（理论物理专业论文）空间几何约束对量子波导中相移的影响.pdf

中文摘要 量子体系有许多几何性质和整体性质，特别是波函数的相位对 于几何或整体的效应是敏感的量。b e r r y 相位被实验验证之后有许 多人开始在理论和实验上对波函数相位，特别是几何相位进行研 究。对于空间几何约束与波函数相位的关系，有人进行了讨论，证 明空间几何约束影响波函数的相位变化，但对于此约束究竟如何影 响波函数的相移问题讨论的并不十分详细。本文旨在定性地找出空 间几何约束影响相移的主要因素。 考虑一单粒子量子系统，在不受任何外力也不存在势场的情况 下，空间几何约束影响经过波导管中量子粒子相位的变化。 我们仍然以薛定谔方程为基础。这里要强调一下，导管壁都是 不可穿透性的不同的只是其截面形状。在有些截面形状的波导管 中，可以求得薛定谔方程的解析解，如在矩形和圆形两种截面情况 下，可以求得解析解。对于椭圆、多边形形状截面情况我们采用数 值解法，利用m a t l a b 软件懈得能级参数：。然后计算不同截面形 状波导管中量子粒子出射波函数与入射波函数之间的相移庐。由 数值解，作图比较相移之间的关系。分别对矩形、圆形及多边形波 导截面情况的相移进行比较，从而得出空间几何约束影响相移大小 的两个主要因素：波导管截面形状的对称性和空间几何“曲率”。 波导管截面几何形状的对称性越高，波函数产生的相移越小；导管 截面空间几何“曲率”越小，得到相移越小。 关键词：空间几何约束，量子波导管，相移 a b s t 础忆t t h e r ea r em a n yg e o m e t r i c a la n dg l o b a lp r o p e r t i e si nq u a n t u m s y s t e m s i t s v e r yi m p o r t a n t t h a tw a v ef u n c t i o n p h a s e is s e n s i t i v et og e o m e t r i c a lo rg l o b a le f f e c t m a n ys c i e n t i s t sh a v e b e g u n t o s t u d y w a v ef u n c t i o np h a s e ，e s p e c i a l l y ，g e o m e t r i c a l p h a s e i n t h e o r y a n d e x p e r i m e n t s i n c e b e r r y sp h a s e w a s t e s t i f i e d e x p e r i m e n t a l l y s o m e p e o p l e h a v ed i s c u s s e dt h e i e l a t i o no fg e o m e t r i c a lc o n s t r a i n ta n dw a v ef u n c t i o np h a s es h i f t a n dd r a w nac o n c l u s i o nt h a tg e o m e t r i c a lc o n s t r a i n tc a na f f e c t w a v ef u n c t i o np h a s es h i f t b u tt h e y d i d n td i s c u s sh o w i t a f f e c t st h ew a v ef u n c t i o np h a s es h i f ti nd e t a i l w et r yt of i n d t h em a i nf a c t o r st h a ta f f e c tt h ep h a s e s h i f ti nt h i s p a p e r q u a li t a t i v e l y w e a n a l y s i s t h em o t i o na n dp h a s es h i f t so ft h eq u a n t u m p a r t i c l e sp a s s i n gt h r o u g hw a v e g u i d e sr e s t r i c t e db yg e o m e t r i c a l b o u n d a r yc o n d i t i o n a n dt h e r ei s n ta n yf o r c ea n dp o t e n t i a l f i e l d w eu s e s c h r s d i n g e r e q u a t i o n t h e r e ，i tm u s tb ep o i n t e do u t t h a tt h ew a l l so fd i f f e r e n tw a v e g u i d