（应用数学专业论文）网络反馈的奇异系统鲁棒镇定.pdf

m a s t e r d e g r e e ，2 0 1 1 s t u d e n ti d ：5 1 0 8 0 6 0 1 0 6 8 e a s tc h i n an o r m a lu n i v e r s r o b u s ts t a b i l i z a t i o no f s i n g u l a r s y s t e m s i nan e t w o r k e df e e d b a c k d e p a r t m e n t ： m a j o r ： d i r e c t i o n ： s c h o o lo fm a t h e m a t i c s s u p e r v i s o r ： ：里! q 圣h i 堕i 堕gg c a n d i d a t e - r a n r a nc h e n a p r i l ，2 0 11 s h a n g h a i 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文网络反馈的奇异系统鲁棒镇定，是在华东师范 大学攻读硕士学位期间，在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。除文中已 经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的 研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：坠签签 日期：如1 1 年妇落e l 华东师范大学学位论文著作权使用声明 网络反馈的奇异系统鲁棒镇定系本人在华东师范大学攻读学位期间在导师指导 下完成的硕士学位论文，本论文的研究成果归华东师范大学所有。本人同意华东师范大 学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管部门和相关机构如国家图书馆、中信 所和“知网 送交学位论文的印刷版和电子版；允许学位论文进入华东师范大学图书馆 及数据库被查阅、借阅；同意学校将学位论文加入全国博士、硕士学位论文共建单位数 据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理 复制学位论文。 本学位论文属于( 请勾选) () 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部 或“涉密”学位论文宰， 于年月日解密，解密后适用上述授权。 ( 2 不保密，适用上述授权。 导师签名 本人签名 如1 1 年主月以e t “涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定过的学位 论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文“涉密”审批表方为有效) ，未经上 述部门审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认为公开学位论文，均适用 上述授权) 。 陈然然硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 刘永明教授华东师范大学数学系主席 刘兴波副教授华东师范大学数学系 傅显隆副教授华东师范大学数学系 摘要 最近信息受限的控制问题引起大家广泛关注。当控制信号通过一个有限容量的信 道时，由于带宽限制使得信息只能做到有限精度的传输，由此得到的闭环系统的模型 和以往的模型很不一样。此时，确定多大的信道能量能够达到控制目的要求是这一类 问题关心的重点。而且，如何合理的设计控制器来完成控制目的是解决这类问题的关 键。几乎所有这方面的研究工作都集中在一般的受控系统。 本文研究了一类信息受限的奇异系统的镇定问题以及奇异网络化系统的模型控制。 利用线性奇异系统的受限等价变换和矩阵的拉普拉斯变换，我们得到了在传输频率足够 大时实现指数稳定的条件，并探讨了其解的表达式和可容许性，给出数值例子说明了结 论的有效性。 本文分两个板块研究，它们分别是： 1 、基于状态反馈的奇异网络化系统的模型控制； 2 、基于观测器的奇异网络化系统的模型控制。 本文第一次提出了奇异网络化控制的问题，并研究了信息受限的线性奇异网络化系 统的镇定，同时讨论了相应的模型控制，成功地将在正则网络化系统中减少带宽限制行 之有效的模型控制方法推广到奇异网络化系统中去。 