（应用数学专业论文）一类反应扩散方程组的新的有限差分算法.pdf

摘要 本文讨论了以下非线性抛物型方程组初边值问题的两种新的差分算法； t t d l t k 。= a l ( 1 一t ) t 一片t 口 仇一d 2 t k = a 2 ( 1 一r ) v 一口壮钉 t ( 0 ，t ) = m l ，v ( o ，t ) = 0 u ( 1 ，t ) = 0 ，v ( 1 ，t ) = m 2 u ( 茁，0 ) = u o ( x ) ，秒( 寥，0 ) = t 胁( z ) 其中u ，口是关于$ ，t 的函数，0 z 1 ，t 0 这是个细菌繁殖密度和营养浓度 模型的非线性反应扩散方程组，它在生物学中有重要应用一个必要的假设是只存 在两种类型的细菌细胞的有条件传播的模型 以f i s h e r 方程为例，第一种差分算法是c r a n k - n i c o l s o n 格式的推广。不妨记作 t g c n 格式本文把t g c n 格式应用到方程组( 1 ) 与两层隐格式相比较，t g c n 格 式有较好的数值解精度，并且得到的系数矩阵是对角占优的三对角矩阵，给定初边 值条件，可直接利用追赶法求解 第二种差分算法是改进的预估- 校正格式，简称为g j p c 格式该方法是把拟 线性抛物型方程的预估校正格式( p c ) 推广到方程组( 1 ) ，然后对方程组的校正格 式的非线性项进行改进得到的一般来说，预估- 校正格式的工作量并不大。因为 无论是预估格式还是校正格式都是三对角的差分方程，在给定边界条件后可用追赶 法求解经数值实验表吮g j p c 格式比p c 格式在稳定性和计算精度上都有很好 的提高，尤其在稳定性方面，改进的预估校正格式放宽了稳定性条件，当时间步长 取值较大时，对应的p c 格式是不稳定的，但是g j p c 格式仍然是稳定的所以它不 失为一种好的差分方法 以上讨论的两种差分算法均具有实用性方法一构造比较简单，方法二的构造 具有一定的启发性，并且能得到较好的稳定性通过对方法二的构造可以得出，在 对非线性抛物型方程做差分算法时对非线性项的处理显得尤为重要 华东师范大学硕士学位论文 关键词反应- 扩散方程组；c r a n k n i c o l s o n 格式；预估- 校正格式；修正方程 华东师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h i sp a p e rd i s c u s s e dt w ok i n do f n e wd i f f e r e n c ea l g o r i t h m sf o rn o n - l i n e a rp a r a b o l i c e q u a t i o n si n i t i a l - b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sa sf o l l o w s ： “t d 1 让站= a i ( 1 一口) 一，c “口 仇一如饥。= a 2 ( 1 一口扣一a 伽 u ( o ，t ) ；m l ，v ( o ，t ) = 0 u ( 1 ，t ) = 0 ，v ( 1 ，t ) = 砌 u ( x ，0 ) = 伽( 茁) ， ( z ，0 ) = t ，0 ( 善) i ti sar e a c t i o n - d i f f u s i o nt y p em o d e lf o rt h ep r o p a g a t ed o n s 毋o f b a c t 舐a lc e l l sa n d t h ec o n c e n t r a t i o no f n u t r i e n t t h ee s s e n t i a la s s u m p t i o ni st h a tt h e me x i s tt w ot y p eb a c t e - r i a lc e l l s t a k e f i s h e r e q u a t i o n f o r e - x a m p l e , t h e f i r s t m e t h o d i s a m o d i f i c a t i o n o f c r a n k - n i c o l s o n s c h e m e , w h i c h i s d e n o t e d b y t g c n f o r s h o r t w e a p p l y t g c n s c h e m e t o r e a c t i o n - d i f f u s i o n e q u a t i o n sa n dc o m p a r et oc r a n k - n i c o l s o ns c h e m e , t h en u m e r i a lr e s u l to f t g c ns c h e m e h a