e sa r ei m p e n e t r a b l e ，a n dt h e d i f f e r e n c e sa r eg e o m e t r i c a ls h a p e so ft h ec r o s ss e c t i o n so n l y t h e s c h r s d i n g e re q u a t i o n f o rr e c t a n g u l a ro rc i r c l a rs e c t i o nis e a s i l y s o l v e d t ot h e w a v e g u i d e s o rt u b e sw i t he 1 1i p t i c a l s e c t i o no ro t h e rs h a p e s ，s u c ha st r i a n g u l a r ，e v e nm o r ec o m p e x c r o s s s e c t i o n ，w ea d o p t t h en u m e r i c a lm e t h o da n df i n dt h e v a r i a t i o no ft h e e n e r g y p a r a m e t e r 七：w i t h r e s p e c t t ot h e w a v e g u i d es e c t i o n ，t h e nc a l c u l a t ep h a s es h i f t a c c o r d i n gt o t h en u m e r i c a l s o l u t i o n s ， w e c o m p a r ep h a s e s h i f t sw i t h r e c t a n g u l a r 、c i r c u l a ra n dp o l y g o n a ls e c t i o n s w ec a no b v i o u s l y 2 s e et h a tp h a s es h i f ti sc o n n e c t e dw i t ht w og e o m e t r i ( ：c h a r a c t e r s o f w a v e g u i d e ：s y u n e t r y o ft h e g e o m e t r i cs p a c e i nw h i c ht h e p a r t i c l em o v e sa n dg e o m e l l i c a l “s p a c ec u r v a t u r e ”t h eh i g h e r t h es y m m e t r yis ，t h el e s st h ec o n s t r a i n tb e c o m e sa n dt h es m a l e r t h ep h a s es h i f t i s ：t h ep h a s es h i f td e c r e a s e ss i m u l t a n e o u s y w h e ng e o m e t r i c a l “s p a c ec u r v a t u r e ”o ft h ew a v e g u i d er e d u c e s k e yw o r d s ：s p a c eg e o m e t r i c a lc o n s t r a i n t q u a n t u mw a v e g u i d e p h a s es h i f t 3 前言 传统的物理学以局域的观点和方法来描述和研究物理现象。但 是近2 0 年来整体性的研究有了很重要的发展。1 9 5 9 年a b 效应及 其实验证明显示局域表述是不足够的，还应有整体的或拓扑的描 述。虽然19 7 5 年，吴大峻一杨振宁以磁单极为例分析了拓扑概念 对于物理学的必要性，但由于磁单极实验未发现，有些人仍认为拓 扑描述是数学的和概念上的。直到19 8 4 年b e r r y 重新发现了几何 相位因子( 因为依赖路径的相位因子早在1 9 3 0 年就已经被狄拉克 阐述) 并经许多实验证实，才明确表明：拓扑概念、整体描述是客 观存在的，是对局域描述的补充。 所谓整体性是指，物理性质由系统的整体拓扑性质决定，它不 可以由局域性单纯逐步延拓到全体而完成，系统的时间演化不单由 某一时刻去决定下一时刻的状态，而是依赖它所经历的历史。 我们将要介绍简单量子系统( 非场论的) 的整体性。包括量子系 统中的一些几何效应。如：a b ( a h a r o n o v b o h m ) 效应、b e r r y 几 何相位和空间几何约束对波函数相位的影响。 量子力学基本的物理量是波函数。过去我们对量子力学的了解 几乎大部分是对波函数幅的了解。对波函数的相位因予虽也有一般 的认识，可是远未足够深入。