关键词：网络化控制系统镇定奇异系统状态反馈拉普拉斯变换拉普拉斯逆变换 有限容量的信道 a b s t r a c t r e c e n t l y ，t h ep r o b l e mo fc o n t r o l 晰t l ll i m i t e di n f o r m a t i o nh a sr e c e i v e ds i g n i f i c a n t a t t e n t i o n s u n l i k ec l a s s i c a lc o n t r o lp r o b l e m ，c o n t r o l 谢t l ll i m i t e di n f o r m a t i o nc o n c e r n st h e i m p a c to ft h ec a p a c i t yo f ac h a n n e lo nt h ep e r f o r m a n c eo fs y s t e m s h o wm u c hc a p a c i t yo fa c h a n n e li sn e e d e dt oa c h i e v eas p e c i f i cc o n t r o lg o a li san a t u r a lq u e s t i o n m e a n w h i l e ，h o wt o d e s i g nas u i t a b l ec o n t r o l l e ri sak e yi s s u e a l lm o s t a l lr e s e a r c hw o r k si nt h i sr e g a r d c o n c e n t r a t e so nt h ew o r k so fg e n e r a lp l a n t sf o rn e t w o r k e dc o n t r o ls y s t e m s ( n c s s ，f o rs h o r t ) w i t hl i m i t e di n f o r m a t i o n i nt h i sd i s s e r t a t i o n , t h es t a t ef e e d b a c kc o n t r o lo ft h el i n e a rs i n g u l a rp l a n ti ss t u d i e d , w h e r et h es e n s o ra n dc o n t r o l l e ra r ec o n n e c t e dv i aan e t w o r ka n dt h et r a n s m i s s i o nf r e q u e n c yi s c o n s t a n t i nt e r m so ft h em o d e lb a s e dc o n t r o l ，t h em o d e lp l a n ti nt h es i n g u l a rs y s t e mi sa d d e d a tt h ec o n t r o l l e rt os t a b i l i z et h eo r i g i n a ls i n g u l a rs y s t e mw i t hp e r i o d i c a l l yu p d a t i n gi t ss t a t eb y t h ea c t u a ls t a t eo ft h ep l a n tp r o v i d e db yt h es e n s o r m o r e o v e r ，u n d e rs o m ec e r t a i nc o n d i t i o n s ， w h e nt h et r a n s m i s s i o nf r e q u e n c yi sl a r g ee n o u g h ，t h eg l o b a l l ye x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo ft h e w h o l ec l o s e d - l o o ps i n g u l a rs y s t e mi ss h o w n i na d d i t i o n , an u m e r i c a ls i m u l a t i o ni ss h o w nt o i l l u s t r a t et h er e s u l t so ft h ep a p e r i nt h i sd i s s e r t a t i o n , w eh a v ed o n ei nt h i sr e g a r da sf o l l o w s ： 1 m o d e l b a s e dc o n t r o lo fs i n g u l a rn e t w o r k e dc o n t r o ls y s t e m s 、析t t ls e n s o r ； 2 m o d e l b a s e dc o n t r o lo fs i n g u l a rn e t w o r k e dc o n t r o ls y s t e m sw i t ho b s e r v e r f o rn c s s 、析mt h ep l a