（应用数学专业论文）非线性奇异微分方程组边值问题正解的存在性和多解性.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 非线性奇异微分方程( 组) 边值问题正解的存在性和多解性 摘要 非线性泛函分析是现代分析数学的一个重要分支，随着科学技术的不断的发 展。非线性分析已经成为研究数学、物理学、航空航天技术和生物技术中非线性 问题的一个重要工具非线性问题产生于应用数学、物理学、控制论等各种应用 学科中，且奇异非线性微分方程的非局部边值问题、周期边值问题以及脉冲微分 方程的边值问题引起了许多学者的关注，是目前微分方程研究中的一个十分重要 的领域本文利用锥理论，不动点理论，l e g g e t t w i l l i a m s 不动点定理，非线性二 择一定理以及不动点指数理论，研究了奇异非线性微分方程组和脉冲微分方程多 个正解的存在性 本文共分为三章： 在第一章中，我们利用l e g g e t t w i l l i a m s 不动点定理和平移变换，讨论了非线 性二阶奇异半正微分方程组非局部边值问题 u 。( j + a l j ，l 【u t t j ，t ，l t jj 十p i t j2u ，u c 1 ， t ，( ) + a 2 ( t ) f 2 ( t ，让( ) ，u ( ) ) + q ( t ) = 0 ，0 t 1 ， 叩( 。) 一跏，( o ) = - ( z 1 让撕( s ) z o i u ( s ) 却1 ( s ) ) 7 - u ( 1 ) + 6 - u 7 ( 1 ) = 9 - ( z 1 让( s ) d 砂- ( s ) ，z o l , v ( s ) d - ( s ) ) ， 1 1 1 口z ( 。) 一仍u 7 ( 。) 一 z ( z 1 口( s ) 却z ( s ) ，z 1 秒( s ) d 砂：( s ) ) ， 他u ( 1 ) + 如t ，7 ( 1 ) = 9 z ( z 1 让( s ) d 砂z ( s ) ，z 1 ”( s ) d 曲z ( s ) ) 正解的存在性本文在非线性项为半正的情形下证明了非局部边值问题( 1 。1 1 ) 三 个正解的存在性，改进并推广了文【5 , 6 】中的结果 在第二章中，我们利用非线性二择一定理和s c h a u d e r 不动点定理讨论了奇异 半正非线性三阶微分方程组 t i t 4 - p 3 地2f i ( “，一o + e “) 0 坯2 丌 ( 2 1 1 ) lu ( o ) = 地( 2 丌) ，u ：( o ) = 钍：( 2 7 r ) ，t ，( o ) = u ，( 2 7 r ) ，l = 1 ，2 ，n 正解的存在性，并给出所获结果的应用 曲阜师范大学硕士学位论文 在第三章中，我们利用不动点指数定理，研究了一类带有积分边界条件和p l a p l a c i a n 算子的脉冲边值问题 l 一( 妒p ( 缸7 ( ) ) ) = f ( t ，u ( ) ) ，t t k 。t ( 0 ，1 ) ， x u h = t t = 厶( 札( t ) ) k = 1 川2 ( 3 t 1 1 ) 【u ( 。) = 0 1s ( ) 让( ) d t 妒p ( u 7 ( 1 ) ) = f 0 1h ( ) 咖p ( u ( t ) ) d 多个正解的存在性 关键词：非线性奇异半正微分方程组；正解；非局部边值问题；周期 边值问题；非线性二择一定理；s c h a u d e r 不动点定理；脉冲微分方程； 积分边界条件；不动点指数 曲阜师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i si sa ni m p o r t a n tb r a n c hi nm o d e r na n a l y t i c a l m a t h e m a t i c s ，a l o n gw i t ht h ed e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y ，n o n l i n e a r f u n c t i o n a la n a l y s i sh a sb e c o m ea ni m p o r t a n tt o o lo fs t u d yt h en o n l i n e a rp r o b l c m o fm a t h e m a t i c s ，p h y s i c s ，a e r o s p a c et e c h n o l o g ya n db i o l o g i c a lt c c h n o l o g y t h e