（概率论与数理统计专业论文）在一类sparre+andersen风险模型中破产前发生的索赔个数的概率分布.pdf

摘要 摘要 本文考虑在索赔间隔为e l a n g ( 2 ) 的风险余额过程中，破产发生在第n 个 索赔发生时的概率p ( u ；n ) ( n = 1 ，2 ，) 。在推导过程中，我们先得到一个关于 p ( u ；n ) 的递推的积分微分方程，通过取拉普拉斯变换，我们又得到关于p ( ；n ) 的拉普拉斯变换p ( s ；n ) 的递推方程。根据这个递推方程和p ( s ；1 ) 的值，我们 可以计算p ( s ；n ) ( n 一2 ，3 ，) 的值，再反解拉普拉斯变换p ( s ；n ) ( 可用m a t h c m a t i c a 软件) 就可以得到p ( u ；n ) 我们也将此过程推广到了e l a n g ( n ) 的风 险过程并得到相应的结果。 关键词：s p a ”ea n d e r s e n 风险过程；e r l a g ( n ) 分布；破产前( 包括破产时) 发生的索赔个数；概率分布；拉普拉斯变换；递推的积分微分方程 a b s t r a c t a b s t r a c t w ec o n s i d e rt h ee v a l u a t i o no ft h ep r o b a b i l i t yo fr u i no c c u r r i ga 土t h e 几t h c l a i mi nac l a s so fs p a r r ea n d e r s c nr i s kp r o c c s sf o rw h i c ht h cc l a i mi n t e 卜a r r i v a l i se r l a g ( 2 ) 一d i s t r i b u t c d a c t u a u 弘w eg e tar c c u r s i v ei n t e g r o - d i r e n t i a le q u a _ t i o nb yw h i c hw eo b t a i na n o t h e rr e c u r s i v ef o r m u l a ef o rl a p l a c et r a n s f o r mo f t h i sp r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n w ec a ni n v e r tt h cl a p l a c et r a 肚s f o r m st og e tt h e p r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o nb yu s i n gs o r 啪r ep a c k a g e ss u c ha sm a t h e m a t i c a w e a l s oa p p l yt h ea p p r o a c hi ne r l a n g ( n ) r i s kp r o c c s s e st od c r i v es o m ec x t c n d e d r i ，s 1 1 1 t s k e y w o r d s ：s p 舡r ea n d e r s c nr i s kp r o c e s s ，e r l a n g ( 几) 一d i s t r i b u t e d ，c l a i mn u m - b e ru pt or u i n ，p r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n ，l a p l a c ct r a n s f o r m ，r e c u r s i v ci n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n y9 6 8 6 s ， 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：壬杈硗 伊d 侔上月伽日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下 内部5 年( 最长5 年，可少于5 年) 秘密1 0 年( 最长1 0 年，可少于1 0 年) 机密2 0 年( 最氏2 0 年，可少于2 0 年) 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：；耷葡 伽6 年上月加日 i d t r o d u c t i o n 1 i n t r o d u c t i o n w ek n o wt h a to n co ft h em o s ti n t e r e s t i n gp r o b l e mi n r i s kp r o c c s s e si s t h ep r o b a b i l i t yo ft h er i s kp r o c e s s e sf a l l i n gd o w nz c r o ，w h a ti sc a l l e dr u i n d r o b a b i h t v e i t h e r6 n i t eo ri f i n i t et i m e m u c ha b o u tt h i sh a sb e e n8 t u d i e da n d s a i di nt h ea c t u a r i a ll i t e r a t u r c g e n e r a l l ys p c a l ( i n g ，t h e r ea r et w o 印p r o a c h e s f b ru st os t u d yt h er u i np r o b a b i l i t i e s o n ei sd i r e c t l ya d d r e s s i n gt h ew a i t i n g t i m ei nt c r m so ft h cc v e n t r u i n ，a n dt h eo t h c ri st h i n l 【i n go ft h cw a i t i n gt i m c i nt e r m so fn u m b e ro fc l a i m st h a to c c u ru n t i lt h ep r o c e s sg e t sr u i n e db e c a u s e w ek n o wt h a 七i fr