（凝聚态物理专业论文）dnls模型研究.pdf

摘要 本文首先讨论了玻色子的可导非线性s c h r s d i n g e r 模型( d n l s ) 的精确求解问 题，接着详细研究了自旋 粒子的量子d n l s 模型的可积性。首先由个l 一x 矩阵出 发导出了此模型( d n l s ) 的哈密顿量，从而构造了一个系统；接着找到丁由l a x 矩阵 所定义的m o n o d r o m y 矩阵所满足的y a n g - b a x t e r 方程( y b e ) ，利用m o r n , d ( ，m y 矩阵 对谱参数的展开可找出无穷多守恒量，从而证明了此模型的可积性；然后由y a n 昏 b a x t e r 方程给m o n o d r o m y 矩阵的各矩阵元之间所满足的代数关系，利用i ；e t h e a n s a t z 方法对哈密顿量进行对角化，可求出系统的本征植和本征矢量。利日我们所 得到的结果，还可以进一步研究它的一些热力学性质，如体系的自由能，磁化率及 比热等。 关键词：d n l s 模型，y a n g - b a x t e r 方程( y b e ) ，b e t h ea n s a t z 方法。 a b s t r a c t i n t h i sp a p e r ，f i r s tw es t u d yt h ee x a c ts o l u t i o no ft h ed e r i v a t i 、e1 1 0 n l i n e a r s c h r s d i n g e rm o d e lf o rb o s o up a r t i c l e s ，t h e ni n v e s t i g a t et h ei n t e g r a b i l i | j y ：j fd n 一s m o d e l f o x s p i n j 1p a r t i c l e s w i t ht h eh e l po f l a xo p e r a t o r lw ed e r i v et h eh a l l i l t o n i a n o ft h ef f i o d e l t h e n ，w ef i n dt h ey a n g b a x t e re q u a t i o ns a t i s f i e db yt h em o u o d r o m y l l l i t r i xd e f i n e dt h r o u g hl a xo p e r a t o r i n f i n i t ec o n s e r v e dq u a n t i t i e scanb eo b t a i n e d b ye x p a n d i n gt h er a o n o d r o m ym a t r i xr e p e c t i n gt ot h es p e c t r u mp a r a n l e t ( 1 t h u s ， t h ei n t e g r a b i l i t yo ft h es y s t e mi sp r o v e d w el i s tt h ec o m m u t a t i o nr e l a t i m 【sa m o n g t h ee l e m e n t so fs u c hm o n o d r o m ym a t r i xt h r o u g ht h ey a n g - b a x t e re q u a t i o l , i nt h e f r a m e w o r ko fb e t h ea n s a t zm e t h o d ，w ec a ns o l v et h ee i g e n v a l u e sa n dt h ee i g e n v e c t o r s k e y w o r d s ：d n l sm o d e l ，y a n g b a x t e re q u a t i o n ( y b e ) ，b e t h ea n s a t zm e t h o d 独创性声明 u o 口工 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均d 在论 文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者答名：赵秀枸 签字日期：占劫挥月雎i 第一章引言 可积系统的研究一直是世界范围内数学和理论物理科学领域中集中研究的热点 之一。可积模型是统计物理和低维场论中一类非常重要的模型，它可以看成是真实 物理体系的简化，这种简化使得原本非常复杂难以求解的物理体系的配分函数变得 简单而易于求解。模型可积性的证明主要有两种方法。一是根据著名的n o e t h m - 定理， 在一个力学系统中，一对相互对易的物理量对应于一个守恒量。