（应用数学专业论文）一维六方准晶若干缺陷问题的动力学研究.pdf

内蒙古师范大学硕士学位论文 中文摘要 准晶是近二十年来发现的一种新的固体结构和新材料。它的发展 打破了人们把固体划分为晶体和非晶体的传统观念。准晶弹性的刻画 不仅需要描写晶格振动的声子场，还需要刻画原子准周期排列的相位 子场，而且二者是相互耦合的，所以准晶的弹性较经典的一般晶体的 弹性要复杂的多。在求解准晶的弹性与缺陷问题时，前人已提出了一 些方法，如g r e e n 函数法、f o u r i e r 变换法、摄动法以及复变方法等等。 本文采用复变方法，研究了一维准晶中几类特殊缺陷的动力学问题， 具体结构如下： 第一章绪论，介绍了准晶的发现、准晶材料的分类及其功能，并 在总体上阐述了准晶的弹性与缺陷问题。 第二章研究了一维六方准晶动力学中的若干缺陷问题。第一节介 绍一维六方准晶弹性的基本理论，将其弹性问题化为两个相互独立的 问题去求解，其中的一个问题和经典的弹性理论类似，另一个问题经 过化简得到其控制方程为两个调和方程。第二节介绍一维六方准晶动 力学的基本理论，问题化为两个相互独立的问题，一个普通六方晶系 的平面弹性问题和一个准周期弹性场的反平面问题。前者已由经典弹 性作了充分研究，而后者的动力学问题最终化为两个波动方程的求 解。第三节研究了一维六方准晶中半无限裂纹的快速传播问题，利用 保角变换以及c a u c h y 积分公式等工具求得了裂尖处的动态应力强度 内蒙古师范大学硕士学位论文 因子，当速度v 趋于0 时，该动力学问题就还原为静力学问题。第 四节和第五节分别研究了一维六方准晶狭长体中快速传播裂纹问题 和一维六方准晶中狭长体双半无限共线快速传播裂纹问题。第六节和 第七节分别研究了一维六方准晶有限宽单边裂纹的静态问题和动态 问题。这几节同第三节一样，求得了裂纹端点的应力强度因子的精确 解，当速度v 趋于0 时，该动力学问题就还原为静力学问题，且在 极限的情况下可以还原为若干已知的结果。 第三章为全文的总结，以概括的语言回顾了本文所做的工作。 关键词：一维准晶，弹性，裂纹，复变方法，动态应力强度因子 a b s t r a c t q u a s i c r y s t a l s ( o c s ) a r eb o t han o v e ls t r u c t u r eo fs o l i d sa n dak i n do f n e wm a t e r i a l sd i s c o v e r e di nr e c e n tm o r et h a nt w e n t yy e a r s i t sd i s c o v e r y b r e a k sw i t hp e o p l e st r a d i t i o n a lc o n c e p tt h a tt h es o l i d sa r ec l a s s i f i e di n t o c r y s t a l sa n du n c r y s t a l s at h e o r e t i c a ld e s c r i p t i o no ft h ed e f o r m e ds t a t eo f q c sr e q u i r e sac o m b i n e dc o n s i d e r a t i o n o fi n t e r r e l a t e d p h o n o na n d p h a s o nf i e l d t h ep h o n o nf i e l d d e s c r i b e st h em o t i o no fl a t t i c e si np h y s i c a l s p a c e ，w h i l et h ep h a s o nf i e l dd e s c r i b e st h eq u a s i p e r i o d i ca r r a n g e m e n to f a t o m si nt h ec o m p l e m e n t a r yo r t h o g o n a ls p a c e ，w h i c hi n t e r a c tw i t ho n e a n o t h e r o w i n gt ot h ee x i s t e n c eo fp h a s o nf i e l d ，t h ee l a s t i c i t yo fq c si s m o r ec o m p l e xt h a no ft h ec o n v e n t i o n a lc r y s t a l s a sf a ra st h ee l a s t i c i t y a n dd e f e c t sp r o b l e mo fo c sa r ec o n c e r n e d ，t h e r ea r es o m em a t h e m a t i c a l m e t h o d sh a v i n gb e e np r o p o s e ds u c ha sg r