（光学专业论文）量子纠缠中若干问题的研究.pdf

2 0 0 8 年 1 同利z 技术人7 ：博上何沦文 摘要 量子信息学是结合了信息学和量子物理学的一门交叉学科，由于其潜在的巨 大应用前景，在从上个世纪九十年代全今的三十多年中获得了广泛的关注和飞速 的发展，并为我们对信息学和物理学各领域的理解提供了一个独特的角度。在量 子信息学的研究发展中，量子纠缠，这个早期量子力学中一个基本但又没有得到 充分重视的概念，不仅重新被人们所挖掘和认识，作为一种独特的资源成为量子 信息学的一个核心的概念，而且逐渐被其他物理学领域如凝聚态等的物理学家所 接受，成为物理学中的一个非常有价值的重要概念。虽然量子纠缠这一概念在上 个世纪的三十年代已被e i n s t e i n 和s c h o d i n g e r 等量子力学之父们所发现并且存 之后被很多物理学家如b e l l 等人仔细探讨过，但是作为资源来理解认识的纠缠 概念却是在九十年代后随着量子信息学的发展才被b e 眦e t t 等人建立起来的，而 且这种认识的发展过程布满艰辛，直至今天我们依然远没有完全认识量子纠缠并 且这方面的工作还在进行中。尽管如此，迄今为止人们对量子纠缠的大量认识结 果已经表明了这一概念的重要价值。 在这篇论文中，作者围绕着量子纠缠这一中心，对与量子纠缠相关的兰个方 面的课题进行了研究。一方面，量子纠缠描述的是量子系统中非局域的非经典关 联，这种关联的一个直接表现就是对经典关联满足的b e u 类不等式的违背。低 譬 维下违背的实验已经在光学系统中实现了，这里我们提出了一个4 维的单光子投 影测量方案，基于此方案可以实现高维的违背实验。另一方面，给定一个态，判 断其是否可分是一个认识纠缠的重要课题。这里我们对两体高维下的部分转置判 据做了讨论。最后，给出合理的纠缠度量显然是纠缠研究中最重要的课题，我们 对两体和多体下的几个纠缠度量做了讨论。 下面给出了我们在对上述三个方面做的探讨中所获得的主要结论： i 。我们从新的矩阵分析的角度对两体系统密度矩阵的部分转置做了分 析。部分转置是讨论两体系统可分性的重要工具，对2 2 和2 3 的 系统，部分转置为正是一个态为可分态的充要条件，但是对于更高维 2 0 0 8 年 中国科学技术大学博士学位论文 的两体系统并没有一般性的结论。我们借助于数值蒙特卡罗的方法， 对任意高维的两体n n 系统的部分转置后密度矩阵的负本征值的数 目进行了考虑，获得了一个比较有意义的一般性的结论。借助于矩阵 分析中的s c h u r 定理，我们对a u d e n a e r t 等人提出的一个与部分转置 相关的问题进行了讨论，虽然没有获得完整的解决方案，但我们的讨 论从新的角度对原来的问题提供了认识。 i i 验证b e l l 不等式是否成立是实验上获知一个量子系统是否处于纠缠 态的重要方法，而b e l l 不等式所描述的是各个局域系统物理量测量之 间的关联所满足的限制，因此实现这些测量是每个b e u 不等式验证试 验必须的第一步。我们对一个同时考虑偏振和时间自由度的h i l b e r t 空间维数为4 维的光子，设计了相干的测量方案。通过这一测量方案， 我们可以对4 4 维的纠缠双光子系统进行b e 儿不等式的验证，并且 可以通过偏振和时间都纠缠起来的光子对进行高效率的量子密钥传 输。 i i i 为量子纠缠态给出好的纠缠度量始终是量子纠缠的研究中最重要最 核心的课题。对于两体系统的纯态，人们已经有了很好的熵纠缠这一 度量，它4 i 仅具有明确的物理意义而目 艮容易计算。但是，对于两体 系统的混态，纠缠度量虽然很容易通过凸化的技术来定义，但是其计 算却往往很难实现。我们对一个最近刚刚发现的2 q u b i t 系统混态的 纠缠单调作了分析，借助于m i n t e r t 等人的结果我们发现该纠缠单调 是c o n c u r r e n c e 平方的一个下界，并日这一结论可以很容易地推广到 高维的系统中去。 i v 多体系统中量子纠缠的研究是对量子纠缠的讨论中最困难的课题，这 与多体系统中的可能有的多种纠缠方式是分不开的。如何将这些不同 的纠缠方式从定性或定量的角度加以区分是研究多体纠缠的核心任 务。 s l o c c ( s t o c h a s t i c l o c a l o p e r a t i o n s a s s i s t e dw i t hc l a s s i c a l c o m m u n i c a t i o n s ) 不变量是描述多体纠缠的一种重要手段，我们借助于 这些不变量的反对称表示，对4 q u b i t 系统内4 体纠缠的纠缠单调进 行了分析。通过q u b i t 的置换，我们得到了置换不变的纠缠单调。通 过与已有的4 q u b i t 纠缠度量的对比，我们发现这些置换1 i 变的纠缠 2 0 0 8 年 闸利7 ：技术人0 ：博上。、7 ：化沦文 单调对某些类的态给出了其中所含多体纠缠的度量。 关键词：量子纠缠，可分态的部分转置判据，高维系统的相干测量，b e l l 不等式，s l o c c 不变量。 