（光学专业论文）量子纠缠度量的研究.pdf

摘要 摘要 本文中，作者将以量子纠缠为中心，对量子纠缠度量的两个相关课题进行研究。 l 我们研究了3 - - q u b i t 纯态的3 - t a n g l e 在整体幺正演化下的变化，通过在q u b i tc 上施加一个局域操作，对3 - t a n g l e 的速率进行操控。我们的目的，是通过调节这 个局域的u 操作，使得3 - t a n g l e 的变化率最快。我们提出了一种新的定义来描述 纠缠度量的变化率。对g h z 态，w 态，以及两分态，进行了详细的讨论。 2 利用算符空间和态空间的同构，人们建立一种从算符到态的映射，这种映射保 持可分性。本文利用这种映射的另一种等价的表达，讨论两体超算符的可分性问 题。我们利用w i t n e s s 这一量子态的可分判据，来描述超算符的可分性条件。利 用局域正交观测量的概念，我们解析地给出超算符可分性条件。利用w i t n e s s 的 下界，给出一个描写超算符产生纠缠能力的纠缠因子。 关键词：量子纠缠，3 - t a n g l e ，量子态的可分判据，超算符可分性。 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，t h ea u t h o rw i l li n v e s t i g a t ea n dd i s c u s st w oa s p e c t so fq u a n t u m e n t a n g l e m e n t 1w es t u d yt h e3 - t a n g l ec h a n g i n gr a t eo fa3 - q u b i tp u r es t a t eu n d e rt h eu n i t a r y e v o l u t i o n t h er a t ec o u l db ec o n t r o l l e db yp e r f o r m i n gal o c a lo p e r a t i o nuo nq u b i tc b e f o r et h ee v o l u t i o n o u rg o a li st om a x i m i z et h i s3 - t a n g l ec h a n g i n gr a t eb ya d j u s t i n g t h et h r e ep a r a m e t e r so fu i nt h i sw o r k ，w eg i v ea ne x p l i c i td e f i n i t i o no f3 - t a n g l er a t e c o n t r o ll e db yl o c a lo p e r a t i o na n dd i s c u s sg h za n dws t a t e sa se x a m p l e s w ef in dt h a t ， f o rg h zs t a t e ，t h e3 - t a n g l er a t eu n d e rx x zm o d e lm e r e l yd e p e n d so nt h ep a r a m e t e r0 o fu c ，w h i c hc o r r e s p o n d st ot h er o t a t i o na b o u tt h ey - a x i s f o rws t a t e ，a l lt h et h r e e p a r a m e t e r so fu c s h o u l db ec o n s i d e r e dt om a x i m i z et h e3 - t a n g l er a t e 2b a s e do nt h ei s o m o r p h i cr e l a t i o nb e t w e e no p e r a t o rs p a c ea n dh i l b e r ts p a c e c i r a ce t a l 。m a pt h eg l o b a ls u p e r o p e r a t o rt oam i x e ds t a t epw h i c hh a st h es a m es e p a r a b i l i t yo f t h ei n i t i a ls u p e r o p e r a t o r i nt h i sp a p e r , w ef i r s tg i v ean e we x p r e s s i o no fc i r a c sm a p t h e nw eu s ew i t n e s st od e t e c tt h ee n t a n g l e m e n to fpt oj u d g et h es e p a r a b i l i t yo ft h e i n i t i a ls u p e r o p e r a t o r w