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东北大学硕士论文 摘要 i y e n g a r 型积分不等式的研究 摘要 本文综述了近年来关予i y e n g a r 型织分不等式的一些磷究方法和成果。利用 余项为积分彤式的t a y l o r 公式缩出了一个统一的含参数的i y e n g a r 型积分不等式， 在此基础上重新给出了经典的i y e n g a r 积分不等式和一个i y e n g a r 型积分不等式的 解析证明。同时，证明了经典的i y e n g a r 积分不等式与其推广形式是等价的，并 对流传在文献中的个错误作了认真分析和彻底纠正。 对似阶导数m 1 ) 为有界的函数，通过在h a y a s h i 积分不等式 0冬a 譬 ff ( x ) d x ff ( x ) g ( x ) d x 兰么ff ( x ) d r 6 一目o vu 中选择适当的函数建立了圆个i y e n g a r 霆积分不等式，并利用h a y a s h i 积分不等式 漪等价澎式，放宽了i y e n g a r 螫积分不等式的条件褥到了i y e n g a r 型积分不等式的 一个推广。 关键词余颂为积分形妓匏t a y l o r 公式i y e n g a r 型积分不等式i y e n g a r 积分不 等戏累次积分 羚黔导数h a y a s h i 不等式撵形法则l a g r a n g e 中 值定理 东北人学硕士论文 a b s t r a c t r e s e a r c ho f i y e n g a rt y p ei n t e g r a li n e q u a l i t i e s a b s t r a c t i nt h i st h e s i st h em e t h o d sa n dr e s u l t so ft h er e c e n tr e s e a r c ha b o u ti y e n g a rt y p e i n t e g r a li n e q u a l i t i e s a r e s u m m a r i z e d u s i n gt a y l o r s f o r m u l aw i t ha n i n t e g r a l r e m a i n d e r , au n i f i e di y e n g a rt y p ei n t e g r a li n e q u a l i t yw i t hap a r a m e t e ri se s t a b l i s h e d ， t h e r e b yp r o v i d ea n a l y t i cp r o o f s o ft h ec l a s s i c a l i y e n g a ri n t e g r a li n e q u a i i t ya n da l y e n g a rt y p ei n e q u a l i t y m e a n w h i l e ，w ep r o v et h a tt h e c l a s s i c a l l y e n g a ri n t e g r a l i n e q u a l i t y i s e q u i v a l e n t t oi t s g e n e r a l i z a t i o n b e s i d e s ，a m i s t a k e s p r e a d s i nt h e l i t e r a t u r ei sa n a l y s e ds e r i o u s l ya n dc o r r e c t e d t h o r o u g h ly f o rt h ef u n c t i o n i n v o l v i n g b o u n d e dnt h - o r d e r d e r i v a t i v e 1 ) ，u s i n g a p p r o p r i a t ef u n c t i o n si nh a y a s h i si n t e g r a li n e q u a l i t y ： bb a + a a f f ( x ) d r f f ( x ) g ( x ) d r o ) ，则 ( 2 1 ) 善m 逑一三c 。