u i ni st oo c c u ri td o e sa tt h ei n s t a 皿to fac l a i m 1 nt h i 8w o r k w ea r em o r ci n t e r e s t c di t h el a s to n e a n do u rr i s km o d e li sad a r t i c u k 盯c l a s s o fs p a r r ea n d e r s e nr i s kp r o c e s s c s ，i nw h i c ht h ec l a i mi n t e 卜a r r i v a l i 8e r l a n g ( n ) 一 d i 8 t r i b u t e d a c t u a u y ，s e 、r e r a lp 印e r sh a ed i s c u s s e dr u i np r o b a b i t yi nt l l i sw a yf o r s o m em o d e l s f b re x a m p l e ，s t a n f o r da 丑ds t r o i 出1 ( i ( 1 9 9 4 ) d e a j tw i t ht h i s p r o b l e mi nt h cc l a s s i c a lm o d e lf o rp h a s e _ t y p ed i s t r i b u t e dc l a i ms i z e s s t a n f o r d e ta 1 ( 2 0 0 0 ) e x t c n d e dt h es a m ca p p r o a c ht os o m e o n p o i s s o nc l a i mp r o c 鹳s c s b o t hp 印e r sd e a l tw i t ht h ep r o b l e mb ys t u d y i n gt h ci n c r e m c r l t ( p o s i t i v eo r n e g a t i v e ) o nt h er i s kr e s e r v eb e t 眠nt w oc o n s e c u t i v cc l a i m sa st h ed i f f e r e n c e b e t w c c nt h er e v e n u ec a t n e da n dt h ec l a i m 砌o u n t t h c i r 印p r o a c hi n v o l v e sa r e c u r s i v ee v m u a t i o no fl a p l a c e - s t i c l t i e st r a n s f o r l sm l 哪n n gt h ec a l c u l a t i o no f t h ep r o b a b i l i t yo fr u i no nt h e 礼t hc l a i mo c c u r r e n c e ( n = 1 ，2 ， ) ，b ye 、r a l u a t i n g t h et r a n s f o r ma tt h co r i g i n t h et r a n s f o r mi sb a s e do nt h ej o i n tp r o b a b m t y o fn o n r u j nu pt ot h e 礼t hc l a i ma n dt h er e s e r v er e m a i n i n ga r c rt h e 凡t hc l a i m o c c u r r e n c el c s st h a na na p p r o p r i a t el e v c l ，8 a y 可t h ca u t h o r sc o n s i d e r e dp h a s c - t y p ed i s t r i b u t e dc l a i ms i z e s ，i np a r t i c u l a re x p o n e n t i a l ，m i 吼u r c so fe x p o n e n t i a l s a de r l a n g a 1 f r e d o d e g f d i od o sb v e i s ( 2 0 0 2 ) s t u d i e dt h es a m ep r o b l e mi n t h ec l a s s i c a lm o d e lu s i n gac o m p l e t e l yd i e r e n ta p p r o a c h t h c ys t u d i e dt h e u m b e ro fc l 曲n so c c l l r r i n gd 1 1 r i n ga6 r s tp e r i o do f e g a t i v es u r p l u s ，t h e n b yo n h a n c j n gt h er d a t i o n s h j pb “w c e nt i m et 0r u i na n dd u r a t i o no fn e g a t i v e s u r p l u s ，o n c er u i nh a so c c u r r e d ，w i t ha ni n i t i a ls u r p l u sz e r o ，w h i c hh a sb e e n e ) c p l a i n e db ye g f d i od o sr e i s ( 1 9 9 3 ) ，t h e nt h e yo b t a i n e dt h ec v a l u a t i o no ft h e p r o b a b i l i t yo fr u i no c c u r r i n ga tt h en t hm = l 2 ， ) c l a i m i nt h i sw o r k ，w cd e a l 丽t ht h es a m ep r o b l e mi ne r l a n gp r o c e s s e sb ya d i f r e r e n t 印p r o a c hf r o ma ua b o v ea u t h o r st h o u 曲s t a n f o r de t a 1 ( 2 0 0 0 ) h a s a l r e a d yc o n