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扩散方程允许的势对称及其精确解 薛春荣 摘要以物理学中的问题为背景的非线性偏微分方程的研究是当代非线性科 学的一个重要方面，创造和发展非线性偏微分方程新的求解方法是非线性物理最 前沿的研究课题之一目前已经存在许多获得非线性微分方程精确解的方法，如 行波法，齐次平衡法，双曲正切法，j a c o b i 椭圆函数展开法，拟设法等 本文的第一章给出了将要讨论解法问题所需要的部分预备知识众所周知， 势对称与李对称有密切的关系，在介绍使用势对称这种方法之前，首先给出李对 称的一些基本理论第二章介绍势对称的基本性质、势对称与守恒形式之间的关 系，以及如何从势对称得到李对称 本文的第二章第二部分证明了具有如下形式 吨= ( 9 ( u ， ， ) ) l 毗= ( ( “， ，叫) 知。k 的扩散方程允许势对称当且仅当任意函数，= 9 = ，并且满足以下两个条件之 一i ( 1 ) 当l 毗1 + l 矗i o 时， ，= f = 九= ( 让十 + ) 1 ，= 9 = h = ( “2 + + ) 1 ，= 9 = h = ( 十 + w + o ) 一2 ， ，= 9 = = u 2 + 矿士彬2 + 0 】一1 ，= 9 = = 【舻+ 抛2 十” 一1 ( 2 ) 当h l + = o 时， ( a + b u + g + d 叫一“2 一乩u 一仇叫) ，u + ( e + f 十g + 日叫一o “ 一的2 一c 伽) + ( 耳十l “+ m + 叫一o u 一6 叫u c 2 ) 凡 x 西北大学学位论文知识产权声明书 y 8 9 3 9 2 1 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读 学位期间论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被查阅和 借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同 时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文章一律注明作 者单位为西北大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：蕉呈查壅指导教师签名： 忽琶、咿 如。6 年参月彩日侈旬。年月日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西 北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的 同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谓j 意。 学位论文作者签名：薛着祉 渺多年玉月2 1 5 日 前言 以物理、力学为背景的非线性微分方程的研究，不仅是传统应用数学的最主 要内容之一，也是当代数学的重要组成部分寻求微分方程的精确解，尤其是非 线性偏微分方程的精确解的构造，一直是数学家和物理学家共同关注的问题目 前已经找到了一些构造非线性偏微分的求解方法，例如齐次平衡法【1 _ q ，反散射 法既孤立波法吼椭圆函数展开法1 7 一q 等等但这些方法大多涉及到复杂的数学 技巧，同时它们的使用范围也很有限 在微分方程的精确解或相似解的构造中，对称的方法可以说是一种更有效， 更为一般的方法，它能求出微分方程更多解的形式1 9 世纪末，挪威数学家 s o p h u sl i c 受a b e l 和g a l o i s 处理代数方程组的思想启发，为了统一和发展求 解常微分方程的各种不同的方法，提出了连续变换群的概念，这种连续变换群 后来被称为l i e 对称群l i e 的工作系统而全面，包括了常微分方程的诸多问 题，如；积分因子、分离变量、方程降阶、待定系数、参数变异、l 印h c e 变换等 等他还考察了偏微分的情形，建立了一维热导方程的l i e 对称群【“1 9 0 9 年， b a t e m a n d l l 】c u n n i n g h a m c a r m i c h a e l 【1 q 甩l i e 对称群求得了波动方程的不变解 1 9 