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曲阜师范大学硕士学位论文 带双边界的扩散过程的首次超过时间 摘要 本文考虑了具有两个常数弹性边界的一维规则时齐扩散过程，以 及两种具有特殊边界的扩散过程( 两边界均为吸收的或一个边界为吸 收的另一个边界为反射的) 利用k o l m o g o r o v 倒向方程以及相应的边界 条件，推导出具有两个常数弹性边界的一维规则时齐扩散过程的首次 超过时间的各阶矩的递推关系式及其l a p l a c e 变换与分布特别地，给 出了各种边界条件下的首次超过时间的均值的具体表达式最后给出 了两边界均为反射的时齐扩散过程的击中时的l a p l a c e 变换 根据内容本文共分为以下三章： 第一章本章考虑具有两个常数边界的一维规则时齐扩散过程的 首次超过时间的各阶矩；之后给出了具有两个常数弹性边界的时齐扩 散过程的首次超过时间的各阶矩满足的递推关系式，特别地，给出了 其数学期望的表达式，以及几种特殊过程下的具体结果；最后讨论了 首次超过时间在风险理论中的应用 第二章在本章中，我们讨论了带双边界的扩散过程的首次超过时 间的l a p l a c e 变换及其分布；之后给出了具有两个常数弹性边界的一 维时齐扩散过程的首次超过时间的l a p l a c e 变换；最后得出了其分布 函数 第三章本章我们考虑具有两个反射边界的一维时齐扩散过程的 击中时问题；接着给出了有两个反射边界的一维时齐扩散过程的击中 时的l a p l a c e 变换；最后给出了几种特殊情况下的具体结果 关键词：一维扩散过程；首次超过时间；击中时；矩；弹性边界；吸收边 界；反射边界；l a p l a c e 变换 a b s t r a c t i nt h et h e s i sw ec o n s i d e rao n e - d i m e n s i o n a l t i m e - h o m o g e n e o u sr e g u l a rd i f - f u s i o nb e t w e e nt w oc o n s t a n te l a s t i cb a r r i e r s ，a n dt h es p e c i a lc a s e sw i t hp u r e a b s o r b i n ga n d o rr e f l e c t i n gb a r r i e r s w eu s et h ek o l m o g o r o vb a c k w a r de q u a - t i o nw i t hc o r r e s p o n d i n gb o u n d a r yc o n d i t i o n st od e r i v et h er e c u r s i v er e l a t i o n f o rm o m e n t so ft h ef i r s tp a s s a g et i m e ，a n dt og i v et h el a p l a c et r a n s f o r ma n dt h e d i s t r i b u t i o nf u n c t i o no ft h a t i np a r t i c u l a r ，w eg i v et h ee x p l i c i tc l o s e d f o r m e x p r e s s i o n sf o rt h em e a nt i m et or e a c ht h eb o u n d a r y f i n a l l y , w eg i v et h e l a p l a c et r a n s f o r mo ft h eh i t t i n gt i m eo fo n e - d i m e n s i o n a lt i m e - h o m o g e n e o u s r e g u l a rd i f f u s i o nw i t ht w or e f l e c t i n gb a r r i e r s t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s ： i nc h a p t e r1 ，w ed e r i v et h er e c u r s i v ef o r m u l ao nt h em o m e n t s lo ft h ef i r s t p a s s a g et i m eo ft h eo n