e e nf u n c t i o nm e t h o d 、f o u r i e r t r a n s f o r m m e t h o d 、p e r t u r b a t i o nm e t h o da n d t h e c o m p l e xv a r i a b l e f u n c t i o nm e t h o da n ds oo n t h i sp a p e rr e s e a r c h e ds o m ek i n d so f e l a s t i c i t y a n dd e f e c tp r o b l e m sb yu s i n gt h ec o m p l e xv a r i a b l ef u n c t i o nm e t h o di n o n ed i m e n s i o n a lq c s t h es t r u c t u r eo ft h i sp a p e ri s ： t h ef r i s tc h a p t e ri sa ni n t r o d u c t i o n i nt h i sc h a p t e r , t h ef i n do ft h e q c s ，t h ec l a s s i f i c a t i o na n dt h ef u n c t i o n o ft h eo c s ，a n dt h eg e n e r a l e l a s t i c i t ya n dd e f e c tp r o b l e mo fq c s a r ei n t r o d u c e d 内蒙古师范大学硕士学位论文 s o m ec o n c r e t ed e f e c t p r o b l e m s o fo n ed i m e n s i o n a lo c sa r e r e s e a r c h e di nt h es e c o n dc h a p t e r f o rt h ef i r s ts e c t i o n ，t h eb a s i ce l a s t i c i t y t h e o r yo fo n ed i m e n s i o n a lh e x a g o n a lq c si si n t r o d u c e d i t se l a s t i c i t y p r o b l e m i sd i v i d e di n t ot w oi n d e p e n d e n tp r o b l e m si nw h i c ht h ef i r s to n e i ss i m i l a rt ot h ec l a s s i c a le l a s t i c i t yp r o b l e ma n dt h es e c o n do n e sc o n t r o l e q u a t i o n sa r et w oh a r m o n i ce q u a t i o n s f o rt h es e c o n ds e c t i o n ，t h eb a s i c d y n a m i c st h e o r yo fo n ed i m e n s i o n a lh e x a g o n a lq c si si n t r o d u c e d i t s e l a s t i c i t yp r o b l e mi sd i v i d e di n t ot w oi n d e p e n d e n tp r o b l e m si nw h i c ht h e f i r s to n ei sp l a n ee l a s t i c i t yp r o b l e mo fc o m m o nh e x a g o n a lq c sa n dt h e s e c o n do n ei s a n t i p l a n ep r o b l e mo fq u a s i p e r i o d i ce l a s t i c i t ys p a c e t h e f o r m e ri sr e s e a r c h e di nc l a s s i c a le l a s t i c i y , t h el a t e r sd y n a m i c sp r o b l e mi s c o n t r o l e db yt w ow a v ee q u a t i o n s f o rt h et h i r ds e c t i o n s ，t h ep r o b l e mo f t h ed y n a m i c ss e m i - i n f i n i t ec r a c ki no n ed i m e n s i o n a lh e x a g o n a lq c s u t i l i z i n gt h et o o l