原则上可i = 土任意选 取其中之一作为体系的哈密顿量。一般来说，如果我们能找到一个力学体系的无穷 多对相互对易的物理量，那么就有无穷多个守恒量与之对应，进而我们说这个体系是 可解的( 可积的) 。另一种方法是利用l a x p a i r 。l a x p a i r ( l ，m ) 是系统相空间【p 的两个 函数，它们满足d l d t = 【l ，m l ，其中【，】是李代数对易括号。l a x p a i r 在证明黍骁的可 积性中有十分重要的作用。通过它很容易构造体系的守恒流i ( l 】，要求甜( j 出= 0 。 对于一个经典的维n 粒子系统，l 锻i l 】证明，对于一些给定的相互作用势，可以找 到两个厄米n 矩阵l 和a ，这两个矩阵满足l a x 方程，d l d t = t 阻，l 1 ，# 且行列 式d e t l u 习是一个动力学常数。把该行列式按u 展开，可以找到n 个对合的运动 方程，于是系统是可积的。c a l o g e m 和断0 s e r 【2 1 证明了对应的量子系统也是宪全可积 的。 需要指出的是y a n g - b a x t e r 方程在精确可解模型中起着非常重要的作j 日，它保 证了体系的可积性。量子y a n g - b a x t e r 方程的建立起源于两个方面的研究一是一 维量子多体问题：二是统计力学中的二维精确可解问题。在对具有d 函数净相互作 用的一维量子多体问题韵研究中，量子y a n g - b a x t e r 方程是在1 9 6 7 年由协】- g f 3 1 作为 l ；恰条件首先发现的。随后在研究统计力学中的二维精确可解模型时，b “c e i 也独 赶地建立了称之为s t a r t r i a n g l e 关系。随着各方面研究成果的积累，人们发现了量 子y a n g b a x t e r 方程普遍存在于量子可积问题中，并起着核心的作用。本文我们就将 从l a x 算子出发，由其定义的m o n o d r o m y 矩阵满足y a n g - b a x t e r 方程，再找比无穷多 守恒量，来说明此模型的量子可积性。 求解精确可解模型的基本思想是：将求解系统的配分函数转化为对转移矩阵 第一章引言2 的求迹运算，然后解决该矩阵的对角化问题。在对角化过程中，采用的旗本方法 是b e t h ea n s a t z 方法和量子反散射方法( q u a n t u mi n v e r s es c a t t e r i n gm e t h o d ) 。量 子反散射方法( 代数b 酏h ea n s a t z 方：法) 作为研究可积模型的一种强有力的 具己被 成功应用到大量模型中。这种方法由f a d d e e v 和s k l y a n i n 【4 5 ，t h a c k e r ，w i i ；( i n s 0 i 和 c r e a m e r 6 ，h o n e r k a m p ，w e b e r j 和w i e s l e r 【7 】，g r o s s e 8 在1 9 7 8 1 9 8 0 ：年间各自独立地 提出。 许多文章利用此方法研究了非线性s c h r s d i n g e r 模型的一些情况：玻色_ f 二的非线 性s c l l i j d i l l g e r 模型( n l s ) 【6 】，自旋；粒子的非线性s c h 埔d i n g e r 模型( n 瞵) f 9 l ，以 及推广的超矩阵的非线性| s c h r s d i n g e r 模型1 1 0 l 。最近，m a l l i l c k 等研究了另。类非线 性s c h r s d i n g e r , 模型一玻色子的可导非线性s c h r 6 d i n g e r ；模型( d n l s ) f 1 1 【】2 】，对该 模型而言，相互作用依赖于粒子数，而本征值均可以用b e t h ea m 日t z 方：矧i 给出。本文 我们将研究这种模型( d n l s ) 的构造及求解。 第二章关于可积系统的背景知识 2 1l a x 算子 本节中我们将介绍一下l a x 算子。 考虑一个具有n 个粒子的系统，相空间为2 n 维( p ，q ) ，p = ( p l ，p 、r ) ，q = ( q 一，q n ) ，满足泊松括号： q k ，劬) = m ，肼 = 0 ， 啦，功) = 嘞( 2 1 ) v 汉h ( q ，p ) 为完全可积的哈密顿量，考虑哈密顿系统 警= 砚警= 饥日) ( 2 2 ) 在一些李代数g 上取值的系统的相空间上。我们可以定义两个函数( m ) ( l a x p a i r ) ，它们的变化方程可以写成如下形式： 警【州】，m 。 其中【，】是定义在李代数毋上的括号。由于l a ) ( p a i r 的存在，很容易证明打三 是动力学守恒量，即 墨她= 叫= ”一， 基本泊松括号可以表示为线型： 或二次型： 三t ( ”) ，l 2 ( v ) ) = 【t 1 2 ( 乱，可) ，l 1c u ) 】一| r 。