（计算数学专业论文）半线性对流扩散问题的差分流线扩散法.pdf

ab s t r a c t ab s t r a c t we o ft e n m e e t t h e p h e n o m e n o n t h a t c o e x i s t s w i t h t h e s u b s t a n c e m o v e m e n t a n d m o l e c u l a r d i ff u s i o n in t h e f i e l d o f e n v i r o n m e n t a l s c i e n c e , e n e r g y d e v e l o p m e n t , h y d r o d y n a m i c s , a n d e l e c t ro n i c s s c i e n c e . t h e m a t h e m a t i c a l m o d e l o f t h i s i s g e n e r a l l y e x p r e s s e d a s c o n v e c ti o n - d i ff u s i o n e q u a t i o n o r a s e t o f p a r t i a l - d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n s c o n t a i n s c o n v e c t i o n - d i ff u s i o n e q u a t i o n . t h e m a t h e m a t i c a l m o d e l i s t h e re p re s e n t a t i v e c o n v e c t i o n - d o m i n a t e d p r o b l e m w h e n t h e s o l u t e m o l e c u l a r s p e e d i s f a r l e s s t h a n t h e c o n v e c t i o n s p e e d o f fl o w . i n t h i s c a s e , t h e t r u e s o l u t i o n o f t h e m o d e l a l w a y s h a s a c h a n g e w i t h h u g e g r a d i e n t in l o c a l p a r t , s u c h a s t h e b o u n d a r y l a y e r s a n d t r a n s i e n t l a y e r s . i n g e n e r a l , t h e t r a d it i o n a l n u m e r i c a l m e t h o d s w i ll n o t f i g u r e o u t s a t i s f i e d n u m e r i c a l s i m u l a t i o n v a l u e s : e it h e r t h e l a r g e g r a d s s o l u t i o n s a r e r u b d o w n e g r e g i o u s l y o r t h e re e m e r g e s o s c i l l a t o ry i n t h e a b r u p t c h a n g e re g i o n s . t h e s t r e a m l i n e - d i ff u s i o n m e t h o d ( s d ) 5 h a s b e e n t h o u g h t o u t r e c e n t l y t o s e tt l e d t h e d i f f i c u l t e ff e c t i v e l y , w h i c h i s o n e o f s t a b i l i z i n g m e t h o d f o r t h e s ta n d a r d f in i t e e l e m e n t m e t h o d . h o w e v e r , i t i s v e ry c o m p l e x t o i m p l e m e n t t h e s d m e t h o d b y u s i n g t h e t i m e - s p a c e fi n i t e e l e m e n t . t o o v e r c o m e t h i s w e a k n e s s ,山 e fi n i t e d i ff e r e n c e - s t r e a m l i n e d i ff u s i o n m e th o d ( f d s d ) h a s b e e n d e s i g n e d o u t a n d d i s c u