（概率论与数理统计专业论文）流体动力学模型的适定性和渐近极限问题研究.pdf

e 1 日 j 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所傲的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名褂 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部 或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 始喇各翰 日期：型! ：多 、j 一 t 摘要 摘要 在本文中，我们将利用奇异摄动理论的带小参数的渐近展开方法、古典能 量方法和迭代技术，研究等离子体物理和天体物理中一些非线性流体动力学 方程组的适定性与渐近极限问题具体地说，本文首先研究了环d 上可压的 f , u l e r - p o i s s o n 方程组的拟中性极限、等熵的双极e u l e r - m a x w e l l 方程组和非等熵 的e u l e r m a x w e l l 方程组的非相对论极限，然后研究了一类辐射流体动力学方程 组c a u c h y 问题局部光滑解的存在性和一类辐射流体动力学方程组的非相对论极 限问题 在第二章中，我们研究了等离子体物理中的一个宏观流体动力学模型，即可 压的e u l e r - p o i s s o n 方程组的拟中性极限问题为简便起见，我们把问题限制在一 个d 维环俨上对于好的初值，我们运用精细的能量方法严格证明了可压的 e u l e r - p o i s s o n 方程组的解到不可压的e u l e r 方程组的解的收敛性进一步，我们 建立了两个系统解的误差关于d e b y e 长度一致的日5 能量估计，其中的主要思想 是运用了梯度的c u r l - d i v 分解技巧 在第三章中，对等离子体双极e u l e r - m a x w e l l 方程组的渐近极限问题进行了 研究我们运用形式渐近展开的方法，分析了具备好初值的周期问题的非相对论 j 二 极限我们得到了小参数问题在相应的极限方程组( 可压的e u l e r - p o i s s o n 方程 组) 的光滑解存在的时间有限区间内有唯一的光滑解进一步，我们运用迭代的 方法和渐近展开的方法严格证明了形式极限 第四章我们通过非相对论极限研究了在环1 r 3 上等离子体时变非等熵 e u l e r m a x w e l l 方程组的解到可压e u l e r p o i s s o n 方程组的解的问题运用一阶对 一i 一 北京工业大学理学博士学位论文 称双曲方程组的能量方法，得到了两个系统光滑解的局部存在性我们利用渐近 展开的方法和系统的对称双曲性质严格证明了极限的收敛性 在第五章中，研究了一个与辐射传输方程耦合的带积分源项的非等熵流体动 力学模型运用经典的迭代技术、能量估计方法和压缩映像原理等得到了该模型 c a u c h y 问题局部光滑解的存在性 在第六章中，我们研究了处在完全热力学平衡下辐射流体动力学方程组在 r 3 中的非相对论极限问题，得到了辐射流体动力学方程组及其极限方程组局部 光滑解的存在性对于好的初值，运用渐近展开的方法、迭代方法和能量方法严 格论证了辐射流体动力学方程组的解到非等熵e u l e r 方程组的解的收敛性进一 步，我们建立了关于光速c 的一个先验估计 关键词e u l e r p o i s s o n 方程组；e u l e r m a x w e l l 方程组；辐射流体动力学方程组； 渐近极限；收敛性 一i i 一 ；， 北京工业大学理学博士学位论文 e t e rp r o b l e m sh a v eu n i q u es o l u t i o n se x i s t i n gi nt h ef i n i t et i m ei n t e r v a lw h e r et h e c o r r e s p o n d i n gl i m i tp r o b l e m s ( c o m p r e s s i b l ee u l e r - p o i s s o ne q u a t i o n s ) h a v es m o o t h s o l u t i o n s m o r e o v e r ，t h ef o r m a ll i m i ti sr i g o r o u s l yj u s t i f i e db ya ni t e r a t i v es c h e m e a n da nm e t h o do fa s y m p t o t i ce x p a n s