几乎到最近十多年才发现，原来还有 不少奇妙的现象与波函数的相位因子有关。我们对这个相位因予从 根本上来说所知甚少。相位的绝对值和瞬时值至今研究的不是很 多，只知道相位差有物理意义。这种相位差不只依赖初末态，而且 与初末态之间的整个过渡过程有关。虽然1 9 3 0 年狄拉克对依赖路 径的相位因子进行过阐述，可是到2 0 世纪8 0 年代中期人1 r 】才确实 认识到它的重要性，就是几何相位。1 9 8 4 年，b e r r y 发现在绝热过 程中量子力学波函数存在一不可积的相因子b e r r y 相因子。b e r r v 相位被很多实验证实，并作了一系列推广，得到结论：几何相位存 在于任何演化的量子系统中。量子力学的整体或拓扑，或称大范围 的性质长期被忽视。例如，a h a r o n o v b o h m 效应，这也是波函数 相位因子的几何效应。这一现象一直争论了近3 0 年，到19 8 6 年刁+ 获得物理学界的一致认同。 l9 8 7 年l e ”y l e b l o n d 纯几何模拟了a b 效应。讨论了通过 号子导管的单粒子系统，粒子的相位变化依赖于导管空间几何形状 的约束。发现：一个传播的量子粒子的空间边界条件区域性的变化， 将改变波函数的相位。充分证明了量子行为的非定域特性。 本文仍然讨论通过导管的单粒子量子系统，在不受任何外力， 也不存在任何势场的情况下，空间几何约束对相移的影响。以薛定 谔方程为基础，求出其解析解或数值解，计算量子粒子通过具有不 同形状截面的波导管时的相位变化，讨论影响相移的主要因素。 第一章量子系统中的几何相位 第一章量子系统中的几何效应 近百年来的物理学家普遍认为完备的定域描述：按照现代场理 论，物理作用都是以场量子为媒介，吸收或发射场量子过程都是定 域的。系统用一个定域的哈密顿量描述。其动力学规律是哈密顿量 决定的微分方程。物理现象决定于此微分方程和边界初条件。 而在1 9 5 9 年，y a h a r o n o v 和d b o h m 预言，电子在无电磁 场而有电磁势的复连通区域中运动，电子并不受到力的作用，但电 子波的衍射图样会发生移动，从而证明电磁势在量子物理中是有意 义的量。经过氏期怀疑和争论后，19 8 6 年，日本t o n o m u r a 等人验 证了这一现象【2 j 。a b 效应的证实，发出了定域描述不足够的信 号。在a h a r o n o v 和b o h m 提议的实验中，电磁场对粒子定域作用 力为零，但由于粒子路径所处双连通空间的非平庸拓扑，电子波沿 运动路径累积相位。两相干电子波在传播的整体上受到空间拓扑性 质的影响。电子波叠加时的相位差依赖于运动路径的几何结构和空 间拓扑的性质。a b 效应实质是几何的。 7 0 和8 0 年代。杨振宁建立规范场的积分形式和纤维丛理论结 合，发展了经典场和量子场的整体描述( g l o b a l d e s c r i p t i o n ) 【。 人们陆续在电磁范畴预言和证实一些与整体描述有关的几何效应 “j 。加深了人们对a b 效应的涵义和意义的理解。其中包括 a h a r o n o v c a r m i 效应【4 和a h a r o n o v c a s h e r 效应【5 1 。19 8 4 年 m b e r r y 论证简单量子系统的几何相位的存在f 引，对整体描述的发 展做出决定性贡献。他的预言已在原子、分子、核物理、光学、化 学反应和凝聚态物理得到证实。b e r r y 相位是量子系统整体性质的 显示。若要完整的描述自然界的物理作用，定域描述和整体描述都 是必不可少的，是互相补充的。 1 1a h a r o n o v b o h m 效应 该效应旨在说明微观领域里，电磁学的两个基本量豆和后并不 能完全描述体系的行为，必须考虑矢势j ( 它在经典电动力学中无 塑二兰壁王墨竺! 塑些塑塑垡 一 基本意义) 的作用。y a h a r o n o v 和d b o h m 效应设想了两个实验。 如图1 1 和图1 2 a b 双缝 。 屏 幕 图1 1电子波通过有矢势的空间 电子源a 发出的能量单一的电子经过双缝b 分成两部分，然后发生 干涉，屏幕c 记录干涉图样。在双缝和屏幕之间置一很细的长螺线 管s ，其轴线与电子路径垂直，管内磁通为中。按经典理论，螺线 管是否通电对螺线管外的空间没有影响，因为管外空间里b 恒为 零。但实际上并非如此。当螺线管通电时( 爿0 ) ，比不通电时 ( a = 0 ) 电子束之间会产生一个额外的位相差： y = 丢扣凛= 去。 c _ ， 因此欠势a 在微观领域有基本意义。局域电子态感受不到磁通管的 存在，因为局域的场强为零。而在磁通管附近波函数为有限的电子 延展态，能感受它的整体效应。 考虑分开的波束分别进入理想导体板制成的圆柱体，导体上施 加电压a o i ( t ) ，a 0 2 ( f ) ( 图l 一2 ) 。电子在运动中并不感受到电场，但 随着4 0 ( f ) ，如( f ) 的变化观察到干涉条纹的移动。