定。 本文我们主要研究非均质t i m o s h e n k o 梁的两种控制情形：一种是使用一个 内部控制，用乘子法证明了当两波速相等时能指数镇定：另一种是一个内部和一 个边界耦合控制，用乘子法证明了系统能指数镇定。最后我们给出了文 3 2 t 的一 个注汜，并给出一个时滞抛物系统的稳定性的参数区域。 下面我们导出t i m o s h e n k o 梁方程( 参见 3 1 】) 。 1 2t i m o s h e n k o 梁方程的导出 考虑一非均质细长的悬臂梁：一端固定，另一端自由，假定它的运动是在 劢z 平面上( 无挠) ，且设“，w 是粱中面的纵向位移和横截位移，妒是梁的全转 角。 根据k i r c h h o f f l o v e 假设和小位移原理， o - 1 1 = 盯二= 0 ， - f = 0 及位移向量 孬= 一z p ，0 ，w ) ( 1 1 ) 和相应的非零应变分量和应力分量为 f ，= “7 一= 妒，7 。= w 一p ( 1 2 ) o x = e x ，f x ：= g y x ： 这罩x ，z 为空问变量，”表示列空间变量x 的导数， 刚性模量。 由虚功原理： ( 1 3 ) e ，g 分别为弹性模量与 脚6 9 d v = 酶f 一村。) 6 7 d v + 浒捌s 4 1 这罩号，占是应力张量和应变张量，m 为体密度，体分布外力户= 0 ，面分柿外力 浙江大学硕士学位论文 最= 0 ，形变张量，= 弘= ) + 霸，虚位移舻= 蕊满足几何约束条件。 经过分部积分和若干计算缮到 缪。= e a u ( 1 ，5 ) p p 。= ( k ( w 一妒) ) ( 1 6 ) 王。妒。拦( ，妒) + 野( p 一妒)1 7 ) 其中：矿= 伽旁沈，彳为s ( 苫) 瓣面积，= 护2 方曲， s “)s f ) j ，= 盯搬z 2 d y d z ，足= g 嬲( 胡 来考虑在横截面上，。静不均匀性) ， 移力学边界条件： e a u b = 0 ，k ( w 9 ) b = 0 ，彤b = 0 及凡 可边界条件： ( 1 8 ) “b = 0 ，卅= 筑硫：沪0 ( 19 ) 显然( 1 5 ) 是独立的，而( 1 6 ) 、( 1 7 ) 是耦合的，因此，幽( 1 6 ) 、( 1 7 ) 、( 1 8 ) 、( 1 9 ) 得： i p w , ，+ ( k p y 一( j h 7 ) = 0( x ，f ) ( 0 ，d x r + j i p 扩( 脚) 。k ( w l 妒) = 0 ( x ，幻( o ，2 ) 。r +0 1 1 w ( o ，f ) = 妒( o ，0 = o ， o l 爱( w ( f ， ) 一妒( f ，f ) ) = 0 ，e i ( o q , ( ，) = 0 t 0 通常称( 1 。1 0 ) 为菲均质t i m o s h e n k o 粱方程。 l 。3本文羔痒 一、考虑具有一个分布控制的”瞧均质t i m o s h e n k o 梁方程： ，毋t ，一( 胁) + 0 ) - e r ( ，) 妒“，f ) = 0 ，菇( ，) ( w ( ，) 一妒g ，讨= 0 ( f o ) w ( x ，o ) = ，( x ，0 ) = z 。，妒( x ，0 ) * 讯，妒，( x ，o ) = ，x ( o ，) 一塑望奎兰堡圭堂篁堡塞 取反馈u ( x ，f ) = 6 ( x ) 舛( x ，f ) ，其中b ( x y n 足：6 ( z ) r ( o ，f ) ，且 i b ( x ) = 0 x 【0 2 ，声】c o ， 【6 ( x ) c i 0r 口，】 我们得出： 结论：假设p ，p ，k ，e l c 【o ，1 ，p ，k ，e 1 c 2 0( c 2 为常数) 则当墨：掣时，系统( 11 1 ) 能指数镇定。 