（光学专业论文）多层介质中二能级原子自发辐射的非马尔科夫过程及角分布研究.pdf

摘要 摘要 原子的自发辐射现象是量子光学领域的基本问题之一。由于原子发生自发 辐射的时刻是无规的，因此它是光电子器件中量子噪声的来源，改变和控制自发 辐射的研究己成为激光物理与技术的热门课题。目前对自发辐射的控制的研究 大体有以下几个方面：( 1 ) 利用已有的或人工设计的环境，通过改变与原子耦合 的库实现对自发辐射的控制；( 2 ) 利用外加相干场或原子本身不同跃迁通道的量 子干涉效应改变自发辐射；( 3 ) 利用原子系统与观测器件的耦合( 量子测量) 控制激 发态的衰减；( 4 ) 其他的一些方法，如利用多个衰减态间的相互作用控制自发辐 射。本文研究在多层结构中两能级原子的自发辐射的非马尔科夫过程。 在第二章中，主要研究了多层结构中二能级原子非马尔科夫自发衰减过程 的记忆函数。按照w e i s s k o p f - w i g n e r 理论( w - w 近似) ，原子在自由真空中以指 数形式自发衰减，瞬时衰减率是常数，该结论对经过了充分长的时间后的稳态 衰减是准确的，但在原子衰减的最初几个光学周期( f s 量级) 的时间尺度上，自 发辐射的w - w 近似不再成立。理论研究表明原予的自发辐射衰减本质上是一个 与衰减“历史”有关的非马尔科夫动力学过程，瞬时衰减率是随时间变化的；在原 子跃迁的最初几个光学周期的时间尺度上，这种与衰减“历史”关联的记忆效应特 别显著，存在白发衰减加速的过程( 量子反z e n o 效应) ；这种记忆效应可以用一 个记忆函数来描述。我们用多层结构中的正交归一完备的电磁模函数展开场算 符，将电磁场量子化，得到多层结构的微腔中原子与光场的相互作用哈密顿量， 建立原子与场的动力学方程，在此基础上定义二能级原子自发辐射衰减的非马 尔科夫过程的记忆函数。我们发现记忆函数正比于原子与库的耦合谱的f o u r i e r 变换。在自发衰减的早期阶段，记忆函数急速下降，形成一定宽度的峰，该峰 的宽度代表非马尔科夫自发衰减过程的记忆时间；当反射光回到原子的位置时， 原子才感受到环境( 多层结构) 的存在，记忆函数呈现有规律的逐渐变弱的突变， 记忆效应越来越微弱。我们发现耦合谱的宽度影响记忆时间。宽的耦合谱将导 致短的记忆时间。 i l 摘要 论文的第三章主要研究了由一维多层结构( 一维光子晶体) 构成的微腔中 二能级原子自发衰减的角分布。我们将腔中与原子耦合的辐射场二次量子化后， 在w - w 近似下得到了三种典型一维有限光子晶体微腔中衰减几率随角度分布的 数值结果。结果显示衰减几率的角度分布不仅与光子晶体的结构有关，还依赖 于原子偶极矩的空间取向以及原子在腔中的位置。当原子偶极矩与微腔界面平 行时，辐射场的t e 、t m 模式对衰减率都有贡献，衰减率的角度分布是辐射场 波矢的方位角口和的函数：当原子偶极矩与微腔界面垂直时，只有辐射场的 t m 模式对自发衰减有贡献，衰减率的角度分布仅与角度0 有关，并且关于整个 一维结构的轴向旋转对称。 关键词：两能级原子，自发辐射，微腔，非马尔科夫记忆函数 本文得到导师主持的以下基金项目资助： 1 激光脉冲与光子晶体的相互作用研究国家自然科学基金( 编号： 6 0 2 6 8 0 0 1 ) ，2 0 0 3 2 0 0 5 2 光子晶体中光的辐射与传播研究江西省主要学科学术和技术带头人培养 计划项目，2 0 0 5 2 0 0 7 3 光子晶体微腔中自发辐射的非马尔科夫动力学过程研究国家自然科学基 金( 编号：1 0 6 6 4 0 0 2 ) ，2 0 0 7 2 0 0 9 i a b s t r a c t a b s t r a c t t h ea t o m i cs p o n t a n e o u se m i s s i o n ( s p e ) p h e n o m e n o ni saf u n d a m e n t a lp r o b l e m i nq u a n t u mo p t i c s s i n c et h es p o n t a n e o u se m i s s i o ni st h eo r i g i n so ft h eq u a n t u m n o i s e ，t h er e s e a r c ht oc o n t r o lt h es p eb e c o m e si m p o r t a n c ei nl a s e rp h y s i c sa n d t e e h n o l o g y t h e r ea r es o m em a i na p p r o a c h e st oc h a n g et h es p e ，f o re x a m p l e ，( 1 ) c h a n g i n gt h ec o u p l i n gs p e c t r u mb e t w e e nt h ea t o ma n dr e s e r v o i r ；, ( 2 ) u s i n gt h e q u a n t u mi n t