（理论物理专业论文）非对易场论中的反常、孤子解.pdf

摘要 时空坐标非对易的思想已经有很久了。但是长期以来，非对易几何并未在物理 上受到入们的重视。近几年，随着弦理论的发展，非对易几何才引起了人们的广泛关 注实际上在弦理论中，非对易几何自然地出现在至少三种不同而又密切相关的背景 里。w i t t e n 的开弦场论用非对易几何描述了玻色开弦的相互作用；在非对易t o r u s 上 的矩阵理论的紧化对应于带有常数三形式张量场的超引力；更为普遍的，非对易规 范理论可以自然地产生在带有常数b 背景场的三维d b r a n e 上。 非对易空间是指时空坐标不可相互交换的空间。非对易场论是建立在非对易空 间上的量子场论，它意味着场量可以看作非对易空间的函数。非对易规范理论有两 种等价的描述方法。首先，时空坐标直接看作是作用在希尔伯特空间上的算子，希尔 伯特空间给出了定义基本非对易几何的代数表示空间。从而非对易空间的场量是算 子的函数。另一方面，我们可以从普通空间的规范理论的作用量出发，然后用m o y a l 星乘积来代替普通空间的规范理论中场量的普通乘积。从而给出非对易空间规范理 论的作用量。希尔伯特空间算子乘积与量子空间的函数m o y a l 星乘积之间的关系是 f h w e y l - m o y a l 变换联系起来的。 我们总是想知道对易空间的量子场论的特点在多大程度上同样适用于非对易空 间的量子场论这是一个值得深究的问题我们应该从非对易场论本身去研究它。 在这些问题中，量子场论中的反常问题引起了人们的广泛兴趣。在这一方面，我们 做了如下工作。我们以二维非对易空间的手征q c i ) 2 模型为例讨论了非对易规范 理论中的手征反常问题手征反常是指规范理论中经典手征对称性在量子化后的破 坏。我们用蹦i l c a 舰路径积分的方法研究了二维非对易空间的手征q c d 2 模型作用 量费米子部分在手征转动下所产生的手征反常。我们计算了由于积分测度在手征转 动下发生变化所引起的j a c o b i a n 因子同时我们还计算了非对易空间的手征q c d 2 模型的费米行列式，给出了它的有效拉氏量。在非阿贝尔情形，我们发现在它的有 效拉氏量中矢量玻色子有质量生成，有效作用量里包含w e s s - z u m i n c - w i t t e n 项。而 非阿贝尔情形，我们得到的结果也是非对易空间的手征s c h w i n g e r 模型的有效作用 量。 u 自从弦理论与非对易场论之间的关系被揭示以后，对非对易场中的孤子解的研 究引起了理论物理学家的广泛关注。非对易场和弦理论中的孤子解经常对弦理论的 非微扰和强耦合行为的研究提供重要的线索。尽管d e r r i c k 定理说明在超过1 + 1 维 普通空间标量场论中孤子解是不可能存在的，g o p a k u m a r 、h e a d r i c k 和s p r a d l i n 发 现在( 2 + 1 ) 维平直空间非对易标量场论的孤子解是存在的。它可以由非对易空间 的投影算子来构成。m a r t i n e c 和m o o r e 讨论了d b r a n e s 上的物理如何自然地与一 些非对易o r b i f o l d s 上的投影算予相联系。因此，研究各种空间的投影算子就显得非 常重要。r i e f f e l 曾经给出不可对易t o r u s 上的投影算子的普遍公式。b o c a 进一步在 理论上论证不可对易o r b i f o l dt 2 a 投影算子的存在性，讨论了它们的迹与不可对 易t o r u s 上的平移算子u 和y 的对易因子q 的关系。他明确给出了一个具有五对称 性不可对易o r b i f o l dt 2 a 上的投影算子。k o n e c h n y ，s c h w a r t z $ 口w a l t e r s 曾经给出 了具有z 2 ，互对称性的投影算子。m a r t i n e c 和m o o r e 指出直到现在还没有发现具 有忍，z 6 对称性的投影算子的有限解析表达式。g o p a k u m a r 等人用另一种构造方 法给出当 uv=vu 时不可对易t o r u s 上的投影算子。他们的构造中的真空态1 0 可以换成任意态矢 量i 曲 ，因而事实上可以给出一系列这样的投影算子。我们注意到，在他的构造中， 如果适当要求态矢量i 的对称性质，那么构造的投影算子就是不可对易o r b i f o l d p g 投影算子。在本文中，我们讨论了周期情形时的w e y l - m o y a l 变换，用g o p a k u m a r 、 h e a d r i c k 和s p r a d l i n 引入的构造非对易t o r u s 上投影算子的方法，构造了可积非对 易o r b i f o l dt 2 g ( g = z _ ，n = 2 ，3 ，4 ，6 ) 上的投影算子，这些投影算子中可以包 含一个任意函数，因而给出了无穷多投影算子。作为例子，我们季导到一个可积非对 易o r b i f o l dt 2 磊上的投影算子的有限解析解。由于非对易场论中的投影算子对应 于非对易场论中的孤子解，所以我们就绘出非对易场论中无穷多的孤子解。