p l o 在( 1 ，1 1 ) 中，当反馈控制加在第一个方程上时，有同样的结果。 二、考虑具有分布与边界耦合控制的非均质t i m o s h e n k o 梁方程 p w , ，一( k w ) + ( k 妒) t = 0( x ，) ( o ，) r + j ，9 一( 昱妒) 一k ( w 一伊) + u ( x ，) = 0 ，( x ，t ) ( o ，? ) r + w ( o ，f ) = p ( o ，) = 0p 0 )( 1 1 2 ) ( 呗妒( ，f ) 一w ( ，f ) ) = m ( t )( r 0 ) 肼( 啦9 ( 1 ，r ) = 0( t 0 ) w ( x ，0 ) = w o ，_ 1 1 ，( x , o ) = z o ，妒( x ，0 ) = 妒o ，妒，( x , o ) = 矿ox ( o ，d 取反馈u ( x ，f ) = b ( x ) o ，( x ，f ) ，m ( o = m w ，( f ，f ) 其中6 ( x ) 满足：6 ) p ( o ，) ，且 6 ( x ) = 0 1 6 ( x ) c i 0 x 口，f ) c ( 0 ，) r 【a ，z ) m c 2 0 我们得出： 结论：假设p ，。，k ，e l c “1 0 ，f 】，9 ，。，k ，e 1 c 3 0( c l ，c 2 ，c 3 为常数) 则系统( 1 1 2 ) 能指数镇定。 我们同时指出在( 1 1 2 ) 中第二式与第四式中反馈控制改为( 1 1 2 ) 中的第 式和第五式中的耦合反馈控制时具有类似的结论。 三、本文最后对文 3 2 ( 中立把时滞抛物系统的稳定性) 给出一个注记，文 f 3 2 讨论了如下的中立型时滞抛物系统： 一 浙江大学硕士学位论文 昙【q ( 州) 一j d q ( x , t - - ) - d 姒州) 十爿，f ) + 日q ( x , l - o ) ( x ，t ) qx r +f ，仃 0 o q - ( 兀x _ , t ) = o ( x ，f ) a q 。 一。，+ 。) r ：m a x 扣，盯 v 其中q ( x ，) r ”，a ，b 是押门阶常数矩阵。p , d 是疗h 阶常数对角阵。 p =d = q 是r 中的有界丌区域，边界a q 是光滑的，a 是l a p l a c e 算子，y 为烈j 的 外法方向。 文 3 2 给出了下面的结果： 定理5 如果d p o ，= a + i t b l l + 2 i i p b i + i i p a i i + p 0 日妒( f ，f ) = 0 r 0 w ( x ，0 ) = w o ，w i ( x ，o ) = z o ，p ( x ，0 ) = 妒o ，妒，( x , o ) = 少o ，x ( o ，) 这里“”表示对空间变量x 的导数，w ( x ，f ) ，妒( x ，f ) ，p ( x ) ，k ( x ) ，l p ( x ) ，e l ( x ) 分别 表示梁振动的横向位移，转角，密度，剪切模量，转动惯量，横截面弯曲刚度。 u ( x ，) 为局部分布反馈控制： 引入u ( x ，f ) = b ( x ) g ( x ，f ) 其中6 ( x ) 满足：b ( x ) r ( o ，f ) ，且 6 【。) = o x 陋，f 1 c 【o ， c ，为常数 i b ( x ) c 0x a ，】 1 对应于( 2 1 1 ) 闭环系统为： p w , ，一( k w7 ) + ( 足妒) 7 = 0 ( x ，) ( o ，) r + ，。