b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o ns t e m sf r o mt h ea p p l i e d m a t h e m a t i c s ，t h ep h y s i c s ，t h ec y b e r n e t i c sa n de a c hk i n do fa p p l i c a t i o nd i s c i p l i n e t h en o n l o c a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e ma n dp e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo f s i n g u l a rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n a sw e l la st h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo f i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o nh a sa t t r a c t e dm u c ha t t e n t i o no fm a n ys c h o l a r s 。s o t h e yb e c o m eav e r yi m p o r t a n td o m a i no fd i f f e r e n t i a le q u a t i o nr e s e a r c ha tp r e s e n t i nt h i sp a p e r ，w eu s et h ec o n et h e o r y ，t h ef i x e dp o i n tt h e o r y , l c g g c t t w i l l i a m s f i x e dp o i n tt h e o r e m ，n o n l i n e a ra l t e r n a t i v ea n dt h et h ef i x e dp o i n ti n d e xt h e o r yt o s t u d yt h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n so fs i n g u l a rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a l e q u a ti o na n di m p u l s i v ed i f l e l e u t i a le q u a t i o n t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s i nc h a p t e r1 ，b yu s i n gl e g g e t t w i l l i a m sf i x e dp o i n tt h e o r e m sa n dm a k i n ga s u b s t i t u t i o n ，w ec o n s i d e r e dt h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l es o l u t i o n sf o rn o n l o c a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fn o n l i n e a rs e c o n d - o r d e rs i n g u l a rs e m i - - p o s i t o n ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ： u ( ) + n l ( t ) ( t ，u ( t ) ，u ( ) ) + p ( t ) = 0 0 t 1 ( z ) + a 2 ( t ) h ( t ，u ( ) ，钉( t ) ) + q ( t ) = 0 ，0 t 1 ， 刚( 0 ) _ 跏，( o ) = t ( z 1 让( s ) 龇( s ) ，0 1 巾) 却l ( s ) ) ， 7 ，u ( 1 ) + 6 ，札7 ( 1 ) = 9 ，( 1 让( s ) d ，( s ) ，1 ( s ) d 。