sh i 砂e l p r e c i s i o n , a n dm a k ei t sc o e f f i c i e n tm a t r i xd i a g o n a l l yd o m a i n u n t s ot h ed i f f e r - o n c ee q u a t i o nc a nb es l o v e dd i r e c t l y t h es e c o n dm e t h o di st h ei m p r o v e m e n to f p r e d i c t o r - c o r r e c t o rs c h e m e ，a n dd e n o t e d b yc j p cf o rs h o r t t 蚯sm e t h o da p p l i e st h et r a d i t i o n a lp r e d i c t o r - c o r r c c t o r ( p c ) s c h e m eo f q u a s i l i n e a r p a r a b o l i c e q u a t i o n t o r e a c t i o n - d i f f u s i o n e q u a t i o n s , t h e n m o d i f i e s t h e n o n l i n e a r t e r mo f c o r r e c t o rs c h e m e g e n e r a h ys p e a k i n g ，t h ec o m p u t a t i o nc o s to f p cs c h e m ei sn o t h i g h p r e d i c t o ra n dc o r r e c t o rd i f f e r e n c ee q u a t i o n sa l et r i - d i a g o n a le q u a t i o n s w h e ng i v e n i n i t i a la n db o u n d a r yc o n d i t i o n s t h e y 啪b es o l v e db yc h a s i n gm e t h o d n u m e r i c a le x p e r - i m e n ti n d i c a t et h a tg j p cs c h e m eh a sag o o di m p r o v e m e n to ns t a b i l i t ya n dc o m p u t a t i o n p r e c i s i o n i nc o n c l u s i o n ，i ti sag o o dd i f f e r e n c em c t h n d t w ok i n do fd i f f e r e n c e sa l g o r i t h m sd i s c u s s e da b o v eh a v et h ep r a c t i c a b i l i t y t h e s e c o n dm e t h o de l i c i tu si ti sh n p o r t a n tt od e a lw i t hn o n l i n e a r “：mi nd o i n gd i f f e r e n c e s a l g o r i t h mo f n o n l i n e a rp a r a b o l i cs y s t e m 华东师范大学硕士学位论文 k e y w o r d s ：r e a c t i o n - d i f f u s i o n e q u a t i o n s ； s c h e m e ；m o d i f i e de q u a t i o n 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是在我导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除文中已经引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写 的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在本文中作了明确的 说明并表示谢意 作者签名 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留，使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论文 用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的 