so fc o n f o r m a lm a p p i n ga n dc a u c h yi n t e g r a lf o r m u l aa n d s oo n ，t h ed y n a m i c ss i f sa tt h ec r a c kt i p sa r eo b t a i n e d ，w h i c hc a nb e r e d u c e dt ot h ek n o w nr e s u l t su n d e rt h ec o n d i t i o no fl i m i t a t i o n ；f o rt h e f o u r t ha n dt h ef i f t hs e c t i o n ，t h ed y n a m i c sp r o b l e mo fs e m i i n f i n i t ec r a c k i nas t r i pa n dt w os e m i - i n f i n i t ec o l l i n e a rc r a c k si nas t r i pa r er e s e a r c h e di n o n e d i m e n s i o n a lh e x a g o n a lq u a s i c r y s t a l s f o rt h es i x t ha n dt h es e v e n t h s e c t i o n ，t h ep r o b l e mo ft h es t a t i ca n dd y n a m i c so faf i n i t ew i d t hs t r i pw i t h as i n g l ee d g ec r a c ka r er e s e a r c h e di no n e d i m e n s i o n a l h e x a g o n a l 内蒙古师范大学硕士学位论文 q u a s i c r y s t a l s t h ee x a c ts o l u t i o n so fs i f sa tt h ec r a c kt i pa r eo b t a i n e db y u s i n gt h em e t h o dw h i c hi ss a m ea st h et h i r ds e c t i o n ，w h e n t h e s p e e d v 一0 ，b o t ht h ed y n a m i c sc r a c kc a nb et u r n e di n t oas t a t i cc r a c k u n d e r t h ec o n d i t i o no fl i m i t i o n ，s o m eo t h e rr e s u l t sc a nb eo b t a i n e d t h et h i r dc h a p t e ri nw h i c ht h eg e n e r a lw o r ki ss u m m a r i z e di nt h i s p a p e ri sas u m m a r i z a t i o n k e yw o r d s ： o n e d i m e n s i o n a l h e x a g o n a lq u a s i c r y s t a l s ， e l a s t i c i t y , c r a c k s ，t h ec o m p l e xv a r i a b l ef u n c t i o nm e t h o d ，d y n a m i c s s i f s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研 究工作及取得的研究成果，尽我所知，除了文中特别加以标注和 致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含本人为获得内蒙古师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示感谢。 签名：强垄日期：- 。锣年石月5 日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解内蒙古师范大学有关保留、使用学 位论文的规定：内蒙古师范大学有权保留并向国家有关部门或机 构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子 文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 签名：翠岛色导师签名：嘭研 日期：2 哩箩年占月s 日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 准晶的发现 传统的固体物理学认为，固体分为晶体和非晶玻璃体。对于晶体，它是由被统称 为质点的离子、原子及分子在空间中无限周期重复排列构成的，这一性质被称为晶体 结构的周期性。