（计算数学专业论文）结构动力模型修正中一类矩阵反问题解的研究.pdf

t h e s i so f m a s t e r2 0 1 0u n i v e r s i t yc o d e ：10 2 6 9 u n l v e r s l t y oe1 r e g i s t e r n u m b e r ：9 1 0 5 0 6 0 11 0 3 e a s tc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y r e s e a r c ho nam a t r i xi n v e r s ep r o b l e m i ns t r u c t u r a ld y n a m i cm o d e l u p d a t i n g d e p a r t m e n t ：d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c s s p e c i a l t y ：c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s d i r e c t i o n ：n u m e r i c a ll i n e a ra l g e b r a s s u p e r v i s o r ：m u s h e n gw e i n a m e ：h o n g y uw a n g c o m p l e t e d i na p r i l , 2 0 1 0 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文结构动力模型修正中一类矩阵反问题解的 研究，是在华东师范大学攻读硕士学位期间，在导师的指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文 中作了明确说明并表示谢意。 读学 成果 作者签名： 王主z 王：日期：2 0 1 0 年4 月3 0日 华东师范大学学位论文著作权使用声明 位论文，并向主管部门和相关机构如国家图书馆、中信所和“知网”送交学位论 文的印刷版和电子版；允许学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、 借阅；同意学校将学位论文加入全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检 索，将学位论文的标题和摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制 学位论文。 本学位论文属于( 请勾选) ( ) 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密学位论文， 于 ，年 月 日解密，解密后适用上述授权。 歹2 不保密，适用上述授权。 导师签名建垒毯 ) oi o 年f 月沁日 “涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定 过的学位论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文“涉密”审批表方 为有效) ，未经上述部门审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认 为公开学位论文，均适用上述授权) 。 王红玉硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 薛军工教授复旦大学数学科学学院主席 陈果良教授华东师范大学数学系 詹兴致教授华东师范大学数学系 薛以锋教授华东师范大学数学系 刘永辉教授上海金融学院应用数学系 徐洁研究生秘书华东师范大学数学系秘书 论文摘要 本论文主要研究结构动力模型修正中一类二次特征值反问题的中心对称解 及其最佳逼近设彳= ( 乃) ，如果乃= l - ，t 肿l - j ，t ：j = l ，2 ，喝则称彳为厅阶中心 对称矩阵本文研究的一类二次特征值反问题具体是指构造厅阶中心对称矩阵 必c f ，使得二次束烈九) = a , 2 肜+ 允c + 膨具有给定的特征值和特征向量我们 构造了一种迭代解法求解二次特征值反问题，证明了问题的可解性及迭代解法的 收敛性，并考虑了在解集中对给定初始矩阵的最佳逼近问题，运用迭代解法得到 了最佳逼近解，并给出了数值例子 关键词：二次特征值反问题，中心对称矩阵，最佳逼近 _ i nt h i sp a p e r , w em a i n l ys t u d yt h ec e n t r o - s y m m e t i cs o l u t i o no ft h ei n v e r s e q u a d r a t i ce i g e n v a l u ep r o b l e ma n di t so p t i m a lp p r o x i m a t i o n l e t 彳= ( 乃) ，w ec a l l e d ai sac e n t r o 。