1 8 年，n o e t h e r 提出了著名的n o e t h e r 8 定理( 1 4 l ，提出了新的对称l i e _ b a c k l u n d 对 称，建立了变分对称和守恒律之间的关系，进一步引起了人们对对称群的注意 2 0 世纪中后期，前苏联数学家o v s i a i l n i k o v 和他的研究小组成功的把l i e 对称理 论应用到许多重要的数学物理方程上，取得了令人瞩目的成就”1 由于微分方 程的许多性质与它的对称密切相关，人们总是设法找到更多的对称，为此对经典 l i e 对称( 经典l i e 对称包括点对称和切对称) 作了推广，提出了诸多非经典对称 的概念1 9 1 8 年，e t h e r 【1 q 首先提出了广义对称的概念，1 9 6 9 年，b l u m m a n 和c o l e 引进了条件对称【”o q 后来数学家发现许多方程并不允许局部对称( 局部 对称包括点对称、切对称、l i e - b 出l u n d 对称) ，局部对称的群不变理论存在明显 限制，1 9 8 8 年，b l u m m a n 和c o k 等提出了势对称f 2 0 】的概念实质上微分方程 的的对称群是将方程的一个解映到另外一个解的变换群g a n d u r i ”在此基础 上进一步提出了非经典势对称近些年来，数学家又提出了广义条件对称【2 2 “， 文献2 8 】提出了弱对称理论，【2 9 _ 3 1 】研究了很多发展方程的对称，强对称，遗传 对称 对称的概念在数学和物理中扮演着关键的角色，对数学和物理的发展与研究 起着关键的作用对称的思想对经典力学，量子力学和其它应用领域产生的微分 方程的研究产生了重要的影响 第一章预备知识 为统一和扩充常微分方程的各例求解方法，1 9 世纪后期，挪威著名数学家 s o p h u 8 “e 引进了连续变换群的概念，( 即今l i e 群，也称不变群或对称群) l i e 变 换群是作用在欧氏空间空间( 自变量和因变量) 上，依赖于连续参数的变换群他 的工作系统而全面，包括了常微分方程的诸多问题，如；积分因子、分离变量、 方程降阶、待定系数、参数变异、l a p l a c e 变换等等l i e 证明了：一个微分方程 如果在单参数l i e 群作用下不变，则其阶数可减少一次之后，l i e 又考察了偏微 分方程的情形，建立了热方程的局部变换群【1 0 】，开创了l i e 群在偏微分方程的应 用经典l i e 群是求微分方程相似解的系统而标准的方法平移，旋转和伸缩是最 基本的l e 变换群l i e 证明l i c 变换群可以由它的无穷小生成子完全刻画，这些 无穷小生成子形成一个l i e 代数l i e 变换群及其无穷小生成子可以自然延拓， 使其作用在微分方程的自变量，因变量以及因变量的任意有限阶导数的空间上 1 1l e 变换群和无穷小变换 本章将介绍l i e 变换群及其延拓的基本概念和结论【”，3 3 ，删，为研究势对称作必要 的准备 定义1 1 1 元素间具有合成率且满足下面公理的集合g 称做群 1 ) 闭性质：v n ，6 g ，咖( n ，6 ) g ， 2 ) 结合性质：v 口，b ，c g ，毋( o ，( 6 ，c ) ) = ( 庐( 。，b ) ，c ) ， 3 ) 恒等元；3 ie g ，s t v n g ，( o ，e ) = ( n ，e ) = o ， 4 ) 逆元：讹g ，ji 。( 一1 ) g ，5 毋( a ，n ( 1 ) ) 毋( n ，n ( 一1 ) ) = e 定义1 1 2 设。= ( 。1 ，。2 ，- ，。) dc r “，定义在d 上依赖于参数e 只具 有合成率妒的变换集 矿= x 0 ；e )( 1 1 ) 满足条件下面条件时，称做d 上的变换群 1 ) ve s ，( 1 1 ) 是d 到d 上的一对一映射， 2 ) 集合s 在合成率下构成群， 3 ) x ( z ，e ) = z ，其中e 是s 的恒等元， 4 ) 讹1 ，2 s ，x ( x 如，q ) ，e 2 ) = x 缸；咖( e l ，e 2 ) ) 定义1 1 3d 上的一个变换群还满足下面的条件，则称作d 上的单参数l i e 变换群 1 ) e 是连续参数，即s 是r 上的一个区间， 2 2 ) x 关于z d 是无穷次可微的，关于e s 是解析的， 3 ) ( q ，2 ) 是e l ，e 2 的解析函数，e l ，e 2 s 定义1 14 将单参数变换群矿= x e ) 【设恒等元e = o 】，在e ：o 处展开 扎z + e ( 警( 掣n _ 0 ) + c 2 ( 警( 掣= 0 ) + ( 1 2 ) 记 = 芸( 酬。 ( 1 3 ) 变换z + e ( z ) 称作变换群( 11 ) 的无穷小变换，f = ( f 1 ，f 2 ，靠) 称作( 1 1 ) 的无 称为单参数l i e 变换群( 1 算子 ( 1 4 ) = ( 击，盎，蠢) 为梯度 l i e 第一基本定理11 5 l i e 变换等价于如下的一阶常微分方程组的初值问题 警制咐 矿i o = z ， ( 1 5 ) 其中 取 ( 1 5 ) 可简化做 r ( e ) = ! ! 尘铲j ( 。 6 ) ：“一。一，i 、( o ) ：o ( 1 6 ) r ( e ) = 伽e ，) d e ， 等叫， 即存在一个参数化r ( e ) 使得l i e 变换群( 1 1 ) 等价于初值问题( 17 ) 在e = o 处展开公式 ( 1 7 ) x 如；e + e = 0 ) = x ( x ，e ) ，曲0 - 。，e + e ) ) ( 1 8 ) 的两端，利用微分方程组初值问题的存在性和唯一性即可证明l i e 第一基本定理 3 l i e 第一基本定理表明无穷小变换( 无穷小) 包含着单参数l i e 变换群的本质 信息；同时这一定理也表明存在一个参数化r ( e ) 使得合成率为毋( t - ，t z ) 单参数l i e 变换群( 1 1 ) 总可以参数化为合成率为忆，n ) = n + r 2 的单参数l i e 变换群 由l i e 第一基本定理，今后不失一般性，总可假设单参数( e ) l i e 变换群可参数 化，使得合成率为( e l ，e 2 ) = q + e 2 ，e 。= 一r ( e ) = 1 l i e 级数表示定理1 16l i e 变换群( 1 1 ) 等价于 扛如：x 卅鲁购卜一妻蔷盹， ( 1 9 ) 其中x 。= x x 。，= 1 ，2 ，x o 为恒等算子 事实上，对任意的可微函数f ( z ) ，有 如卜娄鬻警= 章z 4 ，鬻圳删m 埘 特别 攀：x ( z + ) 一 ( 1 1 1 ) i 2 “婶j 。l 1 。1 j 一般地 警= 玳z + ，2 ，一 ( 1 1 2 ) 从而 箬k = 。= 盹，- 1 ，2 ， “1 3 ) 展开( 1 1 ) 即得( 1 1 3 ) 定义1 1 7d 上的光滑函数f ( z ) 称作单参数l i e 变换群( 1 1 ) 的不变函数( 不 变量) ，如果对任意的d ，e s 成立 f ( z + ) = f ( o ) ( 11 4 ) 不变函数的判别准则1 1 8 设y 是单参数变换群( 1 1 ) 的无穷小生成子，d 上的光滑函数f ( z ) 是不变函数必须且只须 y f ( z ) = o( 1 1 5 ) 对任意的z d 成立 判别准则( 1 1 5 ) 是一阶线性偏微分方程，设1 ( 。) ，庐2 ( z ) ，饥一1 ( 。) 为此方程 的特征方程组 鑫= = 高 ( 1 1 6 ) i 蕊一一爵丽 。叫 4 的n 1 个独立的首次积分( 它们肯定是存在的) ，则不变量( 不变函数) 可写作 f ( 。) = w ( 毋l ( 。) ，。( 。) ，嗡“z ) ) ，其中u 为任意可微的n l 变元函数 定义1 ，l ，9 单参数l i e 变换群( 11 ) 称做代数方程f ( z ) = o 的不变群，如果对 任意的e s ，当f ( z ) = o 时均有f ( 矿) = o 简言之，方程f ( z ) = o 的不变群就是 使其解集变为解集的变换群，f ( z ) = o 也称作变换群的不变曲面 容易看出，若f ( 。) = o 是变换群的不变量，则此变换群是方程f ( z ) = o 的不 变群，但若f ( z ) = o 是不变曲面，f ( 。) 未必是可微函数 不变曲面的判别准则l1 1 0 设v 是单参数变换群( 1 1 ) 的无穷小生成子， f ( z ) = 0 是( 1 1 ) 的不变曲面当且仅当 矿f ( ) i f f 。