（理论物理专业论文）基于格子boltzmann模型的微管道混合边界效应的研究.pdf

摘要 微管内流体的运动是自然界中的一种常见现象，在电子设备、微机电系 统、航空工业、生物医疗等许多领域都有广泛应用。因此，研究微管内流体 的运动具有非常重要的意义。 微管内部结构非常复杂，描述流体运动的控制方程具有非线性特征，很 难用传统实验和理论方法对它进行精确研究。随着计算机和计算流体动力学 的发展，直接对控制方程进行数值研究成为可能。只是由于网格精度和边界 稳定等问题的存在，一般计算流体力学的应用和发展受到一定的限制。 格子b o l t z m a n n 方法( l a t t i c eb o l t z m a n nm e t l l o d ) 是一种简化的基于微观 尺度层次的计算模型，经过多尺度展开，可以推导出流体力学的宏观方程。 该方法容易处理微流动中的界面动力学和复杂边界问题，并具有节省计算机 存储空间、不存在截断误差、克服计算不稳定性、边界条件易处理和适合做 大规模并行运算等优点，特别适用于研究微流动问题。本文应用格子 b o l t z m a n n 方法对微流动的混合边界效应进行了探讨。主要工作如下： 介绍了格子b o l t z m a n n 方法的起源、发展和研究现状。给出了连续 b o l t m n a r m 方法到格子b o l t z m a n n 方程推导过程，并利用c h a p m a n - e n s k o g 展开及t a y l o r 展开等数学方法，从格子b o l t z m a n n 方程恢复出流体力学 的n a v i e r - s t o k e s 方程。介绍l u o 和g i r i m a j i 提出的二元流混合模型。 本文重点讨论了格子b o l t z m a n n 方法应用中的几种典型的边界条件，包 括反弹边界、反射边界、外推格式和周期边界，二维的压力和速度边 界，以及三维的边界处理。特别是针对本文的微管流体仿真，分析了不 同边界的使用，以及混合边界的设置问题。 本文提出了管道内混合边界的处理方法。分别在二维和三维微管道中模 拟了混合边界对流体运动产生的影响。研究发现当混合边界的比值处于 黄金分割点附近时，流体波动现象最明显。利用l u o 和g i r i r n a j i 提出的 二元流混合模型模拟了混合边界对t 型微管道中液一液混合的影响，结 论同样证实，当混合边界的比值处于黄金分割点附近时，t 型微管道的 混合效果达到最佳状态。 关键字：格子b o l t z m a n n 方法，d 2 q 9 模型，混合边界，黄金分割点 n a b s t r a c t f l u i df l o wi nm i c r oc h a n n e li sac o m m o np h e n o m e n o ni nn a t u r e a n di s e n c o u n t e r e d i n v a r i o u s d i s c i p l i n e s ，e g ， e l e c t r o n i c d e v i c e s ， m i c r o - e l e c t r o m e c h a n i c a l - s y s t e m s ，a e r o s p a c ei n d u s t r y ，b i o e h e m i c a li n d u s t r y ，e t e t h e r e f o r eb e t t e ru n d e r s t a n d i n gf l u i df l o wi nm i c r oc h a n n e li so f g r e a ts i g n i f i c a n c e a st h ei n t e r n a ls t r u c t u r eo ft h em i c r oc h a n n e li sv e r yc o m p l e xa n dt h e g o v e r n i n ge q u a t i o ni sn o n l i n e a r , s o m eo ft h ef l o wp r o p e r t i e sa r ed i f f i c u l t 幻b e d e t e r m i n e da c c u r a t e l yw i t he x p e r i m e n t a lt e c h n i q u e sa n dt h e o r e t i c a lm e t h o d s i m p r o v e m e n to