（理论物理专业论文）轴对称颗粒系统的静应力分析.pdf

中南大学硕士学位论文摘要 摘要 颗粒物质作为一类特殊的软凝聚态物质具有特别的性质和运动 规律。它静止时类似于固体，流动时又类似于液体，具有丰富的非 线性动力学行为，对此人们至今还没有形成一致的看法和理论。近 年来，颗粒物质吸引了一大批学者的关注和兴趣，有关颗粒物质的 基础研究己成为软物质物理中的一个相当活跃的研究领域。 对处于静止状态的颗粒物体，一个基本问题是经典弹性理论是 否仍能适用? 固态颗粒系统具有一定的抗剪切能力，并且能够对足 够小的扰动作出以弹性为主的响应，这两方面与普通固体的行为是 一致的。由此看来，弹性理论的基本框架应仍适合于静态颗粒物质。 颗粒静力学的主要问题是寻找合适的应力应变关系或弹性能表达 式。有幸的是，在赫兹接触力学的提示下，本课题组找到了一个合 适的弹性能表达式，并建立了一组关于颗粒物质的非线性弹性方程。 本文首先推导用该非线性弹性方程来分析颗粒物体中应力分布 的计算公式，并与线弹理论作了对比，讨论其非线性效应。虽然这 一非线弹理论已经比较成功地解释了不少颗粒物体特有的行为性 质，但仍有必要从多个角度对该理论模型作全面的考察，特别是要 研究其能否对不同的几何系统都作出合理的描述，以便进一步考察 其合理性和工程应用价值。在此情形下，本文设计了一几何装置 c o u e t t e 颗粒系统，给出颗粒弹性理论模型的应力计算结果。结果 表明，轴向压力和径向压力均随着内桶力矩m 的增加而增大，对于 变形受到限制的系统，这个压力随剪切力的增加而增加实际上反映 了颗粒物质特有的“剪胀 现象，另外力矩m 有增加侧压力系数的 效果，且j i - , ：m 处的侧压力系数比内桶处大；在样品的边界处，结果 显示无论内桶力f 和力矩m 如何改变，径向压力几乎保持同样大小， 而轴向压力在大m 或f 时能出现百分之几的差别。这些非线性效应 都是实验可以观测的现象，而且它们大多可以通过实验直接测量， 因此将有益于今后用来进一步检验该理论模型的合理性和局限性， 尤其是对一些非线性力学行为的描述情况。另外本文的工作也为工 程上关心的侧压力系数提供了一种新的理论计算途径。 关键词：颗粒物质，应力分布，侧压力系数，非线弹性理论 中南大学硕士学位论文 a b s t r a c t a sak i n do fs p e c i a ls o f tc o n d e n s e dm a t t e r , g r a n u l a rm a t e r i a l sh a v e m a n ys p e c i a lp r o p e r t i e sa n dc h a r a c t e r i s t i c so fm o t i o n t h e yr e p r e s e n t b o t hs o li d 1 i k ea n dl i q u i d 1 i k ef e a t u r e s ，a n de x h i b i tr i c hp h e n o m e n ao f n o n l i n e a rd y n a m i c s p e o p l eh a v en o tf o r m e du n i f o r mv i e w sa n dt h e o r i e s a b o u tt h e s ea sy e t i nr e c e n ty e a r s ，g r a n u l a rm a t t e rh a sa t t r a c t e ds i g n i f i c a n ta t t e n t i o n f r o mp h y s i c i s t s ，a n db e c o m ear a t h e ra c t i v er e s e a r c hf i e l di ns o f tm a t t e r p h y s i c s i ti saf u n d a m e n t a lq u e s t i o no fg r a n u l a rp h y s i c st h a tw h e t h e rt h e c l a s s i c a lt h e o r yo fe l a s t i c i t yi sv a l i df o rs t a t i cg r a n u l a rm a t t e ro rn o t g r a n u l a rs o l i dh a st h ec a p a b i l i t yt os u s t a i ns t a t i cs h e a rs t r e s s ，m o r e o v e r , i fg r a n u l a rs o l i di ss l o w l ys h e a r e d ，t h ee l a s t i cr e s p o n s ei sp r e d o m i n a n t b o t ho ft h e s ea r es i m i l a rt oo r d i n a r ys