我们还 讨论了投影算子所满足的充分必要条件，给出了投影算子的完备集合。而且说明投 影算子所对应的与前面所说的m o y a l 乘积相关的函数同样具有z 0 ( = 2 ，3 ，4 ，6 ) 对 称性。 关键词：非对易场论，手征反常，w e s s - z u m i n o - w i t t e n 有效作用量，孤子解，投 影算子。 ab s t r a c t m t h ei d e a t h a tt h es p a c e t i m ec o o r d i n a t e sd on o tc o m m u t ei sq u i t eo l d b u t n o n c o m m u t a t i v eg e o m e t r yc a nn o ta t t r a c tt h ep h y s i s t si n t e r e s tf o ral o n gt i m e i n t h ep a s ts e v e r a ly e a r s ，n o n c o m m u t a t i v eg e o m e t r yh a sp l a y e dm o r ea n dm o r er o l e s w i t ht h ed e v e l o p m e n to fs t r i n gt h e o r y i n d e e d ，n o n c o m m u t a t i v eg e o m e t r yh a sa r i s e n i na tl e a s tt h r e ed i s t i n c tb u tc l o s e l yr e l a t e dc o n t e x t si ns t r i n gt h e o r y w i t t e n so p e n s t r i n gf i e l dt h e o r yf o r m u l a t et h ei n t e r a c t i o no fb o s o n i co p e ns t r i n g si nt h el a n g u a g e o fn o n c o m m u t a t i v eg e o m e t r y c o m p a c t i f i c a t i o no fm a t r i xt h e o r yo nt h en o n c o m - m u t a t i v et o r u sw a sa r g u e dt oc o r r e s p o n dt os u p e r g r a v i t yw i t hc o n s t a n tb a c k g r o u n d t h r e ef o r mt e n s o rf i e l d m o r eg e n e r a l l y , i th a sb e e nr e a l i s e dt h a tn o n c o m m u t a t i v e g a u g et h e o r ya r i s e si nt h ew o r l d v o h i m et h e o r yo nd - b r a h ei nt h ep r e s e n c eo f a c o n s t a n tb a c k g r o u n dbf i e l d i ns t r i n gt h e o r y n o n c o m m u t a t i v es p a c em e 日f 1 2 st h es p a c et h a tt h e i rc o o r d i n a t ed on o tc o m m u - t u t e n o n c o m m u t a t i v ef i e l dt h e o r yi saq u a n t u mf i e l dt h e o r yo nn o n c o m m u t a t i v e s p a c ea n dm e s j l st h a tf i e l d sa r et h o u g h t so fa sf u n c t i o no v e rn o n c o m m u t a t i v es p a c e n o n c o m m u t a t i v eg a u g et h e o r ya r ed i s c r i b e dv i at w oe q u i v a l e n td e s c r i p t i o n s i nt h e f i r s tw a y , t h ec o o r d i n a t eb e c o m eo p e r a o t r sa c t i n go nah i l b e r ts p a c e ，w h i c hp r o - r i d e sf o rar e s p r e s e n t a t i o ns p a c eo ft h en o n c o m m