（应用数学专业论文）解析函数空间上的算子理论和landaulifshitz型方程.pdf

摘要 解析函数空间上的算子理论 和l a n d a u l i f s h i t z 型方程 专业：应用数学 报告人：王晓峰 摘要 本文分为两个方面的内容： 第一部分，描述t 0 e p l i t z 算子和复合算予理论的发展概貌，然后讨论d i r i c h l e t 空 间上某些t o e p l i t z 算子的f r e ( t h o l m 性质，计算符号在c 1 中的t o e p l i t z 箅子的本质谱， 而且对d i r i c h l e t 空间上复合算子的f r e d h o l m 性质和可逆性做了刻划接着讨论单 位圆盘的h a r d y - o r l i c z 空间上由解析自映射诱导的复合算子的有界性，可逆性，紧性 和y r e d h o l m 性质，并且计算了这种算子的谱 第二部分，对l a n d a u - l i f s h i t z 方程的提出和理论发展做了介绍，然后证 明l a n d a u - l i f s h i t z 型方程( 用a 一、，仁五代替一v ( ( 一) 一 v ) ) ) 全空间问题弱解的 存在性最后研究l a n d a u - l i f s h i t z 型方程在周期边界条件情形解的存在性问题 关键词：t o e p l i t z 算子，复合算子，m d h o l m 性质，l a n d a u - l i f s h i t z 型方程，a - 算 子 a b s t r a c t o p e r a t o rt h e o r yo na n a l y t i cf u n c t i o ns p a c e a n dl a n d a u - l i f s h i t zt y p ee q u a t i o n m a j o r ：a p p l i e dm a t h e m a t i c s n a m e ：x i a o f e n gw a n g a b s t r a c t t h e r ea r et w op a r t sa sf o l l o w si nt h ep a p e r i nt h ef i r s tp a r t ，t o e p l i t zo p e r a t o rt h e o r ya n d c o m p o s i t i o no p e r a t o rt h e o r ya r e i n t r o d u c e d 1 e d h o l mp r o p e r t i e so fs o m et o e p l i t zo p e r a t o r so nd i r i c h l e ts p a c ea r e d i s c u s s e d ，a n dt h ee s s e n t i a ls p e c t r ao ft o e p l i t zo p e r a t o r sw i t hs y m b o l s i nc 1i sc o m - p u t e d ，f u r t h e r m o r e ，c h a r a c t e r i z a t i o n 8o fi n v e r t i b l ea n df r e d h o l mc o m p o s i t i o no p e r - a t o r sa r eo b t a i n e df o rd i r i c h l e ts p a c e so fb o u n d e dc o n n e c t e dd o m a i 珊i nc o m p l e x p l a n e a n dt h e n ，p r o p e r t i e so fc o m p o s i t i o no p e r a t o r si n d u c e db ya n a l y t i cs e l f - m a i m o nt h eu n i td i s ko ft h ec o m p l e xp l a n ei nh a r d y - o r l i c zs p a c e sa r ed i s c u s s e d ，r e s u l t s a r ee o n c e m e dw i t hb o u n d e d n e s s ，i n v e r t i b i l i t y , c o m p a c t n e s s ，f r e d h o h no p e r a t o r sa n d s p e c t r ao fc o m p o s i t i o no p e r a t o r s i nt h es e c o n d p a r t ，t h ee x i s t e n c e o fw e a ks o l u t i o nt ot h el a n d a u - l i f s h i t z t y p ee q u a t i o nw i t ha ( t h es q u a r er o o to f 一) i n s t e a do ft h ed e s i r e do p e r a t o r v ( ( 一) 一v ) i sp r o v e d a n dt h e n ，l a n d a u - l i f s h i t zt y p ee q u a t i o no ft h ep e r i - o d i cb o u n d a r yi sd i s c u s s e d k e y w o r d s ：t o e p l i t zo p e r a t o r ，c o m p o s i t i o n l a n d a u - l i f s h i t zt y p ee q u a t i o n ，a - o p e r a t o r l l c h a p t e r1 ：i n t r o d u c t i o n c h a p t e r1 ：i n t r o d u c t i o n i n1 9 1 0 ，t o e p l i t z f l 】1i n v e s t i g a t e df i n i t em a t r i c e sw h i c ha r ec o n s t a n to nd i a g - o n a i sa n dt h e i rr e l a t i o nt ot h ec o r r e s p o n d i n go n e - a n dt w o - s i d e di n f i n i t em a t r i c e s 