妒，- ( e l _ ( o ) + 一k ( w + 一妒) + 6 仍= 0 ( x ，f ) ( 0 ，f ) r + w ( o ，) = 妒( o ，) = 0 l 0 ( 2 12 ) k ( 5 ( w ( ，f ) 一妒( f ，f ) ) = o ，e t ( 1 ) ( p ( f ，) = 0 t 0 w ( x ，0 ) = w o ，w ，( x ，0 ) = z o ，妒( x ，0 ) = 妒。 妒。( x ，0 ) = 妒。 假设1 p ，l p ，k ，e 1 c o , l 【o ，f 】 且b i p ，k e 1 - c 2 o ，c 2 为常数。 系统( 2 i 2 ) 在，时刻的能蹙为： 6 浙江大学硕士学位论文 即) = 喜m 世i ( a - w 1 2 + 剧i + p l w , 1 2 + l p 蚶i ) 出 ( 2 1 3 ) 2 2 闭环系统的适定性 圳在我们在闭环系统( 2 1 2 ) 中引入一个函数空剧。 设= 扣h 。( o ，) i 们) = o ，其中h 1 ( o ，) 是一阶s o b 0 1 e v 空阳j ( 参见 1 ) v = w ，具有范数l l ( w ，妒) 7 | | ：= f ：( k p w 。1 2 + 脚例2 ) 出，相应导出内积 。、 设= 三2 ，( o ，) l ；，( o ，) ，具有范数1 i ( z ，妒) 7 睡= n ( p l = j 2 + ，l y l 2 ) d x ，相应导出 内积 h ，那么v 和h 都是( 复的) h i l b e r t 空问。 定义5 k = v x 日，它的范数k w ，p ，z ，) 7 嘭= 5 l ( w ，) 7 忆+ k z ，y ) 7 睡，相应导出 内积 。，因此2 也是一个h i l b e r t 空间有限能量状态空间，我们在中定 义线性算子爿，a 和b ，为方便起见，以f 省略转置。 爿( w 彤z ，) = ( z 肌一吉 ( k 一( 胁丁 ，毒1 ( 肼棚l 脚+ 脚，_ 6 y 】) ( 22 ” p。 d ( “) = w ，z ，】；f ，) i 五矿) y ，w ，妒。w ( o ，f ) ，妒。( ? ) = 0 ，v ( o w ( f ) = 0 州w 舯加旷吉瞵一( 删、】，- i 。 ( e 1 1 妒，) ，妒+ 删 )( 2 2 2 ) p d ( a 1 ) = ( w ，妒，z ，y ) 1 = ( 。，) y ，| ，妒h l ( o ，f ) ，p ( ，) = o 妒( f ) 一w ( f ) = 0 b ( w ，妒，z ，) = ( 0 , 0 ，0 ，- b v ) ( 2 2 3 ) d ( 丑) = & w ，p ，厶y ) k 毛y ) y ) 则a = a + b ，那么闭环系统( 2 12 ) 可以写成，f 中的抽象发展方程： 百d y = 4 y ，= ( 2 圳 其中】，= ( w ，p ，z ，v ) ，环= ( k ，：o ，。) 浙江大学硕士学位论文 引理2 1a 生成。一个上的压缩c 。一半群e “ 证明：由于r e = r e ， p i o = 一i o b l 1 2 d x o 因此a 是耗散的，容易得出k e r a = 0 ，对v r ，g ，正，9 2 j 解方程： 得 a ( w ，妒，z ，) = ( z ，g l ，j ，9 2 ) ，( w ，妒，2 ，妒) d ( a ) ( 2 25 ) z = _ l 2 9 l w = 胁西一j ；南【胁城( s ) d s l d r 妒= 一j j 面 m r p ( s ) 正( s ) 凼 痧扫r i o n ( s ) g ：( s ) + 6 ( s 培( 叫出扫r ( 2 2 6 ) 易知存在不依赖于( ，g ， ，9 2 ) 的常数m 0 ，使得 l i ( w ，p ，z ，y ) 0 。