s y m m e t i cm a t r i xw h e n 乃= a n + l - 肿l - ，4 j = l ，2 ，t h e i n v e r s e e i g e n v a l u ep r o b l e mi st oc o n s t r u c tc e n t r o - s y m m e t i cm a t r i e sm 。ca n de o fsiz n 挂 f o rt h eq u a d r a t i cp e n c i l 驮九) = 卯肜+ a f + 彤s ot h a tt h e 烈九) h a sa p r e s c r i b e d s u b s e to fe i g e n v a l u e sa n de i g e n v e t o r s i ti ss h o w nt h a tt h ep r o b l e mi ss o l v a b l ea n da i t e r a t i v ea l g o r i t h m st os o l v et h i sq u e s t i o ni sp r o v i d e d u n d e rs o m es u i t a b l ec o n d i t i o n s , w cg i v et h ec o n v e r g e n c er e s u l t s t h eo p t i m a la p p r o x i m a t i o np r o b l e mi sd i c u s s e da n d t h ee x p r e s s i o ni s p r o v i d e d n u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tt h en e wm e t h o d sa r cv e r y e f f e c t i v e i n v e r s ep r o b l e m ；c e n t r o - s y m m e t r i cm a t r i x ；o p t i m a la p p r o x i m a t i o n 6 目录 第一章引言l 1 1 结构动力模型修正问题简介1 1 2 结构动力模型修正中的二次特征值反问题及其研究现状1 1 3 本文研究的主要内容及其成果3 1 4 本文的组织与结构6 第二章方程a ) 【+ b y + c z _ e 的中心对称解8 2 1 奇异值分解法回顾8 2 2 问题i 的迭代算法导出9 2 3 迭代算法的收敛性1 1 2 4 问题i 的最小范数解1 7 第三章问题的解2 0 3 1 最优解的存在性和唯一性2 0 3 2 最佳逼近2 l 3 3 问题的迭代算法2 2 第四章数值例子2 3 参考文献2 4 后记2 6 第一章引言 第一章引言 本章要点： 结构动力模型修正问题简介 二次特征值反问题及其研究现状 本文的主要成果 本文的组织和结构 1 1 结构动力模型修正问题简介 在工程技术领域里，要定量、准确地进行结构动力学分析，解决工程中普遍 存在的振动问题，首先就必须建立结构的动力学模型一般建模方法有理论建模 和实验建模两种理论建模工程上常用有限元方法由于有限元分析速度快，设计 周期短，在航空、机械、土木工程等领域得到了广泛应用，特别是在结构力学领 域，成了最有力的理论分析工具之一这种方法用离散化的思想，将连续系统结 构转化为节点上的离散结构由于实际问题的结构复杂，有限元方法就必须对结 构的几何特性作出各种假设，还必须对结构约束条件、边界条件和连接条件进行 简化处理，这就使得利用这种技术建立的结构有限元模型往往不能准确地反映实 际结构的全部情况，使有限元模型计算结果与实验结果之间存在着误差另一方 面，由于用实验方法一般只能获得一些结构低阶、不完全的模态参数信息，如何 利用这些实测的低阶、不完全的模态信息修正初始动力学模型，使其能更准确地 模拟实际结构，这就是结构动力学模型修正所要研究的问题 1 2 结构动力模型修正中的二次特征值反问题及其研究现状 在结构动力模型修正中，特征值反问题具有非常重要的应用，该问题研究由 频谱和( 或) 模态数据确定结构的物理和几何参数，或者设计结构使其具有要求 的频谱和( 或) 模态 由于阻尼是相对运动表面的摩擦力、液体与气体的介质阻力、电磁力以及材 