（应用数学专业论文）一类捕食被捕食系统的鞍结点分支.pdf

摘要 当今，人类改造自然的能力大大加强，但是由于过度使用自然资 源，导致一些物种濒临灭绝甚至已经灭绝，这严重破坏了生态平衡 基于这一现实背景，本文讨论了一类捕食种群和被捕食种群都有密度 制约和h o l l i n g i i 型功能性反应的捕食- 被捕食系统证明了系统存 在鞍结点分支根据问题的实际意义，我们主要感兴趣的是系统在第 一象限内的动力学行为在第一象限，本文得出随着参数的变化，系 统奇点个数的变化及其稳定性；讨论了系统经过初始函数的解的有界 性；结合系统的相图，讨论了该模型的生态学意义；最后得出当种群 初始规模不同时，系统会达到不同的平衡位置 关键词：h o l l i n gi i 型功能性反应；鞍结点分支；捕食被捕食模型 a b s t r a c t i nt h ew o r l do f t o d a y , o u ra b i l i t yo fc h a n g i n gt h e n a t u r ei s g r e a t l y h e i g h t e n e d b e c a u s e o fo v e r - e x p l o i t a t i o n ，s o m e s p e c i e s a r ec l o s et o e x t i n c t i o no ra l r e a d ye x t i n c t w ed e s t r o yt h ee c o l o g i c a lb a l a n c es e r i o u s l y r e c o g n i z e t h er e a l i t y , i nt h i sp a p e r , w ei n v e s t i g a t eam a t h e m a t i c a lm o d e l o fap r e d a t o r - p r e ys y s t e mi nw h i c hb o t hp r e d a t o ra n dp r e yh a v et h e i r r e s p e c t i v ec a r r yc a p a c i t i e sa n d h a v eaf u n c t i o n a lr e s p o n s eo f h o l l i n gt y p e i i t h ee x i s t e n c eo fs a d d l e n o d eb i f u r c a t i o ni sv e r i f i e d c o n s i d e rt h e a c t u a lm e a n i n go ft h es y s t e m ，w ea r em a i n l yi n t e r e s t e di nt h ed y n a m i c a l b e h a v i o u ro ft h es y s t e mi nt h ef i r s tq u a d r a n t i nt h ef i r s tq u a d r a n t ，t h e c h a n g e o fn u m b e ra n ds t a b i l i t yo fe q u i l i b r i u mp o i n t sa r eg i v e n t h e b o u n d e d n e s so ft h e s y s t e m w i t h g i v e n i n i t i a lc o n d i t i o ni ss t u d i e d c o m b i n g t h ep h a s e p o r t r a i t s ，w ed i s c u s st h eb i o l o g i c a ls i g n i f i c a n c e o ft h e m o d e l a tl a s t ，w ef i n dt h a tt h es y s t e mm a yh a v ed i f f e r e n te q u i l i b r i u m s t a t ew h e nt h ei n i t i a ls c a l ei sd i f i e r e n t k e yw o r d s ：h o l l i n gt y p e i if u n c t i o n a l r e s p o n s e ；s a d d l e n o d e b i f u r c a t i o n ；p r e d a t o r - p r e ys y s t e m 昆明理工大学学位论文原创性声明 y6 6 9 2 97 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做 出重要贡献的个人和集体，均已在论文中作了明确的说明并表示了谢 意。