（应用数学专业论文）非线性积分方程和非线性常微分方程边值问题的正解.pdf

c l a s s i f i e dl n d e ：0 17 5 u d c ： 川i l l | 1 1 | 1 1 1 | f ! i | 0 i l f i i 硼 y 18 0 3 0 6 2 d i s s e r l a l i o nf o rt h em a s t e rd e g r e ei ns c i e n c e p o s i t i v es o l u t i o n s o fn o n l i n e a r i n t eg r a le o u a t i o n sa n d n o n l i n e a rb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m sf o ro r d i n a r y c a n d i d a t e ：x ul 1 w e l s u p e r v i s o r ：y a n g z h i l i n a c a d e i m cd e g r e ea p p l i e df 0 r ：m a s t e ro fs c i e n c e s p e c i a l 够：a p p l i e dm a t h d a t eo fo r a le x a m i n a t i o n ：j u n e2 01o u n i v e r s i 够：q i n g d a o1 b c h n o l o g i c a lu n i v e r s i t ) r 硕士学位论文 非线性常微分方程边值问题和 非线性积分方程的正解 字位论又答辩日期： 指导教师签字：互绌 答辩委员会成员签字：名竺丝： 乏逖 瑚砾 捌z l ! 硕士期间完成的论文 致谢 4 6 4 7 青岛理工大学理学硕士学位论文 摘要 随着科学技术的不断发展，各种各样的非线性问题已日益引起人们的广 泛关注因此研究非线性问题的学科一非线性分析，是现代数学中既有深刻理 论意义，又有广泛应用价值的研究方向，从而成为现代数学中的重要研究方向 之一 非线性微分方程边值问题在自然科学和工程技术中有着广泛的应用积 分边值问题起源于物理学和化学等应用科学，包括常微分方程两点边值问题 和多点边值问题作为特殊情形 本文利用上下解方法，不动点指数理论和锥拉伸压缩不动点定理，研究了 几类非线性问题正解的存在性，唯一性及多个正解的存在性；这些问题包括积 分边值问题，非线性积分方程及2 礼阶非线性常微分方程组两点边值问题 本文共分为四章： 在第一章中，我们利用上下解方法，研究了如下二阶非线性s t u r m - l i o u 访1 1 e 积 分边值问题 z ) ，) ，+ g ( z ) 0 ) 一硒u 7 ( 0 ) 1 ) + 历u 7 ( 1 ) = ，( z ，u ) ， 片u ( r ) d q ( r ) ， 詹u ( 丁) 卵( r ) 正解的存在性和唯一性，其中p c 1 ( 【0 ，l 】，( o ，+ 。o ) ) ，g e ( 0 ，1 】，r + ) ，r + ：= 【o ，+ ) ，q t o ，屈o ，d ；+ 卢? o ( i = 1 ，2 ) ； n ，( z ，u ) = 6 i ( z ) 札啦 l = 1 对比 0 ，1 ( z ) ( t = l ，2 ，n ) 非负连续且都不恒为零，o 口1 口2 口住 o 本章推广了现有文献中的结果 关键词：积分边值问题；正解；不动点；锥；特征值；不动点指数 青岛理工大学理学硕士学位论文 a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c h n 0 1 0 阱a 1 1o v e r 铲o w i n gi n t e r e s ti nv a r i o u s n o n l i i l e 缸p r o b l e m sh a sb e e n 缸o u s e d t h u sn o i l l i n e 盯a n a l y s i s ，a i m e da ts t u d y i n g n o n l i n e a rp r o b l e m s ，i so fp r o f o u n dt h e o r e t i c a l ls i g i 】正c a n c ea n dw i d ea p p l i c a