（应用数学专业论文）泛函微分方程周期解及微分方程边值问题解的研究.pdf

学位论文的主要创新点 一、本论文利用重合度理论的延拓定理及一些分析技巧在对二阶微分 方程研究的基础上，讨论了形如 【唧( z ( ) ) 】+ ，( z ( 芒) ) z 7 ) + ) 夕 ，x ( t 一7 - ) ) ) = e ) ， ( 亡) ) 】- t - f ( x 他) ) + 励( z ( 亡一丁( 亡) ) ) = e ( 亡) ， 仰( 。( m ( 亡) ) 】m ) - t - ，( z ( ) ) z 7 ( 芒) + ( 亡) 9 ( 亡，z ( 亡) ) 一e ( 亡) ， a z + k + 9 ( f o r x ( t s ) d 叩( s ) ) = p ( 亡) ， 几类四阶和高阶的具有p - l a p l a c e 算子的l i d n a r d 型、r a y l e i g h 型和具 有分布时滞的d u f f i n g 型泛函微分方程周期解的存在性，获得了解的 存在性条件，推广并改进了一些相关结果 二、本论文利用m a n d s e v i c h - m a w h i n 连续定理，研究了一类具有p - l a p l a c e 算子的d u f f i n g 型微分方程 j ，( ( u 7 ( 亡) ) ) 7 + 乜乱7 ( 亡) - t - g ( t ，让 ) ，( r u ) ( 亡) ) = e ( 1 ) ， lu ( o ) = 乱( t ) ，u 7 ( o ) 一让7 ( 丁) ， 边值问题解的存在性条件，并推广了一些相关结果 摘要 泛函微分方程周期解问题与边值问题一直是微分方程理论研究的一个重要分 支，吸引了众多学者进行研究特别地，形如l i d n a r d 型、d u f f i n g 型方程及r a y l e i g h 型方程一直是学者研究的热点，而具有p - l a p l a c e 算子的微分方程由于在非牛顿流 体力学和非线性弹性理论等领域中的重要应用，更是受到了许多学者的关注受上 述工作的影响，本文利用重合度理论研究了具有p - l a p l a c e 算子的几类泛函微分方 程周期解的存在性问题及微分方程边值问题解的存在性，我们得到了许多新的结 果，并将相关文献的结果做了推广 第一章主要介绍泛函微分方程的研究背景，国内外研究现状，本文需要的预备 知识和重要的引理 第二章主要研究具有p - l a p l a c e 算子的l i d n a r d 型泛函微分方程周期解的存 在性，关于此类方程，二阶的情形已经出现了很多好的成果，但对四阶和高阶情形 则研究的相对较少，本章就这两种情形下周期解的存在性分别进行了研究与已有 的工作相比，本章估计先验界的方法和所获得的结果有一定的创新性 第三章主要研究具有p - l a p l a c e 算子的r a y l e i g h 型泛函微分方程周期解问题 与l i d n a r d 型方程相比，r a y l e i g h 型方程不具有厂( z ( ) ) z 他) 项，代之的是，( z 俅) ) 项，这就给估计解的先验界带来了困难，为了利用重合度理论，我们把方程改写为 方程组并利用分析技巧得到了全新的结果，对已有的结果做了推广 第四章主要研究具有p - l a p l a c e 算子的d u f f i n g 型泛函微分方程的周期解和 微分方程边值问题解的存在性近年来，d u f f i n g 型方程以其在非线性振动方面的 广泛应用而备受人们的关注随着非线性微分方程边值问题的深入化研究，人们开 始关注方程中带有p - l a p l a c e 算子的非线性边值问题，本章我们利用m a n d s e v i c h - m a w h i n 连续定理，探讨了p - l a p l a c e 算子d u m n g 型泛函微分方程的周期解和微 分方程边值问题，获得了解存在的充分条件 关键词： 泛函微分方程；p - l a p l a c e 算子；周期解；重合度定理 a b s t r a c t t h ep e r i o d i cs o l u t i o n sa n db o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rt h ef u n c t i o n a ld i f - f e r e n t i a le q u a t i o n sh a v eb e e na ni m p o r t a n tb i f u r c a t i o no ft h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n f u n d a m e n t a lr e s e a r c h ，w h i c ha t t r a c t e dt h en u m e r o u ss c h o l a r st oc o n