n th a v i n gs i n g u l a rs t r u c t u r e t h i si saf i r s tt i m et ob ea d d r e s s e d w e s o l v ef e e d b a c ks t a b i l i z a t i o no ft h i sp r o b l e m m o r e o v e r ，w ea l s oe x t e n dt h em o d e l - b a s e d a p p r o a c h w h i c hi ss h o w ne f f e c t i v et or e d u c eb a n d w i d t hr e s t r i c t i o nf o rn c s sw i t hr e g u l a r p l a n t ，t ot h ec a s e 谢t l lp l a n tt h a ti ss i n g u l a rs y s t e m k e y w o r c b ：n e t w o r k e dc o n t r o ls y s t e m s ，s t a b i l i z a t i o n ，s i n g u l a rs y s t e m s ，s t a t ef e e d b a c k ， l a p l a c et r a n s f o r m a t i o n , l a p l a c ei n v e r s et r a n s f o r m a t i o n ，l i m i t e dc a p a c i t yc o m m u n i c a t i o n c h a n n e l 参考文献3 2 致谢3 6 1 1 研究背景 第一章引言帚一旱ji苗 奇异系统是一类比正常系统更具广泛形式的动力系统，奇异系统理论是2 0 世纪7 0 年代才开始形成并逐渐发展起来的现代控制理论的一个独立分支。1 9 7 4 年，英国学者 r o s e n b r o c kh h 在国际杂志i n t e r n a t i o n a lj o u r n a lo f c o n t r o l 上发表了题为“一般动态系 统的结构性质 一文，对线性奇异系统的解耦零点及系统受限等价性做了研究，首次提 出了奇异系统的概念。随后，美国学者l u e n b e r g e rd g 分别在i e e et r a n s a c t i o no n a u t o m a t i cc o n t r o l 和a u t o m a t i c a 上发表文章，对线性奇异系统解的存在性和惟一性等问 题展开研究。从此，拉开了对奇异系统理论研究的帷幕。 在奇异系统理论发展阶段的初期，即2 0 世纪7 0 年代，研究进展较慢，除了上述开 创性成果之外，这一时期的突出成果还有l u e n b e r g e rd g 关于非线性奇异系统的研究。 进入2 0 世纪8 0 年代，越来越多的控制理论工作者对奇异系统产生了浓厚的兴趣，奇异 系统理论也进入了一个新的发展阶段，从2 0 世纪8 0 年代初到8 0 年代末的1 0 年中，奇 异系统理论取得了蓬勃的发展，这一阶段的代表性成果有：c o b bd 提出了奇异系统的 能控性、能观性及对偶原理；进一步地，d a il 将其推广到离散奇异系统；y a n gc 等 提出了奇异系统的最小实现问题；f a h m ym m 等进行了观测器的设计；f l e t c h e rl r 等分别研究了奇异系统的干扰解耦及特征结构配置等问题；d a il 分别关于连续及离散 奇异系统设计了动态补偿器；b e n d e rd j 等分别关于连续及离散奇异系统研究了线性二 次型最优调节器问题；l i n j 和l i nx 分别讨论了时变和时不变奇异系统的最优控制问 题。综合上述各基本问题的一系列研究成果，d a il 于1 9 8 9 年出版了奇异系统理论的第 一本专注，系统地介绍了奇异系统的基础理论，从而标志着奇异系统的基础理论已经完 成，奇异系统理论研究又进入了一个新的发展阶段。 从2 0 世纪9 0 年代初至今，已经过二十余年的发展，奇异系统的研究已从基础向纵 深发展，涉及了从线性到非线性，从连续到离散，从确定性到不确定性，从无时滞到时 滞，从线性二次型最优控制到星和鼠控制等各个专题，取得了丰硕的成果。