叫叭卅肿，怿一m ( b - a ) 2 一面1 叭垆m 汗c z 定理2 1 给出的结果即是经典的i y e n g a r 积分不等式。 同年，g s m a h a j a n i 嘲用更为直观的几何方法证明了i y e n g a r 积分不等式，并得 到了下面的一些结果： 定理2 2 如果对乜x b ，有p ”( x ) i m ，且f ( 日) = f ( 6 ) = 0 ，则 m i 华 定理2 3 如果对口工6 ，有j f ”( 并) l m ，且f ( 口) = f ( 6 ) = o f 7 ( 口) = f7 ( 6 ) = 0 ，则 f ( 石) i 0 ) ，则 眩m ，出一三( ba a + b 1 + 。0 2 巾叫2 c 八旷八酬 型(130z)，24 、， 。 式中 【，( 口) + 厂，( 6 ) 2 f ( b ) - f ( a ) 2 矿2 砑瓦万可丽箭 ( 2 3 ) 文献【4 】提示所用的证明方法就是利用t a y l 。r 公式及条件l ，”( z ) j s m ，建立 ，( x ) 的上界函数三( x ) 和下界函数l ( x 1 如下： ，( x ) 三( x ) = ，( 曲，o ) = m ) + 厂铷) ( x 一口) + 丁m ( x 一口z , a z 。 ，( 6 ) + ，( 6 ) ( x _ 6 ) + 等( x - 6 ) 2 ，n z 6 m ) + 厂如) ( x 一口) 一了m ( 石一口) 2 ，口s z o ) ，则 ，( x ) 出一争6 一口) 【，( 口) + ，( 6 ) 】+ ( 6 一力2 【，”( 6 ) 一，”( 口) 去( 6 一仃) 3 【厂”) + ，”( 6 ) 】区击j ：i ，( 6 一) 4 定理2 6 若，( z ) 是 吼b pn + 1 次可微函数，且f ，。1 ( x ) i 冬m ( m o ) ，则 东北大学硕士论文 2l y e n g a r 型积分不等式研究的进展 胁肛喜赢篙甲】 驴高丽肘( 6 _ 口) “2 文献 6 】， 7 】，【8 ， 9 】有这样一些结果，如果，( x ) 的导数的界是以 m 厂7 ( x ) m 的形式给出的，则一些有用的不等式为： 下( b - a ) 2 r r t ，( x ) 出一，( 口) ( 6 一口) 下( b - a ) 2 m ， ( 2 4 ) m m ( b - a ) 2 + ，2 ( b - 。a ) ( m f ( a ) - m f 。( b ，) ) + ( f ( a ) - f ( b ) ) 2 。 2 ( m m 1 jf ( x ) d x ( 2 5 ) mm(b-a)2+2(b-a)(mf(a)-mf(b)+(f(a)-f(b)2 2 ( m 一翮 当，( 口) = ，( 6 ) = 0 时，不等式( 2 5 ) 化为 f f of ( x ) d x i _ 而m m ( b - a ) 2 ( 2 6 ) 如果设m = 一m ，则不等式( 2 2 ) 可由不等式( 2 5 ) 得出。如果设 厂( = 厂( 6 ) = 0 ，且m = 一聊，则不等式( 2 1 ) 可由不等式( 2 6 ) 彳黾t , q 4 。 假设，( 在 口，6 】上2 疗次可微，且满足l ，2 ”( x ) j 肘，( 口) = 7 ( 6 ) = 0 ， ，= o ，1 ，n - 1 ；则在 6 】。 