s s e d i n t h e p a p e r ( 1 3 , 1 6 , 1 7 , 1 9 ) . i n t h i s p a p e r , w e w i l l d i s c u s s t h e f o l l o w i n g s e m i - l i n e a r f in i t e d i ff e re n c e - s t r e a m l i n e d i f f u s i o n p r o b l e m : u , + ,6 ( x , t ) - d u 一 0 - ( a ( x , t ; u ) o u ) = f ( x , t ) , ( x , t ) e m x ( 0 , t u ( x , t ) = 0 , ( x , t ) e om x 0 , t u ( x , 0 ) = u o ( x ) , x e i 2 t h e n w e p re s e n t a fi n i t e d i ff e r e n c e - s tr e a ml i n e 4 c h r mr s ta b i l i ty a n d e r ro r e s t i m a t e . t h e t h e o ry a n a l y s i s s h o w s t h a t t h i s f d s d q u a s i - o p t i m a l c o n v e r g e n c e r a t e s i n t h e n o r m l ( l ? ) . a n d s t u d y t h e me t h o d h a s t h e k e y w o r d s 二s t r e a m l i n e - d i ff u s i o n ( s d ) :c o n v e c t i o n - d o m i n a t e d :f i n i t e e l e m e n t m e t h o d ( f .e .m . ) ; f in i t e d i ff e r e n c e - s t r e a m l i n e d i ff u s i o n ( f d s d ) 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明: 所呈交的学位论文， 是本人在导师指导下， 进行 研究工作所取得的成果。 除文中己 经注明引 用的内 容外， 本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、 已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体， 均已在文中以明确方式标明。 本学位论文原创性声明的 法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名:丫 协试 d -a rt 6 年1 ， 月对 一日 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了 解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容:按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本; 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、 数字化或其它手段保存论文; 学校有权提供 目 录检索以 及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务; 学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版; 在不以 赢利为目的的前 提下，学校可以 适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学 位 论 文 作 者 签 名 : : 骊武 沙 寸 砂 书 年it月 7 了h 经指导教师同意， 本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名: 峙队 学位论文作者签名: i 。域 解密时间:年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下: lar * 10 if 娜 蜜* 2 0 f r$ 碑 ( 1 b 5 蒙厂蒙卜朴魏羚点沙卜 第一章 引 言 第一章 引 言 第一节 对流占优扩散问题的物理背景 众所周知，物质的分子总是处在不规则的热运动中，在由两种物质组成的 二元混合物中，如果存在浓度差，由于分子运动的随机性，物质的分子会从浓 度高处向 浓度低处迁移，这种迁移称为浓度扩散或简称扩散，并通过扩散产生 质交换. 质交换有两种基本方式:分子扩散和对流扩散.在静止的流体或垂直于 浓度梯度方向作层流运动的流体以及固体中的扩散，是由微观分子运动所引起， 称为分子扩散;在流体中由于对流运动引起的物质传递，称为对流扩散，它比 分子扩散传质要强烈得多.