（光学专业论文）复变量双曲余弦平方高斯光束的焦移和焦开关.pdf

中南大学硕士学位论文 摘要 光束聚焦特性一直是光学工作者关注的一个重要问题，在对光 束焦移的已有研究中发现，除了存在焦移现象外，轴上焦点会出现 突然的跃迁，称之为焦开关现象。焦开关的产生普遍认为与光的衍 射有关，是轴上同时存在的两个光强极大值点相互竞争的结果。焦 开关的存在使得光束聚焦问题更为复杂，却也提供了新的聚焦思路。 近年来，相关报道都集中于一些常见的较简单光束的研究，对更复 杂光束中聚焦特性的探讨还少，对于更复杂光束的焦开关现象也没 有相关报道。本文在对一种新型光束复变量双曲余弦平方一高斯 光束( e c h s g b ) 的聚焦特性研究中，发现轴上焦点的两次位置不同 的焦开关现象，得到了轴上光强分布公式，并在此基础上通过大量 数值方法作了详细讨论，得到了一些有意义的结论： 1 首先研究了e c h s g b 通过光阑透镜分离系统的焦开关现象。 从c o l l i n s 公式出发，利用门函数的复高斯函数展开法得到了轴上 光强分布公式。研究表明，此处存在焦开关现象，而且焦点跃变位 置随光束参数、光学系统参数及光束菲涅耳数的不同而变化。对光 阑无限大，即无光阑透镜系统，得到了焦开关产生的光束参数和截断 参数的临界条件。 2 对e c h s g b 通过无光阑透镜光学系统的轴上光强特性作进一 步分析，发现轴上焦点可以出现两次不同位置的跃变，称这种新现 象为双焦开关( d f s ) 现象。由c 0 1 1 i n s 公式出发得到了轴上光强分布 表达式，对其进行数值分析和模拟，讨论了d f s 现象产生和变化受 光束参数及光束菲涅耳数的影响。 3 余弦平方高斯光束( c s q g b ) 可看作是e c h s g b 的特例，由 c o l l i n s 公式得到其通过无光阑透镜系统后的聚焦光束光强分布公 式，并且利用空间二阶矩法得到了光束聚焦后的光束宽度及焦平面 位置表达式。在此基础上进行数值分析和讨论，研究了d f s 现象受 光束参数、光束菲涅耳数等因素的影响及焦平面的焦移现象。 关键词：聚焦特性，焦移，焦开关 中南大学硕士学位论文 a b s t r a c t f o c u s i n gp r o p e r t i e s o fk i n d so fb e a m sh a s a l w a y s b e e na n i m p o r t a n tp r o b l e mf o ro p t i c sr e s e a r c h e r s e x i s t i n gs t u d y i n ga b o u tf o c a l s h i f th a si n d i c a t et h a tt h a tt h ef o c a lp o i n to nt h ea x i sw i l lt a k eo na n e f f e c t i v ep e r m u t a t i o nb e s i d e st h ef o c a ls h i f t t h i sb n do fn o v e le f f e c ti s r e f e r r e dt oa sf o c a ls w i t c h g e n e r a l l y , t h ef o c a ls w i t c hc o n s i d e r e dt ob e c a u s e db yd i f f r a c t i o no fl i g h t ，i t st h er e s u l to ft h ec o m p e t i t i o no ft w o a x i a lm a x i m u mi n t e n s i t y f o c a ls w i t c hm a k eb e a mf o c u s i n gt ob em o r e c o m p l e x , b u ts u p p l yo f an e ww a yf o rf o c u s i n g i nr e s e n ty e a r s ，r e s e a r c h i nt h i sa r e ah a sf o c u s e do ns o m es i m p l ea n da c c u s t o m e db e a m s ，b u t t h e r ea r el i t t l ed i s c u s s i o n sa b o u ts o m em o r ec o m p l e xb e a m s ，a n dt h e m o r ea d v a n c e df o c a ls w i t c hh a sn o tb e e nr e p o r t e d d u r i n gt h er e s e a r c h o ff o c a lp r o p e r t i e so fan e wb e a m , e l e g a n tc o s h - s q u a r e dg a u s s i a n b e a m s ( e