( s ) ) ， 掣( 0 ) - 刚( 。) = ：( z 1 吣) 讹( s ) ，0 1 巾) 嘞( s ) ) ， 7 2 v ( 1 ) + 如口，( 1 ) = 9 2( 小s 脚：，0 1 巾) 蚴( s ) ) ( 1 1 1 ) w cp r o v e dt h ee x i s t e n c eo ft h r e ep o s i t i v es o l u t i o n sf o rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ( 1 1 1 ) w i t ht h en o n l i n e a rt e r mi ss e m i p o s i t o n c t h em a i nr c u l to ft h i sp a p e r 曲阜师范大学硕士学位论文 g e n e r a l i z ea n di m p r o v ct h er c s u l t si n 【5 ，6 】 i nc h a p t c r2 ，b yu s i n gt h cn o n l i n e a ra l t e r n a t i v eo fl c r a y s c h a u d c rt y p ca n d s c h a u d e rf i x e dp o i n tt h e o r e m ，w ei n v e s t i g a t e dt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n s f o rs i n g u l a rs e m i - p o s i t o n en o n l i n e a rt h i r d - o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ： ( 2 1 1 ) w ca l s og i v ct h ea p p l i c a t i o n so ft h em a i nr e s u l t s i nc h a p t e r3 ，b yu s i n gf i x e dp o i n ti n d e xt h e o r e m ，w ec o n s i d e r e dt h ee x i s t e n c e o fm u l t i p l cp o s i t i v es o l u t i o n sf o rac l a s so fs e c o n d o r d e ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t hi n t e g r a lb o u n d a r yc o n d i t i o n sa n do n e - d i m e n s i o n a lp l a p l a c i a n ： l 一( ( u ，( z ) ) ) 7 = ，( t ，u ( ) ) ，t k ，t ( 0 ，1 ) ， ? a u t ：k = 1 k ( u ( t k ) ) ，七= 1 ，2 ，m 【u ( 。) = z 1 鲋) ) 啦( ”) ) = l h ( f ) 姒让) ) 砒 ( 3 1 1 ) k e y w o r d s ：n o n l i n e a rs i n g u l a rs e m i - p o s i t o n ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；p o s i t i v e s o l u t i o n s ；n o n l o c a ls i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；p e r i o d i cb o u n d a r yp r o b - l e m ；n o n l i n e a ra l t e r n a t i v e ；s c h a u d e rf i x e dp o i n tt h e o r e m ；i m p u l s i v ed i f f e r c n t i a l e q u a t i o n s ；i n t e g r a lb o u n d a r yc o n d i t i o n s ；f i x e dp o i n ti n d e x 1 l n2，1 工 打 i i 一 0 、， 一 孙 o 义 ， u = 艮 + 又 ) u n ， 一神 一 | | ，、l，虮厶，似 ，l ， n= q 眦 眦 矿= + ：“ u u ，j-【 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文非线性奇异微分方程( 组) 边值问 题正解的存在性和多解性，是本人在导师指导下。