fc o m p u t e r sa n dt h es u b s e q u e n td e v e l o p m e n to fc o m p u t a t i o n a l f l u i dd y n a m i c s ( c f d ) m e t h o d sh a v eg r a d u a l l ym a d ei tp o s s i b l et od i r e c t l ys o l v e m a n yc o m p l e xf l u i dd y n a m i cp r o b l e m s b u tt h eg e n e r a lc o m p u t a t i o nf l u i d d y n a m i ca p p l i c a t i o na n dd e v e l o p m e n ti sr e s t r i c t e di nt h ec e r t a i nd e g r e ef o rg r i d a c c u r a c ya n db o u n d a r ys t a b i l i t y l a t t i c eb o l t z m a n nm e t h o d ( l b m ) i so n eo fs u c hs i m p l i f l e da p p r o a c h e s ， w h i c hi sb a s e do nm i c r o s c o p i ec r i t e r i o nl e v e l n 陀h y d r o m e c h a n i c sm a c r o s c o p i c e q u a t i o nc a nb ed e r i v e df r o ml a t t i c eb o l t 锄a n ne q u a t i o nb yc h a p m a n - e n s k o g m e t h o d t h i sm e t h o di se a s yt 0p r o c e s sm i c r of l o wp r o b l e mw i t hi n t e r - s u r f a c e d y n a m i c sa n dc o m p l e xb o u n d a r y i nas e n s e t h ei ，b mm a yb ec o n s i d e r e d 嚣a n u m e r i c a l e x p e r i m e n t w i t hs o m ea d v a n t a g e s s u c ha s s i m p l e a r i t h m e t i c c a l c u l a t i o n s ，s u i t e df o rl a r g e s c a l ep a r a l l e lc o m p u t i n g , s u i t e df o rh a n d l i n gm u l t i - p h a s ef l o ww i mp h a s et r a n s i t i o n ，s u i t e df o rh a n d l i n gb o u n d a r y ，a n de s p e c i a l l y s u r e df o rs t u d y i n gm i c r of l u i df l o wp r o b l e m s ，i nt h i sd i s s e r t a t i o n , w e 鹏t h e l a t t i c eb o l t z m a n nm e t h o dt os t u d yt h ec o m p o s i t eb o u n d a r ye f f e c ti nm i c r o c h a n n e l o u rp r o g r e s si n c l u d e st h r e ep a r t s ： i n t r o d u c i n gt h el a t t i c eb o l t z m a n nm e t h o do r i g i n , d e v e l o p m e n ta n dp r e s e n t r e s e a r c hs i t u a t i o n g i v i n gt h ed e r i v a t i o no ft h el a t t i c eb o l t z m a u ne q u a