2 0 0 8 年 丰i 国科学技术大学1 尊上学位沦文 a b s t r a c t q u a n t u mi n f o r m a t i o nt h e o 巧，ac o m b i n a t i o no fi n f o m a t i o nt h e o 巧a n dq u a l l t u m m e c h a n i c s ，h a sg r e a t l yd e v e l o p e di nt h ep a s tt h i i r t yy e a r s i th a st r e m e n d o u sp o t e n t i a l a p p l i c a t i o n sa n dp r o v i d e su sw i t hs p e c i a lp e r s p e c t i v e so nb o t hi n f b n n a t i o nt h e o r ya n d q u a n t u mp h y s i c s i nt h ed e v e l o p m e n to fq u a n t u mi n f o r m a t i o nt h e o r y ， q u a n t u m e n t a n g i e m e n t ，af u n d a m e n t a lc o n c e p tn o t i c e db ye i n s t e i na n ds c h o d i n g e ri nt h ee a r l y s t a g eo fq u a n t u mm e c h a n i c sb u to v e r l o o k e di ni t sd e v e l o p m e n t ，h a sa t t r a c t e dm o r e a n dm o r ea t t e n t i o n i ti sc o n s i d e r e da st h em o s ti m p o n a n tr e s o u r c ei nq u a n t u m i n f o r m a t i o nt h e o ua n da l s oc o n t r i b u t e st om a n yo t h e rp h y s i c ss u c ha sc o n d e n s e d m a t t e rp h y s i c s ，t h u si ti sn o wa ni m p o n a n tc o n c e p ti np h y s i c s t h o u g hu s e f u l ， e n t a n g l e m e n tp r o v e st o b ed i m c u l tt ou n d e r s t a n d a r e rm a n yy e a r sd e v e l o p m e n t ， n o ww es t i l ll a c kac o m p l e t ep e r s p e c t i v eo nt h i sc o n c e p t h o w e v e r ，m a n yi n t e r e s t i n g a n di m p o r t a j l t 丘n d i n g sh a v e b e e nb u i l tt i l ln o w i nt h i st h e s i s ，w ei n v e s t i g a t ea j l dd i s c u s st k e ea s p e c t so fq u a n t u me n t a n g l e m e n t f i r s t l y ，e n t a n g l e m e n td e s c r i b e st h en o n c l a s s i c a lc o r r e i a t i o n si nq u a n t u ms y s t e mw h i c h b r i n g s o u tt h ev i o l a t i o no fb e l lt y p e i n e q u a l i t i e s t h e s ev i o l a t i o n sh a v e b e e n i 1 1 u s t r a t e di nl o w e rd i m e n s i o n a lp h o t o ns y s t e m s ，h e r ew ed e v i s ea4 一d i m e n s i o n a l p h o t o np r o j e c t i v e m e a s u r e m e n ts c h e m et or e a l i z e h i g h d i m e n s i o n a lv i o l a t i o n e x p e r i m e n t s s e c o n d l y ， i t si m p o n a n tt os e p