i t ht h eh e l po fl o c a lo r t h o g o n a lo b s e r v a b l e s ，w ed i r e c t l y d e s c r i b et h es e p a r a b l ec r i t e r i o no fs u p e r o p e r a t o r sb yi t se a c ho p e r a t o r u s i n gt h el o w e r b o u n do ft h ew i t n e s s ，w eg i v ea ne n t a n g l e m e n tf a c t o rt od e s c r i b et h ec a p a b i l i t yo f e n t a n g l e m e n tg e n e r a t i o nf o rb i p a r t i t es u p e r o p e r a t o r k e yw o r d s ：q u a n t u me n t a n g l e m e n t , 3 - t a n g l e , s e p a r a b l ec r i t e r i o n ，s e p a r a b i l i t yo f q u a n t u ms u p e r o p e r a t o r ， i i 中国科学技术大学学位论文原创性声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所取得的成 果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任何他人已经发表或撰写 过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确 的说明。 作者签名：签字日期： 中国科学技术大学学位论文授权使用声明 作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者授权中国科学技术大学拥 有学位论文的部分使用权，即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交 论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。本人 提交的电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 ￥开口保密。年， 作者签名：季挺虹 导师签名： 签字日期：。鱼哆牝 签字日期： 2 翻：! ：! l 第一章量子信息基本知识 第一章量子信息基本知识 1 1 量子信息的基本概念 量子信息作为近几年迅速发展起来的新学科，由于其深刻的科学内涵和巨大 的应用潜力，在很多领域显现出了重大的意义。如量子密码，量子通信，量子计 算等分支，都是现在科学研究的热门领域。在量子信息学中，信息的存储，表示， 提取都是基于量子态的概念的。量子态是描述系统的数学工具。而纠缠态，是量 子态中重要的一类，这类态展现了经典物理学，经典信息学所没有的行为。也正 因为如此，纠缠的概念才成为量子信息学的重要基石。在爱因斯坦的一篇著名的 文章里，纠缠现象被当作一个佯谬提出来。爱因斯坦提出“上帝不掷色子”的观 点，攻击量子力学的正确性 1 】后来，人们提出了贝尔不等式，把验证量子力学 的定域性问题转化为验证贝尔不等式近百年来，大量的科学研究揭示了违背贝 尔不等式的实验现象，证明了量子力学的非定域性越来越多地证实了纠缠这一 概念的正确性【2 5 】。 从量子信息的观点来看，纠缠是一种新类型的资源，与经典信息论中被视为 信息的资源完全不同。利用这种资源，量子密码，量子通信才能成为现实。判断 一个量子体系里是否有纠缠，有多少纠缠，就可以判断体系中有多少这种新类型 的资源，这显然是一个有重大意义的问题。但纠缠的度量与判定，都是非常困难 的。尽管如此，通过几十年的努力，人们还是获得了许多漂亮的结果和有效的方 法。 本章将从介绍量子态的基本概念出发，引入量子纠缠的概念，然后介绍一些 纠缠度量的主要结果。 1 1 1 量子比特 经典计算机中，用高低电压来表示比特，光线通信中，用亮暗两种光信号作 为信息比特。量子系统中，是用两态物理系统来实现的，分别把这两这态记做0 ， l ，对应于经典的0 和l 。 量子态于经典态最大的区别在于它的相干叠加性，量子叠加态可以表示为0 第一章量子信息基本知识 和l 的线性组合，表示为： f 矽) = 口i o ) + 1 1 ) ，阱+ i p l 2 = 1 ( 1 。1 ) 此时，量子比特的状态是二维复向量空间中的向量。1 0 ) 和1 1 ) 成为计算基态， 构成向量空间的一组基。如果测量一个经典比特，不是为l o ) 就是为1 1 ) ，在相同 的实验条件下，测量结果永远是确定的。但如果我们测量这个量子比特，将会以 i 口1 2 的概率得到i o ) ，以i 1 2 的概率得到1 1 ) 。系统可以处于l o ) 和1 1 ) 任意叠加态， 直到它被测量，坍缩到i o ) 或者f i ) 。