m i l d , ，g ， ，g ：) 1 1 。 ( 2 2 7 ) 由( 2 2 5 ) ，( 2 ，2 6 ) 即有a p 巧，0 p ( 爿) ，a 是闭的a 进一步可得，当 0 充 分小时，尺( 五一一) ：舛山 2 3 中定理l ，46 知西丽= 。应用l u m e r p h i l l i p s 定理就证明了a 在上生成压缩c 。- 半群e “7 。 和 定理2 2 ( w o ，妒o ，p o ) ，( w ，妒，三，p ) = p “( w o ，妒o ，o ，y o ) 。 那么 ( w ( 一) ) ，妒( ) ) c ( ( o ，+ o 。) ；y ) n c ( 【o ，+ c 。) ；日) 且有： 导( w ( _ ) ，妒( - ) ) = ( z ( f ) ，y ( ) ) 讲 浙江大学硕士学位论文 鲁 ：( 肛可+ 婀) 出+ f ：6 妒万出 + f ： k ( 妒一w 。) ( 瓦一可。) + 口p 西 出= 0 ( w ，妒，：，y ) l 忙。= ( w 。，妒。，z 。，o ) 更进一步，h 采( w o ，z o ，y 。j d ( a j ，则 ( w ( ) ，妒( ) ) c l ( 0 ，+ 。o ) ；矿) nc ! ( o ，+ 。) ；h ) 且有 f o v ( w l ，妒1 ) v j ：( ，可+ ，两) 出+ ：6 纪两出 + f t o k ( ( p w ) ( 瓦一可) + 肼丽】出= 0 t 0 ( w ，妒，z ，y ：。= ( w 。，( f r o , z o , p 。) v ( w ，妒) 矿 证明：当( w o ，妒。，) d ( 爿) ，我们通过直接验证即得结论。当 ( w o ，z 。，) 玎由下西丽= ，我们能够选取d ( 爿) 中的序列 ( w 。妒。z 。，。) ，收敛到中的( ，z 。，) ，然后用标准的极限过程即可证 明结论。 2 3 闭环系统的指数镇定 如2 2 中所定义a ，a l 和b ，a = a i + b 。 引理3 1 线性算予a ，在中是斜伴随的。 证明：首先考虑对任意的( “仍，z l ，1 ) ，( w 2 ，r p 2 ，z 2 ，y 2 ) d ( a 1 ) 由于( 爿( w ，妒，z 。，p ，) ，( w ：，妒2 ，z ：，y ：) ) = ( 乜一古卜c 1 毒眦l 硒+ 刎m w ：慨，) ，f 分部积分得： ( 爿l ( w i ，妒1 ，z 。，i ) ，( w 2 ，妒! ，z2 ，2 ) ) ， = f ： 甜( 殛一妒f 死) + k ( g 一z f ) ( 玩一砚1 ) 一k ( 吼一w f ) ( 吸一z 2 ) 】出( 2 3 1 ) 浙江大学硕士学位论文 ( ( w 1 ，p 1 ，= l ，妒i ) ，a l ( w 2 ，妒2 ，= ! ，妒：) ) ， = ( c w m 钆州孙一古卜c 1 毒陋鳓l + 刎，) 。 分部积分得： ( ( w ，妒。，z ，p 。) ，a 1 w ：，p ：，z ：，pz ) ) ， = f ： e ，( 妒吸l v 玩) + k ( 妒一w 。) ( 吸哥：) 一芷( y l z 。) ( 玩一w 2 ) 】出 ( 2 3 2 ) 由( 2 3 1 ) ，( 2 3 2 ) 得： ( 爿( w ，妒，z ，) ，( w ：，妒：，三：，g ：) ) = 一( ( 嵋，妒。