c h s g b ) ，i ti s f o u n dt h a tt w i c ef o c a ls w i t c he f f e c tw i l lt a k e p l a c ea td i f f e r e n tp o s i t i o no nt h ea x i s t h ef o r m u l ap r e d o m i n a t i n gt h e d i s t r i b u t i o no fa x i a li n t e n s i t yi sd e r i v e df i r s t ，a n db a s eo nl a r g eu m b e r s o fn u m e r i c a lc a l c u l a t i o n ，s o m ed e t a i l e dd i s c u s s i o na n da n a l y s i sa r e g i v e n t h em a i nr e s u l t sa c h i e v e di nt h i st h e s i sc a nb es u m m a r i z e da s f o l l o w s ： 1 t h ef o c a ls w i t c ho fe c h s g bi ns y s t e m sw i t ha p e r t u r ea n dl e n s s e p a r a t e di ss t u d i e df i r s t f r o mc o l l i n sf o r m u l a , a n du s i n gt h ee x p a n d e d f o r mo fc o m p l e xg a u s s i a nf u n c t i o nt op i c t u r e st h er e c t a n g l ef u n c t i o n , t h ee x p r e s s i o ns t a n d i n gf o rt h ed i s t r i b u t i o no fa x i a li n t e n s i t yi sd e r i v e d i ti si n d i c a t e dt h a tf o c a ls w i t c he x i s ti nt h i ss y s t e m , a n dt h ep o s i t i o no f e f f e c t i v ep e r m u t a t i o no ff o c a lp o i n tw i l lc h a n g ew i t hd i f f e r e n tb e a m s p a r a m e t e r s ，o p t i c a ls y s t e mp a r a m e t e r sa n df r e s n e ln u m b e r s f o rt h ec a s e o ft h el e n s s y s t e mw i t h o u ta p e r t u r e ，t h el i m i t i n gv a l u eo fb e a m p a r a m e t e r sa n dt r u n c a t i o np a r a m e t e ro ft h ee x i s t i n go ff o c a ls w i t c hi s g i v e n 2 t h ef o c u s i n gp r o p e r t i e so fe c h s g bt h r o u g ht h el e n so p t i c a l s y s t e mw i t h o u ta p e r t u r e i ss t u d i e d 。i ti sf o u n dt h a tt w i c ee f f e c t i v e p e r m u t a t i o no ff o c a lp o i n tw i l lt a k ep l a c e ，t h i sn e we f f e c t i sc a l l e d 中南大学硕七学位论文 a b s t r a c 丁 d o u b l ef o c a ls w i t c hh e r e t h ef o r m u l ap r e d o m i n a t i n gt h ed i s t r i b u t i o no f a x i a li n t e n s i t yi s g i v e n t h r o u g hd e t a i l e dn u m e r i c a ls i m u l a t i o na n d a n a l y z e t h ei n f l u e n c eo fb e a mp a r a m e t e r sa n df r e s n e ln u m b e ro nt h e o c c u r r e n c ea n dt r