对流扩散可以发生在气体、液体和固体中. 对流扩散亦常常同时伴随分子扩散，下面以地下水污染的数学模型来说明 对流占优扩散问题的背景及其特点. 由于工厂、矿山排放污水，农业生产使用化肥、农药，它们随着雨水、排 灌或其它途径进入地下，通过渗透使地下水受到污染.一些溶解在水中的溶质 即 会随地下水作对流运动，也会在溶液中作分子扩散运动. 描写化学溶质( 此处 指污水) 运动规律的 数学方程为 8 , ( m c ) 二 d i v ( m d o c ) - d i v ( f m c ) - q ( 1 . 1 ) 其中: c: 溶 质 浓 度; m:介质孔隙系数; 18 = ( a , 几 ， 几 ) r 为 流 场 速 度 ， 假定 为已 知; d:弥散系数张量; q : 注入或抽出的 源项. 右端第一项为扩散项，第二项为对流项.在这类问题中，溶质分子的扩散相对 于水流速度而言是缓慢的，对流占主导地位，因而属于对流占优扩散问 题. 由 于 方 程( 1 . 1 ) 中的 对 流 项占 主导 地位，可视作 一 阶 双曲 方 程 8 ,u + d i v ( ,6 u ) + q ，其中 :u = m c 的小扰动方程，因此它具有双曲方程的特点.此类方程的解常常出现局部大梯 度的变化，如含有边界层、瞬变层等. 第一章 引 言 传统的数值方法无法在现有的计算条件下，给出令人满意的数值模拟:或 者大梯度解被过度磨平，或者在急剧变化区 域发生数值振荡.如标准g a l e r k i n 有 限元便会遇到上述困难.为此，许多非标准有限元方法被相继提出并发展，如 有限 体 积 法 ( 1 5 , 1 1 ) 、 广 义 差 分 法 ( 8 ) 、 特 征 有限 元 法 ( 4 , 9 j ) 和 流 线 扩 散 方 法 5 等. 第二节 f d s d 方法简要回顾 流线扩散法( 称为s t r e a m l i n e - d i ff u s i o n m e t h o d ，简称s d方法) 是由 t . j . h u g h e s 和 a . b r o o k s 在1 9 8 0 年前后提出的 一 种沿 流线 方向 附 加 人工薪性的 数 值求解对流占 优扩散方程的一种新型有限元方法( 参见 5 ) ,随后，j o h n s o n 和 n d v e rt 将s d 方法推广到发展型对流扩散( 包括一阶纯双曲问题) 问题 ( 习 ， 6 , 1 0 j ) .它具 有良 好的数值稳定性及高 阶收敛率 ，己 广泛应用于计算流 体等诸多科学工程计算领域. 然而，传统的s d 方法使用时空有限元，导致计算工作量较大，对高维或非 线性问题尤其如此，其编程实现较为复杂，对于非线性问题也不便进行线性化 处理.为此，孙澈 1 3 】 提出了差分流线扩散法( f i n it e d i ff e r e n c e - s t r e a ni n e d i ff u s i o n m e th o d ，简 称f d s d 方法) .该方法仅对空间 域作s d 方法的有限 元离散， 而对时间 域作差分离散( 如e u l e r 离散或c 一离散等) . 理论分析表明 ，f d s d 方法保持了s d 方法的本质特性，简化了s d 方法的算 法结构，方便了 s d 方法的实际应用，对高维和非线性问题的处理具有明显的优 越性.另一方面，由于f d s d 方法的p e t r o v - g a l e r k i n 框架和对时空变元的非一致 性处理，使得对该方法的理论分析较s d 方法更加困难，孙澈和沈慧 1 3 就线性 问题给出了f d s d 方法的理论分析，证明了f d s d 格式仍具有较标准g a l e r k i n 方 法更好的稳定性，且在空间方向具有拟最优阶精度. 1 9 9 7 年，张强 和 孙澈 1 6 又 进一步 推广了 【 1 3 的 结 论，对一 类非线性问 题给 出了 f d s d 方法的 误 差 分析.但文 【 1 6 为 避免 在每 个时 间 步长求解非 线性离散 化 方程组，未考虑 c - n 型格式而仅讨论了 e u l e r 型格式，使得在时间方向 上的精度 仅为o ( a t ) ( a t 为时间 步长) .于是张强和孙澈 1 7 在 1 6 的基础上，又进一步 提出了 f d s d 预测校正 格式，证明了 在l( 若 ( 0 ) ) 模度量下， f d s d 格式关于空间 步长h 仍具有最优阶收敛性，关于时间步长a t 的 精度则提高到了。 ( ( at) z ) .之 第一章 引 言 后，张强 【 1 9 在文 1 6 的 基础上，针 对线性对流 扩散问 题的 f d s d 格式 ， 在仅要 求扩散 系数非负的条件下，证明了 该格式按l ( l 2 ( p) 模具有最优阶精度 . 第三节 本文研究方法简介 ， . 3 . 1本文研究的基础及研究结果 对流占 优扩散现象广泛地存在于现实生活的方方面面， 由于该现象本身所 具有的 特殊性， 使用传统的方法模拟其数值解会导致在局部范围内不能得到满 意的结果.如何设计一种更为有效的数值模拟方法，具有重要的现实意义. 