a r a t ee n t a n g l e ds t a t e sf r o ms e p a r a b l e s t a t e s w em a k ed i s c u s s i o n so nt h ep a n i a lt r a n s p o s i t i o nc r i t e r i o no fs u c hs e p a r a t i o n l a s t ，i t sm o s ti m p o n a n tt og i v ep r o p e re n t a n g l e m e n tm e a s u r e s ，t h u sw ed i s c u s ss o m e m e a s u r e sf o rb o t hb i p a n i t ea n dm u l t i p a n i t ee n t a n g l e m e n t o u rr e s u l t sa r el i s t e da sf o l l o w s ： i w em a k ea na n a l y s i so nt h ep a n i a lt r a n s p o s i t i o no fb i p a n i t es y s t e m sd e n s i t y m a t r i x p a n i a lt r a n s p o s i t i o ni sa ni m p o r t a n tt o o lf o rt h ed is c r i m i n a t i o no f e n t a n g l e ds t a t e sa n ds e p a r a b l es t a t e s ，f o r 2 2a n d2 3s y s t e m s ，i tp r o v i d e s an e c e s s a r ya n ds u m c i e n tc o n d i t i o nf o rt h i sd i s c r i m i n a t i o n h o w e v e r ，f o r h i g h e rd i m e n s i o n a ls y s t e m s ，i tc a r u l o tg i v eac o m p l e t ed i s c r i m i n a t i o n h e r e ， t h r o u 曲m o n t oc a r l om e t h o d s ，w ef o u n dag e n e r a lr e s u l to nt h en u m b e ro f n e g a t i v ee i g e n v a l u e so ft h ep a r t i a lt r a n s p o s i t i o no f s y s t e m w ea l s o 2 0 0 8 年1 1 1 囝利学技术大学博- 上学位论文 v d i s c u s s e dap r o b l e mp o s e db yk a u d e n a e r te t a lw i t hs c h u rt h e o r e mi n m a t r i xa n a l y s i s a l t h o u g ho u rd i s c u s s i o nc a i u l o tg i v eac o m p l e t es o l u t i o no n t h ep r o b l e m ，i tp r o v i d e san e wp e r s p e c t i v e i i t h et e s to fv i o l a t i o n so fb e l li n e q u a l i t i e sp r o v i d e sae x p e r i m e n t a lw a yo f o b t a i l l i n gt h ee n t a n g l e m e n ti n f o r m a t i o n 血ac o m p o s i t es y s t e m a sb e u i n e q u a l i t i e s r e f e rt ot h ec o r r e l a t i o n s a m o n gl o c a lm e a s w e m e n t s ， t h e r e a l i z a t i o no ft h e s em e a l s u r e m e n t si s n e c e s s a 巧 h e r e ， w ed e v i s ea 4 一d i m e n s i o n a lp r o j e c t i v es c h e m ef o rp h o t o n st i m e p o l a r i z a t i o nm o d e s w i t h t h i ss c h e m e ，w ec a nr e a i i