e r f e r e n c ee f f e c tb e t w e e nt h ed i f f e r e n tt r a n s i t i o nc h a n n e l s ；( 3 ) b yt h e q u a n t u mm e a s u r e m e n t i nt h i sp a p e r , w es t u d yt h en o n - m a r k o v i a ns p o n t a n e o u s e m i s s i o np r o c e s so fat w o l e v e la t o me m b e d d e di ns t r a t i f i e dm e d i u m i nc h a p t e r2 ，w ei n v e s t i g a t et h en o n - m a r k o v i a nm e m o r yf u n c t i o no f at w o l e v e l a t o me m b e d d e di nm u l t i l a y e r e dm e d i a a c c o r d i n gt ot h ew e i s s k o p f - w i g e rt h e o r y , t h es p o n t a n e o u se m i s s i o nd e c a yi nt h ef l e es p a c ei sf o l l o w i n ga l le x p o n e n t i a ld e c a y l a ww i t l lt h ec o n s t a n td e c a yr a t e t h i sc o n c l u s i o ni ss u i t a b l ef o rt h es t a b l ed e c a ya f t e r s u f f i c i e n t l o n gt i m e i n t h ei n i t i a ls t a g eo ft h es p e ，t h ep r o c e s si si nf a c ta n o n m a r k o v i a np r o c e s s s ot h ew wa p p r o x i m a t i o ni sn o tt r u e w ef i n dt h a ti nt h e e a r l ys t a g e , t h es p o n t a n e o u sd e c a yp r o c e s si sd e p e n d e n to nt h eh i s t o r yo fs p ea n d t h ei n s t a n t a n e o u sd e c a yr a t ei saf u n c t i o no ft h et i m e i nt h ef i r s ts e v e r a lo p t i c a l c y c l e so ft h ea t o m i ct r a n s i t i o n , t h em e m o r ye l = f e e ti nt h es p ec 觚n o tb en e g l e c t e d t h i sm e m o r ye f f e c tc a nb ed e s c r i b e db yan o n - m a r k o v i a nm e m o r yf u n c t i o n w eu s e a c o m p l e t es e to fm o d ef u n c t i o n sf o rt h em u l t i - l a y e r e dm e d i at oq u a n t i z et h ef i e l d ， a n ds o l v et h ed y n a m i ce q u a t i o no ft h es p ed e c a y t h en o n - m a r k o v i a nm e m o r y f u n c t i o ni sd e f i n e dt od e a lw i t ht h es p o n t a n e o u se m i s s i o no fat w o l e v e la t o m e m b e d d e di nt h em u l t i l a y e r e dm e d i a i ti ss h o w nt h a tt h em e m o r yf u n c t i o ni sr e l a t e d t ot h ef o u r i e rt r a n s f o r mo f t h er e s e r v o i rc o u p l i n gs p e c t r u m i nt h ee a r l ys t a g eo f t h e s p e ，t h em e