（概率论与数理统计专业论文）ar（1）和arch（1）模型中变点问题的bayes估计.pdf

中文摘要 摘要 本文主要是利用b a y e s 方法讨论了a r ( 1 ) 模型和a r c h ( 1 ) 模型中的变点问题。第一 章为引言，介绍时间序列中有关变点问题的国际和国内背景。第二章在a r ( 1 ) 模型的 研究中，利用t 分布和逆f 分布的性质，给出了各个参数的显式表达式；并利用模 拟数据进行方法的验证及与m l e 估计的比较；然后进行实证分析，成功地找出上证综合 指数数据中的交点。第三章讨论a r c h ( 1 ) 变点模型中参数的估计问题。第一节简单介 绍t a r c h 模型及相关性质：第二节得到了参数的m l e 估计：第三节在研究b a y e s 估计 时，因为无法得到参数的显式表达式，但各参数的满条件分布是对数上凸的，所以采 用a r s 抽样方法得到各参数的b a y e s 估计；第四节利用模拟数据进行了方法的验证；第 五节乖j 用n i l e 方法i b a y e s 方法进行了实证分析成功找出了上证a 股指数日成交量序列 中的变点。 关键词：a r ( 1 ) ；a r c h ( 1 ) ；变点；极大似然估计；b a y e s 估计；后验分布；a r s 抽样方法。 第1 页 a b s t r a c t t h i sp a p e rd i s c u s s e sb a y e s i a nm e t h o di na r ( 1 ) c h a n g e - p o i n tm o d e l sa n da r c h ( i ) c h a n g e 。p o i n tm o d e l s t h ef i r s tc h a p t e ri st h ei n t r o d u c t i o no ft h eb a c k g r o u n do fc h a n g e - p o i n t p r o b l e mi nt i m es e r i e sa n a l y s i s i nc h a p t e r2 , w eg e tac l o s e df o r mf o ra l lt h ep a r a m e t e r si nb a y e s i a nm e t h o do f a r ( 1 ) b y u s i n gt h ep r o p e r t i e so f t d i s t r i b u t i o na n di g d i s t r i b u t i o n w ep r o v i d ean u m e r i c a ls i m u l a t i o nt o p r o v eo u rm e t h o da n dc o m p a r ei tw i t hm l em e t h o d a n dw ea p p l yt h em e t h o dt ot h es e r i e so f d a i l yc o l u m n so fs h a n g h a is e c u r i t i e sc o m p o s i t ei n d e x w ef i n dt h ec h a n g ep o i n to f t h i ss e r i e s s u c c e s s f u l l y i nc h a p t e r3 ，w ed i s c u s sc h a n g e - p o i n tp r o b l e mi na r c h ( 1 ) m o d e l s w eg e f f t h em a x i m u m l i k e l i h o o de s t i m a t i o na n db a y e s i a ne s t i m a t i o nf o ra r c h ( 1 ) m o d e l i nt h es t u d yo f b a y e s i a n e s t i m a t i o n ，i t sd i f f i c u l tt og e tc l o s e df o r mf o rp a r a m e t e r s ，s ow ec h o o s eg i b b ss a m p l i n g 。