e - d i m e n s i o n a ld i f f u s i o np r o c e s sb e t w e e nt w ob a r r i e r s ( n o tb o t hr e f l e c t i n g ) s o m ee x a m p l e so ft h er e s u l t sa r ec o m p u t e d t h e n ，w e g i v et h er e c u r s i v ef o r m u l ao nt h em o m e n t so ft h ef i r s tp a s s a g et i m eo ft h eo n e d i m e n s i o n a ld i f f u s i o np r o c e s sw i t ht w oc o n s t a n te l a s t i cb a r r i e r s a se x a m p l e s ， w ec o n s i d e rs e v e r a lp o p u l a r d i f f u s i o n s f i n a l l y , s o m ea p p l i c a t i o n st or i s kt h e o r y a r ec o n s jd e r e d i nc h a p t e r2 ，w eo b t a i nt h ed i s t r i b u t i o na n dt h el a p l a c et r a n s f o r mo f t h ef i r s tp a s s a g et i m eo ft h eo n e - d i m e n s i o n a ld i f f u s i o np r o c e s sb e t w e e nt w o b a r r i e r s ( n o tb o t hr e f l e c t i n g ) t h e n ，w ed e r i v et h ef o r m u l ao nt h el a p l a c e t r a n s f o r mo ft h ef i r s tp a s s a g et i m eo ft h eo n e - d i m e n s i o n a ld i f f u s i o np r o c e s s w i t ht w oc o n s t a n te l a s t i cb a r r i e r s a se x a m p l e s ，w ec o n s i d e rs e v e r a lp o p u l a r d i f f u s i o n s f i n a l l y , t h ed i s t r i b u t i o nf u n c t i o ni sc o n s i d e r e d i nc h a p t e r3 ，w ew i l lc o n s i d e rt h ep r o b l e mo fh i t t i n gt i m eo ft h eo n e - d i m e n s i o n a ld i f f u s i o np r o c e s sb e t w e e nt w or e f l e c t i n gb a r r i e r s n e x t ，w eg i v e t h el a p l a c et r a n s f o r mo ft h eh i t t i n gt i m e f i n a l l y , w ep r e s e n ts o m er e s u l t so n l s e v e r a ls p e c i a lc a s e s k e y w o r d s ：o n e d i m e n s i o n a ld i f f u s i o n ；f i r s tp a s s a g et i m e ；h i t t i n gt i m e ； m o m e n t s ；c o n s t a n te l a s t i cb a r r i e r ；a b s o r b i n gb a r r i e r ；r e f l e c t i n gb a r r i e r ；l a p l a c e t r a n s f o r m l l 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文带双边界的扩散过程的 首次超过时间，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学 位期间独立进行研究工作所取得的成果论文中除注明部分外不包含 他人已经发表或撰写的研究成果对本文的研究工作做出重要贡献的 个人和集体，均已在文中已明确的方式注明。