m o r yf u n c t i o nf a l l sd o w nq u i c k l yf r o mas h a r pp e a k t h ew i d t ho ft h i s p e a kd e s c r i b e st h em e m o r yt i m ei nt h en o n m a r k o v i a ns p ep r o c e s s w h e nt h es p e f i e l dg o e sb a c kt ot h ea t o m ，t h ea t o mf e e l st h ep r e s e n c eo f t h ee n v i r o n m e n t , t h e r ea r e a b s t r a c t s o m ep u l s e - l i k es u d d e nc h a n g e sa r i s i n gi nt h em e m o r yf u n c t i o n ，a n dt h ea m p l i t u d e s b e c o m ew e a kw i t ht i m e , s ot h em e m o r ye f f e c tb e c o m e sm o r ea n dm o r ef a i n t w e f i n dt h a tt h em e m o r yt i m ed e p e n d so nt h ew i d t ho ft h er e s e r v o i rc o u p l i n gs p e c t r u m t h ew i d e rt h es p e c t r u mi s ，t h es h o r t e rt h em e m o r yt i m e i nc h a p t e r3 ，t h ea n g u l a rd i s t r i b u t i o n so fs p ed e c a yr a t eo fat w o - l e v e la t o m p l a c e di nt h em u l t i - l a y e r e ds t r u c t u r ei si n v e s f i g a t e d i nt h es t a b l ed e c a ys t a g e ，b a s e d o nt h ew e i s s k o p f - w i g e ra p p r o x i m a t i o n , w eg e ts o m en u m e r i c a lr e s u l t s0 nt h e a n g u l a rd i s t r i b u t i o n sf o rt h ed e c a yr a t ei nt h em i c r o - c a v i t yo f t h r e ec l a s s e si d p c s i t i ss h o w nt h a tt h ea n g u l a rd i s t r i b u t i o n so fs p ed e c a yr a t ei sd e t e r m i n e db yt h e s t r a c t u r eo f1 d p c ，t h eo r i e n t a t i o no ft h ea t o m i cd i p o l em o m e n ta n dt h ep o s i t i o no f t h ea t o mi nt h ec a v i t y i ft h ed i p o l em o m e n ti sp a r a l l e lt ot h ei n t e r f a c eo ft h es l a b s ， b o t ht ea n dt mc o m p o n e n t so ft h ee m i s s i o nf i e l dc o n 仃i b m et od e c a yr a t e ，a n d a n g u l a rd i s t r i b u t i o n si saf u n c t i o no ft h ea n g l e 口a n d 西i ft h ed i p o l em o m e n ti s a l o n gt ot h en o r m a lo ft h ei n t e r f a c e s ，t h ed e c a yr a t ei sc o n t r i b u t e do n l y b yt m c o m p o n e n to ft h ef i d d , a n da n g u l a rd i s t r i b u t i o n sd e p e n do nt h ea n g l e0a n dh a v e s y m m e t r ya r o u n dt h ea x i sn o r m a lt ot