z et h e4 4 一d i m e n s i o n a lb e l li n e q u a i i 哆v i o l a t i o n t e s t a l s o ，w ep r o p o s eaq u a n t u mk e yd i s t r i b u t i o nc h a n n e l i i i t h eq u a n t i f i c a t i o no fe n t a n g l e m e n ti na na r b i t r a f ys t a t el i e s i nt h eh e a r to f q u a n t u mi n f o r m a t i o nt h e o 巧f o rb i p a r t i t es y s t e mp u r es t a t e s ，e n t a n g l e m e n t o fe n t r o p yp r o v i d e sac a l c u l a b l ea j l dw e l l - m o t i v a t e de n t a n g l e m e n tm e a s u r e f o r2 2s y s t e m ，t h i sq u a n t i t yc a ne v e nb ec a l c u l a t e df o rm i x e ds t a t e s ， w h i c hi saf u n c t i o no fw b o t t e r s c o n c u r r e n c e h e r e ，w em a k ea na n a l y s i so n ar e c e n te n t a n g l e m e n tm o n o t o n eo n2 2s y s t e m v i am i n t e r t sr e s u l t s ，w e f i n dt h a ti ti ss m a l l e rt h a nt h es q u 打eo fc o n c u r r e n c e ，w h i c hc a na l s ob e g e n e r a l z i e dt oh i g h e r d i m e n s i o n a ls y s t e m s i v t h ec h a r a c t e ra n dq u a m i f i c a t i o no fm u l t i p a n i t ee n t a n g l e m e n ti sm u c hh a r d e r m a j lb i p a 而t ee n t a n 9 1 e m e n t u s u a l l ym u l t i p a r t i t es y s t e m sc a nb ee n t a n g l e di n m a n yd i f _ f e r e n tw a y s ，t h u sw en e e dm o r et h a no n ep a r a m e t e r st od e s c r i b e m u l t i p a i r t i t ee n t a n g l e m e n t 。h e r e ，w ea n a l y z e dt h ep e r m u t a t i o nv a r i a n c eo f s l o c c ( s t o c h a s t i cl o c a lo p e r a t i o n sa n dc l a s s i c a lc o m m u n i c a t i o n ) i n v a r i a n t s o ff o u r - q u b i ts y s t e m ，a n ds u g g e s ta np e r m u t a t i o n i n v a r i a n te n t a n g l e m e n t m o n o t o n ef o rg e n u i n e4 q u b i te n t a n g l e m e n t w i t hac o m p a r i s o nt ok n o w n r e s u l t s ，w es h o wt h a t t h i sm o n o t o n ed o e sg i v em e a s u r eo nt 1 1 eg e n u i n e 4 - q u b i te n t a n g l e m e n ti nc l u s t e r - c l a s ss t a t e s k e y w o r d s ：q u a n t u me n t a n g l e m e n t ， p a n i a lt r a n s p o s i t i o nc r i t e r i o n ， c o h e r e n t m e a s u r e m e n t so