料变形时的内阻力等造成的，因此实际遇到的振动问题大多数是阻尼振动系统 阻尼是描述结构动力学性能的基本参数之一，对结构动力学分析结果的可靠性和 精度有很大的影响，因此一般不能忽略阻尼的影响，因而对阻尼矩阵的修正尤为 第一章引言 重要但是因为影响阻尼的因素很复杂，所以对阻尼的描述是一个困难的问题 阻尼系统的振动与分析归结为二次特征值问题l a n c a s t e r 1 研究了二次 特征值的性质t i s s e u r 2 对二次特征值问题的理论、数值方法和应用作了综 述关于阻尼振动系统的振动反问题，最近几年，国际上不少力学家和数学家越 来越关注并开始研究这个问题 3 - 1 5 对厅阶首一二次矩阵束，r a m 和 e l h a y 3 研究了由给定2 j ，个特征值和去掉刀阶首一二次矩阵束的最后一行和 最后一列所得刀一l 阶首一二次矩阵束的2 刀一2 个特征值构造刀阶首一对称三对角 二次矩阵束的问题，讨论了问题解的适定性理论，给出了求解问题的数值方法， 并讨论结果对阻尼弹簧一质点系统振动反问题的应用n y l e n 4 研究了由阻尼 系统的特征值和无阻尼系统的构造阻尼系统的质量矩阵m ，刚度矩阵量和阻尼 矩阵f 的问题，讨论了问题解存在的条件，给出了构造解的方法s t a r e k 和i n m a n 5 3 研究了在过阻尼情况下如何由特征值和相应的特征向量构造质量矩阵、刚 度矩阵和阻尼矩阵的问题g l a d w e l l 等 6 ，7 研究了由两组复谱数据构造阻尼 弹簧一质点系统振动反问题，给出了问题有解的条件以及构造阻尼弹簧一质点系 统物理参数的方法f r i s w e l l 等 8 ，9 基于优化思想给出了一种修正刚度矩阵和 阻尼矩阵的方法h a l e v i 等 1 0 讨论了复模态和阻尼矩阵的模型修正的一种方 法p a r k 1 1 研究了基于频率响应函数的结构修正方法，给出了存在惟一解的条 件，并检验了可行性c h u 等 1 2 研究了基于部分特征对重构二次矩阵束的问题， 给出了问题的可解性理论a g r a n o v i c h 等 1 3 研究了由两个首一的复系数多项式 构造二次j a c o b i 矩阵束的问题，给出了解存在的条件r a m 1 4 考虑了保持某些 极点约束下的振动系统的极点配置问题，讨论了问题的可解性l a n c a s t e r 1 5 】 研究了由特征值和相应特征向量构造阻尼振动系统的反问题，给出了由全部特征 对构造阻尼系统的具有正定性的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵的理论和方法 目前在结构动力学领域，对于结构离散化后形成的结构矩阵( 例如j a c o b i 、 实对称带状矩阵等) 和矩阵束的特征值反问题，特别是阻尼振动系统中的二次特 征值反问题，如何给出的合理提法、完善解的适定性理论以及有效的数值算法是 解决工程实际问题的急迫需要解决的课题 第一章引言 1 3 本文研究的主要内容及其成果 运用有限元技术对一阻尼结构系统进行离散化，可得到下面的二阶常系数 徽分方程 矧，) + 吲，) + 左矾，) = ( 力 该方程称为系统的有限元模型( f e m ) ，其中久力是刀维状态向量，( ，) 是刀维激 励向量，必c f ”分别称为分析质量矩阵，阻尼矩阵与刚度矩阵与该系统 对应的特征值问题为 烈九沙= 0 ( 1 2 ) 其中烈a ) = 九2 肜+ a f + z 称为二次束使得关系式成立的复数a 和非零复向量z 分别称为这个系统的特征值与特征向量在工程技术领域，特别是结构动力模型 修正技术领域中经常遇到二次特征值反问题对阻尼结构进行动力分析时，应用 有限元方法得到系统的质量矩阵詹，阻尼矩阵口和刚度矩阵詹，从而可求得二 次特征值问题的特征值( 频率) 和特征向量( 振型) 另一方面，运用测试技术 可测得结构的低阶频率( 即特征值九，丸( 彬s 力) 和相应的振型( 即特征向量 五，) 一般来说，有限元方法的计算结果与实测结果之间存在差异特征结 构动力模型技术 1 6 ，1 7 利用实测模态数据( 低阶频率和相应的振型) 对有限 元方法所得的质量矩阵力，阻尼矩阵于和刚度矩阵詹进行修正，使修正的质量 矩阵m ，阻尼矩阵f 和刚度矩阵置满足理论上的谱约束条件，即 ( 碍肜+ 九f + 的= o ，= l ，删 并且矩阵e 朋充分接近矩阵【膨a 旬 ( 1 3 ) 第一章引言 定义1 1 设彳= ( 吻) 如果乃= l - ，肿1 ，4 j = l ，2 ，届则称彳为刀阶 中心对称矩阵刀阶中心对称矩阵的全体记为c s r * ”；如果 吻= 一- ，州，t ；j = l ，2 ，则彳为刀阶反中心对称矩阵，刀阶反中心对称矩阵 的全体记为厢0 沈” 中心对称和反中心对称矩阵在很多领域 1 8 ，1 9 有广泛的应用，如数字信号 处理，微分方程及m a r c o v j 立程的数值解等首先，我们给出中心对称矩阵的一些 性质通过直接验证，我们很容易得到如下引理 记最= ( 巳，q ) ，其中弓为刀阶单位矩阵厶的第，列，= l ，刀容易验证 = ，= 最 l 彳一蛳仅牡城，其坼 ： 引理1 2 如果彳c s r “”，那么彳+ 城c , y g 4 引理1 3 如果z 彦删。