h ei n t e r f a c e so f t h e1 d p cs t r u c t u r e k e yw o r d s ：t w o l e v e la t o m ，s p o n t a n e o u se m i s s i o n , m i c r o - c a v i t y , n o n - m a r k o v i a n m e m o r yf u n c t i o n v 学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得直昌友堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名( 手写) ：京1 眵社签字日期：抄、游2 月上孑日 。 i 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解直星太堂有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权直昌盍堂可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信启、研究 所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向 社会公众提供信启、服务。 ( 保密的学位论文在解 学位论文作者签名：旁j 钦幂 签字目期：z 卵7 年2 月2 暑日 红j 月3 白 第1 章绪论 第1 章绪论 l 。l 原子与辐射场的相互作用 量子光学是一门运用量子理论研究光与物质相互作用的学科。原子体系与 辐射场的相互作用是量子光学领域的基本问题，光的发射和吸收是原子与辐射 场相互作用所产生的现象。在初等量子力学范畴内，原子被看作量子体系，而 辐射场仍然是遵守麦克斯韦方程组的经典场，该半经典理论能解释原子对光的 受激辐射与受激吸收等现象，但不能解释原子的自发辐射现象。直到1 9 2 7 年， 狄拉克将电磁场量子化，把原子和辐射场作为统一的量子体系加以研究，才完 满地解释了原子自发辐射现象【6 5 】。自此，光与物质相互作用的很多现象都能给 予理论解释，例如，原子布居数的周期性坍塌与回复f 6 3 6 4 j ，光子的局域化 1 9 2 - 0 1 ， 光子原子束缚态2 1 2 2 2 6 , 5 2 】等。 按照狄拉克的辐射理论 6 5 , 6 6 】，原子光场系统的哈密顿量可以写成： 日= h + 日，- 4 - v ( 1 1 ) 式( 1 ，1 ) 中，日，是没有原子时量子化无源辐射场的哈密顿量，可表示为， 日f = j l k ( 口二2 口置 + ) ( 1 2 ) f 五 厶 它是无穷多模式为( j f ，旯) 的光子的能量之和，其中口厶肌) 是伍，a ) 光子的产生 ( 湮灭) 算符，纨是光场频率；上l 是没有光场时孤立原子的哈密顿量，引入原 子跃迁算符= i f ) i ( 这里的f ，) 满足z f ，) = 互f 0 和，i 伙引= 1 ) ，够。可写成， 日。= h 。l i ) ( i i = e ，f i x i | = e ，盯。 ( 1 3 ) ili 在偶极近似下，原子与光场的相互作用哈密顿量表示为， 第1 章绪论 上式中，耦合系数 ( 1 4 ) g 幺纯) - ( - 争b ，也( ( 1 5 ) 这里，筑= e ( i r j ) 是原子的电偶极跃迁矩阵元，占。是场的伍，丑) 模式极化方 向的单位矢，【( ) 是一组用来展开电场算符的正交归一完备模式函数， 蟊= ( h c a 。2 e o v ) 啦是归一化系数。在大量的实际问题中，会碰到二能级原予模 型，即其状态仅有激发态i 口) 和基态| 6 ) ，此时的哈密顿量( 1 1 ) 简化成， = 芝弛哆吼+ 妇锡呸+ 卉瑟g + 正膨纯) + 爵化) ( 1 6 ) 瓜 肠 相应的耦合系数变成g ；也) = 磊，屯眈) 壳，是二能级原子的偶极矩( 电 偶极跃迁矩阵元) ，( - 0 a 是原子的跃迁频率，盯：是满足1 2 自旋代数的泡利矩阵 算符吒是用泡利矩阵定义的上升与下降算符。 注意到式( 1 6 ) 中的相互作用哈密顿量展开后共有四项，a ；c a c r 一项描述原子 从激发态跃迁到基态并产生一个光子的过程，口。t 项描述原子从光场中吸收 一个光子由基态跃迁到激发态的过程，j 面a g a o 一代表原子从激发态跃迁到基态 并湮灭光子的过程，口乙盯+ 代表原子从基态跃迁到激发态并吸收光子的过程。 前两个过程在翻kz 吃的近共振情况下，系统的能量守恒，是产生实光子的过 程；而后两项对应的过程导致系统能量不守恒，代表虚光子过程。在许多情况 下，虚光子过程的影响极小，可略去后两项，即所谓的旋波近似，二能级原子 与辐射场的相互作用哈密顿量变为 2 + 肌 口 q 仆川以 p 从 l p 肌 ， 崩 肌柑p纯 、， 五醵 忸肌 盯， 一 疗 = = y 第1 章绪论 y = 乏：壳k ：( 屹) c r + 口戤+ g ：( ) 吐c r - 】 ( 1 7 ) 肚 1 2 自由空间原子自发辐射的w e i s s k p o f - w i g n e r 理论 原子的自发辐射，就是处于激发态的原子自发地从激发能级跃迁到低能级 并放出光子的过程，本质上是原子与真空中无穷多电磁场模式相互作用的结果， 是一个不可逆的自发衰减过程。