d u c tt h er e - s e a r c h s p e c i a l l y , l i d n a r dt y p e ，d u f f i n gt y p ea n dr a y l e i g ht y p ee q u a t i o na r eh o t t o p i c s ，a n da sd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hp - l a p l a c eh a sm o r ei m p o r t a n ta p p l i c a t i o n i nn o n - n e w t o n i a nf l u i dm e c h a n i c a la n dn o n l i n e a r e l a s t i c t h e o r yf i e l d sa l s oa t t r a c t e f t s o m es c h o l a r s a t t e n t i o n o nt h ei n f l u e n c eo ft h ea b o v ew o r k ，i nt h i sp a p e rw ei n - v e s t i g a t et h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n sa n dp e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s f o rs e v e r a lt y p e sf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb ya p p l y i n gm a w h i nc o n t i n u a - t i o nt h e o r e mo fc o i n c i d e n c ed e g r e e ，w eo b t a i ns o m en e wr e s u l t sa n d g e n e r a l i z et h e r e l a t e dp a p e r s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h er e s e a r c hb a c k g r o u n do ft h ef u n c t i o n a ld i f f e r - e n t i a le q u a t i o n s ，t h ed o m e s t i ca n df o r e i g nr e s e a r c hp r e s e n ts i t u a t i o n ，t h i sa r t i c l e o r g a n i z a t i o n a l s t r u c t u r e ，t h ep r e p a r a t i o nk n o w l e d g ea n dt h ei m p o r t a n tl e m m a s w h i c ht h i sa r t i c l en e e d s i nc h a p t e r2 ，t h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n so ft h el i d n a r dt y p ef u n c t i o n a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hp - l a p l a c ei ss t u d i e d a b o u tt h i sk i n do fe q u a t i o n ，t h e s e c o n d - o r d e re q u a t i o nh a sb e e ns t u d i e da n dg o t t e ne x c e l l e n tr e s u l t s h o w e v e r ，t h e s t u d yo ff o u r - o r d e ra n dh i g h o r d e re q u a t i o n sh a sr a r e l ya p p e a r e d w ed i s c u s st h e t w oc a s e si nt h i sc h a p t e ra n dt h ea p p r o a c h e st oe s t i m a t ep r i o r ib o u n d sa r ed i f f e r e n t f r o mt h o s eu s e di np r e v i o u sl i t e r a t u r e s i nc h a p t e r3 ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n so ft h ef o u r - o r d e r r a y l e i g ht y p ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hp - l a p l a c e s i n c ep - l a p l a c e o p e r a t o ri sn o n l i n e a rw h e np 一2 ，i no r d e rt ou s em a w h i n c o n t i n u a t i o nt h e o r e m w er e w r i t ee q u a t i o na n da p p l ys o m ea n a l y s i ss k i l l s ，w h i c hi m p r o v e dt h ep r e v i o u s r e s l f i t s i nc h a p t e r4 ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo ft h ep e r i o d i cs o l u t i o n sa n dp e r i o d i c b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so ft h ed u f l i n gt y p ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hp - l a p l a c e i nr e c e n ty e a r s ，d u f f i n gt y p ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sr e c e i v em o r ea n dm o r e a t t e n t i o n f o rw i d e s p r e a da p p l i c a t i o ni nt h en o n l i n e a ro s c i l l a t i o nf i e l d s a l o n gw i t hn o n l i n e a r ( 1 i f r e r e n t i a le q u a t i o nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw a ss t u d i e dt h o r o u g h l y , t h ep e o p l e s t a r tt op a ya t t e n t i o nt ot h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sw i t h p - l a p l a c e i nt h i sc h a p t e rb yu s i n gm a n d s e v i c h - m a w h i nc o n t i n u a t i o nt h e o r e m w e d i s c u s st h et h ee x i s t e n c eo ft h ep e r i o d i cs o l u t i o n sa n dp e r i o d i cb o u n d a r yv a l u e p r o b l e n lo fd u t f i n gt y p ed i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hp - l a p l a c e ，a n do b t a i nt h e s u f f i c i e n tc o n d i t i o no ft h ee x i s t e n c eo ft h ep e r i o d i cs o l u t i o n s k e v 、o r d s ：f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；p - l a p l a c eo p e r a t o r ；p e r i o d i cs o l u - n ：c o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r e m 第一章 1 1 1 2 1 3 第二章 2 1 2 2 第三章 3 1 3 2 3 3 目录 绪论1 研究背景及现状1 本文丰要工作和内容安排8 预备知识9 具有p - l a p l a c e 算子的l i 百n a r d 型方程的周期解问题1 3 具有p - l a p l a c e 算子的四阶l i d n a r d 型方程的周期解1 3 具有p - l a p l a c e 算子的高阶l i d n a r d 型方程的周期解2 1 具有p - l a p l a c e 算子的r a y l e i g h 型方程的周期解问题2 9 引言2 9 预备知识与引理2 9 周期解的存在性证明3 1 第四章d u f f i n g 型微分方程及其边值问题的周期解问题3 7 4 1。