l 扣，钍) ，l 。 ) 】，( 2 5 ) 二。( 乱) ，l 2 0 ) = l i ( u ) l 2 ( 口) r 而( 仳，钉) 一r 走( 牡，v ) l l ( u ) l 2 ( v ) + l 1c u ) s 是( u ，v ) l 2 ( v ) 一厶2 ) s _ 2 ( u ，口) 三l ) ，( 2 6 ) 3 ， ， 3 ， 4 心 犯 【 第二章关于可积系统的背景知识 4 其中 l l = 三o1 ，l 2 = lo 三，口1 2 = p 如l 尸 ，是交换算子，满足 p ( x q y l = y o z 若上述的线型或二次型_ p o i s s o n - l i e 括号存在，也即r 1 2 ( u ， ) ，8 1 2 ( “，u ) 毋 9 矩阵存 在，则动力学守恒量的泊松括号为零。 t r l ，打l ：) = 0 ，南，f = 1 ，一，( 2 7 ) 即不同的动力学守恒量之间是相互对易的。 2 2 量子可积系统概述 我们在这一节列出量子可积系统的一般理论框架。作为一个关键：亡具，l a x 算 子在量子情形扮演着十分重要的角色。在此情形下，l a x 算子的矩阵元为艟子力学 算符。为确保其可积性，此时的l a x 算子应当满足一定的限制条件，这就是知名的量 子y a n g - b a x t e r 方程( q y b e ) ： r 1 2 ( u v ) l u ( u ) l 2 d v ) = l 2 ( v ) l l d u ) r 1 2 ( u 一计) ，( 2 8 ) 这里1 ，2 代表辅助空间，而i 表示量子空间。只有满足这些限制，我们才能说这个 量子体系是可积的。因为这样一来，我们就有办法构造组包括哈密顿；虐在内的 守恒量。例如，若定义t ( 乱) 2 璺厶( 钍) 表示m o n o d r o n l y 矩阵，而五，瓦分别定义 为死= to1 以及死= 1 t 。则对于下列一般的量子y a n g - b a x t e r 关系： r 1 2 ( “一 ) 正( “) 正( ”) 一t 2 ( ) 霸扣) r 1 2 一 ) ，( 2 9 ) 两边对辅助空间取迹，容易得到 ( 2 1 0 ) 这里( u ) = 打( t ( 札) ) 为转移矩阵。我们看到，转移矩阵相对于不同的讲参数让是相 互对易的。也就是说，可以得到相应系统的一组独立的守恒量。这些守恒量( 定义 第二章关于可积系统的背景知识 为局) 一般可以通过以下的方式来生成 i n t i 让l = 自然地，我们有 玩，马】_ 0 5 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 第三章玻色子的d n l s 模型 经典情况下此模型的运动方程为【1 3 】 i 也+ 也。一4 磋( 妒妒) 妒。= 0 ( 3 1 ) 哈密顿量 ，十o 。 h = ( 一妒+ 妒。+ 2 i ( 妒+ 妒) 妒+ 讧) d x ( 3 2 ) j - - 0 0 p b 结构 砂( 工) ，妒( 可) ) = 咖4 ( z ) ，妒+ ) ) = 0 ， 妒( 茁) ，妒白) ) = - i s ( z 一) ( 3 3 ) 3 1 经典情况的可积性 定义l 麒算子 一( 缈 絮制然) ，慨a ， 通过l 比l a x 算子及在h 一。时的渐近形式，我们定义此模型在有限和无j 挞间隔情 况下的i u o l t o d r o m y 矩阵分别为 7 署( a ) = p e x p u ( z ， ) 如， ( 3 5 ) t ( a ) = l i me ( - - ；t 2 ，a ) p e x p u ( 。，a ) d x e ( x l ，a ) ，( 3 6 ) 2 i 一一 0 1 其中尸代表顺序积分，e ( z ，a ) = e 一 3 2 a ”。不难发现l a x 算子( 3 4 ) 满足关求 u ( x ，a ) = k u ( x ，a ) k 一1 ，c ，( 茁，一a ) = l u ( x ，a ) l 一1 ，( 3 7 ) 第三章玻色子的d n l s g 型 7 = ( ，法字) 一( 。1 廿一一矩 阵( 3 6 ) 具有如下对称性 丁( a ) + = k t ( a + ) ，( 3 8 ) t ( - i ) = l t ( a ) l ( 3 9 ) 由( 3 8 ) 式并且在a 是实参数情况下，t ( a ) 具有形式 丁= ( 裂翟 ，。， 由于l a x 算子( 3 4 ) 为无迹矩阵，因此c f e t t ( a ) = 1 ，即i 口( a ) 1 2 + 陋( a ) 1 2 = l 。另外， 由( 3 9 ) 式有。( 一a ) = 。( a ) j 6 ( 一a ) = 一6 ( a ) ，因此a o 范围内t ( a ) 包含厂所有散 射信息，所以下面我们只考虑a o 的情况。 