f o r f u l lc o n d i t i o nd i s t r i b u t i o no fa l lp a r a m e t e r sa r el o g - c o n c a v e ，w eu s ea d a p t i v er e j e c t i o ns a m p l i n g ( a r s ) t og e tp o s t e r i o rd i s t r i b u t i o n so f t h ep a r a m e t e r s w ea l s op r o v i d ean u m e r i c a ls i m u l a t i o nt op r o v eo u rm e t h o da n da p p l yo u rm e t h o dt ot h es e r i e so f d a i l yc o l u m n so fs h a n g h a i s e c u r i t i e ss h a r eai n d e x k e yw o r d s ： a r ( 1 ) m o d e l ；a r c h ( 1 ) m o d e l ；c h a n g ep o i n t ；m a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t o r ；b a y e s i a ne s t i m a t o r ；p o s t e r i o rd i s t r i b u t i o n ；a d a p t i v er e j e c t i o ns a m p l i n g 插图目录 插图目录 2 - 1 模拟研究例题中的时间序列图 2 - 2 模拟研究例题中t 的后验分布 2 3 模拟研究的似然函数图 2 - 4 模拟研究的m l e 预测 2 - 5 模拟研究的b a y e s 预测 2 - 6 上证综指成交量序列的样本a c f 和p a c f 图 2 7 上证综指成交量序列拟合残差的样本a c f 和p a c f 图 2 - 8 上证综指拟合为a r ( 1 ) 的) ( 2 检验 2 - 9 上证综指成交量时间序列图 2 1 0 先验为”1 的t 的后验分布 2 - 1 1 先验为丌2 的t 的后验分布 2 1 2 先验为丌3 的t 的后验分布 2 1 3 序列似然比函数图 2 1 4 实证研究的m l e 预测 2 1 5 实证研究i 约b a y e s 预测 2 1 6 上迁综合指数月k 线图 3 - 1 模拟a r c h ( i ) 时序图 3 - 2 模拟a r c h ( i ) g a r c h p l o t 3 - 3 模拟a r c h ( 1 ) 似然函数图 3 4 模拟m l e 拟合q q 图 3 - 5 模拟b a y e s 拟合q q 图 3 - 6m l el j u n g - b o x 检验 3 7 b a y e sl j u n g - b o x 检验 3 - 8 上证a 股成交量时序图及残差a c f 图 3 - 9 残差的样本自相关函数图 3 1 0m l e 估计的似然函数图 3 一1 1 上证a 股指数周k 线图 第v 页 “u屹他h：2 m m坶挣加 卯”勰凹”凹捞孔孔弛 表格目录 表格目录 2 - 1 数据模拟结果1 1 2 - 2 模拟预测的偏差值1 3 2 - 3 模拟预测的均方误差值( 1 0 c 0 0 4 ) 1 3 2 - 4 上证综合指数序列的样本自相关和样本偏自相关函数值1 3 2 - 5 上证综合指数序列的y u l e - w a l k e r l i ! i 计表1 4 2 - 6 上证综合指数序列的a c 和b i c 数值表1 4 2 7 上证综指成交量序列拟合a r ( 1 ) 残差序列的自相关和样本偏自相关函数值1 5 2 - 8 b o x p i e r c e 检验和l j l l n g b o x 检验统计量表1 6 2 - 9 上证综合指数成交量序列变点及参数估计值1 7 2 - l o 实证预测的偏差值( 1 0 e + 0 0 3 ) 