在衰减过程中，由于辐射场对原子有反作用， 致使原子能级展宽，并使得原来的能级移位；由于原子自发辐射的时刻是无规 的，它是也量子噪声的来源【6 5 】。下面以自由真空中二能级原子为例，叙述原子 自发辐射的w e - i s s k o p f - w i g n e r 理论。 取相互作用表象，设原子光场系统的能量本征态分别为i a , o ) 和l b , 1 。) ，其 中i a , o ) 表示原子处在激发态而场中无光子的态， 6 ，1 。) 表示原子处于基态而场 中有一个( 置，a ) 光子的态，那么原子光场系统的任意时刻的态矢可表示为， l 缈，( f ) ) = e ( f 】口，o ) + c o ( r 粉“) ， ( i 8 ) “ 而相互作用哈密顿量( 1 7 ) 变为 巧( f ) = 壳k ：化h 口k l , e t ( t a x 嘶+ h c j ( 1 9 ) 根据笛h 丁解足碍刀程 学= 一言巧( ，】小) ) 可得原子光场系统的动力学方程， 皇蚴d：一fg；纯一唧吨(r)t 钉“ 7 丛：盟塑：卜f牯：()。，他c口o)dt “。 。、 对于原子的自发辐射问题，几率幅满足的初始条件为， c 。( o ) ：1 ，c b 。：( o ) = 0 3 坳 m 协 聊 0 o 0 0 第1 章绪论 方程( 1 1 2 ) 中的g 。( ，) 在( 1 1 3 ) 中的第二个初始条件下可写成， ， c h x a ( t ) = ( - i ) g ：( r o ) j 破。e ( f ) ( 1 1 4 ) 0 将方程( 1 1 4 ) 带回方程( 1 1 1 ) 司得二能级原子自发衰减的动力学演化方程， 一d c o ( t ) d t 旦2 胁- f ，k 咐 ( 1 - 1 5 ) 、7 、。 其中 f o ) = ；陂化】2 e 如训卅 ( 1 1 6 ) 被称为记忆( 关联) 函数，上式中的r 0 是二能级原子在自由真空中的自发衰减率。 方程( 1 1 5 ) 表明，系统在f 时刻的几率幅变化率d 乞( t ) d t 不仅与当前时刻的几率 幅有关，还与之前所有时刻的几率幅都有关。这说明原子的自发辐射衰减本质 上是一个与历史有关的过程，这种历史的关联( 记忆效应) 正是通过记忆函数 f ( f f ) 发生的。利用公式 善一击擅= 画i 如r 嚏f 撒。) ( 1 ，) 记忆函数的表达式变为 f ( f - f ，) ：三j 厂如础卅呶 ( 1 1 8 ) 石： 上式积分号下的厂0 。) 是原子与库( 环境) 的耦合谱函数，其表达式为 厂k ) 2 i 茜努施弘纯】2 ( 1 1 9 ) 这样方程( 1 1 5 ) 可改写为 型尘：一是阱呶胞沙础一，) c 口o ，) (120)d t 。幼0 “ ”7 4 第1 章绪论 为求解微分一积分方程( 1 2 0 ) ，通常采用w e i s s k o p f - w i g n e r 近似( w - w 近 似) 嗍。假设库的耦合谱厂0 。) 在原子跃迁频率处是个缓变函数，并且注意 到积分号内指数因子在n k - - - - ( 0 a 处有一很锐的峰值，令厂k ) = ，( 酰) 并将其提出 脚。的积分，利用公式 f 0 砌，k 1 。k 姆f 0 蛾p “ 诎”“甜谢( 卜f ，) 计高 ( 1 2 1 ) ， 方程( 1 1 8 ) 表示的记忆函数约化为， 砖非胞脚廿沪鹈 ( 1 z z ) 其实都为占函数，表明没有记忆时间。略去上式右边与能级移动相联系的虚部， 自发衰减的动力学方程( 1 1 5 ) 简化成， d c o ( o ：一r c 。( o (123)dt2 其衰减率r 是一个与时间无关的常数，在真空中f = r 0 。 1 3 平面微腔与光子晶体中原子的自发辐射 1 9 8 0 年，l u k o s z 在研究多层结构中的自发辐射问题时，就指出不论是电偶极 还是磁偶极，自发辐射率依赖于环境即夹在两边的介质的光学性质【s 】。1 9 9 1 年 m a r t i n i 考察了两面间隔光波长量级的平行的平面镜组成的微腔 9 1 ，构造了一组在 整个三维空间( 腔内腔外) 包括两种极化在内的完备的正交模式函数集，用该函数 集展开电磁场并量子化，导出了自发辐射衰减率公式，计算了偶极子沿不同方 向和不同腔构型条件下的衰减率，结果与以下的实验相符合：衰减信号为非指 数形式，超辐射与受激辐射之间的竞争。1 9 9 6 年，d u t r a 研究了表面是部分反射 面的平面f p 光学微腔中场的模式【1 0 】，计算了放入其中的原子激发态的衰减率， 自发辐射的角分布，腔场真空涨落的角分布以及辐射场的输出。而r i g n e a u l t 和 m o 加e i 试则将堆层中的平面波叠加得到了一组完备的腔模【l ”，分析了平面微腔 5 第1 章绪论 的自发辐射模式，发现大量的光能通过导模从腔中辐射出去。