i b n su pt oa n yo r d e r c h a p t e r4i sc o n c e r n e dw i t ht h ec o n v e r g e n c eo ft i m e - d e p e n d e n ta n dn o n - i s e n t r o p i ce u l e r - m a x w e l le q u a t i o n st oc o m p r e s s i b l ee u l e r - p o i s s o ne q u a t i o n si na t o r u s 庐v i at h en o n - r e l a t i v i s t i cl i m i t t h el o c a le x i s t e n c eo fs m o o t hs o l u t i o n st o b o t he q u a t i o n si sp r o v e db yu s i n ge n e r g ym e t h o df o rs y m m e t r i z a b l eh y p e r b o l i c s y s t e m so fo r d e ro n e t h em e t h o do fa s y m p t o t i ce x p a n s i o na n dt h es y m m e t r i c h y p e r b o l i cp r o p e r t yo ft h es y s t e m sa r eu s e dt oj u s t i f yt h ec o n v e r g e n c eo ft h e l i m i t i nc h a p t e r5 ，t h el o c a le x i s t e n c eo fs m o o t hs o l u t i o n st ot h ec a u c h yp r o b l e m o fac o u p l i n gr a d i a t i o na n dn o n - i s e n t r o p i ch y d r o d y n a m i c sm o d e lw i t ha l li n t e g r a l - t y p es o u r c et e r mi ss t u d i e d t h el o c a le x i s t e n c ef o rt h i sm o d e li so b t a i n e db ya c l a s s i c a li t e r a t i o nt e c h n i q u e sa n de n e r g ye s t i m a t e sa sw e l la st h eb a n a c hc o n t r a c - t i o nm a p p i n gp r i n c i p l e i nc h a p t e r6 ，t h en o n - r e l a t i v i s t i cl i m i to fm u l t i d i m e n s i o n a lr a d i a t i o nh y d r o - d y n a m i c sw h i c hc o e x i s t sw i t hm a t t e ri nc o m p l e t et h e r m o d y n a m i ce q u i l i b r i u ma t t e m p e r a t u r e0i nr 3i ss t u d i e d w eo b t a i nt h el o c a le x i s t e n c eo fs m o o t hs o l u t i o n s t or a d i a t i o nh y d r o d y n a m i c se q u a t i o n sa n di t sl i m i te q u a t i o n s f o rw e l l - p r e p a r e d i n i t i a ld a t a ，t h ec o n v e r g e n c eo fs o l u t i o n si sr i g o r o u s l yj u s t i f i e db ya na n a l y s i s o fa s y m p t o t i ce x p a n s i o n s ，a ni t e r a t i o nt e c h n i q u e sa n dd e l i c a t ee n e r g ye