两电子束的附加 相位差： 4 塑：皇量王墨竺! 塑些塑塑些 一 a o e t l 、a a 。j v 九 ( i 2 ) ，为单个筒的长度，v 为电子的群速度，a a o 为电势差( a o l ( f ) - 爿0 2 ( f ) ) 。 一0 1 ( t ) 图1 2 电子波通过不同电压的导体圆筒 这种在无场强的情况下由电磁势( j ，a o ) 的变化导致量子干 涉条纹移动的效应，称为a h a r o n o v b o h m 效应。 至今未能认为标量的a b 效应是经过了实验的验证。理论上， 标景的a b 效应导致的几何相位还有待于进一步的实验。我们考 虑电磁势( j ，a 。) 两种作用同时存在的物理系统。 a h a r o n o v b o h m 效应强调了规范势的整体效应，即使场强定 域的为零。说明了定域描述不足够，电磁势有物理意义。a b 相 属于几何相，a b 相位也是b e r r y 相之一。b e r r y 相因子可以用来 解释已被证实的a b 效应和a h a r o n o v s u s s k i n d 效应【6 】。 a h a r o n o v b o h m 效应最早被r g c h a m b e r s l 9 6 0 年的实验验 证p 。自从a h a r o n o v b o h m 效应提出以来，在3 0 年的过程中始 终争论不断。一方面有许多工作集中在对实验的重新解释上。另外 些理论则设法从根本上推翻a b 效应，甚至宣称它是“数学的 编造” 1o l 。直到1 9 8 6 年，发生根本性变化。“判断性”的实验是 殿村( a t o n o m u r a ) 和他的合作者用超导体包围的环形磁体所作的 电子全息干涉图。这项实验研究也充分反映了实验技术的工艺对基 础物理研究的重要作用。这个系列的实验不仅验证了a b 效应， 也印证了超导体包围的磁通是量子化的( i 。 第一章量子系统中的几何相位 1 2a h ar o n o v o ar m i 效应 a h a r o n o v c a r r e l 效应4 是惯性力的矢量势的几何效应。 在一个相对于惯性参考系以恒定角速度w 转动的参考系上，粒 子受到惯性离心力的作用。类似磁场，可引入惯性矢量势五和惯 性标量势a 。惯性场对质点g 的作用，完全类似电磁场对点电倚q 的作用。 若粒子在惯性场w = 0 而惯性矢量势西0 的区域运动时，薛定 谔方程有解 州御舻唧片鼢面) ， 其中。( f ，f ) 为口= 0 时的粒子波函数( 实际上，使运动区域无惯 性场w 而有惯性势a 的实验条件尚未能实现) 。类似电磁现象，低角 速条件下，薛定谔方程的解( 1 3 ) 式近似成立，如果粒子波保持 相位关系，几何效应将起决定作用。 实验方面s a w e r n e r ，j l s t a n d e n m a n n 和r c o l e l l a 在1 9 7 9 年首次使用中子干涉仪测量地球的自转】。他们使热中子束分裂 为两相干束，经历不同路径后重新汇合干涉。地球转动w 导致两中 子柬的附加相位差 口：三竺c ra 万：三竺茹i( t - 4 ) h 山口c dh j 的数值为a b c d 面积，方向为其法线方向。实验测得w 之值 与实际数值致。 但在s a w e r n e r 等人的实验中，中子在路径上一直受到惯 性力的作用，动力学效应不为零。有人怀疑( 1 4 ) 式表示的a 0 是否仅仅是几何效应? a h a r o n o v 和c a r m i 设想一个没有定域动 力学作用的实验【4 】：粒子珑限制在以谛转动的圆环( ， 来描述。这里指数 一! f ：h ( r ) d 。 因子e 一“为动力学相因子，因为它由系统的哈密顿量决定。 这是物理学家们长期以来对绝热过程所持的观点。b e r r y 8 】于1 9 8 4 年发现，对一非简并量子系统，如果哈密顿量在某参数空间作绝热 演化而形成一条闭合曲线，即该量子系统作周期性绝热演化时，则 当系统完成一周演化其哈密顿量回到原值时，其波函数为： 州 ：p 一渺叫p 1 w ( o ) ( 2 1 ) 这里t 为演化周期。与前述过程比较，这里出现了一个新的相因子 e ”。这个新的相因子由哈密顿量在参数空问里的演化路径的几何结 构决定，因而称作几何相位因子，或b e r r y 相因子。 2 1b err y 相位的提出 考虑一个无简并量子系统，其哈密顿是f i ( k ) ，再= ( z ，y ，) 为 参数空间。系统在f = o 到f = t 间作周期性绝热演化，再( 7 1 ) = 厦( o ) ，t 为演化周期，状态演化满足薛定谔方程 疗( 爱o ) ) i y ( f ) ) = f 7 l 痧o ) ) ( 2 2 ) 绝热条件下，系统本征方程为 9 第二章b e r r y 相位 疗( 詹) i n ( 再) ) = e 。( 局) i n ( j i i ) ) ( 2 3 ) 能级e 。( 局) 。 