这一阶段 的代表性成果有：p e n gc u i 等研究了具有多重输入延迟的离散奇异系统的不确定线性二 次型最优控$ u f 口l 题( 1 2 1 ) ig u o p i n gl u 等讨论了双线性奇异系统在状态反馈情形下的连 续镇定控制器( 1 3 ) ；s h e n g y u a n x u 等研究了具有相等延迟的时变奇异系统的鲁棒可容 许性( 【1 4 】) ；s h e n g y u a nx u 等还研究了不确定离散奇异系统的鲁棒镇定性( 1 5 1 ) iz h i q i a n g z u o 等讨论了在驱动饱和状态下具有非线性扰动的奇异系统的容错控制( 【1 6 】) ；j i a n gw e i 等讨论了具有延迟控制的奇异系统的能控性( 1 7 1 ) ic h i - j ow a n g 等研究了线性时变奇异 系统的脉冲可观性和脉冲能控性( 【1 8 】) ；r u n y i y u 讨论了线性时不变奇异系统在反馈回路 中的脉冲代数重度( 1 9 ) ；g a o m i n z h a n g 研究了离散奇异系统的新有界实引理( 【2 0 】) ； a h r a a dh a i d a r , e k b o u k a s 研究了具有多重时变延迟的奇异系统的指数稳定性( 【2 1 】) ； y u a n q i n gx i a 等讨论了离散的奇异混杂系统的控制( 【2 2 】) ；l i g a n gw u 研究了带有延迟的 不确定奇异系统的被动变换控制( 【2 3 】) ；y u a n q i n gx i a 等讨论了连续奇异混杂系统的稳 定性和镇定( 2 4 】) ； 目前大量的研究主要采用的方法是线性矩阵不等式法，如s h e n g y u a nx u , a n dj a m e s l a m ( 【9 】) 完全用线性矩阵不等式的方法研究了奇异系统的稳定性、镇定、鲁棒控制、 鼠控制，由于线性矩阵不等式的求解是比较困难的，所以我们决定从另一面考虑问题， 使得问题的求解更简单，这就是本文的着重点。 网络化的模型控制方法已经在一般的线性系统和奇摄动系统中受到广泛关注，并得 出了相当出色的成果，一些代表性的成果有：l u i s a m o n t e s t r u q u e 用网络化模型控制的 方法研究了线性系统的稳定性( 【7 】) ；z h i m i n gw a n g 等用网络化模型控制的方法研究了奇 摄动系统的鲁棒镇定( 【2 5 】) 。 但是很少有文章运用网络化模型控制的方法研究奇异系统，本文将从网络化控制的 方向研究奇异系统，我们将给出奇异网络化系统的模型控制结构，闭环系统是一个混杂 奇异系统，混杂系统在每个采样区间上是奇异系统。接下来，我们会给出适当的条件使 得混杂系统在每个采样区间上是正则的。我们对模型系统和受控系统进行相应的受限等 价变换，从而可得到混杂系统的受限等价变换形式。利用传统的方法无法得到稳定结果 的奇异系统，我们可以给出新的方法，使得混杂系统在给定条件下达到指数稳定，从而 进一步可达到可容许。其中会用到拉普拉斯变换、拉普拉斯逆变换及一些基本的数学知 识。 2 第二章基于网络状态反馈的奇异系统 2 1 矩阵指数的算法 定义2 1 ( 【9 】第三章第二节) xl 阶矩阵彳的矩阵指数为： 其中厶为刀刀阶单位矩阵。 = 厶+ 彩+ 击彳，2 + = 薹去广， ( 2 1 ) 在 9 】中给出了四种计算矩阵指数7 的方法，我们采用第四种预解矩阵法：对于刀刀 阶矩阵彳定义预解阵【嘭一卅，则由 9 】结论3 6 知： = 一【鸩一) ， ( 2 2 ) 其中咖_ 1 为l a p l a c e 逆变换。 由【1 0 】中第九章拉普拉斯变换知： 定义2 2 设函数( 力是定义在【o ，佃) 上的实值函数，如果对于复参数= 卢+ 加( 为 虚数单位) ，积分 ，( 力= ，i ( t ) e - , i t ， ( 2 3 ) 在复平面的某一区域内收敛，则称，( 力为“，) 的拉普拉斯变换，记为，( 力= 妒( ( ，) ) ， 相应地，称( ，) 为厂( d 的拉普拉斯逆变换，记为( ，) = i 。1 ( ，( 力) 由【1 0 】中第九章第二节拉氏变换的性质知： 线性性质 设a 和p 为常数，且有妒( ( ，) ) = ，( 力，( 占( ) ) = 积0 ，则有 妒( a 弋，) + p 占( 力) = 口，( 力+ 卢舐0 ， - 1 ( a ，( 。力+ p g ( 力) = 口( ，) + 卢箩( ，) 卷积和卷积定理 再结合拉普拉斯逆变换知： ( ，一f ) 厮 旃= ，彳o ) z ( ，一f ) 衙， o ( ，一f ) 斫 配律等性质。 彳( 力，砂( 石( 力) = 互( 力，则有 力 ( 2 4 ) 妒- 1 ( 彳( j ) 互( 力) = 彳( ，) 奉石( 力 ( 2 5 ) 以上的拉普拉斯变换是关于一维函数的，下面将上述变换推广到矩阵函数的情形。 定义2 3 设矩阵函数纵力= 幼( ，) i ，产- 2 、。，其中幼是矩阵( ，) 的第群亍第列的元素， 定义其拉普拉斯变换为 驴( ( ，) ) = l i ( ( 力) l i ， 2 ，。 ( 2 6 ) 即，矩阵函数的拉普拉斯变换是对其分量的拉普拉斯变换。 定义2 4 设复矩阵函数g ( 力= 既( 力 i 栌 2 ，其中劬( 力是矩阵g ( 力的第，行第列 的元素，则定义其拉普拉斯逆变换为 妒。1 ( g ( 力) = i 妒。1 ( 劬( j ) ) i l ，户。二。， ( 2 7 ) 即，矩阵函数的拉普拉斯逆变换是对其分量的拉普拉斯逆变换。 