fh i g h e rd i m e n s i o n a ls y s t e m ，b e l li n e q u a l i t y ，s l o c ci n v a r i a n t ， e n t a n g l e m e n tm o n o t o n e 论文原创性和授权使用声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作 所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任 何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究 所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即：学 校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名： ) d d 8 年罗月6 日 2 0 0 8 年 中国科学技术大学博士学位论文 1 1 概述 第一章背景知识 任何信息的存储，传输和处理都需要借助于物理的载体来实现 1 】。在经典 的计算机中，信息存储在可随机读取的存储器和硬盘中。信息的传输，即通信过 程，则是借助于声波，电磁波或者光脉冲来实现。在新兴的量子信，皂、学中，一些 基本的量子系统如声子，光子，原子或者离子充任了信息载体的角色。这些微观 尺度的量子系统与原来的信息载体具有很大的区别，它们的运动行为受到量子理 论的控制，而量子理论同时又为建立在微观系统上的信息处理和信息传输开辟了 新的广阔的天地【2 ，3 ，4 ，5 ，6 。迄今为止，已经提出的量子信息的应用前景有：使 用量子计算机的大数分解和g r o v e r 搜索，各种量子通信协议和量子密码中的密 钥传输等。在此我们将简要回顾一下量子信息科学的发展历史，我们关注的是量 子纠缠在各种量子信息处理中所扮演的重要角色。 量子理论能够与信，皂、处理中的技术革新相结合，主要有两方面的原因。一方 面，随着计算机工业的发展，传统的计算机中信息的处理和存储单元尺寸在不断 地变小，硅基芯片上晶体管的尺寸已经接近了量子效应起作用的范围。另一方面， 随着科学研究的发展，人们现在已经可以对如量子光学 2 或固体物理中 4 】的单 个量子系统做操控。 量子系统在计算和通信方面的应用较经典系统具有独特的优越性，而这种优 越性主要就建立在量子态所特有的量子纠缠性质上。就本质而言，纠缠提供了全 新的关联，这种关联要比经典复合系统随机发生器所能产生的绎典关联更强。 量子密码的第一个协议，即s w i e s n e r ，c h b e 肌e t t 和gb r a s s a r d 在8 0 年 代所提的方案，并不依赖量子纠缠。该协议的安全性基于这样的事实，量子态不 可能被测量而不被扰动【7 。量子计算机的想法差不多在同时被提出。最初，r f e y r n a n 设想用一个量子系统来模拟另外一个量子系统的动力学演化 8 。真正 现代意义上的量子计算机的理论方案在1 9 8 5 年由d 。d e u t s c h 提出 9 】。基于c 。h 。 b e m l e t t 的经典普适计算机都可以做成等价的可逆计算机的工作，d d e u t s c h 引入 了量子网络的概念 1 0 】，并且借此证明从一个小的操作集合出发，恰当地组合其 2 0 0 8 年 用科? 技术人博上。二化论文 2 中的元素可以生成所有的幺正操作 1 1 。这些小的操作集合中的元素被称为量子 门。这时，量子计算机中的存储单元不再是经典的具有两种状态的器件，而是一 个具有两个能级的量子系统，这种系统可以处于两个能级的任意叠加态。在现今 的技术条件下，具有少数个存储单元的量子计算机已经可以被建造出来，但是实 验上要实现大规模的量子计算还很困难。 人们已经提出了很多量子计算框架下的算法，这些算法在解决某些问题时比 经典计算机的算法有效得多。最著名的量子算法是1 9 9 4 年ps h o r 提出的寻找大 数质因子的算法 3 ，1 2 】，这个算法的时间复杂度是多项式形式的，而直全今天， 对此问题人们并不知道任何多项式时间复杂度的经典算法。另外一个有名的量子 算法是l g r o v e r 的量子搜索算法 1 3 】，它与经典的搜索算法相比，有了平方根的 加速。为了在有噪声的环境中实现量子信息的处理，人们设计了很多精妙的方法 来对量子信息进行保护，如量子纠错，量子容错计算，量子纠错码和稳定子码等 等。 2 ，4 ，5 】 s h o r 算法的强大功能归根结底来自于多体态中的多体纠缠，现在很多量子 密钥协议同样地基于纠缠，而纠缠存量子通信复杂度中【1 4 也起着关键角色。直 到近些年，人们逐渐意识到量子纠缠这种特殊的关联在量子信息中的重要地位。 对于这样地位的准确描述，可以用一句话来概括：正是量子纠缠把量子信息和经 典信息区别开来。 使用纠缠的量子系统可以完成什么样的任务? 首先，我们不可能通过经典信 道来传送量子信息。即我们不可能把对某个量子系统的状态所提取的信息，经过 经典信道传送到另外一个地方，进而基于这些信息把原来的量子态重建起来。