o l i d s f r o mt h e s ew ec o u l d c o n c l u d et h a tt h ee l a s t i ct h e o r ym o d ei ss t i l ls u i t a b l et os t a t i cg r a n u l a r m a t t e r t h e r e f o r e ，s e a r c h i n gf o ra na p p r o p r i a t es t r a i n s t r e s sr e l a t i o no r e l a s t i ce n e r g ye x p r e s s i o ni sam a i np r o b l e mo fg r a n u l a rs t a t i c sa n a l y s i s f o r t u n a t e l y , o u rt e a mh a so b t a i n e da ne l a s t i ce n e r g ye x p r e s s i o na n d e s t a b l i s h e das e to fn o n l i n e a re l a s t i ce q u a t i o n so ng r a n u l a rm a t t e rb a s e d o ni n d i c a t i o n so fh e r t zc o n t a c tm e c h a n i c s i nt h i sp a p e r , as t r a i n - s t r e s sr e l a t i o nu s e df o rc a l c u l a t i n gs t a t i cs t r e s s d i s t r i b u t i o n si ng r a n u l a rs y s t e m sw a sd e d u c e df r o mn o n l i n e a re l a s t i c t h e o r y , d r a w e dac o m p a r i s i o nw i t hl i n e a re l a s t i ct h e o r y , a n dd i s c u s s e d t h en o n l i n e a r e f f e c t t h o u g h t h i sn o n l i n e a re l a s t i c t h e o r y h a s s u c c e s s f u l l ye x p l a i n e dm a n ys p e c i a lp r o p e r t i e so fg r a n u l a rm a t t e r , w e n e e dt os t u d yt h et h e o r yf r o md i f f e r e n ta s p e c t s ，e s p e c i a l l yk n o wt h a t w h e t h e ri tc a ng i v ep r o p e rd e s c r i p t i o na b o u td if f e r e n tg e o m e t r i cs y s t e m s ， s oa st os t u d yi t s r a t i o n a l i t ya n de n g i n e e r i n gv a l u ef o ra p p l i c a t i o n t h e r e f o r e ，t h i sp a p e rd e s i g n e das p e c i f i cg e o m e t r i cd e v i c e - 一c o u e t t e g e o m e t r ys p e c i m e n ，a n dc a l c u l a t e dt h es t r e s s d i s t r i b u t i o nb a s e do n g r a n u l a re l a s t i ct h e o r y t h er e s u l t ss h o wt h a tb o t ha x i a lp r e s s u r ea n d r a d i a lp r e s s u r eg r a d u a l l yi n c r e a s e da l o n gw i t ht h ei n c r e a s eo ft h ei n n e r b a r r e l st o r q u em w h i c hi n c r e a s e dt h el a t e r a lp r e s s u r ec o e f f i c i e n t 中南大学硕士学位论文 a c t u a ll y , t h er e s u l tt h a tt h ep r e