u t a t i v es p a c e o nt h eo t h e rh a n d s t a r t i n gw i t ht h es t a n d a r dc o m m u t a t i v eg a u g et h 南r ya c t i o na n d t h e nr e i n t e r p r e t i n g a n yp r o d u c t so ff i e l d sa p p e a r i n gi nt e r m so ft h em o y a lp r o d u c tt h ew e y l - m o y a l t r a n s f o r m a t i o nt a k e so p e r a t o rm u l t i p l i c a t i o ni n t ot h em o y a lp r o d u c to ff u n c t i o n so i l t h ep h a s es p a c e o n ew o u l dl i k et ok n o wt ow h i c he x t e n tp r o p e r t i e so fq u a n t u mf i e l dt h e o r i e so n c o m m u t a t i v es p a c e sa l s oa r i s ei nq u a n t u mf i e l dt h e o r i e so nn o n e o m m u t a t i v es p a c e 1 v t h i sw o r t hu sf u r t h e rs t u d y i n gw es h o u l dt od os oi nn o n c o m m u t a t i v ef i e l dt h e o r y i nt h i sp a p e r ，w em a i n l yt a k et w od i m e n s i o n a ln o n c o m m u t a t i v ec h i r a lq c d 2m o d e l a s 龇1e x a m e p l et od i s c u s st h ec h i r a la n o m a l yi nn o n c o m m u t a t i v ef i e l dt h e o r yc h i r a l a n o m a l yi nn o n c o m m u t a t i v ef i e l dt h e o r yr e n e w e dt h ep h y s i s t si n t e r e s ti nt h ep a s t y e a r s w em a i n l ys t u d yt h ec b d 删a n o m a l yo ft w od i m e n s i o n a ln o n c o m m u t a t i v e c h i r a lq c d 2m o d e lu s i n gf u j i k a w a sp a t hi n t e g r a la p p r o a c h w ec o m m u t et h e j a c o b i a np h a s eo ft h ei n t e g r a lm e a s u r eu n d e rt h ec h i r a lr o t a t i o n w ea l s od i s c u s s t h ef e r m i o nd e t e r m e n to ft h en o n c o m m u t a t i v ec h i r a lq c d 2m o d e la n dp r o v i d e t h ee f f e c t i v ea c t i o no ft h en o n - c o m m u t a t i v ee m r a lq c d 2m o d e l i ti ss h o w nt h a t v e c t o rb o s o nh a v eam a s sg e n e r a t i o na n dt h ee f f e c t i v el a g r a n g i a nc o n t a i n sat e r m c o r r e s p o n d i n gt ot h eaw e s s - z u m i n o - w i t t e nl i k et e r m ，w h i c hw a sc o n s i s t a n tw i t h n o n c o m m u t a t i v ec h i r a ls c h w i n g e rm o d e l a l t h o u g hd e r r i c k st h e o r e mf o r b i d ss o h t o u si nm o r et h a n1 + 1d i m e n s i o n s ， g o p a k u m a r ，m i n w a l l aa n ds t r o m i n g e rf o u n dt h a ts o l i t o ns o l u t i o ni n ( 2 + 1 ) n o n c o m m u t a t i v es c a l a rf i e l dt h e o r yc a nb ee x a c t l yg i v e ni nt e r m so fp r o j e c t i o no p e r a t o r s m a r t i n e ca n dm o o r ed i s c u s s e dh o wd b r a n e so no r b i f o l d sf i tn a t u r a l l yi n t ot h ea 培e - b r a i cf r a m e w o r ka sd e s c r i b e db yp r o j e c t i o no p e r a t o r s t h u st h es t u d yo fp r o j e c t i o n o p e r a t o r si nv a r i o u sn o n c o m m u t a t i v es p a c e sa r ei m p o r t a n ti ns t r i n gt h e o r y r i e f f e l h a sp r e s e n t e dag e n e r a lf o r m u l af o rt h ep r o j e c t i o no p e r a t o r so nn o n c o m m u t a t i v e t o r u s b o c af u r t h e rd e s c r i b e dt h ep r o j e c t i o no p e r a t o r so no r b i f o l d 予| ga n dd i s - c u s s e dt h er e l a t i o nb e t w e e nt h e i rt r a c ea n dt h ec o m m u t a t o rqo ft h eo p e r a t o r sua n d vo nn o n c o m m u t a t i v et o r u s ( u v = v u e 瓢”q 1 h ep r o v e dt h ee x i s t e n c eo fn o n t r i v i a l p r o j e c t i o no p e r a t o r sa n de x p l i c i t l yp r e s e n t e da l le x a m p l ew i t ht r a c e1 qf o rqa n i n t e g e ri nz 4e a s e k o n e c h n y ，s c h w a r t za n dw a i t e r sh a v ea l s og i v e ns o m e 易，毛 i n v a r i a n tp r o j e c t i o no p e r a t o r s m a r t i n e ca n dm o o r ep o i n t e do u tt h a tn oe x p l i c i t e x p r e s s i o n sf o rt h ep r o j e c t i o no p e r a t o r si nz 3 ，z 6e a s eh a v eb e e nf o u n d g o p a k u m a r e ta 1s u c c e e d e di nc o n s t r u c t i n gt h ep r o j e c t i o no p e r a t o ro nn o n c o m m u t a t i v ei n t e g r a l t o r u sw i t hg e n e r i cr w ef i n dt h a ti ft h ev a c u u ms t a t e1 0 i nt h e i rp a p e ri sr e p l a c e d b ya n ys t a t ev e c t o rl 曲 ，t h e i rc o n s t r u c t i o ns t i l lw o r k s w en o t i c et h a ti ft h es t a t e v e c t o rl l j l h a ss o m es y m m e t r i e s ，t h eo p e r a t o r sa i ej u s tt h ep r o j e c t i o no p e r a t o r s o no r b i f o l dt 2 g ( g = 乃i sas y m m e t r yg r o u p ) w ed i s c u s s e st h ew