在曲阜师范大学攻读硕士学 位期间独立进行研究工作所取得的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发 表或撰写的研究成果对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文 中已明确的方式注明本声明的法律结果将完全由本人承担 作者签名：日期： 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 2 咿今 j 袋非线性奇异微分方程( 组) 边值问题正解的存在性和多解性系本人在曲 阜师范大学攻读硕士学位期间，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研 究成果归曲阜师范大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本 人完全了解曲阜师范大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有 关部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师 范大学，可以采用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部 分内容 川叼 藏 第一章非线性二阶奇异半正微分方程组非局部边值问题的 多个正解 1 1引言 常微分方程组非局部边值问题产生于应用数学和物理学的多个领域近年 来，对于非局部边值问题的特殊情形多点边值问题的研究已有丰富成果【1 - 4 ，但 多数只对非线性项为正的情形进行了研究很自然的，对这一具体领域的进一步 研究即为非线性微分方程组奇异半正非局部问题 。 本章研究下列非线性奇异半正微分方程组 u ( ) + a l ( t ) f l ( t ，札( ) ，u ( ) ) + p ( t ) = 0 ，0 t 1 ， 口( ) + a 2 ( t ) f 2 ( t ，u ( ) ，t ，( ) ) + q ( t ) = 0 ，0 t 0 ，i = 1 ，2 ；p ，口：( 0 ，1 ) _ ( 一。，+ ) l c b c s g u c 可积，且在 0 ，1 】内有 有限个奇异点； a x ( t ) f 1 ( t ，0 ，0 ) 或0 2 ( ) 尼( z ，0 ，0 ) 在( o ，1 ) 的任一子区间上不恒 为零； ? t t ( s ) r f 晚( s ) ，：；t ，( s ) f f 也( s ) ，爿“( s ) d 以( s ) ，爿? ，( s ) d 叽( s ) 。i 一1 ，2 ，表示 r i m m u m s t i c l t j c s 积分 在上述类型的方程组中，非线性项是可以变号的，这类问题通常被称为半正 问题 第一章非线性二阶奇异半正微分方程组非局部边值问题的多个正解 艾矧中，尿平等利用l e g g e t t w i l l i a m s 不动一点足理甜零j 非局鄢边值i 列题 ( ) + a l ( t ) f l ( 瓦让( t ) ，u ( ) ) = 0 ，0 t 1 ， u ( ) + a 2 ( t ) f 2 ( t ，珏，u ( ) ) = 0 ，0 t 1 ， 刚( o ) _ 州( 。) = 。，7 - u ( 1 ) “u ，( 1 ) = 9 。( z ) 酬s ) ，0 1 小) 撕( s ) ) ， q 2 口( 。) 一伤口7 ( 。) = 。，仇 ( 1 ) + 如u ，( 1 ) = 仍( z 1u ( s ) d z ( s ) ，0 1u ( s ) d 砂z ( s ) ) 三个正解的存在性这里吼g ( ( o ，1 ) ， 0 ，+ 。) ) ， c ( o ，1 】 0 ，+ ) 【0 ，+ o o ) _ o ，+ 。o ) ) ，即非线性项是非负的 文【6 中，刘立山，张新光等利用不动点指数定理研究了奇异半正边值问题 ， l 一( ) = f ( t ，耖( t ) ，z ( ) ) + p ( ) ，0 t 1 ， 一( t ) = s ( t ，z ( z ) ，( ) ) + 鼋( ) ，0 t 1 ， ( 1 1 3 ) iz ( o ) = z ( 1 ) = 0 ，y ( o ) = y ( 1 ) = 0 正解的存在性，但这里所研究的问题为两点边值问题 受文献 5 , 6 】启发，本章用l e g g e t t w i l l i a m s 不动点定理和平移变换，在非线 性项为半正的情形下证明了非局部边值问题( 1 1 1 ) 三个正解的存在性 1 2 预备知识和引理 为了方便，我们首先给出l e g g e t t