注2 1 文中出现的矩阵均为实矩阵，除非特殊指出外。以后不再说明。假定文中出现 的拉普拉斯变换都是有意义的，即是存在的。 根据上面拉普拉斯变换的线性性质，我们可以得到下面的命题。 命题2 1 设常矩阵，= o i 。户，2 ， 和复矩阵函数g ( 力= 巩( d i 伊。知埘，则有 4 1 i 。1 ( 刀9 ( 力) = 砷。1 ( g ( 力) ， 妒1 ( 口( 力力= 驴一( g ( 力) ， 进而，对于任意的刀刀阶矩阵尸和9 有 妒。1 ( 尸b ( 力功= 剧1 ( g ( 力) 夕 证明：设c = 佑( d = 勺( 0 i 伊。加伊，则，乃( 力= 七颤( 力由( 2 7 ) 中的定义及拉普 扛i 拉斯变换的线性性质知： ( 昭( 力) 矿( 铅( 力) i 栌。如广 喜力一1 ( 品，( 力) l 洲玉叫= 乃一1 ( g ( 力) 同理，可得。1 ( 以力力= 妒一( g ( 力) 厂 进而，对于任意的刀刀阶矩阵尸和9 有 证毕。 一( 粥( 力功= 尉q ( g ( 力功= 厨。1 ( 以力) 夕 注2 2 上述命题说明对于矩阵的拉晋拉斯逆变换线性性质锣，然成立。 定义2 5 设矩阵函数纱( 力= 幼( ，) i 炉l 2 和( 力= ( 力 i ，= l ，：，定义其卷积为 ( ，) 木( ，) = ( ，) i 。一二，。， ( 2 8 ) 其中= ，( f ) ( ，一r ) 斫 p j0 命题2 2 上述定义的矩阵卷积满足 ( ，) 木以力= ，职r ) 以，一f 冲 ( 2 9 ) ， 证明：设，o ) r ( t - f ) 新的第所亍第列的元素面，即， 则 ， ，p ) v ( t - f 矽= r ( ，) | 抛：， 0 吒= j 0 羔k = l ( f ) 略( ，一f ) 斫= 兰h = l j 0 ( f ) ( ，一r ) 斫= 2 3 设矩阵函数纵，) 和v ( o ，i ( 职力) = 6 i ( 力和驴( 矿( 力) = 呸( 力，则 妒( 纵力木( ，) ) = 9 i ( 以，) ) 驴( ( ，) ) = 6 ；( 力呸( 力， ( 2 1 0 ) - 1 ( 6 ；( d 呸( 力) = ( ，) 毒以力= ，o ) v ( t - f ) 斫 ( 2 1 1 ) o ：由( 2 8 ) 知： ( ( 力幸以力) = ( ( ，) l 泸互。一) = ( 国( ，) ) i 。产。二，詹 = 咖( 喜| c f ，c ，一f ，衙 b 协。， = 眺叫蝴叫斫舭慵，。 = 恸k = l 训吲吼凡：，lj 卷积性质( 2 4 ) 知： 妒( 川吲力) = 罾( ( 力( 讪m l 屉lj = l 阻k = l ( 力) ( ( 讪肿j = 翰k = lc 蚓小啦。 j 其中磊( 力= 庐( ( ，) ) 和磊( 力= 驴( ( ，) ) ( z 后= 1 ，2 ，力 又 6 ；( 力呸( 力= 力 l 洲工，。 力 i 例名一= i 窆办( o 力( 力l i 纠二 l 拈ij 所以 咖( 职，) 木以力) = 6 i ( 力呸( 力 适维零矩阵，则 其中 证明：令厅= 啊+ 吃，因为 是 ，其中彤和以是分别是啊啊阶和伤仍阶的方阵，p 为 = 瞄甜 ， 1 7 。- - f z 2 彤7 卉 0 陪叫畋0 一以 1 = 愕一。南 其中n = 畋一以 彤 一彤 一 由( 2 3 ) 又由命题2 1 知： 进而 妒。1 ( 以 一川 川) = 以( 吃一彤 一) ， 以 一以 一= ( 彤一( 一彤 。) ) = 妒( 彤，) ， 所以 n = 畋一必 一彤 吆一彤 一= 驴( 7 ) 妒( 以，) 再结合卷积性质( 2 1 1 ) 知， ( 2 1 2 ) 7 立 川以 成l - 1 ) u r d i - 】# 擗 c 矩 面 设 进 乱 。 。 z 立 毕 题 成 证 命 、li-， _ j 镌 一 畋 化、 扩 =畎 k 丁 以 一 吆 卜u r y =以 、：， 一 川 一 嘭 ，u、 扩 = ， 秒 知 m ) 以扩d r = n 1 p 妒1 ( k 一彤 _ 1 ) 2 2 奇异系统预备知识 对于连续时间的线性时不变奇异系统，其状态空间描述一般表示如下： 厨( ，) = 出( ，) + 觑( ，) ， ( 2 1 3 a ) y ( o = o ( 力+ 仇( ，) ( 2 1 3 b ) 其中，互彳”，刀”，f 矿一，刃胪”，皆为定常矩阵；e 为奇异矩阵，z 的秩满 足z r a n k ( e ) = q n 有时为了简便，简记奇异系统( 2 1 3 ) 为( 历4 层c 功 对于奇异系统( 2 1 3 ) 进行线性非奇异变换孑= 纱1 z ，可以得到 砌( ，) = z 以万( ，) + 肋( ，) ， ( 2 1 4 a ) 少( 力= ( 陟( ，) + 刀( ，) ( 2 1 4 b ) 其中，尸和夕是两个可逆矩阵。这时，在奇异状态空间中，变换前后的两个奇异系统的 状态之间是一一对应的，称这两个奇异系统是受限等价的，这种变换通常称为受限等价 变换。 显然，奇异系统的受限等价变换具有自身性、对称性和传递性。 