泰勒展开式在高考题中的应用.doc_第1页
泰勒展开式在高考题中的应用.doc_第2页
泰勒展开式在高考题中的应用.doc_第3页
全文预览已结束

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

泰勒展开式在高考题中的应用莲塘一中 李树森 高中数学中函数导数部分占据了重要的位置,高考试题中函数导数题往往也是以难题、压轴题形式出现.如何应对函数导数难题？高等数学中有一些知识、方法与中学数学相通,本文针对一类函数导数问题借助高等数学中的泰勒展开式解决该类初等数学问题.如果函数在定义域上有定义,且有阶导数存在,则,其中,其中介于和间.上式即为函数在点处的泰勒展开式.1令,有.上式可以进行放缩,比较和、的大小,可以得到不等式：,. （*）下面证明该不等式.证明：设,则在单调递减,即有,当时取等号.设,则在单调递减,即有,当时取等号.综上所述,有不等式：,当时取等号.如图所示：例题展示考题1 （2015年福建卷理科20题）已知函数（1） 证明：当时,；（2）证明：当时,存在,使得对任意的,恒有；（3）确定的所有可能取值,使得存在,对任意的,恒有.解析：（1）在对（*）式的证明过程中已经体现.（2） 设,.当时,则在单调递增,则有,即,此时可以取任意正实数.当时,令,解得有,取,则有对任意的,有.分析：第（2）问的结论可以从图2中解释.（3） 可化为,此不等式要求在某个区间成立即可,而不等式在时恒成立.因此可以得到,其中,化简,得,即有,因此有.考题2 （2015年山东卷理科21题）设函数,其中.（1）讨论函数的极值点的个数,并说明理由；（2）若成立,求的取值范围.第（1）问利用导数求函数的极值,需要对进行讨论,这里不再赘述.（2） 由,得,利用不等式,有,对上式进行适当放缩,即利用求的取值范围.当时,由于在上单调递增,有；当时,有,此时；当时,在上单调递增,有.综上所述,要使恒成立,的取值范围.是考题1的第（3）问,考题2的第（2）问都是恒成立问题,求参数的取值范围.本文这两问的做法,都是先对不等式适当放缩后进行求解,这在平时求解参数范围时是不常见的.之所以这两个题能够利用上述想法进行求解,是因为泰勒展开式的本质上是将一个复杂的函数近似表示为一个多项式函数,是一种函数逼近的思想.该多项式函数与函数之间的误差是非常小的.本文出现的不等式（*）式中的与分别是泰勒展开式的第一项和前两项.这两个函数与函数之间的相差是比较多的，但是在原点附近的较小区间内这两个函数与函数误差是很小的.因此本文是利用了这一点，对该类问题进行求解.通过放缩将转化成或者这种多项式函数形式，利用多项式函数求参数范围是相对简单的.应用举例1 （2014年陕西卷理科21题）设函数.其中是的导函数.（1）令,求的表达式；（2）若恒成立,求实数的取值范围；（3）设,比较与的大小关系,并加以证明.分析：第（2）问需恒成立,应用不等式,有,对上式进行放缩,利用求的取值范围.当时,上式化简为,此时；当时,上式化简为,即,则有；综上所述,有的取值范围是.2 （2013年全国大纲卷理科22题）已知函数.（1） 若时,求的最小值；（2） 设数列的通项,证明：.分析：第（1）问需要在时恒成立,利用不等式,有,该不
人人文库> 全部分类> 行业资料 > 管理策划

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论