w i l l i a m s 不动点定理 设k 为实b a n a c h 空间e 中的一个锥，映射q ：k 一 0 ，+ ) 连续，如果 对任意的z ，y k ，0st 1 ，有a ( t x + ( 1 一t ) y ) t a ( x ) + ( 1 一t ) ( 夕) ( 或 a ( t x 十( 1 一t ) y ) t a ( x ) + ( 1 一) q ( y ) ) ，则称a 为k 上的非负连续凹( 或凸) 泛 函 设0 n b 为给定的常数，a 为k 上的非负连续凹泛函定义集合 p r = z kl l z l 7 ) ，p ( a ，a ，b ) = z kl asa ( z ) ，l l z l l b ) 定理1 2 1 n设a ：一p c _ 夏为一个全连续算子，a 为k 上的非负连续 凹泛函，对任意的z 夏，a ( z ) 忙i i ，如果存在0 a b ， ( a z ) 对任意i i x l j a ，都有| l a z l l d ，都有a ( a x ) b ， 则a 至少有三个不动点x 1 x 2 ，x 3 满足忙l0 a ，b a ，a ( x a ) b 引理1 2 1 设y ( t ) c o ，1 】，i = 1 或2 ，则问题 有唯一解 其中 “( ) 0 t 1 ( s ) d 机( s ) ) ， ， s ) d 咖i ( s ) ) ( 1 2 1 ) = z 1g 以小灿+ 掣吼( 小s 脚小，小s 脚如，) + 鱼掣 i ( z 1 缸( s ) d 妒t ( s ) ，z 1t ，( s ) d 妒t ( s ) ) ， 证明由( 1 2 1 ) 得 因此，我们有 m ) ，0 s 1 ， m s ) ，0 t 8 1 札讯) = 一f o t y ( s ) d s 十乱，( 0 ) ， t ( ) u ，( 1 ) 札( 1 ) 一o o ( t s ) y ( s ) d s + u i ( o ) + “( o ) ， ) d s + u 7 ( o ) ， s ) y ( s ) d s + u ( 0 ) + u ( 0 ) ， 3 ( 1 2 2 ) 钉、：1 厂厶f 够 虹 脚 坛 0 ， c 0 让 ，f伯r o“ 吼 ， l l = 0 d 刨 佃 ) 娌 u 屈 瓯 叫 一 + 删 删 讥 m 仇 + + 他0 幻 优 眦 + + 成脘 ，-，、_， 1 一凤 = d g p y 1 l ( 厂厶广厶 一 一 第一章菲线性二阶奇异半正微分方程组非局部边值问题的多个正解 再由边界条件得 u 7 ( 。) = 詈仇( 0 1 “( s ) d i ( s ) ，0 1 ( s ) d t ( s ) ) + a - 0 1 h ( 一爰 t ( z 1u ( s ) d 妒t ( s ) ，1 ( s ) 螂t ( s ) ) ， 。) = 争( 。) + i 1 办i ( 0 1 铭触0 1 以s ) 州s ) ) = 鲁仇( 小班似s ，0 1 吣黼，) 因此 + 瓯+ m 矶 一s ) + 4 y ( s ) d s ， 吃( z 1u ( s ) d 以( s ) ，0 1 钞( s ) d 砒( s ) ) + 鲁z 1 【m ( 1 一s ) + 文 ( s ) d s u = 一z ( t 叫小) d s + 胱+ c t i l 见z 1 m 1 _ s ) m s ) d s + 半吼( 小s 脚小，0 1 巾脚如，) + 盈+ ( 1 一t ) + m i ( z 1u ( s ) d 砂t ( s ) ，0 1u ( s ) d 砂t ( s ) ) g ( 瓦s ) y ( s ) d s + 瓯+ ( 1 一t ) p i 屈+ o q t 风吼( z 1u ( s ) d t ( s ) ，1u ( s ) d t ( s ) ) t ( z 1u ( s ) d 妒t ( s ) ，z 1 ( s ) d 矽t ( s ) ) 为了方便，先列出本章中我们要使用的假设： ( h 1 ) 讥，也为定义在【0 ，1 】上增的非常数函数，且蛾( o ) = 0 ，以( o ) = 0 i = 1 ，2 ( h 2 ) o t ( ) 在( 0 ，1 ) 的任一子区间上不恒为零，并且0 0 ，并且有 z 1g - ( s s ) p + ( s ) d s 鲁，z 1g 。