类具有分布时滞d u f f i n g 型方程的周期解3 7 4 2 具有p - l a p l a c e 的d u f f i n g 型微分方程边值问题解的存在性研究4 3 第五章总结与展望4 9 参考文献5 1 发表论文和参加科研情况说明5 9 致谢6 1 t甏簟器鼋叠f；、，rk；ph“t， 第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究背景及现状 微分方程是现代数学的一个重要分支在大量的自然科学与社会科学现象中 有一类确定性的规律，它们可以用含有一个自变量的未知函数及其微分的方程来 描述，这类方程就称为常微分方程其一般形式可以用方程 x ( 芒) 一f ( t ，z ( 芒) ) ，z r n ，( 1 1 1 ) 及其初始条件x ( o ) = z o 来表示其中，方程( 1 1 1 ) 的左右两边都只是时间t 的 函数也就是说，我们假定事物的发展趋势( 方程( 1 1 1 ) 的左边z 他) ) 只是由其 当前的状态( 方程( 1 1 1 ) 的右边z ( 芒) ) 来决定，而不依赖于其过去的状态例如在 种群动力学中，研究低级动物( 如细菌、酵母或浮游藻类) 的种群数量增长率，利用 l o g i s t i c 模型 刑一叫州1 一掣) ， ( 1 1 2 ) 其中，z ( 亡) 表示种群在时刻t 时的数量，r 为种群的内禀自然增长率，k 为环境容 纳量，1 一警为调节因子可以看出，在l o g i s t i c 模型( 1 1 2 ) 中，种群的瞬间增长 率只与同一时刻的种群密度有关，而与过去时刻的种群密度无关简单地说，这些 现象都是瞬间起作用，在这种假设下的数学模型，用常微分方程来描述是合理的 因而，常微分方程在各种自然与社会现象的研究中占有非常重要的地位，而且这种 状况在以后的研究中会得到进一步的强化 随着科学研究逐步深入，为适应客观世界的复杂性和多样性，常微分方程这一 工具也在不断发展和演变一般来说，在动力系统中总是不可避免地存在滞后现象 即事物的发展趋势不仅依赖于当前的状态，而且还依赖于过去某一时刻或某段时 间内的状态从而，利用常微分方程来描述这些事物的发展趋势，只是对其实际情 形的近似处理因此，对于一些事物的发展趋势，若不考虑时滞，则这样的模型是 毫无意义的自1 8 世纪以来，在流体力学、电子学、种群生态学、核反应堆动力学、 经济学及现代控制理论等领域都发现具有上述现象的大量事实例如，经济学中价 值法则的作用是由于生产与消费之间的时滞造成的：工程中一个反馈回路所控制 的系统，大幅度的振荡就是由时滞导致的；在生态系统中，为了更真实地反映自然， 时滞常是一种不应忽略的因素如在l o g i s t i c 模型( 1 - 1 2 ) 中，所考虑的调节因子 1 天津工业大学硕士学位论文 1 一掣是只与瞬间密度有关的调节机理但大多数实际情况中，这种调节效应时 滞微分方程的周期正解及其在种群模型中的应用会有某种时滞这样，l o g i s t i c 模 型( 1 1 2 ) 变为方程 z 心) = r x ( t ) ( 1 一墨一) ， ( 1 1 3 ) 也就是说，时刻t 时的种群增长率不仅与时刻t 时的种群密度有关，而且与在此之 前的时刻t 一7 时的种群密度有关上述数学模型所用的方程已不再是经典的常微 分方程，其特点是：方程( 1 1 3 ) 右边不仅依赖于未知函数在当前的值z ( t ) ，还依赖 于未知函数在过去时刻的值z ( 芒一7 ) 也就是说，方程( 1 1 3 ) 不但含有自变量，还 含有带滞量的变元，称这种方程为时滞微分方程因此，对于许多自然和社会现象， 用时滞微分方程作为数学模型更符合其本质属性 例如，v o l t e r r a 1 1 在研究捕食动物与被捕食动物的生态模型时，考察了时滞微 分方程 z 他) = z ( 亡) q 1 一刚t ) 一p ( 口) 影( 抖口) d 纠，( 1 l 4 ) 【y 7 ( 古) 一y ( t ) - - c y 2 + 侥z ( 亡) + 止毋( p ) z ( 亡+ 0 ) d 0 、7 d r i v e r 2 l 在电动力学方面研究过时滞微分方程 x 7 ( 亡) 一f l ( 芒，z ( 亡) ，z ( 夕( z ) ) ) + 厶( 亡，z ( 亡) ，z ( 夕( 亡) ) ，z 7 ( 夕( 亡) ) ) ( 1 1 5 ) 自1 9 5 9 年以后，n n k r a s o v s k i i 用泛函分析观点对这类方程作了创造性研究。 