然 而，如果两地之间共享一个最大的纠缠态，那么仅仅借助于局域的操作和经典通 信，量子态的传输可以被实现，这样的传输过程被称为量子隐形传态( q u a j l t u m t e l e p o r t a t i o n ) ，稍后我们将对此过程做详细介绍。 2 0 0 8 年 中国科学技术大簟博上学位论文 1 2 量子力学基础 1 2 1 量子态 在量子力学中，我们用量子态对量子系统所处的状态进行描述，它包含了我 们对系统做测量所能获取的所有的信息，也就是我们所掌握的系统的知识。为了 对量子态做数学上的描述，我们对量子系统关联一个复向量空间( 也称为希尔伯 特空间) ，在这个空间上定义了标量积运算( i ) 和与之相关的范数。 如果我们对量子系统的状态拥有最大的信息量，即对一组与系统自由度相关 的完备可观测量集，可以确定地知道每个可观测量的取值，那么我们说系统处于 一个纯态，并月- 用希尔伯特空间中的一个向量i y ) 来表示，态i y ) 满足归一化条 件桫i i = 1 。最基本的量子系统是一个两能级系统，可以用两维的希尔伯特空间c 2 进行描述。选择该空间中的两个正交的向量作为基向量，j o ) ，1 1 ) ，那么空间中的 任何向量可以表示为如下的形式 i ) = 口i o ) + 1 1 ) ， ( 1 1 ) 这里q 和b 都是复数并且满足归一化条件h 2 + 例2 = 1 。( 1 。1 ) 式表明，系统可 以处于f o ) 和1 1 ) 的任意相干叠加态。两能级系统在量子信息学中具有极其重要的 地位，由于它和经典信息论中的比特相似，所以我们将它命名为量子比特( q u b i t ) 1 5 。能够容载量子比特的物理体系有：偏振的单光子系统、只考虑基态和第一 激发态的单原子系统，等等。 如果我们只有系统状态的部分信息，这时用纯态向量作为对系统状态的描述 是不合适的，我们需要引入混态的概念。用混态来描述系统的状态，表明我们对 系统状态的了解有不确定性。例如，可以用以下的方式来制备一个系统。我们有 一个随机数字发生器，它以a 的几率输出1 ，以p ：的几率输出2 ，p 。和p ：满足 条件a + 仍= 1 。如果输出为l ，我们制备系统到纯态l 。) 上，如果输出为2 ，我 们制备系统到纯态l ：) 上。这时，制备出的系统并不是确定的处于某个纯态上， 而是几率性的处于lj ；f ，。) 或者i 缈：) ，也即处于一个混态，存数学上用密度矩阵表示 2 0 0 8 年 中国科学技术大学博上学位论文 为 4 一 p = a l y 。) ( i f 厂，l + p ：i ：) ( ：i ( 1 2 ) 纯态同样可以写成密度矩阵的形式，p = i y ) ( l 。因此，由某个希尔伯特空间 所描述的量子系统的状态都可以用一个有界的矩阵p 来表示，p 称为密度矩阵， 它满足以下三个要求： a )p 和p + 都定义在整个希尔伯特空间上，并且p 是自伴随的，即满足 + p = p jo b )p 是半正定的算子，o 。 c )p 满足归一化条件，驴( p ) = 1 。 如果一个态p 满足p 2 = p ，那么p 是纯态，否则p 是混态。对于某个希尔伯特空 间冗定义在其上的所有态集称为态空间j ( m 。这个空间是一个凸集，即如 果目和岛都是j ( 中的元素，那么确+ ( 1 一九) 岛，兄“o ，1 】同样是j ( 如的 元素。这与前面所讲的系统制备是一致的，凸组合对应于两种制备过程的混合， 即如果我们失去了具体的制备过程是哪一个这一信息，那么凸组合所得到的密度 矩阵就包含了我们系统的所有信息。相反地，任何一个混态都可以借助纯态做如 下分解 月 p = 只l 妙，) ( ，i ( 1 3 ) ，= l 其中， 只) 是一个经典的几率分布。这样的分解对于每个混态都有无限多个。 以上只是量子态的普适定义，下面我们用b l o c h 球的形式，对最简单的q u b i t 系统的态进行讨论。 2 0 0 8 年 中国科学技术大学博士学位论文 兰曩 l = 。_ - h i 乏 专f 。) + l1 ) j ( 。+ l j ，。一。， - ” 。，j 圭il i j 十i l ；) fi n + i i l 1 ) 专fc o ) + l1 ) j ( o + l j ；，。，。 ” 。，圭il i j 十i l ；) fi n + i i l l 。一一m 一，一?k 、， 、。 、 图1 1 量子比特( q u b i t ) 态的b l o c h 球表示。球的半径为l ，球内的点对应于 q u b i t 的混态，球面上的点表示混态。 我们可以把( 1 1 ) 式重新表示为： y ) = 8 7 ( c 。s 詈f o ) + p 妒s i n 罢 t ) ) 其中y ，秒，妒都是实数。在这里，括号前面的整体相位因子8 咿没有实际的物理意 义，一般情况下可以忽略不予考虑，因而上面的态等价于下面的态： i ) ：c 。s 罢l o ) + e i n 昙| 1 ) ( 1 4 ) 此时，一个纯态由两个实的参数目，秒描述，所以我们可以把它看成是一个三维 球面上的一个点，如图1 所示，我们称这个球为b l o c h 球。