（应用数学专业论文）k1xk2x有限伸张映射.pdf

摘要 ( k ( z ) ，恐( z ) ) 一有限伸张映射是比k ( z ) 一有限伸张映射更广的映射，而且( 蜀( z ) ，鲍 ) ) 有限伸张映射具有更广泛的应用 在本文中，我们首先给出了( 硒( z ) ，鲍( z ) ) - 有限伸张映射的定义；然后研究了( 甄( z ) ，k 2 ( z ) ) 一 有限伸张映射的正则性特性；同时，我们得到了在( k 1 ( z ) ，k j ( z ) ) - 有限伸张映射下的一 个新的c a c c i o p p o l i 形式的不等式；最后，推出了在合适的魁( z ) 和( z ) 条件下的可 去性定理 关键词( 尬( z ) ，k 2 ) ) 一有限伸张映射；b e l t r a m i 方程；可去性； c a c c i o p p o l i - 型 不等式；拟正则映射 a b s t r a c t ( 艇( z ) ，鲍( z ) ) 一f i n i t ed i s t o r t i o nm a p p i n g si s ab r o a d e rc l a s st h a n k ( z ) 一f i n i t ed i s t o r t i o nm a p p i n g s ，a n d ( 石，l ( z ) ，厶，2 ( z ) ) 一f i n i t ed i s t o r t i o nh a v e as t r o n gb a c k g r o u n d i nt h i sp a p e r ，w ef i r s t g i v et h ed e f i n i t i o no fm a p p i n g so f ( 研( z ) ， 硷( z ) ) 一f i n i t ed i s t o r t i o n ；t h e nw ec o n s i d e rt h er e g u l a r i t yp r o p e r t yo f ( 虬( z ) ， 尬( z ) ) 一f i n i t ed i s t o r t i o nm a p p i n g s ；a n da l s oo b t a i nan e wc a c c i o p p o l i - t y p e i n e q u a l i t yi nt h es e t t i n g so fm a p p i n g so f ( k ( z ) ，k 2 ( z ) ) 一f i n i t ed i s t o r t i o n ； f i n a l l y , w ea r r i v e a tt h er e m o v a b l es i n g u l a r i t yp r o p e r t yf o rt h e mu n d e r s u i t a b l ec o n d i t i o n so n ( 1 ( z ) a n dk 2 ( z ) k e y w o r d s ( 甄( z ) ，k 2 ( z ) ) 一f i n i t ed i s t o r t i o nm a p p i n g ；b e l t r a m ie q u a t i o n ； r e m o v a b l es i g u l a r i t y ；c a c c i o p p o l i t y p ei n e q u a l i t y ；q u a s i r e g u l a r m a p p i n g i i 河北大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北大学或其他教育机构的学位或证书 所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了致谢。 作者签名：三莹日期：塑z 年月星日 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年月日解密后适用本授权声明。 2 、不保密v 。 ( 请在以上相应方格内打“ ) 作者签名： 导师签名： 日期：卫z 年月翌一日 日期：二竺，乙年生月上日 c h a p t e r1 l e tu sb e g i nw i t ht h ed e f i n i t i o n i n t r od u c ti o n d e f i n i t i o n1 1a s s u m et h a tqc 舒i sac o n n e c t e do p e ns e t w es a yt h a ta m a p p i n g f = ( f 1 ，f 2 ，n ) ：q 一舻h a s ( k 1 ( z ) ，k 2 ( z ) ) f i n i t ed i s t o r t i o ni f ： ( f d 一1 ) f 咄( q ，舻) ( f d 一2 ) t h ej a c o b i a nd e t e r m i n a n tj ( x ，f ) o ffi sl o c a l l yi n t e g r a b l e ( f d 一3 ) t h e r ea r et w om e a s u r a b l ef u n c t i o n s 1 ( z ) 1a e ，a n dk 2 ) 0a e ，f i n i t e a l m o s te v e r y w h e r e ，s u c ht h a tt h ed i s t o r t i o ni n e q u a l i t yh o l d s d f ( x ) l n 1 0a n d 鲍( z ) 三k ( q ) ，t h e no n ec a no b t a i nt h a t i d f ( x ) l n 甬，1 ( z ) j ( z ，f ) 4 - ，2 ( 。) 