8 】中，我们有 肛，出| 高骞t 州州 ， 需要指出不等式( 2 1 ) ，( 2 2 ) ，( 2 4 ) ，( 2 5 ) ，( 2 6 ) 没有包含在不等式( 2 7 ) 中。 文献 1 0 】以l a g r a n g e 型余项的t a y l o r 公式为基础，推广了不等式( 2 1 ) ，( 2 2 ) ， ( 2 4 ) ，( 2 5 ) ，( 2 6 ) ，并得到了下面的结果。 定理2 7 设，( 石) 是c ”k 6 】上的一个可微函数，且，( 石) 满足 彤，”( x ) m ， 如果记 东北大学硕士论文 2l y e n g a r 型积分不等式研究的进展 踟川= 善咩”铲1 ) ( 蚺翔” 等科b 印， 则对任意的f f 口，b 】 ( 1 ) 当珂是偶数时，有 鬈导赇叩朋域( 6 ，删瞧饥胁 登斡g 孙，口，肘) 一踹( 6 ，6 f f ； ( 2 ) 当n 是奇数时，有 鬈导隙鲫川l ( 6 ，6 ，姊，俐威 登上 黝邮m 、s n 0 孤啪，州 当”：2 时则有下而的摊 = 务。 ( 2 8 ) ( 2 9 ) 推论北设，( x ) 是 口，纠上的二次i 磁函数，且满足m f ”( x ) m ，则 m ( b 3 - a 3 ) 厂( 口) 一厂( 6 ) + b f ，( 6 ) 一口厂) + 型擘尘 ： 一十一 6 2 【( 口一b ) m f ( 口) + f 7 ( 6 ) 】 ，( 力功r 一矽( 石) + a f ( a ) + b 2 f ( b ) - 写a 2 f ( a ) ( 2 1 0 ) ，m ( 6 3 一) f ( a ) - f ( b ) + b f ( b ) - a f ( a ) qm ( b 2 ，- a 2 ) 2 6 2 【 一b ) m f ( d ) + ，7 ( 6 ) 】 一 另外，如果设 疗：1 ，f ：b m - a m # + f ( a ) - 一f ( b ) 和r ：b m - a m + f ( a ) - f ( b ) ， m m m m 则不等式( 2 5 ) 可由不等式( 2 9 ) 得出，因此，不等式( 2 5 ) 包含在不等式( 2 9 ) 中。如 果设m = 一m ，则不等式( 2 3 ) 可由不等式( 2 1 0 ) 得出，因此不等式( 2 3 ) 包含在不等 式( 2 8 ) 中。 由于不等式( 2 。1 ) ，( 2 2 ) ，( 2 3 ) ，( 2 5 ) 和( 2 6 ) 都包含在不等式( 2 8 ) 和( 2 9 ) 中，因 此不等式( 2 8 ) 与( 2 9 ) 具有一般性。 由定理2 5 及定理2 7 的证明可以看出，虽然同样都是以t a y l o r 公式为基础， 但具体方法上也有很大的不同，定理2 5 的证明如前回所述，虽然且规扬于埋) 骅 但运算量很大，继续用这种方法做下去意义不大，而定理2 7 的证明则以l a g r a n g e 型余项的泰勒公式为基础，利用了定积分的区间可加性，得到了一个含参数的 i y e n g a r 型积分不等式。类似以上两种使用t a y l o r 公式进行的研究还可以在文献 【1 1 】_ 【1 5 】中看到。 2 3 利用h a y a s h i 不等式进行的推广 r e a g a r w a l 和s s d r a g o m i r 在文献 1 6 】中利用h a y a s h i 积分不等式将经典的 i y e n g a r 不等式( 2 2 ) 作了如下的推广： 定理2 8 设f ：l r r 是，o 上的可微函数，并且设d ，b ，o ，口 6 。 设m = s u p x 。 o , b l f ( x ) 一。若m m ，且，7 在 盯，6 】 上可积，则有 也加胪 f(b)-f(a)-m(b-a)lm(b-a)-f(b)+f(a)l( 2 1 1 ) 一 2 ( m 一所) ( 6 一口) 。：( m - m ) ( b - a ) 一 8 注意到在( 2 1 1 ) 式e e 4 m ；一m ，则可得到经典的i y e n g a r 积分不等x - - 戈( 2 2 ) 。 