绝热条件下设系统本征方程从l h ( 再( o ) ) ) 出发，演化到f 时刻成为 i ，2 ( 再( f ) ) ) ，因此t 时刻系统状态 删吾f 舳胁) ) ) e x p ( 哪舭鼬) a ， 右边第一个指数因子就是动力学相因子，第二个指数因子就是几何 相因子。以( f ) 是不可积的，也不能写成豆的函数，值得注意的是， 在一周连续变化的过程中不是单值的，n ( 丁) ，。( o ) 。要求i y ( f ) ) 满 足薛定谔方程，所以“( f ) ： 九( f ) = f ( 盯( 晨( f ) ) i v 月n ( 胄( f ) ) ) 再( f ) ( 2 5 ) 原来普遍认为本征方程( 2 - 3 ) 只涉及环境变量天，不能确定系统 变量l 挖) 的相位，因而( f ) 可以不考虑，p 帆可以通过重新定义相 位而吸收到i 珂( 再) ) 中，故它并无意义。然而，b e r r y 认识到了这个相 因子的重要性。系统完成一周演化时，波函数成为 咿) ) _ e x p ( 吲c ) ) c x p 悟r 蝎( 鳓卜( 0 ) ) ( 2 _ s ) c 代表l 冶密顿景在参数守间的演化回路。 由( 2 - 5 ) 可将几何相位写成路径积分形式 0 第：章b e r r y 相位 _ _ _ _ _ 一一 y 。( c ) = l 蕾( 一( 晨) p a n ( 碲积 ( 2 7 ) 可见它与演化路径c 的几何结构有关，是不可积相因子。化成面积 分并插入完备集 利用f 述关系式 其中 。i m ) ( m ( 2 8 ) ( 州= 訾( 删 心( c ) = 一肛圪( j i ) ( 2 10 ) 噼x m 丕趔塑恭鬻攀 ( 2 7 ) 和( 2 1 0 ) 是计算几何相位的基本公式。 现在人们已经初步弄清了几何相位的物理实质，并大大拓展了 b e r r y 最初的理论框架。在b e r r y 最初的工作中，要求系统是非简 并的，演化是绝热的和周期的，而且系统的演化是通过哈密顿的参 数空间的曲线来描述的。大大限制了出现几何相位的系统。 后来这些限制被取消，b e r r y 的工作被大大推广。 2 2b err y 相的推广 一系列的工作把b e r r y 最初工作中的限制都取消了。 第章b e r r y 相位 2 2 1 系统无简并 这一限制由w i l c z e k 和徐一鸿“1 ，s e g r e t l l 5 1 取消，并且将简并 系统的几何相位与非阿蛆尔规范场联系起来。 2 2 2 绝热演化( 即无限缓慢变化，无能级之间的跃迁) 这一限制也被取消。首先，b e r r y 1 6 1 ，g a r is o n 和c h i a o 7 1 考虑 了有限缓慢变化的情况。b e r r y 。6 1 利用么i e 变换得出了相位的迭代 级数方程，并证明由于有限慢过程导致量子跃迁，相位相对于绝热 过程的偏离= 亭必定发散。孙昌璞 1 8 - 2 0 , n a k a g a w a 2 1 1 和g e r b e r 1 22 也考虑了偏离绝热过程时几何相位的修正。 2 2 3 周期性变化推广到非周期演化系统的情况 吴咏时和李华钟首先论证了对于参数空间中的开放路径所对 应的非闭合演化，也存在几何相位即7 ，。( f ) ，并且指出可以利用共振 实验做出验证。j o r d a n 2 3 】根据p a n c h a r a t n a m 相位规则 2 4 1 给出了 b e r r y 相位的另一个定义。利用j o r d a n 对几何相位作的定义，可以 很自然地把几何相位推广到非闭合演化的情况。由于他把几何相位 定义为一串特殊变换的结果，因此几何相位不仅可以产生于连续变 换，也可从分立变换中产生，即参数空间由一些分立的点构成。这 样几何相位出现的系统就大大增多了。这两个结论目前均有比较肯 定的实验支持。 2 2 4 系统演化在哈密顿量的参数空间中进行 a h a r o n o v 和a n a n d a n 2 5 1 的工作取消了此限制而改用系统本 身状态的演化来考虑。 从薛定谔方程出发 日( f ) iy ( f ) ) = i h ( d d t ) ip ( t ) ) ( 2 12 ) 第+ 章b e r r y 相位 系统作周期演化使得i _ ! f ，( r ) ) = p 9 1 ( o ) ) ，定义 庐( f ) ) = e - t f ( oj ( f ) ) 从而( r ) 一厂( o ) = ，那么i 妒( r ) ) = i 驴( o ) ) 而且 所以如果定义 ( 2 13 ) 鲁= 拟，) i h i 一( 删j 鲁) ( 2 - 1 4 ) 。庐+ 壳一f ( 妒( f ) p j ( f ) ) 出 ( 2 - 15 ) 而将位相砂中的动力学部分消去，则 卢= f r ( 旷矿) 肛) 出 ( 2 一l6 ) 它与矽和疗无关，故为几何相位。( 2 16 ) 是计算周期演化系统的几 何相位的普遍公式。 