内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要出版保密的学位论 文在解密后适用本规定 学位论文作者签名导师签名：- = 幽 第一章引言 反应扩散方程( 组) 是非线性抛物型方程( 组) 的一类重要的模型，它描述了生 物学中物种数量的迁徙变化，人体或动物等复杂的组织的发育形成过程，人体生理 学中的种种现象以及许多有趣的化学反应，具有深刻的实际背景扩散是最普遍的 自然现象之一，例如在物理学、化学，生物学等领域中都存在大量的扩散现象涉 及到扩散现象的实际问题大多可以用反应扩散方程( 组) 来描述无论从数学理论还 是应用科学来看，对反应扩散方程的研究都具有重要的意义特别是近几十年来， 对这类方程的研究吸引了国内外众多的数学工作者，并取得了令人瞩目的进展，大 大丰富了偏微分方程的理论，促进了相关学科的发展 偏微分方程的数值解法在数值分析中占有重要的地位，很多科学技术问题的数 值计算大都涉及偏微分方程的数值解问题近三十多年来，偏微分方程数值解的理 论和方法都有了很大的发展，而且在各个科学技术领域中应用也愈来愈广泛偏微 分方程数值解的方法主要有两类t 有限差分方法和有限元方法。这两类方法应用上 有不同的侧重有限差分法主要集中在依赖于时间的问题( 双曲型和抛物型方程) 。 而有限元方法则侧重于定态问题( 椭圆型问题) 本文讨论用有限差分法求解反应 扩散方程组，论文分为两部分，第一部分是一种基于c r a n k n i c o l s o n 格式的推 广的方法，这类方法计算较简便；第二部分讨论的是改进的预测校正格式。它比 传统的预测校正格式有更高的计算精度和稳定性 对于微分方程初值问题的任何一种计算格式，都必须考虑它的稳定性和收敛 性，这是关系到算法成功与否的极其重要的问题差分方程的稳定性实际上就是差 分方程的解能否连续依赖初始条件的问题对一个不稳定的差分格式即便它的精度 再高，也是没有实用价值的显然，如果微分方程本身没有适定性，即初始条件发生 一些小的变化时，微分方程本身的解就谬以千里，当然不能奢望有一种差分格式能 逼近它，因此，稳定性的讨论总是建立在定解问题的假设下进行的差分格式的收敛 性，也就是当时间步长和空间步长趋于0 时，差分方程的解能否趋于微分方程解的 问题要使在任一层的差分解都能收敛于其相应的t 处的微分方程的解，首先要求在 下一层的差分值精确等于微分方程解的假设下，往上一层计算产生的误差当h 一0 华东师范大学硕士学位论文 时也趋于0 换句话说，差分方程收敛的前提是差分格式的截断误差在当h 一0 时 趋于0 ，也就是说差分格式应具有相容性为方便起见，下面给出几个概念 截断误差； 般地，微分方程的解不会精确地满足差分方程，将差分方程中的各个项。同时用 微分方程的解在相应点的值代入，利用泰勒展开，就会得到一个误差项，这个误差 项就是截断误差 有限差分格式的相容性： 当h ，r 一0 ，截断误差t ( ，“) 一0 ，则称差分格式与定解问题是相容的 有限差分格式的收敛性s 设u ( x ，t ) 是偏微分方程的解，t 是逼近这个偏微分方程的差分格式的”真解” 这里所指的真解是在差分格式过程中，忽略了各种类型的误差，比如舍入误差等 即是说求解差分格式的过程是严格精确的，我们称差分格式是收敛的如果时间步 长r 和空间步长h 趋向于0 时，e = u ( ，t ) 一h 一0 ，即当时间步长和空间步 长趋于0 时，差分格式的解逼近微分方程的解 有限差分格式的稳定性t 利用有限差分格式进行计算是按时间层逐层推进的如果考虑二层差分格式，那么 计算第n + l 层上的值 时，要用到第1 1 层上计算出来的结果值，而计算n 层的值 时的舍如误差必然影响到t 的值从而就要分析这种误差传播的情况，希望误差 影响不至于越来越大，以致掩盖差分解的面貌，这便是所谓的稳定性问题 2 第二章一类非线性抛物型方程的差分算法的推广 2 1 差分算法的提出 本文讨论了以下细菌繁殖密度和营养浓度模型的反应一扩散方程组的两种新的 有限差分算法： l u t d l t = a 1 ( 1 一u ) u 一托1 口 l 仇一如。= a 2 ( 1 一 弦一o m 口 u ( o ，t ) = 7 n 1 ，v ( o ，t ) = 0 ( 2 1 ) l 乱( 1 ，t ) ；0 ，v ( 1 ，t ) = m 2 it ( z ，0 ) = t o ( z ) ，口( z ，0 ) = t 0 ( 茁) t ，口是关于z ，t 的函数，其中0 z 1 ，t 0 首先介绍第一种算法，不妨从简单的情形出发考虑以下一类一维非线性抛物 型方程的初边值问题： ll ( u ) ：= t d u 。；= f ( t ，。，“) ，t ( 0 ，t ) ，。