j 下是这一性质的存在，使得在任意两个晶胞的对应点，晶体的物理性 质相同，这种特点称为晶体的平移对称性。此外，围绕一个通过晶格格点的轴旋转， 一 当转角为竺铆= 1 ，2 ，3 ，4 ，6 ) 或其整数倍时，总可以找到与自身重合的点阵，这一性质 , 称为晶体的取向对称性l l 】。由于平移对称性的制约，取向对称性只能取n = 1 ，2 ，3 ，4 ，6 五种而不能有n = 5 或n 6 的取向对称性，这在现实生活中反映为不能用正五边形 或边数大于六的j 下多边形无重复且不留州隙地铺满整个地面，也不能用具有5 次或6 次以上旋转对称轴的丁f 多面体无重复且不留问隙地充满整个空间。对于非晶玻璃体， 它和晶体不同，其原子的排列既不具有长程取向序，义不具有旋转对称性。 十九世纪术发现的x 射线，为晶体微观结构的研究提供了有力的工具。由于x 射线的波长非常短，而原子在晶体中的排列又具有周期性，因此，当用x 射线照射 晶体时，会产生明锐的却喇格衍射斑纹。j 仃在用x 划线照刑非d 6 体时，却没有上述 现象，只能产生弥散的较弱的衍射谱。 但是，1 9 8 4 年底美国国家标准局的谢其曼( d s h e c h t m a n ) 等在一篇名为“具有 长程取向序而无平移取向序的合晶相” 2 1 的论文中报道，他们在急冷a 1 一m n 合会中 通过电子显微镜观察到了一种新的合会相，这种合余相具有长程取向序且含有五重旋 转对称轴，他们称之为二十面体帽( l c o s a h e d r a lp h a s e ) 。这一发现和传统的固体物理 理论相悖，立刻引起了相关领域的许多科学工作者的关注。与此同时，我国科学工作 者郭可信等办独立的在t i v n i 急冷合会中发现了具有二十面体对称性的合晶相。 后来人们就把具有这种既不同于晶体又不同于非晶玻璃体的结构的物质统称为准晶 l ”。准品的发现，看似和传统的固体物理理论矛盾，其实不然，因为准晶虽然具有 长程取向序但却不是周期的，而是准周期的，这和晶体不同。j 下因为这样，准晶中 也就可以出现晶体学所不容许的旋转对称性。到目前为止，中外科学家已发现了包含 内蒙古师范大学硕士学位论文 五重、八重、十重以及十二重等旋转对称轴的准晶，如王宁和郭可信1 5 1 在c 厂一m 一豇 合金中发现了八次对称准晶，b e n d e r s k y 6 l 在a i m n 合会中发现了十次对称准晶，冯 国光在急冷的爿z 一心合金中也发现了十次对称准晶，i s h i m a s a 等【7 l 和陈焕等【8 | 分别 在c r 一f 蒸镀薄膜及v n i s 合余中发现了十二次对称准晶。随着对准晶研究的深入 越来越多的准品被发现m ”1 1 。1 2 1 ，李兴中和郭可信在急冷的爿z 一f 合金中发现了十次 准晶，马秀良和郭可信在a i c o 合金中发现了十次对称准晶何伦雄、张泽、吴玉 琨、郭可信在爿f 。一c u ，。一c o ，；合金中发现了稳定的十次准晶，葛少平、郭可信在 g 口一r c u ( s i ) 合金中发现了二十面体准晶及稳定十重对称准晶，在g a 。c i l ，c 0 ” g a 1 6 f e2 3 c u2 3 s i 8 和g a “v 1 3 n i s i s 合金中发现了二十面体准晶、稳定的十重准晶和四 个晶体相等等。准晶的发现为固体物理学家、力学家和材料学家提出了新的课题，随 着研究的深入，将会有越来越多来自不同领域的人参与到准晶的研究当中。我国在准 晶的基础研究方面，始终走在世界的前列，在郭可信、李方华等院士的指导下，取得 了一系列有重要意义的研究成果：国内在准晶的应用方面也进行了很有特色的工作， 如大连海事大学和大连理工大学开展了准晶增强爿f 基复合材料的研究，中南大学在 准晶粉末的制备方面具有优势，开展了有关涂层的研究，但是这些研究与美、同、欧 盟等发达国家相比明显落后。展望新的世纪，准晶材料无论是在基础研究领域还是应 用研究领域都存在着机遇和挑战。 1 2 准晶材料的分类及其功能 1 2 1准晶材料的分类 按照准晶在热力学上的稳定性，可以将其分为稳定准晶和亚稳定准晶两类。按照 准晶在三维空间中呈现的准周期的维数，可以将其分为维准晶、二维准晶和三维准 晶。所谓的一维准晶是指材料的原子在三维物理空间中的一个方向上的排列是准周期 的，而在与此方向垂直的平面内原子是周期排列的。一维准晶共包括3 1 种点群，分 为6 大晶系，1 0 个l a u e 类( 见表1 - 1 ) ，其中表现点群的符号的含义同文献【1 3 i 。所谓 的二维准晶是指材料的原子在三维物理空日j 中的两个方向上的排列是准周期的，而在 另外一个方向上的原子的排列是周期的。实验上已发现的二维准晶有十次准晶、十二 次准晶、八次准晶和五次准品等，这些二维准晶沿其周期方向分别具有十次旋转轴、 十二次旋转轴、八次旋转轴和五次旋转轴 1 4 1 。所谓的三维准晶是指材料的原子在三 2 第一耄绪论 维物理空间的三个方向上的排列都是准周期。实验上已经发现的三维准晶为二十面体 准晶，它又可以分为简单二十面体准晶和面心二十面体准晶两大类。由此可见，不论 是一维准晶、二维准晶还是三维准晶，它们实际上都是三维空间中的问题。 