a n s f o r m a t i o no fd f sa r ed i s c u s s e d 3 c o s i n e s q u a r e dg a u s s i a nb e a m s ( c s q g b ) c a nb er e g a r da s a p a r t i c u l a rc a s eo fe c h s g b s t a r t i n gf r o mc o l l i n sf o r m u l a ，t h ea x i a l i r r a d i a n c ed i s t r i b u t i o no fc s q g b p a s s i n gt h r o u g hal e n sw i t h o u ta p e r t u r e i sd e r i v e d ；a n dt h ee x p r e s s i o n so fb e a mw i d t ho ff o c u s i n gb e a ma n dt h e p o s i t i o no ff o c a lp l a n ea r ed e r i v e du s i n gt h es e c o n d o r d e rm o m e n t d e f i n i t i o n t h ei n f l u e n c ef r o mb e a mp a r a m e t e r s ，f r e s n e ln u m b e re t c o n d f sa n dt h ef o c a ls h i f to f t h ef o c a lp l a n ei ss t u d i e d k e y w o r d s ：f o c u s i n gp r o p e r t i e s ，f o c a ls h i f t ，f o c a ls w i t c h i i i 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加已标注和致谢的 地方外，不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获 得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共同工作 的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者躲毛q 监塑，啡鲤 _ 月望日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论 文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其他手段保存学位论文； 学校可根据国家或湖南省有关部门的规定，送交学位论文。对以上规 定中的任何一项，本人表示同意，并愿意提供使用。 僦名：嫜盛摊名：域日期嘲年至月丑 中南大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 光学是一门古老而年轻的科学，千百年来，它的神秘与朝气始终令人向往并 为之奋斗，随着科学技术的进步和人类文明的发展，特别是1 9 6 0 年梅曼( m a i m a n ) 发明了世界上第一台红宝石激光器以后，激光技术的发展十分迅速，在工业、农 业、军事、交通、科研以至日常生活等几乎所有的国民经济领域中都已显示出其 优越性激光光学是以光束描述、传输变换和激光器光腔技术为主要研究对象的 光学分支，它研究各类激光通过成像、非成像、轴对称、非轴对称等各种光学系 统及各种均匀、非均匀、各向同性、各向异性等介质的传输变换规律，以及研究 光腔工程相关的光腔技术。激光的传输与变换研究是考察在各种介质和限制条件 下激光性质的变化规律的学科，是激光研究中基础而重要的学科在一些实际的 应用中，例如激光材料加工、微光学加工、惯性约束核聚交等，都要求光束功率 密度很高且束腰宽度很小，对光束聚焦是获得这些条件的简单而重要手段，因而 光束的聚焦特性成为强激光技术领域研究的重要课题 对光束聚焦特性的研究一般可以使用惠更斯一菲涅耳( h u y g e n s - f r e s n e l ) 衍 射积分原理，然而，1 9 7 0 年c o l l i n s 1 1 的开创性工作将复杂光学系统的衍射积分 与a b c d 矩阵元联系起来，建立了广义的惠更斯菲涅耳衍射积分原理，即所谓 的c o l l i n s 公式，该工作不仅使得矩阵光学的活力重新焕发，而且拓展了衍射积 分的应用范围这些方法在处理部分相干光和非高斯光束的传输问题中得到推广 使用，并取得成功。实践证明，一般情况下，在标量衍射理论和近轴近似条件下， 使用这些方法能够很好地描述光束通过各种光学系统的变换规律。利用c o l l i n s 公式可以方便地得到光束通过a b c d 光学系统后的光场分布函数，为实际工作 中激光技术的应用和光学器件的设计提供可靠的理论工具。目前，人们对许多光 束通过多类光学聚焦系统后的光强分布特性进行了较为详细的研究降1 1 】。 