忙o = o ( 1 1 7 ) 如果一个偏微分方程系统在经典l i e 变换群下是不变的，我们得到微分方程 的决定方程组，求解决定方程组，得到的无穷小就是给定的偏微分系统所允许的 对称一般来说，由对称出发构造的解不是通解，而是特解，也就是所谓的相似 解或者不变解 1 2 延拓变换 为处理微分方程，l i e 采用扩大空间变量的方法使之在一定意义下可看作较 高维空间的代数方程，微分方程延拓理论正是基于这一思想将通常的代数方程的 不变群理论推广到微分方程给定微分方程组d e s ( 以含有s 个方程的阶微分 方程系统为例) 2 ( z ，“m ) = 0 ，t = 1 ，2 ，5 ，( l 1 8 ) 其中z = ( 巩，z 。) 为自变量，u = ( u l ，螈，u 。) 为因变量( 未知函数) s ，“= l ，2 ，s ) ，m ，n 是任意正整数 采用多重指标 小燕 表示u 的偏导数其中j = ( j - ，j 2 ，如) ，川= j 1 + j 2 + 阶的导数的全体 假设方程组( 1 1 8 ) 存在单参数l i e 点对称群 矿= x 扛，叫) u = u ( ，让；e ) 5 ( 1 1 9 ) + 这样表示直到 ( 12 0 ) 为使( 1 2 0 ) 成为( 1 1 8 ) 的不变群，自然的想法是将自变量和因变量空间进一步 延拓在这个延拓空间中，不仅自变量和因变量，而且因变量对自变量的各阶导数 都看成空间的变元，从而将( z ，u ) 中的微分方程看成是延拓空间( z ，u ，u 1 ，舻，珏m ) 的方程( 其中u 。表示“对。的阶偏导数的全体) ，并进一步将本章第一节中的有 关讨论移植到延拓空间 考虑与( 12 0 ) 等价的无穷小变换形式 z ：= 墨扛，“；e ) = 鼢+ e 矗和，扎) + o ( e 2 ) ( “。) 4 = u 扛，u ；e ) = 0 + e 扛，札) + o ( e 2 ) 其中6 ，叩f 分别是自变量z = ( 。1 ，z 2 ，z 。) 和因变量“= ( “1 ，“2 穷小，则与( 1 2 1 ) 对应的无穷小生成子为 首次延拓系数为 矿= 矗( 。 舻= d 町f ( 。，“) ( 1 2 1 ) u 。) 对应的无 ( 1 2 2 ) ( 1 _ 2 3 ) 其中 是一个长度为p 的元组，并且第t 个位置取1 而其它位置取o ，d 表示全导 数算子，d ，= 蠢+ 罂j u + 矗，o l 卅s 表示全导数算子，那么k 阶延拓 的无穷小生成子为 。 睡矿+ 喜莩批静t 卸 ( 1 。a ) 根据上一节的定理1 1 8 和1 1 1 0 ，我们可以得到 微分方程的不变准则1 2 1 微分方程( 1 1 8 ) 关于l i e 群( 1 2 0 ) 或( 1 2 1 ) 不变的 充要条件是 v 1 ( 。，u ( t ) ) l ；= 0 = o( 1 2 5 ) 微分方程的不变性质1 2 2 允许单参数l i e 变换群( 1 2 0 ) 的任意n 变元的 阶偏微分方程总可以约化成为n 一1 变元的阶偏微分方程 微分方程的对称群就是作用在微分方程( 组) 自变量与未知函数的点变换构 成的最大局部l i e 群，它使得微分方程( 组) 的解集不变，只是将其解变为另一 个解 6 旦础 u嚣 聊 m + 旦融 s 一 j 2 时( 2 1 0 ) 允许势对称的必要条件是： 舟仃 五：；= 一f = f ( z ，t ，钍，u 。，让t ) ( 21 5 ) d u o m l 或者 称 定理2 1 5 当= f ( 。，t ，饥u 。，u t ) 时( 2 1 0 ) 允许势对称的必要条件是 = 日( z ，t ，) 毗+ k l ( z ，t ，“) “z + 硒( z ，钍) ，日0 = k ( 石，“。) ，r = r ( t ) ( 2 1 6 ) 定理2 1 6 若( 2 1 6 ) 式的k 是u 。的m 多项式，当m 2 时，( 2 1 0 ) 允许势对 2 2扩散方程( 2 2 5 ) 所允许的势对称 近 x 的扩散方程组所允许的势对称 当n = l 时，扩散方程组( 2 1 7 ) 化为 “t = ( ，) n 。k 相应的辅助系统为 2u ， 饥= ( ，( 钍) “。) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) b l u m a ，k u m e i8 l l d 鼬i d 【2 0 la k h a t o v ，g a z i z o va n di b r a g i m o v1 3 6 】分别给出扩散方程 系统( 2 1 8 ) 允许的势对称即( 21 9 ) 允许的局部对称所必须满足的条件： m ，= 击“- ”杰出 更一般地，c h o u 和q u1 3 8 】把( 2 1 8 ) 推广到更广义的非线性扩散方程 挑= ( ，( “) 嵋k( 2 舶) 他们证明了方程( 2 2 0 ) 允许势对称的充要条件是 m ) 2 万击浮唧”；毫而a s 当n = 2 时，扩散方程组( 2 1 7 ) 化为 就= ( ，( “， ) u 。) 。 = ( 9 ( 札，f ) z ) z ( 2 2 1 ) 扩散方程( 2 2 1 ) 相对应的辅助系统为 西z = u 仇= ，( “， ) “。 佤= 砒= g ( u ， ) ( 2 2 2 ) 屈长征教授和b l u m a n 已经研究过这种情形，他们证明了： 定理22 ，1 当n = 2 并且，1 2 = ，2 l = o 时，辅助系统( 2 2 1 ) 允许势对称的充要 条件是 ，= 9 = ( n 札2 + 2 + c 珏 + e 札+ 碍 + d ) 一1 ，d = 土l ，o ( 2 2 3 ) 一d u + 乜矗+ ，( t z + 邝+ 7 讪+ 叫印) = o ， 一o u + “矗= 0 ，一a + = o ， 叩1 一( n z + u d 币+ a 妒+ 叫d p ) + ( 矗十曲+ u 如+ 叫知) = o ， 一风+ u 岛+ 9 ( + 珏琊+ w 唧+ 训下p ) = o ， 一风+ 矗= o ，一f 0 + u 缸= 0 ， 叼2 一( 风+ 让艮+ 艮+ 叫卢p ) + 甜( 岛+ 垂+ 如+ 叫 p ) = o ， 一1 0 + t 【，知+ h ( h 十“q + ”砷+ 埘) = o ， 一1 。+ 叫f n = 0 ，一+ 州岛= 0 ， 铂一( + 札+ w 十叫) + 训+ 嵋壬+ 口如+ 叫0 ) = o m + 啦凡+ 啦知+ ，( m “一d 声+ 下一岛一u 如一训p ) = o ， ，叩l ”一9 n 廿+ “9 知= 0 ， ，叶1 ”h p + 让h 岛= o ， 一，矗+ ，2 = o ， 一，岛+ ，9 = o ， 一。u + “矗一，( + u q + “q + ”印) = o ， ，( 印l z + 毪叼1 毋+ 口m 母+ t 叼1 p ) 一啦+ = o ， 叩1 目u + 町2 9 ”+ 叩3 9 训+ g ( ，7 2 ”一嘞+ n 一矗一嵋廿一埘f p ) = o ， 9 啦u 一，风+ 口，如= 0 ， 口叼2 一 彩+ 蜒p = 0 ， g ( 叼2 z + 啦曲+ 叩2 廿+ 叫啦p ) 一屈+ = o ， 卵1 k + 叩2 k + 啦，+ ( 啦叫一饰+ n 一已一u 如 如) = 0 ， 啦u 一，+ ，矗= 0 ， q 一9 1 砧十 g 知= 0 ， ( 叩乩+ 舶曲十 哟妒+ 叫叩3 p ) 一m 十叫= o 由( 2 2 9 d ) ( 2 2 曲) ( 2 2 钉) 可以推出 叩1 = n z + u 西+ o v + 叫d p 一札( + t 曲+ 口廿+ 叫p ) ( 2 2 9 b ) ( 2 2 9 c ) ( 22 9 d ) ( 2 2 9 e ) ( 2 2 9 ，) ( 2 2 9 9 ) ( 22 9 九) ( 2 2 9 t ) ( 2 2 鲫) ( 2 2 0 b ) ( 2 2 9 f ) ( 2 2 9 m ) ( 2 2 9 n ) ( 2 2 9 d ) ( 2 2 9 p ) ( 2 ，2 9 q ) ( 2 2 9 r ) ( 2 2 9 s ) ( 2 2 9 ) ( 2 2 虬) ( 2 2 9 口) ( 2 2 9 叫) ( 2 2 9 z ) ( 2 2 劬) ( 2 3 0 ) 7 7 2 = 风+ u 艮十 + 绋u ( 缸+ u 如+ 母+ p ) 啦= + 乱w 十”伽+ 叫知一。