，毛，矿，) ，a ( w ：，妒z ，z ：，妒：) ) ， 及d ( a ) cd ( 爿? ) 和一切( w ，仍z ，妒) d ( a ) ，爿i ( w ，p ，z ，y ) = 一4 ( w ，p ，z ，y ) 。现在设 任意的( w l ，伊。，z 。，) d ( a ，) ，( w ：妒，= ：，y ：) d ( 爿? ) 和 爿j ( ，仍，z 2 ，矿2 ) = ( 嵋，仍，毛，) 因为 ( al ( w ，妒，z ，) ，( w ，妒：，z ：，y ：) ) 。= ( ( w ，妒，刁，妒。) ，a i * ( w ：，p ：，z 2 ，y ：) ) ， = ( ( w i ，妒，z 。，矿- ) ，( w ，伊，毛，妒，) ) 。 移项分部积分得： f ：彤妒，( 吸。+ 死1 ) 出+ j ：k ( 妒t 一。) ( 玩一- 3 1 一乏。+ g ) d x + ：【，甄一k ( 瓦一_ 2 ) + ( 口瓦。) 抄d r + j ： 店，一( 世羁) + ( k g l ) 1 z ，d x = o 由于( w i ，纯，毛，) 是任意的，故有： i y 2 + = 0 i p 3 一w 3 = = 2 l 2 f 。弼一k ( g 一一w 2 ) + ( e i g l ) = o l 成一( k - 2 ) + ( 厩) 1 。0 0 浙# 人学硕士学位论文 妒：一= 一i 1 f ：肛，凼 列= 去皿，p v l 3 + ：户c 曲 2 22 一w 3 矿2 = 一妒3 这就表明了( w 2 ，妒2 ，z 2 ，y 2 ) d ( a 1 ) g t a y w 2 ，妒2 ，z 2 ，2 ) = 一a i ( w 2 ，9 2 ，z 2 ，妒2 ) 。 因此d ( a 1 ) = _ d ( 爿? ) ，故爿l 是斜伴随的。 引理3 2a 具有紧的预解式。 证明：首先证明a j 有紧的预解式，记爿= ( w ，仍z ，少) ，爿。= ( w 。，吼，z ，。) 假设 以k 1 | c 是一一有界序列：i i x 。旺c 对”1 。由引理3 1 ，a ，是斜 伴随的，由此1 p ( a ) 。 设 l = ( ，一爿) x 。，那么慨一a i 圳j c ，注意到a l 是斜伴随的，故有 i i _ 睡+ l 睡c ，这是因为 ( ( 巧一a l ) ，( 匕一a i 只) ) ， = 0 ， 和 一爿，) 一忙而1 这就导致了当r e 2 2 1 1 占1 1 ， ，一( 2 2 一a 。) 。b 】_ j 存在且有界。故 浙江大学硕士学位论文 ( 州一爿) = ，一( 2 一a 。) 口 “( 川一a ，) 从而证明了( 甜一爿) 。是紧的。 弓i 理3 3 p ( 彳) t 五阻r 证明：假设结论不成立，存在丑0 ， r 使得i 2 萑p ( a ) 。由于0 p ( a ) ，由 引理3 2 ，a 有紧的预解式，a 只有点谱，则蛆仃。( 4 ) 。这里盯。( 爿) 是a 的点谱， 那么存在( w ，妒，z ，) d ( a ) 且( w ，p ，2 ，妒) o ，使得( 融一一) ( 1 r ，妒，2 ，缈) = 0 即有 由于 z = i 2 w = m 妒 一1 - - ( k 妒) l ( k w ) ：f 七( 2 3 3 ) p 毒心舻脚一w 卜驯- f 枷 0 = r e ( ( i 2 一爿) ( w ，妒，z ，p ) ，( w ，妒，z ，妒) 。 = - r e ( a ( w ，妒，z ，y ) ，( w ，妒，z p ) ) ， = 川妒i 2 d x = 0 从而少= 0，i n 幢，卢) 。由( 2 3 3 ) 的第二式得妒= 0 ，i n ( 口，) 。 在( 2 3 3 ) 中，消去：，得： i 矛州，一 ( k 妒) 一( 足) = 0 i ! ，。