瞰( z ) + 端】j ( z ，n 1 b u tk 1 ( z ) + 端i sn o te x p 。n e n t i a l l yi n t e g r a b l e t h u s ( 髓( z ) ，鲍( z ) ) 一f i n i t ed i s t 。r t i 。n i sb r o a d e r t h e f o l l o w i n gb e l t r a m is y s t e mi sw e l l k n o w ni ng e o m e t r i cf u n c t i o nt h e o r y d 。f ( x ) d f ( x ) = j ( x ，) 2 n g ( z ) ，( 1 1 ) w h e r ec ( x ) s ( n ) i st h ed i s t o r t i o nt e n s o ro f ，：as y m m e t r i c ，p o s i t i v ed e f i n i t em a t r i xo f d e t e r m i n a n t1 ，a n ds a t i s f i e s q ( z ) i 引2 ( g ( z ) ，毒) 卢( z ) l 引2( 1 2 ) f o ra l m o s ta l l0 q ( z ) p ( z ) o 。，a n da l l 0 t h eg e n e r a l i z e ds o l u t i o n so f ( 1 1 ) h a v e ( p ( z ) 喇，0 ) 一f i n i t ed i s t o r t i o n i nf a c t ，f r o m ( 1 1 ) o n ec a dd e r i v et h a t t h u sb y ( 1 2 ) t h i si m p l i e s t h a ti s ( d 。，( z ) d ，( z ) ，专) = j ( x ，) 2 n ( g ( z ) ，) d f ( x ) 1 2 j ( x ，) 2 n 卢( z ) 汗 d ，( z ) 1 2 ，( z ，) 2 n p ( z ) d f ( x ) l n p ( z ) 州j ( x ，) r e m a r k1 1i f 佗= 2 ，a n dq ( z ) = q ，p ( z ) = pi n ( 1 2 ) ，t h e nl e t 名= z 1 + i x 2a n d w ( z ) = f l ( z ) + i f 2 ( z ) ，( 1 1 ) i sn o t h i n gb u tt h eu n i f o r m l ye l l i p t i ce q u a t i o ni nt h ep l a n e 嘶= p ( z ) 叫：，l p ( z ) i 南 1 s y s t e m ( 1 1 ) c a nb ee x t e n d e dt ot h ef o l l o w i n gb e l t r a m is y s t e mw i t hd o u b l ec h a r a c - t e r i s t i cm a t r i c e s d 。f ( x ) d f ( x ) = j ( 刀，) 2 n g ( x ) + 日( z ) ， w h e r eg ( z ) ，h ( x ) a r es y m m e t r i c ，p o s i t i v ed e f i n i t em a t r i c e s ，a n ds a t i s f y o c l ( z ) i 1 2 ( g ( z ) ，) 风( z ) i 善1 2 ， 2 一 ( 1 3 ) ( 1 4 ) q 2 ( z ) 1 7 7 1 2 ( g ( z ) 7 7 ，7 7 ) 疡( z ) i 叼1 2 f o ra l m o s ta l l0 a l ( x ) 岛( z ) o o ，0 0a n d 蚤，2 ( z ) 己 o 。( q ) t h e n m ：l 竹l o g 吨1e + i d f l ) l ( q ) ， w h e r eq = c l p ，a n dc 1 = c l ( n ) 0 f o rw e a k l yq u a s i r e g u l a rm a p p i n g s ，1 w a n i e ca n dm a r t i n 【9 ，1 0 】n o to n l yp r o v e dt h e s e l f - i m p r o v e dr e g u l a r i t yo fq u a s i r e g u l a rm a p p i n g sb u ta l s oa s o - c a l l e dc a c c i o p p o l i t y p ei n - e q u a l i t yf o rt h ee x p o n e n tn - - g f r o mt h i st h e yo b t a i n e df u n d a m e n t a lr e s u l t si nt h et h e o r y o fr e m o v a b l es i n g u l a r i t i e sf o rq u a s i r e g u l a rm a p p i n g s w ea l s oo