临+ 尊+ 如+ 叫岛) 由( 2 2 9 c ) ( 2 2 9 m ) ( 2 2 9 s ) ( 2 2 9 t ) ( 2 2 9 ) ( 2 2 9 z ) ，我们可以得到 ，= g = h ( 2 ，3 叻) ( 2 3 0 c ) 为了求解决定方程组( 2 2 9 ) ，我们分两种情形讨论： ( 1 ) h i + 蚓o ，把( 2 3 0 0 ) 代入( 2 2 9 9 ) ，得到 ，= g = = ( 札+ + 叫) 一1 ，= g = = 扣2 + u + 叫) 一1 ， ，= 9 = h = ( u + ”+ 训+ n ) 一2 ，二日= = i 2 + ”2 士叫2 十。r 1 ，= 9 = 忍= 2 + b 俨+ 删】一1 ( 2 ) i a “+ 蚓= o ，把( 2 3 0 。) ，( 2 ，3 ) ，( 2 3 0 c ) 代入( 2 2 9 9 ) ，( 22 9 “) ，( 2 2 9 9 ) ，得到 f * = 勖= 伽= 白p = = 仲= 0 ， n p p = o 肇妒= ( k = q 却= 血z 妒= d z p = 0 ， a 咖毋一2 z 曲= o 峰妒一矗妒= 口曲p 一2 矗p = 2 0 z 庐一岛= 0 ， = 岛= 忍z = 凡自= 风p = = o ， 岛p 一& = 风p 一 z z = 艮p 一2 。p = 2 风十一m 。= 0 ， m 忡= 1 枷= z = = 十= 砌= o ， 1 p p 一2 已p = 1 印一f z z = 1 舯一。母= 觯一币= o ( 2 3 1 ) 把( 2 3 0 n ) 代入( 2 2 9 ) 中得到 ( 十b u + e 削+ d 驯一n u 2 6 札到一c u ) 凡 + ( e 十f “+ g + 日 一d u 一的2 一c 叫) 厶 + ( k + 工u + m u + 叫一一咖u 一例2 ) 厶 = ( 2 d h + 2 6 u + 2 c 川一d ) ，( 2 3 2 ) 解( 2 2 9 6 ) ( 23 0 ) 和( 2 3 1 ) ，我们得到 r = d t f = n 毋+ 坤+ c p ， 1 6 = 嚣十b 曲十g 母+ u n 口= e 茹十f 曲+ g 妒十日n 吖= k 霉+ l 垂+ m 中+ p ， ? l = a + b + g + d 删一。铲一6 伽一例协， 卵2 = e 十f u + g + 日删一n u u 一6 甜2 一c t 正， 啦= k 十l u + m + 叫o 口一咖”一跚产 实际上，在我们求解( 22 9 ) 的过程中，已经证明了如下定理： 定理2 2 1 当n ；3 时，给定系统( 2 2 5 ) 允许势对称当且仅当 ，= 9 = h = ( 十 十叫) 一1 ， ，：9 = h = ( 铲+ u + ) 一1 ， ，= 口= h = 如+ 。+ w + n ) 一2 ， ，= g = h = 阻2 + 2 土山2 + 口r 1 ， ，= 9 = = 阻2 + 的2 + 】一1 或者，( “，”) 满足一阶常微分方程 f a + b u + g + 口叫一口乱2 6 “刨一e “山) ，u + ( e + f “+ g o + 日叫一 一的2 一删 ) 厶 + 眦+ 纨+ m 口+ 甜一o “ 一m 一咖2 ) 凡 = f 2 越l + 2 如+ 2 c 一d ) ， 当，由( 2 3 3 n ) 给出，把，= 9 = h = 十u 十 ) 。 ( 2 2 9 l 口) ，( 2 2 9 p ) ，得到关于，卢，7 ，的方程组； 岛$ = o ，自十= o ，白p = 0 ( 2 3 3 0 ) ( 2 3 曲) ( 2 ，3 3 c ) ( 2 3 3 d ) ( 2 3 3 e ) ( 2 3 3 ，) ( 2 3 0 n c ) 代入( 2 ，2 9 q ) ，( 2 2 9 u ) 螂= 0 ，肿= 0 ，f p p = o o 妒廿= o ，口却= 0 ，d 即= 0 o b z = 0 ，n 一2 。乳d = 0 ，a t 一2 d 2 p = o 啦一2 口。士+ 专嚣嚣= o ，& 一2 砷十q 审庐= o ( 2 3 4 0 ) ( 2 3 4 b ) ( 2 3 4 c ) ( 2 3 4 d ) ( 2 3 驼) 靠一2 z 中+ 2 币廿= 0 ，一2 毛p + 2 口曲p = 0 = o ，= 0 ，= o 风z = 0 ，胁一2 忍4 = o ，岛一2 忍p = 0 觑2 风口+ 岛。= o ，6 2 。