1 9 9 8 年，文献【1 9 】采用与a g a r w a l 和d r a g o m i r 相似的做法，以h a y a s h i 积分 不等式1 踯为出发点证明了下面的一些结果。 引理2 1 设f ：【d ，6 】一r 是非增函数，g ：k ，6 】一r 是可积函数且垤【日，明， 有0 g ( x ) a ，则 一。厂f ( x ) 凼，f o ) g ( x ) 西f 哇，f ( x ) 出， ( 2 1 2 ) b - a 口4 其中 a = 去，g o ) d x 定理2 9 设，c ( ，o ) ，r a ，b 】，o ，聊和m 是实数，v x 【口，b 】，有 m 厂”( 功 ，记：厂 ) + ，7 ( 6 ) 一2 f 7 ( 旦# ) ，则有 奎韭= 茎兰堡圭笙兰三塑竺壁型塑望兰! 塑坠竺型! 望丝 善f ( x ) d x 一学c a 一，+ 芈( b - a ) 2 _ e m + 哟 竿畔) 3 _ 矬) 3 】 如果记m ：= 黪1 厂”( x ) l ，取m = m 2 ，聊= 一m ：，则可得 推论2 3 对任意函数f c 2 ( ，o ) ，有 肌舳巡产( b - a ) - + 华( h ) 2 i 鲁胎叫3 一拦) 3 】 如果将区间【口，b 】n 等分： a = x o 置= x o + x o + 2 h 1 为奇整数，函数厂满足条件1 ，则 砂肛留- ：e - a + ：b 一。) i 东北大学硕士论文 ! 型! ! g 竺型塑坌至竺茎堕塞盟垄垦 歹詈( 胁帅一命+ 1 ， 这里m = s u pi ，加( x ) | a x 1 为奇整数，函数厂满足条件1 ，则对任意的x ( 口，b ) ，有 喜最( 加删+ 南【( 6 叫州吨卅广1 】 1 为奇整数，函数，满足条件l ，则对v x ( 口，b ) ，有 肌b y 舻若nw 咖) | 志【( 卜抑叫r l 】， 这里m = s u p l ，。1 ( y ) | 口 v 1 为奇整数，函数f 满足条件1 ，则 肌b 撇一吕nw ；字 a ) | 志2 n ( 6 刊州， 一 + 1 ) ! 、 7 这里m = s u pl 广( x ) | t a x b 。 上述结果主要是通过先选择适当的函数，然后利用h a y a s h i 不等式而得出， 东北大学硕士论文 2l y e n g a r 型积分不等式研究的进展 2 4 i y e n g a r 不等式的进一步推广 文献 1 9 】中还放宽了i y e n g a r 不等式的条件，将a g a r w a l 和d r a g o m i r 在文献 1 6 】 中的结果作了如下的推广。 定理2 1 3 设厂：i 至r r 是，。上的可微函数，且【口，b c 1 。，设对帆 口，b 】， 实数m 与m 满足 肌 f ( x ) - f ( a ) 0 ，b 0 ，有 j f ( x ) - f ( a ) i b ( x - a ) 9 ，i 厂( 6 ) 一厂( x ) lsb ( b x ) 9 ， 则有下面的不等式成立： b 出一如，| 鲁9 一争p 似咖， 这里f 是方程9 一( 1 一) ，= q 的实根，且 口：f ( b ) - f ( a ) 1 b ( 6 一口) p 墨韭盔兰堡主笙苎! 竖! ! 竺型塑坌至箜垄竺窒堕垄垦 推论2 1 0 设是n 一1 次可微函数，“1 在 口，b 】上可积，且对0 d s l ，有 1 。l ，n 。( z ) l 彳( x 一口) 。，i ，”。1 ( z ) 1 彳( 6 一x ) “， 2 。 ，( 口) = ，( 6 ) = 0 ( k = 1 ，2 ，h 一1 ) ，疗n ， 则 击弘肛芈f 尘! 笔i 三；筹( 卵“+ n - i i q t + ( a + n - - 1 ) ( z 卵) 】) ， 这里卵是方程矿“一一( 1 一t 7 ) ”“1 = g 的实根，且 g ；镜兰等( 删坝砌， 4 m 伯一口1 0 ”1 7 7 p 州= p ( p - 1 ) ( p - m + 1 ) ，肌n 。 