( s i s ) q + ( s ) d s 鲁， 其中p + ( s ) = m a x p ( s ) ，o ) ，p 一( s ) = m a x - p ( s ) ，o ) ，q + ( s ) = m a x q ( s ) ，o ) ，q 一( s ) = m a x 一f ，( s ) ，o ) ，b t i2 丽高南司，i = 1 ，2 4 曲阜师范大学硕士学位论文 注1 2 1由条件( h 2 ) ，存在t o ( 0 ，1 ) 使得a i ( t o ) 0 ，从而可取矽( 0 ，i ) 使得t o ( p ，1 一秽) 另外，由g i ( ，s ) 的表达式易得 g l ( f ，8 ) 0 ，0 t ，s 1 ；g i ( s ) g i ( s ，s ) ，0 0 注1 2 3 若( z ，y ) 满足( 1 1 1 ) 且z ( ) 0 ，y ( t ) o ( 或z ( ) 0 ，y ( t ) 0 ) ，v t ( 0 ，1 ) ，则我们称( z ，y ) 为( 1 1 1 ) 的正解 对任意的u c 【0 1 】，定义函数【u ( 圳。： 以f ) 呱) 0 l0 ，u ( t ) 0 令 u l ( z ) = g 1 ( t ，s ) p 一( s ) d s ，o v 2 ( t ) = g 2 ( t ，s ) q 一( s ) d s ，0 t 1 ， 由条件( h 2 ) ，有 u z ( ) = 1g 1 ( s ) p 一( s ) d s 1g z ( s ，s ) p 一( s ) d s 去1p 一( s ) d s + ， u z ( t ) = z 0 0 1 ( 2 ( f s ) 叮一( s ) d s z o i ( 2 ( s 吖一( s ) 小壶z 1q 一( s ) 幽 + o o 通过直接计算可得 u ，( ) = - p 一( ) ，0 1 u l ( o ) 一p l u i ( o ) = 0 ， y 1 w l ( 1 ) + 6 1 “，：( 1 ) = 0 ， u ；( ) = - q 一( ) ，“2 u 2 ( o ) 一阮u ：( o ) = 0 ，7 2 “，2 ( 1 ) + 6 2 u ：( 1 ) = 0 从而，w l ( t ) ，w 2 ( t ) 分别为下列边值问题 i u ( ) = p 一( t ) ，0 t 1 ， lq l u ( o ) 一p 1 札，( 0 ) = 0 ，；l u ( 1 ) + 6 1 u ，( 1 ) = 0 ， 5 第一章非线性二阶奇异半正微分方程组非局部边值问题的多个正解 ：意宅嚣 赫“以垆。 的正解 为了解决半正带来的困难，我们考虑下列奇异非线性常微分方程组 一札l c j2a ll j _ ，1 i ，l u ( t j 一0 1 1 ( j 】，【v ( tj u 2 l ) j 。) + p + i j ，0 t l ， 一t ，( ) = a 2 ( t ) f 2 ( t ，【u ( t ) u 1 ( ) 】，【v ( t ) u 2 ( ) r ) + q + ( ) 0 t 1 ， q ，u ( 。) 一- u 7 ( 。) = ，。，( 1u ( s ) d 矽，( s ) ，1t ，( s ) d 妒- ( s ) ) ， 7 - u ( 1 ) + 6 - u ( 1 ) = 9 。( z 1u ( s ) d 。( s ) ，1u ( s ) d 。( s ) ) ， a z 邶) 一刚( 。) = z ( z 1 吣) 讹( s ) ，f o u ( s ) 龇( s ) ) ， 4 r 。t ，( 1 ) + 6 ： 7 ( 1 ) = 9 z ( 1u ( s ) d 多z ( s ) z 1u ( s ) d 咖z ( s ) ) ， 则( t t ，u ) 为( 1 2 3 ) 的解等价于( i t ，u ) 为下列积分方程的解 u ( ) = g l ( t ，s ) 【n ( s ) ( s ，【u ( s ) 一u - ( s ) r ，【v ( s ) 一u 2 ( s ) 】+ ) + p + ( s ) 1 c z s ，0 + 掣9 - ( 小s 脚小，11 ) 撕) + 鱼半，z ( z 1u ( s ) d ，- ( s ) ，0 1 钉( s ) d 妒- ( s ) ) ， ，- 1 秒( z ) = g 2 ( t ，s ) 陋z ( s ) 厶( s ，阻( s ) 一u ，( s ) 】+ ，p ( s ) 一u 2 ( s ) 】) + g + ( s ) 】d s ，0 + _ 3 2 + f c l 2 t9 z ( o x u ( s ) 嘞( s ) ，z 1 小) 讹( s ) ) + 鱼掣 。