e l y m o y a l t r a n s f o r m a t i o ni np e r i o d i cc a s ea n dc o n s t r u c tt h ep r o j e c t i o no p e r a t o r so nt h ei n - t e g r a ln o n c o m m u t a t i v eo r b i f o l dt v a ( a = z k ，n = 2 ，3 ，4 ，6 ) s u c ho p e r a t o r sa r e e x p r e s s e db ya f u n c t i o no nt h i so r b i f o l ds oi tp r o v i d e sas e r i e so fp r o j e c t i o no p e r a - t o r su p o nt h em o d u l is p a c et 2 k z k a l lt h e s eo p e r a t o r sh a st h es a m et r a c e1 a f ai sa i li n t e g e r ) s i n c et h ep r o j e c t i o no p e r a t o r sc o r r e s p o n dt os o l i t o n si nn o n c o m m u t a t i v ef i e l dt h e o r y , w eo b t a i n e dt h ee x p l i c i te x p r e s s i o no fa l lt h es o f i t o ns o l u t i o n s o nt 2 z w a tl a s t ，w ep r e s e n t e dt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ec o m p l e t e n e s so ft h ep r o j e c t i o no p e r a t o r s w ea l s oc o n s t r u c tac o m p l e t es e to fp r o j e c t o r s o i lt 一1 | z nb ys e r i e se x p a n s i o n sf o ri n t e g r a lc a s e f u r t h e r ，t h ef u n c t i o nc o r r e s p o n d i n g t ot h ep r o j e c t i o no p e r a t o r sa l s op o s s e s st h e 知( = 2 ，3 ，4 ，6 ) s y m m e t r y k e y w o r d s ：n o n c o m m u t a t i v ef i e l dt h e o r y c h i r a la n o m a l y , w z we f f e c t i v ea c - t i o n ，s o l i t i o n ，p r o j e c t i o no p e r a t o r 独创性声明 本人郑重声明所呈交的学术论文是本人在导师指导下 进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了本文中 特别加以标注致谢的地方外，论文中不包括其他人已发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其他教育机 构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献已在论文中做了明确的说明并表示谢 意。 学位论文作者签字扔城茔 签字时间：如。弓年罗月矿日 第一章引言 我们知道现代物理学的两大基石是量子力学和广义相对论。量子力学为我们认 识小尺度下的宇宙：分予、原子以及比原子更小的粒子，如电子和夸克等提供了理 论基础。而广义相对论为我们从大尺度认识宇宙，如恒星、星系、星系团以及比它 们更大的宇宙自身膨胀等提供了理论框架。在过去的几十年里，两个理论的差不多 所有预言都在实验上被物理学家以难以想象的精度证实了。以前物理学家研究的东 西，要么用量子力学，要么用广义相对论就可以解决了。但是，现在我们知道在黑 洞的中央，大量的物质被挤压在一个极小的空间里；在大爆炸时刻，整个宇宙从比 沙尘还小的微粒中爆发出来。这些现象都是体积小而质量大的，所以我们应该结合 量子力学和广义相对论共同来研究它。但是，这两个理论却是不相容的。爱因斯坦 方程给出了物质和时空度规之间的关系，即 1 觋，一三跏r = 8 r c t 。( 1 1 ) z 方程的左边表示时空的几何特点，是经典理论：在方程的右边表示物质的能动量张 量，是动力学理论。这个方程意味着遵从量子规律的物质在服从经典几何的时空中 运动。所以现有的引力理论和量子理论不统一而且相互矛盾。我们需要建立一个自 洽的量子引力理论。