b t a i nan e wc a c c i o p p o l i t y p ei n e q u a l i t yi nt h es e t t i n g so fm a p p i n g so f ( 蜀( z ) ，k 2 ( z ) ) 一f i n i t ed i s t o r t i o n t h i sy i e l d s t h ef o l l o w i n gn o v e lr e s u l to nr e m o v a b l es e t sf o rm a p p i n g so f ( ( 1 ( z ) ，k 2 ( z ) ) 一f i n i t ed i s t o r - t i o n t h e o r e m2 3l e tp 0 ，ec pb eac l o s e ds e to f 己n1 0 9 n 一1 一c 2 卢l - c a p a c i t yz e r o ， w h e r ec 2i st h ec o n s t a n tf r o mt h e o r e m2 1 ，a n dl e t 厂：a e 一舻b eab o u n d e dm a p p i n g o f ( 硒( z ) ，k 2 ( z ) ) 一f i n i t ed i s t o r t i o n s u p p o s et h a tt h ed i s t o r t i o nf u n c t i o n 凰( z ) s a t i s f i e s e x p ( p 硷( z ) ) 如 o o ， j n s a n dj ，2 ( z ) l k ( q ) t h e n ，e x t e n d st oa 。m a p p i n go f ( 五，1 ( z ) ，蠡，2 ( z ) ) 一f i n i t ed i s t o r t i o n i nqw i t ht h ee x p o n e n t i a l l yi n t e g r a b l ed i s t o r t i o nf u n c t i o n 甄( z ) a n dl o c a l l yi n t e g r a b l e d i s t o r t i o nf u n c t i o n 鲍( z ) i tw a sp r e v i o u s l yo n l yk n o w nt h a ts e t so fp l o g n - 1l - c a p a c i t yz e r oa r er e m o v a b l e 【1 4 ，1 5 ，2 1 c o n c e r n i n gt h ep r o o fo ft h e o r e m2 1 ，i ts e e m st h a tt h em e t h o d si n 9 ，1 0 c a n n o tb ea d a p t e dt ot r e a tt h ec a s eo fu n b o u n d e dd i s t o r t i o n o u ra p p r o a c hf o l l o w st h el i n e s o f 2 7 ，w h e r et h ea u t h o r sg a v eas h o r tp r o o fo ft h ec a c c i o p p o l i - t y p ei n e q u a l i t ym e n t i o n e d a b o v e t h e i rt e c h n i q u ei si n s p i r e db yap a p e ro fl e w i s t h eb a s i ci d e ai st ot r u n c a t et h e m a x i m a lf u n c t i o no ft h eg r a d i e n ta l o n gt h el e v e ls e t st oc o n s t r u c tal i p s c h i t zc o n t i n u o u s c h a p t e r2 t h et h e o r e m so f ( k 1 ( z ) ：鲍( z ) ) 一f i n i t ed i s t o r t i o nm a p p i n g s _ 一i _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 一 t e s t f u n c t i o ni nt h ef a s h i o no ft h ep i o n e e r i n gw o r ko fa c e r b ia n df u s c o i nt h ef i n i t e d i s t o r t i o ns e t t i n gt h e s ei d e a sw o r kr e l a t i v e l yn i c e l ya sw e l l ，b u tan a t u r a lo b s t r u c t i o n a r i s e s ，a n dt h u st h em e t h o do f 【2 7 n e e d st ob em o d i f i e d m o r ep r e c i s e l y , i ti sm o r e c o n v e n i e n tt oo b t a i nt h ei m p r o v e dr e g u l a r i t yd i r e c t l yi n s t e a do fu s i n