1 2 2准晶材料的应用 准晶从被发现到现在不过二十几年的时间，人们对其进行了深入、广泛的研究， 准晶的电子衍射花样特征表现出不同于晶体的5 次对称和高于6 次的8 次、1 0 次、1 2 次 对称，这些差异表明准晶代表了一种新的固态结构。早期发现的准晶都是亚稳念的， 对其研究以微观结构和形成机制为主。稳定奎准晶的发现为其性能和应用研究提供了 条件。从准晶国际会议i c q 议程的扩展可以清楚地发现准晶材料从基础研究进入应用 研究的轨迹。在i c q 初期主要以讨论准晶的结构模型、准晶的物理和力学性能为主， 在1 9 9 5 年的i c q 上首次将准晶的应用列入了会议的主要议程，标志着对准晶材料的研 究从以物理学为主的角度向以物理与材料科学方法并重的转变。 山于准晶特殊的结构和性能，己引起全世界的科研工作者的极大兴趣，并认识到 了这种新材料的应用潜能。准晶和普通材料相比，具有许多独特的性能，如准晶具有 较低的热传导率，并在高温时具有超塑性，这可以缓解由于热膨胀系数不同而造成的 热应力。准晶的密度比经过退火后得到的相同成分晶念相的密度约低2 ，这表明准 晶中原子的排列虽然比较密集，但其有序度低于晶态合会。另外，准晶的光学性能也 很特殊它对光具有吸收性和具有高的红外传导率，这有可能使其成为一种光学功能 材料。此外，准晶还具有不粘性、耐磨性等性能，所有这些性能都能使得准晶有可能 成为一种新的功能材料而被广泛应用，当然这还有待于相关领域的科研工作者的进一 步努力。但是，在应用过程中必须注意的一个问题是准品材料的脆性很大，难以作为 结构材料而被直接应用，这就极大地限制了它的应用范围。准晶材料具有的一系列性 能特点，使其从高技术领域如应用于航空航天器机翼和机身的表面涂层、航空发动机 叶片上的热障膜以代替传统的氧化锆和锆钇氧化物，到一般工业领域如用于轻合金表 面涂层等，都具有广阔的应用前景。然而由于准晶的脆性问题，严重阻碍了它在结构 材料中的应用。因此，目前准晶材料的应用仍主要在准晶薄膜( 准晶涂层1 和准晶复合 材料两方面。 准品峰硬与不粘的特性最早被利用于烹饪器具的涂层，第一个将准晶应用的专利 不粘锅涂层于1 9 8 8 年在法国诞生。不粘锅涂层通常是利用喷涂技术将月f o n 3 内蒙古师范大学硕士学位论文 准品颗粒沉积到基体上，并形成一个均匀薄膜。由于同时加入了c r 等合会元素，因此 该薄膜除具有较低的表面能，即具有优良的不粘性能外，还具有优良的耐蚀性、耐高 温性( 可承受7 5 0 高温) 、高的硬度( 是不锈钢硬度的2 倍以上) 和高的酬磨性。准品涂 层导热性差，在升温的初期涂层犹如一层绝热层，使底部积聚的热量均匀地扩散至整 个表面而不会产生局部过热，烹饪结束又能使热量在锅中均匀地保持一段时问，完全 符合食品烹饪要求。所以，准晶涂层不粘锅的出现，显示了取代传统的蝌磨性差、使 用寿命短的聚四氟乙烯涂层( t e f l o n ) 不粘锅的趋势。据中国对外贸易2 0 0 0 年9 月 的报道，至2 0 世纪术仅法国s n mi 公司每月就要生产3 万件准晶不粘涂层产品( 以煎锅 为主) ，且随着生产技术的提高和市场的不断扩大，产量将会进一步提高，并不断推出 新产品( 如烤肉架等) 。与航空发动机常用的隔热材料锆钇氧化物及其它隔热材料相比 准品涂层具有密度低、硬度高、耐磨、耐蚀、耐氧化、使用温度高及易于制造等优点， 因而能满足多种场合下的隔热要求。其形成方法也是利用喷涂技术在基体表面形成一 层准品薄膜。目前准晶热障涂层己在飞机和汽车发动机等部件中得到应用。 准品本身并不具备光的选择吸收特性，但准晶薄膜与高反射材料组成的多层结 构材料。如“铜一绝缘体一准晶一绝缘体”对太阳光却具有选择吸收的特性。由此构成 的绝缘体一准晶一绝缘体多层膜具有很高的热吸收率和很低的热发射率，与现有的工业 化材料相比，虽然它们的热吸收率略有降低，但热发射率却要低得多。这些理论和实验 的结果，使人们对准晶制作太阳能选择吸收装置产牛了极大的兴趣。 准品弥散强化的特性币存逐渐走向实用。本文时而提及的一，一白一心准品颗 粒爿，基复合材料已被用作轻质中温高强、高韧结构材料；由准晶弥散强化的低碳马 氏体时效超高强度钢( 硬度7 3 0 h v ，抗拉强度接近3 0 0 0 m p a ) ，则可望应用于医疗器械 材料。i n o u e 等获得的出纳米尺度的a l 一& i n l a ，a l c r l a 准晶颗粒增强的爿，基 合会，因具有优良的弯曲性能和高达1 2 0 0 1 4 0 0 m p a 的弯曲强度，而有望应用于航空 工业。 二十面体准晶的独特结构，很容易把它与软磁材料联系在一起。软磁材料的特点 是高的磁导率，低的矫顽力和低的铁芯损耗。而二十面体准晶的特点是具有极高的电 阻率和较高的对称性( 比任何晶态磁性材料都高) ，易磁化轴数比晶态多，各向异性 的位垒低，畴壁运动或磁矩转动都比较容易，因而可以有效地降低矫顽力和铁芯损耗。 所以，虽然二十面体准晶因具有磁各向异性而降低了磁导率，但仍有可能成为具有优 异软磁性能的磁性材料。对于二维准晶，若易磁化轴是其周期排列的主轴，则有可能 4 第一章绪论 获得单轴各向异性的新的永磁材。由此可见，准晶对磁性的一个重要影响就是磁各向 异性。