s i d e r e dt h ee r l a n gp r o c e s s e s ，o u rw o r ki s n o tn e e d l e s s ，b e c a u s e 1 i t r o d u c t i o n 、v ed o n tr e s t r i c tt ot h et y p eo ft h ed i s t r i b u t i o no nt h el n d l v l d u a lc l a j ms i z e w e 盯em o v e db y ( 22 ) a n d ( 2 4 ) i nd i c k s o n ( 1 9 9 8 ) t og e tar c c u r s i v ei n t e g r 0 d i 套r e n t i a le q u a t i o n ，b yt a l d n gl 印1 a c e _ t r a n s f o r mo ni ta n do t h e rd o i n g s jw e 丘n das o l u t i o nt ot h ep r o b l e m i nf a c t ，f o re r l a n g ( n ) ( n 2 ) r i s kp r o c e s s e s ，t h ea p p r o a c ht od c a lw i t ht h e p r o b l c mi ss i m i l a r ，t h o u 曲t h ec o m p u t i n gp r o c c s sw i l lb e c o m c sm o r ec o m p l e x w i t hnb c c o m i n gl a r g e r ，s ow ei l l u s t r a t eo u ri d c l sb yr e s t r i c t i n go u ra t t e n t i o n t oe r l a n g ( 2 ) c a s ci ns e c t i o n2 c o n s e q u e n t l y 】w e 舀v ca e x p l i c i te x a m p l ei nt h e s u b s e q u e n ts c c t i o n i ns c c t i o n4 ，、v ed i s c 璐st h em o r eg e n e r a le r l a n g ( n ) ( n 2 ) c a s e s w ed e f i n et h es u r p l u sp r o c e s s 矿0 ) t oa s _ ( ) u ( t ) = + d 一溉， w h e r eu ( u 0 ) i st h ei n i t i a l8 u r p l u sp r o c e s s ，ct h ec o n s t a n tp r e m i u m d c n s i t y t h ec o u n t i n gp r o c c s s ( t ) ) ot h en u m b e ro fc l a j m su pt ot i m ct ，a n dt h e a 1 0 u n to ft h ci n d i v i d u 出c l a i m sx l ，磁，i n d e p e n d e n to f ( t ) ，a r ep o s i _ t i v e ，i n d e p e n d e n ta n di d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e dr a n d o mv a r i a b l e sw i t hc o m m o n d i s t r i b u t i o nf l l n c t i o nf ( 茹) = p r ( x z ) ，c o m m o nd e n s i t yf l l n c t i o n ，( z ) a n d m c a n 肛，r e s p e c t i v e l 矿 l c t 正) 墨lb eas e q u e n c eo fi n d e p e n d e n ta n di d e i l t i c a u yd i s t r i b u t e dr a n - d o mv a r i a b l c sr c p r e s e n t i n gt h et i m e sb e t 啪nc o i l s e c u t i v ec l a i l 璐( 正i st h e t i m eu n mt h e 缸s tc l 出mo c c l l r s ) 丽t hc o r m o np r o b a b i l i t yd e n s i t yf l l n c t i o n 七( t ) ， 琊) 一等等( 川) ( n 2 ) ， a n dc = 卢p ( 1 + 9 ) ，w h e r e9 o i s t h er e l a t i v cs c c u r 姆1 0 a d i n g w ed e 血et h ep r o b a b m t yo fu l t i m a t er l l i nf o rt h i s r i s kp r o c e s sb y 妒( t 正) n p r ( u + ( c 正一x ) o ) 、v cw i d 函v ea nr e c u r s h r c i n t e g r o - d i 任e r e n t i a le q u a t i o na b o u tp ( u ；n ) ( n = 1 ，2 ，) i nt h e6 r s ts u b s e c _ t i o n t h e n ，i nt h es u b s e q u e n ts e c t i o n ，b yt a k n gl 印l a c et r a n s f o r mo nt h e r e c u r s i v ei n t e g r o d i 任色r e n t i a le q u a t i o nw eg e ta n o t h e rr e c u r s i v ee q u a t i o na b o u t 声( s ；几) ( 凡= 1 ，2 ，) w h i c hi st h el a p l a c et r a n s f o r mo fp ( ；n ) z 1 上h er e c u r s l v ei n t e g r o 。