以前，爱因斯坦花了几乎三十年时间，意图将自然界的基本相互 作用力纳入到一个统一的框架中，但是并没有成功。现在对于量子引力主要有以下 两种观点。第一种观点是不改变广义相对论，推广量子化规则，直接对它量子化。但 是，没有一个可以重整化的量子场论能描写引力。第二种观点是建立一个新的包含 爱因斯坦广义相对论的引力理论( 如有必要也修改量子理论) ，然后对其量子化。 这也是粒子物理学家所倾向的观点。超弦理论是用弦论修改广义相对论和规范场理 论，同时也对量子理论加以修正，在此基础上建立量子引力理论。这也是最有希望 取得成功的理论。广义相对论的量子化从本质上说就是对时空的量子化，量子引力 某种程度上说就是非对易几何。 众所周知，自然界的四种基本相互作用力除了引力都可以用规范理论来描述。 在量子场论中，正是由于基本粒子被认为是点状的，所以才会有发散的出现。为了 第一章引言2 消除发散，我们用重正化的方法来处理。但是有些物理学家认为重正化只是解决发 散问题的临时方法而不是最终的方案。许多物理学家就曾致力于建立一种没有发 散的理论。而弦理论就是一种可以消除发散的理论。弦理论认为现今认为的基本粒 子实际上都是弦。弦是有张力的一维物体，它可以分为开弦和闭弦，而且尺度很小 ( 平均大约是普朗克长度的尺寸) ，所以即使我们用最灵敏的仪器来检查，弦也可以 近似为点粒子。一根基本弦的不同振动模式生成了不同的质量和力荷。弦理论最初 是用来处理强相互作用问题的。上世纪六十年代，v e n e z t i a n o 唯像地给出强相互作 用中胶子的散射振幅，用所谓的欧拉口函数去描绘强相互作用的大量性质。n a m b u 和g o t o 指出v e n e z t i a n o 振幅可以从玻色弦理论中得到。然而，实验表明弦模型预 言的某个数直接观测结果相矛盾。与次同时，w e i n b e r g 和s a l a m 指出弱相互作用 力可以通过s u ( 2 ) o v ( 1 ) 规范理论( 电弱理论) 的自发对称破缺来描述。强相互作 用力可以通过s u ( 3 1 规范理论( 量子色动力学) 来描述。t h o o f t 证明这些理论是可 以重正化的。由于规范理论的成功，弦理论作为强相互作用理论的研究就消失了。 但是，在玻色闭弦的谱中有一个自旋为2 的场量。s c h e r k 和s c h w a r z 把它解释为 引力子。他们认为弦理论的最初失败是物理学家不恰当地限制了它的范围。换句话 说，弦理论并不是胶子理论而有可能是包含引力的量子理论。而且这个理论没有紫 外发散。但是玻色弦理论存在一些困难。例如，玻色弦理论有快子出现。快子的出现 由于系统势能没有下界而导致整个系统不稳定。为了在量子化保持l o r e n t z 不变，玻 色弦所处的时空必须是二十六维。然而，我们所处的真实世界是四维的。在现实世界 中有许多费米子，但是玻色弦理论并不包含费米子。n e v e u 、s c h w a r t z 和r a m o n d 分 别建立了包含费米子的对偶模型。但是n s r 弦理论只是世界叶上的超对称。g r e e n 和s c h w a r t z 建立了一种与n s r 弦理论等价的但具有完美时空超对称的弦理论。超 弦理论临界维数是十维。这对于我们的现实世界来说，维数还是显得太多。因此我 们应该解决这一问题。处理这一问题最常用的方法是紧化。紧化是指一些空间方向 是周期性的而且它们的半径非常小，这样附加维度形成尺度很小的封闭空间。它认 为我们的宇宙空间结构既有延展的空间维，也有卷缩的空间维。这些多余的维紧紧 卷缩在一个非常微小的空间，以致于用我们最精密的仪器也远远不能探测不到粒子 在紧化方向的运动n 。( 当然，这不是唯一的可能性。还有一些理论也能解决这个困 难。例如膜世界图景n 。膜世界图景理论认为我们生活的四维世界可能是十维宇宙 中的三维d 一膜曲面，其余附加维度未必封闭尺寸可以很大。弱、电磁、强相互作用 第一章引言 3 和物质都在三维d 膜上，而引力场既可以在三维d 。膜上，也可以在其周围。) 根据 各自对称性的不同，弦论家建立了五种完全不同的超弦理论。i 型弦具有超对称， i i a 型弦具有超对称而且具有手征性，i i b 型弦具有超对称却没有手征性。我们还可 以构造左手是玻色弦而右手是超弦的弦论( 我们称之为杂化弦论) 。能够成杂化弦 论的规范群只有e 8oe 8 和s o ( 3 2 ) 。这分别叫e 8 e 8 和s 0 ( 3 2 ) 杂化弦论。物理学 家在研究五种超弦理论中的任何一个方程时，发现它们确实有许多解。例如，多余 的空间维有多种不同的卷缩形式。即每一个解都对应一个不同的宇宙。虽然多数宇 宙都是作为弦理论方程的有效解出现的，但与我们所知的宇宙似乎没有关系。物理 学家相信并没有五种不同的超弦理论，而它们实际上是一个暂时被称为m 理论的 统一框架的一部分。而五种超弦理论之间是由对偶理论联系起来的。当研究开弦的 动力学行为时，我们应该考虑它的边界条件( n e u m a n n 边界条件和d i r i c h l e t 边界条 件) 。根据d i r i c h l e t 边界条件，开弦的端点只能在p 维的膜上自由运动。我们把这个 膜就叫d 。膜。弦论的各种非微扰定义是用低维d 膜作为基本自由度。