t a k a h a s h i 和o j i h a r a 在1 9 9 7 年经由一个单层电介质组成的腔模型【1 2 】，得到了依赖于原子位置的辐射 强度和辐射谱的表达式，用非微扰方法分析了原子激发态的几率幅并导出了几 率幅的演化方程。2 0 0 0 年，y o n gx u 和y a r i v 的研究小组从矢势算子的量子麦克斯 韦方程出发【”】，研究了二能级原子与各向异性无损介电腔中的电磁场相互作用 的自发辐射性质，用经典格林函数表示外量子效率，自发衰减率和自发辐射因 子。与相应的经典结果比较后，发现能通过偶极子辐射场的经典形式得到上述 各量，并进一步数值计算了微腔中自发辐射的修正。另一方面，电磁场的有限 时域差分法( f d t d ) 也常被用来研究腔中原子自发辐射【1 7 , 1 8 j e o n g - k ih w a n g 采 用该方法【撼】，在自由空间边界条件下直接求解实空间麦克斯韦方程，得到了微 腔中偶极子的自发辐射率，该方法的优点是一开始就计入了所有的允许存在的 模式( 局域模，导模和扩展模) 。y o n gx u 和y a r i v 的研究小组【l q 也采用有限时域 差分法探索了腔中经典电动力学和量子电动力学的类似性，他们的方法适用于 计算任何几何形状的腔的自发辐射率和自发辐射因子，并且包含了光源的辐射 谱和电磁模的衰减等因素。在假定辐射谱是洛仑兹线型的条件下，他们用该算 法计算了微盘形介质腔的自发辐射性质，发现腔中存在一些“回音廊”形状的模 式，这些模式强烈地改变了该腔的自发辐射率和自发辐射因子。 光子带隙( p b g ) 材料的出现，为原子的自发辐射研究开拓了一个新领域。 1 9 9 0 年，j o l l i l 和w a n g 详细研究了具有完全带隙或赝带隙的光子晶体( p c s ) 中的氢 原子和分子与光子相互作用的量子光学现象【2 1 盈】，比如，当氢原子的跃迁频率处 于光子禁带中，原子光子系统存在一个稳定的原子一光子束缚态；当带隙宽度 约为中心频率的5 时，光子的定域化长度大于等于1 0 倍的光子晶体晶格常数： 当跃迁频率接近光子带边时，定域的原子辐射场对原子强烈的自缀饰作用导致 反常兰姆位移( l s ) 以及激发态能级分裂成两个能级。与原子在真空中自发衰减呈 指数形式不同的是，原子在光子晶体带边的自发衰减存在振荡行为( 2 孙。而b a y 在 1 9 9 7 年研究了两个相距很近的原子通过光子晶体带边发生相互作用，发现靠近 带边的原子跃迁频率强烈地改变了两原子的共振偶极相互作用j 。1 9 9 9 年，j o h n 及其合作者进一步研究了光子晶体中自发辐射的相干控制【2 让“，他们的模型是， 6 第1 章绪论 用一个泵浦激光与一个共振频率接近光子带边的原子相互作用，由于光局域在 原子附近，原子获得了稳定的非零布居数，这样的系统可用于原子尺度的光记 忆装置，并为量子计算中的量子比特编码提供依据。带边附近的原子集体辐射 现象是一个有趣的问题，1 9 9 8 年，j o h n 在文献【27 】中研究了n 个跃迁频率靠近光子 晶体带边的原子的集体辐射，在较低的初始激发态布居数极限下，该体系辐射 谱和布居数明显不同于真空中的情况，而在较高的初始激发态布居数极限下， 则暗示存在稳定的宏观的原子极化；另一方面，由于辐射动力学的非马尔科夫 记忆效应，接近带边的均匀展宽与自由空间显著不同，而且非马尔科夫真空涨 落产生一个带有随机相位的部分相干的稳定极化。 尽管一维光子晶体的结构较简单，但人们一直对其中的原子自发辐射现象 有着浓厚的兴趣。1 9 9 2 年，d o w l i n g 和b o w d c n 用经典电动力学方法处理了周期性 非均匀电介质中的偶极辐射问题【2 9 1 ，得到的结果与全量子计算结果完全相同， 并将该方法应用于一维平面腔中以及k r o n i g - p e n n e y 模型中的偶极子辐射，发现 辐射率是一个依赖于偶极子频率和位置的函数，当频率处于光子带边时能量的 输出比真空中大很多。1 9 9 3 年，t o m a s 导出了吸收性多层体系中平面波展开形式 的格林函数【3 0 】，该形式能够方便地描述实际的腔和层状结构中的光学过程，作 者认为该方法也是研究吸收腔中自发辐射的有效途径。 1 9 9 9 年，a l v a r a d o r o d r i g u e z 的小组研究了狄拉克梳模型中偶极辐射t e 极化 的能量辐射问题和态密度 3 1 3 2 1 ，他们的计算基- 于d o w l i n g - - b o w d c n 所发展的非均 匀电介质中的经典辐射理论，研究发现辐射的能量可用一个积分表示，在带边 附近，沿轴向传播的辐射能谱呈间断的倾斜形状，并且强烈地依赖于偶极子的 位置和梳的“光栅强度”，在低频区域能量达到峰值，并且该处的辐射比真空强烈 得多。z u r i t a - s a n c h e z 接着研究了狄拉克梳模型中偶极辐射t i m 模的带结构，等频 率面和态密度【3 3 1 ，研究发现，对于很大的频率或“光栅强度”，等频率面退化为 一族以晶体轴线为中心的同心圆柱面，任何频率处的态密度相对于真空的情况 有明显的增强，带边附近的态密度曲线也呈现出间断倾斜形状。