p + ( e ，妒。) 一k 妒+ k w = 0 ( 2 3 4 ) 由于 妒= 0 ，i n ( 口，卢) ，故有w = 0 ，i n ( a ，) a 由h l ( o ，) c c o ，】可知 w ip c o ， ，进一步推出w ( 口) = w ( d ) = 妒( ) = 妒( ) = 0 。 由常微分方程初值问题的唯一性可以推出( w ，妒，毛吵) = 0 ， i n ( o ，f ) ，得矛盾。 这样就证明了引理3 3 。 浙江大学硕士学位论文 下面我们证明：当两波速相等时，即茎：呈，在系数假设1 下，闭环系统 p 4 ( 2 1 2 ) 能指数镇定。应用；n tl t i l b e r t 空问上压缩c 0 一半群指数稳定的频域定 理( 7 】中的定理3 ) 作为引理。 引理3 4h i l b e r t 空间上的压缩c 0 一半群p “指数稳定的充要条件是： ( i ) p ( 4 ) 3 f 丑 五r ( i i ) s u p t l ( i 2 一彳) 一m e r 0 有 w 。斗0 ，一p 。寸0 ， i n r ( d + 3 占o ，卢一3 c o ) w 。寸0 ，妒。斗0 ， i n l - ( a + 3 o ，一3 c o ) 证明：由( 2 3 8 ) 和( 2 ，3 1 0 ) 得 , t 1 1 。p 。+ ( 如。) l k ( 仍，一, e v at ) 一6y 。= 一( i 2 。g i 。 取g c l o ，味0 口s 1 ，对足够小的g - o 0 g = 0 g = 1 ， x 【0 ，口】u 【f 】 x 【a4 - s o ，声一s o3 用9 玩乘( 2 3 2 2 ) 在位，f 1 ) 上积分 但3 2 0 ) ( 2 3 2 1 ) ( 23 2 2 ) f ：五：j ，乎万，d x + j ：( 印) 1 q 瓦出一j ：x ( 钆一w n t ) g 瓦级一j ：6 妒。譬瓦出 = 一f ( i 2 。9 1 。+ g2 。) ，q 万d 2 c 由( 2 3 8 ) ，( 2 3 1 2 ) ，( 2 3 1 9 ) 和( 2 3 2 3 ) ，并分部积分得： j ：，h 计d x = 。( 1 ) ，j ：2 剧蚓2 出= 。( 1 ) 故有 ，以，斗0 ，纯寸0 ， i n l 2 ( a + e o ，一毛) 由( 2 3 ，7 ) ，( 2 3 9 ) 和( 2 3 2 2 ) 得： 走w 。一上 ( k p 。) 一( 世w 。- ) 】：一( f 五。：。+ 。) f 2 3 2 3 ) ( 2 3 2 4 ) ( 2 3 2 5 ) a ：妒。+ 士【( j 睇妒。) l 趸( 驴。一w ) - b y , , = 一( i 2 9 1 + g 2 ) ( 2 - 3 。2 6 ) 1 p 选取q c 【o f 】 0 q i 1 ，对足够小 0 q l = 0 g l = 1 x 【o ，口+ o 】u 一占o ， x 【口十2 f o ，一2 s o 】 用g l 瓦乘( 2 3 2 5 ) ，用g i w n 乘( 2 3 2 6 ) 分别在幢+ 氏，卢一) 上积分 浙江火学硕士学位论文 j ：2 巧2 w 栩瓦出一l tx _ g l ( 一w 。”) 瓦出一：篡筹( 一w 。为t 玩出 = 一忙2 ( f a 。一。十 。) q 瓦d x ( 23 2 7 ) 貔篱纯g 再出+ ：2 等”g - 呒出一f 貔 等纯h 巧+ 每g 瓦协 + 脓却1 2 出= 一臁涡一馅加出 由( 2 3 2 4 ) ，( 2 3 2 7 ) ，( 2 3 2 8 ) 分部积分得 j 。f l 。- & 2 w 。