称其为泛函微分方程由于自然科学和社会科学中的许多学科，如：物理学，化学， 生物学，工程学科和经济学科等提出了大量时滞动力学问题，需用泛函微分方程来 精确描述，从而推动了泛函微分方程的研究但由于其复杂性，这些问题都没得到 很好的解决上世纪七十年代以来，在生物学、物理学、控制理论和工程问题中 出现了大量的这类方程，才促使人们对这种困难的课题开始认真地分析特别是 j k h a e l 专著【3 4 】的相继问世奠定了泛函微分方程的基本理论框架后，新的研究成 果和新的分支才不断涌现至今，泛函微分方程的基本理论、稳定性理论和振动性 理论等都日趋成熟，大量的相关学术论文及学术专著相继问世 众所周知，时滞微分方程周期解的存在性及稳定性问题是一个很有意义的研 究课题它体现了一种结构平衡性和稳定性，在核物理学、电路信号系统、生态系 统、流行病学和控制论等领域都有着很重要的意义同样地，时滞微分方程的周期 解的存在性及稳定性问题也具有非常大的研究价值，因此受到了广大研究者的关 注如二阶非线性微分方程，特别是l i d n a r d 型、d u f f i n g 型方程及r a y l e i g h 型方 程一直是研究的热点问题【5 8 1 由于这类方程的周期解问题广泛运用于诸如电讯 工程中的强迫振荡、机床颤震的非线性振动、非牛顿流体力学、非线性弹性理论 2 l【l【ll【lllllllllll。iilillillllllliililllli_l_i_-l_ii_i_卜 第一章绪论 以及生物生态学研究等领域因此，自上世纪六十年代以来，对有关d u f f i n g 方程 和l i d n a r d 方程周期解问题的研究就一直是人们关注的热点与d u f f i n g 方程和 l i d n a r d 方程的研究相比，对有关r a y l e i g h 型方程周期解的研究工作则开展得要 晚些而具有p l a p l a u c e 算子的微分方程由于在非牛顿流体力学和非线性弹性理 论等领域中的重要应用，吸引了越来越多的学者对它进行研究 研究时滞微分方程周期解存在性的主要方法有：( 1 ) 不动点理论，它是研究周 期解存在性的主要工具，但所确定的周期解大多是非构造性的；( 2 ) 压缩映象原理； ( 3 ) 拓扑度理论，如m a w h i n 延拓定理【1 9 1 ，这种方法特别适合于连续和离散生态模 型；( 4 ) k a p l a n 一、b r k e 方法【9 l 它是j k a p l a n 和j y o r k e 于上世纪7 0 年代提出的 一种研究自治方程周期解的新方法，这种方法是将时滞微分方程转化为一个与之 相伴的常微分方程组( 称为藕合方程组) ，利用常微分方程的定性理论，可以得到方 程周期解的存在性及解的个数；( 5 ) 线性系统指数二分性理论；( 6 ) l 临界点理论，这 种方法主要用来研究非周期系统的周期解问题，可转化为一个经典的h a m i l t o n 系 统的周期解问题，从而由其变分结构导出时滞微分方程本身具有的某种周期性，也 就是说，这种周期现象是由时滞所引起的；( 7 ) l y a p u n o v 第二方法；( 8 ) y o s h i z a w a 定理和m a s s e r a 定理，它建立了周期系统解的有界性与周期解存在性之问的联系： ( 9 ) 映射特征函数法；( 1 0 ) 半序方法；( 1 1 ) 分支方法等这些方法在文献【l o - 1 3 1 中已 用至 虽然关于时滞微分方程的周期解存在性的研究方法多种多样，近年来这方面 的研究还存在很大的局限性其研究现状为： ( 1 ) 大部分工作只给出了周期解的存在性条件，没有给出周期解的近似表示事 实上只有给出周期解的近似表示，才具有较大的实际应用价值 ( 2 ) 大部分工作只给出了周期解的存在性条件，很少说明其唯一性 ( 3 ) 研究方法还过于单一，许多学者利用重合度理论中m a w h i n 延拓定理、锥 拉伸与锥压缩不动点定理及不动点指数定理等 ( 4 ) 关于中立型时滞微分方程的周期解存在性的研究相对较少尽管有部分学 者做过这方面的研究工作【1 4 - - 1 8 l ，但所使用的方法比较单一，而且所得结果的条件 都较为苛刻，从而难以验证另一方面，时滞微分方程稳定性的研究多年来一直是 微分方程领域的一项重要研究课题常微分方程中利用构造l y a p u n o v 函数以确定 。