b l o c h 球内的点，即 距离球心小于半径1 的点，描述的是q u b i t 的混态，这可以从下面的理解看出来。 对( 1 4 ) 式的量子态，我们可以给出它的密度矩阵形式： p = i ( 9 ，伊) ) ( 妙( 目，妒) j = ，臼 c o s 。一 2 p ，妒c o s 旦s i n 旦 22 p 却c o s 旦s i n 旦 2 2 ，护 s l n 一 2 p 1 妒s i ：91 ：要( i + 而矛) ( 1 5 ) c o s 目2 、 。、 其中，赢= ( s i n 吕c o s 缈，s i n 护s i n 妒，c o s 9 ) 是态的方向向量，对应于b l o c h 球中该点 秒帕豇 c 妒 p ，i、 l 一2 +t l 一2 i i 2 0 0 8 年 中国科学技术大学博士学位论文 的方位角，厅是泡利矩阵向量，它的三个矩阵元素分别为： 厂0 q 2 l1扯= e扎= ( 6 ， 这三个矩阵和单位矩阵i 构成2 维的密度矩阵空间的完备集，所以任何密度矩 阵都可以表示成( 1 5 ) 式的形式。任意混态的方向向量户不再是单位向量，即 旧 1 ，对应于图1 中b l o c h 球内的点。 以上我们考虑的是单个量子系统的描述，对于两个系统a ，b 的复合系统， 它们的希尔伯特空间为原来空间的直积= 4o b 。这个系统的基向量是原 来系统基向量的直积，任何复合系统的纯态向量都可以表示为 i 妙) 。= 日，i f ) 彳 歹) 疗， ( 1 7 ) 其中 f f ) 爿) ，斛) 片) 分别是系统a 和b 的基向量。如果 y ) 。疗不能写为系统a ，b 的 态向量的直积，那么f ) 。疗就是纠缠的。对于两个q u b i t 的系统，最重要的是下面 四个最大纠缠态，也称为b e l l 态： p ) 爿8 = ( mh h 陬) 2 ，p ) 。片= ( hm hh ) 2 ( 1 8 ) 1 2 2 量子操作 希尔伯特空间中的量子态描述了量子系统所处的状态，系统的演化或者操作 则是通过作用在该空间上的算子来描述。孤立系统的演化由薛定谔方程决定，而 伴随着系统的演化，系统密度矩阵的变化由幺正的动力学映射来表示 p u p u + ，( 1 9 ) 这里的u 是一个幺正矩阵。另外一个重要的操作是正交( 投影) 测量。在正交 测量中，如果有m 个测量结果，f - 1 ，2 ，m ，对应于每个结果都有一个投影算 子万，它们满足 刀，万，= 毛，万，= 丑 ( 1 1 0 ) 如果系统初始的态为p ，则输出结果为i 时，输出的态q 可以表示为 p ；2 褊 ( 1 ，) t r k 冗j p 7 【j 、 6 一 2 0 0 8 年 1 丁阳利r 学技术人z 博上。学化论文 在幺正演化和正交测量之外，我们还可以做另外两种操作：添加辅助系统或者抛 弃复合系统中的某些子系统。前者对应于在原来系统的态上直积上辅助系统的态 矩阵，而后者则对应于对所抛弃掉的子系统空间取迹。我们可以任意地组合上面 的四种操作来实现对量子系统的操控，而这些操控对应于系统态空间内的完全正 定映射。所有这些物理上可以实现的完全正定映射可以借助于鼬a u s 算子用一种 简洁的方式来描述： p _ 6 ( p ) = e p e ， ( 1 1 2 ) 这里巨被称为k r a u s 算子 1 6 】，由于保迹的要求它们满足条件f 巨= 且。 1 3 量子纠缠简介 由两个或多个量子系统组合成的复合系统，虽然它的希尔伯特空间是原来子 系统空间的直积，但是由于量子力学的叠加性原理，复合系统所能处的态并不一 定是子系统态的直积。处于纯态的复合系统，如果不能表示成子系统纯态的直积 形式，我们说复合系统处于纠缠态。判别一个纯态是否是纠缠态只需要计算局域 的密度矩阵是否是纯态即可，而对混态的纠缠判断存量子信息理论中是一个重要 的研究课题，我们将在第二章对此作回顾和讨论。现在，我们介绍纠缠在量子信 息中所扮演的资源角色，即对于许多量子信息处理任务，纠缠是其能够实现的关 键所在。 1 3 1 量子隐形传态，密集编码 量子隐形传态方案是演示量子纠缠的资源特性的最直接也是最重要的方案， 它最初是由b e i l n e t t 等人在1 9 9 3 年提出 1 7 】。在这个方案中，通讯双方共享一对 最大纠缠态的q u b i t ，一方只需要传输两个经典比特信，皂。可以将任意的一个q u b i t 的纯态传送到另一方。具体过程如下，假定信息发送方，a l i c e ，要把一个量子 比特的信息i ) 。= 口l o ) + 夕 1 ) ，发送给接收方，b o b 。如果a l i c e 和b o b 共享一对 b e l l 态的粒子，i 甲一) ，那么这三个粒子a ，a ，b 的态可以写为 2 0 0 8 年 叶i 固科学技术人学博上学位论文 ) _ 圆i q ，一) 一8 = 圭l q + ) 一。( 口l o ) + 1 1 ) ) 疗+ 圭l 妙+ ) 。