( 0 ，d ) ”鼎吖： ( 2 2 ) l “( t ，0 ) = g ( t ) lu ( t ，d ) = h ( t ) 其中d ，正a 0 是常数，f ( t ，z ，“) 是其变量的已知的可微函数当f = u ( 1 一 时，就是著名的f i s h e r 方程( 通过变量的线性变换一般的f i s h e r 方程总是可以化 为这种标准型) 令r = 叫( m 一1 ) 为时间步长，h = a ( n 一1 ) 为空间步长，格点气= _ r 一1 ) ，k = 1 ，m ；巧= u 一1 ) ，j = 1 ，肌记时= u ( t k ，) ，设解t = u ( t ，z ) 具有所需的可微 性对初边值问题( 2 2 ) 在格点( 后，j ) 处进行离散对时间导数作一阶向前差商一 堂型：+ o ( r ) ， 1 ，m 一1 ；j ：1 ，柚 (23)t k - - 对空间导数做二阶中心差商： 盥号拿型：k 。盼o ( 。) ，七_ 1 ，m ；j 胪1 ( 2 4 ) 丝奎堕苎丝堡圭兰堡丝壅 方程( 2 2 ) 的右端项f 也在( ，j ) 处离散，即f ( t k ，奶，蝣) 把( 2 3 ) ( 2 4 ) 代到方程 ( 2 2 ) 中，得到。 竺k 型+ l d 竺叁三二挚；f ( t k , z i , 谚) + o ( ，) 十o ( h 2 ) t n 。 由截断误差的定义，从而可得上式的截断误差为o f f + h 2 ) 略去高阶项，得到如下 显式差分格式。 牮k + lk d 竺刍三二挚：f ( t 。，奶，嘭) 一般来说显格式的稳定性条件限制较严，为提高精度，采用稳定性好的隐格式 具体做法如下时间导数由以下近似。 牮k + lk ：j u t + ；“。l ：+ o ( r 2 ) ，詹= ，m 一- ；j = ，n ( 。s ) 空问导数求在时间t k 与“+ l 时关于空间点的二阶中心差商的平均值t 盥兰坐攀笋堂世= i z ， b 扣卜o ( 1 - 2 埘) ( 2 6 ) o 2，。j k = 1 ，m 一1 ；，= 2 ，礼一1 于是，着记 l 。( t ；) ；k + l1 k d 盥兰生掣笋鲨幽 k = 1 ，n 一1 ；j = 2 ，f 1 一1 ( 2 7 ) 则由( 2 5 ) ，( 2 6 ) 式及( 2 2 ) 中的偏微分方程得 乜( 谚) = p ( t t ) + ；( l ( u ) ) j ：+ 0 ( 7 - 2 + h 2 ) ，= l ，m l ；j = 2 ，n 1 ( 2 8 ) ( 2 8 ) 式可看作是方程； l ( u ) = 啦一。= f ( t ，奶“) + 寺f ( 岛为钍) ( 2 2 ) 在格点( ，j ) 处的离散，我们把( 2 2 ) 式叫做方程( 2 2 ) 的修正方程则由( 2 2 ) 得 厶( 嘭) = f + ；( r + 兄“t ) 】：+ d 【户+ 舻) ，j c = 1 ，m 一1 ；j = 2 ，一，n 一1 4 华东师范大学硕士学位论文 由( 2 2 ) 中的饥= d u 。；+ f 代入上式。得 工a ( 嘭) = f + ； 冠+ f u d u x z + 司) ：+ 。( + h 2 ) 再由( 2 6 ) 式得 。( 蝣) = j i f + v f , + f 【l + r 列) ：+ t d 2 f c 。u ，k + 。一2 砖+ 谚一。+ 嘭+ 一2 嘭+ i + u k + 1 ) i + d ( 户+ 酽) 其中岛( u ) 由( 2 7 ) 的右端来代替经计算，将第七+ 1 层的量放在左边，第女层的 量放在右边，略去二阶小量，令 p = i h 2 ，r = j ( c 鲫r a n t 数) ，s = i 2 整理得差分格式t 固定k ，k = 1 ，m 一1 ，得n 一2 个方程的方程组。 - 1 + r r 2 】；u ，k 一+ + i s + 2 ( x + r 咒2 ) 哆t 矿1 一【1 + r 瓦2 骖谚 = 【1 + r r 2 垮( “知1 2 t 亏+ t 盘1 ) + s g + p 2 f 1 + r r 2 】+ 7 _ 丑 ； ( 2 9 ) j = 2 ，n 一1 其中当j = 2 ，及j = ，l 一1 时，方程左边的以下量由边界条件给出可以移到方程右 边，它们分别为 u + 1 = g ( t k + 1 ) ，“1 = ( t k 十i ) 这时方程组( 2 9 ) 形成个对角占优的方程组七= 1 时。由初始条件，方程组右 边是已知量，左边的系数矩阵是三- x t 角阵，可以用追赶法( 程序t r i s y s r a ) 快速地求 得“ ，j = 1 ，n 依次取= 1 ，m 一1 便可以求出所有格点上函数札的值算 法( 2 9 ) 可以看成是c r a n k n i c h o l s o n 格式的一种推广。