稳定性的方法，也同样适用于一些时滞微分方程但是，在时滞微分方程稳定性的 研究中，构造合适的l y a p u n o v 泛函常常是相当困难的此外，一般来说，时滞对系 统的平衡位置稳定性的影响是很敏感的从而，时滞的增加可能使原来稳定的平衡 位置变成不稳定的，而其具体影响取决于所讨论系统的类型和特点这种结果在实 3 天津t 业大学硕= t = 学位论文 际应用方面也有非常重要的意义 时滞微分方程是泛函微分方程中较为简单的、形式较为完整的一类系统因 此，泛函微分方程理论体系对时滞微分方程有重要的指导意义近几十年来，在众 多的科技领域中，如物理学、控制工程、生物医药以及经济理论，提出了含有大量 时滞、时超的动力系统它们虽然只有一个自变量，但是这个自变量在系统中却呈 现出各式各样的偏差”，因而描述它们的微分方程的性态以及处理问题的方法都 与传统的常微分方程理论迥然不同用常微分方程作为数学模型的系统仅有一个 变量，在大多数场合它表示时间而这里的问题，实际上都假定事物未来的状态仅 由当前的状态决定而不依赖于它过去的历史确切地说，若方程满足解的存在唯一 性条件，则解在某时刻之值便完全决定这个解但是，有很多例子表明并非如此，它 们当前的状态不仅取决于当前的状态而且取决于过去段时间的状态，甚至依赖 于状态的变化率所导出的微分方程不仅含有白变量t ，而且含有不同于t 的偏差 变元，记为出这不同于常微分方程，班是仅仅依赖于t 的偏差变元，并非新的独 立变量，所以它不是通常意义下的偏微分方程通常总是把出记为t 一丁，7 叫做 偏差下为常数的情形是最基本的，一般为t 的函数，甚至是解及其导数的函数它 可以是有限个，可数无限个或者以连续分布的形式包含于某类积分微分方程中对 泛函微分方程中的偏差，我们概略地把它分为三种类型： ( 1 ) 若方程中所有的偏差都可以写成7 ( 亡) 的形式，则称偏差是分立的或者是离 散的，这里丁( 亡) 是常数或者仅为t 的函数 ( 2 ) 若变元的偏差以积分的形式出现在方程中，则称偏差是分布的 ( 3 ) 复杂偏差形式，这里指t 一7 - 中的7 不仅依赖于t 一7 - ( t ) ，而且还依赖于未 知函数z ( 亡) ，甚至还依赖于未知函数的导数x 讹) 从历史上看，研究带有偏差变元的系统并非常微分方程纯形式上的推广，而是 来自许多迥然不同学科的实际问题事实上，在缜密的考察之后就会发现，除了理 想的情形之外，动力系统总是存在滞后的可见用传统的常微分方程去描述系统的 状态只是一种近似的处理，犹如线性系统近似的处理非线性系统当偏差7 - = c o n s t 或者丁( t ) 为t 的连续函数，且o 7 - ( 亡) r ，r c o n s t 时，方程称为差分方程，当 然，系统偏差可能不止一个 我们用简单的例子说明差分方程的分型法则，设7 = 1 ，a ，b ，c 为任意常数 考虑以下方程 鼍+ a x ( t ) + b x ( t 一1 ) + c x ( t + 1 ) = 0 ， ( 1 1 6 ) 口 、 当b = 0 ，c 一0 时，方程( 1 1 6 ) 是常微分方程； 当b 0 ，c = 0 时，方程( 1 1 6 ) 是滞后型差分微分方程； 4 t 第一章绪论 当b 一0 ，c 0 时，方程( 1 1 6 ) 是超前型差分微分方程； 当b 0 ，c 0 时，方程( 1 1 6 ) 是混合型差分微分方程； 注意到方程( 1 1 6 ) 的最高阶数( 此时是一阶) 没有出现偏差变元而方程 鲁+ a x + 踯一1 ) + c 丁d x ( t + 1 ) 一o ， ( 1 1 7 ) 当c 0 时，导数出现了偏差变元，我们称方程( 1 1 7 ) 为中立型差分微分方 程 总的来说，滞后型差分微分方程是理论的基础，应用也最广泛 除了上述差分微分方程以外，在许多场合，时滞是以分布的形式存在于系统之 中例如 老= 。r 邢一丁) d t 面d x 一6 f 。k ( t , o ) z ( 亡+ p ) d e 相对于分布形式的时滞而言，差分微分方程中的时滞叫做离散的，二者不相互包含 上述这些方程己不再是经典的常微分方程，它们不但含有自变量，还含有带滞量的 变元以下我们用更一般的观点，即泛函微分方程的观点，将上述方程概括于更普 遍的系统之中 记c ( 卜r ，o 】，形) 是 一7 ，0 】上连续函数全体，简单记为c ，对任意z z ( 亡) c ，赋以范数忪| i = s u p t 【_ r o li x ( t ) l ，则c 是一个b a n a n c h 空间，并且具有一致收 敛的拓扑，记初始时刻为仃，仃r ，a 0 是指定的常数( a 也可以为+ o 。) 对任 意的一个t o r ，盯+ 卅， x ( t ) c ( p r ，盯+ 4 】，形) 并记x t x t ( 臼) = z ( + p ) ，口 一r ，o 】qcr xc 是开集，：f t 一彤是给定的 算子，鲁表示x ( t ) 的右导数，则 _ d x f ( t ) 一，( t ，貌) ， ( 1 1 8 ) d 亡 j 、。7 、。一7 称作q 上的滞后型泛函微分方程有时为了强调方程( 1 1 8 ) 的右端，记之为r f d e ( f ) 这样的定义是各类有限时滞偏差变元微分方程的高度概括，即适当选择算子( t ，妒) ， 方程( 1 1 8 ) 就可以代表各种滞后系统例如，若取 ( t ，妒) = o 妒( o ) + b w ( - r ) 5 天津工业大学硕士学位论文 则方程( 1 1 8 ) 可以化为 i d x a x ( t ) - t - b x ( t r ) ，r 0 出 。 