4 7y e a r sl a t e r ，s z g g oe ta l ( 2 jp r o v e dt h ef u n d a m e n t a lt h e o r e mi nt h i sl i n eo fr e - s e a r c h ，a n dh a r t m a n ，w i n t n e r 3 ，【4 】m a d em u c hc o n t r i b u t i o n st ot h es p e c t r u mo f s e l f - a d j o i n tt o e p l i t zm a t r i c e s i n1 9 6 4 ，w i d o m 5 ，【6 】p r o v e d t h e s p e c t r u m c o n n e c t i o n t h e o r e mf o rt h eu n s e l fa d j o i n tt o e p f i t zo p e r a t o ro nh 2a n dh p ( 1 p o 。1 s i n c e b r o w n - h o l m a s 7 r e - e x p r e s s e d t h e t o e p l i t zm a t r i c e si nt e r m s o ff u n c t i o nt h e o r y , c l o s e a t t e n t i o nh a sb e e np a i dt ot h es t u d yo ft o e p l i t zo p e r a t o r f o rt h ec l a s s i c a lh a r d y s p a c eh 2 ( t ) o nt h eu n i tc i r c l eta n d 妒l ”( t ) ，t o e p f i t zo p e r a t o r 耳i sd e f i n e db y 耳，一p 肘；，f o r ，h 2 ( t ) w h e r epi st h ep r o j e c t i o nf r o ml 2 ( t ) o n t oh 2 口) t o e p l i t zo p e r a t o ri sc l o s e l yr e l a t i v et om a n y b r a n c h e so fm a t h e m a t i c sa n dn o n - m a t h e m a t i c s ，e g f u n c t i o nt h e o r y , c y b e r n e t i c s ，o p e r a t o rt h e o r y , q u a n t u mm e c h a n i c s ， p r o b a b i f i t y , p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n f o re x a m p l e ，g u i l l e m i n 8 1p r o v e dt h a t t h ep s e u d o - d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r sc a nb el o o k e du p o nac l a s st o e p l i t zo p e r a t o r s ， g u i u e m i n ，b e r g e ra n dc o b u m 【8 1 ，f 9 】f o u n dt h er e l a t i o no ft h ew e y lo p e r a t o ra n d i t sa l g e b r ai nq u a n t u mm e c h a n i c sa n dt h et o e p l i t zo p e r a t o r sa n di t sa l g e b r ao nf b c k s p a c e t o e p l i t za l g e b r a sc o n t r a c tc l o s e l yt h e e x t e n s i o nt h e o r yo fc + a l g e b r a 1 0 ，【1 1 】， t h es t u d i e so ft o e p l i t zo p e r a t o r sa n dw i e n e r - h o p f o p e r a t o r sh a dp a r a l l e ld e v e l o p - m e n tu n t i lr o s e n b l u m 1 2 ls h o w e dt h a tt h et w ok i n d so fo p e r a t o r sw e r eu n i t a r i l y e q u i v a l e n t s u b s e q u e n t l y , d e v i n a t z 【1 3 1s h o w e d t h a tt h ec a n o n i c a lc o n f o r m a lm a p - p i n go ft h eu n i td i s ko n t ot h eu p p e rh a l f - p l a n ee s t a b l i s h e st h eu n i t a r ye q u i v a l e n c e b e t w e e nat o e p f i t zo p e r a t o ra n dt h ef o u r i e rt r a n s f o r mo faw i e n e r - h o p f o p e r a t o r s ot h et h e o r yo ft o e p l i t zo p e r a t o rh a sb e e ns p r e a di nm a n yd i f f e r e n td i r e c - t i o n ，i n c l u d i n gt h es i m p l ev a r i a b l eb e r g m a ns p a c e ，h a r d ys p a c e ，d i r i c h l e ts p a c ea n d b e r g m a ns p a c e o ns e v e r a lv a r i a b l ec o m p l e xs p a c e ，e t c i nt h ec a s e so fb e r g m a n s p a c e 】 o rh a r d y s p a c e ，d i r i c h l e ts