s s u r ei n c r e a s e da l o n gw i t ht h ei n c r e a s eo f s h e a rs t r e s sa ss y s t e m sd e f o r m a t i o nw a sr e s t r i c t e dr e f l e c t st h es h e a r d i l a t a n c yp h e n o m e n o no fg r a n u l a rm a t t e r f u r t h e r m o r ei n n e rb a r r e l s l a t e r a lp r e s s u r ec o e 珩c i e n ti s1 a r g e rt h a no u t e rb a r r e l s t h er e s u l t sa l s o s h o wt h a tw h e t h e ri n n e rb a r r e l sf o r c efa n dt o r q u emc h a n g eo rn o t r a d i a lp r e s s u r e sa r ea l m o s te q u a li nt h es a m p l e sb o u n d a r i e s ，w h i l ea x i a l p r e s s u r e sh a v es e v e r a lp e r c e n td i s c r e p a n c i e sb e t w e e nt h eb o u n d a r i e s t h e s en o n l i n e a re f f e c t sc a nb eo b s e r v e da n dm e a s u r e db yt a k i n g e x p e r i m e n td i r e c t l y , w h i c ha r ec o n d u c i v et oj u d g et h er a t i o n a l i t ya n d l i m i t a t i o no fg r a n u l a re l a s t i ct h e o r y e s p e c i a l l yi td e p i c t ss o m en o n l i n e a r m e c h a n i c a lb e h a v i o r i na d d i t i o n ，t h e s er e s e a r c ha c h i e v e m e n t sp r o v i d ea n e wc a l c u l a t i n gm e t h o df o r a n a l y z i n g l a t e r a l p r e s s u r e c o e f f i c i e n t i n t e r e s t e di ns o i le n g i n e e r i n g k e yw o r d s ： g r a n u l a rm a t t e r , s t r e s sd i s t r i b u t i o n ，l a t e r a lp r e s s u r e c o e f f i c i e n t ，n o n l i n e a re l a s t i ct h e o r y i i i 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名： 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文， 允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：纽塑苎坠师签猛蛐期：兰咝年月羔日 中南大学硕士学位论文第一章颗粒物质的基本介绍 1 1 概念 第一章颗粒物质的基本介绍 颗粒物质在我们日常生活中广泛存在，如沙子、谷物、食盐、糖果等。颗粒 物质是与人类打交道的第二大材料，其在工农业生产中扮演着重要的角色，全世 界谷物及其他各种颗粒物每年的产量数以百亿吨计，这些物质的生产、加工、运 输、储存等消耗掉大量的能量，因此对它们的研究必将为我们带来巨大的经济效 益；同时也对预防山崩、泥石流、沙漠化以及地震等自然灾害起着重要作用【1 。5 1 。 这里我们所提到的颗粒物质是指颗粒尺寸大于1 微米的宏观聚集体【2 1 。由于 颗粒尺寸大于1 微米，其热运动能量比重力势能要小的多，因此可以忽略热运动 即布朗运动的影响。如果颗粒之间不存在粘结力，则它们之间只有排斥力。大多 情况下，对于干燥的颗粒，通常可以忽略填充在空隙间的流体( 像空气等) 对整 个系统流动和静态性质的影响，但即便是做这样的简化，颗粒物质的行为也不同 于普通的固体、液体和气体，也许应该在固体、液体、气体之外定义一个新的物 质状态【5 1 。 