t i o n t h i s e x p l a i n st h er e a s o nw h yi th 硒b e c o m e 锄o n gt h em o s ti m p o r t a n td i r e c t i o ni nm o d e r n m a t h e m a 越c s b o u n d 壮y 、r a l u ep r o b l e m sf o rn o n l i n e 盯d “王e r e n t i a le q u a t i o nh a ef o u n dm a n y a p p l i c a t i o n si ns c i e n c ea n de n g i n e e r i n g c o 、r e r i n gt w 伊p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ， m u l t i p o i n tv 址u ep r o b l e m sa ss p e c i 甜c a s e s ，i n t e g r a lb o u n d a 巧p r o b l e m sf o ro r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q l l a t i o n sh a v et h e i rr o o t si na p p l i e ds c i e n c e ss u c h 觞p h y s i c sa n dc h e m i s t r y i nt h i sp a pe r 7w eu s et h em e t h o do fs u p e r s o l u t i o na n ds u b s 0 1 u t i o n ? 敝e dp o i n t i n d e xt h e o 吼a n df b c e dp o i n tt h e o r e 脚o fe 印a j l s i o na n dc o m p r e s s i o nt y p eo nac o n et o s t u d yt h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n dm u l t i p l i c i t yo fp o s i t i v es 0 1 u t i o n sf o rs o m e n o n l i n e a rp r o b l e m s ，i n c l u d i n gi n t e g r a lb o u n i l 缸yv a l u ep r o b l e m s ，s y s t e m so fn o n l i n e a ri n t e g r 2 l 1 e q u a t i o n s ，a n ds y s t e i n so ft w o - p o i n tb o u n 【a qv 址u ep r o b l e m sf o r2 n t hn o n u n e a ro r d i n a 巧d i f f e r e n t i a le q u a t i o i l s t h et h e s i si sd j 们d e di n t of o l l rc h a p t e r s i nc h a p t e ro n e ，b yu s i n gt h em e t h o do fs u p e r s o l u t i o na j l ds u b s o l u t i o n ，w es t u d y t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fp o s i t i v es o l u t i o n sf b rt h es t u r m l i o u 订u ei n t e g r 出 b o u n d 奶v 缸u ep r o b l e m ( 一p ( z ) u 7 ) 7 + g ( z ) u = ，( z ，u ) ， q o u ( o ) 一阮u ，( 0 ) = 詹u ( r ) 如( 丁) ， q 1 u ( 1 ) + 卢1 u 7 ( 1 ) = 启u ( 7 ) d 卢( 7 ) h e r ep c 1 ( 【o ：1 ，( o ，+ 。) ) ，g c ( 【o ，1 ，r + ) ，q t o ；，( z ，t ) = ：16 f ( z ) u 。