弦论家猜想 弦理论是m 理论的各种弱耦合极限。m 理论是一个不仅包含弦理论而且包含膜理 论的十一维理论，但是这种理论还没有确切的定义，对于它的定义有许多种说法。 其中一种是矩阵理论。在矩阵模型中，由于坐标是用矩阵表示的，所以时空很自然 是非对易的。 力学量的非对易在物理学上是伴随量子力学发展起来的基本的概念，例如坐标 与动量的不对易，三个角动量分量不对易等一般人们在研究物理学问题时，时空坐 标本身被认为是对易的实际上，早在5 0 多年前就有人提出了时空坐标不对易的概 念来研究问题 1 】但在物理学中，这一概念并未受到重视在数学上，有关非对易 几何的讨论很多，长期以来，非对易几何并未在物理上受到广泛的应用 3 】【4 f 5 随着 量子霍尔效应 3 3 1 和弦理论的研究，非对易时空观及非对易几何在物理学研究中开 始受到物理学家的广泛的重视实际上在弦理论中，非对易几何自然地出现在至少 三种不同而又密切相关的背景里。w i t t e n 的开弦场论用非对易几何描述了玻色开 弦的相互作用。非对易是由于在弦的粘和过程中定义的w i t t e n 星乘积引起的。第 一个弦的右半部分和第二个弦的左半部分相互粘结，就得到第三个弦。这个粘结过 程是不可交换的f 2 1 。在非对易t o r u s 上的矩阵理论的紧化对应于带有常数三形式张 量场的超引力f 6 1 。更为普遍的，当考虑开弦在一个常数二秩反对称张量场b 中的情 第一章引言 4 形时，开弦的端点就会变的不对翁闭。1 9 9 9 年，s e i b e r g 和w i t t e nc 7 】讨论了在带有 常数鼠，背景场中d 。b r a a e 的低能行为可以分别由非对易规范理论和对易规范理论 来籀述。它们对瘦子在开弦理论中采用不同的难魏化方案，翁者是p a u l n v i l l a r s 方 案，螽者是p o i n t - s p l i t t i n g 方案。链们还讨论了i 怼易趣范瑗论耩薅荔蔑蕊理论之闻 的联系，t i p s e i b e r g - w i t t e nm a p 。自从s u s s k i n d 1 9 3 s 1 指出非对易场论中的c h e r n s i m i o n s 理论可以非常好描述擞子( 分数) h a l l 流体以来，用非对易场论来炭子( 分 数) h a l l 效应零| 越了诲多穆理学家戆注意势终了大量熬工终 3 4 - 3 9 。 第二章，我们主要回顾了q e 对易几何在爨子力学中是如何产生的，描述了最简 单的非对易场论。非对易空间怒指对空坐标不可相互交换的窝间。非对易几何就是 磷究 薅易空闰豹咒鹰。l 霹荔滋论是建立在# 薅荔窒闻上弱量子场论，它意凑蓑 场擞可以看作非对易空间的函数。非对易规范理论有两种等价的描述方法。酋先， 时空坐标直接着佧是作用在希尔伯特空间上的算子，希尔伯特空间给出了定义基本 i # 瓣茹死挺豹代数表示空阕。扶惹j 慰易空潮戆场量是冀予她函数。另一方嚣，我 们可以从普通空问的规范理论的作用量出发，然后用m o y a l 整乘积【io 】来代替普透 空间的规范理论中场量的普通莱积。从而给出非对易空间规范理论的作用濑。希尔 豫特空闽算子乘积与量子相空阉鲢函数m o y a l 星乘积之闻的关系是t 圭w e y l - m o y a l 变换潮黼 l 联系起来静。 对称性原理猩高能粒子物理中起着基本的作用。在经典理论中，n o e t h e r 定理保 谖了与对称性糖波的流是守毽熬。然两，在处璞蠢无穷多个囊巍度豹量子理论时，量 子讫的方法破坏些基本的经典对称往。铡翔，无质量费米予的连续手，鬣对称往。 结果，在量子化厝，一些经典的对称性不能樽维持，与之对应的守恒流在爨子化后 不蒜守恒。这样的现象称作为反常。所谓手镊反常是指规范理论中经典手征对称性 夜鲞子纯爱的破环。它豢旱爨f l l a d l e r ，b a r d e e n ，b e l l ，j a c k i w 在镞撬论诗箨中发琨 的。手征反常的发现解决了粒子物理中的许多重要问题。反常问题在对易场论中得 到了广泛的研究 1 2 1 1 2 5 - 2 7 1 。非对易场论的发展使得一些老问题引起了人们的普遍 美 奎 1 5 - 1 8 1 1 2 9 - 3 1 2 0 i 。暴j 重荔场论瓣一些性缓在 对易场论中发生了待么榉戆交曩二 慎得我们进一步地研究。或者说我们总是怒知道对易空闯的赞子场论的特点在多大 程度上同样适用于非对易空间的量子场论。猩本文中，我们以二维非对易空间的手 ，撼q c d 2 模型为例讨论了非对荔撬范理论中魏手征反常闷题 3 0 1 。我们用f u j i k a w a 第一章引言5 路径积分f 1 1 1 的方法研究了二维非对易空间的手征q c d 2 模溅作用量费米子部分在 手篷转动下溪产黧魏手 蒌反豢。我翻计算了嶷予积分溅度在手征转动下发生变纯掰 引起的j a c o b i a n 因子同时我们逐计算了a 对易空间的手褫q c d 2 模型的费米行 捌式，绘如了它的蠢效拉茨量。在嚣嚣哭尔馕形，我们发现在它兹有效拉氏爨孛矢 筵玻色子有质量嫩成，有效作用量星包含w e s s - z u r n i n o - w i t t e n 项。