1 2 焦移现象研究现状 1 9 8 1 年w o l f 和u 在对单色汇聚球面波通过圆孔的衍射特性的研究中发现， 实际焦点于几何光学焦点并不重合，而是有一个向圆孔方向的偏移，由此提出了 焦移的概念f 1 甜3 1 ；接着，这种现象又在有光阑汇聚光学系统中发现，更一般地， 中南大学硕士学位论文第一章绪论 可以说光束通过任何衍射光学系统的聚焦，都会出现焦移现象。焦移概念的提出 是对经典几何光学理论的一次修正。 有关聚焦光束的焦移现象已有大量的相关工作，得到了一些为人熟知的结 论，主要讨论了焦移现象随光束参数、光学系统参数、光束入射距离及光束菲涅 耳数等因素的变换规律。光束参数的变化直接改变了光束的光场分布，光束自身 特性的改变自然会影响到其聚焦特性，使得不同的光束参数对应不同的焦移量。 光学系统参数重点讨论光阑孔径对焦移现象的影响，通常焦移量随光阑孔径的增 大而减小，光阑孔径达到足够大时焦移量趋于稳定。光束入射距离的不同决定了 焦移的符号，一般而言，光束从小于一倍焦距处入射时焦移为负，即实际焦点位 于几何焦点靠近透镜一侧；由一倍焦距处入射的光束，不存在焦移，实际焦点与 几何焦点重合；由大于一倍焦距处入射的光束焦移为正，即实际焦点位于几何焦 点远离透镜一侧。光束菲涅耳数决定光束的衍射能力，菲涅耳数越小光束衍射能 力越强，而衍射是焦移现象的内在原因之一，因而，焦移量往往随光束菲涅耳数 的增大而减小，当菲涅耳数足够大时，焦移对光束聚焦的影响可以或略不计 近年来，对焦移的研究不断深入，不仅在光束的选取上不断丰富( 1 例，而且 在光学系统的选择上也不断更新，例如光阑透镜、光阑透镜分离系统，球差透 镜、菲涅耳波片双焦系统、环形透镜等。光阑透镜系统是最一般的光学聚焦系统， 光阑截断参数对焦移的影响是其讨论的重点，与无光阑情形相比，对于光阑透镜， 即使在截断参数很大的情况下，也可能存在明显的焦移现象瞄捌，而且截断参数 越小焦移越大。光束通过光阑透镜分离系统的焦移可以位于几何焦点左侧或者 右侧，也可以与几何焦点重合，这决定于光阑与透镜间的分离距离大小田调对 高斯光束通过球差透镜聚焦而产生的焦移的研究表明嘲，当透镜为负球差时， 聚焦光场的最佳聚焦点相对于无球差时向透镜方向移动，即焦移增大，而且最佳 聚焦点的光强也比无球差时要大，当透镜球差为正球差时，最佳聚焦点向几何焦 点移动，即焦移减小；另外，当透镜的菲涅耳数。较大时，球差对聚焦光强的 影响较大，当n as1 时，球差对聚焦光场的影响可或略。菲涅耳波片可以看作是 由一系列同心的环形狭缝组成的衍射光栅，光束通过这样的衍射器件同样会出现 焦移和焦开关现象，焦移量不仅依赖于聚焦系统的菲涅耳数而且与入射光束的相 干度有关，对于固定菲涅耳波片和相干度确定的光束，焦移量随菲涅耳数的降低 而增加，当菲涅耳数取某一特值时，焦移发生焦点突变现象，即产生焦开关现象 l 郸5 】。刘等人对部分相干光被环形透镜聚焦而产生的焦移现象进行了研究1 3 6 1 ，结 果表明，焦移量依赖于透镜外半径的菲涅耳数、部分相干光的空间相干度和中心 遮拦比，相干度越低或菲涅耳数越小，焦移量越大。对光束的聚焦情形也由轴上 光强焦点的焦移即推广到了离轴聚焦光束的焦秽3 3 l 研究，因为光束聚焦后光强 2 中南大学硕士学位论文第一章绪论 最大值点不一定恰好位于轴上，所以一成不变的把轴上光强最大值点作为焦点去 讨论其焦移现象是不合理的。另外，也有文献对一些其他因素，如振幅分布，对 焦移现象的影响的报道【3 9 1 如今，关于光束聚焦中焦移现象的研究理论和方法已经基本趋于成熟，通常 用到的“和w o l t f l 2 ”】采用的方法( 简称l - w 法) ，即把由c o l l i n s 公式法得到的 光轴上光强最大值点作为焦点，然而，当会聚光束轴上光强为0 或很小时，这种 方法显然是不合理的；近来，g r e e n e 和h a l l 1 7 1 用环围功率法( 简称g - h 法) 研 究矢量贝塞尔一高斯光束的焦移，这种方法从能量的角度定义了焦点的位置，有 效地弥补了l - w 法的不足，吕和彭i 捌m l 】也将该方法成功应用于研究双曲正弦高 斯光束及厄米一高斯光束的焦移问题中，而且在实两；应用中该方法也方便适用； g h 法的不足之处在于其理论研究的严谨性上存在不足，因而由空间二阶矩法定 义的焦平面又被引入焦移问题的研究，它不以轴上光强最大值定义焦点，而是以 光束束腰定义为焦平面，考察实际焦面与几何焦面的位置差别，一些文献表明， 二阶矩定义的焦平面也会出现焦移现象 4 2 1 这些方法各有所长，合理选用即可 方便处理光束聚焦中的各种焦移现象，也有文献专门对它们的使用方法、范围及 优缺点进行比较和示例分析嘲，在使用这些方法时还应根据实际要求进行合理 选取，没有个严格的理论范围。一般认为，当轴上光强为0 或相对很小时l - w 法不适用，应当使用g - h 法或二阶矩法研究焦移现象；当轴上光强为最强，且 旁瓣较少时，应当用l - w 法计算焦移；当横向光强分布旁瓣较多，结构较为复 杂时，应当从实际应用目的出发选取计算焦移的方法，如是在精度要求很高的精 密聚焦条件下，应选取l - w 法，如果以追求远场功率( 能量) 集中度为应用目 的，则以g - h 法计算为好，虽然使用二阶矩法理论上更为严格，但实际应用中 采用g h 法更方便。 