4 ，w h e r e 6 ( 。) ( i = 1 ，2 ，n ) i sn o n n e g a t i v ea i l dc o n t i n u o u s ，o 口l 口2 o ，v z 【o ，1 】，o & 1 q 2 a 。 1 作者不但证明了这两个边值问题均具有唯一正解，而且 证明了：以【o ，1 】上任何不恒为零的非负连续函数为初值的迭代序列，在【o ，1 】上 一致收敛于这个唯一正解 本章运用上下解方法，研究如下二阶非线性s t u r m l i o u 、r i l l e 积分边值问题 正解的存在性和唯一性： ( 一p ( z ) u 7 ) + 口( z ) u = ，( z ，u ) ， 咖“( o ) 一阮u 7 ( o ) = 詹u ( 丁) d q ( 丁) ， ( 1 1 ) q l 札( 1 ) + 风仳，( 1 ) = 詹u ( 丁) 叩( r ) 其中p c 1 ( 【o 1 】，( o ，+ 。o ) ) ，口c ( 【o ，l 】，r + ) ，r + ：= 【o ，+ o 。) ，q i o ，夙o ，q ；+ 厮o ( i - 1 ，2 ) ；，( z ，缸) = ：1k ( z ) 让口，6 t ( z ) ( i = 1 ，2 ，n ) 非负连续且都不恒为零， o 口l 眈 口n 1 ；q ，卢在【o 1 ) 右连续，在t = 1 左连续，q ( o ) = p ( o ) = o ，且 在【o ，1 】上单调不减，詹u ( 7 - ) d q ( 丁) ，詹缸( 丁) 邶( 7 ) 分别为u 对q 和p 的r i e m a n n - s t i e l t j e s 积分我们证明了满足某个条件的任何迭代收敛序列都一致收敛于这个正解 所得结果推广和改进了郭大钧的一些结果 吃 一 象邶 ，、l 并且 青岛理工大学理学硕士学位论文 1 2 预备知识 为方便起见，记二阶微分算子l u = 一( p ( z ) 让，) ，+ g ( z ) u 本文中用到如下假设： ( h 1 ) p c 1 ( 【0 ，1 】，( o ，+ 。) ) ，口c ( 【o ，l 】，r + ) ，啦o ，觑o ，口 + 鲆o ( i = 1 ，2 ) ； ( 1 2 ) 只有零解 ( h 2 ) ，( z ，札) = 6 i ( z ) t m ，其中吼c ( o ，1 】，r + ) ( i = 1 ，2 ，) 且都不恒为零， t = l 0 口1 n l 0 ，k ：= k l 尤4 一k 2 k 3 o 引理2 ( 参见【3 j ) ：若( h 4 ) 成立，则( 1 3 ) 等价于 ，- l u ( t ) = g ( z ，! l ) ，( 秒，让( y ) ) 咖， 3 秒 札 咿 憎 励 风 一 + p 咿 青岛理工大学理学硕士学位论文 其中 g ( z ，影) ：= k ( z ，3 ，) + k 1 ( m 妒( z 土尤3 妒( z ) ) 片k ( 下，3 ，) d q ( 7 - ( 1 5 ) + k 一1 ( k 2 妒( z ) + k l 妒( z ) ) 詹k ( ly ) 帮( 7 i ) 、 为边值问题( 1 1 ) 的g r e e n 函数可知g ( z ，! ，) o ，v z 【0 ，1 】，耖 o ，l 】 以下引理在本章的证明中起着关键作用 引理3 令 t i j o ( z ) ：= g ( z ，可) 咖 其中g ( z ? y ) 为边值问题( 1 1 ) 的g r e e n 函数由( 1 5 ) 定义则对任意埘p o 】，存在 正数。埘，6 使得 口t t ，叫o ( z ) g ( z ，秒) 叫( ! ，) d 可6 埘叫o ( z ) ，v z 【o ，1 】 证明已知g ( z ，) o ，比【0 ，l 】，秒 o ，1 】取2 罢简】埘( z ) o ，则有 g ( z ，! ，) 叫( 可) d 耖6 ”伽o ( z ) ，v z 【o ，1 】 令 叫l ( z ) = g ( z ，y ) w ( 3 ，) 咖， 则由g r e e n 函数k ( z ，耖) 性质( 参见 4 】) 以及新的g r e e n 函数g ( z ，秒) 的表达式( 1 5 ) 知， 纛i 兰蠹委兰磊兰三妻；：；： f ( 一p ( z ) 伽i ( z ) ) ，+ 口( z ) 叫1 ( z ) ：伽( z ) ， 溉瓣裟鬟鬻；： 州垆z 1 酢川匆删z ) z 1 伽咖删z ) z 1 酬嘶) ，- ，0，0- ，0 4 青岛理工大学理学硕士学位论文 1 ( z ) = k ( z ，耖) 切( 可) d 3 ，+ 妒( z ) 伽1 ( 7 ) d q ( 7 - ) + 妒( z ) 加1 ( 7 - ) 卵( 7 ) ，o，0 - ，0 由表达式易知叫o ( o ) = o 铮叫1 ( o ) = o ? 