1 9 2 - 1 1 实证预测的均方误差值( 1 0 e + 0 0 7 ) 1 9 3 1 模拟a r c h ( 1 ) 变点估计值2 7 3 - 2 模拟a r c h ( 1 ) 变点估计值的偏差和均方误差3 0 3 - 3 上证a 股指数a r c h ( 1 ) 拟合参数估计3 l 3 - 4 上证a 股日成交量序列变点估计值的偏差和均方误差3 3 第页 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容， 可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名：至l 丛 日期：型妥：圭! 丝 翩签名：渔殛 日期：里，妻。兰兰 致谢及声明 声明 本人郑重声明：所呈变的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作所 取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包 含任何他人享有著作权的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。 签名；叠l 丛日期：。笪 蟹弛6 页 第一章引言 时间序列是指被观察到的依时间为序排列的数据序列，时间序列在许多领域如气 象学，水文学，农业，生物科学，经济和金融学中都有广泛的应用，基于时间序列的 许多模型，如a r ，m a ，a r m a ，a r i m a ，还有最近比较引起人们注意的自回归条件异方 差a r c h 模型和广义自回归条件异方差g a r c h 模型的许多性质都是统计学家研究的焦 点和重点；而正如我们所知，当所观察的时间序列跨越时间较长时，形成时间序列的 随机变量会由于某种条件的变化，从某时间点开始不再服从原来的分布，这时我们说 时间序列出现了变点。随着交点问题应用的愈加广泛，时间序列变点问题的研究也越 来越得到关注。 r o b e r te m c c u l l o c ha n dr u 呵s t s a y ( 1 9 9 3 ) 1 】研究了a r 模型中均值和方差变化的统 计推断问题，分析的基础是利用g i b b s 抽样的理论；l a j o sh o r v a 也( 1 9 9 3 ) 1 2 和d a v i s ，r a a n d h u a n g ，d ，w ( 1 9 9 5 ) 1 s 分别用极限的理论研究了a r 模型中变点问题的m l e 方法； h a w k i n s ( t 9 8 6 ) 考虑了用最小二乘法( l s e ) 进行变点的检验和估计问题；i s s a c ，l a r r ya n d l a r r yj , g r i f f i n ( t 9 8 9 ) 4 提出了应用哑变量研究时间序列变点的a d h o c 方法：b r u c ew e s t e r na n d m e r e d i t h k l e y k a m p ( 2 0 0 4 ) 1 s 对历史时间序列中的变点问题研究t b a y e s 方法，但值 得注意的是，他们没有用时间序列模型来刻画”历史时间序列”，而只是用一般的线性回 归模型思想；b o n n i ekr a ya n dr u e ys t s a y ( 2 0 0 1 ) t 6 研究了长程相依过程的b a y e s 方法；还 有许多作者【7 】基于滤波或状态空间的思想研究了时间序列中的变点问题。 在国内，正如王黎明在变点统计分析的研究进展一文中所言：基于时间序 列变点的应用还刚起步，仅在较少的领域内获得应用。苏召学( 1 9 9 6 ) 1 4 】从时间序列具 有若干个变点情况下的似然函数出发，得到变点组的极大似然估计，提供了给定变点 个数条件下变点位置的递推算法，并给出了时间序列变点个数的统计推断方法；杨喜 寿，杨洪昌( 1 9 9 6 ) 1 ”】研究时间序列的变点问题。