对于焦移现象的成因人们也进行了一些讨论，普遍认为是光束衍射效应的结 果，因为光束的衍射一定程度上改变了光束的几何传播路径，结果使得实际焦点 与凡何焦点并不完全重合。当光束菲涅耳数较大对，焦移现象对光束聚焦的影响 可以忽略不计。焦移现象指出聚焦光束的实际焦点与光学系统几何焦点并不总是 重合，而是存在一个移动，然而两者并不矛盾，几何光学是一种理想化的理论， 没有考虑光束的衍射效应；另一方面，光束的焦移现象也可以利用几何成像规律 和光束的衍射效应给出很好的解释，文献【删中指出光束通过透镜后轴上光强最 大值点位置是由衍射引起的入射光束相干区域的不断增加及透镜轴向变化的几 何放大倍率共同确定的。 3 中南大学硕士学位论文第一章绪论 1 3 焦开关现象研究现状 近年来，m a n u e lm a r t i n e z - c o r r a l 和v i c e n tc l i r a e n 5 】在对会聚球面波通过一 类特殊的称为轴向超分辨衍射屏( a x i a l l ys u p e r r e s o l v i n gd i f f r a c t i o ns c r e e n ) 的光 学系统的研究中发现，当系统菲涅耳数减小到一定程度时，焦点位置会出现一突 然的跃变，这种新现象称作焦开关。之后，l i 在用会聚球面波照明菲涅耳波带片 时也发现了焦开关现象。在更一般的光学系统中的焦开关现象，最近也有许多相 关报道：拉盖尔高斯光束( l a g u e r r e - g a u s s i a n03 ) b e a m s ) 通过光阑透镜分离 系统的焦移和焦开关嘲、平顶高斯光束被双焦透镜聚焦的焦开关m 、厄米高斯 光束的焦开关1 4 s , 4 9 、像散厄米高斯光束的焦开关【期、部分偏振高斯榭尔模型高斯 光束的焦开关【s 1 、聚焦贝塞尔高斯光束的焦开关嘲、余弦高斯光束被无光阑透 镜聚焦后的焦开关【5 3 】、厄米双曲正弦高斯光束的焦开关闭、多色高斯樾尔模型 高斯光束的焦移和焦开关【，5 】等。在这些文献中对焦开关现象的发生、变化及限 制条件等影响因素进行了较为详细的分析和讨论，所讨论光学系统也多种多样。 例如光阑透镜分离系统、双焦透镜、无光阑透镜系统、切趾光学系统i 捌等以 上研究表明，轴上光强存在两个光强极大值点的相互竞争，在光束入射距离发生 变化时，两极大值点光强值此消彼涨，当它们达到相同值时，即发生焦开关现象。 在焦开关现象的研究中，光束参数、光学系统参数、光束菲涅耳数等对焦开 关现象的影响通常是研究的重点，主要探讨焦开关现象产生的光束参数条件及光 学系统参数的临界值，一般都有当光束菲涅耳数较小时存在较明显的焦开关现 象此外，也有一些针对性的研究，例如截断参数踟、相位畸变m 】和相位倾斜 i 别等对焦开关现象的影响 焦开关现象的存在为光束的精密聚焦提出了新的要求，在实际激光的应用中 应控制焦开关现象的影响，同时，焦开关现象也为我们提供了焦点位置选则的新 思路，可以利用焦开关现象改变焦点位置，实现调焦目的焦开关现象的研究是 焦移现象研究的必然延伸，它们的研究方法基本相同，在广大光学工作者的努力 下，基本形成了完善的理论体系。但是，焦开关现象只是针对轴上光强焦点这样 的精密聚焦限制下的聚焦新特性研究，对于精度要求较低或以追求功率( 能量) 集中度为应用目标时，讨论焦开关效应显然有点画蛇添足，此时，我们可以采用 环围功率法或空间二阶矩法来研究光束的聚焦特性，但在光束菲涅耳数较小时。 同样要考虑光束焦平面的焦移影响嗍。当光束菲涅耳数很大或应用精度要求不 高时，焦移和焦开关现象的影响可以忽略，甚至可以使用几何光学的聚焦理论来 处理问题了。 4 中南大学硕士学位论文第一章绪论 1 4 本文构想 已有报道中，光束通过各种光学系统后轴上焦点只有固定在几何焦点发生的 仅有的一次跃变，即只有一次位置不变的焦开关现象，那么对于更复杂的合成光 束( 例如复变量双曲余弦平方- 高斯光束、余弦平方高斯光束等) ，它们的聚焦特 性会不会出现焦开关现象? 如果具有焦开关现象，是否会出现新的特性，聚焦光 束轴上光强是否会出现两个以上焦点，这些都是未曾探讨的问题 孔【6 1 】等人提出的新光束复变量双曲余弦平方高斯光束( e l e g a n t c o s h - s q u a r e d - g a u s s i a nb e a m s ，简称e c h s g b ) 可以看作是高斯光束和复变量双 曲余弦高斯光束的复合，该光束在参数的适当取值下有很好的平顶效果，而且对 于光束参数的特殊取值很容易将其转变为其它较简单光束。在对其通过无光阑透 镜光学系统后的聚焦特性研究中发现，轴上光强焦点存两次位置不同的跃变，并 将这一新的聚焦现象命名为双焦开关( d o u b l ef o c a ls w i t c h ，简称d f s ) 。