s t i m a t e s f u r t h e r m o r e ，w ee s t a b l i s hu n i f o r m l yap r i o r ie s t i m a t e sw i t hr e s p e c tt oc k e yw o r d s e u l e r - p o i s s o ne q u a t i o n s ；e u l e r - m a x w e l le q u a t i o n ；r a d i a t i o n 一一 a b s t r a c t h y d r o d y n a m i c se q u a t i o n s ；a s y m p o t o t i cl i m i t ；c o n v e r g e n c e v 一 北京工业大学理学博士学位论文 会 a t v ( 或v z ) m v h m ( q ) y = o ( 1 ) y = o ( 1 ) t r ( a ) d i a g ( a l ，) c 符号表 “定义为 或“记为 向量或矩阵a 的转置 梯度算子 l a p l a c e 算子 散度算子 表示s o b o l e v 空间m ，2 ( q ) 3 是有界变量 y 是无穷小量 方阵a 的迹 由元素a 1 ，组成的对角阵 正的常数，在不同地方可以表示不同的值 一一 目录 目录 摘要 i a b s t r a c t i i i 符号表v i 第1 章绪论 1 1 1 模型简介1 1 1 1 等离子体数学模型简介1 1 1 2 辐射流体动力学模型简介5 1 2 研究进展介绍9 1 2 1 等离子体偏微分方程的研究进展9 1 2 2 辐射流体动力学方程组的研究进展1 3 1 3 本文的主要研究问题及主要结果1 5 1 4 准备知识1 6 1 4 1 重要的不等式1 6 1 4 2 常用的向量分析公式1 7 第2 章可压的e u l e r p o i s s o n 方程组的拟中性极限 2 1 引言 2 2 主要结果 2 3 定理的证明 2 3 1l 2 估计 2 ，3 2 旋度方程和散度方程的推导 2 3 3 旋度的估计 2 3 4 散度的估计 2 3 5 电场的高阶能量估计 2 3 6 命题2 3 2 证明的完成 2 4 本章小结 第3 章等离子体双极e u l e r m a x w e l l 方程组的渐近极限 3 1 引言 3 2 e u l e r - m a x w e l l 方程组的形式渐近展开 均均殂勉孔船卯勰弘弘的 盯勰 北京工业大学理学博士学位论文 3 3 ( 以，罐，e j ，b j ) j _ _ o 的适定性 3 4 严格的论证 3 5本章小结 第4 章等离子体非等熵e u l e r - m a x w e l l 方程组的渐近极限 4 1引言： 4 2 非等熵e u l e r - m a x w e l l 方程组的形式渐近展开 4 3 非等熵e u l e r m a x w e l l 方程组渐近展开的存在性 4 4收敛性结果的严格论证 4 5 本章小结 第5 章一类辐射流体动力学方程组局部光滑解的存在性 5 1 引言 5 2 局部光滑解的存在性定理 5 3 定理的证明 5 4 本章小结： 第6 章非等熵辐射流体动力学模型的渐近极限7 7 6 1引言7 7 6 2 非等熵辐射流体动力学模型的形式渐近展开7 7 6 3形式渐近展开的确定7 9 6 3 1 方程组( 6 _ 4 ) 的适定性7 9 6 3 2 解( ，) j 1 存在唯一性8 0 6 4 辐射流体动力学方程组到e u l e r 方程组的收敛性8 0 6 4 1 误差方程的推导8 0 6 4 2 收敛性的证明8 2 6 5 本章小结8 5 结论8 7 参考文献8 9 攻读博士学位期间的研究成果9 9 附录：攻读博士学位期间参加的科研项目1 0 1 致谢1 0 3 一i i 一 0 5 2 3 3 4 7 1 8 9 9 0 1 6 如钙弛 器弱弘 缸够 加n 第1 章绪论 第1 章绪论 天体物理学、理论物理、航空航天、等离子体、半导体材料科学、受控核 聚变等应用领域中的许多非线性问题都可归结为非线性流体动力学发展型偏微 分方程| 1 2 1 随着科学技术的进步，计算手段的提高和对自然界认识的不断深入， 人们越来越注重研究更接近实i 冢i ；- j 题的复杂物理模型，更好地揭示自然现象的精 细的数学结论 在这些模型中有两类模型即等离子体偏微分方程组和辐射流体动力学方程 组的理论研究发展迅速，都已成为国际应用数学界的主流研究方向而适定性和 渐近极限问题是偏微分方程研究的两个重要内容，所以对这些问题的研究，特 别是对于这些模型适定性和渐近极限问题的研究，不仅能够从数学上解决理论 