而对于阿贝尔情 形，我 3 褥熨结粜也是非对易空阉嬲手征s c h w i n g e r 模型的蠢效传用爨 l 馥。 自从弦理论筠非对易场论之间的关系被揭示以腊，对非对易场中的孤子解的研 究；l 起了理论物理学家斡广泛关注 4 罄4 7 l 。菲薅茹场和弦璞论串的孤子解经常对 弦理论的非微扰和强耦含行为的研究提供定的线索。d e r r i c k 定理8 1 告诉我们， 在超过1 + 1 维警遴空闻场论孛由于 主何标爨场构形静能量总楚被降低，孤予解是不 可能存在的。然而，g o p a k u m a r ，m i n w a u a 和s t r o m i n g e r 发现在( 2 + 1 ) 维平赢空间 薅器标整场论懿孤子解跫存在的，它可戳由菲霹赫空闻的投影算予来稼成【4 键。 h a r v e y 等人提出了一种新的方法来求解孤子解，m h a m a n a k a 和s t e r a s h i m a 用 这释方法去求解3 + 1 维空闯豹b p s 荦较解海镶。诲多久将这耪方法撩广去求熬弯趋 空间上非对易规范理论的孤子解 4 2 1 。m a r t i n e c 和m o o r e 讨论了d b r a n e s 上的物理 弼俺鸯然缝与一垡菲薅荔o r b i f o l d s 上静授影雾子稳联系陲1 1 。因魏，磺究各种空闺 的投影算子就显得非常重要。r i e f f e l 曾经缭出不可对易t o r u s 上的投影算子的普遍 公式 4 8 。b o c a 遴步在联论上论诞不霹辩荔o r b f f o l dr v a 投影霎予鳃存在魏，讨 论了它们的迹与不可对易t o r u s 上的平移算子u 和v 的对易因子口的关系。其中 u v ：v u e 2 i , * q 他证嬲当口是有理数时，存在 # 平摩的投影弊子并且，矿= y 矽时明确给出了一个具 有五对称性不可对易o r b i f o l dt v a 上的投影算予f 4 9 l 。b o c a 用只依赖于算予沪a 靼v 1 4 的8 函数来表示投影算子。k o n e c h n y , s c h w a r t z 和w a l t e r sf 5 0 ，5 1 1 曾经给 如了其有而，互对称性的投影算予。m a r t i n e c 和m o o r e 指出巍到现在述没有发现其 蠢磊，磊对称性的投影算子的明确表达式。g o p a k u m a r 等人用另一种构造方法给 出当 护矿= v u 时不可对易可积t o r u s 上的投影算予。我们柱他们的研究的启示下傲了以下工作。我 们注意到，她们的构造中的真空态1 0 可以换成任意态矢量涵 ，因蕊事实上可以 第一章引言 6 给出一系列这样的投影算子。我们证明了在他的构造中，如果要求态矢量l t j l 具有 适当的对称性质，那么构造的投影算子就是不可对易o r b i f o l dt 2 a 投影算予。在第 四章，我们首先回顾了投影算子与孤子解的关系，讨论了周期情形时的w e y l + m o y a j 变换，用g o p a k u m a r 、h e a d r i c k 和s p r a d l i n 引入的构造非对n t o r u s 上投影算子的 方法，构造了非对易o r b i f o l dt 2 g ( c = z ，n = 2 ，3 ，4 ，6 ) 上的投影算子，这些投影 算子中可以包含一个任意函数，因而给出了无穷多投影算子。特别是，作为例子， 我们构造了不可对易o r b i f o l dt 2 磊投影算子的有限的解析解。此外，我们还给出 了投影算子所满足的充分必要条件，给出了投影算子的完备集合。而且说明投影算 子所对应的函数同样具有z _ ( = 2 ，3 ，4 ，6 ) 对称性。 第二章非对易空间和非对易背景下的规范场论 对时空的认识在物理学上楚一个s 人溺目的话题，广为人们所接受的物理理论 从广义相对论到量子场论，对从大至宇观尺度，小到基本粒子尺度的物理学都有很 好的描述在这些理论孛，时奎都被认为是烈易的，这些理论在实验上也得到了很好 豹支持对空会不会是j 对秘靛骣? 对豸致器重空背景下瓣携瑾学会楚慧襻鲍缆? 早在5 0 多年前，已经就材人提出了时空坐标非对易的概念近些年来，随着人 们对弦理论和爨子霍尔效瘦的研究，越来越多的 # 对易鹜蒙上的物理学阏题得到了 人们广泛的鬟褫、菲对易鹜豢下的鲎子场论藏是其孛之一本章我们先簿萃奔缓一 下非对易时空的概念及其非对易几何然后将讨论一下非对易时空中的场论及规范 对称性+ 2 。1 非对易时空的概念和非对易几何 在讨论非对易空间中的规范场论之前，我们先讨论一下非对易空间和非对易几 何的概念 3 - s 非对易空间是坐标不可交换的空间，它不同于通常意义上的空间，其 坐标是不可交换豹j # 对易凡俺是研究 # 怼甥空间的几秘在 # 对易空溺孛，由于坐 标的不可交换、铁测不准原联来看，这预示赘坐标的不可嗣对测量，因两在菲对易几 何中定义点悬没有意义的一个普通对易流型m 的结构可以用流型m 上光滑函数 的代数来表述，：m g ，代数的乘积运算为普通乘积。虽然我们很濮理鳃非对