这个算法的特点是通过 计算非线性函数f c t ，z ，u ) 关于t 和让的偏导数，来避免第k + 1 层中出现的非线 性项因此在非线性项程序( f i s h e r n 0 1 m ) 中要事先求出这些导数用m a t l a b 7 0 编写的差分格式程序c r n i c h m ，三对角方程求解程序t r i s y s f i r s 和f i s h e r 方程的非 线性项程序f i s h e r n 0 1 m 和初边值函数程序f i s h e r i b c 仇见附录调用格式如下 例，t = 0 1 ；o = l ；d = 1 ；m = i i ；k = 1 1 ； u = c r n i c f i ( f i s h e r i b c ， f i s h e r n o l ，e a ，d ，m ，k ) 5 华东师范大学硕士学位论文 2 1 1 截断误差与收敛性分析 对于方程( 2 2 ) 来说，由( 2 5 ) ，( 2 6 ) 式可以得到差分方程( 2 9 ) 的截断误差为 0 0 + h 2 ) ，但是对于其修正的方程( 2 2 ) 来说，差分方程( 2 9 ) 的截断误差为 d ( 一+ 驴) 且当r 一0 ，h 一0 时，差分方程( 2 9 ) 的解逼近偏微分方程( 2 2 ) 的 真解，所以此差分格式是收敛的 2 1 2 稳定性分析 般来说，求解常系数线性抛物型方程的许多方法和技巧都可以推广到非线性 抛物型方程上来，但由于非线性的性质，所以必须对具体的方程做某些必要的修改 ( 2 9 ) 是非常系数的非线性差分方程，考察其稳定性只能采用”冻结系数法”的局部 稳定性分析，假设( 2 9 ) 式的系数卜r 饽看作固定的常数，它不在随j 和k 的改变而 改变( 这当然是在局部近似的意义下成立) ，不妨记做【r r 】对于非线性抛物型方 程的差分格式的稳定性t , - j - t 仑是比较复杂的，至今没有很明确的方法，我们般处理 的方法是用其线性化部分的方程的稳定性来近似非线性方程的稳定性，虽然这不是 太严格的方法，但是能得到大致的判定，如果对应的线性方程是不稳定的，那么非 线性方程肯定也是不稳定的对于( 2 9 ) 式舍弃非齐次项，然后利用f o u r i e r 分析 法很容易得到增长因子： 2 ( 1 + f r 2 ) ( c o s o 一1 ) + s 。 2 ( 1 + 7 f u 2 ) ( 1 一c o s o ) + s 由l g l s i ，计算得稳定性条件； ， 1 + f r l 2 0 因此，当凡下有界时，总可取适当小的时间步长r ，使得条件( 2 1 0 ) 满足 6 f 2 1 0 ) 华东师范大学硕士学位论文 2 2 差分算法推广到方程组 上述算法很容易推广到数值求解以下类型的非线性抛物型方程组的初边值问 题： ll ( u ) ：= 撕一d t 。= f ( t ，z ，t ) ，t ( 0 ，茹( 0 ，口) ； 鼎2 擘 ( 2 1 - ) l 札( ，0 ) = 9 ( t ) ； iu ( t ，口) = h ( 0 其中d 是个阶正定的对角常数阵让及f ( t ，z ，t ) 是维实向量值函数 以下以n = 2 为例给出算法对于一般的维情况是类似的考虑一类一维 非线性抛物型方程组的初边值问题t l a ( u ) ：= u t d a u 。= f 1 ( t ，z ，t ，口) ， l 2 ( 钉) ：= 仇一如t ，蹦= 易( t ，茹，t ，口) ， u ( o ，z ) = 扣) ； ( 0 ，z ) = ，2 ( z ) ， ( 2 1 2 ) u ( t ，0 ) = 9 1 ( t ) ； ( t ，0 ) = 9 2 ( ) ， u ( t ，口) = l ( t ) ；v ( t ，a ) = h 2 ( t ) 米用荚似鄹记号，h j 得出英似- j - 瞄 阳佰计式， l 1 d ( 砖) = 卜l ( 札) + 2 ( l - ( u ) t ) ：+ o ( 户+ 胪) ，七= 1 ，m ；j = 2 ，n 一1 ( 2 1 3 工2 d ( 谚) = b ( 口) + ；( 岛( 咄) ：+ o ( 产+ a 2 ) ，七= l ，m ；j = 2 ，n 一1 ( 2 1 4 ) 其中l l d ( u ；) ，如d ( 砖) 分别记作， “( 蝣) = = 鼍k + l k “盥兰坐掣笋邕丝堂 工。( 够) 一兰4 t k 4 l f _ _ 兰k 一如垒红三二墨生型刍上高多墨王二竺幽 7 华东师范大学硕士学位论文 ( 2 t 3 ) ，( 2 1 4 ) 两式可看作方程组t l l ( u ) ：= t h d l = 只0 ，社，口) + 玉f l ( t ，$ ，t ， ) ， l 2 ( v ) ：= 仇一如。= f ：c t ，$ ，t ，口) + 王f 2 ( t ，。，“， ) ， u ( o ，z ) = ( z ) ；v ( o ，z ) = ，2 ( z ) ， ( 2 1 5 ) i t ，0 ) = g l ( t ) ；v c t ，0 ) = 现( ) ， u ( t ，o ) = h l ( t ) ；v ( t ，o ) = ( t ) 在格点处( 后，j ) 的离散把( 2 1 5 ) 叫做方程组( 2 1 2 ) 的修正方程由( 2 1 3 ) ，( 2 1 4 ) 得 二- d ( 谚) = f l + ；( 日t + 只。砘+ f l 。