上的问题，而且还能够促进半导体、等离子体工业和航空事业的发展，推动科 技创新，带来经济效益和社会效益因此，对于本课题的研究，具有重要的理论意 义和鲜明的应用背景 1 1 模型简介 在这一节里，我们将简单地对本文所研究的模型作一介绍 1 1 1 等离子体数学模型简介 在十九世纪初，物理学家们已经开始探讨在已知的物质三种聚集态之外是否 还有在性质上有本质区别的第四态1 8 7 9 年，英国物理学家w c r o o k e s 在研究 了真空放电管的放电过程之后，首次提出用“物质第四态 来描述气体放电中产 生的电离气体从2 0 世纪3 0 年代到第二次世界大战结束之前，广大科学家开展 了对大气电离层的研究，发现它是由等离子体构成的“等离子体( p l a s m a ) 一 词是1 9 2 9 年t a n k s 和l a n g u i d p 在研究气体放电中的振荡时，首先用来描述带电 的粒子集合体a l f v e n 在1 9 3 7 年指出等离子体与磁场的相互作用在空间物理学 一1 一 - 北京工业大学理学博士学位论文 和天文物理学中起重要作用，并建立了磁流体学，成功地将其应用于空间物理和 天体物理1 9 5 2 年，美国开始实施受控热核聚变州的“s h e r w o o d 一计划，随后 英国、法国和苏联等也相继开展了相应的计划，使等离子物理和磁流体力学的研 究掀起新的高潮人们发现等离子体物理是受控热核聚变研究的关键，从而展开 了广泛的国际合作对受控热核聚变的研究和空间等离子体的研究使现代等离子 体物理学建立起来总之，等离子体物理涉及的领域比较宽广，具有很强的学科 交叉性，其研究具有重要的理论意义和广泛的应用背景 在等离子流体理论中，对等离子体的描述可分为电磁场和宏观粒子体系两 个部分电磁场的行为由麦克斯韦方程组描述，对宏观离子体系则有两种描述方 式：统计力学和流体力学一个等离子体，通常由一些局部的参数，如离子密 度、动力学温度和流体的速度来刻画刚在统计力学的框架下，宏观体系的状 态由粒子分布函数，( z ，u ，t ) 所描述，是由实空间和速度空间构成的6 维相空 间中粒子在t 时刻的概率密度分布其意义如下：在时刻t ，位置落在x 附近的 一个微元体积出中，而速度在u 附近的一个微元体积咖中的平均离子数目是 d n = 厂( z ，u ，t ) d x d v ， 其中c l x = d x l d x 2 d x s 及d v = d v l d v 2 d v 3 于是，是时刻t ，( z ，u ) 处单位体积及 单位速度变化范围内的粒子数，这是一个密度分布函数这里，“平均意味着 通过许多相同的测量粒子分布的实验结果取平均来给出函数，那么，由粒子数 守恒可以得到，所满足的动力学方程： 筹札y ，+ a v j = ( 现( 1 - 1 ) 这一方程称为玻尔兹曼( b o l t z m a n n ) 方程吲这里，v 是速度空间上的梯度算 子，此外 口= - - q ( e + ”b ) 。 m 是粒子在电场e 和磁场b 作用下的加速度，( 甏) 。叫做碰撞算子当忽略( 甏) 。 时，方程( 1 1 ) 也即a s o v 方程矧各阶矩方程可有( 1 1 ) 式乘以速度的不同函数 妒( 秒) 并在速度空间上进行积分求得事实上，对妒( u ) 进行具体选择可使得这些 一2 一 第1 章绪论 量分别和局部质量密度 = m ) 、动量( 妒= m u ) 、能量( 妒= ；m u 2 ) 等有关 一个任意函数u ( z ，u ，t ) 在速度空间内的平均值由下式给出： ( u ) = 丽1 上。岫，州) m 删u ， 其中， n ( z ，) = ，( z ，u ，t ) 咖 ( 1 2 ) 是在时刻、位置z 附近的空间体积微元如内的粒子数密度由此定义我们可以 得到粒子的平均速度 1， 一 乱= ( u ) 2 南上。u m ，叫) 机 ( 1 - 1 ) 式乘以妒( 口) 并在速度空间进行积分，则一般矩方程为 晏( 凡( 妒) ) + d i v ( 几( u 妒) ) 一熹( ( e + vxb ) v 。妒) = ( 妄( 凡( 妒) ) ) 。，( 1 - 3 ) 这样我们选取不同的妒( u ) ，上述一般矩方程可描述相应质量传递、动量传递和 能量传递等等，我们称之为传递方程 注意到，对等离子体中的每一种粒子，都有一个分布函数及一组矩方程为 简便起见，我们只考虑仅有电子和一种带正电的离子组成的等离子体，并分别用 e 和i 的下脚标来区分电子和离子的密度、速度及其它的量假设碰撞过程中粒 子数并不发生变化且假设碰撞只是发生在邻近的粒子间由此假设条件，用一系 列线性无关的速度函数乘以b o l t z m a n n 方程，然后再在速度空间上积分，耦合 上m a x w e l l 方程，就可得到下述的双极等离子体e u l e r m a x w e l l 方程组： a 礼口+ d i v ( n 口u 口) = 0 ， m 。