虽然至今尚未获得真币的准晶磁性材料，但由近期丌发的居旱温度在3 0 0 5 0 0 k 的二十面体爿f 7 0 - x p d ， 如。，巩铁磁性准晶材料等成果可以相信，随着对准晶材料研究 的不断深入，一定能丌发出具有实际应用价值的准晶磁性材料。 总之，准晶的应用研究现在正在向纵深发展，最近几届国际准晶会议都将此列 为了重要议题，此外，准晶的应用研究也激励着科研人员致力于与准晶相关的其他领 域，诸如准周期光学超品格的研制、光学准晶( o p t i c a lq u a s i c r y s t a l s ) 、声学准晶 ( a c o u s t i cq u a s i c r y s t a l s ) 和引力波准晶( c a p i l l a r y w a v e s ) 的发现为该领域带来了 激动人心的成果。由此可见，准晶的应用研究是个充满机会和挑战的领域。 表1 1 一维准晶的点群，l a u e 类和独立弹性常数 弹性常数个数 晶系 l a u e 类 点群 n c ，n k ，n r 2 161 8 三斜 1 1 ，1 2 ，川 ，2 m 1 368 单斜 21 341 0 2 ，删，2 h m 3 正交 4 2 2 2 ，2 m m ，2 m m ，m i ，l 935 5 4 ，五，4 m h 724 四方 66 2 3 4 2 2 ，4 r a m ，互抽，4 mh l t l m 7 3 ，3 726 三方 8 6 24 3 2 ，3 m ，锄 9 6 ，6 ，6 m 5 2 4 六方 1 0523 6 2 2 ，6 m m ，6 2 m ，6 m m r t l 1 3准晶的弹性和缺陷 5 内蒙古师范丈学硕士学位论文 准晶的发现改变了人们以往对固体材料的认识。自准晶被发现之只起，就有许多 科学工作者投入到了准晶的理论研究当中。目前，有关准晶的研究已取得了若干重要 成果。国外的mv j a r i c 、m s s e n e c h m 、t j a n s s e n 以及我国的彭志忠等研究了准晶 的数学描述 1 5 - 1 8 1 ；s t a k e u c h i 、c j a n o t 、sb r o c h a l 和h s a i t o 等以及我国的刘有 延、傅秀军、杨文革等研究了准晶的包括电学、光学、磁学和热学等在内的物理性质， 取得了令人瞩目的进展 1 9 - ”1 ；我国科学工作者丁棣华、王仁卉、胡承正、杨文革和 陈敬中等在准晶的对称性、弹性塑性和位错的普遍理论及物理性质等方面的研究取得 了大量的重要成果【“圳：刘有延和傅秀军等在准晶体的构造方法，各类点阵和不同 类型准晶结构的各种独特的物理性质等方面也取得了许多有意义的成果 3 1 1 。在此基 础上，以范天佑为代表的小组在准晶数学弹性理论方面开展了若干研究，也取得了成 功。 由于准晶结构不具有周期对称性，而是有准周期对称性，所以其弹性与经典的 弹性有很大的不同。准品弹性的描述需要引入两个位移场u 与w ，这是b a k 与s o c o l a r 等基于l a u d a u 关于元激发的唯象理论提出的。其中u 描述品格格点离开平衡位置的 距离，当格点离丌平衡位置发生振动时，这种振动的传播是声波，这种波是量子化的， 其量子称为声子，其低能长波激发是传播型的。所以，从物理学的角度讲，u 场又称 为声子场。在一定程度上描述准周期结构的重排( 在晶体中这种重排是不可区分的) ， 从而形成另一类低能长波元激发，这种元激发是扩散型的，也将导致局域能晕扰动 m l 。在物理学中把w 场又称为十h 位子场。j f 是山于相位予场的存在，使的准品的弹 性比经典的弹性要复杂的多。在准晶物理学中，d ( d = 1 ，2 ，3 ) 维准晶可以看作是由n ( n 3 ) 维空i 日j 的晶体向三维空i - 白j 投影而得到的。因此，该高维空间有两个子空间，个是物 理空j 、日j ，又称为平行空间厶，另一个称为补空| 白j ，或者垂直空间e 。那么位移场u 在毛中，w 在e 中a 自准品被发现以来，准晶中的缺陷就被观察到了。由于准晶材料比较脆，所以对 于准晶中所含的缺陷进行研究，就显得尤为重要。在各类准晶中，一维准品以其相对 简单的结构成为人们开始研究准晶材料时首选的研究对象。到目前为止，有关一维准 晶的弹性与缺陷的研究己取得了许多重要结果 3 5 - 5 5 1 ，范天佑教授研究了一维六方准 晶中的位错问题、g r i f f i t h 裂纹问题、椭圆孔口问题、高度有限的带裂纹狭长体问题、 宽度为有限的带裂纹狭长体问题等等：周旺民研究了立方准品和八次对称二维准晶的 6 第一章绪论 位错问题、g r i f f i t h 裂纹问题等等；皮建东研究了一维六方准晶狭长体中共线裂纹的 精确解问题及一维六方准晶圆弧裂纹与抛物线裂纹问题；刘官厅教授在一维准晶系平 面弹性问题方面作的研究等等；郭俊宏对一维六方准晶中的圆带双裂纹、椭圆带双裂 纹、非对称狭长体带单裂纹等问题作了研究；陈柱对一维六方准晶中的星形裂纹、2 个周期裂纹的圆形孔口、4 k 个周期裂纹的圆形孔口等问题作了研究，都取得了丰富 的结果。对于二维以及三维准晶的弹性与缺陷的研究，也已取得了相当丰富的成果 啡。”