余弦平方 高斯光束( c o s - s q u a r e d - c - a u s s i a nb e a m s ，简称c s q g b ) 作为e c h s g b 的特殊情形， 也可以看作是高斯光束和余弦高斯光束的复合光束，已有研究表明，高斯光束具 有焦移现象【1 3 , 2 0 1 ，并且余弦高斯光束也具有焦开关现象【5 3 l ，然而它们的复合光束 具有更复杂的聚焦特性，也具有d f s 现象 焦开关现象研究的是以轴上光强极大值点作为焦点的，然而，聚焦光束在观 察面上的光强分布并不一定都是轴上光强作为最大值的，如果我们将光束束腰定 义为实际焦平面所在位置，对于非精密聚焦的情形更为方便适用，从能量聚焦的 角度考虑也更为合理。所以可以考虑用空问二阶矩法对光束的焦平面进行研究， 通过与l - w 法得到的光束的焦开关现象结果进行对比分析 双焦开关的存在再次为光束的精密聚焦提出了新的要求，也说明了聚焦问题 潜在的复杂性研究表明，在对e c h s g b 和c s q g b 光束的聚焦工作中不但要考 虑焦移和焦开关的影响，而且要考虑d f s 效应的影响，d f s 现象增加了光束聚 焦的复杂性，同时也为焦点的选择提供了新的思路，可以利用d f s 改变焦点位 置实现调焦之目的。另外，在非精密聚焦的情况下可以利用空间二阶矩法定义的 焦平面。 在这样一些试探性的研究后，从理论模型建立和数值分析两个方面对 e c h s g b 光束的聚焦中出现的焦移、焦开关及新发现的双焦开关现象作了详细的 研究和讨论，得到了一些有意义的结论 中南大学硕士学位论文 第一章绪论 1 5 本文结构安排 本论文结构安排如下： 第一章为绪论，简要叙述了光束聚焦特性研究的发展现状及其研究意义。重 点介绍了国内外对聚焦现象中发现的新现象焦移和焦开关的研究现状。 第二章总结了光束聚焦特性的研究方法和技巧。首先回顾了光束传输研究中 常用的c o l l i n s 公式；接着具体介绍了光束聚焦特性研究中的三种重要方法，即 l i - w o l f 法、g r e e n e - h a l l 法( 环围功率法) 及空间二阶矩法：最后给出了硬边光 阑的复高斯函数展开法。 第三章研究了e c h s g b 通过光阑一透镜分离系统的焦开关现象。首先由 c o l l i n s 公式出发推导轴上光强分布公式，由此进行数值模拟和分析，对截断参 数、光束参数，相对入射距离及光束菲涅耳数等对焦开关现象的影响进行讨论， 并给出焦开关现象发生时光束参数的临界值 第四章主要研究e c h s g b 通过无光阑透镜系统的d f s 现象利用c o l l i n s 公 式推导轴上光强分布公式，通过数值分析方法，给出d f s 现象随光束参数、相 对入射距离及光束菲涅耳数等因素的变化规律，最后讨论d f s 现象发生的光束 参数的临界值。 第五章将用l i - w o l f 法研究的c s q g b 通过无光阑透镜后的d f s 现象及用空 间二阶矩法研究的该光束焦平面的焦移现象进行对比研究，考察光束参数及光束 菲涅耳数对两种现象的影响，明确两种方法的优缺点 第六章对全文进行总结与展望。总结了本文得到的主要研究结果，提出了今 后在此基础上进一步的研究方向，而且对本文的理论成果在实际中的应用提出了 几点设想。 6 中南大学硕士学位论文第二章光束聚焦特性的研究方法和技巧 2 1 引言 第二章光束聚焦特性的研究方法和技巧 把聚焦光束的光斑尺寸作为衡量光束质量的标准是一种较为直观且简便的 方法，一般而言，光束焦斑的大小除与本身的特性有关外，还与所用聚焦光学系 统的特性有关。精确确定光束束腰位置也是激光传输研究的重要内容，然而，纷 繁复杂的光束单是在束宽的定义上就存在差异在空域中，光束宽度的常用的几 种定义有：1 一定义、1 p 2 定义、8 6 5 环围功率( 能量) 、熵束宽、高斯束宽及 空间二阶矩法定义 6 2 1 等。其中，以束宽的二阶矩定义在理论上最为严谨，只是 存在对某些光束在使用中有不收敛以及实验测量误差较大等问题，因而在实际应 用中又以8 6 5 环围功率测量束宽较为准确和方便然而，在精密聚焦条件下束 宽的定义也许还不能满足聚焦精度，这时通常将轴上光强最大值定义为会聚光束 的焦点。 讨论光束通过一些聚焦光学系统的光强分布常用的理论方法有惠更斯菲涅 耳衍射积分原( h u y g e n s - f r e s n e lp r m c i p l e ) 或德拜积分表达式( d e b y ei n t e g r a l r e p r e s e n t a t i o n ) 。在激光束出现以前人们认为这些方法的结果实质上是一致的，而 在对激光聚焦的理论描述中却存在差异，s t a n m e r s 和s p j e l k a v i k 旧，6 町发现某些情 况下用基尔霍夫理论和德拜积分得出的结果存在差异一聚焦场的光强分布关 于焦平面分布是非对称的，这种非对称性表现为光强极大值点位置的移动。研究 发现。当光束通过一个会聚透镜的聚焦后，轴上光强极大值点与几何焦点并不重 合，而是有一个移动，即焦移现象c , o u b a u f 6 5 1 、v a nn i e h j 硐和k o g e l n i k 6 7 1 通 过分析研究发现高斯光束通过透镜聚焦后实际焦点比几何焦点更靠近透镜。之 后，h o l m d 6 8 1 、s h u n n e s 和s p j e l k a v i l 【6 3 , 删发现会聚光束如果是受光阑限制的高 斯光束或是通过圆形光阑的单色光也存在类似现象。