所给出的统计方法可用来推断一个时间 序列是否存在变点，存在几个交点以及变点在什么位置；张丕远，王铮等( 1 9 9 4 ) f 】6 】利用 变点分析方法对我国近2 0 0 0 年来的气候突变进行了研究；谭智平，缪柏其( 2 0 0 0 ) 0 7 给出 了关于分布变点问题的非参数统计推断，并利用交点分析方法讨论了香港股市股票的 隐含波动率对股市近期波动的预测作用；孙军，姜诗意等( 2 0 0 1 ) t 1 对经济序列变点进 行t b a y e s i a n 分析，并用于实证分析，得到结果同其他方法得到的结果基本一致；宿建 成，陈洁( 2 0 0 3 ) t 19 应用变点模型，结合s i c 信息准则，研究沪深股市波动性突变行为， 并找出股指收益序列中的方差突变点；熊立华，周芬等( 2 0 0 3 ) 1 2 0 k 1 用b a y e s i a n 方法，结 合m c m c 抽样理论对水文时间序列进行了变点分析。 还有一些基于非参数的时间序列变点分析的方法得到发展，如：金菊良，魏一 鸣( 2 0 0 5 ) 【2 1 】为处理常规变点分析方法计算复杂、识别全部变点困难等问题，提出了用遗 传算法进行水文时间序列多变点分析的一套新方 法, ( a g a - c p a m ) ，在各种非线性时间序 第1 页 第一章引言 列突变分析中具有推广实用价值；李订芳，胡文超( 2 0 0 5 ) 2 2 】基于小波能对信号的各个频 率段进行分离的原理，设计了基于小波包分析的交点探测算法，并以此来研究时间序列的 突变；谭智平，缪柏其( 2 0 0 0 ) 2 3 】讨论了分布变点问题的非参数统计推断；王黎明( 1 9 9 5 ) 1 2 4 】讨论了均值已知时，正态分布方差变点的假设检验问题，分别导出了变点的参数检 验和非参数检验，给出了一个b a y e s 检验，而且还给出了这些检验的渐近临界值，并对 它们进行了比较。 本文我们主要用b a y e s i a n 方法讨论简单时间序列中的变点问题，讨论是在假设变 点个数只有一个的情况下进行的，对于多个变点的情况，根据文献f 8 j 提出的二分分段法 逐段寻找即可。 文章第二章给出了a r ( 1 ) 模型变点的b a y e s 估计方法，利用t 分布和逆r 分布 的性质，给出了所有参数的后验分布的显式表达式；从而得到参数的后验估计( 即 b a y e s 估计) ；第二章共包括六个部分，第一节为模型的建立，第二节为盯 = 砖时参 数的b a y e s 估计，第三节为口 程时参数的b a y e s 估计，第四节介绍了两种情况下参数 的m l e 估计，第五节利用模拟的数据进行方法的验证并与m l e 方法进行比较；最后还 进行了实证研究，其中包括：模型的识别和参数估计：模型的拟合优度检验：上证综合 指数数据变点的寻找等，成功地找出了上证综合指数数列中的变点。 第三章给出t a r c h ( i ) 模型中变点问题的m l e 估计和b a y e s 估计。简单介绍 a r c h 模型，a r c h 0 ) 模型，和a r c h ( 1 ) 变点模型，给出 a r c h ( 1 ) 模型中变点问 题的m l e 估计；但在研究b a y e s 估计时，由于直接积分比较困难，且各参数的满条件 分布抽样也比较困难，所以采用t a r s 抽样的方法。同时用模拟数据进行了方法的验 证，并把m l e 方法和b a y e s 方法用于实证研究，成功地找出了上证a 股指数日成交量数 据从2 0 0 5 年2 月1 日到2 0 0 6 年5 月9 日序列中的变点。 第2 页 第二章a r ( 1 ) 模型中变点问题雕j b a y e s 估计 2 1 a r ( 1 ) 变点模型的建立 设 z d ，t l ，n ，是来自a r ( 1 ) 模型的一组时间序列值，五满足 邑= 曲互一1 + 缸t = 2 ，一，礼乱一n ( 0 ，0 2 ) ， l 1 我们所关心的问题是：自相关系数西在第k 个观测值后是否发生变化，即模型是否 存在变点。这就等价于考虑假设检验问题： 凰：五= 咖五一l + 氏，缸一n ( 0 ，口2 ) t = 2 ，t - ，n 日l ：互= o z t 一1 + ，一n ( 0 ，口；) t = 2 ， ( 2 - 1 ) 互= 1 邑1 + 鼠，乱一n ( 0 ，口；) t = 七+ 1 ，n ， 其中毋o 西l ，j 曲o l l ，| 曲l l 1 9 6 v 伍，1 j 作为p 的估计值。由于号学= 士o 0 6 ，所以选择p = 1 同时，对p = 1 ，2 ，1 0 分别计算觚c 和b i c 函数的值，结果见表2 6 。