2 0 0 2 年，w u b s 与l a g e n d i j k 研究了由任意层数平行介电反射面构成的光子晶体，运用多重散射 的t 矩阵方法得到了该类光子晶体中辐射场的格林函数解析表达式，找到了所有 7 第1 章绪论 的传播模和导模，研究了导模的色散关系和传播模与导模的模密度，发现导模 出现在与第一禁带相联系的频率附近【川。而b r u e c k 等人则用严格的赫兹矢量公 式处理多层平面介电薄膜的边界条件，以此为基础研究了该型多层结构中的偶 极子辐射，计算了远场近似下的偶极子辐射场：堆层内的二维束缚模式和堆层 外的三维辐射模式，并且发现对称结构支持二维和三维辐射场而反对称结构只 支持三维辐射场，这些计算结果能适用于范围广泛的固态光子器件p ”。 2 0 0 3 年，s e v e r i n i 的研究小组将一维有限光子晶体当作一个两边开放的光学 腔来处理 3 6 3 7 】，并将其与( 外部) 的电磁辐射场组合成一个封闭系统。他们用准 正规模描述有限光子晶体中的电磁场，将准正规模二次量子化并引入费曼传播 子，计算分析了腔外存在真空涨落时的偶极辐射衰减率及相关的模密度。而h o t r u n gd u n g 的小组则研究了既存在色散又有吸收的磁电介质( 包括左手材料) 中电磁场的量子化及其与原子的相互作用【3 8 】，他们从最小作用量原理出发，导 出了二能级原子与该种材料中电磁场的相互作用哈密顿量，并用经典格林张量 表示出了衰减率和频率移动。对于各向同性线性电介质中的宏观电磁场的量子 化问题，m a t l o o b 在2 0 0 4 年证明了一个重要的结论【3 9 】：各向同性线性电介质中辐 射场每一模式的运动方程与一个量子阻尼简振子的运动方程相同，并认为：该 等效方法与传统的电磁场量子化方法是类似的；该方法明显地表明有损耗的色 散介质中电磁场的波矢与频率是相互独立的：而且该方法能很好地说明场的横 向部分与纵向部分的差异。 1 4 本文的主要工作 本文的主要由以下两个部分组成： 第二章主要研究了分层结构中二能级原子非马尔科夫自发衰减过程的记忆 函数。根据w e i s s k o p f - w i g n e r 理论( w - w 近似) ，原子在自由真空中以指数形式 自发衰减，瞬时衰减率是常数，该结论对稳态衰减是准确的。在原子衰减的早 期的几个光学周期的时间尺度上自发辐射的w w 近似不再成立。我们首先给 出一组模式函数，该函数集合是在全空间( 多层结构，两侧空间) 都满足m a x w e l l 方程及边界条件的本征解，并且满足正交完备性关系。利用该组模式函数将微 8 第1 章绪论 腔中的辐射场二次量子化，在此基础上得到该腔中原子与光场的相互作用哈密 顿量，在求解含时薛定鄂方程的过程中导出了二能级原子自发衰减的非马尔科 夫记忆函数。 我们发现记忆函数控制着原子的非马尔科夫自发衰减过程，它正比于原子 与库的耦合谱的f o u r i e r 变换。由于库的耦合谱包含了反映频谱分布的权重因 子，因此记忆函数的性质取决于原子所处的环境和权重因子的形式。在自发衰 减的早期阶段，几乎整个库的耦合谱与原子有耦合，记忆函数从极大值急速下 降，形成一定宽度的峰，该峰的宽度代表非马尔科夫自发衰减过程的记忆时间： 当各界面上的反射场依次到达原子处并与之相互作用，原子才感受到环境( 分层 结构1 的存在，表现为记忆函数呈现有规律的突变，记忆效应显著变弱；显然， 对于宏观测量而言，自发衰减演化的时间己远大于原子跃迁周期，记忆效应可 以忽略，衰减率成为常数。 另一方面，我们着重比较了两种典型的权重因子( g o f r a a n 建议的形式与 g a u s s 型) 对记忆函数性质的影响；数值结果表明，k o f i - n a n 建议的权重因子在其 峰值两侧下降极快，比较而言g a u s s 型在其峰值两侧的下降要缓慢得多，造成 包含g a u s s 型权重因子的耦合谱的宽度大于包含前者的耦合谱宽度，这导致相 应于g a u s s 型权重因子的记忆时间小于前者的记忆时间。该结果显示，改变权 重因子的形式，就改变了耦合谱的宽度，记忆时间就会发生明显的变化；而且 宽的耦合谱将导致短的记忆时间。尽管上述结论是在原子处于特定环境的条件 下得到的，但它具有普适性。它提示我们可以利用改变耦合谱宽度的方式来控 制或改变自发辐射。 第三章主要研究了由一维多层结构( 一维光子晶体) 构成的微腔中二能级 原子自发衰减率的角度分布。我们将腔中与原子耦合的辐射场二次量子化后， 在w - w 近似下得到了微腔中二能级原子自发衰减几率角分布的表达式，它表 示在单位时间内二能级原子从激发态自发衰减到基态并辐射一个方向沿着 ( 秒，) 频率为c o o 的光予的几率。然后对三种典型的包含左手材料和右手材料 ( l h m - r h m ) 构成的一维光子晶体微腔中的角分布作了数值计算，并对数值结果 作了相应的理论分析。我们发现衰减率的角度分布不仅与光子晶体的结构有关， 9 第1 章绪论 还依赖于原子偶极矩的空间取向以及原子在腔中的位置。