本声明的法律结果将完 全由本人承担 作者签各步勃仄日期：刃争矿 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 ( ( 带双边界的扩散过程的首次超过时间系本人在曲阜师范大学 攻读硕士学位期间，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研 究成果归曲阜师范大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名 义发表本人完全了解曲阜师范大学关于保存、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向有关部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文 被查阅和借阅，本人授权曲阜师范大学，可以采用影印或其他复制手 段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内容 作者签名：7 - 参皮 导师签名： 氐 f 日期：明( i ：方 日期：。86g ， 第一章带双边界的时齐扩散过程的首次超过时间的矩 带一个或两个边界的扩散过程广泛地应用于经济，金融，排队论，电子机 械等诸多领域中如l i n e t s k y ( 2 0 0 5 ) ，b oe ta 1 ( 2 0 0 6 ) ，w a n g ，p s t z e l b e r g e r ( 2 0 0 7 ) ，d i t l e v s e n ( 2 0 0 7 ) 等，都是对此类过程的研究 本章在此基础上，考虑具有两个常数弹性边界( 两个边界都是反射的情况 除外) 的时齐扩散过程的首次超过时间的各阶矩；之后给出了首次超过时间的 各阶矩满足的递推关系式，特别地，给出了首次超过时间的数学期望，以及几种 特殊过程下的具体结果；最后讨论了首次超过时间在风险理论中的应用 考虑初值在区间陋，h i ( 其中n ，b 为实数且一o 。 a 0 ( 1 - 1 6 )z du 山 此处屯( z ) 为d i r a cd e l t a 函数 特别地 若：( 取a 或b ) 是吸收边界，则u ( 亡，f ) = 0 ，t o ；若f ( 取a 或b ) 是反射边界，则曼芝掣= 0 ，t 0 ( 见k a r l i n ，t a y l o r ( 1 9 8 1 ) ) 定义过程咒首次击中秒的击中时为： 勺= i n f t 0 ：x t = 秒) ， 2 曲阜师范大学硕士学位论文 若x 永远不能到达y ，则定义勺= 首次溢出区间 a ，b 】的时间为： 7 = i n f t ：j 已= 口o fb l x o = z 【a ，h i = a 假设l i m t 一+ t n bt 亡) = 0 ，则得到对所有的z 【a ，6 】有： b tn却扩1(肛mx)dy)dt0 b ) = 死矿- 1 ( p ( ，可，) jjb 记雪( a ) 为7 - 的l a p l a c e 变换，则： 鸯( 入) = 既( e 以r ) = e 以。b ( 7 d r ) 由n o b i l ee ta 1 ( 1 9 8 5 ) 知，若雪( a ) 在a = 0 处是解析的，则 bt n ) = ( - 1 ) n ) ( a ) l a ：o 是有限的，对任意礼成立相反地，若雪( a ) 在a = 0 处是奇异的，则存在整数 v 1 使得忍t n ) = ，7 , = v ，v + 1 ， 然而，过程五在区间 口，6 】中的概率转移密度，首次超过时间的密度函数， 或首次溢出区间 口，6 】的时间7 的l a p l a c e 变换一般是很难给出明确的表达式 的( 某些特殊情况除外) 例如，s c h w a r z ( 1 9 9 2 ) 考虑了一个边界是吸收的另一个 边界是反射的w i e n e r 过程，并推导出了此过程的转移密度以及吸收时间的密 度的级数解；d o m i n 6 ( 1 9 9 6 ) 得到了具有两个弹性边界的w i e n e r 过程的转移密 度及首次超过时间的分布函数特别地，d o m i n 6 ( 1 9 9 5 ) 得到了上述过程的首次 超过时间的一阶矩及二阶矩的具体形式w e n d e l ( 1 9 8 0 ) 给出了b e s s e l 过程首 次溢出区间 a ，b 1 的时间的l a p l a c e 变换；w i e n e r 过程与o r n s t e i n u h l e n b e c k 过程的相应结果可在d a r l i n g ，s i e g e r t ( 1 9 5 3 ) 中找到 由d o m i n 6 ( 1 9 9 5 ) 的启发，我们可以通过微分方程以及相应的边界条件直 接得到首次超过时间的各阶矩忍t n ) 由于对任意t 0 有： ，6 p ( x t 口o r6 ；五( o ，6 ) ，0 l ， 且忍t o ) = 1 记尾t m ) = 脚( z ) ，p o ( z ) = 1 ，则 掣掣州z 、 型c o x = - n o - 1 ( 巩蚓酬，n 1 ( 1 1 9 ) 由( 1 1 4 ) ，( 1 1 5 ) 式得脚( z ) 在边界a 及边界b 的边界条件为： 卢1 p n ( o ) 一( 1 一a ) s 一1 ( o ) p ：l ( o ) = 0 ，( 1 1 1 0 ) 岛脚( 6 ) + ( 1 一扇) s 一1 ( 6 ) p ：l ( 6 ) = 0 ( 1 1 1 1 ) 特别地，若l ( a 或b ) 是吸收的，则弘n ( f ) = o ；当f 是吸收的，则以( f ) = 0 1 2 首次超过时间的各阶矩的递推关系式及例题 记首次超过时间的钆阶矩为如( z ) ：= 忍( 7 _ n ) ，则由( 1 1 9 ) 一( 1 1 1 1 ) 式 得到它满足的微分方程为： 掣掣州z ) 掣= - - n i g h _ i ( 巩叫。，6 】，n - 1 ，2 ，( 1 2 1 ) 且边界条件为： 1 1 p n ( 口) 一( 1 一1 1 ) p ：l ( 口) = 0 ，t 0( 1 2 2 ) f 2 肛n ( 6 ) + ( 1 一f 2 ) p ：l ( 6 ) = 0 ，t 0 ( 1 2 3 ) 其中 ，岛，岛 1 = 万币了而22 万玎j 丽 4 曲阜师范大学硕士学位论文 定理1 2 1 具有边界条件( 1 2 2 ) ，( 1 2 3 ) 的方程( 1 2 1 ) 的解满足如下递推 关系式： p n ( z ) = 一n s ( y ) p n 一1 ( z ) m ( z ) d z d y + 坐塾兰监垒二! 堕竺堕塑塑! ! 二坐塑笸丝二! 堕竺堕塑 。l l l 2 ( s ( b ) 一s ( o ) ) + ( 1 一1 1 ) 1 2 s ( a ) + ( 1 1 2 ) 1 1 s ( b ) ( t 1 ( s ( z ) 一s ( o ) ) + s ( o ) ( 1 一f 1 ) ) ，n = 1 ，2 ， ( 1 2 4 ) 特别地， 忍( 7 - ) = 一s ( 可) m ( z ) d z d y + 1 2f ：s ( 广y ) f ：，m ( z ) d z d y + ( 1 - 1 2 ) s ( b ) f ：m 一( z ) d z ( 1 2 5 ) j l f 2r s ( y ) d y + ( 1 一l x ) 1 2 s ( a ) + ( 1 1 2 ) 1 1 8 ( b ) 、 。7 ( 1 l s ( 秒) d y + 1 一f 1 ) ，z 【o ，6 】 证明方程( 1 2 1 ) 的通解具有如下形式： 嘶) = f a x8 ( 可一- l ( 枷如+ c 1 ) d y m 其中常数q ，q 分别由边界条件( 1 2 2 ) ，( 1 2 3 ) 确定： 。c 1 = n l l 坐繇错瓣等篆擀避瑞竽， q 刮卜s 坐错瓣祭器群篙端秽 证毕 在( 1 2 1 ) 一( 1 2 3 ) 式中取1 1 = f 2 = 1 ，得到d a r l i n g ，s i e g e r t 的递推关系式 ( 见d a r l i n g ，s i e g e r t ( 1 9 5 3 ) ) ： 掣掣州z ) 掣= 叫( 巩州啪) i 佗- 1 ，2 ，( 1 2 6 ) 5 第一章带双边界的时齐扩散过程的首次超过时间的矩 推论1 2 1 具有边界条件( 12 7 ) 的方程( 1 2 6 ) 的解满足如下递推关系 础卜i 锱三1 舞巍卜躺，+ n 雠知，( z f 肌心m 小 u 七沼 忍p)2二z；墓(z：(dz)掣dmyf：s(z)dzi 。