虽然单个颗粒以固体形态存在，可以用经典力学给出其运动状态的精确解， 但是大量颗粒的集体行为却跨越了固体、液体及气体的界限，具有特别的性质和 运动规律，难以用已知的物理学定理或公式来描述。例如将一筒沙子在地面上堆 积起来，当堆积的坡度较小时，沙堆静止不动，如图l 一1e 卅( a ) 。尽管此时重力在 其中产生宏观的应力分布，沙子不滚落，仍然保持静止，其行为类似于固体，而 当沙堆的坡度达到“最大稳定角 ( 安息角) 时，就会发生崩塌，粗略的观察， 崩塌过程中颗粒流限制在表面层，里面是凝结的块体部分，见图1 1 ( b ) 。如果这 个凝结区确实存在，并且能与流动层很好的区分开来，就可以用类似流体力学的 方法研究沙堆的表面流。然而，有实验表明，即使在深层的颗粒也没有凝结，而 是出现非常缓慢的流动( 如蠕动) ，这样的运动能够在任意一个深度观察到( 如 图1 2 7 1 ) ，蠕动的速度随深度呈指数形式衰减，这个特征衰减深度近似等于颗粒 的尺寸，并且它不依赖于流速【7 1 。由此我们不难看出颗粒物质的复杂性和独特性。 颗粒物质独特的性质主要体现在以下两个方面【6 】：一是温度t 不能激发颗粒 发生象分子热运动那样的无规运动，这是由于我们讨论的颗粒尺度d ( 1 o n ) 较 大，其重力势能m g d 比k 。t 大1 0 1 2 倍以上。因此也就无法利用温度来描述颗粒所 处的空问结构。静止颗粒体除非受到外力作用，否则系统的结构永远保持不变。 中南人硕十! 学位论文 第一章颗粒物质的基本介绍 图1 i ( a ) - 3 堆积的斜坡小于库仑角时，图1 1 ( b ) 当堆积的斜坡大于库仑角时，发 沙堆静止不动。 生崩塌，沙子开始流动。 其次是由于颗粒问的作用主要是摩擦力和非弹性碰撞，其相互作用是耗散的，颗 粒体系为能量耗散体系，外界的作用或颗粒的运动能量会通过与其它颗粒的摩 擦、碰撞而耗散。 颗粒物质的一些独特性质早为人们发现，关于颗粒物体的研究已有着悠久的 历史，其中不乏有许多著名人物，像库伦( 1 7 7 3 年) 提出静摩擦力的概念【8 】；法 拉第( 1 8 3 1 年) 发现了振动颗粒对流不稳 9 】；还有雷诺( 1 8 8 5 年) 引入剪切膨 a ) 1s e c b )1m i n( c 1h o u r 图1 - 2 有稳定流的沙堆，随曝光时间的延 长，可以明显观察到深层颗粒的蠕动。 p h y s r e v l e t t ，2 0 0 1 ( 8 6 ) ：1 7 5 7 1 7 6 0 胀的观点，也就是说压紧的颗粒在剪切力作用下会发生膨胀【1 0 】。这些文献都有 助于理解如何处理这类物质。近二十年以来，颗粒物质的研究得到了迅速发展， 吸引了一大批物理学者的兴趣，已经成为当今物理学的前沿热点之一。但是对颗 粒物质的了解仍然很有限，描述颗粒物质的基本理论尚未建立。正如1 9 9 1 年诺 贝尔物理学奖获得者d eg e n n e s 所说：这一领域的几乎每一件事都尚待理解，我 们划颗粒物质的认识程度还只牛h 当于2 0 世纪3 0 年代对固体物理的研究水平【1 。 中南人学硕十学位论文第一章颗粒物质的基本介绍 1 2 奇特的性质 颗粒物质有着丰富的力学行为和奇特的性质，下面简要介绍一些常见的实验 现象。 首先介绍著名的粮仓效应。当往圆柱形筒仓注入高度为h 的颗粒物质，筒仓 底部所受到的压强与高度h 的关系和流体很不相同。众所周知，对于流体，容器 底部所受到的压强为p g h ，与高度成正比。其中p 为密度，g 为重力加速度。而 对于颗粒体，当颗粒高度h 较小时，类似于流体，筒仓底部所受到的压强f 比于 h ，可是当颗粒堆积到一定高度后压强却不再随颗粒柱的增高而增加。1 8 8 4 年， 英国科学家i r o b e r t s 首次发现粮仓底面所承受的力在粮食堆积高度约大于底面 直径的两倍后达到饱和而不再增加，并对此作了报道【i2 1 。从这一现象也可以联 想到用沙漏作为计时器比水漏更简便和准确，就是利用了沙粒从孔中流出的流速 不像水流那样随压强改变。 这些“丢失的重量”到哪儿去了呢? 其实这是由于颗粒与筒仓壁之间存在摩 擦力，筒壁承担了部分颗粒重量。1 8 9 5 年，德国工程师j a n s s e nh 用连续介质模 型对此现象做出了定量解释【l3 1 ，这一模型已被人们普遍接受，后面我们将会介 绍这一模型。 下面我们来讨论另一个有趣的现缘。考虑地面上一锥形放置的苹果堆，试问 在底面的一层苹果中哪个受到的压力最大而最容易被压坏。直观地认为是处在底 图1 3 不同的制备方法得到相同外形的沙堆( 锥形或楔形) ，发现堆底压力分布与沙堆制 备过程密切相关。p h y s r e v e19 9 9 ( 6 0 ) ：r 5 0 4 0 5 0 4 3 面中心的那个，因为它上面堆放的节果最多，所以受到的压力应该最大。然而， 事实却并非总是如此，实验表明那个节果受到的压力有可能比周围同一层的苹果 要小。同样地，对于地面上一无粘性的颗粒堆，堆底压力分布的最大值并不总是 在底部的中心，还可能在两边，即底部压力分布呈现一低陷结构。l v a n e l 等人 通过实验发现沙堆底部压力低陷的存在与否跟沙堆的制备过程有判1 4 】。