，九，九刀，那么 彳+ 九曰测4 引理1 4 彳钟4 的充分必要条件是彳可表示为 当减尉小。r ( 2 ) 当刀= 2 k + 1 时，彳= 弘。 五函 厄口：4 0 o 其中，五，4 刀阱，a l ，岛，口e 刀 = 北乏卜“； 0 0 4d r ，刀= 万l j 0i 0 压0 s t 0 s 第一章引言 因为实矩阵二次特征值问题的复特征值和相应的特征向量成共轭对出现，记 a j = 乃，垆实特征值， ：盆 ，徊m 忙何伊嘱复特弛 i 石，z 晨对应于实特征值a 朐特征向量， 7 u 钐，叩】，乃= 影+ 却声对应于复特征值啪特征向量， z = ，五彤) ”，a = d i a g ( a l ，a 2 ，a ，) 4 则问题( 1 3 ) 可写为 3 a f i a 2 + c x a + k x = 0 实矩阵的动力模型修正问题归结为一类二次特征值反问题，中心对称矩阵的 动力模型修正问题可表述为如下的二次特征值反问题 问题i 给定z 。，a ”求矩阵必c 置删4 ，使得 i , l i a 1 + c x a i x = 0 问题给定死c 一, k e i f 4 ，求( ，) q ，使得 ( 1 4 ) 0 ( ，) 一阮己局0 = i 版r a i 球nn 0 ( 肜口一( 屁e 局l i ， ( 1 5 ) 其中q = ( 肜c 田l 觚2 + c x a + k x = o 为研究以上问题解的存在性及其解的结构，我们考虑更一般的问题本文主要 讨论以下两个问题的解 问题i 给定矩阵4 最e 占仨，求矩阵z z z c s r p ，使得下式成立 第一章引言 矗x b y 七c z = e 问题假设t 口- j 题i 有解，且记解集为q 给定矩阵( z 只历，求 ( ，7 ) f l 使得 0 ( z 只历一( ，7 ) 0 = z r a ，i 永nn 8 ( z 只刁一( z 只历8 目前已有很多学者采用矩阵奇异值分解的方法对f e m 系统对应的二次特征 值问题进行了研究众所周知，矩阵分解法只适用于系统对应矩阵规模较小时， 而对于大规模f e m 系统所对应的此类问题，必须用到迭代解法来解决本论文主 要在前人研究的基础上对这类问题构造迭代解法，给出各种迭代解法的收敛性定 理和证明，并通过数值例子进行验证 1 4 本文的组织与结构 第一章为引言；第2 章主要讨论问题i 的解，第三章讨论问题i i 的解，第 四章给出数值例子验证算法的有效性 第一章引言 本文采用符号及定义参见： ，以句，i 险0 分别表示矩阵的转 置，m o o r e - p e n r o s e f 3 ( 逆，迹以及f r o b e n i u s 范，厶表示刀阶单位矩阵，疋表 示刀阶反单位矩阵，即疋的反对角线上的元素全是1 ，其余元素全为0 显然， 只= 舅且舅= 厶4 表是历刀实矩阵的集合，删，表示夕阶中心对称矩 阵集，1 1 c s r ，表示尸阶反中心对称矩阵集 第二章方程a x + b y + c z = e 的中心对称解 第二章方程a x + b y + c z = e 的中心对称解 本章要点： 奇异值分解法回顾 问题i 的迭代算法导出 迭代算法的收敛性 第二章方程a x + b y + c z = e 的中心对称解 = 喝州吲一狮。心科? = 【。，】删叙 ，呸。一觚，巧= 【，】绷“_ ，则问题 i 有解，4 层f 删”的充分必要条件是巧= 0 ，= 1 , 2 在有解的情况下， 问题i 的中心对称解4 层f 分别为 彳= 刃 詈三 ，彦= 刃 言三 ，f = 。 言兰 ， 其中t 彳，忍，c ，= 巧 豸 + + 皱瑗，= ，2 ，踢：，绞是任意矩阵 2 2 问题i 的迭代算法导出 我们利用共轭梯度法的思想，给出求解问题1 的迭代算法，并给出相关引理 来分析该算法的合理性 算法2 1 给定初始矩阵五，彳，磊俐，r 1 = z 一心一锱一 只= 墨砰= 铲墨。露= p 墨 纠= 三( 斗+ 影片e ) ，讶= 兰( 坪+ 易坪易) ，讶= 三( 芹+ 易耳易) f o r 后= l ，2 ， 咖躇渊名3 ( 2 1 ) x 1 = 以+ 口：么，= 石+ 口：么，乙= 互+ a ；么 ( 2 2 ) 置l = z 一钒l 一猡7 i i c z k + 1 壤。= 心。，露。= 心。，露= 矿。 肛瞥川名3 。