gt h ec a c c i o p p o l i i n e q u a l i t ya n dg e h r i n g sl e m m a a si n 2 7 】 f i n a l l y , w er e m a r kt h a ti ts e e m st ob eal o n gw a yt og e tt h ee x a c tv a l u e so ft h e c o n s t a n t sc 2i nt h e o r e m2 3 e v e nf o rq u a s i r e g u l a rm a p p i n g s ，o n l yt h ep l a n a rc a s ei s k n o w n r e m a r k2 1s i n c ea n yg e n e r a l i z e ds o l u t i o no f ( 1 3 ) h a s ( 虬( z ) ，鲍( z ) ) 一f i n i t ed i s - t o r t i o nw i t hk 1 ( x ) = 2 n 2 1 岛( z ) n 2a n d 恐( z ) = 2 n 2 1 尾( z ) 州，t h e nt h e o r e m s2 1a n d 2 2c a nb eu s e dt os t u d yt h ep r o p e r t i e sf o rg e n e r a l i z e ds o l u t i o n so fb e l t r a m is y s t e mw i t h d o u b l ec h a r a c t e r i s t i cm a t r i c e s ( 1 3 ) 一7 - c h a p t e r3 p r o o fo ft h e o r e m2 1 c e n t r a lb u i l d i n gb l o c k so ft h ep r o o fo ft h e o r e m2 1a r et h ef o l l o w i n gw e l l k n o w n p o i n t w i s ee s t i m a t e sf o rt h es o b o l e vf u n c t i o n ，w h o s ep r o o f sr e l yo na na r g u m e n td u et o h e d b e r g 2 s l e m m a3 1 ：( p o i n t w i s ei n e q u a l i t i e sf o rt h es o b o l e vf u n c t i o n s ) l e tu w 1 , 2 ( 形) ，1 0 d e n o t e 兄= z b ( x o ，r ) ：m ( g ) 入a n dz i sal e b e s g u ep o i n to fi t ， w h e r eg = i 妒d 厂i + i fo v 妒ii nb oa n dg = 0i n 册玩 t h e ni tw a sp r o v e di n 2 7 t h a tt h e r ee x i s t sac o n s t a n tc = c ( n ) a n da c ( 礼) 入一l i p s c h i t z c o n t i n u o u sf u n c t i o nu as u c ht h a ti t a = uo n 兄w eo m i tt h ep r o o fo ft h i sf a c t ，w h i c h r e l i e so nl e m m a3 1a n dt h ep o i n c a r ei n e q u a l i t y t h e nw ec o n s i d e rt h em a p p i n g = ( u a ，垆如，妒 ，妒厶) s i n c e ，彤警( q ，形) f o ra l lq 入 纠他，( 厶广1 出) ， ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 厶a 州肚) ( 厶吖) 出) 坩彤：删抄划 ( 厶固州c 吖，书州m ( l 2 ， 5 ， c o m b i n i n g ( 3 2 ) ，( 3 4 ) a n d ( 3 5 ) ，w eo b t a i nt h a t 妒n j ( z ，f ) d x c ( n ) j ，ov 妒| 夕n 一1 d x + c ( n ) a g n - l d x 孽a，9 aj g a 2 t h e n ( 3 3 ) f o l l o w sb yr e p l a c i n ga 2b ya n o wl e tq 0b eac o n s t a n t w h i c hw i l lb ec h o s e nl a t e r n o t et h a t 圣( 入) = x 1 ( 1 。g - o + a ) a 一( 1 + q ) l o g - ( 2 + a ) a ) o f o ra e 1 + a w em u l t i p l yb o t hs i d e so f ( 3 3 ) b y 圣( a ) ，a n di n t e g r a t ew i t hr e s p e c tt o 入 o v e r ( 亡，o 。) f o rt a o = m a x ( e 1 托，e 2 a ) ，a n df i n a l l yc h a n g et h eo r d e ro ft h ei n t e g r a t i o n t oo b t a i nt h a t ( 小m 厶。