如果是 一， ：x， 一 t 启 | k _ | 詈 一 骠 t 一o一；l；_；。 一甲套一。-a嘉竺0 l 薯茄 、。 o r 。 鼍 一 ；1 矿 兰 一r 1 一 一4 n 一 嚅 中南大学硕十。位沦文第一章颗粒物质的基本介绍 用点源式( 1 0 c a l i z e d s o u r c e ) p , p 从一固定点( 或线) 往下轻轻撒落形成的沙堆( 锥 形或楔形) ，底部存在压力低陷；而如果是用落雨式( r a i n i n g ) 且 j 从一平面往下均匀 撒落形成的沙堆( 锥形或楔形) ，则底部不存在压力低陷，如图1 3 所示。 对于这一有趣现象，人们提出了许多不同的解释。e d v a r d s 等【l5 j 认为沙堆内 部形成拱结构，支撑了外部的重量，从而使得底部中心出现压力凹陷，更具体的 说，他们认为堆的负荷不是垂商的，而是沿着斜线向下传递到地面的一点，并且 该点处的压力f 比例于通过它的斜线长度，由_ j 二两边的斜线最长，凶此有压力凹 陷。但是w i t t m e r 等人指出e d v a r d s 这个模型虽然简单直观，但在力学上是不稳 的，并提出了固定主轴( 6 x e dp r i n c i p a la x e s ，f p a ) 模型l l 6 1 7 】。 沙堆底部压力凹陷显示的只是颗粒物质边界t 的力分布情况。为了了解颗粒 介质内部的应力分前i ，l i u 等人【1 8j 将一些玻璃珠浸泡在甘油和水混合而成的匹配 液中，在上面用活塞往下压，通过玻璃珠折射率的变化来反映出颗粒的受力情况。 t o 一 ，o - 2 1 0 3 1 0 0 图l _ 4 三维颗粒介质中的应力链 图1 - 5上、下底面和器壁处颗粒的受力分布 s c i e n c e ，19 9 5 ( 2 6 9 ) ：5 13 p h y s r e v e ，19 9 8 ( 5 7 ) ：316 4 - 316 9 在三维情况下观测到了不均匀的力链结构，如图1 4 所示。越亮的地方表示应力 越大，由图可见颗粒介质中存在着不均匀分布的各向异性的力链网格，颗粒介质 罩面的一少部分颗粒承担了火部分的压力，而其他的颗粒受力很小。 为了定量测量颗粒介质中的力分布情况，人们巧妙的在容器壁或底部氆上一 层炭纸，以颗粒压在炭纸七印记的人小来标定力的大小，从而得到颗粒中力的分 布。把各处测量的力厂。用平均值厶。，归一为f = 厂。六，从而获得力的几率 分和p ( 厂) 。通过分析发现容器i ：、下底和器壁处的颗粒受力分布没有差别( 如 图1 5 ) ，那些大于甲均力的压力出现的几率随着压力的增大呈指数减小1 18 , 1 9 1 。此 外，这一几率分厕j 形式与颗粒的排列( 无序或有序) 及粗糙程度无关 2 0 1 。只有 中南大学硕士学位论文第一章颗粒物质的基本介绍 采用很软的颗粒，在颗粒受压形变很大时分布才发生变化，此时大于平均力的压 力出现的几率仍然呈指数衰减，但衰减的坡度会变刘2 l 】。 上面只介绍了颗粒物质的一些静态性质。实际上，颗粒物质在振动条件下表 现出来的复杂、有趣的现象更是让人惊奇。如摇动一个充满不同大小的粒状混合 物容器时，会发现大小颗粒的分离。大而重的颗粒运动到上层，小而轻的颗粒运 动到下层，最终形成大颗粒在上小颗粒在下的两层结构，这种现象称作“巴西坚 果效应”( b r a z i ln u te f f e c t ) 1 2 2 。欧洲人常用的早餐穆兹利是用燕麦片和包括较大 的巴西果在内的干果混合制成。人们发现，每天第一个从盒里倒出穆兹利的人总 会得到更多的巴西果，而最后倒穆兹利的人则只能得到燕麦片了，“巴西坚果效 应”名称源于此。关于巴西坚果效应有很多种解释，一般认为是由于几何因素造 成的填洞效应( v o i df i l l i n g ) ，大颗粒之间具有较大的间隙，在振动过程中，小颗 粒可以从大颗粒的缝隙掉下，并在下面支撑住大颗粒，从而造成了大颗粒在上小 颗粒在下的分聚现象【23 | 。或者认为，大颗粒上面的颗粒较疏松容易穿过，而下 面的较密实穿过时阻力大，因而大颗粒总是具有向上运动的趋势。另一种解释是， 由二_ 器壁的摩擦力能够造成振动的颗粒物内部形成对涮2 4 】，上升对流能够将大 颗粒推动到介质表面，但是下降的对流无法带动大颗粒往下运动，从而导致大颗 粒停留在上面造成分聚【2 ”7 | 。 图1 6 由镍颗粒和玻璃球组成的混合物在不同 的振动条件下形成两种三明治结构分聚。 物理学报，2 0 0 3 ( 5 2 ) ：2 2 4 4 2 2 4 8 s h i n b r o t 等人观察到了大颗粒向下运动的“反漂浮 ( r e v e r s eb u o y a n c y ) 或 “反巴西峰果现象”【2 引，他们发现一个密度较大的大球混在有很多小颗粒球组 成的颗粒床中振动时，大球会浮到颗粒床的表面；但是当大球密度较小时，大球 则会反方向沉入颗粒床底，显示出一种“反浮力”的作用，这表明除了尺寸以外， 大球和小球的密度差也会影响颗粒的振动分聚。 离謦 中南大学硕十学位论文第一章颗粒物质的基本介纠 姜等人【2 9 j 通过峰直振动较大的镍颗粒和较小的玻璃球组成的混合物的实验 中，观察到了镍颗粒在中间玻璃球在两边的三明治式分聚。