= 三( 砝+ 易毁。) 一雕 = 圭( 最。+ o 露。髟) 一所 = 三( 露。+ 易兄影) 一雕 ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 附注2 1 容易验证由算法2 1 生成的矩阵序列以，磊是中心对称矩阵 简便起见，引入下列记法： m = u b q 。s k p = d i 郫p 。s p 。s 3 - a t = 彩卿：，a 量2 ，岱；) ， 似、 西t - - i 五i ， l 五j 因此，在算法2 1 中，有 且级l = 俄= 诫砜雕，雕，废) h 刳 r = e 一。匕= a 矿r t ，电b n = 奄i 一值q t 。 纵= 圭( + 墨，& 。易) 一尾绞 = 三( 气。+ 焉，以) 一风级= 墨，绞- 易 1 0 ( 2 6 ) 鳞研么 第二章方程a 】( + b y + c z - e 的中心对称解 = 三( 墨，& 影+ 气。) 二譬( 层昂+ 4 ) 一俄p 扣。靠。 = 吾( 墨，气。易+ & 。) 一譬( 卑+ 层) - 华( 最，彳易+ 眉) 因此玖。= 圭( & 。+ 气。) 一风级= 级+ 。易 ( 2 7 ) 2 3 迭代算法的收敛性 引理2 1 由算法2 1 生成的序列 以及妇 满足 矾。乃) = 以彤r ：) - a ，他矽) ，= 1 , 2 ， ( 2 8 ) 证明：对任意合适的矩阵a , b , d ，有以么刃= 以幽，以切= 矾) 因此，以。乃) = 以( 占一脚，+ ，) ，哆】= 研( f 一脚，一a ，4 鸦) ，乃】 = t r u tr 、一毡靠垃j 如矿r 、 = t 磷r 、一强| 谚地p j 、 - - t 叹g 乃) 一a 脚矽) ，= l 川2 ” 口 引理2 2 设协p 斟是问题1 的解，那么由算法2 1 生成的序列 亿，乏 ，慨) ，娩) 满足 纠口一以) 研】= 慨l | 2 k = l 川2 一 ( 2 9 ) 第二章方程a x + b y + c z = e 的中心对称解 证明：设 $ ：旧 l 纠 因为z 以，只五，级五都是中心对称矩阵，因此，有 s 嵫吝- x , s p = 1 差剖倒r j - x , p 一西。k = p 一。) 面我们用数学归纳法证明当后= 1 时，有 研( 击一西。) 饼】 = 纠( 面一。) ( 最，毋易+ 名) ，2 = 研( $ 一) 彳+ 毋，( $ 一。) z ，彳 2 = 研( $ 一西，) 彳】= 研( $ 一。) ( 属) ，】 = t i m ( 6 一西。) 墨，】= 研u 痴一_ 办。) 眉，】 = 研陋一询，) 墨，】= 以属码，) = i i r , 1 1 2 设后= ，时( 2 9 ) 式成立，因此有 研( 面一，+ ，) 谚】 = 研( 面一o ，一a ，奶) 彰】= 研 一西，) 饼卜口，帼彰) 1 2 = 研拟而一西，+ 。) 月五l 】= 研( 4 么参一j 4 q ) ，+ 1 ) 月署。】 = 研( f 一施，+ 。) 或】= 以兄+ 。欲。) = l 以。0 2 综上所述，( 2 9 ) 式对所有的后= 1 , 2 ，成立 口 附注2 2 引理2 2 表明如果局0 ，则易0 ，( ，= 1 , 2 ，) ，并且当局0 时， 迭代就不会终止 。 引理2 3 设问题1 有解，且序列 和切 由算法2 1 生h j i 如果存在自然数 七 1 ，使得对v ，= 1 , 2 ，k ，暑0 ，召0 ，则 力。( 五歹乃) = 0 ，力_ ( 巨r 易) = 0 ，= l ，2 ，乞， ( 2 1 0 ) 即 z ：，和切) ：是两个正交矩阵集 证明：因为以胸= 以幽，所以只需考虑， 的情形 由引理2 1 ，可得 第二章方程a x + b y + c z = e 的中心对称解 以碍属) = 以砰属) 一a 。嘲彳) = l l 墨8 2 一口。哟彳+ 焉岛，彳) 2 = 0 属1 1 2 一a 。阴( 召彳+ 召吖焉，) 2 = 畦( ( 墨，z 易) ，缓+ 翻) 卜以翻) = 畦( 粕眉易+ 黝) 】一以翻) = 研三( 翻+ 翻) 】一以翻) = o 假设后= ，2 时( 2 1 0 ) 成立，则由( 2 8 ) 及假设，有 以欲局) = “衫局) 一a ，他) = i , 1 1 2 一a ，他+ 墨，奶以) 2 ( 由( 2 7 ) ) = 忖0 2 一口，旭+ 奶以) 2 = 眵0 2 一a ，哟( z + z o ) ，1 2 墨 ， 曩 绷 c p o p 哆 驴 洱 咖 嵋 级 岛 班 班 哩 2 2 2 2 ， 砰研 盯可 晖 怕一忙 监忙 昱 一 一 ) ，和 臼 墨 墨 ， j 一2 凇 凇 耐叫 第二章方程a x + b y + c z = e 的中心对称解 = f , 1 1 2 一口，他 + 艮。