爱因斯坦不能够接受这种解释，他认为测量 不会改变“物理实在”，虽然爱因斯坦不反对量子力学的其他假设，但始终不能 接受相干叠加导致测量坍缩的观点。但量子比特的存在，以及测量坍缩的现象， 已经被大量的物理实验所证明。很多物理系统都可以用来实现量子比特，比如电 子的自旋取向，光子的横纵方向的偏振等等。 1 1 2 纯态 量子比特概念可以被推广到n 维。如果我们对量子系统的状态拥有最大的信 息量，也就是一组完备可观测量集，可以确定的知道每个可观测量的值，我们就 说一个系统处于纯态，用h i l b e r t 空间的一个矢量表示。在维度大于2 的情况下， 这个矢量称为q u d i t ，它的一般形式为： l 痧) = q l f ) ( 1 2 ) f 这种可以用一个h i l b e r t 空间的一个矢量描述的态，称为纯态。 1 1 3 混态及密度矩阵和b i o c h 球 密度矩阵是量子态的另一种描述。对于一个纯态l ) ，定义矩阵p = i ) ( i ， 称为与量子态l ) 相应的密度算符。对于纯态，这两种方式等价。但对于不能用 一个矢量来描述的混合态而言，只能用密度矩阵来描述。 有的实验装置中制备的体系，并不处于一个纯态，而是处于一系列纯态的某 种统计混合态，这样的态叫混态。具体来讲，比如以p 。的概率制备i 甲。) ，p 2 的 第一章量子信息基本知识 概率制l 甲：) ，这时系统不能用单纯的一个波函数来描述，而只能用密度矩阵 p = p tl 甲。) ( 甲。t + p 21 甲：) ( 甲：l 来描述。一般地，设f ) 是一组正交归一的纯态， ，i 纪) ( 纪i = l 。设体系以九的概率处于j 纯) 态，定义此混合态的密度矩阵为： = ，只l 仍) ( 够i ( 1 3 ) 混态密度矩阵除了不满足p 2 = p 这一性质，具有与纯态密度矩阵相同的一些性 质： 1 t r ( p ) = 1 ， 2 p 是正定的。 考虑f 少 的归一性，ly 可由三个实参量决定，因此ly 可改写为： = p 。s o + p i n i 0l l ) ， ( 1 4 a ) o ) 1 1 f i g 1 单q u b i t b l o c h 球 其中乃织妫实数。一般情况下，作为整体相位的p 咿可以不用考虑，这样l 可以由两个实参数决定，所以l 沙 重新改写为： 3 第一章量子信息基本知识 f y = c 。s i 0 | 0 q n 詈l ( 1 4 b ) 从上面的形式可以看出，i 少 可由单位球的球面上的一个点来表示，如上图所 示。 我们把这个球称作b l o c h 球，b l o c h 球内的点对应于混态，这点可以从q u b i t 的 矩阵表述看出来，把( 1 4 b ) 式写成密度矩阵的形式 7 ： p = c o s 2 旦 2 p f 伊c o s m 旷s l n 旦 22 p - 矿c o s 旦s i n 旦 22 s i n 2 旦 2 =三，+!(印cos8目p-*si目n2 2es i n c o s 秒) = 三2 ( ，+ 元矛) ， = 一+ 一ll = 一i + 刀盯i ， 【咿 目目 j 、7 其中，元= ( s i n0 c o s c p ，s i no s i nc , o ，c o s 6 ) 是态的方向矢量，矛是泡利矩阵向量： ( 1 5 ) 吒= ( ? ：) ，q = ( ? 苫) ，吒= ( j 二) c t q 对混态而言，历不是单位向量，而是模小于1 的矢量，因此对应于b l o c h 球内的 点。 1 1 4 算子函数和约化密度矩阵 利用矩阵论，可以定义以矩阵为变量的函数。一般而言，给定从复数到复数 的函数，可以通过以下步骤定义矩阵函数。令么= 1 2 a l a ) ( a | 是算子彳的一个 谱分解，定义小) = 莩m 凇呦e x p ( 眠) = k 对于一个多体态，如果只对其子体系进行测量，这种测量就是不完全测量。为了 描述子体系的状态，就需要引入约化密度矩阵的概念。 假设有一个两体系统岛口，针对子系a 的约化密度矩阵定义为： p a = ( p a 。) ，这里是一个算子映射，称为在系统b 上求偏迹。偏迹定义为： t r n ( p a 口) - - e ，占( f | 仍占1 1 ) 占 ( 1 7 ) 4 第一章量子信息基本知识 这样定义的偏迹是唯一可以正确描述符合子系统内可观测量的运算。 1 2 量子纠缠 量子纠缠是量子信息学的灵魂，是量子信息学与经典信息学最本质的区别。 量子纠缠所导致的量子测量上的独特的性质，在量子通讯，量子密码，量子计算 等学科中体现了巨大的优势。 纠缠的概念只对于多体才有意义。对于一个两个或者多体量子系统组成的复 合系统，虽然整个的h i l b e r t 空间是子系统h i l b e r t 空间的直积，但整个系统的量 子态却不一定可以写成子系统态的直积，如果不能表示为直积的形式，系统就是 纠缠的。 1 2 1 纠缠概念的提出 纠缠的概念最早是在薛定额猫和e p r 佯谬两篇文章中提出来，对传统量子 力学提出批评。人们通过研究这种质疑，更深刻地认识了量子力学。