本文在工作( 1 3 , 1 6 , 1 7 , 1 9 ) 的基础上，针对一类半线性对流占 优扩 散问题进行了 讨论，给出相应的f d s d 格式以及稳定性和误差估计. 本文 给出人 工粘性参数s 的具体选取条件， 它仅与空间网格参数h 有关: 理论分析表明该格 式在空 间 按 ( l ( ) ) 模具 有所 谓的 拟最 优精度，同 时 在时间方向 具有 相 应的 精 度. 1 . 3 . 2本文研究中用到的若干辅助知识 1 . 3 . 2 . 1赋范空间和内积空间的若干性质 1赋范空间的性质 设 x 是 域 k 上 的 线 性 空 间 ， ! . 是 定 义 在 x 上 的 范 数 ， 则 v x , y e x , a e k , 有: ( 1 、 正 定 性 : i- ii e x llx 11 2 蛆llx l卜 0 。二 = 。 ， ( 2 、 齐 次 性 : l a x 卜la ll1x l , ( 3 、 三 角 不 等 式 : 卜 + y i :5 llx ll + i y ll - 2内积空间的若干性质 设 h 是 域 k 上 的 内 积 空 间 ， ( ， ) 是 定 义 在 h 上 的 内 积 ， 1 是 定 义 在 h 上 的 范 数 则 v x , y e h ， 有 ( x , y ) e h , i x ll e h 且 d x , y , z e h , a e k 有 : ( 1 ) ( x , y ) 2 0 , ( 2 ) ( a x , y ) = a ( x , y ) , 第一章 引 言 ( x + y , z ) = ( x , y ) + ( x , z ) ; i( x , y ) 1:5 lix lll y ll 的(o) 3 l z ( s 2 ) 空间 设f 是。( 区域。c r 是 l e b e s g u e 非空可测集) 上的实值l e b e s g u e s 可测函数， llf ll (n， 一 ( l lf (x )ip dr )vp , 1 - p -o , ii f ile tm = e s s s u p i f ( . ) i , 其 中 工 f (x )dr ，二 。 0 l e b e s g u e 积 分 ， 定 义 l p a- f l 月 。 。 0 0 , 1 o 为 给 定 常 数 ， 边 界cm逐 片 光 滑 : 流 场 方 向 ,6 ( x , t ) = (f , ( x , t ) , j6 2 ( x i o r . 满 足 假 定 式e w - ( d ) , ( .1 = 1 , 2 ) ， 其 中 d = q x 0 , t ; 此 外 ， 我 们 还 假 定 扩 散 系 数 a ( x , t ; u ) e l ( w l ( q ) ) ， 右 端 项f ( x , t ) e l 2 ( l 2 ( f 2 ) ) . 记 、 = in f a (x ,t;u ) , k = su pd xr d 辉( x , t ) . 本 文 着重 考 虑o a o ak的 情况 ，即 所 考 虑的问 题 是 对 流明 显占 优. 简 称 满 足 上述条 件的 ( 2 . 1 - ( 2 . 3 ) 为问 题 ( a ) . 当问 题 ( a ) 对流占 优时，解通常具有明 显的大 梯度变化区域，如在边界层区 域.若使用传统的数值方法进行计算，则会在这些急剧变化区域发生大幅度的 数值振荡， 后 文 将在 ( 1 3 , 1 6 , 1 刀 ， 1 9 ) 的 基 础上 建 立该问 题的 差分流 线 扩散 ( f d s d ) 格式，并从理论上给出该格式的稳定性分析和误差估计. 在本 文如 下的 讨 论中 ，我 们假定问 题 ( a ) 的 真 解u ( x , t ) 及其定 解数 据满 足: ( h l ) 真解u ( x , t ) 惟一存在，且具有如下的 光滑性假定 u 6 e , ( w 2 ， 门 h - n h ,) , u , e r * ( w , ) ( 1 l 2 ( h ) , u . 。 l 2 ( l 2 ) . 特 别 地 ， 设 真 解 以 k , 为 界 ， 即 (lu ll, , , 5 k . . ( 史) 右端函数f ( x , t ) 关于变量t e 均有f ( x , t ) e l 2 ( 0 ) . ( h 3 ) 当( x , t , p ) e d x - 2 k2 k , 时 ， 0 , t 满足l i p s c h i t z 条件，且对d t e 0 , t 扩散系数满足。 a o - a ( x , t ; p ) - a , ，且 第二章 问题及其f d s d 格式 a ( x , t ; p ) 关 于x , t , p 的一 阶导数 和 二阶 导 数 均有 界 ，不妨统 一 记做k 2 . 为 行文方便，简记a ( x , t ; u ) = a ( u ) . 第二节 半线性对流扩散问题的f d s d 格式 为简便，本文仅讨论e u l e r 型f d s d 格式， 类似的处理也可应用于c - n 型格式. 首 先 ， 我 们 剖 分 空 间 区 域. 