t i o n f r o mc o n t i n u eb o l t z m a n ne q u a t i o na n dt i l ed e r i v a t i o no ft l l en a v i e r - s t o k e s e q u a t i o nf r o ml a t t i c eb o l t z m a n ne q u a t i o ni nd e t a i lb yc h a p m a n - e n s k o ga n d t a y l o rm e t h o d w ea l s oi n t r o d u c et h el a t t i c eb o l t z m a n nm o d e lf o rb i n a r y m i x t u r e sp r o p o s e db yl u oa n dg i r i m a j i m d i s c u s s i n g s e v e r a lk i n d o fc l a s s i c a l b o u n d a r y c o n d i t i o ni nt h el a t t i c b o l t z m a n nm e t h o da p p l i c a t i o n , i n c l u d i n gb o u n c eb a c kb o u n d a r y ，s p e c u l a r r e f l e c t i o nb o u n d a r y ， e x t r a p o l a t i o nm e t h o d ，p e r i o d i cb o u n d a r y ，t w o - d i m e n s i o n a l p r e s s u r e ( d e n s i t y ) a n dv e l o c i t yb o u n d a r y ，a n d t h r e e - d i m e n s i o n a l b o u n d a r yt r e a t m e n t f o rt h em i c r oc h a n n e ls i m u l a t i o n ，w ea n a l y z et h ed i f f e r e n t b o u n d a r i e s ，e s p e c i a l l yt h ec o m p o s i t eb o u n d a r ys e t t i n g w e p r o p o s et h ec o m p o s i r eb o u n d a r yt r e a t m e n t a n ds t u d yt h ei n f l u e n c eo f t h e c o m p o s i t eb o u n d a r y f o r t h ef l u i df l o wi nt w o - d i m e n s i o n a la n dt h r e e - d i m e n s i o n a lm i c r oc h a n n e l r e s p e c t i v e l y 、m nt h er a t i oo ft h ec o m p o s i t e b o u n d a r yi sn e a rt h eg o l d e ns e c t i o n ，t h ef l u i do s c i l l a t i o ni st h em o s to b v i o u s p h e n o m e n o n w er i s el a t t i c eb o l t z m a t mm o d e lf o rb i n a r ym i x t u r e st os i m u l a t e l i q u i d l i q u i dm i x i n gi nat - t y p em i c r oc h a n n e lw i t hc o m p o s i t eb o u n d a r y w h e nt h er a t i oo ft h ec o m p o s i t eb o u n d a r yi sn e a rt h eg o l d e ns e c t i o n , w ea l s o f i n dt h a tt h em i x i n ge f f e c to f t h es p e c i e sf l u i dc o m e st oh