受限等价变换具有保持奇异系统的结构特性的性质，如特征值、正则性、稳定性、能控 性和能观性等结构特性。因此，对结构比较复杂的奇异系统进行分析与综合时，经常采 用受限等价变换把奇异系统化成一种简单特殊的形式，再对其进行分析研究。 由于受限等价变换不改变矩阵刀，因此，为了简便，不妨讨论刃= 0 时的奇异系统。 8 下面给出奇异系统的常见的两种受限等价形式。 假设r a n k ( 句= 办( 必一句的行列式的次数为厂，即d e g d e t ( s e - 句= ，显然有 厂矿 刀 ( 1 ) 弟一柙叟限等价彤式 当矩阵对( 历句正则时，总存在可逆实矩阵尸和乡，使得 脚= 瞄匀，幽= 瞄甜p b 惕叫q 讣 g 柳 其中，一”州p 一是幂零矩阵，密零指数为历即乃= m i i l 后i = o ，后矿 ( 当o 时有h i , - 1 o ，= 0 ；当= o 时有乃= 1 ) ；其他矩阵具有相应的维数。 制荆= 捌州，) 呱圳一，得到 毫( ，) = 4 五( 力+ 眉( 力，乃( 力= 仁五( ，) ( 2 1 6 a ) 笼( ，) = 吒( ，) + 忍( ，) ，奶( ，) = c ：q ( ，) ( 2 1 6 b ) 少( ，) = 咒( 力+ 儿( 力 ( 2 1 6 c ) 这种分解通常称为快慢子系统分解，又称为第一种受限等价形式。并称式( 2 1 6 a ) 为慢子 系统，式( 2 1 6 b ) 为快子系统。 ( 2 ) 第二种受限等价形式 总存在可逆实矩阵彳和召使得 栩= 匕匆 令矿1 z ( ，) = 主箔 ，孟( ，) 俨，是( ，) 舻矿， 奇异系统( 历4 忍0 受限等价于第二种形式 毫( ，) = 4 。暑( 力+ 4 ：是( 力+ 磊( ，) ， ( 2 1 7 a ) 0 = 4 ，暑( ，) + 4 ：是( ，) + 磊( 力， ( 2 1 7 b ) 9 其中 少( ，) = 露暑( ，) + 之戛( 力 栩= 瞄习，棚= 陉射州甜州t 2 3 基于网络状态反馈的奇异系统 图1 基于网络的状态反馈系统 ( 2 1 7 c ) ( 2 1 s ) 考虑图1 所表述的问题，其中受控系统是由以下形式的不确定奇异系统构造的 厨( ，) = ( 彳+ 的z ( 力+ ( 刀+ a 功( ，) ( 2 1 9 ) 其中z ；( 力；z 彦是己知的相应维数的矩阵；必凹范数有界的不确定项。即 a a l l 巧凹临彦下面的模型系统取作受控系统( 2 1 9 ) 的标称系统 厨( ，) = 衙( 力+ 励( ，) ( 2 2 0 ) 其中j ( ，) ；r a n k ( 句全刀l 伤n 2 + 刀l = n 基本假设：假设奇异系统( 2 2 0 ) 是正则的、无脉冲的、能控的。 定义2 6 如果矩阵束( 组一句是正则的，即存在岛c 使得行列式d e t ( 岛z 一句0 ，则称 奇异系统( 2 2 0 ) 是正则的，或称矩阵对( 互句是正则的。 1 0 当奇异系统( 2 2 。) 正则时，总存在可逆实矩阵尸和夕，使得只幽= ( 乞吕) ，令 矿1 名( 力= f ，x 暑：( ( 力o j l ，暑( 力l ，乏( ，) 2 ，则奇异系统( 2 2 。) 受限等价于 艘0 幕答2 黝2 葛拶， 亿2 ， 【= 4 。皇( 力+ 4 ：是( ，) + 愿( ，) 、 7 其中删= 匕习，幽= 旺射朋= ， 而令纱力= ( 主箔) ，五( 力l ，艺( ，) 2 ，则奇异系统( 2 j ”受限等价于 j ，毫( ，) = ( 4 。+ 鲍。) 而( 力+ ( 4 ：+ 鲍：) 而( 力+ ( 墨+ 召) z ，( ，) 佗2 2 ) 1o = ( 4 。+ 必。) 而( ，) + ( 4 ：+ 必：) 五( 力+ ( 垦+ 鹋) 彩( ，) 毕7 其中尸( 彳+ 幽夕= 滋：麓乏：麓) 以曰+ 嘲= f ，4 计+ 媚a b e 、1 ) 注2 3 在基本假设条件下，因为奇异系统( 2 2 0 ) 是能控的，所以总可以找到控制器 = 毛+ 置是 使得 和 ( 4 。+ 眉) 一( 4 ：+ 4 钙) ( 易+ 愿钙) _ 1 ( 4 ，+ 忍墨) ( 2 2 3 b ) 均是h u r w i t z 的。 注2 4 在基本假设条件下，不失一般性，可以假设4 ：和4 ：+ 必：均是h u r w i t z 的；否 则，应用z ，= 而+ 五恐+ 万作用到( 2 2 2 ) 上，使得夏= 4 2 + 忍钙和乏+ 峨对任意 给定的都是h u r w i t z 的。 下面定义： 状态误差q ( ，) = 而( ，) 一皇( ，) ；吃( 力= 五( ，) 一是( ，) ，传送时间为 厶，后n + - o ，1 ，2 ， ，其中么。- 6 = 乃是常数。更新法则满足：当，= 磊时，q ( 磊) = o 且乞( 磊) = o 1 1 在每个传送时间，= 磊时，更新法则为 其中 h 翻卜n ( 2 2 5 b ) 1 2 刀= 呤a 缸陋射缸眨甜 眨2 6 ) 其中( 差镜j ) 是c 2 2 5 ，于区间，c 厶，么。