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期： 关于论文使用授权的说明 本人完全了解昆明理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文。 ( 保密论文在解密后应遵守) 导师签名：主奎i 孥文作者签名：二丞盟 日 期：丝；生丝目丛j 日 侈书月 苗亍恕 和奶 昆明理工大学顶士学位论文 第一节引言 1 1 种群动力学的发展简史 种群动力学是用动力学的方法对种群生态学进行研究它有很长的发展历史， 早在1 6 世纪，我国明朝的徐光启就曾用数学的方法估算过人口的增长，提出人 口大概每3 0 年增加一倍，这是把数学用于种群生态学的最早实例 t 1 1 6 6 2 年， 英国的j g r a u n t 研究了伦敦的出生率和死亡率，计算后认为伦敦的人口大概每 6 4 年将增加一倍1 2 1 7 9 8 年，英国的m a l t h u s 提出了著名的人口按几何级数增 长的理论 3 1 不少地区，例如瑞典1 7 8 0 年到1 9 8 0 年的人口统计数据就与 m a l t h u s 的结论相当吻合按照m a l t h u s 的理论，随时间的增加，人口将无限制 的增长，这显然不符合实际，因而他的人口公式只是在一定范围内是正确的他 没有考虑到有限的资源对种群规模的制约作用，或者说种群密度对种群规模的 增长有制约作用，也称密度制约【4 】考虑密度制约因素，1 8 3 8 年，p f v e r h u l s t 提出了l o g i s t i c 方程【”经典的l o g i s t i c 方程为 譬；腻( 1 一喜) ( 1 1 1 ) a ta 其中， 0 为种群的平均出生率与死亡率的差，称为种群的内禀增长率k 0 反 应了某资源可容纳此种群个体的最大数量，称环境韵容纳量对该模型进行分 析可知它有一个全局稳定的平衡态x = k 如图1 1 1 左图为当r = 1 ，k = 1 的 情况，容易看出不论种群规 模开始如何，最终将慢慢达 到饱和，进入平衡状态x = k 卜一一一 o s f = 7 一 昆明理工大学硕士学位论文 尽管种群动力学有较长的发展历史，但是早期的工作比较零碎直到1 9 2 6 年，意大利数学家v v o l t e r r a 发表了解释f i n m e 港二战时期鱼群变化规律的论 文，使数学生态学的发展一度达到高潮 种群动力学分单种群模型、两种群相互作用模型和多种群相互作用的模型 单种群模型如形式很简单的虫口模型x 。= 触。( 1 一x 。) ，( n = o ，l 一2 ) 就会表现 出很复杂的动力学行为，出现倍周期分支和混沌f 7 】_ 【“ 两种群相互作用的模型中，最早是由v o l t e r r a 给出的下面的捕食被捕食模 型 陋：烈一b x y 尘( 1 1 2 ) i 譬：c x y 一咖 l 口f 其中，x 表示被捕食种群的数量，y 表示捕食种群的数量a 为一正的常数，即被 捕食种群的内禀增长率，单位时间内每个捕食者对被捕食者的吞食量与被捕食 者的种群规模成正比，比例系数为常数b ，c 为b 与捕食者对食物的转化效率的 乘积，d 为捕食者的死亡率 从生态学意义上看，对给定的初始种群规模，假设随时间的增加，捕食种群 规模和被捕食种群规模都将增加i 到达一定时闯，由于捕食者数量过多，被捕 食种群数量开始下降；一段时间后，由于食物数量不足，将引起捕食种群规模 下降；当捕食种群数量减少到一定程度，将会有较多的被捕食者逃脱并得以繁 殖，重新使被捕食种群规模增加捕食种群和被捕食种群就是这样互相制约而又 周而复始地循环下去1 9 1 对该模型进行定性分析可知它有两个平衡点o ( 0 ，0 ) 和 p ( d c ，口，6 ) ，其中d ( o ，o ) 为鞍点，p ，旱) 为中心，在点p 的外围有连续的首 ou 次积分因而p 点外围有一系列闭轨环绕，如图1 1 2 左图是a ，b ，c ，d 均为1 的情 况下系统的相图它很好的描述 了捕食种群和被捕食种群循环 震荡的情况 2 昆明理工大学硕士学位论文 上述模型没有考虑种群的密厦制约因素，如考虑密度制约，在没有其他种 群干扰时，种群的增长适合l o g i s t i c 方程即在上述两个方程中分别加上与种群 规模成正比的密度制约项，此时两种群相互作用的l o t k a - v o l t e r r a 模型的一般形 式为 鲁列+ b t x + c t y ) 睁灭a 2 + b 2 x + c 2 y ) ( 1 ) 该模型按生态意义可分为三类：捕食与被捕食，竞争，互惠捕食被捕食 模型中，若c 0 ，则x 为被捕食者，y 为捕食者a 2s 0 表示捕食者仅 以x 为生：口： 0 表示除x 外，y 还有其他的食物来源 在种群动力学中，捕食被捕食系统是研究的主要内容之一对捕食被捕食 模型，考虑捕食者的捕食能力和消化饱和因素，h o l l i n g 在实验的基础上对不同 类型的种群给出三种功能性反映函数1 ”，第1 类为伊( x ) ：皇x ( o 蔓x 口) ，它适 用于藻类、细胞等低等生物：第u 类为妒( x ) = 等，它适用于无脊椎动物：第 lj - 一y i i i 类为伊( x ) = 南，它适用于脊椎动物于是，捕食种群具有密度制约和具有 l + 职。 h o l l i n g 型功能性反映捕食- 被捕食系统一般形式为 去刮1 一争州x ) 尘：一d y + y t p ( x ) d t ( 1 1 4 a ) ( 1 1 4 b ) 对该类具有h o l l i n gi 型和h o l l i n gi i 型功能性反映的捕食被捕食系统，已有很 多研究成果i n f 1 9 12 0 世纪5 0 年代，由于计算机的发展，激励了生物数学的发 展但是，直到近3 0 年，生物数学才得到蓬勃发展 昆明理工大学硕士学位论文 1 ，2 种群动力学研究现状 研究种群动力学对人们的生产生活有重要意义，它是我们保持生态平衡，生 物除害虫，资源开发与管理等的理论依据 对具有第1 类功能性反映的捕食一被捕食模型，对被捕食种群考虑到密度制 约项陈兰荪与井竹君1 对被捕食种群具有密度制约且具有第1 i 类功能性反映 的捕食一被捕食系统进行了定性分析，给出了存在唯一极限环的条件 但是，当同时考虑到两种群的密度制约因素时，由于奇点的增多和讨论的复 杂性，其定性理论至今尚未有很完整的结果对具有第1 i 类功能性反映且两种群 均有密度制约的下述系统 譬：x ( 口一e x ) 一旦 ( 1 2 1 a ) 出 、 1 + 嘶 、 考叫_ c - 盟l + w x ( 1 2 i b ) 人们借助计算机绘出了轨线的定性图，显示出在一定条件下系统存在两个极限环， 对其进行定性分析，可以证明在一定条件下系统至少存在两个极限环 种群动力学中，在研究种群随时间的变化规律时，主要讨论：1 ) 随时间的 推移，种群是持续生存还是走向灭绝? 2 ) 种群的规模是否有一个或多个平衡状 态? 3 ) 这种平衡状态是否稳定? 即受外界影响后能否回到最初的平衡状态? 4 ) 若平衡状态稳定，吸引域是什么? 我们首先要解决的问题是奇点的个数及其 变化情况，然后对它进一步进行定性分析 考虑到时间滞后对系统的影响，是具有时滞的种群模型将t 时亥4 种群规模的 平均增长率看成依赖于它前一时刻卜f 时的种群规模，就得到具有确定时滞的种 群模型；将f 时刻种群规模的平均增长率看成依赖于f 时刻以前整个历史时期，就 得到具有连续时滞的模型考虑到生物在不同生理阶段的生育力与死亡率的差 别，例如，只有成年的生物才能繁殖后代，幼小的生物死亡率较高等，就得到具有 生理阶段结构的模型对寿命长，世代重叠的物种，考虑到年龄因素，就得到有年龄 结构的模型【2 0 1 一 4 昆明理工大学硬士学位论文 第二节一类捕食一被捕食系统的鞍结点分支 本文讨论一类捕食种群和被捕食种群都有密度制约和h o l l i n gi i 型功能性反 映的捕食被捕食系统，并且捕食种群仅部分依赖被捕食种群，即捕食种群还有 其他的食物来源给出了它可能存在的奇点分支讨论了它在第一象限可能存在 的奇点个数及其稳定性。