注2 1 如果f n 。q ，则条件1 。成立( m 是常数，0 q 1 ) ，这里c o 是满 足q 阶l i p s c h i t z 条件的连续函数空间，这些结果可在文献【7 】看到。 注2 2 下面这个推论2 1 0 的特殊情况应与推论2 3 作比较： 设厂是可微函数，f 7 是可积的，( 口) = ，7 ( 6 ) = 0 ，i ，7 ( x ) i s m ( x 一口) ， f t ( x ) m ( b - x ) ，v x a ，6 】，则 b 如出一批w 叫 m ( b - a ) 2 一三f 鱼2 = 鱼! 一 2 42 m ( b 一们2 由文献 7 】得知这个结果是对推论2 3 结果的一个改进。 2 5i y e n g a r 型积分不等式用于估计梯形求积法则的误差 a g a r w a l 和d r a g o m i r 在文献 1 6 】中讨论了( 2 1 1 ) 对一些凸函数和一些特殊均 值的应用。文献 2 0 】讨论了经典的i y e n g a r 不等式( 2 2 ) 及其推广( 2 1 i ) 式在数值积分 查! ! 盔兰堡圭堡苎 ! 型竺g 竺型翌坌至竺垄堕窒塑鲎垦 中用于估计梯形求积法则误差界的一些应用。 文献【2 0 】首先讨论了定理2 1 在估计经典的梯形法则误差方面的应用。 定理2 1 6 设，：( 口，6 ) 月一只是( ，6 ) 上的可微函数，且假设，7 在( ，6 ) 上是 可积的，o l l l 。：= s u p x 6 ( a , b ) i 厂( 刮 o 。a 设 ：口= x o 薯 矗一l = b 是( d ，b ) 的一个分法，则有 i 童f ( x ) d x - - t ( f , i h ) i s 毕鬈臂一卉缸炉 毕霎砰一赢c 邢炉 眨z ， s 毕郭 这里 t ( f t ( f ，厶) ；盟掣】吩，厶) ；【业掣导型】吩， 且吩：= t + 1 一，i = o ，1 ，刀一1 a 设l 表示对区间【f i t , b 的n 等分，即 l ：墨= 口+ 竺f ，f = o ，1 ，2 ，行， ( 2 2 2 ) 对区间陋，b 】的这种分法，有如下的推论： 推论2 1 l 设f ：( 口，b ) r r 是( a , b ) 上的可微函数，假设，7 在( 口，6 ) 上是可 积的，且o l l f 。；s u p 域鲋) j 厂7 ( 刮 棚，则有 盼杪) 墨獗若l 厂“+ 1 ) 卜呐崛_ 1 ) ) 】 ( 2 2 4 ) 竿 这里厶，丁( 厂 厶) 和岛的定义同定理2 1 6 。 当对区间k 6 1 进行n 等分时，有如下推论： 推论2 1 3 假设同定理2 1 7 ，则有 l6 f f ( x ) d x - t ( f , i n ) l s 等c 州， 亿z s ， 这里l 为( 2 2 2 ) 中定义的对区间【口，b 的 等分。 注意到由于刑 m ，茁x m m o ，如果栉【塑生型掣】+ 1 ，则有 葛 i 善f ( x ) d x - t l ，卜 )l ) 障e 前面所讨论的估计仅依赖于l i ，。需要指出，经典的梯形求积法则为 查些查堂堡圭堡兰 2i y e n g a r 型积分不等式研究的进展 则 女睬厂： 盯，6 】一r 是( m 6 ) 内的二j 好嗍晒觌且i i ，”忆：= 8 u p 、i 厂”( 刮 o o j ( a ，0 一厶， 铬蔷群 j r m 胁叫“) 卜簪萎群 这里厶，t 和囊的定义同定理2 1 6 ，这里的误差估计要用到j 厂忆。然而，在许多 实际问题中，被积函数并不是二次可微的，因此不能使用( 2 2 6 ) 式估计误差。 例：，( x ) = ( x - a ) 9 ，1 p o ) ，则 v t bb 】，有 肛骞志卜卅甲旷矿叫伍。、 石高 ( f 一口) ”2 + ( 6 一，) ”2 】 、。 m 嚆学”+ 去善 一喜牮卜+ 去? 