z ，如) 咖c 1 2 9 ，+ ，口、， 6 s c 可，( 掣们佗c z ，d z ) d 可 1 2 9 嘶) = n 丽s ( x ) 丽- s ( a ) 上f 6 ( 二) m ( 箩) m ( 夕) 匆 + n 渊z 霉( s ( 可) s ( a ) ) p n 一( 可) m ( 们d 可，n = 1 ，2 ， 玩( 丁) = 渊z 6 ( s ( 6 ) 一s ( 可) ) m ( 们d 秒 + 渊( s ( 可) 一s ( 口) ) m ( 可) d 可 注1 2 2 若扩散过程五存在平稳密度，记为( z ) 在( 1 2 8 ) 式中令 口_ 一o o 并利用丘s ( z ) d z = s ( z ) d z = ，则得到x ( t ) 首次到达b 的首 中时的各阶矩的s i e g e r t 递推公式( 见s i e g e r t ( 1 9 5 1 ) 中的( 3 1 4 ) ) 式或n o b i l e e ta 1 ( z 9 8 5 ) ) 设过程在边界z = n 处是吸收的，在边界z = b 处是反射的，即在( 1 2 1 ) ( 1 2 3 ) 式中取f l = 1 ，f 2 = 0 ，并记首次超过时间的n 阶矩为p n ( z ) ：= 忍( p ) ， 6 曲阜师范大学硕士学位论文 则它满足如下微分方程： 盟2 幽d x 2 州z ) 掣= - - n # n - 1 ( 矾叫0 7 6 ) ，礼= 1 ，2 ，( 1 2 1 0 ) 且边界条件为： p na ) = p ：( 6 ) = 0 ( 1 2 1 1 ) 由定理1 2 1 ，得到如下推论： 推论1 2 2 具有边界条件( 1 2 1 1 ) 的方程( 1 2 1 0 ) 的解具有如下递推关系 式： ，1 2，6 p n ( z ) = n s ( 夕) 一a ( z ) m ( z ) d z d y ，n = 1 ，2 ， ( 1 2 1 2 ) 特殊地， e f f ) = s ( 可) m ( z ) d z d y ，z 【凸，6 】 ( 1 2 1 3 ) 类似的，可以得到过程在边界z = b 处是吸收的，在边界z = a 处是反射 的相应结果 为阐述上述我们得到的结果的作用，下面我们给出几个例子 例1 2 1 带漂移的b r o w n i a n 运动：d x t = t t d t + a d b t 扩散系数与漂移系数分别为盯( z ) 三盯，u ( x ) 三p ，尺度密度与速度密度分 别为： s c z ，= e x p ( 一等z ) ，m c z ，= 孑2 ie x p ( 挈z ) 当p 0 时，由( 1 2 4 ) ，( 1 2 5 ) 式分别得到： p n ( z ) = 一2 n f 王f f p - 1 ( s ) e x p ( 警( s 一可) ) 蛐 + 一2 n ； 丝壁筮丝二! 业兰丛塾二业堕些： 。盯2 最( 1 一e x p ( 一器( 6 一o ) ) ) f 1 1 2 + ( 1 一f 1 ) f 2 + ( 1 一f 2 ) f le x p ( 一碧( 6 一口) ) ( f t 瓦0 - 2 ( 1 一e x p ( 一等( z 一口) ) ) + 1 - 1 1 ) ，行= 1 ，2 ， ( 1 2 1 4 ) 7 其中 = ( 1 f 2 ) z 6 胁1 ( s ) e x p ( 碧( s 叫) d 8 嘶) = 一等一翕( e x p ( 警( 口刊) - 1 ) f 2 ( 6 _ 口) + ( 1 一1 2 一象f 2 ) ( 1 一e x p ( 碧( 口一6 ) ) ) 。象( 1 一e x p ( - 等( b 一口) ) ) f l f 2 + ( 1 一1 1 ) 1 2 + ( i 一1 2 ) 1 1e x p ( 一雾( 6 一口) ) - 。2 ， i ( 1 一e x p ( 一雾( z o ) ) ) + 1 一l p ( 1 2 1 5 ) 当p = 0 ，时，由( 1 2 4 ) ，( 1 2 5 ) 式分别得到得： 弘n ( z )= 一考罢，2 z y p n t ( s ) d s d 可 +警毪酴筹黼爿毪业mo-a-1ba ) l t l 2 1 l l 1 2 ) 1 1 ) + 1 ) ， 。盯2 ( 一+ ( 一) z 2 + ( 1 一 r u “7 。叫 卧卜学+ 号籍齄常缆措 注1 2 3 若取f 1 = 而，1 22 南，口= h 1 ，b = h 2 , 则( 1 2 1 4 ) ， ( 1 2 1 5 ) 式分别与d o m i n 6 ( 1 9 9 5 ) 中的情况b 和情况a 所得结果一致 例1 2 2 o r n s t e i n - u h l e n b e c k 过程： d x t = v ( k x ) 出+ a d b t ，钐，盯 0 ，k 【a ，6 】 在金融数学中，这过程是描述短期利率过程的v a s i c e k 模型( 见v a s i c e k ( 1 9 7 7 ) ) 扩散系数与漂移系数分别为盯( z ) = 以p ( z ) = v ( k z ) ，尺度密度与速度 密度分别为： 8 ( x )= e x p ( 丕( 。