最后结合具体的例子，绘出了系统在各种情况下的相图 本文的第二节在全平面讨论奇点的个数和变化情况，以及可能出现的奇点分 支：讨论了系统的全局有界性：第三节在第一象限讨论了系统的奇点结合具体 的例子，用数学软件绘出了系统的相图，给出了系统的生态学解释 2 1 模型的初步处理 本文考虑一类部分依赖被捕食者的捕食- 被捕食系统( 2 1 1 ) 坐：h n 一三卜型 ( 2 1 1 a ) d t 、 k i + 口x 鲁吲一争怎 ( 2 e ) 它是捕食种群和被捕食种群均有密度制约和h o l l i n gi i 型功能性反映的模 型其中，x 表示被捕食种群的数量，y 表示捕食种群的数量，和5 分别表示被 捕食种群和捕食种群的内禀增长率，世和三表示它们的环境容量，口为捕食效 率，口为转化效率所有参数非负 容易得到，该系统在坐标轴上有奇点p o ( o ，o ) ，p l ( 足，o ) 和p a o ，工) ，其中 p o ( o ，o ) 是不稳定结点，只( k ，o ) 是鞍点，p 2 ( 0 ，三) 可能为鞍点，结点或鞍结 点 系统的奇点为捕食者等倾线和被捕食者等倾线的交点 掣如n 卜警x 2 ( 2 m ) + 羔 ( 2 1 3 ) 昆明理工大学硕士学位论文 被捕食者等倾线( 2 1 2 ) 是开1 2 向下的抛物线，捕食者等倾线( 2 1 3 ) 是 有渐进线x = - 1 a 。和y = l + z p s a 。的双曲线这两条等倾线可能交于三点， 两点，一点，也可能不相交 将式( 2 1 3 ) 带入式( 2 1 2 ) ，得 x 3 + d x 2 + n + f = 0( 2 1 4 ) 其中 d = - 上( 口。k 一2 ) ( 2 1 5 ) e=等(cttk-1)一兰(raz)srct r t g (2l6)i，口1 f = - 乓( 卜以) ( 2 1 7 ) ，口， 令 x 3 + d 譬2 + e r + f = 0( 2 1 - 8 ) 且 兄：d 2 e 2 4 e 3 4 d 3 f + 1 8 d e f 2 7 f 2( 2 1 9 ) 由三次方程根的判别知，当 0 时，方程有三个不相等实根：当a = 0 时，方 程有三个实根( 有重根) ；当z 0 ，则o ( o ，0 ) 是结点： 2 ) 若i 是奇数且甜， o 时，在 点、a l ，k - 2 ，工墨等丝) 的小邻域产生两个奇点，一个为鞍 z 口，斗 点，另一个为结点： 3 ) 当五 0 时，只附近有两个奇点，且鞍点个数等于结点个数即一个为鞍点，一 个为结点： 2 ) 当兄 0 时，系统在( x + ，y + ) 的小邻域产生两个奇点，一个为鞍点，另一个为 结点； 3 ) 当 0 时，p a x , y ) 附近有两个奇点，且鞍点个数等于结点个数即一个为 鞍点，一个为结点； 2 ) 当 0 时，奇点p a x , y ) 消失，附近没有奇点 2 3 奇点( 0 ，l ) 附近的分支问题 定理2 3 若e 0 ，则( x ，f ) = ( 0 ，0 ) 是系统的超临界分支点，奇点( 0 ，l ) 附近出 现超临界分支： 证明易知( 0 ，l ) 是系统的奇点，它附近的j a c o b i a n 行列式为 氐= ( 7 一0 。) 弦。， ) 2 i 成一s j 心3 ” 如果f = 0 ，即r = c t l ，则秩( a ) = 1 ，且迹( a ) 0 ，( 0 ，l ) 是一个非双曲奇点 做变换 d t = ( 1 + 口l x ) d r ，草= x ，歹= y l ( 2 3 2 ) 系统( 2 1 1 ) 化为下面的系统 堡d r 砷圳m 驴竿i 一万一警 2 ) 叫a ) 堕d r = 脚一痧+ 娜叫s ) z 一量歹一警劢 ( 2 3 3 b ) 昆明理工大学硕士学位论文 。匕：将系统( 2 1 1 ) 的奇点( o ，l ) 化为系统( 2 3 3 ) 的原点( o ，0 ) 系统( 2 3 3 ) 满足下面的 关系 夕：某妥 ( 2 3 4 ) 。 