仇) ：+ o ( r 2 + h 2 ) ( 2 1 i ) 岛d ( 够) = f 2 + 2 ( f 2 1 + f 2 u , + j 仇) 】：+ o ( 丁。+ h 2 ) ( 2 1 7 ) 再由u t = d l u 。+ f 1 ，仇= d 2 u 。+ f 2 代入( 2 1 6 ) ，( 2 1 7 ) 分别得； l l d ( u ；) = ； f 1 + r f i t + f 1 ( 1 + r f l 。) + 下( 日。f 2 + f a 。d l t 。+ f l 。如t k ) 哆+ d ( 户+ 酽) ( 2 1 8 ) l ( 哆) = ；i f 2 + f b t + f 2 ( 1 + f 而。) + 下( 尼。f l + 如如t k + 如哆1 。) b + d ( 产+ 舻) ( 2 1 9 ) 再用二阶中心差商代替( 2 1 8 ) 中的t k 和( 2 1 9 ) 中的t 。，用两个时间层上的二阶中 心差分的平均值代替( 2 1 8 ) 中的和( 2 1 9 ) 中的t k ，略去高阶部分就得所求的 差分格式令 胪r2h 2t 2 p 1 2 石”1 2 石8 1 2 石仡2 石r 2 2 石，8 2 2 一r 2 固定k ，k = 1 ，m 一1 分别得2 ( n 一2 ) 个方程的方程组t 一( 1 + t i e , u 垮k ，- 八k + + l l + u ，k 一+ 1 ) + 【2 ( 1 + 7 - 【f l 。1 e 2 ) + 8 l 】谚+ 1 = ( 1 + r 【只u 舭) ( t ；+ 一2 磅+ 嚎t ) + 8 1 谚+ r 如 f 1 。垮( 略t 一2 唠+ 啦。) d - 十p l 【2 日+ r ( p i p l ”+ 最只v + 日t ) 垮 一( 1 + r 【易。骖2 ) ( ? 搿+ u ，k 一+ 1 ) + 【2 ( 1 + 7 - 【j k 哆2 ) + 观】谚+ 1 = ( 1 + r 【岛u 骖2 ) ( 略- 一2 喀+ t 乒) 十s 2 谚+ r d ，【r 。垮( 啦- - 2 嘭+ 啦。) 如 十阮 2 易+ t ( f 2 f 2 t + 只局。+ 毋t ) 垮 佗2 0 ) 华东师范大学硕士学位论文 f r 辩甓雠精群甓黼葛、1 菥菘辚餐嬲五2 ( 1 2 1 + + ，r 如f = ”2 ) 2 ) ( ( c 。o s e 删- 1 ) 再+ * 2 ，j葡了干孑互7 j 万_ = i 五羲丽2 ( 1 + 下如2 ) ( 1 一c d s 即+ s ； 9 华东师范大学硕士学位论文 其中 s t 。g ：iz 一 i | ， j = l d # i 仃) 为b 的特征值集，进而，仅当对所有i = 1 ，2 ，d ，a a & 时，才有某个 i o 1 ，2 ，d 使得a 口( b ) 且位于a 昂上，称& 为g e r s c h g o r i n 圆盘 定理( y o nn e u m a n n 条件) 【l j 差分格式稳定的必要条件是当f 罚，礼1 - e ，对所有的k r 有 i ( g ( r ，) ) i s l + m t ，j = 1 ，2 ，p 其中( g ( r ，) ) 表示g ( r ，k ) 的特征值，m 为常数 由口mn e u m a n n 条件和圆盘定理可得差分方程组( 2 2 0 ) 稳定的条件为 r 鲁i 氏l o ( 2 2 1 ) 因此当f 1 。，昂，下有界时，总可以取适当小的时间步长1 ，使得( 2 2 1 ) 满足把此 方法可应用到问题( 2 1 ) 上，其中 f i m ，口) = a i ( 1 一t ) 一片t t ， 易( t ，甜) = a 2 ( i 一口) 钉一o m 口 2 3 两层隐格式( y g s ) 对倔微分方程组( 2 1 2 ) 在格点处( k ，j ) 进行离散如果对时间导数采用一阶向 前差分，以乱为例 竺k譬-t-ik ：阻。哆+ o ( _ r ) ，后：1 ，m ；j ：1 ，竹( 2 3 ) 对空间导数采用时间层第k + 1 层和第后层在空间点j 处的中心差分的平均值 堕_ 坚虫凑掣苎幽；k 垮+ d ( r + 胪) ( 2 2 2 ) 2 2 ”j j 。、， 、。7 华东师范大学硕士学位论文 得差分方程； 鼍k + l k “盥u k u 塑k 丝某塾堕盐堂：f 1 m 呜磅、1 r 9 2 一。 叫 ( 2 2 3 ) 同理，对1 ，采取同样的做法，得到差分方程组： j ，誓k + lj k “盥苎拉垃等趾壁塑世；f ，( t k 怖略蛳 i 墅k + l k 一如垒盐l = 兰堕生咤荔盆量二螳= 足( k ，嘭，喀) ( 2 2 4 ) 把此方法应用到问题( 2 n 匕则 毋( t ， ) = a 1 ( 1 一“) “一k 缸移， 兄( “，钉) = a 2 ( 1 一v ) v o 眦口 令。7 2 酽t ，整理得差分格式 f 一每r ( 嘣+ 端) + ( 1 + d ，r ) 蝣+ 1 = 粤r ( 略。+ t 啦，) + ( 1 一d 。