，删a 妇) c c 佗( o , i v 妒i g , l - i l ( g 2 , , ) o c 砌a 如) 州? ，( p 。夕删枞d x ) b 6 ， t h u s ( 3 7 ) o b s e r v et h a tt h ef i r s ti n e q m l i 七yh o l d s b e c a u s et e 2 a w er e m a r kh e r et h a tt h ea s s u m p t i o no nt h er e g u l a r i t yo f ，i nt h et h e o r e m ， i d ，i n l 0 9 1 + ae + i d f l ) l k ( q ) ， i m p h e st h a tt h ei n t e g r a l so nt h er i g h t - h a n d s i d e d i s t o r t i o ni n e q u a l i t y o f ( 3 7 ) a l ：ef i n i t e n o ww eu s et h e i d f ( x ) l 扎k 1 ( z ) j ( z ，) + 娲( z ) a e f l , a n dt h ei n e q u a l i t y 口b a l o g ( 1 + o ) + e 6 1 ( 3 8 ) f o rn 。n n e g a t i v er e a ln u m b e r sa a n db ，i m p l yt h a ti nt h es e tw h e r eg ( z ) w eh 批 器型毯等业 善翟函，) + 孥) + 盟l o g l + a g 9 ， 吾( 唧( 知，) + 帮) + 绁 。固 t h e r e f o r e r e c a i l i n gt h ed e f i n i t i o no fga n d u s i n g ( 3 9 ) ， 厶。筹z 。酱如 警厶。訾如+ 等厶。e x p ( 鲁k 如，) 如 “佗) 厶。料d x + c ( n ) 厶。而9 2 ( z ) v 撅 。、。赤小m 出+ ( 去一警) z 。訾如 墨警z 尸( 知，) 蚺咖，厶：学如 + 掣t 揣d x + c ( n ) 厶。鬻缸 一1 0 - ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) 书耐最髦蝣 1 一缸 一她也。 + l 蚴以雨 、一扩一卯 b 一魄型文 i 河1 l i 萎粼 c h a p t e r3 p r o o fo ft h e o r e m2 1 - _ _ _ _ _ _ _ _ - - _ _ - - - _ _ _ - _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ - - _ _ _ 一i i ml m - _ - 一 n o wl e tu sf i xo l = p 4 c ( n ) t ob et h ec o n s t a n ti nt h et h e o r e m b yt h i sc h o i c eo fq ， t h es e c o n dt e r mi nt h el e f t h a n ds i d ei sn o n - n e g a t i v ea n dt h e r e f o r ec a nb ei g n o r e d w e m u l t i p l yb o t hs i d e so f ( 3 11 ) b yl o g 口ta n dl e tt o o w eo b t a i nb ym o n o t o n ec o n v e r g e n c e t h e o r e ma n dl e b e s g u ed o m i n a t e dc o n v e r g e n c et h e o r e mt h a t 妒n y ( x ，f ) d x c ( n ) i fo v 妒1 9 n l d x jb ojb o ( 3 1 2 ) h e r ew eu s e dt h ei n t e g r a b i l i t yo fl f o v 妒j g 铲1 ，i f o v ：l n ，e x p ( p k l ( x ) ) ，a n d ( z ) t op a s s t ot h el i m i t h e n c e ，( 3 1 2 ) s h o w st h a tj ( x ，f ) l l ( q ) ，a n dt h e n ( 2 1 ) f o h o w sf r o mt h e d i s t o r t i o ni n e q u a l i t yu s i n g ( 3 8 ) a n dt h ei n t e g r a b i l i t yo fe x p ( # k 1 ( z ) ) t h u s ，t h e o r e m2 1 i sp r o v e d 一1 1 c h a p t e r4 p r o o f o ft h e o r e m s2 2a n d2 3 w en e e dt op r o v et h ef o l l o w i n gc a c c i o p p o l i - t y p ei n e q u a l i t y , w h i c hi sc r i t i c a lf o rt h e p r o o fo ft h e o r e m2 2a n dt h e o r e m2 3 + + c ( n ，卢) 厂 jb o c ( n ，p ) 厂 j b o c ( n ，p ) 厂 j b o 两出 l o g a + 1 罂- ne 鬻丽如 + 1 厂 v 妒1 ) 唧( 鲁酢，) 出 鲍( z ) 矿 l 0 9 1 + 口e + l ， v 垆1 ) ) ( 4 1 ) t ot h i se n d ，t h i st i m ew ei g n o r et h ef i r s tt i m ei nt h el e f t h a n ds i d eo f ( 3 11 ) a n dr e c a l l t h ec h o i c eo fq w - eo b t a i nt h a t 厶。