展开 。 = 妻篱， 1 1 ) 发现g 。前几项为 r + ，+ g b = 一妒c d x ，c 1 = 4 i 妒+ 妒。d z ， ( 31 2 ) j 一j 一 c ；= 8 ( 妒+ 也。一2 话( 妒4 妒) 妒+ 也) 出( 3 1 3 ) 注意到此模型的哈密顿量( 3 2 ) 日= 一壶国。 利用( 3 3 ) 式有 u ，a ) 譬c ， ，弘) ) = r ( ，舢) ，矿扛，a ) i + i o 矿国，p ) j j 扛一) ，( 3 1 4 ) 这里 r ( a ，肛) = 一( f d j 0 3 + s c ( 盯+ o 盯一十盯一。盯+ ) ) ，( 3 1 5 ) 其中t 。= 郅a 。蔫- + 2 巧，s 。= 考。由( 3 1 4 ) 式可以得到 丁( a ) 譬t ( p ) ) = r + ( a ，p ) ? ( a ) o ? ( p ) 一t ( a ) ot ( 肛) r 一( 入，p ) ，( 3 1 6 ) 第三章玻色子的dls模型8 这里 r 士( a ，p ) = e 士1 ( 一l ，a ) e 士1 ( 一l ，p ) r ( a ，p ) e 千1 ( - l ，a ) o e 千1 ( - l ， ) = ( 矿0 3 0 巩+ s 呈盯+ 盯一+ s 辜盯一。盯+ ) ， 其中s 量= a - 2 i t a 2 d ( 2 p 2 ) 。将( 3 1 0 ) 式代入( 3 1 6 ) 式可得以下p b 关系 n ( a ) ，o ( 肛) ) = 0 ， 4 a ) ，( 曲 = 0 ， 州氓= ( 群) n ( 枇) 划啪2 6 ( a 2 - # 2 ) 6 ( 枷( 以 u 州讲= 一( 筹等) m 炒( 卅2 榭6 ( a 2 - p 2 ) 以批( ) 6 ( a ) ，扩( p ) ) = 一4 i 7 广a 2 占( a 2 一p 2 ) i o ( a ) 1 2 ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) ( 3 ，1 9 ) ( 3 2 0 ) ( 32 1 ) 由( 3 1 7 ) 和( 3 1 1 ) 式可知，对所有m 和n 有 g m ，g ) = 0 。说b ) i d n l s 模型 ( 3 1 ) 是经典可积的。 3 2 量子情况的代数b e t h ea n s a t z 方法 量子情况下，基本p b 关系( 3 3 ) 由场算子之间的对易关系取代 渺( z ) ，妒( 可) j = ( 石) ，舻( y ) 】= 0 ，眇( 。) ，妒( y ) 】= d ( z 一可) ( 3 ，2 2 ) 真空态定义为妒( z ) 0 = 0 。经典l a x 算子( 3 4 ) 的量子形式变为 一( f p ( x 圳) - z a ) 2 胆一9 愁) ， ( 3 2 3 ) 这里户( z ) = ( 。) 砂( z ) ，f ，9 为待定参数。那么，量子m o n o d r o m y 矩阵在有限和无限 问隔情况下的形式分别为 霉2 ( a ) = ：p e x p ( z ，a ) d x ：， ( 3 2 4 ) 第三章玻色子d n l s ：模型 9 丁( a 卜。，墼。e ( 一z 2 ，a ) 露2 ( a ) e ( z - ，入) ( 3 2 5 ) ( z ， ) + = 碱( 茁，a ) k - i , u j x ，一a ) = 三( 茁，a ) l 一1 ， ( 3 2 6 ) 哪，= ( 粼篇n c s 。， 可以找到这样的一个( 4 4 ) r ( ) 、，p ) 矩阵 r c a ，p ，= ( i ：2 ：暑；) ， 。2 8 ， 其中t ( a ，p ) = 矗；i 为，s ( a ，p ) = g i ! i 攀，q = e 一8 ，a 是未定的实参数t ，掌f = 一s i n q ，= c 型o s a 2 ，g = 端时，有 冗( a ，肛) 写2 ( a ) o 雹2 ( p ) = ? 署( p ) 髦2 ( a ) r ( a ，p ) ( 3 2 9 ) 成立，此即为有限间隔的量子y a n g b a x t e r 方程( q y b e ) ，而无限间隔情况一r 的q y b e 由 f 式给出 c ，c a ，肛，= ( ip+。；，肛，i；，glc a ，p ，= ( ip一。；，肛，i； c 3 3 - ， 第三章玻色子的d n l s 模型1 0 将r ( a ，p ) ( 3 2 8 ) ，c l ( a ，卢) ( 3 3 1 ) 和丁( a ) ( 3 2 7 ) 的具体形式代a q yj i ( 3 3 0 ) 式，比较两边矩阵元可以得到以下对易关系 ( a ) ，a ( p ) 】_ 0 a ( ) ，a ( p ) 】- 0 ( 3 3 2 ) ( 3 3 3 ) a ( ) b ( 卢) = 蜷b ( p ) a ( a ) = ! ! ! i ：；：j 兰；乒二b t ( p ) a ( a ) 一2 丌f a p d ( a 2 一p 2 ) b t ( a ) 4 ( p ) ，( 3 3 4 ) b ( 卢) a ( a ) = 鲻a ( a ) b ( p ) = 样舢) 跏) 一打脚m 。) 