最简单的纠 缠态是两q u b i t 的b e l l 态【6 】： 甲灶掣 2 吖= 学， ( 1 7 ) 其中，i ) 一称作单重态，具有交换反对称性，其他三个称为三重态，具有交 换对称性。这四个态构成两比特体系所张成的四维h i l b e r t 空间的一组基，通常 称作b e l l 基。利用它们生成的投影算子，可以把系统的h i l b e r t 空l j 投影到反对 称空间和对称空间。对称性与反对称性的概念在纠缠度量里非常重要，后面将要 介绍的m i n t e r t 的多体纠缠度，z a n a r d i 的算符纠缠度，都是以对称性和反对称性 作为基本的出发点的。 纠缠现象展现了种异于经典的观点。在经典力学中，一个物理量是与测量 无关的。比如个质点的位置是它的固有的性质，不依赖于我们用什么方法来测 量它。但在b e l l 态中，任何一个比特都不具有某个方向确定的自旋。如果a l i c e 第一章量子信息基本知识 沿v 轴测量a 粒子的自旋，她将以l 2 的概率得到l ，i 2 的概率得到1 。一旦 a l i c e 得到了测量结果，她就可以预言：如果b o b 继续沿v 轴测量b 粒子，他将 会得到什么结果。也就是说，上式仅仅阐明了a b 两个q u b i t 的关联方式，而不 能提供它们各自自旋方向的任何信息。这种关联已经超越了经典的关联意义。即 使a b 距离很远，这种关联依然存在。 可以说，b e l l 态告诉了我们两个q u b i t 的关联方式，是正关联还是反关联， ( 至于对单个q u b i t 的自旋朝向，我们一无所知，这一点也可以从单个q u b i t 的约化 密度矩阵为单位阵( 即所谓的垃圾态) 看出来。 1 2 2 量子 f e i e p o r t a t i o n 量子t e l e p o r t a t i o n 又称为量子隐形传态 8 】，是量子纠缠在量子通讯中最简单 的应用。通过t e l e p o r t a t i o n ，可以清楚的看到量子纠缠在量子信息中占有重要的 位置。量子纠缠，使这种经典世界中不可能完成的任务成为可能。 a l i c e 拥有一个q u b i t a ，a 处于信息态 m = 口l o + p 1 1 ) 现在a l i c e 的任务是把这个态的两个复系数，传送给b o b 。 a l i c e 和b o b 事先制备了一个b e l l 态：i 甲) 职= ( 1 0 1 ) 一1 1 0 ) ) ，然后a l i c e 带走b 粒子，b o b 带走c 粒子，他们就有了传递信息的量子通道，这种通道是 区别于经典的光电通讯手段的。 这三个粒子所处于的量子态是： i 甲) 胱= 芳( j 0 0 1 ) 一1 0 1 0 ) ) + 丢( ) 一i ll o ) ) ( 1 9 ) 一 、z 现在利用b e l l 基将粒子a b 的状态进行展开，得到： i v ) 矿爿阿( 一a i 。) 一删+ i s ) + ( 一口i 。) + 删 + 期甲) 一( 口1 1 ) + l o ) ) + 阿( 口1 1 ) 一| o ) ) 现在a l i c e 对手中的两个粒子a 和b 进行b e l l 基测量，然后利用经典通讯手段， 把结果告诉b o b ，有四种结果： 1a l i c e 宣布得到i ) 一，b o b 不需要作任何操作就能拥有信息态。 第一章量子信息基本知识 2 a l i c e 宣布得到i 西) + ，b o b 对q u b i t c 进行盯：旋转，就能拥有信息态。 3a l i c e 宣布得到i 甲) 一，b o b 对q u b i t c 进行吒旋转，就能拥有信息态。 4 a l i c e 宣布得到i 甲) + ，b o b 对q u b i t c 进行仃，旋转，就能拥有信息态。 在传输过程中，a l i c e 不需要知道发送的量子态，而且她所拥有的粒子也没 有发给b o b 。量子隐形传态的方案提出来以后，很多实验小组实现了这个方案 【9 - 1 2 1 。1 9 9 7 年，i n n s b r u c h k 的z e i l i n g e r 小组利用偏振纠缠的光子e p r 对实现了 这一方案，震惊了世界。在这个方案中，a l i c e 只需要发送一个量子比特，就可 以达到传送两个经典比特的目的。 1 2 3 纠缠的数学描述 对于一个两体系统( a 和b ) ，1 限设a 的一组完全力学量集的共l 司本征态为 够) 彳，b 的一组完全力学量集的共同本征态为j 9 ，) 口。数学上，两体纠缠的定义 是：如果1 甲) 彳曰可以写成子系矢量的直积：i 甲) 。片= l 仍) 。l 缈，) 疗，就说i 甲) 。詹是可 分的，否则就是纠缠的。对于混态，如果p a 占可以表示为： p a 8 = ，p , n a 圆p ： ( 1 1 0 ) 1 0 )82 乙，凶纯【l 就说a b 是可分的，反之就是纠缠的。但判断一个密度矩阵是否可以有这样的分 解是很困难的事情。 1 2 4 两体纯态的s e h m i d t 分解 两体系统的任意纯态f 甲) 彳口，通过选择适当的基底，总可以写成如下形式： l 甲) 一口= 厄讥，尼= l 。 ( 1 1 1 ) ， 两体纠缠度量之所以有很多漂亮的结果，很大程度上是因为两体系统存在 s c h m i d t 分解。利用奇异值分解，可以给出一个漂亮的证明。设： l y ) 一b = 例七) ， ( 1 1 2 ) 搏 将矩阵a 进行奇异值分解得到：口：材d v ，其中d 是有非负对角元的对角阵，“和 7 第一章量子信息基本知识 令l ) = i j ) ，i ) = l 后) ，乃= 以，因为不同正交基之间是由u 变换联 七 系起来的，可得：i 甲) 爿口= 丑i f ) 爿l f ) 占。 从证明过程，不难看出，对于三体情形，不存在s c h m i d t 分解。特别地，对 于3 - q u b i t 纯态，有一种广义的s e h m i d t 分解，对任意3 - q u b i t 纯态，都可以通过 局域幺正变换变成如下的标准型： a 0 0 0 ) + b e 咿1 1 0 0 ) + c l l 0 1 ) + d l ll o ) + e 1 l1 ) ( 1 1 4 ) ， 、 1 2 5 纠缠度量的要求 何去度量这种资源。给定一个量子态，如何给出其中的纠缠的度量。对于两体纯 态，其中的纠缠可以用子系约化密度矩阵的v o nn e u m a n n 熵来度量： e ( i 甲) 彳口= s ( p a ) = s ( 岛) = 一，只l o g p ， ( 1 1 5 ) v o n n e u m a n n 熵的物理意义是：在极限意义下，从每个非最大纠缠态i 甲) 。日提取 的最大纠缠态的数目，也对应于制备一份i 甲) 爿占所需的最大纠缠态的数目。 对于混态和多体情形，纠缠的度量要复杂的多。一般认为一个量要作为量子纠缠 的度量，如果一个量e 能作为纠缠的度量，那么，它必须具有下面几个性质： 1 对任意量子态p ，必须有e ( p ) 0 ，而对于可分态p 有：e ( p ) = 0 。 2 对量子态p 做任意的局域么正操作，不改变它的纠缠度，以两体为例，即： e ( p ) = e ( u a u e p u 爿+ 固+ ) 3 在l 。c c 操作下，纠缠e c p ，的期望值是不增的，即：e c 尸，莩只e ( 硼a , p a l , 4 直积态的纠缠度是可加的，即： e ( i 沙，) 圆l5 f ，：) ) = e ( | 。) ) + e ( i ) ) ” li ，l 磅 力谚 肚 1 1 日、“ 甲 是于阵 u 是 v 第一章量子信息基本知识 5 凸性：e lz p , p , i 只e ( 纪) fl 1 2 6 一些以有的纠缠度量 下面我们介绍一些已有的结果【1 3 】。关于纠缠度量，已经有了很多种方法， 这里着重介绍两体纠缠度量。 1 生成纠缠 1 4 - 1 5 通过l o c c 操作，为制备纠缠态以b 所消耗的最少b e l l 态。在渐进等价下，假设 制备以b 的n 份拷贝需要k 个b e l l 态，则生成纠缠定义可表示为： 屏( n 占) ：l i m 生；( 1 1 6 ) 另一方面，生成纠缠还可定义为： 廓( p a b ) = l i mb s ( 只) ，( 1 1 7 ) 其中s ( 尸) j f fv o nn e u m a n n 炳j ，而此处的最小值是在量子态p 一口的所有实现上来取。 2 蒸馏纠缠 通过l o c c 操作，可以从风b 中提取的最大b e l l 态数目。仍从渐进等价的角度来 看，若从n 份以b 的拷贝中可提取k 个b e l l 态，则蒸馏纠缠可表示为： ( n 疗) = l i m 垒些( 1 1 8 ) 生成纠缠和蒸馏纠缠都具有鲜明的物理意义，而它们的缺点是难以计算，可 操作性不强。生成纠缠和蒸馏纠缠也不是完全独立的，它们在数值上有关系： 廓e o 。更进一步，h o r o d e c k i 等人还证明了，任何一个满足前面所提要求的 纠缠度e ( p ) 必须满足： e d ( 尸) e ( p ) 廓( p ) ( 1 1 9 ) 从这个意义上来说，这里给出的两个定义在纠缠度量中起着上下限的作用。若考 虑纯态的情况，则有下面的结果： 第一章量子信息基本知识 廓( p a 8 ) = ( p a 矗) = s ( 办( ) ， ( 1 2 0 ) 这从另一个角度看到了纯态纠缠度量定义的合理性。 3c o n c u r r e n c e c o n c u r r e n c e 是通过下面遍历最优分解的方法得到的，从定义在纯态上的纠 缠出发，通过凸化的方法推广到混态： e ( p ) = i n f b e ( i ”) ，b = 1 ( 1 2 1 ) 这里取极小值的过程是对所有可能的分解求最小。我们把达到最小的分解叫 做最优分解。第一个通过这种方法构造的纠缠是生成纠缠，它是态中可提取纠缠 的一个上界。b e n n e t t 等人证明了这个纠缠的单调性。v i d a l 在2 0 0 0 年证明了所 有可能的凸化纠缠度量的单调性 2 2 】，即如果一个度量在纯态纠缠是一个单调， 通过凸化得到的在混态的度量也是纠缠单调的。求最小值一般没有解析的结果。 