枷o ( 1 ) = o 铮叫1 ( 1 ) = o 设叫o ( o ) = o 下证叫：( o ) o ( i = o ，1 ) 定义m ( z ) ：= 片k ( z ，y ) 妇由加o ( o ) = o 可以推出m ( o ) = o 由于q o m ( o ) 一岛m 7 ( o ) = o ，m 7 ( o ) o ：所以阮= o ，又q 3 + 船 o ，所以q o 0 因为q o 妒( 0 ) 一舶妒7 ( o ) = 1 ，q o 砂( 0 ) 一肺砂7 ( 0 ) = 0 ，所以妒( 0 ) 0 ，砂( 0 ) = o ，因此砂，( 0 ) o 又因为妒( o ) 詹训o ( r ) d a ( r ) = o ，所以乜( 7 ) 三o ( 若p ( 7 - ) 兰o ，则问题 为齐次边值问题，要证的结论显然成立，下设卢( 丁) o ) 所以 叫。( z ) = z 1k ( z ，可) d y + 砂( z ) z 1 叫。( 下) d 卢( 丁) ， 州z ) = z 1 脚剐州州耖+ 蜥) z 1 州丁) 卵( 丁) m ( o ) = 0 冷m 7 ( o ) o ，又妒7 ( o ) o 所以叫：( o ) o ，t = o ，1 同理可证：若训o ( 1 ) = o ， 删1 ) o ，且 证毕 州z ) z 1 g ( 础) 岫) 机 1 3 主要结果 显然，t d 2 【o ：1 】为边值问题( 1 1 ) 的正解，等价于u p o 为下列积分 方程的解： ，1 t ( z ) = g ( z ，秒) ，( 秒，秕( 秒) ) d 秒 ，0 其中g ( z ，y ) 为边值问题( 1 1 ) 的g r e e n 函数设e = c ( o ，1 】，r ) ，l iu1 1 2 焉瑟1u ( z ) i ， p = _ u e ：让( z ) 2o ，v z 【0 ，1 m 则( e ，1 1 ) 为实b a n a c h 空间，p 是它的一个 锥定义： ，l a u ( z ) = g ( z ，y ) ，( 耖，u ( y ) ) d y ，0 显然，a 为映p 入p 的全连续算子，于是边值问题( 1 1 ) 的正解的存在性及个 数问题归结为算子a 的正不动点的存在性及个数问题 定理1 若( h 1 ) ( h 2 ) ( h 3 ) ( h 4 ) 满足，则边值问题( 1 1 ) 恰有一个正解u c 2 ( o 1 】， 2 + ) 满足u ( z ) o ，比( o ，1 ) 5 青岛理工大学理学硕士学位论文 证明先证明边值问题( 1 1 ) 至少有一个正解注意到f ( z ) o ，v z ( o ，1 ) ，其 中z p o ) 由( 1 4 ) 确定根据6 1 不恒等于零及引理3 ，存在6 o 使得 z 1g ( z ，蜘( 鲥( 耖) 曲邳( n 取正数：6 南，令u o ( z ) ：g f ( z ) ，则 a t o ( z ) = j 孑g ( z ，! ，) ，( y ，e 2 ( y ) ) d ! ， = 片g ( z ，3 ，) 冬16 ( 可) 【e f ( ) 】。t 句 片g ( z ，3 ，) 6 1 ( 耖) 口- j 口- ( 3 ，) 咖 e 口- 片g ( z ，钞) 6 1 ( ) f ( 秒) 咖 e 口1 6 z ( z ) = 2 ( z ) = t 正o ( z ) ， 即u o ( z ) 为a 的下解令g = 四够p = m a x g ( z ，y ) ：o z ，y l 】- o 取正 l 气z 、n 数m 使得m 册：1m 啦，令如( z ) = m ，则 a 如( z ) = 片g ( z ，) ，( 可， ( 秒) ) 咖 = 片g ( z ，可) 警16 ( 可) ( o ( 妙) ) 。