s ( 1 + 口l 芽) g ( 耻一南( + d e 2 幡 )( 2 3 5 ) 在# = 0 附近，将g ( x ) 展开成t a y l o r 级数的形式 丁；i ；= l - o r l i + o f l 2 膏2 一口- 3 舅3 + ( 2 3 6 ) g ( 膏) = 一r 丁2 t 1 【，虿+ ( e - - c r l f ) 譬2 + 】 ：一粤厨2 + ( 2 3 7 ) 足 、 由7 1 理知，当f = 0 且e 0 时，式( 2 3 7 ) 中z 2 项的系数不为o ，o ( 0 ，o ) 是系统 ( 2 3 3 ) 的鞍结点如果f 0 且f 0 ，则p ( 0 ，l ) 是鞍点，另一个为结点； 2 ) 若f 0 ，则p ( 0 ，工) 是结点，另一个为鞍点 定理2 4 若e = 0 ，则( x ，f ) = ( 0 ，0 ) 是系统的叉分支点，奇点( 0 ，l ) 附近出现叉 分支 证明若e = 0 而且f = 0 ，则 ，= 录蒜c x + 研= 。 亿。s ， 而x = 0 是方程 x 3 + d x 2 + e x + f = 0( 2 3 9 ) ( 勺- j t 根当f 0 ，f 0 ，则丑 0 ，i = 3 0 ( 0 ，l ) 是系统的鞍点，另外在o ( o ，l ) 附近有两个结 点： i i 如果f 0 ，则五 0 ，f _ 1 o ( o ，l ) 是系统的结点，它附近没有奇点 2 4 系统的有界性 詹巩) ( 2 4 1 ) 除y g ( 训) 、 其e e f ( 一( 1 一志鹏加羽一y + 志，有 0 i g 。 昆明理工大学硕士学位论文 y d 图2 4 3 x y d 图2 4 4 x 等倾线的位黄如图2 4 1 图2 4 3 所不返町辽( k ，0 ) 点作半仃十y 年田即且线， 与水平等倾线g ( x ，y ) = 。交于点p ( k ，+ i 者篙南) ，过尸作平行于x 轴的直线 交y 轴于点( 。，+ 羔) 由于 o ，所以在被捕食者等倾线，( z ，y ) = o 的上 方鱼d t o ，所以在捕食者等倾线g ( t 力= o 的上方，警 o 于是直线 “l 在x ：k 和直线y ：三+ l 望鸟上的穿过方向如图所示( 图2 4 1 一图2 4 3 ) 1 + 口五 若等倾线的位置如图2 4 4 所示这时过( k ，0 ) 点作平行于j ，轴的直线，过抛 物线最高点( 兰 ，等) 作平行于x 轴的直线两直线交于一点p 由于 2 则系统( 2 1 1 ) 在第一象限奇点情形为 1 ) 有唯一的奇点0 ，y ) ，为鞍结点： 2 ) ( x + ，y + ) 附近分支出两个奇点，且左边一个为鞍点，右边一个为稳定结点； 3 ) 系统没有奇点 证明f = 0 时，x = 0 为方程z 34 - d x 24 - + f = 0 ( 2 1 8 ) 的一个根，另外 两个根的位置需分别讨论 1 ) 当五= 。时，方程( 2 1 8 ) 有唯一的二重实根，托：= 鱼丢 ，相应的二重 n , 点n p ，( a , 弛k - 2 ，工竿朋她脚，所有渊眠所以等 0 该奇点在第一象限由定理2 1 ，b ( a i _ k - 2 ，l o q k + 2 ) 为系统的鞍结点由前 z 口斗 面有界性的证明，可得轨线的走向，如图( 3 。1 1 ) 。 2 ) 当l 兄 。时，h ：= 一罢附近出现两个根h 2 = 一i d 迎2 ，当z 充分小 时，有x 。 0 ，所以第一象限有两个初等奇点，一个为鞍点，另一个为结点，如图 ( 3 1 2 ) 昆明理工大学硕士学位论文 2 ) 当五 0 f ! f a l 0 ，则系统( 2 1 1 ) 在第一象限奇点情形为 1 ) 系统有唯一奇点，为稳定结点，如图( 3 1 6 ) ； 2 ) 奇点( x ，y ) 附近分支出两个奇点，此时系统有三个初等奇点在第一象限，中间 一个为鞍点，另两个为稳定结点，如图( 3 1 7 ) ： 3 ) 有一个鞍结点( x ，y ) 和一个初等奇点( 稳定结点) 如圈( 3 1 8 ) 和图 ( 3 1 9 ) 昆明理工大学硕士学位论文 0 图3 , 1 8 3 2 关于系统的极限环 x 0 圈3 1 9 x 系统的鞍结点分支不会产生极限环，当参数大范围变化时，我们有如下结论 定理3 3 当r s 时，系统在第一象限不存在极限环 证明对系统 砉叫，一争罴 等刮t 一争怎 设( x + ，_ y ) 为第一象限内的任一平衡点，它附近的线性化系数矩阵为 注意到y = 工+ j 石；亳， ( 1 4 1 ) ( 1 4 2 ) + 羔，n 。， 当， s 时，墨+ 挈不变号，由b e n d i x s 。n 判据，系统不存在极限环 嬲卯 1 8 | 一 生谨一垒上 。峦州k 百 户专等 “ 一“。