蛳) 砌) ( 3 3 5 ) b ( p ) b ( a ) = 丁n ，肛) b ( a ) b ( p ) 十4 丌 肛d ( a 2 一p 2 ) a + ( a ) a ( a ) ，( 3 3 6 ) 其中g = e - i a , 丁( a ，卢) = 【l + 艘簿一矸考稚岛硐 。 利用( 3 3 2 ) 式陋( a ) ，a ( p ) 】= 0 ，可知i n 4 ( a ) 的所有展开系数之间互扦| 对易，因 此此模型是量子可积的。由方程( 3 2 5 ) ，容易发现4 ( a ) 10 = 10 。利用此关系和 方程( 3 3 4 ) ，可得 a ( a ) ip l ，p 2 驴= 鱼( 粒篷) 恤肭，脚 ，( 3 3 7 ， 其中lp 1 ，助，p v 三b + ( p 1 ) b ( 灿2 ) b ( p ) 10 。但由方程( 30 7 ) 我们发 现相应于i na ( a ) 的不同展开系数的本征值一般来说都是复数。为得到实n ：j 本征值， 我们定义另一个算子a ( a ) 兰a ( a e 一警) ，并展开 o 。九 l n a ( a ) = 警 ( 33 8 ) r 巴0 。 由方程( 3 3 7 ) 和( 3 3 8 ) 容易发现c n 满足本征方程0 。ip l ，p 2 ，v ，= k 。i 1 ，p 2 ， ，这里托。的前几项为 n = a n ，尤l = 2 s i n a e # ；，= s i n 2 口一 = 1j = l ( 3 3 9 ) 第三章玻色子的d n l s 模型 相似于经典情形，量子d n l s 模型的哈密顿量为h = 一去c z 。对应于此哈j 曹顿量的 本征方程为 m - 一归 = ：佰( 挚) z ，脚 渔a 。， 至此，我们精确求解了玻色子的d n l s 模型。 第四章 自旋 粒子的量子d n l s 模型 此模型的运动方程为 嘶t 一哟。一2 吗心+ 2 i 9 乱；晓( 码嘶) = 0 这里，j = 3 一j ，j = 1 ，2 。 反对易关系为 讹( z ，t ) ，嘭( t t ) ) = & j s ( x 一曲， u i ( x ，t ) ，q ( t ) ) = 0 ，( i ，j = l ，2 ) 4 1 系统的构造 扛，柚= i ( ：基j 厶七童广； ( 4 1 ) ( 4 2 ) ( 4 3 ) 乱- ( z ) 、 u 。( z )l ，( 4 4 ) 一g p ( 。) 一e 其中n = u ；呦，户= u ，基本算子札= ( 芝) ，a 为谱参量， ，止和，是t 。定的参 数。有限间隔的m o t l o d r o n w 矩阵可为 罨2 ( a ) 一尸e x p 。( a ) 如： z 2 代表算子正规序，尸代表顺序积分。则矩阵( 4 5 ) 满足微分方程 杀碍( a ) = ：( x 2 , ) 霉。( 拼 为了简化计算，引入 雹2 ( a ) = ( 1 + v ( x 2 ，a ) ) e x p z ( x l ，x 2 ；a ) ( 1 + v ( x l ，a ) ) _ 1 ( 4 5 ) ( 4 6 ) ( 4 7 ) 第四章自旋 粒子的量子d l s 模型 z = ( 京1 毒。耋。) ，矿= i 删为 d r ( 酬+ ( 1 圳) ) 掣 = ：陋如x ) + “。d ( 。) 】( 1 + v ( x 2 ，a ) ) ： ( 4 9 ) 仁如( z ) + m 试( z ) 1 ( 1 + v ( 茁2 ，a ) ) = 1 + v ( x z ，a ) 】( 。) + u 甜( x ) v ( x z ，a ) 】 + e 厶缸) ，y ( z 2 ) 】+ 坷扛) 一v ( x 2 ，a ) “碰( z ) y ( z 2 ，a ) 所以方程( 4 6 ) 可分解为以下两式 坐：。+，tvr-vland”v：，d = ：“d 十l “d ，l 一：， x 2 。 孥：阮+ 碥d v a x 2 分别对应于对角和非对角部分。对上两式取分量， 警= ：) j s + 【( 阮) 打巧。一码。( 阮) 。】 ( 41 0 ) ( 4 1 1 ) ( 4 1 2 ) 有 2 3 d ) 3 女k 3 ：， ( 4 ，1 3 ) k = 1 警= ：) 3 3 + ( 。+ ) 3 2 瞄 腱开，( 孔a ) ：萎磐，代入( 4 1 3 ) 式，可得 六( 巧s ) n = ：i + i 乃乃萎c o 而1 ( k s ) 。+ i 。妻n = l 击( k 。伽+ t a 耋六( ，- 一i - 硒l - 【( k 。) n 嵋( k s ) e n + ( 嵋。) n 呓( 嗡) * 一n ： ( 4 1 4 ) ( 4 1 5 ) 踟 对 h 非和 对的、i乙 。