，刘官厅教授在十次对称二维准晶弹性方面作了研究；周旺民对八次对称二维 准晶中i i 型裂纹作了研究；郭玉翠对平面十次对称二维准晶中1 i 型裂纹作了研究；彭 彦泽对二维十次准晶圆盘状裂纹问题作了研究；李联和在l o m m 十次对称二维准晶弹 性方面作了研究：章磊研究了l o m m 十次对称二维准晶的双裂纹问题，都取得了丰富 的结果。在这些研究的基础上，范天佑教授研究了一维六方准晶中的运动位错问题、 运动i i i 型g r i f f i t h 裂纹问题；郭俊宏对一维六方准晶中非对称狭长体带单裂纹的动力 学问题进行了研究，都取得了丰富的结果瞄4 l 。 本文主要研究了一维六方准晶中狭长体快速传播共线裂纹、狭长体双半无限共 线快速传播裂纹、有限宽单边动态裂纹等几类复杂缺陷动力学问题。 7 内蒙古师范大学硕士学位论文 第二章准晶弹性的基本理论与缺陷问题 2 1一维六方准晶弹性的基本理论 准晶是近二十多年来发现的一种新的固体结构的新材料，其弹性问题的刻画不仅 需要描写晶格振动的声子场，还需要刻画原子准周期排列的相位子场，而且二者是相 互耦合的。如表1 - 1 所示，一维准晶共包括3 1 种点群，分为六大晶系，1 0 个l a u e 类，文献【3 5 】研究了一维准晶弹性的普遍解，文献【3 6 】研究了一维六方准晶中的弹性 和位错问题，文献【3 7 】中讨论了一维六方准晶中的双裂纹问题，3 礅 3 8 4 0 】分别研究 了一维六方准晶中的直位错运动位错以及裂纹与位错的相互作用。本章将讨论点6 m m 一维六方准晶的几类复杂缺陷的动力学问题。 在一维六方准晶中，用h ，h ：， 1 3 表示声子场位移分量，w 表示相位予场位移分 量，用 k “，w 】i 【l i ，2 2 ，孙，2 e 玎，2 e 3 1 ，2 e 1 2 ，m ，3 ，w l ，w ! 】 【口口，h ，】皇【口l l ，盯，盯”，盯2 3 ，口”，盯1 1 ，h 3 ，h l ，h 2 】 分别表示声子场及相位子场的应变以及应力分量。由文献【6 4 】知，一维六方准晶中的 广义h o o k e 定律为 t 7 i l 暑c 1 l 占1 1 + c l ：嚣+ c 1 3 3 3 + r 1 w 3 盯2 2t c l ：f l l + c “占+ c 1 3 f 3 3 + r 1 。 4 1 7 站i c l 3 l l + c 1 3 f 2 2 + c g ”+ r 2 w 3 盯i t 7 3 2i2 c “+ r 3 w 2 口3 li 盯”i2 c 4 4 岛l + r 3 w i( 2 1 1 ) q 2i 盯2 1 2 c k f l 2 h ii2 r 3 5 3 1 + k 2 h h 2 - 2 b f 。+ x 3 w ： 8 一一蔓三童垄曼堡些塑苎查墨堡兰壁堕囹望 h 3 暑r l ( i l + 2 ：) + r ：s + k l 其中c 和k 分别为声子场及相位子场独立弹性常数，r c 。毕r 。为耦合 的声子场相位子场弹性常数。几何方程为 1 “。 0 “f + a 。“) ，w ，ta ，w( 2 1 2 ) 其中a ，“j - o u 。l a x ，( f ，= 1 , 2 ，3 ) ，在不计体力的。i f f 况t ，平衡方程为 a l 仃】l + a ! d l ! + d3 盯1 3 = 0 a 1 盯：l + a2 仃2 2 + a3 盯0 a l 口3 i + a ：盯3 2 + 03 c 7 置0 ( 2 1 3 ) a l h l + a ：日! + a3 h 3 0 d 2 t 2 ( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) 一- - - 式就是点群6 r a m 一维六方准晶弹性理论的基本方程。 取准周期方向为坐标轴屯方向，则当缺陷穿透一维六方准晶的准周期方向时由准 晶体的几何对称性知，变形不随自变量量变化，即 0 3 u i 。0 ，a 3 w = 0 ，a 3 h ，；0 ，f ，j = 1 , 2 ，3( 2 1 4 ) 将( 2 。1 4 ) 代入( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) ，可以得到如下两个相互分离的问题： 问题i 口2 j 皇盯j ：i2 c 4 4 e 嚣+ 咫w ： 盯3 i - 盯1 3 2 c “岛l + b ，1 日1 _ 2 局f 3 l + k ：嵋，2 ；2 b 占+ k 2 w 2 a l 口，l + 0 2 仃，21 0 ，aj 日1 + a ! 日2 _ 0 e 3 j - e j 3 一i 1d 产3 ，w ；a w ，：1 ，2 这是耦合的声子场- 相位子场问题，和一般的晶体的弹性问题完全不同。 问题i i ( 7 j l 簟c f + c - 2 f 2 2 ，( 7 ：! i c l ! 占1 1 + c f 置 o i ! c ，2 l - ( c 1 l c 2 2 ) e j 2 c ，”- c 1 3 ( 占l l + 1 2 ) ，h 3 r l ( 占1 1 + 2 2 ) a 1 盯+ a ! 