若取 f ( t ，妒) = i ( t ，妒( o ) ，妒( 一r ) ) 则方程( 1 1 8 ) 可以化为 面d x 一邢，z ( 亡) , x ( t - - r ) ) 若取 i ( t ，妒) = - c 妒( - - 1 ) 1 + 妒( o ) 】，( r 一1 ) 则方程( 1 1 8 ) 可以化为 亳= 一凹( 芒一1 ) 1 + z ( 亡) 】 设0 死( 亡) r = c o n s t ( i 一1 ，m ) ，取 则方程( 1 1 8 ) 可以化为 又设7 0 ，取 ，( 亡，妒) 一o t ( 亡) 妒t ( z 一死( 亡) ) 其中，算子，中的元妒c ，妒( p ) 即x ( t - t - p ) ，p 【一7 ，o ，于是 妒( o ) = z ( 亡) ，妒( - - r ) 一z ( 芒一r ) ，妒( p ) 一x ( t + 0 ) 当r 一十时，记( 一，0 】上的连续函数的全体为c ( ( 一c x ) ，o 】，r n ) ，又记 x t = z ( 亡d - 口) ，p ( 一，0 】 则形式上仍然可以定义r f d e ( f ) 为 1 d x ( 厂t ) = ，( t ，x t ) ， 6 ( 1 1 9 ) d p 死 “ 一 文 z ， 扣 t l 4 “ a m澍 气 卜 塑出 第一章绪论 方程( 1 1 9 ) 称作无穷时滞r f d e 注意，要使方程( 1 1 9 ) 有意义，不能再用有限时滞情形范数的定义方式必须 对c ( ( 一o 。，o 】，形) 加上种种条件，以便得到一个合适的范数，使得我们能够在空间 中建立方程( 1 1 9 ) 的相关理论无穷时滞泛函微分方程的例子： 面d x = k ( t , 9 m 川) 瑚 面d x = 。z ( 1 6 ) + k ( 丢) 面d x = a i ( t ) x ( t 一死( 亡) ) ，t i r + ，主一，几一o o 常微分方程与泛函微分方程的原则区别之一，就是前者的解空间是有限维的 而后者的解空间是无限维的，因而解的性态会有很大的不同正是因为泛函微分方 程解空间是无限维的，积分曲线可以任意相交而不破坏解的唯一性，因而微分方程 几何理论的一切方法失去效用，仅仅在r c 空间中才有一些进展 在泛函微分方程的发展过程中，自然而直接的想法是把常微分方程的各个部 分相关结果予以推广虽然在几何理论上遇到了困难，但是首先对稳定性和振动性 而言，这种推广基本上是成功的，其次周期解的存在性问题也已获得了一定的成效 对方程( 1 1 8 ) 的初值问题，我们有p e a n o 定理的推广 p e a n o 定理设qcr g 厂c ( q ，形) ，如果( 仉妒) q ，那么存在滞后 型泛函微分方程r f d e ( f ) 过( 盯，妒) 的一个解 我们也有唯一性定理的推广 唯一性定理设q r a ，c ( q ，舻) ，( 亡，妒) 在q 中的每个紧集w 里 关于妒满足l i p s c h i t z 条件 l i ( t ，妒1 ) 一i ( t ，妒2 ) l 乃l 妒1 一妒2 l 如果( 妒) f t ，那么方程( 1 1 8 ) 过( 仃，p ) 有唯一的解 泛函微分方程的发展始终以实际应用为动力直到现在，各个学科仍然不断提 出大量新型的泛函微分方程从问题的提法上来看，大体上有两种情况：其一是， 问题提出来就必须考虑带偏差的变元，如传染病的传播问题；其二是，随着科学的 发展，对精度要求越来越高，原来使用的常微分方程模型已经不再适用，如许多反 馈控制系统，人口增长模型我们无法列举它的所有方面，每一方面也无法列举它 的所有课题总的来说，基于应用的普遍性和重要性，泛函微分方程的发展极其迅 速，我们仅仅列出对泛函微分方程的发展有重要影响的应用课题： 7 天津工业大学硕士学位论文 第一，泛函微分方程在医学上最广泛的研究对象是流行病学，这是由于传染病 存在不可避免的潜伏期，所以用滞后型泛函微分方程最适合 第：_ 二，在经济领域中出现了许多泛函微分方程，这里主要指商业问题 第三，人口理论随着问题的提法不同，简化的方式不同，有迥然不同的数学模 型，几乎所有的结果都表明泛函微分方程比常微分方程更精确 第四，泛函微分方程在生物上的应用比较多的集中于遗传学和生态学 第五，物理学中的泛函微分方程出现最早，应用之广仅次于自动控制系统 第六，自动控制理论是泛函微分方程应用最多的领域，而且基本上都是时滞问 题，它涉及控制理论的各个方面，如各种可控与不可控问题，最佳控制等 第七，在通信领域中出现了许多泛函微分方程，特别是中立型方程的应用，这 里主要指的是信息的传输与分布问题 1 2 本文主要工作和内容安排 在本文中，我们将主要运用非线性分析中的重合度理论和m a n a s e v i c h - m a w h i n 连续定理，结合数学分析的技巧来进行我们的研究工作探讨了具有p - l a p l a c e 的 几类泛函微分方程周期解的存在性问题及微分方程边值问题，对相关结果作了推 广 在第一章，主要介绍泛函微分方程的研究背景，国内外研究现状，文章的组织 结构，文中所需要的预备知识和重要的引理 在第二章，由于l i d