设 = ( t i ) n (hj - 1 ， 为 区 域a 的 拟 一 致 剖 分 ， 即 存 在 正 常 数几 ， 使 得h r / p r 0 ，使得对 任意的wc v h ， 均 有 ilw ll. = llo w lls p h - m, v w lls p h - , llo w n , bw l o , tc e ( 0 , 1 ) 为 任意 取定的 正 常 数. 对n = 0 , 1 , ., n = t / a t ， 记w = w ( r ) . 对n = 0 , 1 , . ., n - 1 ， 我 们引 进 如 下 的简化记号: 第二章 问题及其f d s d 格式 a ,w 一 ( w 一 。 ) / a t, l (w ,v ;n ) 一 (zt 肥 +i + 严 ，.v 严， 犷 十 ,5j6 - 1-v v ) + ( a (w ) v w ,v v ) 一 ( v ( a (w ) v w ) ,s q v v ) , f (v ;n ) 一 ( f - , v + s q v v ) , 其中( 。 ， ) 表示。 上的l z 内 积， 而l ( w , v ; n ) 中的 最后一项 应理解为 其在所有 单 元r i 上的 内 积 之 和 ( 参 见 【 1 3 ) ， 即 (v (a (w )v w ),s v v )- 履 (v .(a (w )v w - ),s ov v )1 如【 1 3 中 的 格式的 构 造 ， 求 解问 题 ( a ) 的 e u l e r 型 f d s d 格式定 义为: 适当 选取 初 值u 0 。 v h ， 然 后 对n = 0 , 1 , ., n 一 1 ， 依次 求 解u - 。 v e ， 使 得 l ( u , v , n ) = f ( v ; n ) , v v e v a ( 2 . 8 ) 其中s ? 。 为 所谓的 人工 扩散 参数 . 简称 ( 2 . 8 ) 为格式 ( b ) . 人工扩散参数的选取是f d s d 方法取得成功的关键，我们必须对其加以适 “ ” 限 “ 记 、 一 ， z,- 显 然 q 一 为 保 证 格 式 的 稳 定 性，我们令 f d s d 格式仍) 中的 人工扩散参数s 满足如下的条件: (d l)s gk b 扮_i ;4 (d 2 ) s q p k 2 . 此 时 ， 人 工 扩散 参 数 将 具 有 形 式 s = u h( 2 . 9 ) 且 满 足 条 件 ( d l ) - ( d 3 ) ， 其中 的 正 常 数u 与h 和a 0 无 关 . 在下文中 ， 恒假定 逆 估 计 ( 2 . 4 ) , ( 2 . 6 ) 以 及对 人工 扩散参 数s 的限 制 条 件 ( d l ) 一( d 3 ) 成立;在引理和定理的叙述中，将不再重复提及.此外还约定: 用符号 c , c ( i = 1 , 2 , .) 表 示 与n , h , a t 和丐 ， 无 关的 正常 数 ， 符 号e 表 示 小 的 正 参 数 ， 同 一符号在不同位置可取不同的数值. 第三章 f d s d 格式( b ) 的稳定 性分 析 第三章f d s d 格式 b ) 的稳定性分析 本 章 将 讨 论 f d s d 格 式 的 稳 定 性 估 计 ， 所 得 的 结 论 与 叮 无 关 首 先 ， 我 们 给 出关于扩散的一个基本引理，然后通过检验函数的 适当 选取得到几个不同的估 计，最后得到稳定 性结果.在所有引理的叙述中 ，前面的假定不再提及. 第一节 若干辅助引理 3 . 1 . ，基本引理 f d s d 方法的 理论分析中，关键步骤是恰当 地估计二阶导数项与人工扩散 的内积.如下的引理是本文分析的基础，其证明技巧 及结论将贯穿于全篇. 引 理 3 . 1 设 u e v , r iiu il _ 2 k , ， 对 任 意 的w e v f 和 ， 二 0 ,1,.,n - ， 有 证明 i(v j a (v )v w a )， 8r ,v w *-115 台 ,.ilo w *, ih 由 公 式 得 : (v j a(u )v w *)，8r ,v w ., 卜 客 d 其中: i , = 一 y- 1 2 = 一 l r 1 u)v俨，“ 牙 一 卿1 *, ( a (u )v ， 一 ,8 (d iv f )v w )。 , “ 二 互 叉 8 a (u )(/6v w - )v w nds, 其 中 n 表 示 单 元 边 界 r ， 处 的 单 位 外 法 向 量 利 用 逆 估 计 (2 . 4 ) 和 ( 2 - 6 ) ， 以 及 关 于 人工扩散参数9 的限 制条件( d l ) 和( d 2 ) ，我们依次 有 第三章 f d s d 格 式 ( b ) 的 稳定 性分 析 iii 1:5 s g n k h -au ii0 w - 1r 2 (u +l,u ) 可 得 (a t。 一 ，。 一 ) = i (u -+1 - u .， u - ) = i (u .+1， u n+1) 一 (u -+, ,u -) 1 ( 。 _ _ , 12 iiu - i ， 十 iiu iiz 、 z- llu ,“一 一1 a t ( “z ) _ iiu n+l l 一 u 0 ir 2 夕 注意到边界条件，利用g r e e n 公式，有 i(r l0 u - lu .