脚。瞧赫。嘻鹕 ，一力 第四章自旋 粒子的量子d n l s 模型 f 是有( 3 ) 。的前几项 ( 屿3 ) l 一- - u j ， ( k 3 ) 2 = i 以哟十g p j u j ， ( k 3 ) 3 = 噶“j 一i f j u ；u j u j 。+ i g u ；u j z u j + 2 i g u ；u j 。 一t g u 嘉让弘j i g 眦；1 恤u j + t 上如。 由( 4 ，1 4 ) 式可得 警刊p 一扣耋转蜘“ 闰此 忍3 = 丑l + 面+ 鲁， o 。刀 其中 蜀一辽。出， z 。一二t 9 隆如， 互。= ：，i q ( k s ) 。d z j = l 。一“ ( 41 g ) ( 4 1 7 ) 这样就得到砭( a ) 的各分量的展开式，其中z 二l 项是正比于一维的体私：| | l 勺量，系 统变成无穷大时，它将变成无穷大。但在无限区间的m o n o d r o m y 矩阵的定义中，这 个无穷大的振荡因子被e ( 一l ，a ) 所抵消，因此丁( a ) 是一个消除了无穷振荡l u 子的算 j i 。这样可以获得丁( a ) 的各级展开，这里列出前几项： z 1 = 一i p ( x ) d x ， r + r + 汤= ：一豸嘶。如+ i 譬 吗钍j d ， = 1j 一 j = l j o 。 忍= ： i 嵋吻。+ i p j p j + g p j o ：。p j + 2 9 u ；u j 。蚓：如 第四章自旋 粒子的量子d l s 模型 1 5 若体系哈密顿量州= 一i 磊，从反对易关系( 4 2 ) ，( 4 3 ) 式和演化力程呐。= ，h ，很容易得出方程( 4 i ) 。至此，我们明显地构造了体系哈密顿量 o ，+ m = ：f 嘭呜。+ p j p j i p 乃良巧一2 i 9 谚吩。瑚：d x ( 4 1 8 ) i ；l 。一o 。 上述m o n o d r o m y 矩阵对谱参数的展开给出了系统的哈密顿量以及其它的几个 物理量，诸如粒子数 z - ，动量i 疗z 2 ( 精确到一个常数) 。可以证明如此构一3 的算子 如z t ，z 2 ，都与历可交换。这提示我们：系统是否还存在其它的守恒流? 对这样的一 个无穷自由度的系统而言，无穷多的守恒流将意味着系统是可解的。这将j 连我们本 文的重点。在下面的两节中，我们将详细证明系统存在无穷多彼此对易的：1 f 恒流。 4 2 有限间隔的量子y a n g - b a x t e r 方程( q y b e ) 首先，引入符号；，其运算规则为 ! x u u t y i = 0 x y u 矮中x 和，是m o n o d r o m 疵阵( 4 5 ) 的元素。可以证明( 见第五章) 两个mr m | i o l i i v 矩 阵的直积满足下面的微分方程 去( 霉2 ( 9 霉2 ) ) = i c ( 弼a ，p ) 霍2 ( a ) 譬写2 ( ， ( 4 1 9 ) 这里的c ( z 2 ；a ，肛) 为 c ( z ； ，p ) = ( 口，a ) i + i o ( z ，p ) + c ( z ；a ，p ) ，( 4 2 0 ) 第四章自旋 粒子的量子d n l s 模型 其中 c ( z ；a ，p ) 一爨p 10 oo - f l u 0 oo 0o o0 oo oo oo 引入一个矩阵 000 0o0 h g p l 00 000 0 0 一髓p 2 0 0 一，2 札l 000 ooo 000 r ( a ，肛) = 0 0 0 0 0 ，2 9 p 2 0 0 0 o o 一口札i o 0 一a u 一， 0 0 目2 ( 户1 一ip ? ) ( 4 2 1 ) 其中 = i ( a p ) ，a = l i ( a 一肛) ，= 1 + i ( a p ) ，容易验证当( ，a 1 中的3 个 待定参数取值为 = ，2 = 2 i ，9 = 一2 i 时r ( a ，矩阵( 4 2 1 ) 和c ( z ia ，。) ( 4 2 0 ) 满 足 n ( x ，p ) c ( z ；a ，p ) = c ( z ；p ，a ) r ( a ，p ) ( 42 2 ) 由方程( 4 1 9 ) 和( 4 2 2 ) ，发现d n l s 模型的m o n o d r o m y 矩阵( 4 5 ) 满足努子y a n g - b a x t e r 方程( q y b e ) 3 1 4 r ( a ，p ) 留( a ) 譬碍( 肛) 2 霉2 ( p ) 譬譬( a ) r ( a ，p ) ( 4 2 3 ) 崆 2 o o o o胁。o导；鸸。咖。伽戎 札 m t ， o l o o o 旧0 弘咖。量|。