新等 打一足 打一足 一 却 旦 呈 虿卜 望缸 吖 昆明理工大学硕士学位论文 3 3 系统的生态学解释 由前亟的分析，系统在第一象限内可能有三个、两个、一个奇点或没有奇 点 3 2 1 没有奇点在第一象限内的情形 l 。2 ，r - = 2 ，k 2 5 ，口2 1 , s 。1 ，口。= 5 6 时 系统的相图，此时f = 0 ，五 0 ，五 o 系统有四个 奇点( o ，o ) 为不稳定结点，( 5 ，o ) 为鞍点，( o ，2 ) 为鞍点，第一象限内有一个奇点第一象 限出发的所有轨线进入该奇点表示被捕 食种群和捕食种群将达到一个平衡状态 123456 图3 3 1 12345e 图3 3 2 可以求得结点坐标约为( 2 1 4 ，3 1 8 ) ，它是一个稳定结点 3 2 3 有两个奇点在第一象限内，一个为鞍点另一个为结点的情形 r = 3 ，k = 5 ，= 2 ，l = 5 ，其他参数取1 时。系统有一个奇点( 0 8 0 ，6 5 4 ) 为鞍点， 另一个( 3 5 0 ，7 1 9 ) 为稳定结点 1 9 昆明理工大学硕士学位论文 表示在捕食者和被捕食者的初始 规模位于鞍点分界线右侧时，捕食种群 和被捕食种群将达到平衡状态：位于左 侧时，将导致被捕食者灭绝，捕食者达 到没有被捕食种群时的环境最大容量 1 2 川， 骖考岁二二 鞋兰二夕 上：= = = = = 二二= 二二j 一 123456 3 2 4 有一个奇点在第一象限为鞍一结点的情况 图3 3 3 ，= 3 ，k = 5 ，口= 2 ，l = 6 4 6 ，其他参数为l 时，系统有一个奇点( 2 1 6 ，9 0 8 ) 为鞍结点 表示在捕食者和被捕食者的初始规 模位于鞍点分界线右侧时，捕食种 群和被捕食种群将达到平衡状态： 位于左侧时，将导致被捕食者灭绝， 捕食者达到没有被捕食种群时的 环境最大容量 。 图3 3 4 3 2 4 有两个奇点在第一象限，一个为鞍一结点另一个为鞍点或结点的情形 r = 4 ，k = 9 ，l = 2 5 ，= 3 , 5 5 时，系统有两个奇点一个为( 0 7 2 ，6 3 2 ) 是 鞍一结点，另一个为( 5 5 6 ，1 0 0 2 ) 是稳定结点，如图( 3 3 5 ) ，= 4 ，k = 9 ，上= 2 5 ，= 4 4 时，系统有两个奇点一个为( o 3 0 ，5 0 1 ) 是 结点，另一个为( 3 3 5 ，1 0 9 2 ) 是鞍一结点 昆明理工大学硕士学位论文 表示在捕食者和被捕食者的初始规模 位于鞍点分界线右侧时。捕食种群和 被捕食种群将达到一个平衡状态：位 于左侧时，捕食种群和被捕食种群将 达到另一个平衡状态 图3 3 5 3 2 6 有三个奇点在第一象限一个为鞍点另两个为结点的情形 表示在捕食者和被捕食者的初始规模位于鞍点分界线右俱! 对，摘食种群和被 捕食种群将达到一个平衡状态：位于左侧时，捕食种群和被捕食种群将达到另一 个平衡状态即当种群初始规模不同时，两种群会达到不同的平衡位置下图为参 数取相同的值时系统在不同位置的相图，可以看出系统有- z 个奇点，一个为 f 0 3 5 ，2 4 1 ) 是稳定结点，一个为( 0 7 5 ，2 7 6 ) 是鞍点，第三个为( 1 5 0 ，3 1 5 ) 是稳定结点 2 5 ， - | 。 一 7 0 翌q 3 40 五 o j0 4 图3 3 6 | 力| 1 7 夕z 图3 3 8 图3 3 7 昆明理工大学硕士学位论文 结论 本文对一类部分依赖被捕食种群的捕食被捕食系统进行了定性分析该系统 是捕食种群和被捕食种群都有密度制约和h o l l i n gi i 型功能性反映的系统 第二节首先对模型进行处理，找到系统依赖的参数d ，e ，f 和a 然后在平面 上证明了系统存在鞍结点分支讨论了系统在第一象限经过初始函数的解的有界 性 第三节首先讨论了系统在第一象限内奇点的个数及其稳定性进一步，简 单讨论了系统的极限环问题由于鞍结点分支只会分支出结构稳定的奇点，因而 参数小范围变化时，系统不会出现极限环；当参数作大范围变化时，给出了系统不 存在极限环的条件最后，结合系统的相图，我们分析了系统的生态学意义，指出 系统会出现两个平衡状态即当种群初始规模不同时，系统会达到不同的平衡位 置 昆明理工大学硕士学位论文 致谢 本文是在导师林怡平教授的悉心指导下完成的，林老师治学严谨，坚持精 益求精；对待学生言传身教，严格要求，注重基本思想、基本方法的培养和渗 透在读研的这三年时间里，耳濡目染，受益匪浅，这一切将成为我人生中的 宝贵财富。 