+l )i一 - 2 (div# +u n+1， u n1)i c lu +112 又通过简单计算，我们可得 (a ,v * + ,b .v u n+1， n ) 一 ; ub ,u - 1 + r +1,v 。 一 一 ， (u ,u ;n ) , ( a ( u )v u +,v u + 1 ) a o iiv u . 1112 , 在 ，理 ， 中 令 w = u ， 即 得 】(v (a (u v u +,5 一u .1/ 5 合 a. po u .,112 - 综合上述结果，有 p - 11， 一 11u n u2 2 夕+ a pa ,u *1 + *1.v u +1i2 + 合 a . 11v u +1g2 _ i1 a ,。 一 ， 一 k r ,u +i,iiv 。 一 11 is = i= 1(a ,。 二 ，,15 +l,v (a ,v *1)1 s i1 +1 a ,v +iiiiiv (-a ,u +1)ii 15 ii +ll 。 一 1a ,。 一 q _ s g k ,u h - 1 ic u +111= s 告 11a,u +f 4 11a ,u - u=, is ; i一 】( +1,v u *1，朔 二 .v (瓦 u +l )1 :5 15 11， 一 ih r +u lv u +iih iv c ,u +1)9 _ 8 k 2,u 。 一 1i0 。 一 卜r ,u +1!, is 4 i一 (a (u )v u *1， v (a ,u a )卜 a l iiv u - 1卜 w (a ,u )j s g a ou h -1 iv u l lf u +1 , 再仿照引理3 . 1 的证明过程，我们可得: is l i 一 i ( v (a (u )v 。 二 ，)， 秘 ，v 佩 。 二 ，) i_ 1 g a o g h - ra ,。 二 ，i1-lly 。 二 ， . 二.月 . ”. 综上所述，可得估计式 其中 l u ， u 一 ; ) 号 pa u l 一 m , uv 。 一 11115 ,。 一 iii 、 = k + 6 k z， 一 号 。、 ， 一 k + g k + 2 gao， 一 3 f 鱼 k +2gao， 一 ) = 舟 n , , 注意到变分关系式，还有估计 第三章 f d s d 格式旧) 的 稳定性分析 l u ，瓦 u +1 n ， 一 f (a ,u *2, n ) = (f *,a ,u * + 8 p *,v (a ,u * ) iif ., ii.p ,u *,卜 s x lf *,il 0 (a ,v *) iif *,ii,ua ,u .il+ s g k p h _iir ii11a ,u .,l s c if ,u - 11.11， 一 ii i 因此，联立上述两个估计，即证本引理结论成立. 在引理3 . 3 的 基础上，我们可以得到如下更为精确的 估计. 引理3 . 4对n = 0 , 1 , . . , n- 1 ，有 6d (u ,u ;n) + 蚤 difl . 1 v u - ll， 一 iir v u 12 ) : 号 q . iiv u .,ii2 + c q u *,12 + iiu 12 + 二 !12 ) 其中 界 定 常 数c 与 u , n , h , a t 和丐 ， 无 关 . 证明 : 重 新 依 次 估 计8 l ( u , 反 u ; n ) - b u ( u , u ; n ) 中 各 项 . 首 先 ， 我 们 简 单 地可得 s l(b ,u *， s * ,v (a ,u *i)i- s 2k i th - ,iib ,u . ,12 :s s 2k u h 0 l lfa u *,r c s lla ,。 一 11 而利用逆估计( 2 . 4 ) 和9 :5 c h ，有 s ( *,v u a ， s a *,v (8 ,。 一 ) = 备 l(r ,v u - l, fl +i ,v 。 一 )一 (r +l,v 。 一 ，,6 - -v u ) 之 丢 iix - v u *, 一 ir *,v u *iihiir v u ii) z 111r - -v u - 11 一 2 (ii,8 *,v u *,12+ iir *.v u 12) 2a t 2一 2 iia *.v u ii2 : 蚤 (1fl - i,v u - , 一 !i, .v u 1 一 ii(二 !一 r )-v u . 12 ) ， 轰 (iir .v 。 一 一 iia v u ii2)- c iiu 12 第三章f d s d 格 式 b ) 的 稳定 性分 析 对表达式中 的余下两项，我们需利用引 理3 . 3 的结论来估计. 注意到限 制条件( d 2 ) 和( 0) ，有 .y 1(. (u -)v u - -,v r ,u - )j :s q g a o,u h -1 lv u -州 网.i i :9 q ,5 a oljh - (c . ilf - i + n , v u +jj)-jjv u - j :9 q9 a,， 一 (c if - f ” 一 护 一 卜 、 ilv u 一 1) g c qga p ，一 11-r ildl。 