武 0 o o 0 0 o 0 0 ， 0 0 0 o 0 矗0 1 0 0 0 h o o 0 1 0 0 o o 0 o o l 0 h 0 o 0 o 0 血o o o o o o l 0 o 0 o o 0 o 1 0 o o h 0 o 0 l o 愚0 o 0 0 o n o 0 o 0 o o o o 第四章自旋 粒子的量子d l s 模型 4 3 无限间隔的量子m o n o d r o n l y 矩阵的交换关系及可积性 其中 由上面的定义 丁( a ) _ 。世8 ( 嘞，a ) 鬈2 ( 州z - ，a ) e c z ，a ，= e ； 彳z ， 彳= ( i ；主。) 为找出丁( ) 矩阵元之间的对易关系，我们必须消去振荡项a 为此，把( ，； ，p ) 矩 阵( 4 ，2 0 ) 分成两部分 c ( z ；a ，肛) = c o ( a ，芦) + 1 2 1 ( x ；a ，p ) ， ( 42 4 ) 其中 o ( a ，p ) = 舡mc ( z ；) 、，肛) i zj o 。 = ；( a + p ) ( e 1 1 + e 2 2 + e 4 4 + e 5 5 一e 9 9 ) + ；( a p ) ( e 3 3 + e 6 6 一e 7 7 一e 8 8 ) + 9 3 7 + e 6 8 c 1 ( z ；a ，肛) 是依赖场的部分，当z 一土。0 时，1 ( z ；a ，p ) 消失。 由方程( 4 2 2 ) 可得 兄( 入，p ) e ( 茁； ，肛) = e ( z ；卢，a ) 兄( a ，p ) ( 4 2 5 ) 这里，( z ；a ，芦) = e ：a ( 1r p 净。利用( 4 2 4 ) 式可以求出微分方程( 4 1 9 ) 的积分形式 删暇刮铲“椰，+ 小出2 叫川! l 枷俐、徽 匕式右边第二项当茁l ，z 。一士。o 时为零。因此，在这种极限情况下，蟹( a ) g 尝( p ) 一 ( z 2 一x l ；a ，p ) ，此即为振荡项。为去掉这个不想要的项，定义 w 7 ( a ，卢) = 】i m ( 一。2 ；a ，p ) 7 磊2 ( 大) o ? z 2 ( p ) e ( z l ；a ，p ) ( 4 2 7 ) z 1 b 第四章自旋5 粒子的量子d n l s 模型 由( 4 2 3 ) 和( 4 2 5 ) 式，可得( a ，p ) ( 4 2 7 ) 满足方程 r ( a ，u ) w ( a ，p ) = w 7 ( p ，a ) r ( a ，肛) ， 此方程代表在无限间隔极限下的q y b e 。 下面设法将( 4 2 8 ) 式表示成两个m o n o d r o m y 矩阵的直积形式。将w ( a 改写成 w 7 ( a ，p ) = l 珥( a ，p ) 丁( a ) o 丁( 卢) ：l ( a ，上) ， 这罩 1 8 ( 4 2 8 ) f 1 ( 4 2 7 ) ( 42 9 ) l 五( ，p ) = l i m ( 一z ；a ，p ) e ( z ；a ，p ) ， ( 4 3 0 ) c ( a ，p ) = l i r ae ( - z ；a ，p ) ( z ；a ，p ) ， ( 4 3 1 ) 其中e ( z ；a ，p ) = e ( 。，a ) e ( z ，p ) 。将e ( 。；a ，p ) 和( z ；a ，p ) 的具体形式代入( 1 3 0 ) ，( 43 1 式，并利用主值积分：l i r ap ( 譬) = 士i 而( 岛) ，可以得到 z _ 工【) 。、一， g i ( a ，p ) = q ( a ，卢) = l0 0 0 o 0 0 ol0 0 o 00 0 0l0 0 0 p + ( a ，肛) 0 0 010 o 0 0 0 0 ol00 0 0 0 0 010 0 o o 0 0 0 1 0 0 00 0 o 0 o 0 0 0 0 00 10 00 0 0 0 o1o o 0 00 0 010 0 0 p - ( a ，p ) o o 0l0 00 0 0 o 010 0 0 0 0 001 0 0 o0 o o 0 1 0 o o 0 0 00 o o 0o 0 0 0 o0 00 oo 00 00 p + ( a ，p ) 0 o0 l0 0l o0 00 00 00 00 p 一( a ，p ) 0 o0 l0 0l ( 4 3 2 ) ( 43 3 ) 第四章自旋 粒子的量子d j v i 麒型 1 9 这里，肚( a ，p ) = 土志一仃6 ( a p ) 。通过方程( 4 2 9 ) ，可将无限间曙隋况下 的q y b e ( 4 2 8 ) 重新写成 r ( ) 、，p ) g l ( a ，卢) 丁( a ) o 丁( p ) i 二t - ( a ，肛) 5 c f + ( p ， ) 丁( 卢) o 丁( a ) c f _ ( p ，a ) 片( a ，p ) 5 ( 4 3 4 ) 利用此方程，容易得出量子m o n o d r 0 h 难阵的矩阵元之间所有可能的对易关 系，并由其对易关系 a 3 3 ( a ) ，a 3 3 ( 肛) = o ，以及方程( 4 7 ) 可知，当。