但在两q u b i t 情况下，h i l l 和w o o t t e r s 提出一个解析的混态的纠缠度量表达式。 对于纯态l ) ，c 。n c u r r e n c e 的定义为：c ( i 少) ) = i ( f q 。巳l ) i ，根据纯态 的表达式，可以将定义推广到混态：定义p = 助口，这里口y = o y 盯。少+ ，考虑 算子c o = 伊，如果国的按照降序排列的四个本征值为 ，五，乃，五我们可以得 到混态的c o n c u r r e n c e 为： c ( p ) = m a x 0 ，a 一五一乃一以) ( 1 2 2 ) 4i - c o n c u r r e n c e 如果是高维的情况，问题要复杂的多。虽然可以利用纯态的c o n c u r r e n c e 来 定义高维混态的i - c o n c u r r e n c e ： c ( p ) = i n f 尼c ( ) ， ( 1 2 3 ) i - c o n c u r r e n c e 一般是难以解析求得的。但如果能求出它的下界，就非常有意义了。 m i n t e r t 等人提出了一个物理上可探测的c o n c u r r e n c e 的下界。 3i - t a n g l e i - t a n g l e 也是一种基于纯态c o n c u r r e n c e 的高维系统的纠缠度，它的定义为： r ( p ) = i n f - 2 p , c 2 ( ) 。一般情况，它也是难以求解的。但是在r a n k - 2 的情况下， o s b o r n e 找到了i - t a n g l e 的一个解析表达式 2 0 】。 第一章量子信息基本知识 设p = p l v 。) ( v 。i + ( 1 一p ) l y ：) ( v 2 l ，令瓦盯= 驴( 死) ，这里= i _ ) ( v ，l ，尹是 厂的s p i n f l i p 算符：p = 驴( ) ，q ，一o i - i 圆p * b + p 。定义3 3 的对称实矩 阵m u 为： m ： 互： 4 m 1 2 = i t t 1 2 2 m 1 3 _ 4 1z i l 2 + 三正m + 丢疋 一扣： 一丢正m + 丢正 1 ， 一i l t z z z m 2 , = - l v , ：。+ 圭互m 一言正m 鸩，= 知- 一知z + 知z 一扣z 坞，= 知一知+ 扛 则体系的i - t a n g l e 为： f ( p ) = 护( 力) + 2 丸。1 - t r p 2 ) ， ( 1 2 4 ) 其中丸i 。是矩阵m 最小的本征值。 这个结果虽然看起来比较复杂，但其思路是与求混态c o n c u r r e n c e 的最优解 完全相同的，都是寻求一个矩阵函数的边界凸性条件，这里不做详细介绍了。 5m i n t e r t 的多体c o n c u r r e n c e 利用投影算子的方法，m i n t e r t 定义了多体纯态的c o n c u r r e n c e 1 7 。给定一个 量子态l 甲) ，利用 甲) 的两份拷贝给出系统的c o n c u r r e n c e 。使用两份拷贝基于一 个数学上的结果：如果一个纠缠度量是态系数的n 次函数，就需要n 份拷贝，才 能找到一个可观测量把它测出来。c o n c u r r e n c e 是态系数的n 次函数，因此需要 两份拷贝。对于每个q u d i t ，考虑它和它的拷贝所构成的h i l b e r t 空间eoq ， 利用对称和反对称投影子，我们可以把e 只投影到对称子空间e 口只和反对 称子空间只 只。设l ) 是e 空间态矢量的一组基，则对称与反对称投影子由 下式给出： 群) = 百1 扛( i 哆) 千l 吼哆) ) ( ( 口，i 干( 口册 ( 1 2 5 ) 第一章量子信息基本知识 q 维度为2 的情形，只有3 个：l o o o o l ，f 11 ) ( 11 1 , ( 1 0 1 ) + l l o ) ) ( ( o l l + ( 1 0 f ) 2 ，而罡 只有一个：( 1 0 1 ) 一i l o ) ) ( ( o l | _ ( 1 0 i ) 2 。 令算符么= o 二曩“，i = ，则系统的c o n c u r r e n c e 定义为： c ( 甲) = ( 甲i o ( 甲i 彳i 甲) 圆i 甲) ， ( 1 2 6 ) 这里彳作用于o ：q 圆hi - 。由于两份拷贝属于对称空间，彳= ：。曩) 也必须是 一个对称算符，才能有贡献。也就是说，a 里面的反对称算子的个数一定是偶数。 对于两q u b i t 情形，a 只有一种表达，a = 4 p _ 圆只。只就是上文提到的单重态 b e l l 基生成的投影算子。 上式给出了一种在实验上测量2 - q u b i tc o n c u r r e n c e 的方法，利用只+ 只= 1 ， 可以将上式改写为： c i 甲) = 2 ( 甲i ( 甲i ， 卫f 甲) o i y ) = 2 l 一( 甲1 只i 甲) ( 1 2 7 ) 也就是说，如果我们制备了大量的i 甲) ，通过测量它处在反对称态的几率，就获 得了它的c o n c u r r e n c e 。