r ) 时 二端k 攒+ lu k + ；j l 搿坩嘞”州。制s ， l 一譬r ( 巧+ l + ，一) + ( 1 + 如r ) 够+ 1 = 寄r ( 略。+ 略，) + ( 1 一如r ) 毋 ” 【+ r 【a 2 ( 1 一巧k ，k a 时哆】 此差分方程组是非线性的分析可得两层隐格式的截断误差为0 ( r + 胪) ，且此格式 收敛 下面讨论稳定性条件，对差分方程组( 2 2 5 ) 上下两个式子分别舍弃非线性项 r 卜a ，( 够) 2 一托哆哆】和r 卜k ( 毋) 2 一口嘭时】 j 一粤r ( 啦 十啦j ) + ( 1 + d - r ) 嘭+ 1 = 粤r ( 嘭+ 。+ 啦。) + ( 1 一d 。r ) 嘭+ r a 。嘭 l 一孝r ( u ，k + l，k 一+ 。1 ) + ( 1 + 如r 埘+ 1 = 蜜r ( 略。+ t ! ；- 。) + ( 1 一如r ) 哆+ r a ：毋 令t t 喀；( 谚，毋) t 。则， ( 一茅一釜) c 嘣+ 喇，+ ( 1 苫”。五，) 妒= 华东师范大学硕士学位论文 ( 耄= 毒) c 缈知。+ 哆扛。，+ ( 1 一d 1 ：+ r h 。一如：+ 下沁) t 喀c ：。， g - ( 觜0杂) 仁。s ， i = ；掣竽写芸二二焉；丝j 警鲥单且筹妣攀 咧百4dlsin20一h2，譬m。垡，竿2tth-i- a 1 。， 三 a l三+ a 2 2 2 4 数值实验 考虑以下反应- 扩散方程组 1 t h d l “站= a l ( 1 一t 正) t 一k t 口 l 钝一如= a 2 ( 1 一口) 一n t u ( o ，t ) = 0 5 ，v ( o ，t ) = 0 ( 2 3 0 ) l 缸( 1 ，t ) = 0 ，v ( 1 ，t ) = 0 5 【u ( z ，o ) = ，口( z ，o ) = 3 1 其中z ( 0 ，1 ) ，t 0 参数d l = 1 5 ，如= 1 0 ，a i = 知= 4 0 ，k = 1 0 0 0 ，o t = 1 下面是t g c n 格式和两层隐格式对问题( 2 3 0 ) 中u 值的计算结果表中数据 从左到右是空间走向从0 到1 ，由上至下是时间从0 到打时刻 丝壅堡苎奎兰堡圭兰堡丝苎 t g c n ：7 - = 0 0 0 1 ，h = 0 1 ，m = 6 ，n = 1 1 o 5 0 0 0 d 3 e 2 l o 3 0 9 3 o z 6 2 6 d 2 3 】7 o 2 l o b o 5 d o o o 3 6 8 1 d z 7 2 9 o 2 0 5 1 o 1 5 7 2 d 1 2 3 2 d 5 0 0 d o 3 8 7 3 o 2 b b 9 o 1 蚰一 d 1 j 1 3 3 o 1 们b o 5 d d o o 3 5 7 3 0 2 b b b d 1 9 m d 1 4 1 4 d 1 0 j 7 o 5 0 0 0 d 3 6 7 3 o 2 b b 6 o 1 9 5 3 o 1 4 儿 o 1 d l z y g s ：r = 0 0 0 1 ，h = o 1 ，m = 6 ，n = 1 1 o 5 d o o d 3 8 7 3 d z b b 5 o 1 5 1 o 1 4 0 6 0 1 0 0 t o 5 0 d o d 3 6 7 j o 2 8 7 b d 1 9 拍 o 1 3 e 6 o o b l 0 5 d o o o 3 h 4 d z 5 9 口 d 1 b m d 1 2 8 4 0 o b 5 5 o 5 0 d o d 3 1 5 2 o 2 d 0 3 o 1 2 9 z d o b 2 4 o 0 5 3 z o 5 0 0 d o 3 5 3 e o 2 7 明 d 2 3 z b o 2 d 眈 o 1 8 9 b o 5 0 0 d o m 4 0 o z 3 钉 d 1 7 0 2 d 1 2 5 3 d o d b l o 5 d o o o m o 2 3 5 3 d 1 b d 9 d 儿d l 口0 7 5 b d 5 0 d o d m 3 3 o 2 3 4 9 d 1 5 9 b d 1 d 7 9 o 0 7 2 3 o 5 d d o o 3 4 3 3 d 2 3 4 9 o 1 5 口6 o 1 d 7 5 d 0 7 1 7 t g 6 n ：f = 0 0 0 2 ，h = o 1 ，m = 6 ，t l = 1 1 o 5 d o o 0 3 2 8 6 o 2 4 6 3 o 2 0 b z d 1 b b t o 1 7 6 b d 5 d d o o 2 8 6 3 o j 7 1 9 o 1 l o b o o ? b 3 o d b l l d 5 0 d o o 2 8 2 7 o 1 5 b d d o b b - d d 5 l t d 0 3 h d 5 d d o o 2 8 2 t d 1 5 6 z o d h 9 d 