，上的运动轨迹( 差笛 在时刻，= 的初始 状态；当，t 钿，磊，时， 主 ：；：； = 脚( 差暑) ，p 代表适维零矩阵，。和厶：分别代 表刀。维和刀：维单位矩阵；亿。和皖：分别代表刀。和刀：维零矩阵。 引理2 1 人2 2 是h u r w i t z 的。 证明：令 天= ( 乏：畿乃卜啦 旺2 7 ， 尸= 0 1 乏1 ，夕= ( 厶0 2 乏i ) l厶。j l厶： 则有人l l = 瓜l l f - l , a 1 2 = 瓜1 2 q - 1 ，人2 l = 蕊2 l ，1 ，人2 2 = 蕊2 2 q - 1 由上式可知，a 笼和天：是相似的。 因为如+ 忍置和幺+ 必2 均是h m v i t z 的，所以天2 2 是h u n v i t z 的，故人2 2 也是 h u r w i t z 的。 证毕。 引理2 2 下面几个命题是等价的： ( 1 ) 、 矩阵对( 层句无脉冲； ( 2 ) 、d e g d e t ( s e - 句= 朋础( 句； ( 3 ) 、 当缸= o ，o 嵋时，不存在满足巩= 彳的广义特征向量 吃，后2 ； ( 4 ) 、 第一种受限等价形式变换中的= 0 ； ( 5 ) 、 第二种受限等价形式变换中的4 ：满足d e t ( a 2 ：) 0 ； 1 3 脯匕习黼c 句 ( 2 2 0 ) 对任意的初始状态都不存在脉冲解的充要条件是矩阵对( 历句 尢脉j 申。 由于( 2 2 5 ) 是整体状态反馈系统在区间，【磊，“) 上的动力学行为，而且它也 是第二种受限等价形式，故由引理2 i 和引理2 2 得整体状态反馈系统( 2 2 5 ) 在区间 ，k ，么) 上无脉冲。再由引理2 3 可知总状态反馈系统( 2 2 5 ) 对任意初始状态都不存 在脉冲解。 引理2 4 矩阵对( 互句可容许的充要条件是第二种受限等价变换中的人乜非奇异且 a ( i i l - a 。2 人- 2 2 1 人2 1 ) o 其中a ( 句= 仅( 句= m a x r e x 2 5 s l d e t ( s - 4 ) = o 引理2 5 矩阵对( 历句可容许的充要条件是它是正则的、无脉冲的、稳定的。 对于系统( 2 2 5 ) ，由引理2 1 知人2 2 是h u r w i t z 的，所以人2 2 是非奇异的，下面只需 验证引理2 4 的第二个条件是否满足。 而人。，一人。：人：- ：1 人：。= 尸( 天。- x ：天丢天：。) ，1 和 天l l 一天1 2 天丢天2 l ：f ( 4 。+ 召) 一( 4 ：+ 召五) ( 4 ：+ 忍钙) - 1 ( 4 + 愿钙) l川她删 o 、1 ( 4 。+ 皑。) 一( 4 ：+ q ：) ( 4 ：+ 必：) 。1 ( 4 。+ 必。) j 以她删= ( m + 幽墨) 一( 鲍：+ 凹钙) ( 以+ 愿五) 1 ( 4 。+ 忍五) 其中 + ( 幺+ 鲍：) ( 么+ 必) - 1 ( 鲍：+ 鹋钙) ( 以+ 愿置) 川( 4 。+ 愿墨) 一( 4 ：+ 4 ：) ( 4 ：+ 彳乞) - 1 ( 4 。+ 曼) 记天。= 天。一天。：砭天：。， 令 z = ( 厶( 4 ：+ m ：) ( 如+ 峨：) 一( 4 ：+ 皑：) ( 4 ：+ 出龟) 一一厶) ， 1 4 q = 肾 f = p 必2 + 鸠置 p 刃 厢 ( 4 ：+ 忍钙) 。1 ( 4 。+ 垦墨) 厢 ( 4 ：+ 忍钙) 一( 4 。+ 忍) p p 必。+ 必 d刊， p 1 秒 i 鲍：+ 鹋羁j 可得从必嘲= 压扩， 记 天。= ( 川盒蛔甜 其中 天。= ( 4 ，+ 墨) 一( 4 ：+ 召) ( 幺+ 辱五) - 1 ( 4 。+ 忍钙) ， a ：= ( 4 。+ a 4 。) 一( 4 ：+ a 4 ：) ( 么乞+ 4 ：) 叫( 4 。+ 4 。) ， 注2 s 由( 2 2 3 b ) 知，久。是h u r w i t z 的，从传统的方法分析得：人：是否是h u r w i t z 的， 决定着天。是否是h u r w i t z 的，也即要使a o = 砝。f , - 1 是h u r w i t z 的，需保证a ：是 h u r w i t z 的。 2 4 主要结果及证明 由( 2 2 5 b ) 知： 肖( 磊) = 乞。z ( ) ， ( 2 2 8 ) 其中 缸豺 式( 2 2 5 a ) 等价于 瓮0 ：栽鸶， 【= 人2 l + a 2 2 五。 一 。 因为人2 2 h u r w i t z 的，所以由( 2 2 9 ) 的第二式知， 五= - a 丢a ：。 ( 2 3 0 ) 将( 2 3 0 ) 代入( 2 2 9 ) 的第一式得，土- ( a 。- a 。：人- 也1 人：。) z ，【磊，么。) 1 5 珈叫眨甜 批h o ， ( 2 3 1 ) 的响应如下 ( 2 3 2 ) 甜 1 6 居 其中万。= ，以必叫7 斫 这里丌。是万= ( 嘭：一人：) - 1 州必删( 呶。一i 0 ) 一的拉普拉斯逆变换，即万。