感谢理学院的李继彬教授、张振良教授、靳明忠教授、房辉教授、李庶民 副教授在学习和生活上给予的指导和关心，特别感谢李庶民副教授提供的相关 书籍和软件，极大方便了我们的学习 感谢博士李雄雄、冯大河，同学孙成军、王玲娜、马俊梅、马忠军、徐昌 进、郭迎等生活上的帮助和学业上的有益探讨 最后，感谢我的父母和亲人，正是他们的鼓励和支持，我才能够安心学习 并顺利完成学业! 昆明理工大学顺士学位论文 参考文献 1 ：徐光启，农政全书( 卷四) 明朝 2 j g r a u n t ，n a t u r a la n dp o l l t i c a lo b s e r v a t i o n sm e n t i o n e d i na f 0 1 l o w i n gi n d e x a n d a d eu p o nt h e b i l l sb ym o r t a l i t yo f7 0 h n g r a u n tc i t i z e no fl o n d o n ( 1 6 6 2 ) 3 t r m a l t h u s ，a ne s s a y 0 1 1t h ep r i n c i p l eo fp o p u l a t i o na si t a f f e c t st h ef u l u r ei m p r o v e m e m to fs o c i e t y ，w i t hr e m a r k so nt h e s p e c u l a t i o n so fm g o d w i n ，m c o n d o r c o t ，a n do t h e rw r i t e r sj j o h n s o n ，l o n d o n ( 1 7 9 8 ) 4 马知恩， 嘲$ 生态学的数学建模与研究，舍肥，安徽教育出版社( 1 9 9 5 ) 。5 p f v e r h u ls t ，n ol i c cs u rl al o tq u el ap o p u l o t i o ns u i td o n s s o na c c r o s s e m e n t c o r r e s d o n d e n c e sm a t h e m a t i g u e se tp h y s i q u e s 6 vv o l t e r r a ，v a ti a z i o n ef l u t t u a z i n id e ln u m e r od i n d iv i d u ii n s p e c i ea n i m a l ic o n y l v c n t ib l e n a c c a dn a z i o n a l e l in c ej ( s e r6 ) 2 3 卜11 3 ( 1 9 2 6 ) 7 李继彬，陈兰荪，生命与数学，四川i 教育出版社( 1 9 8 6 ) 8 李继彬，混沌与m e l i n i k o v 方法，重庆大学出版社( 1 9 8 9 ) 9 周义仓、赫孝良，数学建模与研究，山东科技出版社( 1 9 9 9 ) 1 0 c s h o l l i n g t h ef u n c t i o n a lr e s p o n s eo fp r e d a t o rt op r e yd e n s i t y a n di t sr o lejnm jm ic r ya n dp o d u l o t i o f ti nt w os p e c i e so f t r i b o l i u m p h y s i c l z o o ! 2 7 ，1 7 72 3 8 ( 1 9 5 4 ) 1 1 陈兰荪、井竹君，捕食者一食饵相互作用中微分方程的极限环的存在性和 唯一性，科学通报，2 9 ，9 ，5 2 1 5 2 3 ( 1 9 8 4 ) 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 y i p i n gl i n ，x i a n w uz b e n ga n dz u j u nj i n gd y n a m i c a lb e h a v i o rf o r at b r e e d i m e n s