魏。) ，】( 由( 2 6 ) ) = f , 1 1 2 一a ，【地夕+ 卢，。帼么) 】 = 2 一v , 1 2 = 0 “欲。属) = 以彤墨) 一口，旭彳) = 川纠幺( 彳+ 墨彳易) ，2 = 吨研奶留】_ o 坛。奶) = 研哇( 墨，最，影+ 足。) 一p ，口) ，2 】 = 以焉口+ 焉焉，奶) 2 一厉研彰奶】 = 烈焉锡+ 焉墨筋易) 2 一以焉甥) = 以焉幺) 一以或锡) = 0 从假设可知，当= 2 ，一l 时，以彤哆) = 以鲂) = 0 ，因此有 第二章方程a x + b y + c z = e 的中心对称解 以欲乃) = 以肩歹乃) 一a 从巨0 哕) = 吨扣垃? t s 3 露5 z 、| 2 = 吨? 地婶j ，2 1 = - a 4 p , ( p ：+ 色一。鲰。) ，1 = 吨，【删) + 雎。以2 彰) 】= o 当= 1 , 2 ，1 - i 时， 以鲧。易) = 研哼i ( 只+ 焉，足。0 ) 一p 殷) ，彰】 = 双t q 七s ， 0 s 、露、| 2 一如弋琶q 、 = 以露谚+ 焉墨易易) 2 = 以焉易) = j 呜焉) = a j l 叭形兄+ 。) 一烈欲心) 】( 由( 2 8 ) ) = a j l 叭欲，乃) 一矾欲。戥。) 】= o 因此，当启= ，+ l 时( 2 i 0 ) 成立综上所述，结论成立 第二章方程a x + b y + c z = e 的中心对称解 口 由以上引理，我们得到本章的主要定理： 定理2 1 设问题1 有解，那么在算法2 1 中，对任意的初始矩阵 五，彳，互c s r p ，在不考虑舍入误差的情况下，最多经过m p + 1 次迭代，序列 z ，磊 收敛于问题l 的精确解 证明：设碍0 ，= 1 , 2 ，m - e9 印由引理2 2 ，有奶0 ，= 1 , 2 ，掣，因此可 以求出o 。，。，以及。 下面用反证法假设。o ，那么由引理2 3 ，k ，愿，。 是历夕的 实正交阵序列这显然是错误的，故。= o 因此，扛。，。，。 是问题l 的 精确解口 附注2 3 在实际计算过程中，舍入误差是不可避免的因此，我们不可能通过 有限次迭代获得该问题的精确解为了得到最好的解，我们采用下面的迭代终止 标准：给定适当的充分小的常数s 。，s ：，当 则迭代终止 0 _ 么。- x , l l s 。且z 一钒一刀7 z 。一c z 0 0 g ： 2 4 问题i 的最小范数解 接下来，我们探讨问题1 的最小范数解 引理2 4 问题i 有解等价于方程组 a x 七b y 七c z = e v s 。蕊p 七b s 澄p c sp 峦p = e ( 2 1 1 ) 第二章方程a x + b y + c z = e 的中心对称解 有解 证明：如果问题i 的解是 z z 刁，则由 可得( 2 1 1 ) 有解 x = s 强p 。y = s 0 p z = s p z sp 反过来，若果( 2 1 1 ) 有解 此时， p + z ，少+ 露，旁+ 乏) 就是问题的解因此，针对问题i i 我们得到下面的算法 3 3 问题1 i 的迭代算法 算法3 1 ( 1 ) 通过( 3 1 ) 一( 3 4 ) 式构造置，露，乏，君 ( 2 ) 给定零初始值，通过算法2 1 计算方程( 3 5 ) 的解 p ，少，多) ( 3 ) ，+ z ，少+ 露，多+ 乏) 就是问题的解 第四章数值例子 第四章数值例子 为方便比较，我们采用了文 2 0 中的例子 例4 1 设通过实际测量以及统计信息得到矩阵 必g 田的初步估计值为： 。，f 1 o l0 0 2 、：r0 6 6 0 0 9 一f ，1 9 9 1 0 2 、 胙【0 0 3 1 9 9j 2 【枷70 1 2j 2 k o l 1 o 升 i0 31 9 9ji 0 0 7ji 1 o l1 0 3j 7 实测的特征值为 = - 0 0 4 5 2 2 + 0 4 6 9 4 5 d 2 - 1 ，与之相应的特征向量为 玉= i - 0 10406、lh一-025925、1-0 1310 2 0 4 7 9 4 9 玉2 i j + l j 贝l j a - - 卜0 4 y 仉4 6 9 4 51 ，z ：f 。0 j 0 4 0 6 一 i _ o 2 0 4 ji 一一0 , , 2 5 9 2 5 4 6 9 4 5 - 0 5 2 201 3 1 0 204 7 9 4 9 ， 由算法3 1 ，我们得到问题i i 的解为： f 1 7 6 9 1 4 一o 1 9 6 6 7 、) f o 1 5 9 9 9 - 0 0 1 7 7 8 ) mc = ii ，= il 。 