p a c eo nu n i td i s c ，u n i tb a l lo fs e v e r a lv a r i a b l ec o m p l e x s p a c e ，t h es t u d y i n gc o n c e r n i n gt o e p l i t zo p e r a t o rg r e a t l yb e n e f i tf r o mt h e o r yo fr e - p r o d u c t i v ek e r n e li nt h o s es p a c e s h o w e v e r ，i no t h e rc a s e s ，s u c ha 8t h es i t u a t i o ni n b e r g m a ns p a c eo fs o m eg e n e r a ld o m a i n s ，i ti sv e r yd i f f i c u l tt ow r i t eo u tt h ec o n c r e t e f o r m u l ao ft h e k e r n e l ，t h e r e f o r e ，a p p l i c a t i o no fr e p r o d u c t i v ek e r n e li 8g r e a t l yl i m i t e d i nf a c t ，i ng e n e r a lb o u n d e d d o m a i n ，t o e p l i t zo p e r a t o rt h e o r y i sm u c hl e s sr i c ht h a ni n u n i td i s ca n du n i tb a l l p a r t i c u l a r l y , t h e r em e r e l yi sl i t t l es t u d yo ft o e p l i t zo p e r a t o r o fg e n e r a lb o u n d e dd o m a i n ，a n df u r t h e r m o r e ，t h es y s t e m a t i ct h e o r yh a sn o tb e e n d e v e l o p e d a n o t h e ri m p o r t a n to p e r a t o ro nf u n c t i o ns p a c e si sc o m p o s i t i o no p e r a t o r t h e s t u d i e so fc o m p o s i t i o no p e r a t o rc o u l db e e na s c e n d e dt oe n o r d g r e n 【1 4 ，f 1 5 1 b e - c a u s et h i sk i n do fo p e r a t o r sh a sn a t u r a lr e l a t i o nt of u n c t i o nt h e o r y , a n dw h a t 8m o r e ， m a n yp r o b l e m sc o n c e r n i n g f u n c t i o nt h e o r yc a nb et r a n s f o r m e dt oc o r r e s p o n d i n gp r o b - l e m sc o n c e r n i n go p e r a t o rt h e o r yb ym e a n so fc o m p o s i t i o no p e r a t o r ，i m p o r t a n c eh a s g r a d u a l l yb e e na t t a c h e dt oi t f o rb o u n d e dd o m a i nf l l ，n 2 c “，w h e r eg “i sn - d i m e n s i o n a lc o m p l e xs p a c e ，西：n 1 _ q 2 ，c o m p o s i t i o no p e r a t o rgd e f i n e db y c 十f ( x ) = ，( ( 卫) ) w h e r e ，j sa f u n c t i o nd e f i n e do n 哂 o v e rt h ey e a r s ，m o r ea n dm o r ec o n c e r n sw e r ep l a c e do nc o m p o s i t i o no p e r a t o r t h e o r y , m a n ys i g n i f i c a n tr e s u l t sa r o s ea n dt h e r eo f t e nw e r e s e v e r a lp a p e r sw h i c hr e - s e a r c h e do ns a m ep r o b l e mb yd i f f e r e n td i r e c t i o n c o m p o s i t i o no p e r a t o ri sc l o s e l y r e l a t i v et om a n yb r a n c h e so fm a t h e m a t i c s ，e g f u n c t i o nt h e o r y , o p e r a t o rt h e o r y , d y n a m i cs y s t e m ，f o re x a m p l e ，d eb r a n g e sp r o v e d t h eb i e b e r b a c hc o n j e c t u r eb y c o m p o s i t i o no p e r a t o rt h e o r yo fa n a l y t i cf u n c t i o ns p a c e t h ec o m p o s i t i o no p e r a t o r t h e o r yo fa n a l y t i cf u n c t i o ns p a c ew a s a v e r yi m p o r t a n t b r a n c ho fc o m p o s i t i o no p e r a t o rt h e o r y , i th a sb e e nr e s e a r c h e db ym a n ym a t h e m a t i c i a n s ，f o ri n s t a n