这一相位不必用绝热定理，在一类叫做循回过程( c y c l ic e v 0 1u t i o n ) 中存在，一般文献上叫做a a 相位，并把它看成b er r y 绝热几何相位的推广。 2 2 5 系统哈密顿为厄米 s a m u e l 和b h a n d a r i i2 6 1 进一步指出，系统的演化0 i 要求是周期 的，共至也不要求是么正的。 这里介绍一下s a m u e l 和b h a n d a r i 的工作 第i 节b e r r y 柏位 设代表h i l b er t 审问中明9 化的态欠集 演化过程中南 n = ) h i ( 矿i y ) 0 ( 2 一l7 ) ( r ) ) = e i f t ) i v ( t ) ) ( 2 一l8 ) 定义的f 矿( ，) ) 在n 中形成一条曲线，记为i 矿( j ) ) t 令f “) = ( a d s ) l 矿( s ) ) 为曲线的切矢量。定义 及协变导数 爿，= i m ( l “) ( 庐l 妒) ( 2 - i9 ) “) = 羔) 也) ( 2 - 2 0 ) 通过对的几何性质分析可得 芸赫诽，) _ 。 z - ， s a m u e l 和b h a n d a r i 推得，对任意的两个态f ，) 和f 2 ) ，它仃】之间的 几何相位差为 y = 讧d s ( 2 2 2 ) 其中积分起点由i i l f ，。) = l 驴( o ) ) ，终点由i ：) = i 矿( i ) ) 决定，积分路线沿 由方程( 2 2 0 ) 、( 2 2 1 ) 给出的曲线进行。列于周期演化( 2 2 2 ) 式表示的相位退化到( 2 一l6 ) 式所示的a a 相位。 1 4 第章b e r r y 柑他 ( 2 2 2 ) 式是儿何相位的最普遍公式。它不但包括了般的状 态演化，也包括了测晕这一类的非么j 卜过程。 爷此得出结论：几何相位存在于仟何演化的量子系统巾。 由于几何相位与演化路径的几何结构有关，故它是不叮积相吲 子。从微分拓扑的观点看，系统的演化可以用纤维丛上矢晕的平移 过程描述，几何相因子可以解释为纤维从e 完形群的群元。 2 3b err y 相的实验验证 在b e r r y 相位的重新发现之后，首先以实验证实这一几何午h 位 的存在的实验有两个。一个是多原子分子光谱实验，测量n 。3 + 离 r 的分子光谱，这一实验的原理和理论预测电子波函数有一异常的 相位p ”，早在7 0 年代已经作出预言，但只有在b e r r y 相位的几何 性质阐明之后，这一实验才有人完成。另一个实验是很著名的光子 极化实验，它的理论原理足由乔瑞字一吴咏时做出的j ”】，实验则 是由t o m i t a 一乔( c h i a o ) 瑞宇做出的【28 1 。这一实验清楚的证明了 b e r r y 相位的存在和拓扑性，它测量了光纤中单模激光偏振面的转 角。此后，又应用核电四极矩共振，核磁共振，中子在螺旋磁场中 极化等许多实验，测定绝热过程的量子几何相位。 2 3 1 光纤实验 c h i n o ( 乔) 和w u ( 吴) 2 7 】首先指出，几何相位可用光在螺 旋纤维中的传播表现出来。他们建议采用绕成螺旋形的光纤。光沿 光纤传播，其波矢石连续变化。当光纤方向再次同到初始值时，石 ( k ，k y , k ：) 空间中的代表矢量在球面上描出个圆。扭i 这个倒在 原点处张成一个圆锥，半顶角为护，则它所张的立体角是 q ( c ) = 2 a - ( 1 一c o s o ) 由j i 光子没有质量，保证了自旋沿后方向s 只能为十1 自旋跟随f 慢变化，完成一循环时b e r r y 相是 ( 2 2 3 ) 或一l 。由f 第二章b e r r y 相位 r ( c ) = 一2 r c s 女( 1 一c o s o ) ( 2 - 2 4 ) 富田( a ，t o m i t a ) 和乔瑞宇在此基础上进行了实验1 2 “。h e n e 激光经线偏振器进入光纤，线偏振是s = + l 与s 。= 一1 的等量叠 加。通过光纤后e 恢复最初方向，两种偏振间由于b er r y 相符号相 反有了相差，致使合成的线偏振方向有了改变。光纤k 是，圆柱 k 是p ，0 是光纤方向与螺旋轴( 即圆柱轴) 方向问的夹角，称为 项角( a p e xa n g l e ) ，有 因此 c o s 口：旦 ( 2 2 5 ) y ( c ) = 一2 n s ( 1 一了p ) ( 2 2 6 ) 这是对b e r r y 相的第一个实验验证。 2 3 2 螺旋磁场中中子自旋旋转的b e rr y 相实验 t b i t t e r 和d d u b b e r s 2 9 1 进行了中子自旋慢旋转产生b e r r y 相的 测量。让中子通过其磁矩与磁场的耦合使其自旋跟上慢变化，完成 个循环后就产生b e r r y 相。磁场矢量豆。令中子在t = 0 处于状态 l m ) ，m 为自旋z 的分量，t 代表转周的时间。