d l n e r e n t l a ie q u a t l o nf o rp 【u ；n 儿n = l ，2 ， ) b yc o n s i d e r i n gt h et i m ea 1 1 dt h ea m o u n to ft h e 在r s tc l a j m ，w eh a ct h a t p ( u ；1 ) = p ( x 1 一c 矸 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，b u ti t i sn o tag o o d r e c u r 8 i v cf o r m u l a ef o rc o m p u t i n gt h ec v a l u a t i o no fp ( ；n ) o b v i o u s l yd e a l i n g 而t hi ti na nu s u a lw a y ，w ew i l la p p l yt h el a p l a c et r a n s f o r mt oe q u a t i o n ( 2 2 ) t og e ta n o t h e rr e c u r s i v ef o r m u l a ew h i c hi 8a b o u t 庐( s ；几) ( n = l ，27 ) h e n c e f o r t h ，恤el 印l a c et r a n s f o r mo faf l l n c t i o n ，( z ) i s ，a s1 1 s u a l jd e 缸e db y r 。 弛) 2 上e m ) 如 a sf o rp ( s ；1 ) ，、ec a nd i r e c t l yc o m p u t ci tt h r o u g ht h a t 】；( s ；1 ) = ，e p ( u ；1 ) d u ，( 23 ) j 0 i nw h i c h p ( u ；1 ) h a v ea l r e a d yb e e nc o m p u t e da tt h eb e 百n n i n go ft h i ss c c t i o n b yt h ew a y ) w ec a ne a s i l yk n o wt h a t j 弓( s ；1 ) i s 缸t ef o r “1s 0 加 w ec “。”i l y 。“。c kt h a tt h 。l 印1 ”。r a n s f o 。“s0 f 赤p ( u ；n + 1 ) ， 羞p ( u ；n + 1 ) ，。n d 上p ( 一z ；n ) ，( z ) 如a r e s 肇( s ；n + 1 ) 一印( o ；n + 1 ) 一p ，( o ；n + 1 ) ，s 声( s ；n + 1 ) 一p ( o 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oc o m p u t e t h cp r o b a b i l i t yf i l n c t i o np ( u ；n ) ( n = 2 ，3 ，) a tt h ee n do ft h i ss u b s e c t i o n ，w e dl i k et od c c p l yd i s c u s se q u a t i o n ( 2 7 ) t oe e ta nr e c u r s i v ce q u a t i o nf o r 多( o ；n ) m = 2 ，3 ，) 1 no r d c rt og e tt h e e x d r e s s i o n s ，圯w o u l dl i k et ow r i t e ( 27 ) i nt h ef o l l o 而n gf o r m o r p ( s ；礼) 生芦立塑堕堂盟一i ，( 。) 她。) + m ) 帅；n ) 】) s 一口。s 一0 m = 1 ，2 ，) ， 0 。， s 一0 l地煎! = ! l 血巡业一帆。) 她。一1 ) s o + ，( o ) ( o ；礼一1 ) 】) ( 礼= 2 ，3 ，) ( 2 9 ) n o t i n gt h a ti ne q u a t i o n ( 2 9 ) ，t h et w op a r t si nt h eb i gb l a n k e t s ，t h cl a t e ro n e i st h ef o r m e ro n e sl i m i tw h e ns _ o t h e ，l e t ss e et h ef o l l 呷n n gl e m m a 6 r s t l e m m a2 1 h 口e t h 越 z r 血佗c t o 竹9 ( z ) 。s es e c o n dd e 而可o t i 甜e 口t ep o i n tz = 口，叫e l i “ 韭幽一矿( 。) z o p r o o f2 1 o 托哪t 九n 9 ( z ) 一9 ( o ) z 一0 z 一 g ( o ) z 一血 孰。) 觋盟毯葛学 n n d h e n ，6 s i 7 wl 嘶s p t t n f 0 豇j e 七n o 叫t h e ，0 2 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肛= t “， d i 胎r e 扎缸。 竹gnt 。m e s 叫i 矾他印e c tt otm s i n g 三e 6 佗钯f 0 m “f n 叫，叫e 俨t h t ( ? ) 卢。9 ( t ) e 肛= o t h e n 叫e 七凡d 叫似纠拈c o r r e c 蛐e c n 哪eo ，矾e 如c e 肚o n o t i n gt h a t 坤) = 等等= 南郧) ， w ek n o w ( 4 1 ) k e e p sc o r r c c ti fw es u b s t i t u t cg ( t ) f o r 七( t ) ，t h a t st os a y ( ? ) 矿( ( ) = o ( 42 ) i sc o r r e c t l c t ss t a r tf r o m ( 2 1 ) ，o b v i o u s l y ，i “sc o r r e c tf o re r l a n g ( n ) c a s e s i no r d e r t od i s t i n g u i s h i n g ，、e