i g h p o i n t k e yw o r d s ：l a t t i c eb o l t z m a n nm e t h o d ，d 2 q 9m o d e l ，c o m p o s i t eb o u n d a r y ， g o l d e ns e c t i o nr a t i o w c “ l ， k n 工 i d a p r e f 口 晰 希腊字母 p r v f 丸 8 符号说明 离散速度 声速 分布函数 平衡分布函数 k n u d s e n 数 特征长度 马赫数 压力 r e y n o l d s 数 时间 流体的速度 权系数 流体的密度 应力张量 动粘性系数 松弛时间 分子平均自由层 亲水部分长度与疏水部分长度之比 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其他机 构已经发表或撰写过的研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在 论文中作了明确的声明并表示了谢意。 研究生签名：飞蠢迅 日期：。p 7 。 学位论文使用授权声明 本人完全了解浙江师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件和电子文档，允许论文被套阅和借阅，可以采用影印、缩 印或扫描等手段保存、汇编学位论文。同意浙江师范大学可以用不同方式在不同 媒体上发表、传播论文的全部或部分内容。保密的学位论文在解密后遵守此协议。 研究生签名：1 豆曲 第1 章绪论 1 1 研究背景 流体力学是研究液体和气态物质在各种力作用下动力学现象与规律的科学，连续 介质假说是整个流体学大厦的基础。流体力学是质量守恒、动量守恒、能量守恒三大 规律在流体运动现象中的反映，其研究对象大至天体星云，小至毛细血管，范围甚 广。 1 1 1 流体力学发展简史 流体力学的研究可以追溯到很远。在我国，墨子中就有关于浮力规律的探 讨，而把流体力学当作一门学问来研究则首先出现在西方希腊数学家阿基米德导出 了浮力定律，准确给出了静止粘性流体问题的精确解。文艺复兴时期，意大利科学家 达芬奇准确推导出一维不可压流动的质量守恒方程。1 6 8 7 年n e w t o n 发表的自然哲 学的数学原理对普通流体的粘性性状作了精妙阐述。1 7 5 5 年e l d e r 推导出了伯努利 方程。1 9 世纪，一些科学家看到了流体理论与工程实际相差太远，试图给欧拉的理想 流体运动方程加上摩擦力项。s t o k e s 首次采用动力粘性系数，现在，粘性流体的基本 方程称为n a v i e r - s t o k e s 方程。1 8 8 3 年，雷诺用无量纲的r e y n o l d s 数( r e = p u l m ) 标 明了影响流动是层流还是湍流的决定因素。 过去1 0 0 年，流体力学得到了很大发展，并推动了航空、环境等学科的发展。同 时，与其他学科相结合产生了一些新兴的边缘学科，比如生物流体力学此外，流体 力学研究还对整个自然科学产生了根本影响，比如：混沌理论就源自流体力学的一篇 论文。 2 0 世纪初，飞机的出现极大地促进了空气动力学的发展，开创了以无粘不可压缩 流体位势流理论为基础的机翼理论，使人们熏新认识无粘流体理论的重要性2 0 世纪 4 0 年代以后，喷气推进和火箭技术的发展，形成了气体动力学、物理毗学流体动力学 等分支学科为研究原子弹、炸药等起爆后，激波在空气或水中的传播，发展了爆炸 波理论。此后，流体力学又发展了许多分支，如高超声速空气动力学、超音速空气动 力学、稀薄空气动力学、电磁流体力学、计算流体力学、两相( 气液或气固) 流等 等。 从5 0 年代起，电子计算机不断完善，使原来用分析方法难以进行研究的课题，可 以用数值计算方法来进行，出现了计算流体力学这一新的分支学科。加世纪6 0 年 代，根据结构力学和固体力学的需要，出现r 计算弹性力学问题的有限元法。经过十 多年的发展，有限元分析这项新的计算方法又开始在流体力学中应用，尤其是在低速 流和流体边界形状甚为复杂问题中，优越性更加显著 进行流体力学的研究可以分为现场观测、实验室模拟、理论分析、数值计算四个 方面，它们是相辅相成的。实验需要理论指导，才能从分散的、表面上无联系的现象 和实验数据中得出规律性结论。反之，理论分析和数值计算也要依靠现场观测和实验 室模拟给出物理图案或数据，以建立流动的力学模型和数学模式，还须依靠实验来检 验这些模型和模式的完善程度。此外，实际流动往往异常复杂( 例如湍流) ，理论分 析和数值计算会遇到巨大的数学和计算方面的困难，得不到具体结果，只能通过现场 观测和实验室模拟进行研究。 