c e ，j a c i m a ， j t h o n m o na n d w w o g e n 1 6 】s t u d i e dc o m p o s i t i o no p e r a t o r o l lh a r d ys p a c eh 2a n d 0 h a t o r i 1 7 g f c a oa n ds h s u n 1 a p r o v e d t h e a n a l o g o u s r e s u l ti n 俨( 鼠) ，w h e r e 2 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n ： 鼠i su n i tb a l li nn - d i m e n s i o n a lc o m p l e x s p a c e ，e t c j h s h a p i r o 2 0 ，r k s i n g ha n d j s m a n h a s 1 9 i n1 9 9 3a n d c c c o w e na n d b d m a c c l u e r 2 1 】i n1 9 9 4s i g n e dan e w p a g eo ft h es t u d yo fc o m p o s i t i o no p e r a t o r ，t h o s eb o o k sm a k et h ec o m p o s i t i o no p e r - a t o rt h e o r yas y s t e m i ct h e o r y t h es t u d i e sc o n c e r n i n gt h i sk i n do f o p e r a t o rr o u g h l y c a nb ec l a s s i f i e da sb o u n d - e d n e s s ，c o m p a c t n e s s ，s p e c t r u m ，a l g e b r a i cp r o p e r t i e s ( s u c ha sn o r m a l i t ya n ds u b n o r - m a l t y ) a n d s oo n h o w e v e r ，c o m p a r e dw i t ht o e p l i t zo p e r a t o ra n dh a n k e lo p e r a t o r ， c o m p o s i t i o no p e r a t o rt h e o r yi s f a rf r o mm a t u r i t y , s t i l lw i t hm a n y p r o b l e m st ob e s o l v e d i nc h a p t e r2 t h ef r e d h o l mp r o p e r t i e so fs o m et o e p l i t zo p e r a t o r so nd i r i c h l e t s p a c ea r ed i s c u s s e d ，a n dt h e e s s e n t i a ls p e c t r ao f t o e p l i t zo p e r a t o r sw i t hs y m b o l s i nc 1 a r ec o m p u t e d ，f u r t h e r m o r e ，c h a r a c t e r i z a t i o n so fi n v e r t i b l ea n df r e d h o l m c o m p o s i t i o n o p e r a t o r sa r eo b t a i n e df o rd i r i c h l e ts p a c e so fb o u n d e dc o n n e c t e dd o m a i n s i nc o m p l e x p l a n e p r o p e r t i e so fc o m p o s i t i o no p e r a t o r si n d u c e db ya n a l y t i cs e l f - m a p so nt h eu n i t d i s ki nc o m p l e xp l a n ei nh a r d y - o r l i c zs p a c e sa r ed i s c u s s e di nc h a p t e r3 r e s u l t s a r ec o n c e r n e dw i t hb o u n d e d n e s s ，i n v e r t i b i l i t y , c o m p a c t n e s s ，f r e d h o l mo p e r a t o r sa n d s p e c t r ao fc o m p o s i t i o no p e r a t o r s l a n d a u - l i f s h i t ze q u a t i o n sa r ef u n d a m e n t a le q u a t i o n si nt h et h e o r yo ff e r r o n m g - n e t i s m t h e yd e s c r i b eh o wt h em a g n e t i z a t i o nf i e l di n s i d ef e r r o m a g n e t i cm a t e r i a l e v o l v e si nt i m e t h es t u d yo ft h e s ee q u a t i o n si sav e r yc h a l l e n g i n gm a t h e m a t i c a l p r o b l e m ，a n di sr e w a r d e db yt h eg r e a ta m o u n to fa p p l i c a t i o n so fm a g n e t i cd e v i c e s ， s u c ha sr e c o r d i n gm e d i a ，c o m p u t e rm e m o r yc h i p s ，a n dc o m p u t e rd i s k s t h ee q u a - t i o n sw e r ef i r s td e r i v e db yl l a n d a ua n de l i f s h i t zi n1 9 3 5 t h e yc 蚰b ew r i t t e n 裳群u ( u 等) + 卢u 瓦5 e ，( 1 - 1 ) w h e r e i s t h e v e c t o rc r o s s p r o d u c t i n r “( n 2 ) ，u = ( i t l ，u 2 ，u n ) ：q 【o ，+ o 。) 