盯1 2 0 ，a i 盯2 l + a 2 口2 2 _ 0 9 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 佗1 ( 2 1 ( 2 1 1 ) 2 ) f 2 1 1 3 ) 内蒙古师范大学硕士学位论文 e j 。i 1 ( 8 产i + a 。“ai ，= 1 ，2 ( 2 1 1 4 ) 该问题类似于各向同性晶体的平面应变问题，但比后者多了一个方程( 2 1 1 2 ) 的第 二式。 对于问题i ，将( 2 1 9 ) 式代入( 2 1 5 ) ( 2 1 7 ) 式后，再代入( 2 1 8 ) 式， 可以得到 c “v ! “3 + r 3 v2 w - 0 ，r 3 v2 u 3 + k 2 v 2 w 1 0 ( 2 1 1 5 ) 其中v 2 兰；+ 兰，当巳托一r 3 2 - 0 时，上式化为 c w id x ， 审2 码一0 ，v 2 w 一0( 2 1 1 6 ) ( 2 1 1 6 ) 式说明，问题i 最终归结为两个调和方程的求解，由复变函数理论知，h ，和 w 可表示为两个解析函数的实部，即 3 r e 纯0 ) ，w r e 妒l ( z )( 2 1 1 7 ) 其中r e 表示实部，妒。( z ) ，妒，( z ) 为任意两个解析函数，z = 工。+ x ：。 对于问题1 i ，可以按照经典的弹性理论去求解i 1 9 1 ，这早不再详述。 2 2一维六方准晶动力学问题的基本理论 由文献【6 4 】可知，在一维六方准品动力学中，取准周期方向为坐标轴工，方向当缺 陷沿准周期方向矗穿透时，其弹性问题可化为两个相独立的问题，一个普通晶体人 方晶系的平面弹性问题和一个准周期弹性场的反平面问题，前者已出经典弹性理论作 了充分研究，本文不讨论该问题。而后者的动力学问题由下面方程组描写( 为了描写 运动问题，把固定坐标记为工，) c r 马一乃2 = 2 c “f 卫+ r ，w 2 ( 2 2 1 ) 盯那i 口”暑2 c “3 l + 马w 1 ( 2 2 2 ) l 譬2 b 3 l + k ：h ，日2 = 2 r 3 e 2 3 + k ：w 2( 2 2 3 ) = s 1 3 一三鲁，嘞= 三豢 仁z 川 2 。j 蔷钳。2 j 蔷 ( 2 2 一) w 3 1 ；i 1i o 辄 3 ，32；i1_3w314,5 ( 2 2 5 ) 。j i 。j 瓦 ( 2 2 5 ) 1 0 第二章准晶弹性的基本理论与缺陷问题 其中p 代表准晶的质量密度。 把应变位移关系代入应力应变关系之后，再代入运动方程得到 c 叩：ma p _ 可q 9 2 u j ，叩2 r 3 v 2 m - p 孚 其中v ：乓+ 乓 船，印。 当c 。k ：一r ，2 0 时，( 2 2 7 ) 式可表示成其等价形式 v 2 ”丽p ! ：坐兰2 二垦竖! o t 2 审2 w ，= 瓦p i 掣a t c “x ! 一r i 。 如果引进位移势函数妒( x ，y ，t ) 与妒( x ，) ，f ) 如下： u 3 皇口妒一r 3 妒，, w 3 足矿+ 口妒 其中n - 三【c 。一k ：+ 厄i i 丽】 则方程( 2 2 8 ) 、( 2 2 9 ) 两式可以写成 矿庐。警一：妒。挚 ( 2 2 6 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 2 1 0 ) ( 2 2 1 1 ) ( 2 2 1 2 ) 其中5 ，与j ：代表一维六方准晶准周期场在反平面应变情形下波的传播速度，它们 由下式表达 p 踟哪， 铲扛幔+ 厄忑万可】 衄3 ) s ：。三【c 。+ 足：一瓜i i 丽】 上式表明，声子场与相位子场波的传播是相互耦合的。 把位移表达式( 2 2 1 0 ) 代入应力一应变关系得到由位移势函数庐与妒表示的应力分 量为 叩 坠砂坠峨垫扩 p 堕妙k。 坚缸 内蒙古师范大学硕士学位论文 。j 2 3 ：。( a c 。+ 尺3 1 ) 警+ r 3 ( d c 。) 譬 ( 2 2 1 4 ) d yd y 。( a c 。+ 马2 ) 警+ r ，和一c 。) 警 ( 2 2 1 5 ) 咄dl h 。：b ( 口+ k 2 ) 警+ ( a k ：一恐2 ) 掣 ( 2 2 1 6 ) dv们， ，。；r ，扣+ k ：) 竺+ ( 口k ：一是2 ) 娑( 2 - 2 1 7 ) 靠c 0 c h 1 3i h 。0( 2 2 1 8 ) 由于所有的的位移与应力均可以由庐与妒表示，只要出波动方程( 2 2 1 2 ) 在适当的 初始条件、边界条件下解出面与廿，便可以确京何移场与应力场。 2 3一维六方准晶无限大平面半无限裂纹的动态分析 假设一无限大一维六方准晶中包含一穿透准周期方向( 设为z 方向) 的半无限裂 纹，在无穷远处该准晶体受到沿准周期方向的剪切力f ，裂纹以均匀速度v 沿方向x 运动如图所示 由线性弹性理论分析的结果知，该问题同准晶体在无穷远处不受外应力而只在裂 纹面上作用着剪应力盯3 2 一呵。，h ：呵：的情况是等价的，所以我们只讨论这后一问 题。则该问题的边界条件为 第二章准晶弹性的基本理论与