南出 纠邮，厶器出+ 厶。警如 + f g t e x p ( 鲁k i ( 小+ 厶。鬻叫 t h u s ，l e t t i n gt = a 0i n ( 4 2 ) a n dn o t i n gt h a te x p ( 譬虬( z ) ) 1 ，r e s u l t si n 厶南如 纠邮，厶端如+ 上。料如 + f b oe x p 鲁k 1 ( z ) 如+ z 。k l 睹2 ( x ) c p n d x t oe s t i m a t et h ef i r s ti n t e g r a li nt h er i g h t h a n ds i d eo f ( 4 3 ) ，w eu s et h ei n e q u a l i t y 口矿一1 l o g ( e + b ) + c ( ，n ) 口nl o g 加1 ( e + a ) 1 2 ( 4 2 ) ( 4 3 ) 生旧嵩 厂厶 f o rn o n - n e g a t i v en u m b e r saa n db ，a n do b t a i nt h a t i ，ov 妒旧竹 l o g a ( e4 - g ) 蘸努西g n 丽- - 1 f l o g 昔( e + i v 妒1 )l o g a 等( e + 夕) 叫q 川南砒几) 厂ov 妒p l 0 9 0 + 1 一礼( e + i f v 妒i ) ( 4 4 ) b yt a k i n g - dc ( n ，) 2 c ( q ，礼) ，w h e r ec ( n ，p ) i st h ec o n s t a n ti n ( 4 4 ) ，w ei n f e rf r o m ( 4 4 ) t h a t 锎f s 笼idflkp1 d x g 雹一 + f b oe x p ( 鲁- k i ( z ，) 如+ 上。誊叫 c ( 邮) l ，b o - 厂ov 妒p l o g 叶卜竹( e +i ， v 妒i ) + z 。誊d 司， w h i c hp r o v e s ( 4 1 ) 如+ f b 0e x p ( 箬k i ( z ，) 如 d x ( 4 5 ) p r o o fo ft h e o r e m2 2w er e l yo nt h ea b o v ec a c c i o p p o l i - t y p ei n e q u a l i t y ( 4 1 ) ， a n du s e dt h ei n t e g r a b i f i t yo fl ，0v 妒扩，i ，0v 妒i ，e x p 0 3 k l ( x ) ) a n d 恐( z ) t op a s st o t h el i m i t h e n c e , ( 4 1 ) s h o w st h a t 硒l l ( a ) p r o o fo ft h e o r e m2 3w en o t et h a teh a sv a n i s h i n g ( n - 1 ) - d i m e n s i o n a lh a u s d o r f f m e a s u r e b yt h e o r e m2 1 i tt h u ss u f f i c e st os h o wt h a t 鼎logl+a 4 - 咄( 吼 ( el d 川。叫刚一门 ( 4 6 ) w h e r eq = c l pi sa si nt h e o r e m2 。1 t ot h i se n d ，l e tr g 铲( q ) b ea na r b i t r a r yn o n - n e g a t i v et e s tf u n c t i o n w ed e n o t eb ybt h ei n t e r s e c t i o no fe w i t ht h es u p p o r to fq t h e r ee x i s t sas e q u e n c eo ff u n c t i o n s 奶爆1s u c ht h a tf o re a c hjw eh a v e 1 咖卵( q ) ， 2 0 咖1 ， 1 3 - ad i s s e r t a t i o nf o rt h ed e g r e eo fm so fh e b e iu n i v e r s i t y 3 奶= 1o i ls o m en e i g h b o r h o o du jo fe 7 ， 4 。l i m j 。v 如( z ) = 0f o ra l m o s ta l lz 研， 5 1 i o i v 九i 竹l o g 竹一1 一ae + i v c j l ) = 0 ，q 腑s e t = ( 1 一九) 7 7 谮( s u p p r e ，) - l e t 妒= i n ( 4 1 ) r e