t 譬。玩威一f ：毫w 。瓴瓦”出= 删) ( 2 3 2 8 ) ( 2 ，3 2 9 ) j 麓 鬈吼g 刚出十f 2 1 i e 纯g 出+ j ：2 毒g 以1 2 出= d ( 1 ) ( 23 3 0 ) 由于墨：孚，将( 2 3 2 9 ) ，( 2 3 ，3 0 ) 相加取实部得 p口 故有 脾未t 2 出= 羽) d j 。寸0 ， i n l 2 ( a + 2 氏，一2 c o ) 取q 2 c o ，f 】，0 q 2 l ，对足够小岛 0 ，且 q 2 = 0 q 2 = 1 ， z 【0 ，口+ 2 氏 u 【一2 e o ， x a + 3 e o ，卢一3 6 0 用口：瓦乘( 2 3 2 5 ) 在位+ 2 e 。，卢一2 知) 上积分，并分部积分及( 2 3 3 1 ) 得 限a + 3 。 0 ，选驳y c 1 【0 ，f 】，0 y 1 ，使 ，= 1 ，0 7 y = 0 ， o n 由( 2 3 2 5 ) ，( 2 3 2 6 ) 得： 【0 ，a l 】 【q + s ，】 ( 2 3 3 3 ) ( 2 3 3 4 ) ( 2 3 3 5 ) 五：(wj，p。)一(土【(k妒。)一(hq，)】，一-毒o(elcp。)一k(09-wnp ) 一6 y 。 ) = ( 一( f a 。 。+ 。) ，一( i 2 。g i + g2 ) ) ( 2 3 | 3 6 ) 在( 2 3 3 6 ) 中，用9 3 ( w 。1 ，纯) 在爿作内积，分邵枞分得： r e u 。鬈腭，m ，觋汰+ j ；”鬈，g ，瓦出 一”0 。 ( k ) 一( r ，) 】吼瓦d x + 归+ 8 【( 日纯) 一足( 吼一w n ) 一6 p 。 g ，瓦出 = r e ( ( 一( i l f , 。+ 。) ，- ( i 2 。g 。+ 9 2 ) ) ，吼( j 。，仇) ) 。 ( 2 3 3 7 ) 由于 l ( 一( 。g ：。) ，吼( w ，1 ，。) ) 。1 - c 3 0 r e 班k 一( e w 一1 ) k ，t i e 掣e 1 一( e 怛一1 ) e l 。 c 3 0 这里c ，是一个f 常数，这样我们可以得到： w n - 0 ，妒 斗0 ， i n 3 ( o ，口1 ) 类似地我们可以证明 _ 0 ，妒呻0 ， i n r ( 1 ，) ( 2 3 4 4 ) ( 2 3 4 5 ) ( 2 3 4 6 ) ( 2 3 4 7 ) 由( 2 3 1 9 ) ，( 2 3 3 3 ) ，( 2 3 3 4 ) 和( 2 3 4 6 ) ，( 2 3 4 7 ) 得： l i m j o k o 。他。1 2 d x + f 矧仇1 2 a x = 0 ( 2 3 - 4 8 ) 从而得出( 23 4 8 ) 与( 2 3 1 7 ) 矛盾。这样我们就完成了定理3 5 的证明。 9 浙江大学硕士学位论文 第三章具有局部分布反馈与边界反馈耦合控制的 非均质t i m o s h e n k o 梁的指数镇定 3 1 引言 近几年，弹性梁的镇定引起了许多人的注意，诸如k i m 和r e n a r d y 【1 1 1 ，f e n g ， s h i 和z h a n g 5 ，及s h i ，h o u 和f e n g 2 7 e 究的是均质t i m o s h e n k o 梁的边界反馈镇 定。s h i 和f e n g 2 8 证明了：当两个波速点点不相同时，带有局部分布反馈控制 的非均质t i m o s h e n k o 梁的振动是指数衰减的。并给出了精确衰减指数。当两个 波速相同时，带有局部分布反馈控制的均质t i m o s h e n k o 梁的振动也是指数衰减 的。