i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t l o ni nc h e m i c a ls y s t e m j a e t am a t h e m a t i c a la p p l i c a n ts c i e n c e ，v 0 1 1 2 21 4 4 一1 5 4 ( 1 9 9 6 ) x l n y us o n g l a n s u nc h e n ( d t i m a lh a r v e s tl n ga n ds t a b i n t yf o ra t w o s p e c i e sc o m p e t i t i v es y s t e m w i t h s t a g e s t r u c t u r e b l a t h e m a t i c a lb i o s c i e n e e s1 7 0 1 7 3 1 8 6 ( 2 0 0 1 ) 陈兰荪，数学生态学的建模与研究方法，科学出版社，( 1 9 8 8 ) m u r r a y ，j d ，l e c t u r e so f fn o l i n e w d i f f e r e n t i a le q u a t i o nm o d e l lnb j o i o g y ，o x f o r d ，c l a r e n d o n ，1 9 9 7 江右霖，具有h o l l i n g 第类i i 功能性反映的捕食者一食饵系统的定性分析 应用数学与计算数学学报，v o ll ，n o 2 ，3 4 4 l ( 1 9 8 7 ) 1 7 井竹君，捕食一食饵动力系统的定性分析，应用数学学报 v o l1 2 ，n o 3 ，3 3 23 4 2 ( 1 9 8 9 ) 2 5 昆明理工大学硕士学位论文 e 1 8 戴国仁，k o l m o g o r o v 捕食者一食饵系统的定性分析，应用数学学报，v 0 1 8 ，n o 2 ，1 7 3 - 1 8 1 ( 1 9 8 5 ) 1 9 张平光、赵申琪，一类三次系统极限环的唯一性，高校应用数学学报a 辑，1 8 ( 1 ) 2 7 - 3 2 ( 2 0 0 3 ) 2 0 马永峰等，连续时滞对微生物连续培养过程中动态行为的影响，高校应用 数学学报a 辑，1 8 ( 1 ) 1 - 7 ( 2 0 0 3 ) 2 1 马知恩、李建全，一类含间隙分布时滞的种群增长模型的稳定性，生物数 学，v 0 1 6 ，n o 1 ，2 4 3 8 ( 1 9 9 1 ) 2 2 朱思铭，王寿松，动力系统稳定性理论及其在生物系统中的应用，全国生 物动力系统研讨会综合报告文集( 1 9 9 2 ) 2 3 阮炯，具时滞的生物数学模型的几个问题，全国生物动力系统研讨会综合 报告文 阮炯a s y m p t o t i cb e h a v i o u ro f ab i o l o g i c a lm o d e lw i t h d e l a y ，p r o c e e d i n g so ft h e1 9 集( 1 9 9 2 ) 2 4 k y o f oi n t e r n a t i o n a ls y m p o d i u mo n f d e w o r d es c i e n c ep r e s s ，3 1 8 - 3 2 6 ( 1 9 9 1 ) 2 5 唐云、王红，凝血动力系统中周期解的存在性，应用数学学报， v 0 1 2 5 ，n o 1 ，1 3 3 1 3 9 ( 2 0 0 2 ) 2 6 杨晓明，毒物对两食饵种群一捕食种群系统影响的数学模型生物数 学v 0 1 i ，8 1 8 7 ( 1 9 9 2 ) 2 7 戴国仁，食饵具有常收获率k o l m o g o r i v 系统，四川大学学报，2 6 ( 3 ) ，2 5 2 2 5 9 ( 1 9 8 9 ) 2 8 李小让，马知恩a ni m p r o v e dm o d e lo faa g e s t r u c t u r e dp o p u l a ti o n d y n a m i c s ，m a t h c o m p u t e ，m o d e l i n gv 0 1 2 0 ，n o 1 2 ，1 4 3 1 5 0 ( 1 9 9 4 )