t 咖 冬口詹g ( z ，秽) ：1m 啦由 册翟1 m 凸 仇= u o ( z ) ， 所以如( z ) 为a 的上解易知a 为p 中的增算子，又a 为全连续算子，由引 理1 知a 在d = ，如】中必有不动点，即边值问题( 1 1 ) 至少有一个正解u c 2 ( 【0 ，l 】，t + ) ，满足u ( z ) o ，v z ( o ，1 ) ， 再证明正解的唯一性设边值问题( 1 1 ) 有两个正解u 1 ，砚，则 ，1 f 1 ( z ) = g ( z ，秒) ，( 可，u l ( 可) ) d 可， ，0 ，1 咙( z ) = g ( z ，秒) ，( ，u 2 ( 耖) ) 咖 ，0 由引理3 ，存在正数玩口i ( i = l ，2 ) 使得 口1 t 上，o t ，1 6 1 叫o ，口2 叫o 口2 6 2 伽o 所以口2 眢u 1 令p o ：= s u p o ：忱p u l 】则肋 o ，秽2 p o u l 下证肋1 反证，假设加 l ，由u 2 p o 秒1 ，得 吲z ) z 1 ，砌? 舢，( 州咖 6 青岛理工大学理学硕士学位论文 令9 ( z ) = ，( z ，p o 1 ( z ) ) 一肋，( z ，u 1 ( z ) ) ，则由o p 1 ，o o 使得u o ( z ) = m ：叫o ( z ) = f ( z ) 分别为a 的上解和下解，且叫o 缸1 = a 如如从而根据a 为增算子，对任何正整数几，有 a “叫o u n a “u o 由定理1 唯一性的证明可知 t t j o ) ， a n 如) 在【o ：1 】上分别一致收敛于( 1 1 ) 的一个 正解，而( 1 1 ) 有唯一正解u 4 ( z ) ，所以 u n 】在【o ，1 】上一致收敛于u ( z ) 1 4多项式型两点边值问题的正解 三三；圣三董誊三三：八曩? c ，6 ， 7 青岛理工大学理学硕士学位论文 应用本章建立的定理1 3 ，有如下结果： 定理3 若( h 1 ) ( h 2 ) 满足，则边值问题( 1 6 ) 恰有一个正解u c 2 ( 【o ，1 】，r + ) 满 足u ( z ) 0 ，v z ( o ，1 ) 定理4 若( h 1 ) ( h 2 ) 满足，则边值问题( 1 6 ) 存在唯一正解u 4 ( z ) 对任意u o p o ) ，( z ，让o ( z ) ) 不恒为零，令 ，1 也竹( z ) = k ( z ，秒) ，( 可，u n 一1 ( ) ) d 笋，n = l ，2 ，3 ， ，0 则迭代序列 u n ( z ) 】必在【o ，1 】上一致收敛于u ( z ) 注本章研究的问题与郭大钧所研究边值问题的不同之处在于：郭大钧教 授在文 1 中，为了证明边值问题( 1 1 ) 正解的存在性，需要如下条件：至少有一 个6 如满足6 i 。 o ，妇【0 ，l 】而在本章中，由于建立了关键的引理3 ，将这个条件 减弱为：只要6 t ( z ) 连续非负且不恒为o ；另一方面，本文把二阶微分算子推广 为s t u r m l i o u v i l l e 微分算子，把两点边值条件推广为更为一般的积分边值情况 本章还证明了：满足某个条件的任何迭代收敛序列都一致收敛于这个正解，从 而本章所得结果推广和改进了郭大钧的结果 8 第二章非线性s t u r m l i o u v i l l e 积分边值问题的正解 2 1 引言 二阶常微分方程两点，多点边值问题，积分边值问题的非平凡解的存在性 和正解的存在性问题已被广泛地研究文f 3 ，7 1 3 建立了非平凡解的存在性的 一些结果，而文【1 4 2 1 】则建立了正解的存在性的一些结果 在上一章中我们研究了非线性项为多项式型的二阶非线性s t u r m - l i o u 、r i l l e 积分边值问题( 1 1 ) ，运用的方法为上下解方法上一章的结果要求非线性项为 递增的连续函数，还要求有上下解显然这是一个较强的条件，只能适用于次 线性问题，而不能适用于超线性问题受文献【3 】启发，本章构造新的g r e e n 函数， 用不动点指数理论研究如下二阶非线性s t u r m - l i o u v i l l e 积分边值问题： ， l ( 一p ( z ) u 7 ) 7 + q ( z ) u = 夕( z ) ，( z ，乱) ， q o 让( o ) 一凤钆，( 0 ) = 詹u ( 7 ) d a ( 7 - ) ， ( 2 1 ) l， iq 1 u ( 1 ) + 历u ”) = 片u ( 丁) 妒( 7 - ) 其中p c 1 ( 【o ，1 ，( o ，+ ) ) ，g c ( 【o ，1 】，r + ) ，r + ：= o ，+ 。) ，c ( 【o ，1 】r + ，r + ) ，夕 c ( 【o ，1 1 ，r + ) ，且q 2o ，履o ，q ；+ 掰o ( t = 1 ，2 ) ；口，卢在【o ，1 ) 右连续，在t = 1 左连 续，且在 0 ，1 】上单调不减，q ( o ) = 卢( o ) = o ，詹让( 7 - ) d q ( 下) ，露u ( 丁) 叩( 丁) 分别为u 对q 和卢的础e m a n n s t i e l t j e s 积分我们建立了超线性和次线性条件下正解的存在性 和多解的存在性问题 2 2 预备知识 由第一章，我们己知( 2 1 ) 的解等价于u c ( f o ，1 】) 可以表示成 u ( z ) = z 1k ( z ，可) 9 ( ) ，( y ，缸( 秒) ) 匆+ 妒( z ) z 1u ( 丁) d q ( r ) + 妒( z ) z 1 u ( 丁) 蜓r ) u ( z ) = k ( z ，可) 9 ( ) ，( y ，缸( 秒) ) d 秒+ 妒( z ) u ( 7 - ) d q ( 7 ) + 妒( z ) u ( 7 _ ) 蜓7 ) ，0，o - ，0 而u c 2 【0 ，1 】为边值问题( 2 1 ) 的正解，等价于u p o ) 为下列积分方程的 解： u ( z ) = g ( z ，y ) 9 ( 耖) ，( y u ( y ) ) 由 其中g ( z ，耖) 为边值问题( 2 1 ) 的g r e e n 函数，由( 1 5 ) 式确定设e = c ( 【o ，1 】，r ) ， | | ui i = 焉嚣1u ( z ) i ，p = 乱e ：u ( z ) o ，v z 【0 1 】) ，则( e ：”1 1 ) 为实b a n a u c h 空 间，p 是它的一个锥定义 ( a “) ( z ) = g ( z ，y ) 9 ( 耖) ，( 可，u ( 剪) ) 咖 9 青岛理工大学理学硕士学位论文 ( b 札) ( z ) = g ( z ，y ) 夕( ! ，) u ( 可) d y ：( b 4 u ) ( 3 ，) = g ( z ，耖) 9 ( ) 口( z ) d z ，o，0 显然，a 为映p 入p 的全连续算子边值问题( 2 1 ) 的正解的存在性及个数问题 归结为算子a 的正不动点的存在性及个数问题b ，b ：p _ p 为全连续正线 性算子，且r ( b ) = r ( b 。) 0 ，从而依据k r e i n r u t m a j l 定理，存在u p o 】- ，g p o ) 满足 b u = r ( b ) u ，b + g = r ( b ) g ，口( t ) 出= 1 ( 2 2 ) - ，0 ( 2 2 ) 后两个式子可等价写为 ，1，1 ，( b ) g ( 耖) = g ( z ，耖) 9 ( 可) g ( z ) d z ， g ( z ) c b = 1 ( 2 3 ) ，0，0 记入1 = l r ( b ) 0 本章用到如下假设： ( h 1 ) p c 1 ( o ，1 】，( 0 ，+ 。) ) ，q c ( 【0 ，1 】，r + ) ，c ( 【o ，l 】r + ：r + ) ，9 c ( 【o ，1 】， r + ) ，q t o ，尻o ，q ；+ 辟o ( i = 1 ，2 ) ；并且 只有零解 令 l u = 0 q o u ( 0 ) 一励让( o ) = o ， q 1 u ( 1 ) + 历u 7 ( 1 ) = 0 ， = 一z 1 删q m ：= 小r m 丁) k 3 ：= 妒( 7 1 ) d p ( 7 - ) ，c 4 ：= 1 一妒( 7 ) d 卢( 7 - ) j 0，0 我们假设畅( t = 1 ，27 3 ，4 ) 满足如下条件： ( h 2 ) ，c 1 07 圪4 o ，k ：= k 1 咒4 一托2 k 3 0 ( h 3 ) 衄驾粤 入l 关于z 【0 ，l 】一致成立 ( h 4 ) 再驾粤 a 1 关于z 【07 l 】一致成立 ( h 6 ) 砸畿粤 o 使得，( z ，) o 1 0 青岛理工 引理1 ( 参见【5 ，6 ，2 2 ，2 3 】) ：设 在u ，o p o 使得 伽一a 叫a 加o ，v a 0 ，硼a qnp 则l ( a ，q np ，p ) = o ，其中i 为锥p 上的不动点指数 