【a ( n 。) + 出v ( 亿。t 正a ) 】+ v p 。( 礼口) = g 口礼口( e + t 上。b ) 一7 7 1 _ a ? _ l , a u a ， e a e 一# - 1 v b = 扎e t c 一仉， a b + v xe = 0 ， e 出v e = 仇一n c ，d i v b = 0 ， 一3 一 北京工业大学理学博士学位论文 其中，q = e ，i ，g = 1 ，g e = 一1 这里，e 和肛分别是介电常数和磁导率【1 1 1 在真 空中e = e o ，p = 脚，且满足c = ( o 脚) 一；，其中c 是光速 注意到，上述方程组中方程的个数比未知函数多了两个，这是因为最后两个 方程，即 e d i v e = 啦一叩c ，d i v b = 0 是超定的事实上，只要在= 0 时d i v b = 0 成立，则它对一切t 必自动满足这 只需要在方程组 a b + v e = 0 两端作用散度d i v 即可证得同样在电荷守恒定律a n 口+ d i v ( n 口u o ) = o 成立时， 只要在t = 0 时有e d i v e = m 一，则它必对一切t 成立这只要在 c o t e p 一1 v b = h e , e n t 啦 两端作用散度d i v 并利用电荷守恒定律即可得证这样，m a x w e l l 方程组中两个 不包含对t 求导的方程只是转化为对初值应满足的要求 作尺度变换j e 7 一a b 和以下尺度变换假设： 第1 章绪论 物理上，丁口表示动量松弛时间，a 表示尺度变换后的d e b y e 长度，盯与光速 c 的倒数成正比这些参数可以根据想要的尺度独立地去选取，而且同物理上感 兴趣的特征长度相比是非常小的量因此，把下口、) 、和仃看做摄动参数，我们可 以研究当这些小参数趋向于零时，系统( 1 - 4 ) ( 1 8 ) 的极限问题极限a _ 0 导致 毗= 札。，这在等离子物理中称为“拟中性”，因此称a _ 0 为拟中性极限同样， 一0 和盯一0 在物理上分别被称为零松弛时间极限和非相对论极限 考虑单流的情形，我们令m = 6 ( z ) ，吨= 0 ，即假设离子有固定的密度，而 且保持静止，那么等离子物理中可压的电子流满足单极的e u l e r - m a x w e l l 方程组 和 侥n + d i v ( n u ) = 0 ， a t ( 住u ) + d i v ( n uou ) + v p ( 亿) = - n ( e + 仃t b ) 一半， a 2 a t e 一；v b = n u ， a j e 7 + ；v e = 0 ， a 2 d i v e = 6 ( z ) 一n ，d i v b = 0 ( 1 - 9 ) o耄tnc二+：d二iv(nu鬟)=：0,三音!-一礼e一半，c l 一1 。， v b = 0 d i v b = 0 ( 1 - 1 1 ) 显然方程组( 1 1 0 ) 就是所谓的e u l e r - p o i s s o n 方程组，这是因为方程vxe = 0 蕴含着电场是某一位势函数的梯度因此e u l e r p o i s s o n 方程( 1 - 1 0 ) 描述的是一 个简化了的等离子物理中宏观动力学的等熵模型 1 1 2 辐射流体动力学模型简介 辐射流体动力学理论及实际应用非常广泛，它研究的内容包括如恒星大气 和包层中的波动与震荡、超新星爆炸、恒星风、激光核聚变物理、航天器重返 地球大气层等众所周知，在物理学问题中，随着温度的升高，热辐射也随之增 - - 5 - - 北京工业大学理学博士学位论文 加在适当的温度下，辐射所起的作用是通过辐射过程来传递能量的一种基本方 式如果在更高的温度下，辐射场的能量和动量密度可能变得同流体的数量一样 重要甚至起的作用更大n 2 d 引例如，航天器在重返大气层时，与外界环境相互作 用产生较高的温度，由此而产生的原子分子的能量激发、解离、电离和其他化 学反应，以及光辐射和流场的变化等一系列物理化学反应另外航天器在重返 大气层时，受热主要来自气动加热和辐射加热，速度低时气动加热是主要的， 当速度大于9k m s 、高度低于4 0k m 时，激波层的炽热气体变成对航天器加热 的强辐射体对于三维空间，考虑辐射场受能量、动量密度与通量的影响，需 要用6 个变量来确定光子在相空间中的状态，即3 个位置变量和3 个动量变量 我们把这3 个位置变量用向量z = ( x l ，z 2 ，z 3 ) 来表示另外，在辐射传递研究 中，应用更为便利的是使用与这3 个动量变量等价的变量即光子的频率和光 子的运动方向q ，而不直接用这3 