i 一0 1 9 6 6 71 7 6 9 1 4 厂l 一0 0 1 7 7 8 0 1 5 9 9 9j k = f 仉3 9 3 5 1 _ 0 艄3 7 4 1 一0 0 4 3 7 4 0 3 9 3 5 1j 这个结果与文 2 0 的结果一样容易验证，二次束烈a ) = a 2 + a f + 肖具有特征 值 和特征向量 例4 1 验证了我们给出的迭代算法的合理性与可行性，但是不能展示该算 法的优越性而它的优越性体现在不能用直接法求解的大规模问题的计算上 2 3 - 参考文献 参考文献 1 l a n c a s t e rp l a m b d a - m a t r i c e sa n dv i b r a t i n gs y s t e m s m p e r g a m o np r e s s i n c ，1 9 6 6 2 t i s s e u rf ，m e e r b e r g e nk t h eq u a d r a t i ce i g e n v a l u ep r o b l e m s j s i a m r e v i e w ，2 0 0 1 ，4 3 ：2 3 5 2 8 6 ，4 3 ：3 3 9 3 6 1 3 r a mym ，e l h a ys a ni n v e r s e e i g e n v a l u ep r o b l e mf o r t h es y m m e t r i c t r i d i a g o n a lq u a d r a t i cp e n c i lw i t ha p p l i c a t i o nt od a m p e do s c i l l a t o r y s y s t e m s j s i a _ ija p p lm a t h ，1 9 9 6 ，5 6 ( 1 ) ：2 3 2 - 2 4 4 4 n y l e n p i n v e r s ee i g e n v a l u ep r o b l e m ：e x i s t e n c eo f s p e c i a l l n a s s d a m p e r s p r i n gs y s t e m s j l i n e a ra l g e b r aa p p l ，1 9 9 9 ，2 9 7 ：1 0 7 - 1 3 2 5 s t a r e kl ，i n m a ndj as y m m e t r i ci n v e r s ev i b r a t i o np r o b l e mw i t h o v e r d a m p e dm o d e s j j o u r n a lo fs o u n da n dv i b r a t i o n ，1 9 9 5 ，1 8 1 ：8 9 3 - 9 0 3 6 g l a d w e l lg ml o nt h er e c o n s t r u c t i o no fad a m p e dv i b r a t i n gs y s t e m f r o mt w o c o m p le xs p e c t r a ，p a r tl ：t h e o r y j j o u r n a l o fs o u n da n d v i b r a t i o n ，2 0 0 1 ，2 4 0 ：2 0 3 2 1 7 7 f o l t e t ee ，g l a d w e l lg ml 。l a l l e m e n tg o nt h er e c o n s t r u c t i o no fa d a m p e d v i b r a ti n g s y s t e m f r o mt w o c o m p l e x s p e c t r a ，p a t r 2 ：e x p e r i m e n t j j o u r n a l o fs o u n d a n d v i b r a t i o n ，2 0 0 1 ，2 4 0 ：2 1 9 2 4 0 8 f r i s w e l lmi ，l e e saw r e s o n a n c e f r e q u e n c i e so fv i s c o u s l yd a m p e d s t r u c t u r e s j j o u r n a lo fs o u n da n dv i b r a ti o n ，1 9 9 8 ，21 7 ：9 5 0 - 9 5 9 9 f r i s w e l lmi ，i n m a ndj ，p j i l k e ydf t h ed i r e c tu p d a t i n go fd a m p i n g a n ds tif f n e s sm a t r ic e s j a i a aj ，1 9 9 8 ，3 6 ( 3 ) ：4 91 - 4 9 3 1 0 h a l e v iy ，k e n i g s b u c hp m o d e lu p d a t i n go ft h ec o m p l e xm o d e s h a p e sa n d t h ed a m p i n gm a t r i x j i n v e r s ep r o b l e mi ne n g i n e e r i n g ，2 0 0 0 ，8 ：1 4 3 “1 6 2 11 p a r kyh 。