( z 1u ( s ) d 妒z ( s ) ，z 1 ( s ) d 妒2 ( s ) ) ( 1 2 4 ) 设x = c o ，1 】c o ，1 】，v ( u ， ) x ，令l i ( u ，v ) l i = | l u l | + i i | | ，其中i i 札i l = m a x o _ t _ li u ( t ) 1 | i = m a , x o _ t _ 1i v ( t ) l ，则y 在所定义的范数下为一个b a n a c h 空 间定义x 中的锥k = ( 眠? ，) x ：u ( ) 0 ，v ( t ) 0 ，t 【0 ，1 】m i n d 曼1 0 0 1 1 ( u ，v ) l | ) 定义一个非线性积分算子t ：x _ x 丁( u ，u ) ( t ) = ( a ( u ， ) ( ) b ( u ，u ) ( ) ) ， 6 曲阜师范大学硕士学位论文 其中 a ( u ， ) ( f ) = + + g - ( ，s ) o ( s ) ( s ，【u ( s ) 一u - ( s ) r ，【v ( s ) 一u ：( s ) r ) + p + ( s ) 】d s p l + n l t p l9 - ( 小s 脚小，0 1 小) 6 l + 3 1 ( 1 一t ) 脚= z 1 + + p l厅，( 1u ( s ) d 矽- ( s ) ，z 1u ( s ) d 妒- ( s ) ) ， g 2 ( t ，s ) o 。( 5 ) 止( s ，【u ( s ) 一u z ( s ) 】+ ，【v ( s ) 一2 ( s ) 】) + q + ( s ) 】d s 庞+ c t 2 t 仍( 小s 脚z ，小s 膨z ) 6 2 + 镌( 1 一t ) z ( 1 札( s ) d 砂z ( s ) ，z 1u ( s ) d 妒：( s ) ) ， 因此，( 1 2 4 ) 正解的存在性等价于算子丁在b a n a c h 空间x 中不动点的存在 性 引理1 2 2 若( u ，u ) 满足u ( ) u 1 ( ) ，v ( t ) u 2 ( z ) ，v t 【0 1 】，为( 1 2 4 ) 的一个正解，则( t t u 1 ，口一0 2 2 ) 为奇异半正微分方程组( 1 1 1 ) 的一个正解 证明若( t t 。u ) 为( 1 2 。4 ) 的一个正解并且满足钍( ) u l ( ) ，v ( t ) u 2 ( ) ，v t 【0 ，1 】，则由( 1 2 3 ) 与【u ( ) 】+ 的定义可得 一“”( ) = a l ( t ) f l ( t u ( t ) 一u 1 ( ) ，v ( t ) 一u 2 ( z ) ) + p + ( ) ，0 t 1 ， 一口”( f ) = a 2 ( t ) f 2 ( t ，u ( t ) 一u l ( z ) ，v ( t ) 一u 2 ( ) ) + q + ( f ) ，0 t 1 ， 刚( 。) 一胁，( 0 ) = 。( z 1u ( s ) 蚍( s ) ，0 1 巾) 批( s ) ) 7 ，乜( 1 ) + 6 - u 7 ( 1 ) = 9 - ( z 1 珏( s ) d ( s ) ，0 1 钞( s ) d 矽- ( s ) ) ， q z 巾) 一倒( 。) = 危z ( 1u ( s ) 讹( s ) ，0 1 小) 却z ( s ) ) ， 1 ：u ( 1 ) + 6 ：u 7 ( 1 ) = 9 z ( z 1u ( s ) d 砂：( s ) ，0 1u ( 5 ) d 。( s ) ) ( 1 2 5 ) 令u l ( ) = u ( t ) 一u l ( ) ，v l ( t ) = v ( t ) 一u 2 ( ) ，则u i ( t ) = u ( ) 一u ? ( ) v f ( t ) = 7 第一章非线性二阶奇异半正微分方程组非局部边值问题的多个正解 口( ) 一u 兰( ) ，从而u ( ) = u ? ( ) 一p 一( ) ，u ( ) = ”，( ) 一q 一( ) 故( 1 2 5 ) 变为 一乱；( ) = a l ( t ) f l ( t ，u 1 ( t ) ，移1 ( ) ) + p + ( t ) 一p 一( t ) ，0 t l ， 一t ，( ) = 0 2 ( ) 止( ，札1 ( ) ，u 1 ( ) ) + “( ) 一q 一( ) ，0 1 ， 掣( 卟刚( 。) = 。( z 1 札( s ) 却z ( s ) ，0 1 小) 讹) ， 7 z 钉( 1 ) + 6 z ：( 1 ) = 9 z ( z 1u ( s ) d 妒z ( s ) ，0 1 ( s ) d 痧：( s ) ) ( 1 2 6 ) 注意到，p ( t ) = p + ( ) 一p 一( ) ，q ( t ) = g + ( ) 一g 一( z ) ，故由( 1 2 6 ) 知，( u l ，7 2 1 ) 为 ( 1 1 1 ) 的一个正解，即( u 一( m 1 ，秒一u 2 ) 为( 1 1 1 ) 的一个正解 1 3 主要结果 为了方便，先列出下文中我们要用到的记号： 彳- = 躜1g ，( 【0 1 ( s ) + n ( s ) 】d s = 罢誉f og z ( f l s ) s ) + “( s ) 】d s 帆：唧m 少i n f l - eg i ( 抽) 以s ) d s 厶= 志煮，k = 赤丽p i j - a i ，江，2 帆2 唧少一 抽) 啦( s ) 幽，厶2 丽五而，k 。