响晒 d d z 4 e d 5 d d o o z b 蹦 o 1 5 5 0 o o b 4 z d 0 4 4 5 d 0 2 3 1 o 5 d o o o 3 1 3 3 o 2 3 4 b o 1 5 o 1 0 7 1 o 0 7 1 1 d 5 0 d d o 2 b z 3 o 1 5 5 7 o d b 3 8 o 叫3 8 o o z z z 0 5 d o d o 拍3 l d z 3 3 d 1 5 7 b o 1 7 d o b 盼 d 5 0 0 0 0 2 b l b d 1 5 3 b d d b 0 7 0 0 4 d 9 d d z d 2 o 5 d o d d 3 3 9 7 d 2 2 5 d d h 盯 o d 口3 2 0 o 明5 d 5 d o o o 2 7 5 7 d 1 4 0 l o o b 明 d d 3 3 1 d 0 1 o 5 0 0 0 o 2 b b l o 1 6 7 5 o 0 9 7 o 0 5 m d 0 3 3 7 口5 d o d 0 2 0 2 7 0 d b b 3 d d 4 0 d o d 】b 5 o 0 0 髓 竺奎堡堇奎兰堡丝堡垒奎 y g s ：r = o 0 0 2 ，h = o 1 ，m = 6 ，n = 1 1 d 5 0 0 0 d 2 2 3 3 o 1 7 7 5 o 1 5 3 3 o 1 5 0 5 o 1 3 d 5 0 0 0 o 1 射o d 0 5 5 7 0 0 5 5 5 d 0 4 5 3 d 0 4 拍 o 5 0 0 0 o 1 5 7 z 0 0 7 0 7 o 0 2 0 3 0 0 1 5 7 o 0 1 1 4 o 5 0 0 0 o 1 8 5 1 o 0 5 8 3 o 0 2 4 0 o o d b 7 d o m o o 5 0 0 0 0 1 r 5 7 o 0 5 7 8 0 0 2 2 9 o d d 7 l o 0 0 2 2 o 5 0 0 0 o 1 5 5 5 o o b 7 4 o d z z l o o o m o d o l 7 0 5 0 0 0 o 1 5 5 5 o o m b o 0 1 9 b o 0 0 5 4 o d o l 3 o 5 0 0 0 o 1 7 7 a o 0 5 2 5 o 0 1 4 7 o 0 0 3 5 d n 0 0 j d 5 0 0 0 o 1 0 m o 0 2 7 9 d o d b b d 0 0 1 5 d o 0 0 3 以上实验表明，当时间步长取值相同且两种差分格式均稳定时，t g c n 格式 比y g s 得到的数值解的计算精度要高通过以上数据可得r = 0 0 0 1 ，f = 0 0 0 2 时 推广的c r a n k m 洲s m 格式比两层隐格式计算得到的数值解的数据分布更加细 微当时间步长r = 0 0 0 3 时以上两种格式均不稳定 1 4 第三章改进的预估校正格式 3 1 拟线性抛物型方程的预估- 校正格式 一般来说，在数值求解一个空间变量的常系数扩散方程中，预估- 校正格式基 本不用，这是因为c r a n k n i c h o l s o n 格式不仅精度好而且使用也方便的缘故，但 是这些交替使用显式和隐式的算法设计思想很有启发性，它对于高维问题( 空间变 量个数2 ) 的高效率算法设计有指导作用，另外，预估校正方法用于求解非线性抛 物型方程一直受到重视，使用该方法可用解线性方程代替非线性差分方程，也能获 得较好的数值解精度 预估校正格式的中心思想是从时刻“推进到时刻t + 1 分成两步，首先用稳定 性好的一阶精度格式计算出在“- i - 时的近似解k “，然后在时间区间i r k , t k + r 上用二阶精度格式计算出在如+ r 时的近似解第二步中使用了第一步得到的不太 精确的解u p 方程组( 2 1 ) 是一个拟线性的抛物型的方程组，在此使用精度较高，稳定性较 好的预估校正格式求解方程组首先，考虑拟线性抛物型方程 钍甜= 皿( z ，t ，t ，啦)( 3 1 ) 其中 皿= ( z ，t ，牡) “t + ，2 ( z ，t ，t ) t k + ，3 ( z ，t ，t )( 3 2 ) 对于为( 3 2 ) 所示的情形，非线性抛物型方程( 3 1 ) 的预估校正格式如下 p ：铲1u c 。a ，k + 1 2 = 皿b ，2 ，哟，矗瓦哆，孕( 谚“归一嘭) 】 ( 3 3 ) ie ：壶( 嘲k 1 - ，k + 1 ) = m b ，t k + l 2 谚+ 1 2 ，矗瓦( 嘭+ 嘭+ 1 ) ，事( 蝣+ 1 一嘭) 】( 3 4 ) 其中 瓦砖= 略。一唾l 2 由于微分方程是拟线性的，因此差分格式的稳定性和收敛性的讨论比较复杂，但是 一般的隐式格式都有良好的稳定性d o u g l a s 和j o n e s ( 1 9 6 3 年) 已证明了( 3 3 ) ，( 3 4 ) 式逼近( 3 1 ) ，( 3 2 ) 式，其中截断误差为o (