引理2 ( 参见【5 ，6 ，2 2 ，2 3 】) 设qce 为有界开集，o q ，a ：豆np p 全连 续，在a qn 户上没有不动点若i f a 训l i 川i ，a qnp ，则i ( a ，qnp ，p ) = 1 引理3 ( 参见 5 ，6 ，2 2 ，2 3 】) 若u 入a ，讹a ，a 【o ，1 】，则i ( a ，q ，np p ) = 1 引理4 如果( h 1 ) 成立，则存在m c ( 【o ，1 】，r + ) ， c ( 【o ，1 ，r + ) ，使得 k ( z ，耖) m ( z ) k ( 7 ，可) ，v z ，! ，7 - 【o ? 1 】 g ( z ，y ) ( z ) g ( 7 i ，y ) ，v z ，3 ，7 【0 ，1 】 证明( 参见【2 4 】) 存在m c ( 【0 ，l 】 旷) ，使得 k ( z ，y ) m ( z ) k ( 7 ，可) ， vz ，可，7 - o ? 1 】 令 ( z ) = m i n ( m ( z ) ，懈，黼) ，则由( 1 5 ) 得 g ( z ，可)= k ( z ，秒) + 七一1 ( 妒( z ) + 七3 妒( z ) ) 詹k ( 7 - ，) d q ( r ) + 七一1 ( 七2 妒( z ) + 惫1 砂( 。) ) 片k ( 7 ，耖) 卵( 7 - ) m ( z ) k ( 7 - ，y ) + 七- 1 ( h 懈妒( 7 ) + 七3 槲妒( 7 ) ) 片k ( 7 ，3 ，) d n ( r ) + 七一1 ( 七2 最鼾妒( 7 - ) + 浠妒( 7 ) ) 詹k ( 丁，) d p ( r ) ( z ) ( k ( 7 - ，耖) + 七一1 ( 4 妒( 丁) + 乜妒( 1 - ) ) 片k ( 7 ，! ，) d q ( 7 ) + 七一1 ( 七2 妒( 7 ) + 七1 矽( 7 - ) ) 片k ( r ，可) d p ( 7 - ) ) = ( z ) g ( 丁，耖) ，vz ，秒，7 - 【o ，1 】 结论得证 令 r = 牡p ：口( z ) u ( z ) 出洲u ) ， ，g 其中口( z ) 由( 2 3 ) 确定，j = 止g ( z ) ( z ) d z o ，其中 ( z ) 由引理4 确定显然，局为e 中 的一个正锥 引理5b ( p ) c 昂 青岛理工大学理学硕士学位论文 证明由引理4 ，胤让p v7 - 【o ，1 】， 詹( b 仳) ( z ) g ( z ) 毗= 詹g ( z ) 詹g ( z ，y ) 夕( 秒) u ( 耖) 咖出 詹g ( z ) 詹 ( z ) g ( 下，秒) 夕( 可) u ( 剪) 咖如 = 6 詹g ( 7 ，y ) 9 ( 耖) u ( 秒) 咖 = 6 ( b u ) ( 7 - ) 故有詹( b 乱) ( t ) 口( t ) 出刮b 训i 结论得证 2 3 主要结果 定理1 若( h 1 ) ( h 2 ) ( h 3 ) ( h 4 ) 满足，则边值问题( 2 1 ) 至少有一个正解缸 c 2 ( 【o ，1 】，r + ) 满点己u ( z ) o ，v z ( o ，1 ) 证明由( h 3 ) ，存在e ( o ，a 1 ) 及q o 使得 令 ，( z ，u ) ( a 1 + e ) u c 、，( z ，u ) 【o ，1 】2 +( 2 4 ) = u p ：t 上= a t + 儿，a o ) ， 其中。p o ) 由( 2 2 ) 确定下证有界事实上，若u j 则存在a o 使 得u = a 也+ 刈，所以u a 乱结合( 2 4 ) 得 乱( z ) ( 入- + e ) z 1 g ( z ，y ) 9 ( 可) u ( 耖) 咖一az 1g ( z ，秒) 夕( y ) 咖 两边同乘以g ( z ) 并在 o ，l 】上积分得 z 1 乱( z ) g ( z ) 如( 1 + r ( b ) ) z 1 u ( z ) g ( z ) 如一a r ( b ) 所以詹u ( z ) 口( z ) 如譬显然，u ，则“b ( p ) ，由引理5 得扁，所以 忪吾小咖妪鲁， 所以有界取充分大的r ( r ) ，则有 u a 札+ 尬，讹a b rnp ，入0 ， 其中b r = u p ：i i | l o ，v z ( o ，1 ) 证明若( h 5 ) 成立，则存在( o ，a 1 ) 及r o 使得 ，( z ，乱) 之( 入1 + ) 让，v u 0 ，r 】，z 【o ，1 】 ( 2 8 ) 下证u a 让+ 柚，讹a 研np 入o ，其中u 由( 2 2 ) 确定事实上，若假设不成立， 则存在h a 研np 及入o 使得u = a u + a u ，所以u a u ，结合( 2 8 ) 得 u ( z ) ( a l + e ) g ( z ，可) 夕( ! ，) u ( 可) 曲 两边同乘以口( z ) 并在 o ，1 】上积分得 z 1 u ( z ) g ( z ) 如( 1 + r ( b m z 1 u ( z ) g ( z ) 出 所以詹让( z ) g ( z ) 如= o 所以u ( z ) 三o ，与u a 研矛盾所以 也a u + 入o ，讹a b ，入0 1 3 青岛理工大学理学硕士学位论文 由引理1 ， i ( a ，b ，np ，p ) = 0 另一方面，由( h 6 ) ，存在e ( o ，a 1 ) 及岛 0 使得 ，( z ，t ) ( a 1 一e ) u + q ( z ，u ) o ，1 】r + ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 下证= 2 尸：让= a a 缸，o a 1 在尸中有界若乱，则存在a ( 0 ，1 】使 得让= a a 仳，所以让a 札结合( 2 1 0 ) 得 ，1，】 t ( z ) ( a l e ) 正g ( z ，3 ) 9 ( ! ，) 仳( ) 匆+ q g ( z ，可) 9 ( 耖) 咖 ，0 - ，0 两边同乘以g ( z ) 并在f 0 ，1 】上积分得 ，1，1 正t ( z ) 口( z ) d z ( 1 一r ( b ) ) u ( z ) g ( z ) 出+ 仍r ( b ) ， - ，0 ，0 所以片u ( z ) g ( z ) 出譬显然，u ，则u b ( p ) ，由引理5 得u r ，所以 忙丢小咖如鲁， 所以有界，取足够的r ( r ) ，则u m u ，讹a b rnp 即j 与j a 在a j e i rnp 上 同伦由引理3 得 t ( a ，b 只n p ，p ) = 1 ( 2 1 1 ) 由( 2 9 ) ( 2 1 1 ) 得 i ( a ，( b r b ，) np p ) = 0 1 = 一1 从而4 在( b r 耳) np 上至少有一个不动点等价地，( 2 1 ) 至少有一个正解u ( 耳) np 定理3 若( h 1 ) ，( h 2 ) ，( h 3 ) ，( h 5 ) ，( h 7 ) 成立，则( 2 1 ) 至少有两个正解乱1 c 2 ( o ，l 】， r + ) ，乱2 c 2 ( 【o ，1 】，r + ) ，满足乱1 ( z ) o ，缸2 ( z ) o ，v z ( o ，1 ) 证明由( h 7 ) 得， ，( z ，u ) ，( z ，) 学，q ez 口o ，1 ，札【0 ，卅 a v。 后斤以( a 仳) ( z ) o ( i = 1 ，2 ) ，r ( b 1 2 ) o ，r ( b 2 1 ) o 令鲍= m a x ( 钏) g 七2 ( z ，可) o 本文中用到如下假设： ( h o ) 存在旭c ( g ) ，t = 1 ，2 在g 中几乎处处为正且满足 ( z ，y ) t ( z ) 七i ( 7 ，y ) ，v z ，丁g ( h 1 ) 存在函数p l c ( r + ，r + ) ，口1 c ( r + ，r + ) 使得 ( 1 ) p 1 为严格增凸函数，p 1 ( o ) = 0 ； ( 2 ) ，( z ，u ) p 1 ( u ) ，( z ，t 正，u ) g p p 9 ( z ，u ，u ) q 1 ( u ) ，( z ，u ，u ) g p p ； ( 3 ) 存在z 1 ( o ，1 ) ，a 0 使得 p 1 ( i g 酬蝴糟u 慨v u o _ ( h 2 ) 存在函数p 2 c ( r + ，r + ) ，q 2 c ( r + ，r + ) ，r 1 o 使得 ( 1 ) 耽为严格增凹函数； ( 2 ) ，( z ? t 正，口) p 2 ( t ，) ，v t ，u 【0 ，r l 】，z g ， 9 ( z ，u ， ) 口2 ( u ) ，v u ，u 【o ，r 1 】，z g ； 1 7 青岛理工大学理学硕士学位论文 ( 3 ) 存在f 2 1 使得 酬g ) 糟讹【0 m 】