个动量变量充满空间的辐射场可以用辐射 强度来描述辐射场通常被认为是光子或光量子的总体，这些光子在空间中的分 布形成一个辐射场其场中的每一个光子的能量可以通过公式e = h v 得到，其 中h 为p l a n c k 常数假如把辐射视为光子的总体，则常可以用光子的分布函数 ，= ( t ，z ，q ) 来描述，从而f d x d u d f 2 就表示在瞬间t ，处于空间点z 附近的 微体积元如内，在一个光谱频段微元咖内，在具有运动方向附近的微元立体 角d q 内的光子数目辐射强度被定义为 i ( t ，z ，q ) = c h u f ( t ，z ，q ) ， 其中c 为光速在光子和媒质之间只有三种基本反应，即吸收( 光子湮灭) 、散 射( 光子改变运动方向和频率后继续存在，分内散射和外散射) 和发射( 产生新的光 子，发射源自强光入射和物质自身的激发) 的情况下，光子的传输方程具有以下形 式【1 2 j ： 妄a ，( 工，q ) + q v i ( u ，q ) + 量口( ) ，( ，q ) = 5 r ( ) + z 厶融一u , f l f l 阶叭圳胁州侧删， ( 1 1 2 ) 一6 一 第1 章绪论 注意，这里，( ，q ) 全i ( t ，z ，uq ) ，s ( ) 全s ( t ，z ，z ，) 表示基于自发过程的能量发射 率，丑口( ) 全皿。( t ，z ，f l , ，p ) 表示能量的吸收系数，其可能依赖于物质的密度和温 度皿。( 7 一q 7 q ) 会丑。( ，z ，y _ l ，q q ) 是微分散射系数( 或称微分散射截 面) 个光子在频段微元咖内从z ，7 到、在立体角微元d f l 内从q 到q 并且运 行了距离微元d s 后发生散射的概率为。( 7 _ ，l t 7f 1 ) d v d g t d s 因此 外散射= 咖m 。( ，一7 ，q q 7 ) ，( f 1 ) d f l ， 内散射= d v 皿。( 7 一矽，q q ) ，( l ，f 1 ) d f l 注意到( 1 1 2 ) 式中的外散射项可以积出来，因此( 1 1 2 ) 式还可以写成 三a ，( z ，q ) + q v ，( ，q ) + 霍( 工，) ，( u q ) = s ( l ，) + z 厶舢，_ v , g t a v 删g t q 啦 这里，丑( ) = 丑。( z ) + 霍。( 扩) 是总的相互作用系数，也称消光系数 质量守恒、动量守恒和能量守恒是自然界一切运动都必须遵循的基本定律 对于自然界的某一个特定问题，如果把相应的守恒律数量化，就导出刻画这个 问题的微分方程因此，从这个意义上说，微分方程实质上就是自然界守恒定律 的数量形式下面给出辐射流体动力学模型中的守恒律方程组： ( 1 - 1 3 ) 其中，( z ，t ) r 3 0 ，t ) ，t 0 ，这里u = ( u 1 u 2 ，i t 3 ) t 表示流体的速度，w 表示 外部能量，和r 分别表示流体的能量密度和物质的压力为简化起见，在 此只考虑多方理想气体，即 全c , , n o ，r 全r n 8 ， 这里，n 、秽分别表示流体的密度和温度，g 0 是导热率，冗是气体常数， 7 = 1 + 瓦r 是绝热常数辐射能量密度露、辐射通量b 和辐射应力张量只定义 为 ( 日，b ，只) ：三厂咖i ( ；，棚，qp q ) ，拥 ( 1 1 4 ) c i o ，4 ，r 。 一7 一 瞰 0 _m 慨 m 慨 p 扣 如 m 让 v p 出 卜 仉 心 e 扎 ：聿 聃砌硝 小事+ 心 + 舻 + 舭扣 北京工业大学理学博士学位论文 于是，方程( 1 - 1 2 ) 一( 1 - 1 4 ) 就组成了基本的辐射流体动力学方程组，它是一个 一阶的双曲玻尔兹曼( h y p e r b o l i c - b o l t z m a n n ) 耦合系统如果不考虑辐射项，那 么上述系统就是经典的和可压的理想气体的流体动力学方程组 考虑一种重要的情形，即齐次的各向同性的辐射场此时，辐射场处于完全 的热力学平衡状态在这种情况下，辐射强度刚好就是p l a n c k 函数日( 1 ，p ) ，即 ，：b ：丁2 h v 3 ( e b 枷一1 ) ， ，( 1 - 1 5 ) 这里k 是b o l t z m a r m 常数 此时辐射能量密度日、辐射通量b 和辐射应力张量尸r 可以用通常的积分 方法积出来，其积分如下： ( 目，b 川= 丽8 7 r s k 4 矿( 1 0 丢厶) ， 其中厶是3 阶单位( 对角的) 张量不失一般性，我们假设w = 0 ，令d = 丽3 2 5 k 4 ， 由( 1 1 4 ) 知，- i p a 知道对于光滑解，( 1 - 1 3 ) - t p a 重新写为 la 礼+ d i v ( n u ) = 0 ， o t u + ( u v ) + 譬v 佗+ 一r n i d 。