这在实验上是很容易实现的【2 3 】，利用b s 上的双光子干 涉及后验选择，可以实现对称与反对称空间的投影【2 4 】。 1 3 量子操作 如果所研究的量子系统是封闭的，系统的演化由一个u 矩阵来描述。如果 系统是开放的，与环境系统相关，或者被测量，就要引入超算符的描述。一般的， 一个量子操作总可以用超算符来描述。超算符的获得，可以通过主方程的求解。 1 3 1u 操作 量子态描述了系统的状态，而系统的演化或外界的操作则是通过作用在量子 态上的算子来描述的。孤立系统的演化由薛定谔方程描述，系统的密度矩阵由幺 正变换来描述： 1 2 第一章量子信息基本知识 p 。= u p u + 。( 1 2 8 ) 这里u 是一个幺正矩阵，满足u u + = l 。正如薛定谔方程是量子力学的基本 假设一样，封闭量子系统按照u 算符演化也是基本假设。对于复合体系，u 操 作分为l o c a l 的u 操作和g l o b a l 的u 操作，所谓l o c a l 的u 操作，是指u 可以写 成子空间u 算符的直积形式。如果不能，称为g l o b a lu 。这类似于个混态是否 可分的定义。 在l o c a l 的u 操作的作用下，体系的纠缠不会改变。这是很容易理解的，因 为纠缠反映了不同粒子之间的关联，而l o c a l 的u 操作只是更换了组基，并没 有对粒子进行测量，不会改变这种关联。也就是说，l o c a l 的u 操作不会改变系 统的纠缠，也不会改变系统的可分性。 但l o c a l 的u 操作是否对系统的纠缠性质毫无影响呢? 本文第二章，将详细 讨论l o c a l 的u 操作对纠缠速率的操控作用 1 3 2 单q u b it 和2 - q u bi t 系统u 操作的一般形式 单q u b i t 上的u 算子可以写成很多种形式，一般的可以用下面的z y 分解来 描述： u = e 。4 e 一妒+ ，) ，2c o s 一0 2 口f ( a - r ) 2s i n o 2 一f 夕一y ) ，2 0 一p ”s l n 一 2 p 枷) 2c o s 旦 2 ( i 2 9 ) 对于两q u b i t 的g l o b a l 的u 操作，可以证明，它可以表示成如下形式： 曰= u i 。u 2e x p ( a 吒a 拶q b 十口q ap 秽+ c 9 ) kp ( 1 3 0 ) 容易看出，这个表达式中有1 5 个独立参数，恰恰是4 x 4 的u 矩阵的参数数目。 1 3 3 正交测量 不同于u 演化的情况，如果要描述实验者对系统的观测，则需要引入正交 测量的概念，正交测量也是量子力学的基本假设之一。 在正交测量中，如果有m 个测量结果，对应于每个结果，用一个投影算子只 第一章量子信息基本知识 来描述，它们满足： 只e - - 4 e , ，尸= 1 ( 1 3 1 ) 如果系统的初始状态为p ，则每个输出态可以表示为：p 2 石丽p , p p , ， 1 3 4 广义测量和超算符 广义测量指的是，在一个大系统上进行正交测量的时候，在局部的子系统上 所实现的局域测量。大的系统的正交的本征态在子空间的投影未必仍然正交，为 了描述这种测量；我们引入p o s i t i v eo p e r a t o rv a l u e dm e a s u r e ( p o v m ) l 拘概念： p o v m 是一组非负的厄米算符，且它们的和为子系统的单位矩阵 兄，口= l ，2 ，胛，兄= ，彳( v lf 。i v ) 一o ，c = l ( 1 3 2 ) a = l 当对子空间h a 中的态n 做广义测量时，相应的结果为e 的概率为驴( e 办) 。 在广义测量后，态的改变是：一= 扣万。 p o v m 的实现，可以通过在大的空间实现正交测量来完成。更大空间的获得， 既可以用直和扩展的方法( 增加系统的维度) ，也可以用直积扩展的方法( 增加 一个辅助系统) 。 更一般的，密度矩阵的演化可以用超算符映射来描写： 占( ) = m 尸彬，叫m = ， ( 1 3 3 ) j = l 超算符只构成动力学半群，是不可逆的。大系统随时间幺正演化，在子系统中必 定体现为超算符求和的形式。u 演化，正交投影测量和p o v m 测量都可看作是 超算符的特例。 