司守奎【2 9 证明了非均质t i m o s h e n k o 梁的边界反馈镇定及带有局部分布反 馈控制的非均质t i m o s h e n k o 梁的指数稳定性。本章证明了带有局部分布反馈与 边界反馈耦合控制的非均质t i m o s h e n k o 梁是指数镇定的。 考虑非均质t i m o s h e n k o 梁方程的初边值问题； p + ( k 伊) 一( 爱) = 0 i p ，一( e v 妒) + k p k w + “( x ，) = 0 w ( o ，) = p ( o ，) = 0 ( x ，f ) ( o ，f ) r + ( x ，r ) ( o ，d r + k ( 项妒( f ，) 一w ( f ，f ) ) = ( f ) e 1 ( 0 伊( f ，) = 0 w ( x ，0 ) = w o ，w ，( z ，0 ) = z 0 , 妒( x ，0 ) = ，o ，妒，( x , 0 ) = 少o f 0( 3 1 1 ) ， 0 这里“表示对空间变量x 的导数，w ( x ，f ) ，妒( x ，f ) ，p ( x ) ，k ( x ) ，1 。( x ) ，e l ( x ) 分别 表示横向位移，转角，密度，剪切模量，转动惯量，横截面弯曲刚度。 u ( x ，f ) 为局部分柿反馈控制，m ( t ) 为边界反馈控制。 引入局部分布反馈控制u ( x ，f ) = b ( x ) 纪( x ，r ) ，其中6 ( x ) r ( 0 ，f ) ，且 j 6 ( x ) = o ， x 仨【口，f ) ( o ，f ) ( 3 1 2 ) 1 6 ( x ) c 1 0 x k ，d 引入边界反馈控制m ( t ) = m w ( ，f ) ，c 2 0 ( 3 1 3 ) 这罩g ，q 均为常数。 那么对应于( 3 1 1 ) 的闭环系统为： f 嚣。：笛z 篡z 。：。z x , t ) 川e ( o 。，, 1 ) ，x 。r + k w + b r p r 1 舢 i ，。妒。一( 日删+ k 妒一z 2o ( 。，q5 j 。 ( 3 4 1 w ( o ，f ) - p ( o ) f ) = od ! 撼避囊篓蒹鞭菖绝囊强静 。_ i 塘j p ) ，讨b 咄j 薯2 ；，r 戈，寺 盏謦，! ! ： 假设1 p ，足，e ，c 0 j o ，f 】，p ，k ，e ，2 c 3 o ，l 3 为吊裂。 系统( 3 1 4 ) 在f 时刻的能量为： e 【，) ：去f ：( k 眵一w - 1 2 + e i i o l ! + p 1 w ， 2 + ，l 妒，l 2 ) d x 3 1 5 本章将盎明在系数假设1 下，梁的能量是一致指数衰减的，8 1 1 ：对- t 某个 “ o ，m 1 和所有有限的能量初值有： e ( f ) s 坛一“荆 r u ( 3 l 6 ) 3 2 闭环系统的适定住 闭环系统： f ，+ ( 驯一( k w ) 0 ， ( x ，r ) ( o ，f ) r + i j 。一【e j 妒y + x 妒一脚m 旷q ( 列) ( o ，7 ) r + ( 3 2 1 ) 1 w ( o ，) ：伊( o ，f ) = 0 bo 棚蠊粼鞘姿蒜赫! 艰洳。 设： w 。( o ，f ) l 。( o ) = o ，其中h t ( o ，f ) 是一阶s o b 。1 “空间( 参见【l 】。 设y ：。，具有范数1 i ( w ，妒) 7 配= j ：( k 睁一w 1 2 + e ，例2 ) 出和 ：e ( o ，f ) 。日( o ，f ) ，具有范数i ( z ，咖7 吒= f ：( p 盯+ f ，纠