厂州( j ) 一s ) ”d s ，( 3 2 ) ，州( s ) 一s ) ”d s ( 3 3 ) 由定积分的区间可加性，x c v t 【口，6 】，有 b fb j r ，( x ) a x = f f ( x ) a x + f f ( x ) 出 銮北大学硕士论文3 一个统一的含参数的l y e n g a r 型积分不等式及其应用 交换累次积分的积分次序不难求得 f f f 州( s ) ( x s ) ”触= j f j r 广 ) ( x - - s ) ”d x d s = 熹j f 广+ 1 坝) 州凼 f f f 月“o ) ( 石一s ) ”d s d x = 一f f ：l ( s ) ( x s ) “d s c l x = 一f f f “o ) ( x m 8 ) ”d x d s = 嘉，广州协卜西 对( 3 2 ) 式和( 3 3 ) 式的两端分别在h t 】与，b 1 上求积分得到 和 6 f ；f ( 。x ) d x ，。，：。j b f ( k ，) ( ；b ) ( x 6 ) c 6 ：1 h 去? 。i 厂n + i c s ，c j f j ，”+ 1 d 矗k 。， 一骞鹬( ，- b ) t m + - ( ，川) ! - - l - - - 1 驴1 ) ( 啪卅饥 v ” 把( 3 4 ) 和( 3 5 ) 式相加得 ? ，c x = 骞筹篙( t - a ) k + l 一喜筹篙c r 一“ + 志，广川p 叫州幽， + 1 ) ! 哇。 7 于是 弘肛言勰( t - a ) t m + 喜勰广 ，l ， 叔 ，rj口 舶。峒 疵，。 唿 ，rj口 口 一d 一 一卜 x p ( 一，喃 坐七 扩 ，户。叫 。脚虹 | | 一m篇 州 面 。 凼 ， 脚 m 6rj口赤 东北本学硕士论文3 一个统一的含参数的 y e n g a r 型积分不等式及其应用 即 志少”j j 卜s 卜 茎志n 卵“出 2 丽m 哆( t - s ) + t d s + ，( 卜矿“删 = 丽m 【- 警n2 筹2 门( 竹十1 ) ! + 疗+ ”。 ：? 勺坠竖+ 坠竖 ( 肝+ 1 ) ! 一十2 。 n + 2 。 = i ；三篆【o 一口) ”+ 2 + ( 6 一r ) ”2 】， i6 f f ( x ) d x - - 喜黜c 州争业( k - i - 1 ) ! c 叫+ 一 石志【o 一口) ”2 + ( 6 ，) ”+ 2 】 3 2 定理2 1 和定理2 4 的解析证明 3 2 1 定理2 1 的证明 或 证明：在定理3 1 中取n = o , v t 【日，们有 jb f f ( x ) d x - - f ( a ) ( t - - a ) - - f ( b ) ( b - t ) j 争叫2 妒矿， 从而有 乡( x ) d x + a f ( a ) - b f ( b ) - t i f ( a f ( b f ( b ) i f ( 矿俐f 等( ( ，卅+ ( 6 _ ，) 2 】， j r 8 ) 一，p ) 】i 等( ( ，一功：+ ( 6 一，) z 】， 证毕。 东北大学硕士论文 3 一个统一的含参数的l y e n g a r 型积分不等式及其应用 【( d ) 一，( 6 ) p 一等【( f a ) z + ( 6 一r ) ： f f ( x ) d x + a f ( 口) 一b f ( b ) 0 ( 3 6 ) s 厂( 口) 一，( 6 ) p + 婴【( t - a ) ：+ ( 6 一f ) ： 先考虑( 3 6 ) 式右边的不等式。令 f ( t ) ： 厂( 口) 一厂( 6 ) f + 婴【( ，一口) ：+ ( 6 一r ) z 】，f 口，6 】， f 7 0 ) = 厂( 口) 一，( 6 ) + 以p 一口) 一( 6 一，) = f ( a ) 一f ( b ) + 2 m t - m ( a + b ) ， 令f 7 0 ) = 0 得 ：丝竺竺! 