舻i st h es p i nv e c t o ra n d 舻i sag i l b e r td a m p i n gc o n s t a n t t h es y s t e me q ( 1 1 ) 3 i 8i n l p u e db yt h e c o i l s e r v a n t i o no f e n e r g ya n dm a g m t u d e 。fu t h em a g n i t u d e 。ft h e s p i ni sf i n i t e ，i _ e ， = 田= 1 h e r e e = e ( “) = w 1 2 出+ 上( 牡) 如+ 厶i v 西1 2 出 i st h ef r e ee n e r g y f u n c t i o n a l ，a n di ti sc o m p o s e do ft h r e ep a r t s ： ( i ) 最$ ( t ) = 矗1 w 1 2 d xi st h ee x c h a n g ee n e r g y i tt e n d st oa l i g n 乱i nt h es 呦e d i r e c t i o na n dp r e v e n t suf r o mb e i n gd i s c o n t i n u o u si ns p a c e ( i i ) e m ( t 正) = j 毛妒( u ) d zi s t h ea n i s o t r o p ye n e r g y c o 。( j p ) ，咖0d e p e n d s o nt h ec r y s t a ls t r u c t u r eo ft h em a t e r i a l i ta r i s e sf r o mt h ef a c tt h a tt h e m a t e r i a lh a 8 s o m e p r e f e r r e dm a g n e t i z a t i o nd i r e c t i o n ，e g i f ( 1 , 0 ，0 ) i st h ep r e f e r r e dm a g n e t i z a t i o n d i r e c t i o n ，咖( “) = 遁+ 嵋f o r 川= 1 ( i i i ) 占k ( “) = 厶。f v 刮2 如i s t h ee n e r g yo ft h em a g n e t i c f i e l dv 西i n d u c e db yt 正 b y t h em a g n e t o s t a t i c st h e o r y 一圣一d i v ui n ( 舻) 。 e q ( 1 1 ) h a sb e e nw i d e l ys t u d i e d i nt h ec a s e p = 0 ，a 0 ，e q ( t - 1 ) c o r r e s p o n d s t ot h eh e a tf l o wf o rh a r m o n i cm a p ss t u d i e di ng u o e ta l 【2 2 】；i f 卢0 ，d 0 ( w h i c h i m p l i e ss t r o n gd a m p i n gi np h y s i c s ) ，t h ei n t e r e s t e dr o b b e r sv a nr e f e rt oc h e ne t8 l 【2 3 】 f o rt h e m a t h e m a t i c a lt h e o r y ；w h i l ei nt h ec o n s e r v a t i v ee a s e ，i e ，卢0 ，q = 0 ，t h e e q - ( 1 1 ) c o r r e s p o n d s t os c h r s d i n g e rf l o ww h i c h r e p r e s e n t st h ec o n v e r s a t i o no fa n g u l a r m o m e n t u m t h en u m e r i c a lt r e a t m e n tt oe q ( 1 1 ) c a nb ef o u n di ne e ta l 2 4 a n d g a r c t a - c e r v e r a 【2 s r e c e n t l y , t h es t u d yo ft h et h e o r yo ff e r r o m a g n e t i s m ，e s p e c i a l l yt h et h e o r yo n t h i nf i l m ，i so n eo ft h ef o c u s e sf o rb o t h p h y s i c i s t sa n dm a t h e m a t i c i a n s i nd e s i m o n e e ta l 2 6 ，w i t hs o m e a s s u m p t i o n s ，t h e yd e d u c e d t h ef r e ee n e r g yf u n c t i o n a li nt h i nf i l m 4 c h a p t e r1 ：i n t r o d u c t i o n o f t h ef o r m ： j 小却删址厶婿雌且2j j 铲l l h e n c 8 面6 e = v ( ( 一) 一v ) u a n dl 眦d a n - l i 触i t ze q u a t i 。