由 6 = a i c ( 1 ) 和b i c ( 1 ) 分别为a i c 和b i c 函数的最小值，所以a i c 和b i c 定阶都是p = i 且 可以基本确定序列的模型为： 磊一6 2 7 6 8 6 = 0 6 7 2 7 ( z ；一1 6 2 7 6 8 6 ) + 电，氏一w n ( o ，4 7 n 8 ) ，t = 2 ，一，n 其中，u = 6 2 7 6 8 6 为 ，t = 1 ，n 的均值，n ；9 5 7 。 2 6 2 拟合优度检验 因为 龟= ( 磊一6 2 7 6 8 6 ) 一o 6 7 2 7 ( z ；一1 6 2 7 6 8 6 ) ，t = 2 ，- ，t t ， 1 ) 求出俑 ，t = 2 ，n 的样本自相关和偏自相关函数值并作图，结果见表2 - 7 和 图2 7a 由于号擎= 1 0 0 6 ，所以 龟) ，= 2 ，n 序列无自相关性- 表2 7 上证综指成交量序列拟合a r o ) 残差序列的自相关和样本偏自相关函数值 fftt ， 图2 7上证综指成交量序列拟合残差的样本a c f 和p a c f 图 2 ) b o x - p i e r c e ( 1 9 7 0 ) 检验和l j u n g b o x ( 1 9 7 8 ) 检验。 对于假设检验问题： t 4 ：p 1 = 比= p m 0 第1 5 页 第二章a r ( 1 ) 模型中变点问题的b a y e s 估计 凰：m 0 ，i l ，2 ，m b o x p i e r c e ( 1 9 7 0 ) 提出检验统计量 口( m ) = t 麓 b = 1 并指出在序列为独立同分布序列的情况下，驴( m ) 统计量服从自由度为m 的x 2 分布。 l j u n g b o x ( 1 9 7 8 ) 提出检验统计量 q ( m m ( ) 妻墨 = 1 。 并指出在凰为真的情况下，q ( m ) 统计量也服从自由度为m 的2 分布。 对于m = 1 ，1 0 ，相应的q + ( m ) 、0 ( m ) 和x 2 ( m ) 值见表2 8 ，) ( 2 检验的结果见 图2 8 ，其中上面的线是临界值a o 0 5 ( m ) ，下面的曲线为b o x p i e r c e ( 1 9 7 0 ) 和l j u n g b o x ( 1 9 7 8 ) 检验统计量的值。很显然，对于m = 1 ，1 0 ，q + ( m ) ，印沏) 统计量使均小 于妒( m ) 值，所以可以判定 屯 ，t = 1 ，n 一1 序列是白噪声序列，上证综合指数日成 交量序列用 五一6 2 7 6 8 6 = 0 , 6 7 2 7 ( z t 一1 6 2 7 6 8 6 ) + 电，缸一w n ( o ，4 7 1 1 8 ) ，t = 2 ，试2 1 9 ) 模型拟合是可以的。 表2 - 8 b o x - p i e r c e 检验和l j l l l l g _ b “检验统计量表 图2 - 8 上证综指拟合为a r ( 1 ) 的 ( 2 检验图2 9 上证综指成交量时间序列图 第1 6 页 2 6 实证分析 2 6 3寻找上证综合指数成交量序列中的变点 1 ) 变点的寻找 因为前面已经确定上证综合指数日成交量序列可以用a r ( 1 ) 模型( 2 1 9 ) 表示，所以 以f f j b a y e s 方法寻找该序列的变点。相应的日成交量序列图见图2 9 ，变点位置t 的后 验分布图见图2 1 0 ，2 1 1 , 2 1 2 ，( 分剐为变点t 的三种不同先验对应的后验分布图) a 相应 参数的b a y e s 估计值和极大似然比估计见表2 9 ，其中符号同表2 1 ，极大似然比估计的似 然函数如图2 1 3 。从中可以看出t = 8 0 ( n = 9 5 7 ) 时确实存在变点。 