在时间t ，中子波 函数的相位是m q b r ，此处 中r = k b t 一2 z r ( 1 一c o s 0 ) 右方两项分别为动力学相和b e r r y 相。 1 6 ( 2 2 7 ) 第：章b e r r y 相位 自从b e r r y 提出几何相以来， 的存在，进行了大量的研究工作， 这里不一一讨论。 在物理学的许多领域都发现了它 b e r r y 相已经被人量实验所i 止实， 第i 章宅问几何约束与波函数相位 第三章空间几何约束与波函数相位 当物质波在空间约束条件下运动时，它的相位会因约束而改 变，通常满足薛定谔方程的波函数，由空间边界条件来确定。空间 某区域中传播的物质波，会囚为区域远处的边界条件改变而改变， 在此区域并不需要存在任何定域的相互作用。 3 1 空间约束对通过矩形波导量子粒子相移的影响 1 9 8 7 年l 6 v y l e b o n d 13 0 发现： 一个传播的量子粒子的空间 边界条件区域性的变化将改变波函数的相位。即通过矩形波导的量 子粒子的相位改变。考虑了一个简单的单粒子系统，在空间中自由 运动的粒子，质量为m ，沿z 轴以动量p 进入一截面为方形的管道， 由于传播空间的几何约束，经过管道出射的波函数相位起了变化。 他得出出射波与入射波相比相位差 臼! 望；五 口 ，( 3 - i ) 2 a 2 截面边长为a ，管长为，。该效应原则上可以通过中予干涉仪观察。 值得注意的是，这种效应来自于它简单的和基本的性质。这里量子 粒子没有受到任何外力的影响。纯几何约束，也就是空间边界条件 影响了量子粒子的行为，修正了波函数相位。该文对量子行为的非 定域特性作了阐释。 3 2 空间边界条件对通过一瓶颈量子粒子相位的影响 19 8 9 年，r a z a v y 【3 考虑了一个相似的问题。认为空间边界条 件在一个坐标系中变化，能够在另一牮标系的波函数方程叶导致非 定域势。为了研究这一性质，他在椭圆柱坐标系巾解薛定谔方程。 量子粒子通过一瓶颈导致波函数相位变化，而且他还指出相位变化 第三章空问几何约束与波函数相位 来自于“假想”势( 与h 2 成正比) 的作用，摩擦系数商接j 瓶颈的 曲率有芙。 考虑个自由粒子，质量m ，能量，从y 轴负向进入，波导 具有边界条件z = 0 ，z = l 和两个双曲线 x 2 c o s 2 0 0 y 2 s i n2 0 0 = 口2 4 ( 3 - 2 ) 口和吼为恒量。 当粒子趋向y = 0 轴时，波导截面减小，在y = 0 时，具有最小 值l a c o s o o 。这个问题在椭圆柱坐标系( j ，0 ，z ) 中分解，定义为 工= - 2 la c o s h c 。s 占，y = 圭口s i n h s i n 口，z = z ( 3 - 3 ) 在此坐标系下薛定谔方程 a ( c o s h 2 # - c o s 2 0 ) - t 。 矿0 2 暑卜害“4 ， 这里k 为波数( k 2 = m e h 2 ) 。波导边界上的边界条件甲( 从0 ，z ) = 0 整个波函数可以写为 k ：= m v l 。如果定义 甲( ，0 ，z ) = ( ，o ) s i n ( k ：z ) ( 3 - 5 ) 肚去陆2 却柏2 k 2 这里h 足无量纲参数，( ，0 ) 可以写为 v ( ，口) = z j 。，( ) o ，。( 臼) ( 3 6 ) ( 3 7 ) 痢= 二草字问儿何约束与波函数柑位 这里0 。和j ，。是普通微分方程的解 和 净d2 九卅c o s 冲。= 。 s ， 巨- b 。+ h 2 c o s h 2 p 卜 c n 一。， 实参数缸。是分立的常数，埘代表不同的本征值。 在椭圆柱坐标系中对薛定谔方程形式和边界条件进行一系列 变换，对其数值求解。并且得到相应非定域势的直接形式 矿( ，臼) 甲= ( 2 h2 m a 2 ) ( c o s h 2 - - c o s 2 y 。o 。( 0 ) c o s ( h s i n h ts i n o o ) s i n ( k ：z ) m = o ( 3 1 0 ) 要强调一下，这里的非定域势与a b 效应中的势不同，它还是作 用于v 的算子。 由数值计算结果，粒子波波长可以与管子的最小宽度相比拟， 或比最小宽度还要大时，得到的相移大：比管子的最小截面宽度小 时，相移小。另外，低入射能量的波比高入射能量的波获得的相移 大。 l d v y l e b l o n d 说明空间几何约束对相移有影响，并计算了量 子粒子经过矩形波导时相位的变化。r a z a v y 则考虑波长比瓶颈最 小截面大或小两种情况，比较二者之间相移的大小。 第四章空间几何约束剐相移的影响 第四章空间几何约束对相移的影响 l9 8 7 年，l v y l e b l o n d i3 0 1 发现一个传播的量子粒子的空间边 界条件区域性的变化，将改变波函数的相位。讨论了一个简单的量 子系统，即通过矩形波导的量子粒子的相位改变。而且该效应原则 上可以通过中子干涉仪观察。 l9 8 9 年，r a z a v y i3 1 】讨论了通过一瓶颈的量于粒f 的相位变化， 他指出相位变化来自于“假想”势的作用。