ni 8 酉0 u = - a 2 u x ( u 瓦5 e ) ( 1 - 2 )酉u 瓦) a saf i r s ts t e pt os t u d yt h i se q u a t i o n ，w es t u d yt h es i m p l i f i e dl a n d a u l i f s h i t z e q u a t i o n 警= 一地+ ( 舰咖， ( 1 _ 3 ) i n w h i c h t = ( u 1 ，u 2 ) ：qx o ，+ o 。) _ 舻i s t h es p i n v e c t o r ，a i s t h es q u a r er o o t o f 一a n d ( “， ) i st h ei n t e r n a lp r o d u c t o fu a n d e q ( 4 - a ) i s o b t a i n e db y r e p l a c i n g v ( ( 一) 一 v ) 乱i ne q 0 - 2 ) w i t ha u n r 1 ，b q ( 4 - 3 ) c o i n c i d e n c e sw i t he q 0 - 2 ) t ot h eb e s tk n o w l e d g eo fo u r s ，t h i si st h ef i r s tt i m ean e wm o d e lh a sb e e nr a i s e d i nf a c t ，f r o mp h y s i c a lp o i n to fv i e w ，i ti sl e g a lt oc o n s i d e rm a g n e t i z a t i o nd e p e n d i n g o no n l yo n ev a r i a b l e f o ri n s t a n c e ，n e e lw a l la n db l o c hw a l la x eo n e - d i m e n s i o n a l m a g n e t i cd o m a i n w a l l s t h ea i mo fc h a p t e r4i st op r o v et h ee x i s t e n c eo fw e a ks o l u t i o nt ot h el a n d a u - l i f s h i t zt y p ee q u a t i o n ，w h i c hw i l lb et h ep r e p a r a t i o nf o rf u r t h e rd e v e l o p m e n to ft h e g e n u i n el a n d a u l i f s h i t ze q u a t i o n c h a p t e r5i s c o n c e r n e dw i t hl a n d a u - l i f s h i t zt y p ee q u a t i o no ft h ep e r i o d i c b o u n d a r y 5 c h a p t e r 2 ：d i r i c h l e ts p a c eo n b o u n d e d c o n n e c t e dd o m a i na n di t s o p e r a t o r s 2 1d i r i c h l e t s p a c eo nb o u n d e dc o n n e c t e dd o m a i na n di t s t o e p l i t zo p e r a t o r s l e tmb eab o u n d e d ，o p e n ，c o n n e c t e d ，n o n - e m p t ys u b s e to ft h e c o m p l 旺p l a n e c b e c a u s eo fr i e m a n n st h e o r e m ，w i t h o u tt o s so f g e n e r a l i t yw ec a na e s l n i l et h a tm s a t i s f i e sc o n ep r o p e r t y w ep u tt h eu s u a lt w od i m e n 8 i o n a l ( l e b e s g u e ) a r e a m e 鹪l l r e d ao nm l 2 1i 8t h e s p a c eo ff u n c t i o n si nl 2 ( m ) ，f o rw h i c hs a t i s f i e s 峰= 厶【| 象1 2 + i 塞门d a o o 删= 百l 2 , 1i sa h i l b e r ts p a c ew i t ht h ei n n e rp r o d u c t ( 乜m = ( 丝o z ，笔) 川酣) + ( 塞，塞) 硪跗) ， w h e r eci st h ec o m p l e xn u m b e r s p a c e d ( m ) ，t h ed i r i c h l e ts p a c ei st h es u b s p a c eo fa l la n a l y t i cf u n c t i o n si nc 2 1 l e t pb e o r t h o g o n a lp r o j e c t i o nf r o mc 2 1t od ( m ) a p o i n ta o m i ss a i dt ob er e m o v a b l ew i t h r e s p e c tt od ( m ) i f t h e r ee m s t sa n o p e nn e i g h b o r h o o dv o fas u c ht h a tf o ra l l “口( m ) ，= 是c a nb e e x t e n d e dt oa n a n a l y t i cf u n c t i o nd e f i n e do nmuv t h es e to fa l lp o i n t so fo mw h i c ha r er e m o v a b l e w i t hr e s p e c tt od ( m ) i sd e n o t e d b y 岛一，m t h ed i r i c h l e ts p a c ee s s e n t i a lb o u n d a r y o fm ，d e n o t e d 国一e m ，i st h es e to fa l lp o i n t so fo m w h i c ha r en o tr e m o v a b l ew i t h r e s p e c tt od ( m ) ；s o m 一。m = o m 一吼一， t a p o i n ta o m i ss a i dt ob er e m o v a b l ew i t h r e s p e c tt ol i ( m ) t h eb e r g m a ns p a c eo n m ，( 8 e es a x l e r ，j b c o n w a y , g m c d o n a l d 2 7 】) i ft h e r ee x i s t sa no p e n