w o l f 和“认为这是存在于 会聚相干光束聚焦中的一种普遍的焦移现象。近年来，有关光束的焦移现象有许 多文献报道，焦开关现象就是在这样的条件下提出的，研究发现，一些光束通过 一些简单的光学系统( 光阑透镜分离系统、无光阑透镜系统及菲涅耳波带片等) 时，在入射距离增大的过程中焦点的位置出现一突然的跃变，称之为焦开关现象。 焦开关和焦移的研究方法基本一致。常用的研究方法和技巧包括：广义菲涅耳积 分或柯林斯( c o l l i n s ) 公式、l i - w o l f 法、g r c e n o - h a l l 法或环围功率法、空间二 阶矩法及光阑复高斯函数展开的技巧等。 7 中南大学硕士学位论文第二章光束聚焦特性的研究方法和技巧 2 2 柯林斯( c o i ji n s ) 公式 1 9 7 0 年c o l l i n s 在“l e n s - s y s t e m sd i f f r a c t i o ni n t e g r a lw r i t t e ni nt e r m s o f 帕t r i co p t i c s ”( 用矩阵光学表示的透镜系统的衍射积分) 中提出了将复杂光 学系统的衍射积分与a b c d 矩阵元联系起来，极大的增强了矩阵光学的活力，对 经典衍射理论的进一步发展和应用范围的拓宽具有重要意义 c o l l i n s 证明，惠更斯一菲涅耳衍射积分公式在衍射面与观察面间可以用变 换矩阵p 丑1 表征的复杂光学系统，惠更斯一菲涅耳衍射积分公式可以推广为 l c d j 讹力十去) 出) 肛k , y o ) 叫篆2 + 儿2 ) + d g z + y 2 ) 一2 “+ y a y o ( z _ 1 ) 式中l 表示沿轴上的光程 对于柱坐标系式( 2 1 ) 写为 e ( r ，力= 【一去) e x p ( f 舡) 脾优，吼) 叫i2 i k 口。j a r 。2 + 胁2 _ 2 r o t c o s ( d p 。一洲卜矾d ( 2 嘲 在旋转对称的情况下，有 e ( d = ( 一芸 唧( f 乜) 仁( r o k ( 警) 叫葛2 + 胁2 ：9 钒c z 埘 其中，j o 为零阶贝塞尔函数。 利用c o l l i n s 公式研究轴对称光学系统的空域衍射问题是非常方便的，然而 只对口0 时成立，对占= 0 的成像光学系统，要利用a b c d 矩阵元的关系式 adbc=1(2-4) 将公式作适当修改变化。对于无光阑或光阑衍射效应可以或略的成像系统 ( b - - 0 ) ，对应的公式为 如y ) = 三唧 _ 七+ 刍g 2 ) ) 磊( 莉 c 2 渤 这即著名的像传递原理。 综上可见，要求得光束通过光学系统的场分布函数，首先要求得光学系统的 a b c d 矩阵元，这就需要用到矩阵光学的相关知识。 中南大学硕士学位论文第二章光束聚焦特性的研究方法和技巧 2 3 光束聚焦特性的研究方法 目前，对光束聚焦现象的研究方法已比较成熟，常用的方法有l i - w o l f 法、 g r e e n - h a l l 法及空问二阶矩法等。以下将对它们作简要介绍。 2 3 1l i - i o i f ( l - l i ) 法 l i 和w o l f 在对会聚单色球面波以及受光阚限制的会聚高斯光束焦移现象的 研究中，提出了研究聚焦光束焦移的理论方法：首先从c o l l i n s 公式出发，推导 聚焦光束通过所研究光学系统后的光强分布表达式( 满足条件a 五， ，) 2 r 时，其衍射场可以忽略，在取大参数r 时，矩 阵法在菲涅耳区和夫琅和费区都能适用，但对r 较小时，矩阵法误差较大；光 束模拟展开法是将光束通过光阑后的场表示成一系列模式和的形式，再通过取第 一项模的近似将衍射光束近似为基模高斯光束，然后将第一项模式的系数最大化 而得到入射光束与出射光束的束腰位置与束宽这些参数所满足的关系方程【7 l 】， 这也是一种较为复杂的变换过程；利用傅立叶级数展开法虽然可以减小运算量， 但是如果选取有限项展开势必要降低其精度，而且只限于单光阑情形。能否找到 一种既能简化运算又能保证精度而且不受光阑数量限制的方法呢? w e n 和d i n g 中南大学硕士学位论文第二章光束聚焦特性的研究方法和技巧 等在文献 7 2 ，7 3 中给出了用有限项复高斯函数之和展开表示光阑透过率函数 的门函数的方法，这就为光束通过有限孔径的近轴a b c d 光阑光学系统传输的解 析求解提供了一条有效途径 图2 - 1 所示为光阑透镜系统，设位于入射参考面r p i 光束场分布为晶，o ) ， 由c o l l i n s 公式可知，观察面r p 2 上的场分布为 e k z ) = 一去唧( f 材) 嚣k ，o ) 叫芸k 2 + 砜2 2 确) b ( 2 - 1 6 ) 其中，五为波长，七为波数，为r p l 到r p 2 的距离，a 、b 和d 表示a b c d 光 学系统变换矩阵的元素。 