当原子偶极矩与微腔 界面平行时，辐射场的t e 、t m 模式对衰减率都有贡献，衰减率的角度分布是 辐射场波矢的方位角护和的函数；四分之一波堆的微腔结构抑制原子自发辐 射的角度范围较大，尤其是对应的一维l h m r h m 结构，抑制辐射的区间更宽； 半波堆形成的微腔仅对波矢垂直轴向的辐射有抑制作用，其余方向的自发辐射 率随角度起伏：而四分之一波堆夹半波长厚度的微腔结构，对方向靠近轴向( z 轴) 的光子的辐射有明显增强，但其它方向的自发衰减率随角度波动分布，与该 结构对应的一维l h m r h m 微腔增强辐射的区间稍宽而在此区间之外的自发 辐射极其微弱。当原子偶极矩与微腔界面垂直时，只有辐射场的力m 模式对自 发衰减有贡献，衰减几率的角度分布仅与角度0 有关，并且关于整个一维结构 的轴向旋转对称：四分之一波堆微腔和四分之一波堆夹半波长厚度的微腔存在 强烈抑制自发辐射的角度区间，在其余范围衰减率呈峰状分布，个别角度上自 发辐射明显增强；与这两种结构对应的一维l h m r h m 光子晶体微腔，对自发 衰减率角度分布的影响类似上述特点，而且强烈抑制自发衰减的角度区间更宽； 尤其是在四分之一波堆l h m r h m 微腔中，原子只能沿宽度极小的角度范围辐 射光子。半波堆构成的微腔仅对轴向和平行于界面方向的自发辐射有抑制。上 述结论有助于我们从另一个侧面理解和认识一维多层结构对原子自发辐射的影 响。 1 0 第2 章多层结构中二能级原子非马尔科夫自发衰减过程的记忆函数 第2 章多层结构中二能级原子非马尔科夫自发衰减过程的 记忆函数 2 1 引言 原子的自发辐射( s p o n t a n e o u se m i s s i o n ) 不仅与原子本身有关，还依赖于 原子周围的环境【l 】o 对二能级原子在不同环境中的自发辐射( s e ) 问题已有较 多的研究。例如，在光学微腔中，自发辐射场呈现非指数衰减【9 】，自发衰减强 度依赖于原子在腔中的位置【l o ，。2 l ；在三维各向异性光子晶体中，二能级原子的 衰减行为依赖于能级在带隙中的相对位置 4 4 4 5 4 6 5 2 9 , 6 0 。以往关于自发辐射的 研究大多基于马尔科夫近似。然而，实际的自发辐射衰减( 特别是衰减的早期) 过程是非马尔科夫的【3 】。最近的一项理论研究表明，在一维光子晶体微腔中， 二能级原子的非马尔科夫衰减行为取决于光子晶体的结构，衰减的早期阶段明 显不同于具有常数衰减率的稳定衰减过程【5 引。本章研究多层结构中二能级原子 非马尔科夫自发衰减过程的记忆函数。为了将腔中的电场量子化，必须建立一 组正交完备归一化模式函数，另外也为第三章作准备，先给出一维多层结构中 的模式函数。 2 2 一维多层结构的模式函数 如果原子所处的环境是自由真空，通常选取平面波作为展开场算符的模式 函数。本文所考虑的环境是一维光子晶体微腔，其结构见图2 0 。我们令整个结 构的中心为坐标系原点，与界面平行的面是工- y 平面，z 轴与界面垂直，沿结 构的轴向。一个二能级原子被放在中间层( 真空微腔) ，可设其位置坐标为 = ( 0 , 0 ，z o ) ，其电偶极矩为，。a 层的折射率，相对介电常数，相对磁导率和 厚度分别为b ，巳，以和d ；而b 层的则记为月。，毛，声。和如：中间层 1 1 第2 章多层结构中二能级原子非马尔科夫白发衰减过程的记忆函数 厚度为。当存在这样的一维多层结构时，自由真空被扰动，模式函数不再是 平面波，但我们可以利用文献【9 ，5 8 1 中的方法将平面波叠加，得到满足一维多层 结构边界条件的模式函数。它们可以表示为， 啦，无施= ，瓯墨，力+ 砭毒世( ：一，趣，4 z 乙m ， 爰劳m 一毋7 k 加咯删蚓敝，勰铂终乙， z 萨( ：_ 俐，嘲) 萨7 反k ，础z 2 知， ( 2 1 ) f 秽乓k w ，嘲谚7 d 五，以z 乙 啦，元檀= 傻舻尹k 加桫嘛，勰钿坯 l 严r 瓯五，脚+ 霹一埏( 峋) 台，勰z 知 r a n。一1 01 一刍 ? 彳 卜 瑞卜 babaea b a ba b z *z _ n n ，z _ n z _ t 图2 0 一维光子晶体微腔vj a ) ”1 0 i ( a b ) ”i v 示意图 ( 2 2 ) 第2 章多层结构中= 能级原子非马尔科夫自发衰减过程的记忆函数 这里 f i g 2 0 s k e t c ho f1 d p cs t r u c t u r ev i ( b a ) ”101 ( a b ) ”lv 置。+ = k 。，k 。，- + k 。) = k 。( s i n0 。c o s ，s i n 口，s i n 矽，c o s0 。) = k ( s i n0c o s 矿，s i n 口s i n ，胛肿c o s 口肘) ( 2 3 ) = 伍，k ，k 。) k 。= n 。k ，s i n0 = ，z 。s i n0。(24) 缸= 忆，巧，疋) = 彭( s i n 护c o s 矽，s i n 8 s i n # ，+ c o s 8 ) ( 2 5 ) k x ，k ，( - ，斗) ，k 二，k 0 ，栅) ( 2 6 ) 口 o ，刀2 1 f o