+ 2 廊十= 0 6 2 z p 十f = o ，矗一2 毛p 十2 口锄= 0 w t = 0 ，1 伽= o ，w 十一o 。= o ，m 一2 d = 0 ，m 一2 0 = 0 m 2 1 印+ 已z = 0 ，一2 矗妒+ 2 1 肇p = o 一2 善z 妒+ 2 7 啦p = 0 ，矗一2 z p + 7 卯= 0 并把结果代入( 2 3 0 0 c ) ，( 2 2 9 ) ，对应的对称群的生成子为 u = 如，k = 挑，k = a ，k = a 妒，k = a p k = 2 t a t + z a 协+ 咖0 毋+ 妒a 妒十p a p 诈= 挑+ 茁a 口一乱a u 0 w 一叫a 切 k = z ( a 妒一a p ) + 1 9 一a t u = ( a 咖一a p ) + a 仳一a 叫 o = ( 。 + 2 ) ( 一p ) 十( a + z p ) ( i ，u 一，叫) 1 = ( 茁 + 2 t ) ( 妒一p ) + ( a + t 卢) ( 目b 一0 t u ) ( 2 3 4 ，) ( 2 3 4 9 ) ( 23 4 ) ( 2 3 4 i ) ( 2 3 钉) ( 2 3 4 ) ( 2 3 4 f ) ( 2 3 4 m ) ( 2 3 4 n ) 当，由( 2 、3 3 6 ) 给出，把，= g = h = ( 舻+ u + ) ，( 2 3 0 一c ) 代入( 2 2 9 q ) ，( 2 2 9 u ) ( 2 2 9 ) ，( 2 2 印) ，得到关于，n ，卢，7 ，的方程组： 锄= o ，白p = o ，如十= o 如p = o ，岛p = o ，矗一如= o 蛳妒= o ，o q p = 0 ，o t 一2 0 z 廿= o o = 0 ，口= o ，毗一2 口= 0 专z z 一2 血z 币= 0 ，。一a 幸壬+ 2 壬；0 f z 廿一矗一q 妒= o ，2 f z p 一& 一2 。士p = o 风= o ，= 0 ，岛一2 风p = o 1 8 ( 2 3 5 口) ( 23 5 6 ) ( 2 3 5 c ) ( 2 3 5 d ) ( 2 3 5 e ) ( 2 3 5 ，) ( 2 3 5 9 ) h 3 = 一贯a z + p a 妒+ 妒a p + 乱a u + ( 叫+ ) a u + ( t i j + ) 0 h 4 = 一。d z + + 妒) a 母+ “a 饥+ ( 2 u + 训) a 吣+ a 叫) 当，由( 2 3 3 c ) 给出，把，= 9 = = ( “+ + ) ，( 2 3 0 。c ) 代入( 2 2 9 口) ，( 2 2 9 “) ( 2 2 9 ，) ，( 22 9 p ) ，得到关于 ，a ：口，7 ，的方程组： n t d 币妒+ 已廿= 0 o t o 却+ f g p = 0 毗一。掷+ 2 f z $ = o ， d 中= o ，a z p = 0 1 n z = 0 n t o 妒妒= o ，毗一。仲= 0 o 一o p p = 0 ，2 a z 一 = 0 风一风+ 矗o = o 8 t 一p + p = o 胁一p + 2 ”= o ， 风o = 0 ，风p = 0 ：风。= 0 0 t 一0 ；q ，8 t 一0 。= q 0 t 0 p p ：= o ，2 8 t 口一z z = o m w p + 岛$ = 0 m w p + 岛口= 0 m 一1 卯+ 2 毒? p = o ， d = o ，蚀0 = 0 ，z = 0 m 一1 却= o ，m 伽p = o m m = o ，2 p 一靠z = 0 咖曲= 0 ，& 一审中= 0 一如p = 0 ，靠一如p = 0 6 一f = o ，6 一肿= 0 ( 2 3 6 0 ) ( 2 3 6 6 ) ( 2 3 6 c ) ( 23 6 d ) ( 2 3 6 e ) ( 2 3 6 e ) ( 2 ，3 6 ，) ( 2 3 6 9 ) ( 2 3 6 h ) ( 2 3 6 t ) ( 2 3 研) ( 2 3 6 七) ( 2 3 6 2 ) ( 2 3 6 竹i ) ( 2 3 6 n ) ( 2 3 6 d ) ( 2 3 印) ( 2 3 6 口) ( 2 ，3 6 r 1 ( 2 3 6 s ) ( 2 3 6 t ) 当，由( 2 3 3 e ) 给出，即 ，= g = = i 护+ 如2 + 叫一1 时，得到对应的对称群的生成子为 h = a t ，坞= a z ，u = a ，k = a 妒，k = 却， = 2 t o t + z a 。