c - 3 e 3 v o = o ， ( 1 1 6 ) 【a p + 丽裂d i v u + 再n - 3 d d c 。- 嘲3 # 3 3 、( _ u v ) 口= 0 这是一个可压的非等熵耦合了辐射项的e u l e r 方程组我们将在第五章研究方程 组( 1 1 6 ) 光滑解的局部存在性和非相对论极限 注1 1 1 对于各向同性的辐射强度，辐射通量显然等于零换句话说，由 于辐射处于完全热力学平衡状态，在任何方向上，都没有净辐射能通量 注1 1 2在气体动力学理论中，压力被定义为通过一表面的动量流的变化 率，同样的定义也应用于辐射场例如，辐射应力张量的分量( 只) 铆= ( 只) 甜( z ，t ) 定义为y 动量穿过垂直于z 轴的平面单位面积的变化率由于一个光子具有的y 动量为九y q c ，所以我们有 ( = o 厶( 以) ( h v f l y= 三厂厶f l = f l f l d f l d v ) ( h v f l c ) f d q dv0i o ( 只) 印= ( 矾= 妄 ，4 丌 c ，4 r 由此，易知辐射应力张量是对称的此外，由于q ：+ q ；+ q ：= 1 ，可知对于任一 一8 一 第1 章绪论 辐射场，有如下迹关系： 丁r ( 只) = ( 只) 嬲+ ( 只) 坩+ ( 耳) 。：= ! 5i j r d q = e r 对于各向同性的辐射场，有 ( 只) = ( 只) 茹= ( 只) ：= 吾日， 而其它非对角上的分量均为零 ， 1 2 研究进展介绍 非线性偏微分方程是联结纯粹数学诸多分支和自然科学及工程技术等领域 中的非线性问题的一座重要的桥梁实际上，科学、技术、工程以及工业中的问 题，总是刺激偏微分方程尤其是非线性偏微分方程发展的永恒源泉如今，以实 际问题为背景的非线性偏微分方程已成为广大学者研究的熟点问题 1 2 1 等离子体偏微分方程的研究进展 半导体或等离子体偏微分方程的理论研究从上世纪3 0 年代以来，一直是应 用数学界和半导体、等离子体物理界关心的热门问题、近二十年来发展迅速，已 经成为国际应用数学界的主流研究方向之一，而其中的渐近极限问题研究更是 执占1 1 w 1 1 j 、，、 关于e u l e r - p o i s s o n 方程的渐近极限问题，已经有了不少结果2 0 0 0 年，a j f i n g e l 和p e n g 刎基于e u l e r 方程组的高阶能量估计方法和紧性方法严格证明 了等离子流体动力学方程组的零松弛时间极限问题在文【3 l 】中，c o r d i e r 和 g r e n i e r 利用仿微分算子技术，研究了等离子体中一维等热模型的拟中性极限， 在这个模型里，电子密度通过带静电位势的m a x w e l l b o l t z m a r m 关系来描述 2 0 0 1 年，s l e m r o d 和s t e r n b e r g 在文 3 2 】中对于准备的边界值，研究了一维稳态 的e u l e r - p o i s s o n 方程组的拟中性极限2 0 0 3 年，p e n g 在文【3 3 】中对于位势流，研 究了高维的稳态的不带初始层信息的e u l e r p o i s s o n 方程组的拟中性极限，而有初 始层的情形，则在2 0 0 4 年由p e n g 和w a n g 在文【3 4 】中解决2 0 0 4 年，w a n g t s 5 1 运 一9 一 北京工业大学理学博士学位论文 用经典的能量方法、调整的能量方法、迭代技术和标准的紧致性理论研究了等 离子物理中带黏性的和不带黏性的e u l e r p o i s s o n 系统 a n + d i v ( n u ) = 0 ， 1 9 i u + ( u v ) u + v h ( n ) = v y , 无粘性情形， o t u + ( u v ) u + v h ( n ) = 击( l ，u + + v ) v d i v u ) v v , 带粘性情形， ( 1 1 7 ) a 2 a v = n 一1 ， ( 亿，u ) t ：o = ( 仃8 ( z ) ，砧( z ) ) 在环面上的拟中性极限问题，证明了可压的e u l e r - p o i s s o n 系统到不可压的e u l e r 方程的收敛性2 0 0 5 年，l o e p e r 【3 6 】研究了无压力情形e u l e r - p o i s s o n 系统及它的 完全非线性形式一e u l e r m o n g e - a m p 龟r e 系统 a 仃+ d i v ( n u ) = 0 ， a t 工+ ( u v ) u = 兰v ， e a 咖= n 一1 ，p o i s s o n 情形 d e t ( i + d 2 妒) = r l ，m o n g e - a m p 邑r e 情形 运用能量方法证明了两个系统到不可压e u l e r 方程组的收敛2 0 0 5 年，p e n g 和 w a n g m 通过拟中性极限研究了时变的e u l e r - p o i s s o n 方程组 鼠n + d i v ( n u ) = 0 ， o , ( n u ) + d i v ( n u 圆u ) + v p ( n ) + n v 霍+ 佗t 正= 0 ， a 2 a 、, = b ( z ，t ) 一礼， ( n ，u ) t ：0 = ( n a ( z ) ，砧( z ) ) ： ( 1 - 1 8 ) 当入一0 时到不可压的e u l e r 型方程组 l a t 上o + ( t 上o v ) t 正o + v ( h ( b ) + 皿o ) + u 0 = 0 ， 凼v ( 阮o ) = 一劬， ( 1 1 9 ) 【u o b = 诏( z ) 的收敛，通过迭代方法证明了极限系统局部光滑解的存在性，运用渐近展开的方 法以及系统的对称双曲性质证明了极限的收敛。2 0 0 6 年，w a n g 和j i a n g 删研究 一1 n 一 i 第1 章绪论 了n a v i e r s t o k e s - p o i s s o n 系统 a t 礼+ d i v ( n u ) = 0 ， 侥( n u ) + d i v ( n uqu ) + v p ( n ) + 亿v m = p t 工+ ( y + # ) v d i v u 一亿v 霍， 一a 2 皿= n 一1 ( 几，u ) t ；0 = ( n o ，让o ) ( 1 - 2 0 ) 在环面俨( d 1 ) 上的拟中性和无粘性的复合极限( a _ 0 和弘，l ，_ o ) ，证明 了其对于一般初值的整体弱解到不可压e u l e r 方程组 箸divu。=芝0,。_矿， 的收敛性同年，p e n g ，w a n g 和y o n g | 3 创将文【3 7 中等熵的情形推广到了非等 熵的情形，研究了等离子体或半导体中高维非等熵e u l e r - p o i s s o n 方程组，他们 用形式渐近展开的方法，分析了带准备初值的c a u c h y 问题的拟中性极限，说 明了小参数问题在相应极限问题有解存在的有限时间区间内有唯一的光滑解 2 0 0 7 年，z h a a g 等1 4 伽研究了在全空间r 3 双极高维的量子e u l e r p o i s s o n 系统存 在唯一的热平衡解，并运用能量方法和不动点理论得到了相关的半经典极限和 p l a n c k d e b y e 长度极限2 0 0 8 年，j u 等4 1 1 研究了n a v i e r - s t o k e s - p o i s s o n 方程组 在全空间r d 和环 - 3 两种不同区域上的拟中性极限，证明了对于好准备的初始数 据，n a v i e r s t o k e s - p o i s s o n 系统的整体弱解强收敛到不可压n a v i e r s t o k e s 方程组 的强解同年，“研究了非等熵e u l e r p o i s s o n 方程到非等熵e u l e r 方程解的收 敛性，运用迭代的方法证明了极限方程光滑解的存在性，并用渐近展开的方法 和能量方法严格证明了极限的收敛性 从方程的形态上来看，e u l e r m a x w e l l 方程组比e u l e r p o i s s o n 型的流体动力 学方程组要复杂得多，这是由于前者耦合了一个洛伦兹场作用从而人们对后 者的研究远没有前面的多，也没有像前者研究的那么深入最开始的时候，对 e u l e r m a x w e l l 方程组的研究只限于数值模拟4 4 ，真正从数学意义上严格研究 一1 】一 北京工业大学理学博士学位论文 e u l e r m a x w e l l 方程组的第一篇文献是c h e n ，j e r o m e 和w a n g 于2 0 0 0 年写的一 篇文章【4 5 这篇文章研究下述e u l e r - m a x w e l l 方程组 0 t n + d i v ( n u ) = 0 ， a ( 凡u ) + d i v ( n uo 让) + 跏( n ) = - q n ( e + u b ) 一警， 以日+ vxe = 0 ， e a e v 日+ ，= 0 ， - e d i v e = q n d ( z ) ， d i v h = 0 ， b =