对于一个超算符，也可以研究它的可分性及纠缠问题比如对两体超算符号 s ，如果可以表示成如下形式，我们就说s 是可分的： s ( p ) = ( 4 e ) p ( 4 圆e ) ， ( 1 3 4 ) ，= l 而所谓超算符的纠缠问题，就是一个超算符产生( 或者消除) 纠缠的能力超算 第一章量子信息基本知识 符的可分性g j 幺t t 缠，是本文研究的重点之一，将在第三章进行详细的讨论 参考义献 参考文献 【1 】a e i n s t e i n ，b p o d o l s k ya n dn r o d e n ，p h y s r e v 4 7 ，7 7 7 ( 19 3 5 ) 【2 】2n b o h r p h y s r e v 4 8 6 9 6 ( 19 3 5 ) 【3 】e s c h r o d i n g e r p r o c c a m b r i d g ep h i l s o c ，3 1 5 5 5 ( 1 9 3 5 ) 【4 】j s b e l l ，r e v m o d p h y s 3 8 ，4 4 7 4 5 2 ( 1 9 6 6 ) 【5 】5a a s p e c t ，e g r a n d i e ra n dg r o g e r ，p h y s r e v l e t t ，4 7 ，4 6 0 ( 1 9 8 1 ) 【6 】c h b e n n e t ta n dg b r a s s a r d ，p r o c e e d i n gi e e ei n t e r n a t i o n a lc o n f e r e n c eo nc o m p u t e r s ， s y s t e ma n ds i n g a lp r o c e s s i n g ，b a n g a l o r e ，i n d i a ( i e e e ，n e wy o r k ，19 8 4 ) ，p p 17 5 17 9 【7 】m i c h a e la n i e l s e na n di s a a cl c h u a n gq u a n t u mc o m p u t a t i o na n dq u a n t u m i n f o r m a t i o n 【8 】c h b e n n e t t ，g b r a s s a r d ，c c r e s p e a u ，r j o z s a ，a p e r e sa n dw o o t t e r s ， p h y s r e v l e t t 7 0 ，1 8 9 5 ( 1 9 9 3 ) 【9 】9d b o u w m e e s t e r , j w p a n ，k m a t t l e ，m e i b l ，h w e i n f u r t e ra n da z e i l i n g e r , n a t u r e3 9 0 ，5 7 5 ( 19 9 7 ) 【10 】c b o s c h i ，s b r a n c e ，f m a r t i n i ，l h a r d ya n ds p o p e s c u ，p h y s r e v l e t t ，8 0 ，11 2 1 ( 1 9 9 8 ) 【11 】a f u r u s a w a ，e ta 1 s c i e n c e2 8 2 ，7 0 6 ( 1 9 9 8 ) 【12 】m a n e i l s e n ，e ，k n i l la n dr l a f l a m m e ，n a t u r e3 9 6 ，5 2 ( 19 9 8 ) 【1 3 】m a r t i nb p l e n i oa n ds v i r m a n i ，q u a n t i n f c o m p 7 ，1 ( 2 0 0 7 ) ；e - p r i n ta r x i v q u a n t p h 0 5 0 4 16 3 【1 4 】k a u d e n a e r t ，m b ，p l e n i o ，a n dj e i s e r t ，p h y s r e v l e t t 9 0 ，0 2 7 9 0 1 ( 2 0 0 3 ) 【1 5 】e m r a i n s ，e p r i n ta r x i vq u a n t p h 9 7 0 7 0 0 2 【1 6 】p h a y d e n ，m h o r o d e c k i ，a n dr h o r o d e c k i ，p h y s r e v l e t t 8 0 ，5 2 3 9 ( 1 9 9 8 ) 【17 】f m i n t e r te ta 1 p h y s r e v l e t t9 5 ，2 6 0 5 0 2 ( 2 0 0 5 ) 【1 8 】a c a r v a l h o ，e m i n t e r t ，a n da b u c h l e i t n e r , p h y s r e v l e t t 9 3 , 2 3 0 5 0 1 ( 2 0 0 4 ) 【19 】v c o f f m a n ，j k u n d u ，a n dw w o o t t e r s ，p h y s r e v a 61 ，0 5 2 3 0 6 ( 2 0 0 0 ) 【2 0 】t o b i a sj o s b o r n ep h y s r e v a 7 2 ，0 2 2 3 0 9 ( 2 0 0 5 ) 1 6 参考文献 21 】j p r e s k i l l ，q u a n t u mi n f o r m a t i o na n dc o m p u t a t i o n ，c a