+ 曲0 + 母a 妒十p 却 w = 岔a 妒一2 6 妒a p + 臼一2 的a 叫 = 妒鲫一；却+ 俄一：“踟， = o d 一2 面a p + 地一2 “鼬， n o = 一2 曲a z + p a 曲+ ( 叫+ 2 乱2 ) i a 乜+ 2 a 目+ 2 札t 口a 叫 11 h 1 2 妒如一去p 鲫一w 孔( 壶”+ 2 ) 踟一 t t j 抛 当，满足( a + b + g + d 训一口u 2 6 “ 一删w ) 九+ ( e + f + g + 日埘一。缸u 一 蚰2 一删伽) + ( k + l 札+ m u + 叫一u u 一胁 一删2 ) 丘= ( 2 n 札+ 2 的+ 2 c w d ) ，对 应的对称群的生成子为 h = 况，k = 如，b = d 也 k = 础，= 却， 2 = 咖a 妒十妒a 曲+ p o p + z 扫留十2 t 0 3 = ( n 西+ 础+ c p ) a z 十d t a t 十( a z 十b + g 妒+ d p ) 8 曲 + t e z 十f 牵+ g 唪+ h 出8 中+ ( k z + l 审+ m 母+ n 文8 p + ( a + b 札+ g v + d ”一n 乱2 6 删一”) a “ + ( e + f + g 十日加一n u 剐一6 u 2 一e u 山1 a b 十( 耳十工“+ m 刘+ 训一。札 一6 叫 一c 叫2 ) a 妒= m ) ， p = n ( = ) 一l n 。( 3 5 ) 把( 35 ) 代入( 3 2 ) 得到关于( 。) ，m ( 。) ，n ( z ) ，( z ) ，9 ( z ) ， ( ) 的方程组 ，= b 7 ， 9 = b m ， h = 轨7 一o 七”一6 = 七， ( 惫心+ m 2 + ( 6 忆一。) 2 】， m ”一6 m 7 = m 【( 2 + m 。+ ( 6 n 一n ) 2 ， 4 n ”一6 = n ( ( 南，2 + 竹一2 + ( 6 n 一o ) 2 】一o 对于h 2 + o y 8 ，相应的不变量是 z = i 一；，n te 寻咖t 寻妒t 孚一詈詈三一；，n t ( 3 2 ) 的对称约化为 u = ，( z ) 叫， = g ( z ) w ， 1 ”5 而丽1 = t 南( z ) ， 妒= t m ) ， p = t n ( z )( 3 6 ) 把( 3 6 ) 代入( 3 2 ) 得到关于( z ) ，m ( z ) ，n ( z ) ，( z ) ，9 ( z ) ， ( z ) 的方程组 ，= 筹， m ， 92 万， h = z + ， 一掣= 妒“m 。m 彬) ， 一一半= ；( m 一耐) ( 妒+ 舻+ 确， “= t ：，( 。) c o s ( m ( z ) + ) ， u = t ：，0 ) 8 i n ( m ( z ) + ) ， 加= t 吉 ( g ) ， p ：t n ( z ) ( 3 8 ) 把( 3 8 ) 代入( 32 ) 得到关于( 。) ，m ( 。) ，n ( z ) ，( z ) ，9 ( z ) ， ( 。) 的方程组 9 ”一目护：；9 护+ ( 9 h ，) 2 + 一， 7 + 2 咖= 一( ：+ 等删) 9 1 9 。怕2 + 调， = ( ；等一) 护+ ( ) 2 + n ，2 】， “丽雨 口 v g 一十l g ，o ，。 ，= 石日研 对于h 3 + 6 + o ，相应的不变量是 z ：+ 6 1 n 。、孑干孑 矿可ja r c t a n ! 一n l n $ a r “a n 掣一0 1 n $ 珏o ( 3 2 ) 的对称约化为 咖= g ( z ) c o s a ，a = 。l n z + ( 2 ) ， 妒= 9 ( z ) s i n a ， u ：掣c o s ( a + m ( ；) ) ， ：掣s i n ( + m ( z ) ) ， z 。：塑 p = 七( z ) ( 3 9 ) 把( 3 9 ) 代入( 3 2 ) 得到关于( 。) ，m ( 。) ，n ( 。) ，( z ) ，9 ( z ) ( 。)