塑二! 1 2 ， 2 4 由微分学的l a g r a n g e 中值定理有 ，( 6 ) 一f ( a ) = f 他) ( 6 一a ) ， 其中f 口，6 】 根据定理的假设有i ，7 ( ) f m ，求得 m ( a + b ) - m ( b - a ) t 0 ， 故由微分学可见f ( f ) 在：丝垒堕丛盟型处取得最小值。 、。 1 2 m 。一。 f “) = i f ( a ) 一，( 6 ) 】尘塑皇鱼鼍i 掣 + 等c 丝岩掣叫2 + m ( b 一丝掣掣，2 ：! ! 盟【：! 旦2 = 鱼塑一【f 竺2 = ( ! 塑： 2 2 m + 等 ( 坐之笋巡) 2 + ( 坐芝笋地) 2 】 ：尘竺：f盟二!卫!虫二鱼堑牟m2(b-a)2+f(a)-f(b)z 东北大学硕士论文 3 一个统一的含参数的l y e n g a r 型积分不等式及其应用 ：竺盟【! 虫二! ! 卫。 2 吖2 ( 6 一口) 2 所以有 z，(x)出+矿(口)v(6)量生鱼!【掣+tm2(b-a)2-f(a)-f(b)2， 即 ! m 胪丁b - a 坝6 ) 】t m ( b - a ) 2 一掣： ( 3 7 ) 再考虑( 3 6 ) 式左边的不等式。令 g ( r ) = 厂( 口) 一厂( 6 ) f 一警【9 一口) 2 + ( 6 一，) 2 】， 口，6 】， 则 g ( r ) = f ( a ) 一f ( b ) - 肘【( r a ) 一( 6 一f ) = f ( a ) 一f ( b ) 一2 m t + m + 6 ) ， 令g 7 ( f ) = 0 得 f ：丝鱼堡二竖塑二盟! ， 。 2 朋 同样根据l a g r a n g e 中值定理可见 t 2 口，b 】， 而g ”o ) = 一2 m 0 ， 故g ( f ) 在f 2 = 丝塑盟毫攀处取得最大值。 g q 2 ) = 厂卜f ( b ) m ( a + b ) - 2 i 朋f ( b ) - f ( a ) 一等c 丝兰掣叫2 一等c a 一坐警掣，： ：! 堡塑【! ! ! 二( ! 塑。 ( ! ! 二【1 2 22 m m_(m(b-a)-if(b)-f(a)f+r丝鱼二虫!盟22 m 、 2 m = 堕攀等趔+ ：! ! 塑【! 竺! 二塑! 一 2 l r ( 口) 一，( 6 ) 】2m 2 ( 6 1 【( 尘二! 1 2 r 4 m m 2 ( b - a ) 2 - f 。( b ) - f ( a ) 2 4 m 东北大学硕士论文 3 一个统一的含参数的l y e n g a r 型积分不等式及其应用 所以有 ( 口+ 6 ) 【，( d ) 一厂( 6 ) 】m 2 ( 6 一口) 2 一 厂( ) 一厂( 6 ) 】2 24 m sj ，( x ) 出+ a f ( a ) - b f ( 6 ) ， 即 一t m ( b - a ) 2 + 幽4 云掣，m 肛生2 叭口) 坝6 ) 】( 3 8 ) 4mj 一7 。“、7 合并( 3 7 ) 式和( 3 8 ) 式得到 肌舳一字坝纠| 一m ( b - a ) 2 一i f ( a ) 石- 广f ( b ) 2 证毕。 3 2 2 定理2 4 的证明 让明：仕疋埋3 1 甲耿i 1 = l ，v t c l ，b 】，有 肌蚺叫州h c 卜掣( t - a ) 2 + c f 詈瞰叫3 + ( 6 _ f ) n 或 一警 ( f 一口) ，+ ( 6 一，) ，1 o 弘胁- f ( a ) ( t - a ) - f ( b ) ( b - t ) - ( 州+ 华”) 2 ( 3 9 ) 警 o 一口) ，+ ( 6 一r ) ，】 0 先考虑( 3 9 ) 式右边的不等式。令 ，= 半托悱 b - ：a ， 代入( 3 9 ) 式右边并整理得 善m 肛m ) ( e 芋+ a - 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