同时发现在不同的振 动条件下，有两种形成“三明治”结构的过程，一种是先从混合态形成巴西果结 构，然后随着振动加速度的增大，体系出现局域对流运动，部分小颗粒翻转到_ j ： 表面，形成稳定的三层结构( 图1 - 6 左) ；另一种是不经过巴西果阶段，由混合 态直接渗透变为三明治结构( 图1 6 右) 。 阎等人 3 0 , 3 1 】分别采用直径相同而密度不同的单个大球，放在不同尺寸小玻王离 球颗粒床中进行振动实验，发现系统处于真空状态或低气压时，大球总是向上运 动；而在通常大气压下，大球会出现上升和下降两种运动状态，并认为颗粒床中 的负气压梯度是导致大球下降的原因。 混合颗粒体系在振动条件下的分聚与很多因素有关，诸如尺寸、密度、气压、 颗粒数目比等，对这一现象的研究还远没有结束，需要更多的实验和理论研究。 对这一问题的深入了解将会对选矿、制药、化工等工业生产中带来重要影响。 除了上面介绍的分聚现象外，颗粒物质在振动时还能在表面形成2 f 富的斑 图。s w i n n e y 等人 3 2 。3 6 通过实验发现，振动装有数十层沙粒的沙盘，通过改变振 动的加速度和频率，沙盘将相继出现条纹、六角、四方等规则图案，同时计算机 模拟也给出了类似的结果【4 ，如图1 7 所示。 在小的振动加速度和振动频率下，颗粒介质表面i 叮能发生局域失稳，在平坦 的表面出现若干个颗粒峰，称为振动子( o s c i l l o n ) 3 6 , 3 7 j ，如图1 8 。其出现的频 率为振动频率的一半。这些颗粒峰的高度约为颗粒层厚度的4 倍，峰的直径大概 在3 0 个颗粒左右。计算机模拟同样能再现这种有趣的现象【3 8 圳j 。 图1 7 不同振动条件下颗粒表面形成的斑图 与分子动力学模拟结果的比较。 p h y s r e v l e t t ，19 9 8 ( 8 0 ) ：5 7 - 6 0 图1 8 垂直振动条件下颗粒介质 的局部失稳一振动子( o s c i l l o n ) 。 此外，如果轻轻拍打一个装有颗粒物质的圆柱型容器，假没拍打之前颗粒杜 6 中南人学硕士学位论文第一章颗粒物质的基本介绍 的密度较小，颗粒介质处于松散状态，拍打后颗粒物质将会被拍紧致使密度增加， 通过测量颗粒柱的高度可以计算出密度。实验发现随着拍打次数的增加颗粒柱的 密度将逐渐增大，在经历长时间的拍打后发现密度最终将会趋于饱和值p m 。饱 和密度p m 的大小与拍打强度t 、拍打前颗粒的力学状况等有关卜倒( 如图卜9 ) 。 t 是最大扰动加速度与重力加速度的比值，大致反映扰动的强度。并得到经验公 式： p 【) 一p 【f ) = a l o g o + t r j 这里的a ，p ( o o ) 以及f 都是与拍打强度t 有关的参数h 3 1 。 接下来将介绍一个有趣的计算机模拟实验。我们知道，一个在运动状态下的 颗粒系统，如果没有外界能量的输入，由于颗粒间的非弹性碰撞生热而导致能量 不断的损耗，动能逐渐减少形成慢化( s l o w d o w n ) 现象。在重力的作用下，颗 粒将静止下来并被固结在容器的底部。当然颗粒最终都固结在一起是由于有重力 的影响。因此，人们试想如果在没有重力作用的情况下，又将会得到一种什么样 的结果呢? 有人通过计算机模拟发现了一种特殊的团聚方式，如图1 一l o 所示， 图中越亮的地方说明颗粒长时间保持接触，形成密度不均匀的分布。并称之为非 弹崩蜊4 4 j ( i n e l a s t i cc o l l a p s e ) ：即粒子在有限的时间内发生无穷次重复碰撞，从 而部分颗粒长期保持接触状态，形成一种特殊的团聚现象。对这一情况有人作出 了这样的解释，认为由于密度的某个瞬间涨落，导致某些地方颗粒密度增加，因 图1 - 9 颗粒柱的密度随拍打次数( 横坐标) 及拍打强度t 的变化关系。 p h y s r e v e19 9 5 ( 51 ) ：3 9 5 7 3 9 6 3 图i 1 0 用分子动力学模拟颗粒非弹性碰撞 得到斑图，图中可见颗粒发生团聚和密度不 均匀分布，在颗粒密集的地方产生“非弹崩 塌”，形成高密区域。 p h y s r e v l e t t ，1 9 9 3 ( 7 0 ) ：1 6 1 9 而颗粒问的碰撞次数增多，能量进一步耗散，因此温度降低。由于压力与温度成 比例，温度低的地方压力也较小，从而使得更多的颗粒填充在这罩，进而产生更 多的碰撞，能量耗散得更多，温度进一步降低，因此形成高密区域4 3 1 。注意这 中南火学硕十学位论文第一章颗粒物质的基本介绍 里的“温度”是指颗粒无规运动的动能，又称“颗粒温度”。不是通常测量的热 力学温度。 当然像这种粒子问不需要吸引力就能产生凝聚的反常现象，人们尚未从实验 上得到证实。因此有人怀疑它的真实性，认为这是计算机模型不太好而带来的非 物理性的东西【3 7 】。 d 。岍孵洒蔓律l f 铒f l o wi 嘲o l 荔 f 恐卧船lw a v er e g 舯麟c o z 曩 a c tr e 【强h 疆咯 柙窖城性锵堋越缸鐾岫曲妇嘲，幢妣雌 图1 - 1 1 不同出口尺寸对应的颗粒流状态，从左到右，出口逐渐减小。 