1 1 2 微流动 1 9 7 9 年，s c h l i c h t i n g i l 证明t h a g e n p ；f 【l p o i s e u i l l e f 习的先驱工作中的实验和理论，促 进了微管流动的飞速发展，刺激了微型设备中流体力学大量的研究。微流动的问题集 中在三个方面：( a ) 水力直径从l 旷m 到1 0 4 m 的范围内，层流区、过渡区和湍流区的 单相流在微型管道的拖曳力；( b ) 微管中液体与气体的热传递；( c ) 在绝热和加热 微管中的两相流动。这些研究方向包括在绝热、热传递和相变条件下，规则和非规则 微管中的压缩与非压缩流体 尽管已有大量的实验和理论成果，但一些微流动的基本流体力学问题还没有被很 好的研究。主要原因在于，微管道中从层流到湍流的过渡区中的拖曳力存在着相互矛 盾的数据，导致了对这些现象难以给出从本质上解释。特殊微效应问题的发现为微流 动的进一步研究奠定了基础，这些实验数据是对建立在传统理i 仑n a v i e r - s t o k e s 方程一种 预测，数据的差异被解释为微流动的一种新效应。值得注意的是，许多实验的实际条 件常常与理论模型的假设条件不一致。p f u n d 等人h 垤出，报告结果的不一致可能归根 2 于几个因素，如管道尺寸，几何结构和相对粗糙度，而这些因素是不能测量或不能精 确测量的。硅与玻璃的压焊是微管制造的主要方法，不一致性可能部分归因于压焊过 程中表面结构没有得到很好的控制。多数研究都没有测量微管内部的压力，而是测量 管道上游和下游的压力，对入口和出口损失用传统的纠正方法。不幸豹是，这种纠正 能否运用到微管中仍然是一个未知数阿。 微流动的数值模拟是计算流体力学( c f d ) 前沿研究之一，也是理解微机电系统 ( m e m s ) 流体行为的必要工具。b o l t z m a n n 数值方法是广泛应用于直接模拟的m o n t e c a r l o 方法( d m s c ) 之一嘲，d s m c 方法是模拟超音速稀薄气体的一个强有力工具，该 方法固有的统计噪音容易消失在超音速流体中流体数目巨大的变化中。然而该方法对 微管的模拟力不从心。与d s m c 方法相比，基于运动理论和b o l t z m a n n 方程的c f d 方法 消除了统计噪音，尽管在高速流体中模拟相当困难，但对低音速流体模拟有着很大优越 性，同时该方法的效率可以通过并行计算来提高。 由于格子b o i t z m a n n 方法有着固有的动力学本质，对微流动的宏观动力学和微观统 计学的研究来说是一种有效的、实用的方法【刀。当流体分子平均自由程的数量级可与 管道特征长度l 相比( 1 p k n 数大于o 0 1 ) 时，流体边界的滑移速度很显著。当k n 数太 大时，连续性假设不再成立，即使联系着墙壁表面合适的滑移边界和温度梯度【引，宏 观方程如n a v i e r - s t o l ( e s 方程也不再适用。对于此问题的研究，格子b o l t z m a n n 方法成了 一种有前景的选择【9 】，但是计算的模拟结果受到管道边界条件的强烈影响。 1 2 格子b o l t z m a n n 方法发展简史 在物理空问上，流体是由大量分子构成的离散系统。分子之间的尺度远远大于分 子本身尺度，分子通过相互之间的热运动频繁碰撞从而交换动量和能量。因此，流体 的微观结构在时间和空间上非常复杂，具有不均匀性、离散性和随机性。另一方面， 与微观性相反。流体的宏观结构和运动一般总是呈现均匀性、连续性和确定性。流体 的宏观运动性质是流体分子微观运动的统计平均结果。在连续介质假设基础上，流体 的宏观运动可以用一组非线性偏微分方程来描速，即反映流体质量、动量和能量守恒 的n a v i e r - s t o k e s 方程来描述。但是，在很多情况下，求解n a v i c r - s t o k e s 方程是非常困 难或者说是根本不可能的。例如，在非均匀多相流或多组分流系统中。相之间或组份 之间的界面通常导致数值方面的困难。而且在一些系统中，我们连其数学模型都不知 道，更别提数值模拟。对于这些用宏观方程难以描述的系统，使用微观分子动力学方 法进行描述是恰当的，可行的。格予b o l l z m a n n 方法就是从离散运动来描述物理规律 的，是一个介于微观和宏观的介观模型，源于格子气自动机( l a t t i c eg a sa u t o m a t a , l g a ) ，是l g a 的改进和推广。l g a 不仅对流体的空间是离散的，对时间也是离散 的。