p a r kys s t r u c t u r a lm o d if i c a ti o nb a s e do nm e a s u r e d f r e q u e n c y r e s p o n s e f u n c ti o n s ：a n e x a c t e i g e n p r o p e r t i e s r e a l l o c a t i o n j j o u r n a lo fs o u n da n dv i b r a t i o n ，2 0 0 0 ，2 3 7 ：4 1 1 - 4 2 6 1 2 c h umt ，k u oy u e n c h e n g ，l i nw e n w e i o ni n v e r s eq u a d r a t i ce i g e n v a l u e p r o b l e m sw i t hp a r t i a l l yd e s c r i b e de i g e n s t r u c t u r e j s i a mjm a ta n a l a p p l ，2 0 0 4 ，2 5 ：9 9 5 1 0 2 0 2 4 - 参考文献 1 3 a g r a n o v i c hy ，a z i z o vt ，b a r s u k o va ，d i j k s m aa o na ni n v e r s es p e c t r a l p r o b l e m f o ra q u a d r a t i c j a c o b i m a t r i x p e n c i l j j o u r n a l o f m a t h e m a t i c a la n a l y s i sa n da p p l i c a t i o n s ，2 0 0 5 ，3 0 6 ( 1 ) ：卜1 7 1 4 r a mym p o l e a s s i g n m e n t i n v i b r a t o r ys y s t e m sb ym u l t i i n p u t c o n t r o l j j o u r n a lo fs o u n da n dv i b r a t i o n ，2 0 0 0 ，2 3 0 ：3 0 9 3 2 1 1 5 l a n c a s t e r p ，u p r e l l s i n v e r s e p r o b l e m s f o r d a m p e d v i b r a t i o n s y s t e m s j j o u r n a lo fs o u n da n dv i b r a t i o n ，2 0 0 5 ，2 8 3 ：8 9 1 9 1 4 1 6 b a r r l u n da p e r t u r b a t i o nb o u n d sf o rt h el d e a n dt h el u f a c t o r i z a t i o n s b i t ，1 9 9 1 ，3 1 ：3 5 8 3 6 3 1 7 b j o r c ka n u m e r i c a l m e t h o d sf o rt h el e a s t s q u a r e sp r o b l e m s p h il a d e l p h i a ：s i a m ，1 9 9 6 1 8 l d a t t aa n ds m o r g e r a 。o nt h er e d u c i b i li t yo fc e n t r o s y m m e t r i c m a t r i c e s a p p l i c a t i o n si ne n g i n e e r i n gp r o b l e m s ，c i r c u i t ss y s t e m ss i g n a l p r o c e s s 。8 ( 1 9