南丽，江1 ，2 引理1 3 1 t ：k _ ， 证明对任意的( u ， ) k ，由注1 2 1 以及a ( u ，t 小) 0 ，口( 札，? ，) 0 ，t 【0 ，1 】，可得 a ( u ，u ) | | =m a x 0 t 1i a ( u ，u ) ( ) 口l + o l + + p 19 。( z 1 u ( s ) d 驴。( s ) 6 1 + ，y 1 p 1 1 厂1、 口( 5 ) 踯l ( s ) j qi - ( 小s 酬s i 厂l、 上 ( s ) 踯- ( s ) ) g l ( s ，s ) a l ( s ) f x ( s ， u ( s ) 一u l ( s ) 】+ ，p ( s ) 一u 2 ( s ) + ) 十p + ( s ) 】d s 8 曲阜师范大学硕士学位论文 b ( u ，v ) l l2 o m l a xi b ( u ，u ) ( ) l 尾+ 0 2 9 2 p 2 + 如+ 7 2 ( 小班似s ，小s 脚z ) ：( 小s ，0 1 小) ，i l + g 2 ( s ，s ) 【n ：( s ) y 2 ( s ，【u ( s ) 一u 。( s ) 】+ ，p ( s ) 一u 2 ( s ) r ) + q + ( s ) 】d s ，0 因此，对任意的( u ，v ) k ，由g ( ，8 ) o c i ( s ，s ) 及以上两式得 m ，i n 。a ( u ，u ) ( ) t g a l l a ( u ，u ) 扣( s ) 一u 2 ( s ) 】+ ) + p + ( s ) 】d s 同理可证，对任意的( t t ，t ，) k ，有m i n e t _ 1 一p 似( 帆y 州) o l i ，? ( “，y 川1 故 口裂n 口( a ( u ，u ) ( ) + b ( u ，勘) ( ) ) o l l a ( “, v ) l l + o l l b ( ，u ) 1 1 = o l l ( a ( u ，w ) + b ( u ，u ) ) m 从而，t ( u ， ，) = ( a ( u ，? a 口( 让， ) ) k ，即t ( k ) ck 证完 很明显，问题( 1 1 1 ) 正解的存在性等价于丁在k 中有非零的不动点 最后，我们定义a - 上的非负连续凹函数 o ( u ，钉) 2 阳m i l n 一日( u ( ) + 可( 帆 可以看出，对任意( t ，) k ，位( ? ”，) 川，) 在这部分中，始终假设p i ，吼，以，i = 1 ，2 ，为六个正常数，并且击+ 云1 + 击+ 击+ 寿+ 西1 1 9 第一章非线性二阶奇异半正微分方程组非局部边值问题的多个正解 定理1 3 1 假设( h 1 ) 一( h 3 ) 成立，且存在非负常数口，b ，c 满足0 a b m i n o ，p r ，n 旭l ，p 2 m 2 c ，舰 而b ，v t p ，1 一明，u ( ) + u ( t ) 6 ，；】， 则问题( 1 1 1 ) 至少有三个正解( x l ，y 1 ) ，( x 2 ，可2 ) ，( x 3 ，y 3 ) 满足l i ( x l + 0 2 1 ，y l + u 2 ) i i a ，6 m i n o t _ a 且m i r a t 1 一o ( x 3 + u 1 ) ( ) + ( y 3 + u 2 ) ( ) b 证明由引理1 2 2 知，只需证明问题( 1 2 3 ) 有三个正解，即算子t 有三个 不动点( u l ，v 1 ) ，( u 2 ，u 2 ) ，( u 3 ，v 3 ) 满足讹( ) u 1 ( ) ，饥( ) u 2 ( ) ，i = 1 ，2 ，3 ，且 i i ( u l ，v 1 ) l l 口，b m i n o 一 t a 且m i n o t _ l 一口( u 3 ) 十 ( t ) ) b 事实上，若上述结论成立，则( x l ，y 1 ) = ( 仳l u l ，u 1 一u 2 ) ，( x 2 ，y 2 ) = ( i t 2 一 l ，v 2 一u 2 ) ，( x 3 ，y 3 ) = ( u 3 一u 1 ，一u 2 ) 为( 1 1 1 ) 的三个正解，且满足i i l + u 1 ) i | a ，b m i n o a 且 m i n o t b 。 首先证明t ：p c _ r 为全连续算