- 一一f _ ) 。，z 2 一 。时，v o ，z 3 3 = l n a 3 3 ；舞，因此对所有礼和m ， 磊，z 一= 0 。l 目此证明 n = 一1 此模型是量子可积的。类似于玻色子的情形，用b e t h ea n s a t z 方法即可精确求解。 第五章 公式的证明 利用扩展方法 1 5 ， 去( 鬈2 机( a ) 譬霉2 ( 埘 = ：( z 。+ ex a ) 强2 + 5 ( ) ：譬霭2 ( p ) + 臂机( a ) 譬：( z z ，p ) 譬2 ( p ) ： ( 5 1 ) 令上式第一项为a ，第二项为b ，则 a = ；a ( e l l + e 。+ e 3 3 ) 臂+ 6 ( a ) 譬露2 ( p ) 2 + d ( 方锄一g e 3 3 ) 仳她+ e ) 露2 如( a ) 嘶( z 。+ e ) 粤鬈2 ( 川 ，= 1 + i e j 。耄m ( a ) ( 。+ e ) 譬霉。( p ) + 匏巧“她+ e ) 霉2 牝( a ) 譬臂( p ) ( 5 2 ) 给矩阵露z 的费米子矩阵元前加一负号，构成的新矩降即为乇2 。称a 中的i l _ 4 项分别 为a l ，a 2 ，a 3 ，a 4 。以下同理称a 2 的第一项为a 2 l ，第二项为a 2 2 等。 化简a 2 a 。= z ( 厶一纳3 ) 嵋( z 。+ e ) 智+ 5 ( a ) 譬h ( + e ) ，写2 ( p 胜 ，= l 2 千i ( 撅一腑s ) 谚( z 。+ e ) 东2 + ( a ) 譬霉2 ( z 。+ e ) 】= l 2 = i ( 疗e 豇一蛳。) 鹋( z 。+ e ) 砑牝( a ) 兽b ( z z + e ) ，霉 = j = j 2 十i ( 乃锄一g e 3 3 ) 札她+ e ) 露2 + ( a ) 譬它2 ( 肛) ( z z + e ) - ( 5 3 ) 第五章公式的证明 2 1 涮里 a 3 = i e j 3 露2 如( a ) “j ( z 2 + e ) 譬琵2 ( p ) = i e ，。雹2 “( a ) 譬 嘶( z 。+ e ) ，笔2 ( p ) 士+ i e j s 露2 + ( a ) 譬雹宇( p ) 码( 。? + e ) ( 5 4 ) 容易看出 a l + a n + a 2 2 + a 3 2 2 戳( 。2 + e ，a ) 7 i z 2 + ( a ) 譬霭2 ( 小 ( 5 5 ) 今 “一= a 2 1 + a 3 1 = 锄一鳓。) q ( z z + e ) 鲁机( a ) 譬b ( z 。+ e ) ，写2 ( = + i e j 3 耄排( a ) 譬m z 2 + e ) ，臂( p ) ) ， ( 5 6 ) 因此 a = j ( 茁2 + e ，a ) 譬卅写抖( a ) 譬鬈2 ( p ) ；+ n ( 5 7 ) 同理可得 b = i i 譬( 。，p ) 】露2 + ( a ) 譬露2 ( p ) j + h ， ( 58 ) 这里 甄2 【写2 “( a ) ，呓( z z ) ) 士譬( 疗呦一g e 3 3 ) 蓖2 ( 肛) 嘶( z 。) + f 露2 + ( a ) ，呓( z z ) ) 士譬钯剐写2 ( 卢) 卜 ( 5 9 ) 所以 去( 写m ( a ) 譬写2 ( 删= ；( z 。+ “) 拿7 + 7 譬( p ) 】臂+ ( a ) 譬2 ( 硝 + 虬+ n ( 5 1 0 ) 若e 0 ， 札，( z 2 + e ) ，露2 ( 卢) ) 士= 0 ，n = 0 。考虑变换n ： 【写2 + 6 ( a ) ，呓( z z ) ) 士= i ：q 碍+ ( g ；a ) ，噶( z ) ) p b ：， ( 51 1 ) 第五章公式的证明 其中 f x 2 十e 瑶牝( g ；a ) = ：p e x p ( z ，a ) d x ( 。，a ) = q 一1 x ，a ) f 叮得 利用基本泊松关系 “。(z，)，呓(t)pbi文ja(x， ( z ，t ) ，嘶( t ) ) p b 一0 ，0 ，j = 1 ，2 ) ， ( 5 1 2 ) 7 署+ ( g ；a ) ，札；( 茁2 ) ，p b = 出霉m ( g ；a ) ( z ，a ) ，让；( z 2 ) ) p 日瞄( g ；a ) = 驴( g ja ) 猎忡。) ) p 矧) = 骘+ ( q ；a ) ( 1 j e j j g e 3 3 ) 呓( z 2 ) + 勺3 瑶( g ；a ) ( 5 1 3 ) 对上式取极限e 一0 ，并由( 5 1 1 ) 式可得 h i l l z i 水讹) i2 蚤枇2 e j j - - g e s a ) h - e j s 烈u 5 1 4 代入( 59 ) 式有 2 + l = - 钍；( z 。) ( 办e 一g e a a ) + i e j 3 露2 ( a ) 譬i ( 疗勺j g e a a )