= y 一1 ( 石) z t 。= 譬：) y 。二彦) = 吒二氏) 1 。嘭。一o 人：厂 ， 那么 州叫。州厂舞出。驰厂。翕地 对上式进行拉普拉斯逆变换得， = 巩盘功刊o p l 秒习= ( 吕 这里 序 ( 她必力= - k 川她叫办， o r l - - 后+ ( 必丝力 ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) 由( 2 3 3 ) 可知，肜和有相同的非零特征值，如果n 的特征值都在r 2 一的单位圆内， 则是舒尔稳定的。由( 2 2 3 b ) 知，入。是h u r w i t z 的，则( 2 3 5 ) 式中f i 的第一部分少 的特征值都在碾2 ”i 的单位圆内，n 的第二部分( 她a b , 功可以看作是第一部分的扰 动。mr - a ( 幽, a a , h ) 是以她删在一个传送区间【o ，纠上的的积分，所以只要乃充分 小，就可以保证兀的特征值均在r 2 ”- 的单位圆内。 所以可得如下定理： 定理2 1 在基本假设条件下，如果传送频率充分大，则闭环系统( 2 2 5 ) 在 o ，佃) 上是 全局指数稳定的。 由引理2 5 和定理2 1 可知，闭环系统( 2 2 5 ) 在【o ，佃) 上是可容许的。 h 来优化 没必要是 不确定匹 n 的特征 1 8 我们考虑图2 中的结构： 受控系统： z ( 力= ( 彳+ 句z ( ，) + ( 曰+ 功z ，( 力， 少( 力= ( f + o z ( ，) 其中z ，少俨，4 她忍丝e a c 是相应维数的矩阵。 模型系统： 厨( 力= 幺( ，) + 励( ，) ， 控制器： 髟= 廊= 墨暑( ，) + 五岛( ，) 全状态观测器： ( 3 1 a ) ( 3 1 b ) ( 3 2 ) 1 9 ( 3 3 ) ) 露( 力 ( ，) ， ( 3 4 ) 她 脚= 瞄孙幽= 臣射刀锶叫q 脚9 = 麓：麓 ，脚= 麓 ，固= 【0 g 】， 令 矿1 z ( 力= 主拱 ，五( ，) 卵，而( ，) 舻，巧+ 恐= 刀， 喇= 嘲 则模型系统受限等价于 艘0 幕荔2 捌2 葛掣， 5 ， 【= 4 。暑( ，) + 4 ：是( ，) + 愿( ，) r 7 令 例榴 ，p l 惕 则 即卅夕= 幽一戌固= 臣纡p l c 。讣臣篆厶以- 4 仁q j ， 巾牛 朋件隧习 状态观测器受限等价于 高0 哮盖是器2 罄绷2 葛籀劣 6 ， 【= ( 4 。一厶q ) i ( ，) + ( 么一厶g ) 夏( ，) + 忍z ，( ，) + 厶少( ，) 。 v 一7 3 2 主要结果及证明 下面定义模型系统与观测器状态的误差： 局( ，) = 焉( ，) 一暑( ，) ，乞( ，) = 夏( ，) _ 是( 力 采样时间间隔是常数h ，么。- 6 = 乃，令t = 6 ，q ( 磊) = o ，吃以) = o 在区间，【厶么。) 上，整个动力系统等价于 4 l + m l 4 l + 必l 厶( q + q ) 厶( q + q ) 厶( q + q ) 厶( q + q ) ( 属+ 幽) 五 ( 垦+ 鹋) 钙 ( 4 ：一厶g ) + 犀钙 ( 么一厶仁) + 愿钙 一厶g 一厶g 调整一下顺序可得： 令 0 0 4 2 + m 2 4 2 + 必2 厶( g + g ) 厶( g + g ) 厶( 仁+ 仁) 厶( g + 仁) 一( 属+ 鹋) 一( 垦+ 鹋) 一4 墨 一忍 4 l 4 l 4 l + m l 厶( q + q ) 厶( q + q ) 4 l + 必l 厶( q + q ) 厶( q + q ) 4 2 + 凹2 ( 仁+ g ) 厶( q + g ) 4 2 + 必2 厶( 仁+ g ) 厶( e + 仁) ( 点+ 鹋) 墨 ( 曼+ 峨) 局 ( 4 。一q ) + 驾属 ( 4 ，一厶q ) + 垦墨 一厶q 一厶g 一( 4 + 鹋) 钙 一( 忍+ 丝) 一屏 一忍 4 2 易 ( 属+ 鹋) 4 。一g + 4 墨 一q ( 垦+ 丝) 4 。一厶q + 忍 一厶q ( 属+ 幽) 置 4 ：一q + 属 一厶e ( 愿+ 互) 置 4 ：一厶g + 忍钙 一厶g 五 恐 五 五 岛 吃 一( 召+ 鹋) 墨 一墨 4 i 一( 忍+ 愿) 一属墨 4 l 一( 犀+ 凹) 钙 一属置 4 2 一( 4 + 鹋) 五 一愿钙 4 ， 互塌互目 q 五 _ 五 乞 ( 3 7 a ) ( 3 7 b ) ( 3 8 ) = 1 ，2 ( 3 9 ) = l ，2 ( 3 1 0 ) a ( 3 1 1 ) 人l i = 瓜l l , - 1 ；人1 2 = 瓜1 2 矿1 ；人2 l = 巫2 l ；a 2 2 = 巫2 2 f i r l ( 3 1 2 ) 命题3 1 如果4 2 + m 2 ，如+ 垦钙，如一厶g 都是h u n v i t z 的，则a 2 2 也是h u r w i t z 的。 此时由( 3 7 a ) 可得， 及 其中 人：=