且摩擦系数直接与瓶颈 的曲率有关。 l e v y l e b l o n d 说明空问几何约束对相移的影响，并计算了量 子粒子经过矩形波导时相位的变化。r a z a v y 则考虑波长比瓶颈最 小截面大和比最小截面小两种情况，比较二者之间相移的大小。 本文试图找出空间几何约束对通过不同截面形状波导管的量 子粒子相移的影响。比较相移的大小，找出其中的规律。 考虑一单粒子量子系统，在不受任何外力也不存在势场的情况 下，计算由于空间几何约束对经过量子波导管中粒子的影响所产生 的相移。 本文工作仍然是以薛定谔方程为基础。在有些截面形状的波导 中可以求得薛定谔方程的解析解，如在矩形和圆形两种截面情况， 可以求得解析解。对椭圆、多边形形状截面情况我们采用数值解法。 利用m a t l a b 软件得到数值解，计算量子粒子通过具有不同截面形 状的波导管时所得到的相移矽，作图比较它们之间的大小。并分 析影响相移的两个主要因素：波导管截面形状的对称性和空间几何 “曲率”。导管截面形状对称性越高，相移越小；空间几何“曲率” 越小，相移越小。 4 1 原理和计算方法 我们准备对几种简单几何形状截哑的波导管内量子粒子运动 过程中产生的相移作一计算，当截面是矩形、圆形时，粒子满足定 态薛定谔方程，易于求解，可以给出薛定谔方程的解析解。对 ：椭 第网章空间几何约束对相移的影响 圆及其它形状如：三角形、八边形、六边形截面，甚至更为复杂的 形状的情况，薛定谔方程通常无法直接求解，我们采用数值求解方 法。 粒子满足定态薛定谔方程 势为0 ，所以 令掣：女2 ，得到 壳2 卜昙三- v2 + 矿( i ) 】y ( f ) ：y ( 尹) ( 4 1 ) z m j h 埘2 v 2 9 r ( 产) = e ( f ) ( 4 2 ) v 2 ( f ) = 一可2 m e 妒( f ) ( 4 - 3 ) v 2 = k z g ( 4 4 ) 应用m a t l a b 软件解本征方程问题，求出k 2 下面求位相差表达式：入射波函数和出射波函数的能级分别表 示为 ：( 4 5 ) 2 m e ，：丝+ 笪 2 m 2 m 粒子在波导管中纵向动量p 变化为p ( 4 6 ) 第四章字f n 】几何约束埘棚移的影响 p l = p 一卸 简单起见，我们取基态，且考虑卸 p 矗：a p4 奇 ( 4 7 ) ( 4 8 ) 粒子由导管末端进入开放空间时，纵向动量恢复为p 。但波函数累 积相位 蜘圳= 警 ( 4 9 ) 德布罗意波长丑= 2 a p 。取旯= l 爿，= i c m ，矗= 【，a = 4 ( 佣冀 下面分析量子粒子通过简单几何形状截面的波导管的行为和 相移。需要强调的是我们以下所讨论的量子系统的波导壁都是不可 穿透的，只有导管截面的几何形状不同。 l 6 v y - l e b l o n d t ”1 指出，此相移原则上可由中子干涉仪观测。所 以由相移的测量结果也可获得有关波导侧面的几何形状等有用信 息，无疑对量子波导管的设计和研究提供帮助。 4 - 2 矩形和圆形截面波导情况的相移 考虑质量为所，初始动量为p 的量子粒子，粒子通过波导管， 沿纵向，粒子的入射波函数 f ，铤e x p ( i p z ) ，内壁上势为无穷大，波 导内无势和作用力存在。 方形截面波导管情况，由定态薛定谔方程可以求出当波导管长 ，比截面边长a 大许多时( 即a ，) ，其入射粒子与出射粒子的相位 改变为：取最低能态( 基态) 量子数( 珂，= ，z = 1 ) 2 3 第四母空问几何约束对相穆的影响 z 了e r ( 7 2 1 ) 五 口 ，( 4 - 1 0 ) 这里a = 2 ，r p 为德布罗意波长( d ebr o g l i e ) ，a 和，分别为方形截面波 导管的截面边长和导管长度。 在半径口，长为，的圆形截面导管中，能级可以表示为 驴舡+ c 刮 这里p 为沿z 方向自由运动的动量。工? 是零阶贝塞耳函数的零矢。 粒子出射后的相移 bz 警 虹z 警c 争 ( 4 12 ) 五 a b ) 的函数关系曲线 a = 4 ( 彬) 2 ，德布罗意波长五= 1 a ，导管长，= l c m ，取h = l 。 4 3 椭圆、三角形、六边形和八边形截面波导的情况 这几种情况的定态薛定谔方程不能精确求解。我们采用前面讲 到的数值解法求能级。 4 3 1 具有椭圆截面波导中量子粒子的相移 入射粒子( 质量m ，初始动量p ) 从z = o o 进入不可穿透性壁 的波导管 第四章宅间几何约束对相移的影响 f 一监 “”一2 ( 4 16 ) 参数k ：由数值计算得到。? = 4 6 0 9 1 0 ”( m 。2 ) ，k ；= 1 0 8 8 10 ” ( m 。2 ) ，t ；= 1 2 6 3 10 ”( m 2 ) ( e = 0 , 5 ) ，出射粒子几何相位 m = 等等 心以( 4 - 17 ) 这些椭圆的面积均为4 ：尬6 ：翮2 i e 2 ，口、6 分别为长半轴 和短