x 2 _ 2 k z ) ) ，m ( z ) = 8 吾e x p ( 一_ l vz 2 地z ) ) 欧pi 一万l z 一2 圳j 曲阜师范大学硕士学位论文 将它们分别代入( 1 2 4 ) ，( 1 2 5 ) 式得： 从垆一警，茁e x p ( 羞( 川) 2 ) y 酬s ) e x p ( - 羞( s 瑚蛐 + 警( z e x p ( 一孝( 后一。) 2 ) 霉e x p ( 孝( 可一妒) 匆+ i - 1 1 ) 其中 其中 1 2f ：e x p ( ( y 一七) 2 ) 片p n 一。( s ) e x p ( 一孝( s 一尼) 2 ) d s 由+ m l l l 2e x p ( 一号( 七一n ) 2 ) re x p ( 芳( 可一k ) 2 ) d y + ( 1 一f 1 ) f 2 + ( 1 1 2 ) 1 1 厩 = ( 1 - 1 2 ) e x p ( 暑( 6 一七) 2 ) 6 一。( s ) e x p ( 一暑( s 一七) 2 ) 出， 庇= e x p ( 一盖( 七一。) 2 ) e x p ( a 旦2 ( b 一吼 居卜p c 羞c 秒 后) 2 ) 【西(掣) 一西( 掣) 】咖 ( f - e x p ( 一善( 七一口) 2 ) 霉e x p ( 羞( y 一七) 2 ) 由+ 1 - 1 1 ) ， f 2j ：e x p ( 暑( y 一【西( 逝乎) 一西( 垣掣) + 尬 f l f 2e x p ( 一号( 忌一o ) 2 ) ce x p ( 芳( 可一七) 2 ) d y + ( 1 一f 1 ) f 2 + ( 1 一f 2 ) f l 庇 = ( 1 一1 2 ) e x p ( 羞( 6 一七) 2 ) 【圣(掣) 一西( 掣 例1 2 3 c o x ，i n g e r s o l l ，r o s s ( 1 9 8 5 ) 平方根过程： d x t = v ( k x t ) d t + a v - 夏t d b t ，钉，0 - 0 ，k 【o ，6 】，0 0 ) 给它的股东分红 当盈余超过水平线b 时，超出的部分全部作为分红；当盈余在水平线b 下时，不 分红令d ( t ) 表示到t 时的累积分红，则五= x t d ( t ) 是公司在t 时的修 正盈余令t = i n f t 0 ：x t = o ) 为破产时，当6 时，破产一定发生，即 p ( t o o ) = 1 这一模型可在p a u l s e n ( 2 0 0 3 ) 中找到，g e r b e r ，s h i u ( 2 0 0 4 ) ， c a ie ta 1 ( 2 0 0 6 ) 研究了几种重要的特殊情况 下面我们来研究破产时t 的各阶矩利用半鞅的i t 6 h 式，我们得到破产 时的矩妒n ( z ) ：= b p 是关于z 的函数，且满足下述微分方程： 1 一n 妒n l ( z ) = 妻仃2 ( z ) 妒：( z ) + 口( z ) 妒：( z ) ，口 。 b ， 边界条件为：妒n ( o ) = ( 6 ) = o 1 3 第一章带双边界的时齐扩散过程的首次超过时间的矩 由推论1 2 2 ，妒n ( 叫满足f 述递推关系式： 州z ) = n j 【o x 8 ( ) z 6 - ( 枷如咖，z 印，6 ) ，n = 1 1 2 ， ( 1 3 - 1 ) 其中 s 一( 一z 鬻d z ) 州加高 特别地， 忍( t ) = z zs ( y ) z 6 m ( z ) 出由，z ( 口，6 ) ( 1 3 - 2 ) 下面我们给出两个例子，为简单起见只计算破产时的均值 例1 3 1 考虑o r n s t e i n u h l e n b e c k 模型，即c a ie ta 1 ( 2 0 0 6 ) 中考虑的模 型公司在亡时的修正盈余过程为： 耻z + 肛m 。) d s + a b t - d 扩散系数与漂移系数分别为盯( z ) 三盯，o ( z ) = p + p x 。