p h y s r e v e ，19 9 9 ( 5 9 ) ：7 7 8 7 8 6 最后介绍的是颗粒物质在流动时所表现出的一些特殊行为。颗粒流动通常分 为三种状态，即稀疏流、密集流和阻塞【2 1 。稀疏流一般流速较快，颗粒可以自由 流动，类似于流体的流动。当颗粒处于密集态时，流速较慢，由于颗粒之间以及 颗粒与器壁之间的摩擦和非弹性碰撞，使得运动能量发生转移和耗散，这使问题 变得十分复杂。而阻塞更主要的是一个静力学问题，通常被看作是颗粒流动状态 的- t e e 极限情况。 ( d d 。) ( d d d ) ) 图1 1 2 颗粒槽流实验中改变通道出口e , - j - 图1 - 1 3 最大流量密度q 。( d d o ) 与标度参 得到的稀疏流到密集流的转变。 量力的关系 p h y s r e v l e t t ，2 0 0 3 ( 9 1 ) ：2 0 4 3 0 1 p h y s r e v l e t t ，2 0 0 3 ( 9 1 ) ：2 0 4 3 0 1 颗粒物质在漏斗或长管中流动时经常发，l 三堵塞成拱，或形成密度波、问歇流 中南人学硕十学位论文 第一章颗粒物质的基本介绍 等现象 4 5 , 4 6 。管道流动是颗粒研究的一个重要方面。因为通过简单地的调节管道 的出口尺寸就可以容易地观察到颗粒流动三种状态之间的转变。另外实际生活中 的道路交通流问题中存在着类似于颗粒管流的稀疏流、密集流和阻塞现象【4 h 9 1 。 因此颗粒流可以作为一个很好的抽象模型来研究交通问题【5 0 】。 t r a a f a t 等人 5 1 , 5 2 发现当改变管子出口阀的大小，竖直管中颗粒流的形态会 明显不同( 如图1 1 1 ) 。若出口阀完全打丌，此时流量最大，颗粒自由下落，颗 粒流的空间密度没有起伏变化，流动平稳无任何特征结构出现。当出口阀关小时， 流量减小，出现疏密相间的密度波结构。密度波的时空 ( s p a t i o n t e m p o r a ld i a g r a m ) 显示密度波中的致密区可以常速运动，也可来回振荡。当出口继续减小，管中的 颗粒流全部致密。 图1 1 4 ( a ) 阻塞的典型图像 ( b ) 阻塞成拱的构形 p h y s r e v l e t t ，2 0 01 ( 8 6 ) ：71 - 7 4 10 s0 9 0 8 圣0 7 = 点0 6 矗 喾o s = 厶0 4 三0 3 嚣 耋0 2 ，曼0 1 0 0 图1 1 5 不同出口倾角彩的阻塞率 j ( d ) 随开口尺寸d 的变化。圆圈、三角 和方块分别表示倾角为3 4 ，6 0 和7 5 度 时的测量值，实线为受限随机行走的模 型值，虚线为倾角7 5 度时实验的手画线， 插图为不同d 值时拱中颗粒数的几率分 布。p h y s r e v l e t t ，2 0 01 ( 8 6 ) ：71 7 4 厚等人 5 3 , 5 4 】对二维颗粒槽流中稀疏流到密集流的转变过程进行了详细地研 究，发现颗粒稀疏流到密集流转变可用一个变量九进行标度，得到了临界流量与 出口尺寸、颗粒大小及通道宽度之问的普适标度关系。该实验中，使颗粒在倾斜 放置的两块平板玻璃之间保持单层流动。当固定初始稀疏颗粒流量，逐渐减小出 口尺寸，减小到一临界值时，或固定出口尺寸，颗粒流量增大到一临界值时，都 会发生流量的突然减小( 如图1 1 2 所示) ，或者说由稀疏流转变为密集流，得到 了发生转变时的流量与出口尺寸d 、颗粒尺寸d 。及通道宽度d 之间的变化关系。 这种变化关系能够用一个普适参量五兰似d 。) l d ( d d ) l 进行标度归一所有的稀 疏流到密集流的转变( 见图1 1 3 ) 。 中南大学硕士学位论文第一章颗粒物质的基本介绍 t o 等人则研究了二维颗粒流从密集流到阻塞的转变【5 5 5 7 】，他们在漏斗中装 入金属圆片，改变出口尺寸观察圆片在流动过程中发生阻塞的情况( 如图1 1 4 ) 。 用摄像机记录并统计阻塞的几率，从而得到不同的出口尺寸或者出口倾角下阻塞 发生的几率分布。发现阻塞是由于颗粒成拱造成的，这种成拱存在一定的几率， 成拱后颗粒破裂，则颗粒继续流动，不破裂则发生阻塞，其阻塞几率分布如图 1 1 5 所示，可以看出，阻塞几率与通道的出口尺寸d 密切相关，用颗粒直径来标 度出口尺寸d ，当d 5 时，阻塞几率，( d ) 接近为0 ，而当d 5 时，阻塞几率很 快上升为1 。而且阻塞的几率与出口的倾角伊有关，在倾角较小时( 如3 4 0 和6 0 0 ) ， 这种关系不敏感，而当倾角较大时( 如7 5 0 ) ，由于支撑难度加大，使得转变分 布函数变得更陡。t o 等用自回避随机行走模型对成拱和破裂几率进行了计算， 与实验结果符合较好。 1 3 研究模型 通过上节的介绍我们知道了颗粒物质有着丰富的静态和动态特性。为了解释 这些奇特现象，人们提出了许多不同的模型。下面介绍几种典型的模型。 为了解释粮仓效应，j a n s s e n 采用连续介质模型这一现象做出了解释。