( d 1 1 ) + 夕l o ) ) 疗 + 圭l 甲一) 爿一( 口1 1 ) 一i o ) ) 片+ 三j 一) 爿一( 口f o ) 一1 1 ) ) 一 = 吉 l + ) 月爿i 沙) 月+ f 甲+ ) 爿一qf 杪) 月+ l v 一) 爿爿( 一f q ) ) 口+ i 一) 月彳吒f ) 8 ( 1 1 3 ) 从上式可以很容易看出，如果a l i c e 对自己拥有的两个粒子a ，a 进行b e u 测量，即向四个b e l l 基态上的投影测量，然后将测量结果经过经典信道发送给 b o b ，b o b 根据接收到的信息进行相应的局域操作( i ，q ，仃，盯：) ，就可以得到a l i c e 要发送给他的量子态f y ) 在这个传送过程中，a l i c e 并不需要知道要发送的量子态，而且她拥有的粒 子也不需要传送给b o b 。在传送完成后，a l i c e 拥有的粒子的态已经被破坏，所 以整个过程并不违背量子态的不可克隆定理。传送过程需要有经典信息的传输， 而经典信息的传输不可以超光速，因此量子隐形传态也不违背因果论。 自从量子隐形传态的方案提出之后，已经有很多实验小组完成了这一方案。 1 9 9 7 年，i r u l s b r u c h k 的z e i l i n g e r 小组利用偏振纠缠的光子e p r 对实现了位置偏 振态的隐形传态 1 8 】，这个结果发表在著名杂志n a t u r e 上，震动了整个世界。 紧接着，r o m e 的小组也实现了位置光子态的隐形传送【1 9 】，美国c i t 的实验小 组实现了连续变量的隐形传态( 2 0 】。美国洛斯阿拉莫斯实验室的研究人员则实现 了核自选量子态的隐形传送 2 1 】。 量子密集编码是另外一个量子通信中有趣的方案，它是b e n n e t t 等人在1 9 9 2 年提出的【2 2 】。在这个方案中，通信双方共享一对b e l l 态的粒子，假定为l + ) 爿b 。 之后，信息发送方a l i c e 将要发送的两比特的经典信息编码到一组操作中 ( i ，吼，盯，吒) ，经过这些操作后，得到的量子态和掾作的对应如下： j r 专l + ) 爿占，吒寸l y + ) 一片，f q i 甲一) 彳片，吒寸 一) 。口 ( 1 1 4 ) a l i c e 将自己的粒子发送给b o b 后，b o b 根据b e u 测量结果就可以知道a l i c e 所 做的操作，从而得到她发送的信息。 2 0 0 8 年 中国希 技术人7 博上学位纶文 9 在这个方案中，发送方只需要发送一个量子比特，就可以达到传送两个经典 比特信息的目的。由此可以看出，存量子纠缠辅助下，相同信道所能传送的信息 量比经典情形有很大的提高，也即提高了信道的容量。对于在量子纠缠辅助下经 典信道容量的计算可以参考文献 2 3 】。 1 3 2 量子纠缠的度量 从上面一节我们已经看出，量子纠缠在量子信息学中是一种非常重要的资 源。一个非常重要的问题就是l 给定一个量子态，如何给出其中纠缠的度量。在 这一节里，我们简要列举出已有的纠缠度量定义作为参考 2 3 】，在第四章和第五 章我们将给出我们在纠缠度量方面的两个工作。 对于任意两体纯态l 妙) 一疗，其含有的量子纠缠可以用局域约化密度矩阵的 v o nn e u m a m 熵来度量： e ( i ) 一曰) = s ( 办) = 5 ( 纬) = 一只l o g 只 ( 1 1 5 ) 其中，乃= p 。i f ) 。( 球岛= p 小) 月( f i 。我们称这个纠缠度量为熵纠缠，它具 有非常明确的物理意义：熵纠缠对应于在极限意义下，从每个非最大纠缠态i ) 一8 提取出最大纠缠态的数目，也对应于制各一份态f ) 彳月所需要的最大纠缠态的数 目。 然而，对于混态纠缠和多体纠缠，目前还没有很好的度量定义，只有一些形 式上的定义，在某些特殊情形或者出于某种物理上的目的存在特定的定义。虽然 统一的纠缠度量定义并不存在，但对于一种好的纠缠度量定义需要满足的条件有 一致的看法： 1 ) 对于可分态尸，应该有e ( p ) = o 。 2 ) 对于纠缠纯态，纠缠度量的定义应该与( 1 1 4 ) 的熵纠缠一致。 3 ) 纠缠度量在局域幺正操作下保持不变。 4 ) 纠缠度量在局域操作和经典通信( l o c c ) 下非增，即有： 耶) 莩硝筹) ( 1 1 6 ) 其中， 4 ) 是描述l o c c 过程的k r a u s 算子。 2 0 0 8 年 中嗣科学技术人。誓博上学位沦文 另外，一般情形下，纠缠度量应该满足凸性： e ( p ，) p e ( p ) ( 1 1 7 ) 下面列出目前己知的纠缠度量定义。 2 3 】 1 纠缠代价( e n t a n g l e m e n tc o s t ) 2 4 ，2 5 这是一个极限意义下的纠缠定义。对于一个给定的量子态p ，我们定义通过 局域操作和经典通信，将两体最大纠缠态( b e l i 态) 制备到无限接近量子态p 勘所 需要的b e u 态的最大数目定义为量子态p 的纠缠代价，其表达式为： ( 尸) ：= i n f ( ，：l i m 。- + 。 i n d ( 尸舢，甲( 中( 2 ”) ) ) 】= o ) ( 1 1 8 ) 其中