一 i+ q,5a,， 一 3 k + 2qa,2 ， 一 ) llv u - t 1 1 c ,32 (2 。二 一 r + ( l c c ) u ., 12) - - ， - ( - , 2 . ) aiiv u - r2 2 8 32 ) 去 _. iiv u +, 12 + c d l二 一 r + 0。 一 1) 同理，利用引理3 . 3 的证明及结论可得 8 j(v 4 a (u )v u - ),， 一 ， ( ,u - ,)j “ 合 q ao， 一 ii a ,u +ljlv u 0+,n 壹 * qv u +r + c !二 综上所述，因 瓦(u，五 少 +; ， ) = s (a u , ,s .,v (a ,v * + s (q .v u ,; , s +v (a ,v * ) + (u ,u ;n ) + s (a (u )v u ,v (a ,u 0+) 一 (v .(a (u )v v + ),ap v (a ,u ), 所以 二 (u ,a ,u - ;n ) + c s 2 1a ,。 一 iz + 去 a, w u - r + c (11二 一 + qu + )+ 告 a .iiv u - q= + c ll f +,i= ， 二 (u ,t1 ;n ) + 6 ( +v u a ,s +iv (a u +) 第三章 f d s d 格式田) 的稳定性分析 : 轰 (q,-vu- f - jfl w u iiz)- c iiu f + bn (u ,u ;n), s l (u ,b,。 二 ;n)+ g aolly 二 一 i2 + c (iiu *,12+ pu 112 + if +, u2)+ c s ,ii8 ,u +,12 : 轰 (iii +,.v u +,u 一 fl v u l2)+ bd (u ,u ;n ). 注意到 s z (u ,a ,u .;n) 一 “ (a ,u - .n ) 5 c s ll f +,i# u n+,q :5 c (s 2 ir ,u +, n2 + i二 二 112) 所以有 8 u ( u , u ; n ) + 居 a , iiv u +,u2 蚤 dl +,.v u +,p 一 ii, v u 112) + c g u _ ,112 + iiu if2 + iif +,12) + c s 2 r ,。 一 r . 利用引理3 . 3 ，可得 目矛口.、/万.、 尸.lleses二.il s 2 iia ,。 一 卜 s s 2 2 k + 2二 一 )ii0 。 一 11二 iif +,ll2 垂 k g p h - + 2 q a a 乙 _ r( 3 、 一 + 2 s a og 2 l l 一 )qu +,ii+ c ii， 二 iz 一 *- )il二 一 j+ c s !二 p, s (2 8 一 32)llq +,u+ 二 !nr ll2 2 cll 一 “+c2 iiu ., 2 代 入 上 式 ， 消 去 项 s 2 ii8 ,u +,i2 ， 得 二 (u ,u ;n)+ 轰 (iip +,.v u +, 一 v v u t 景 a- iiv u - ,r + c dlu .,112 + pu 112 + 11二 一 i). 本引理得证. 第三章 f d s d 格式 田) 的 稳定性分析 第二节 f d s d 格式的稳定性及解的唯一性 3 . 2 . 1 f d s d 格式的稳定性 通过前面的准备工作，很容易 得到以 下的 f d s d 格式的稳定性估计定理. 定理3 . 1当时间步长a t 适当小时，f d s d 格式( b ) 有如下的稳定性估计 二 u .12 + ; 戈 p u .+1 + p _ i.v u .+112 a t+ aon-1ll v 。 一 、 !5 c (艺 llf _ , 11 a t + iu o 112), 其中界定 常 数c 与u , h , a t 和司无关 . 证明:将引理3 . 2 和引理3 . 4 中的估计式相加，并稍加整理，可得 1u .112 “ 客 i阵 u .+j+ r i.v u .+l a t+ i aofat 1 4 鑫 llv u .- r “ :5 iiu _+, 12 + 2.5i 115,u +.-0 ， 二 .v u . il,a t+ i a.j jjv u ja t+ 9 ip .+i.v u _+.124 .o s c ,全 iiu - f a t + c 2 客 iif 0+1r a t + (c ,a t + l)pu ux + ii,0 0_u 0ax s c ,e ilu - i1x “ + 。 鑫 if ., 12 a t + (c a t + 1) iiu , x + 5 xg 2k x.u xh -x v ir s c , ll。 一 1x a t + c , j f 0+i 1x a t + (c ,a t + l) ii u o 1x + 上 6 4l lu o r = c ,全 iiu _ iii2 a t + c , 全 n f .+i a t + (c ,a t + 65 )iiu opx ,tlm 5 n 一 ， ” 、 适 当 小 以 致 c ,a t