它的模型为 啊( 工- 4 - 喏f ，t + f ) = q ( 工，t ) + q ( 一) ( 1 1 ) 式中，啊( 膏，f ) 表示在t 时刻，x 节点上以q 的速度运动的粒子数，它是个整数；q o ) 称为碰撞算子，表示由于粒子间的碰撞所引起的速度为e 的粒子数目的变化。式 ( 1 1 ) 的物理意义是，到达同一格点x 处的流体粒子之间发生碰撞，各个粒子的运动 方向可能发生的变化。随后，粒子按照其运动速度流动到相邻格点工+ q 出，其中，f 是离散时间步长。l g a 有一些不足之处：有统计噪声，算子具有指数复杂性，不满足 伽利略不变性。 格子b o l t z m a n n 方法尽可能的克服了l g a 的缺点，保留了其优点。1 9 8 8 年，从分子 混沌的假设出发，m e n a m a r a 和z a n e t i 提出了格子b o l t z m a n n 方程的模型【1 0 l ，有效的消 除了l g a 模型中的统计噪声。但该模型使用了规模庞大的碰撞矩阵，其计算量大且仍 不满足伽利略不变性。1 9 8 9 年，h i g u e r a 和j i i l l e z 引入平衡态分布函数，提出了简化 的h j 模型f l i 】，将b o l t z m a n n 方程中复杂的碰撞算子用一个线性算子近似，简化了碰撞 算子，同时规划分布函数等于平衡态分布函数加上非平衡态分布函数。 i j 模型大大地 提高了计算效率，为格子b o l t z m a r m 后来的发展奠定了基础，但是它的数值稳定性不是 很好。m z 和m 模型是l g a 模型的直接发展，碰撞项都来源于l g a 的碰撞规则，平衡态 分布函数本质上都是f e m i - d i r a e 分布，这些特点限制了它们的适用范围不久， h i g u e r a 、s u e e i 和b e n z i 采用m a x w e l l - - b o t z m a n n 分布函数代替f e m i - d i 嫩分布，同时根 据需要设计出碰撞矩阵，得到正确的宏观方程，构造了一种新的格子b o l t z m a n n 模型 1 1 2 1 ，称之为h s b 模型成功地模拟了流体的流动。b h a t n a g a r g r o s s 和k r o o k 提出了 一种近似理论一碰撞间隔理论，简化b o l t z m a n n 输运方程中的碰撞积分项。在此基础 4 上，1 9 9 1 年c h e r t t ”l 提出了单一时问松弛近似( s i n g l et i m er e l a x a t i o na p p r o x i m a t i o n , s t r a ) 过程，进步简化了碰撞算子。与此同时，q i a n 1 4 1 提出了类似方法，称之为 l b g k 模型。该模型的本质就是用s t r a 过程来代替碰撞项，使用单一松弛时间系数来 控制局部粒子靠近平衡态的快慢，并且只要选择恰当的平衡态分布函数，彻底抛弃了 l g a 中的f e m i d i r a c 分布，极大地提高了计算效率，而且该模型可以导出正确的n a v i e r - s t o k e s 方程。l b g k 模型在目前已成为格子b o l l z r n a n n 方法研究和应用中的最主要模 型。1 9 9 5 年，z 0 u 【l 习等通过对密度和速度的选择，得到了更适用的两种计算模型 1 9 9 7 年，h e 和z o u 1 6 等分析了l b g k 中的速度，提出对格子b o l t z m a n n 分析的解决办 法。同时h c 和l o u r 口通过去除马赫数的高阶项，忽略流体的可压缩效应，用流场中的 压力代替流体密度，推导了格子b o l t z m a n m 莫型，得到了n a v i e r - s t o k e s 方程1 9 9 9 年， m j u n k 和a 砌a r t i s t 为了解决离散方程对低马赫数的限制，提出了新的一种空间离散方 法。鉴于以往模型中平衡态分布之和不是定值导致的连续方程不满足不可压条件， 2 0 0 0 年g u o 【i 州提出了一个更理想的新不可压的模型，引入了一类新的分布函数，使其 模型导出的连续方程满足不可压的象件。2 0 0 2 年f 8 1 1 9 刚等提出了一种松弛密度格子 b o l t z m a n n 模型。 格子b o l t z m a n n 方法不但是l g a 的发展，而且可以看作是连续b o t z m a a n 的一种特殊 的有限差分格式，甚至可以看作是求解守恒系统的一种l z a g r a n g e 格子1 2 “。 