针对( 2 1 6 ) 式的有限积分，引入门函数 q 詈) = 矗黝嚣 协m 可将( 2 1 7 ) 式展开为复高斯函数之和 q 詈 孛叫一譬) 倍 式中，为展开项数，当n 为有限项时，( 2 1 8 ) 中应为近似等于，值愈大近 似精度愈高；口和成为展开项系数，其数值需满足由复高斯i t i 数展开表示f - i i t i 数的误差之方差最小，即满足条件 壶r 蠹f 删( 力学l m , d 。- - i i 。- - 。- e t 。l r 口l ， ：) 1 2 出：o 俐一兰吒耐新忙啦3 洲q d ” # - ij 复常数吒和尾可由计算机优化得到，文献 7 2 给出了n = i o 的一组复参数 ( 见附录一表1 ) ，另外文献 7 4 】也给出了一组n = 1 6 的复参数( 见附录一表2 ) ， 由于后者精度更高，所以本文采用附录一表二中给出的参数进行计算。 将( 2 1 8 ) 式代人( 2 一1 6 ) 式可得 如舡一去蝴瑶如，o ) 叫一譬】x 一 l 堕2 b 2 + 砜2 2 就o l d x l ( 2 - 2 0 ) 这样，利用复高斯函数展开法将有限区间积分拓展到无限情形，( 2 2 0 ) 对 于大量光束在有光阑光学系统中的传输问题都可以利用积分公式得到解析结果， 这样就简化和规范了光强表达式，因而能在物理意义上给予更加明确、合理的解 中南大学硬士学位论文第二章光束聚焦特性的研究方法和技巧 释。事实证明，该方法对于多光阑情形也同样适用【7 5 弼，而且与直接积分结果 符合很好，这样就解决了之前提出的矛盾，同时节约了大量计算机时。 中南大学硕士学位论文第三章复变量双曲余弦平) y - 高斯光束的焦开关现象 第三章复变量双曲余弦平方一高斯光束的焦开关现象 3 1 复变量双曲余弦平方一高斯光束 c a s p e r s o n l 7 7 7 9 等人从h e l m h o l t z 方程出发，在较为一般情况下，得出了厄 米一正弦类一高斯( h e r m i t e - s i n u s o i d a l - g a u s s i a n ，h s g ) 解的存在，并在系统失调、 光束离轴和有像散，有增益( 或有损耗) 的折射率呈平方分布的介质等较为一般 的情况下推导了h s g 光束在无光阑情况下适用的传输变换公式h s g 光束在理论 上广泛代表了一大类光束，高斯光束、厄米高斯光束等都是其约化实例。h s g 的 提出也揭示了一些新光束，如双曲正( 余) 弦高斯光束 s e - s 2 、正( 余) 弦高斯光束 s 3 - s s ) 及其复变量形式光束1 s 6 - s s l 的存在，它们携带有限能量，为平方可积类光束 在实验方面也已提出了用正弦类高斯光阑和光腔产生h s g 光束的方法f 删 l s g 光束的各种特殊情形引起了广泛的研究兴趣，例如双曲正弦高斯光束、 正弦类高斯光束及其复变量形式等在光束参数选取适当的数值时，可以得到在许 多领域具有优势的平顶光强分布的光束。孔等提出的一种新的光束一复变量双 曲余弦平方一高斯光束( e c h s g b ) 就是类光束的特例，在z = o 平面上其场分布函数 为 ，、 如o ) = d 一与l c o s h 2 陋+ 泸纠 ( 3 一1 ) l o ， 其中，该是其基模高斯光束束腰宽度，口，卢是与复变量双曲余弦平方因子 有关的参数。光束可看作是高斯光束和复变量双曲余弦高斯光束的合成光束，即 可写为 ，、 如o ) = 寻d 一二l l + c o s h 【2 q + 泸m ( 3 2 ) k j 而且适当地选取一些参数可以得到平顶场强分布。此光束柬腰位置不在入射面， 而是光束参数的函数，其变化是非单调的【6 。 3 2e c h s g b 的焦开关现象 自l i 和w o l f 提出焦移的概念后，聚焦光束的焦移成为人们在研究光束聚焦 特性中关注的重要内容。近年的研究又发现，有些光束在通过含有衍射元件的光 学系统时除了存在焦移现象外，当系统菲涅尔数较小时还会出现焦开关现象。最 1 4 中南大学硕士学位论文 第三章复变量双曲余弦平方高斯光束的焦开关现象 近，对多种光束通过一些简单光学系统( 光阑一透镜分离系统，无光阑透镜及双 焦透镜等) 的焦开关现象作了一些研究【盯硼然而，已报导文献中焦开关发生时， 光束入射面都恰好位于透镜的前焦面上，未见有其他位置入射的焦开关现象研 究f b h s g b 可以看作是由高斯光束和复变量双曲余弦高斯光束合成，该光束在 一定情形下具有很好的平顶效果，平顶光束以其在惯性约束核聚变和激光材料加 工等领域的实际应用而广为关注，而且对该光束参数的特殊取值很容易推广到其 他光束。本文从c o l l i n s 公式出发导出了该光束通过光阑透镜分离系统后的轴 上光强分布公式，很容易推广到无光阑情形，接着利用数值分析方法对理论结果 进行了分析和验证研究发现：与已有报导不同的是，e c h s g b 在透镜前焦面入 射时只存在焦移现象，只有从更远距离入射时才出现焦开关现象；而且跃交点并 不是固定于透镜后焦面处，而是随光束参数和对应高斯光束的菲涅尔数不同而变 化 3 2 1 理论模型 光阑透镜分离光学系统如图3 _ l 所示，薄透镜l 的焦距为五方形光阑边 长为2 d , 入射面r p i 距l 的距离为j ，观察面r p 2 到后焦面距离：设在入射面 r p l 上平面上，