，尺度密度与速度密 度分别为： s ( z ) = e x p ( 一吾( 肛+ 互1 肛2 ) ) ；m ( z ) = 2e x p ( 吾( 肛+ 石1 胆2 ) ) 将它们带入( 1 3 2 ) 式中得到： 忍c t ，= 吾z 霉e 印( 一吾y + 丢倒2 ，) z 6 e 印( 吾c p z + 互1 尸z 2 ，) d z 咖 【1 3 3 ) 特别地，当p = 0 时，得到 即) = 翕( e 警一e 掣一a 2 ) ， ( 1 3 4 ) 上述两式与g e r b e r ，s h i u ( 2 0 0 4 ) 中的( 3 8 ) 式，及c a ie ta 1 ( 2 0 0 6 ) 中的结果 一致 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 我们也可以由t 的l a p l a c e 变换得到历( t ) ，c a ie ta 1 ( 2 0 0 6 ) 中已经给 出了，但是这样是很复杂的( 当j d = 0 时除外) 例1 3 2 考虑p a u l s e n ( 2 0 0 3 ) 中讨论的盈余过程收入过程为p t = p t + 唧w p , t ，投资回报过程为r t = r t + c r n w n ，t ，其中与w r 是相互独立的 b r o w n i a n 运动在亡时的修正盈余过程元满足下述随机微分方程： d x t = 0 + r x t ) d t +d b t d d ( t ) 扩散系数与漂移系数分别为a ( x ) = 虿了币，a ( x ) = p + r z ，尺度密 度与速度密度分别为： s ( z ) = e x p ( 一f o 盯2 芦( p 十+ 盯r 五y 可) 。d y h ，m ( z ) = 孑；- = # 毛移e x p ( z 嬲由) 将它们带入( 1 3 2 ) 式中得到： 五k c 丁，= z e x p ( 一f o 。孑2 厢( p + r y ) d y ) 6 吾；研2e x p ( 乜端如) d 让d z 当盯冗= 0 ，p = p ，r = p ，唧= 盯时，上述结果与( 1 3 3 ) 式一致，当 盯冠= 0 ，p = p ，r = 0 ，a p = 盯时，与( 1 3 4 ) 式一致 1 5 第二章首次超过时间的l a p l a c e 变换及其分布 2 1 引言 扩散过程五在区间【a ，6 】中的概率转移密度，首次超过时间7 - 的分布函数， 及其l a p l a c e 变换一般是很难给出明确表达式的( 某些特殊情况除外) 例如， s c h w a r z ( 1 9 9 2 ) 考虑了一个边界是吸收的另一个边界是反射的w i e n e r 过程，并 推导出了此过程的转移密度以及吸收时间的密度的级数解；d o m i n 4 ( 1 9 9 6 ) 得 到了具有两个弹性边界的w i e n e r 过程的转移密度及首次超过时间的分布函 数的表达式；w e n d e l ( 1 9 8 0 ) 给出了b e s s e l 过程首次溢出区间【a ，6 】的时间的 l a p l a c e 变换，w i e n e r 过程与o r n s t e i n u h l e n b e c k 过程的相应结果可在d a r - l i n g ，s i e g e r t ( 1 9 5 3 ) 中找到本章将在此基础上讨论带双边界的时齐扩散过程 的首次超过时间的分布及其l a p l a c e 变换，并给出了几种特殊过程下的具体结 果 设x = x t ，t o 】是初值为x o = z 【a ，b l ( 其中a ，b 为实数且一o o a b ) 的时齐扩散过程，即 飒叫僻。出扣o 扭幻 ( 2 1 1 ) 【x o = z a ，6 】 其中p ( z ) ，o ( x ) 满足强解的存在惟性条件，夙为一维标准布朗运动定义击 中时： 勺= i n f t ：j 五= y l x o = z 【口，6 】) ，y 【口，6 】 定义首次溢出区间 a ，b 】的时间为： r = i n f t ：) 已= ao rb i x o = z 【a ，6 】) = a 记p ( t ，y ，z ) = p ( x t d y l x o = z ) = u ( t ，z ) 则 p ( x t 口d r6 ；墨( 口，6 ) ，0 s 0 的递增的与递减的 解；c a ，c 2 为由上述两个边值条件确定的常数证毕 在定理2 2 1 中，对参数卢l 与仍取特定的值，我们就能得到边界为吸收的 或是反射的情况下的结果 推论2 2 1 若8 1 = 尾= 1 ，则对a z b ，7 - 的l a p l a c e 变换矽( z ) 由下 式给出： ，一( 6 ) 一矽一( o ) ) 妒+ ( z ) + ( 妒+ ( 口) 一妒+ ( 6 ) ) 矽一( z ) 矽+ ( 口) 矽一( 6 ) 一砂一( n