n a r d 型方程理论与其在实际中的重要性，而引起人们广泛 关注，其周期解的问题更是研究的热点对于二阶的此类型方程已有很好的结果， 本章在其基础上对四阶和高阶的情形作了进一步的探讨我们分别研究了如下两 类l i 百n a r d 型泛函微分方程 仰( z ( 亡) ) 】+ ，( z ( 亡) ) z 7 ( 亡) + 3 ( t ) g ( t ，x ( t 一7 - ( 亡) ) ) = e ) ， ( 1 1 1 0 ) 和 饰( z ( m ) ( 亡) ) 】( 仇) - f ，( z ( ) ) z ( 芒) + 3 ( t ) g ( t ，z ( 亡) ) = e ( 亡) ( 1 1 1 1 ) 的周期解问题，并获得了很好的结果 在第三章，研究了一类四阶r a y l e i g h 型p - l a p l a c e 时滞微分方程 ( z ( z ) ) 】+ f ( x 7 ( 亡) ) + z g ( x ( t 一7 - ( t ) ) ) 一e ( 亡) ， ( 1 1 1 2 ) 周期解的存在性与l i d n a r d 型方程相比，r a y l e i g h 型方程不具有，( z ( 亡) ) z ) 项， 而是f ( x 他) ) 项，这就给估计解的先验界带来了困难，我们利用重合度理论结合一 些分析技巧，获得了解的存在性条件 8 第一章绪论 在第四章，我们研究了如下一类d u f f i n g 型泛函微分方程周期解的存在性： z + g ( x ) = f ( t ) = ，( t + 丁) ，( 1 1 1 3 ) 由于其在非线性振动理论中具有广泛应用背景而受到了众多学者的关注但是现 有的文献中大多只是讨论滞量为常数s 的情况，且所得结果与滞量无关但在实 际模型中，即便是微小的滞量也会对结果产生重要影响因此对时滞d u f f i n g 型方 程进行研究，并且得到与滞量有关的结果将更具有实际在此，我们研究具有分布 时滞的d u f f i n g 方程 r t a x + b x + g ( z ( 亡一s ) d 叩( s ) ) 一p ( 亡) ，( 1 1 1 4 ) ，0 周期解的存在性， 微分方程边值问题的提出和发展，与流体力学、材料力学、波动力学以及核物 理学等密切相关，并且在现代控制理论等学科中有重要应用，而具有p - l a p l a c e 算 子的非线性微, y 方程边值问题以其广泛的应用更是越来越受到人们的重视得出 了很多优秀的成果在本节中，我们运用m a n a s e v i c h - m a w h i n 连续定理结合一些 分析技巧，研究一类具有p - l a p l a c e 算子的d u f f i n g 型微分方程 ( 怖( 让他) ) ) 7 + q ( t ) + 9 ( 亡，乱( t ) ，( r 仳) ( 亡) ) = e ( 亡) ， ( 1 1 1 5 ) l 乱( o ) = 乱( t ) ，u 7 ( o ) = 乱7 ( t ) 、7 边值问题解的存在性，并推广了相关结果 1 3 预备知识 在叙述m a w h i n 重合度延拓定理前，我们先介绍几个定义 定义1 1 设x ，y 为b a n a c h 空间，称线性算子l ：d ( l ) cx y 为 f r e d h o l m 算子，若有 ( i ) 核k e r l = l 。( 0 ) 是有限维的， ( i i ) 值域i m l 是闭的，商空间y i m l 是有限维的 定义1 2 设三为f r e d h o l m 算子，则其指标可定义为： i n d ( l ) = d i m ( k e r l ) 一d i m ( y i m l ) 若i n d ( l ) = 0 ，则称己是指标为零的f r e d h o l m 算子 若三是指标为零的f r e d h o l m 算子，则存在连续投影 p ：x _ xq ：y _ y 9 天津_ r ：业大学硕士学位论文 使得 ，m 尸= k e r l ，i m l k e r q = i m ( i q ) 下证三p ：= l i d ( l ) nk e r 尸：( ，一p ) x _ i m l 可逆 若0 i m l ，则存在z d ( l ) nk e r p , 使得 l x = 0 ，p ( x ) 一0 争z k e r l ，z k e r p 由j m p = k e r l ，得z i m p , z k e r p 所以x 三0 ，故，l i d ( l ) nk e r p 是可逆的， 记其逆为： 定义1 3 设n ：x _ y 为非线性连续映射，对于x 内的任意有界开集q ， 若有q n ( 1 2 ) 有界且砗( ，一q ) ( q ) 在x 中相对紧集，称在q 上己一紧 由于i m q 与k e r l 同构，故存在同构映射j ：i m q k e r l 定义1 4 设f 是c ( m ) 的一个子集称它是一致有界的，如果存在m 1 0 ， 使