图2 1 0先验为7 r 1 的t 的后验分布图2 - 1 1先验为7 r 2 的t 的后验分布 图2 1 2先验为丌3 的t 的后验分布 图2 1 3序列似然比函数图 表2 - 9 上证综合指数成交量序列变点及参数估计值 估计方法 t盯2 如l 7 1 1 ( t ) 8 04 ，7 1 5 80 7 6 1 80 6 7 8 3 r 2 ( t ) 8 04 7 1 5 00 7 5 7 50 6 6 8 6 丌3 ( t ) 8 04 7 1 5 80 7 6 1 80 6 7 8 3 m l e8 0 5 2 3 0 70 9 1 7 7 0 6 5 5 2 2 ) s c h w a r z 信息准则 前面进行的变点的寻找和参数的估计，都是基于已知变点存在的假设，而实际的研 究中，变点是否存在，究竟有几个变点等问题在实证分析中通常是未知的，那么究竟 第1 7 页 第二章a 蹦1 ) 模型中交点问题的b a y e s 估计 是用一个模型来刻画给定序列好还是用有变点的分段模型拟合更优? 为了回答这一问 题，我们采用了s c h w a r z 信息准贝i j ( s i c ) 1 9 。 s c h w a r z 信息准f i u ( s i c ) 用以下形式： s i c = - 2 l o g ( l ( 0 ) ) + kl o g ( n ) 其中l ( 幻是模型的似然函数值，百为目的极大似然估计，k 为参数的个数，n 为样本容量。 在原假设 玷下，记s c h w a r z 信息准则为s i c ( , o ， s i c ( n ) = 一2 1 0 9 l o ( e o ) + l o g ( n ) ， 因为日4 0 = ( t ，晚0 - 2 ) ，所以 ：3 ，1 咄( 磊卜孚l n ( 2 舻) - 击( 磊啪_ 1 ) ： 在备择假设玩下， e s c h w a r z 信息准则为s z c ( k ) ， s i c ( k ) = 一2 l o g l i ( o ：) + hl o g ( n ) ， 因为目。i = ，曲o ，西l ，0 - 2 ) 7 ，所以 h = a ，n 训萄) = 一孚h a ( 打o - 2 ) - - 嘉睦慨一粕磊_ 1 ) 2 。妄。沲一曲，五_ 1 ) 2 s c h w a r z 最小信息原则规定：当s i c ( n ) m i n s i c ( k ) 时，接受h o ，认为变点不 存在，用同一模型拟合给定序列较好；当s l c ( n ) 血n s j c ( ) 时，拒绝凰，认为 交点存在，用分段的模型拟合给定序列较好。 利用s c h w a r z 信息准则，我们对上证综合指数成交量序列进行了研究，得到结果为 s i c ( n ) = 2 4 5 8 8 1 6 ，s x c ( k ) = 2 4 5 8 5 7 6 ， 其中= 8 0 。因为s ，e ( 凡) s j c ( ) ，所以我们认为变点确实存在。 3 ) 数据的预测 根据( 2 5 2 ) 提出的预测方法，我们以t = 9 4 7 为起始预测点，进行1 0 步向前预测，相 应的预测结果见图2 1 4 和图2 一1 5 ，其中”9 5 l i m i t s 表示预测的9 5 置信域，相应的预 测偏差和均方误差的值见表2 1 0 和表2 1l 。 由此可见：有变点的预测比无变点的预测要好，m l e 估计和b a y e s 估计得到的结 果相当，进一步说i 瑕b a y e s 方法和m l e 方法样可以很好的解决a r ( 1 ) 模型中的变点问 题，并能成功预测未来值。 第1 8 页 2 6 实证分析 图2 - 1 4实证研究的m l e 预测 图2 - 1 5实证研究的b a y e s 预测 表2 1 0实证预测的偏差值( 1 o e + 0 0 3 ) 表2 - 1 1实证预测的均方误差值( 1 0 e + 0 0 7 ) s t e pn o c h a n g e p o i n t m l e b a y e s l - 0 1 4 0 8 - 0 1 2 2 40 1 3 6 4 2- 2 6 6 2 62 6 3 8 2- 2 6 5 6 7 3 2 3 1 1 0 2 3 0 5 3 2 3 0 6 9 41 4 5 4 31 4 3 5 81 4 2 9 6 51 8 1 3 9 1 8 1 1 71 8 1 0 3 60 2 6 9 40 2 5 5 10 2 6 5 8 72 6 8 2 12 6 4 3 12 6 3 4 9 84 4 7 3 34 4 6 1 74 4 6 5 4 94 3 3 7 54 3 1 3 84 ，3 2 9 2 1 04 1 4 7 14 1 2 1 84 1 2 8 3 第1 9 页 s t e p n