j a i l s s e i l 模型主要是基于两个假设【1 1 1 3 1 ： ( 1 ) j a n s s e n 假设筒仓中颗粒介质的水平应力仃。，盯w 与垂直应力盯。成比例： 仃曩= 盯= k j o r 。= 一k j p 【z ) ( 1 - 1 ) k j 是特征系数，压力p = 一盯。如图l 一1 6 所示，对于面积为破2 、厚度为出的 水平颗粒薄层，力平衡条件为 一昭+ 挈：i 2i ，( 1 - 2 ) o r r z 一昭+ 舌2i l 其中盯为壁所承受的应力，这里，为径向坐标，z 的方向以向下为正。 p 扛) o 口 p ( z ) + 审 i _ 2 r 图l 一1 6 筒仓中颗粒压力计算的示意图 ( 2 ) 假定在仓壁的每一处，摩擦力都达到了它的最大允许值满足著名的l d a v i n c i 和a m o n t o n s 定律( b o w d e na n dt a b o r , 19 7 3 ) ： 1 0 ih上 中南大学硕士学位论文 第一章颗粒物质的基本介绍 仃，：= 一u i o ，= 一# s k j p 其中竹是颗粒与仓壁的摩擦系数。将( 1 1 ) 和( 1 3 ) 式代入( 1 2 ) 式，得到 夏o p 十i 2 p s k j p = _ p g 解此方程可得出z 处的压强为 p g ) = 风【l e x p ( - z t 2 ) ( 1 - 3 ) ( 1 - 4 ) ( 1 - 5 ) 这里引入特征长度五= r ( 2 , u ，k j ) 。p 。= p 9 2 为颗粒高度远大于特征长度时的 压强饱和值。由( 1 5 ) 式可知，当z 彳时，即颗粒高度大于特征值五时，p p 。， 底面压强趋于饱和。由名= r ( 2 p ，k ，) 可估计出特征长度五约为尺的3 4 倍， 即颗粒高度达到圆筒直径两倍左右时，再增加颗粒高度也不会使底面压强继续增 大。尽管此模型较好的解释了筒仓中总的应力分布特征，但是在一些方面还是值 得怀疑的： ( 1 ) 随着深度的不同，筒仓壁与薄片的摩擦系数可能不同，( 1 3 ) 式关于颗粒与壁 摩擦力的达到最大的假设过于武断。 ( 2 ) k ，的值如何确定? 它是否唯一? 与摩擦系数，是否有关? 它是否依赖于试 样的形成历史? j a n s s e n 模型还不能对这些做出解释。 另外，有人建议用准弹性模型来描述粮仓效应【l l 】。如果我们沿着筒仓的中心 轴注入颗粒，从中心到筒壁将产生一系列崩塌，滚落下来的颗粒静止而形成固结 区。若把滚落下来的颗粒停止的位置( x ，) ，z ) 作为位移初始点，随着后面颗粒的 注入，将会使先前静止的颗粒产生一个位移u ( x ，) ，z ，f ) ，可以用位移场 u ( x ，y ，z ，t ) 来描述固结区颗粒系统的变化过程。很显然，这个位移依赖于颗粒 系统的形成过程。在固结区的里面，我们可定义形变v u 。同时也可以定义( 粗 粒化平均) 应力场仃槲，它与形变的关系可由实验测量确定。 对处于压紧状态的颗粒系统，具有一定的抵抗压缩和剪切的能力，这可以用 体弹模量k 描述，由于力的大小与颗粒问的接触面积有关，接触面积随压力的增 大而增加，n j h c k ( p ) 随p 的增加而增加。对于球形颗粒，按照赫兹接触k p 1 乃， 而大多实验给出的是k p m 【1 1 5 引。 用准弹性模型来描述筒仓中位移和应力分布【l l 】，认为位移是沿竖直方向的， 并且与在其自身重量下的轻微崩塌有关。关于应变的描述与整个试样的制备过程 有关( 靠近仓壁的应变比中心略小，这将产生剪切力) 。 得到的结果是j a n s s e n 假设的特征系数k ，仅依赖于材料的泊松比y ，即 k ，= v l ( 1 一y ) 。虽然弹性模量依赖于压力，但是k ，和y 有可能与压力无关。此 中南大学硕士学位论文第一章颗粒物质的基本介绍 模型保留了j a n s s e n 模型中关于颗粒与筒仓壁充分摩擦的假设。 总之，对颗粒介质，从连续介质的角度出发，应力是连续的，微元体应满足 力平衡方程vf 仃f f = b u l kf o r c e s ，在二维情况下有： 一a o r r + 盟：0 ，和一o c r z r + 丝：j a g 。 a ra zd rd z 显然两个力平衡方程不能确定三个未知数仃，仃。，仃，( - 仃。) ，因此还需要一 个方程来使其完备。对于弹性介质，第三个方程可由应力应变( 本构) 关系来确 定。而对于颗粒介质，怎样定义应变场仍是一个具有争议的问题，因此有人就假 设应力分量间存在着一些( 类似本构) 关系来得到第三个方程，下面分别介绍这 几种做法。 ( 1 ) i f e ( i n c i p i e n tf a i l u r ee v e r y w h e r e ) 模型 此模型假定每一处介质的位置恰好是颗粒先前达到库仑角而崩塌滑落后停 留的位置，同时假设摩擦力被充分动员起来。这些假设认为介质的屈服判据能提 供应力分量的限定关系，得到一个关于应力张量分量盯。和盯：，的方程： 咿盯。丽1 一 s i n 2 矽+ 1 + 2 s i n 矽再而可可 ， 库仑不等式要求仃