l ，3 格子b o l t z m a n n 的特点及应用 格子b o i t z m a n n 方法是在l g a 基础上发展起来的，与格子气方法相比，它的计算 更有效，同时克服了格子气方法的缺点格子b o l t z m a n n 方法和其它数值计算方法相 比较，还具有以下特点： ( a ) 与流体宏观描述中非线性对流项相比较，在以流体分子运动论描述为基础的格 予b o l t z m a n n 方法中，相对于相空间的对流过程是线性的。使用c h a p m a n - e m k o g 展开 可从格子b o l t z m a n n 方程中导出宏观的非线性对流过程： ( b ) n a v i e r - s t o k e s 方程中，压力作为速度的源项用运动方程式表示在这种情况 下j 用有限差分求解n a v i e r - s t o k e s 方程时，必须采用反复计算和松弛法处理。格子 b o l t z m a n n 方程中压力用状态方程表示，其解法无需反复计算，可以用并行计算方式。 ( c ) 在使用m a x w e l l - b o l t 2 a n a n n 平衡态分布的分子运动论中，为了使相空间在连续 空间中存在，在求解平均量的过程中需要知道所有相空间的情况。而在格子b o i t z m a n n 方程中，以最小的离散化速度作代表导出n a v i e r - s t o k e s 方程，并可从局部粒子分布函 数统计得出宏观量，并且其方法和思想一样适用于其它物理现象的研究； ( d ) 格子b o l t z m a n n 方法具有最适合并行处理的局部相互关系模型。因为内节点的 作用原则完全一样，对程序的实现比较简单； ( c ) 与格子气方法相比，消除了统计噪声。 ( d 边界条件易于处理。 l g a 和格子b o l t z m a n n 方法自提出以来得到了飞速的发展，并为计算流体力学提供 了新的思路。它在流体动力学、多孔介质渗流、磁流体动力学、热学问题、多相流、 m e m s ( m i c r o i c l e c t r o m e c h a n i c a l s y s t e m s ) 、生物和化学反应等多方面得到了应用1 2 2 - 埘。 在多孔介质流动方面，利用格子b o l t z m a n n 方法研究多孔介质流动的方法分空隙尺 度模拟和r e v 尺度模拟。1 9 8 8 年r o t h m a n 利用l g a 来模拟多孔介质内流体的流动，验 证了d a r c y 定律冽。s u c c i 等人利用格子b o l t z m a n n 方法对一个三维随机介质的渗流率进 行了测量证实了d a r c y 定律口“。d a r d i s ：和lm c c l o s k e y 直接在标准格子b o i t z i n a 衄中增加一 阻力项，用以反映反弹格式的影响【3 ”s p m d 和p h e l a n 基于b r i n k m a n 模型提出了一类模 拟多孔介质流动的格子b o l t z m a n n 模型1 3 粥3 1 。接着。m a r t y s 对该模型进行了改进唧1 g u o 等人提出了个新的模型，计算结果表明这些r e v 尺度模型确实可以描述宏观的 多孔介质流动【3 5 】。 在粒子悬浮流方面，l a d d i 蚓构造了一类波动格予b o l t z m a n n 模型可以模拟考虑布朗 运动的流体流动。1 9 9 4 年l a d d1 3 7 - 3 8 1 使用格子b o l t z r n 姗方法模拟为粒子悬浮流的流动 奠定了基础。不久，a i d u n t l l u l 3 9 1 修正了边界处理方法，使颗粒内流动满足质量守恒条 件。后来有关学者还提出了消除或降低颗粒内部影响的其他方法 6 在多相流与多组分流方面，1 9 9 1 年g t l n s t e r t s e n l 4 0 4 2 1 基于l g a 模型提出了的着色模 型，它是最早用格子b o l t z l 髓加方法在该领域进行研究的。接着g f t l l 诅u 等将此模型推广 到密度和粘性变化的多相流系统中嗍d o r t o n a 等对着色模型进行了改迸。使计算效率 得以提高】。在这方面，很多人从不同角度提出了不同的多相或多组分模型：自由能 的格子b o l t z m a n n 多相多组分模型【蜘；等值面思想的格予b o l t z m a n n 多相多组分模型 削：基于平均场交互势的多相及其多组分格子b o i t z m a n n 模型1 4 7 】；等密度的不相溶的多 组分格子b o l t z m a n n 模型1 4 “9 】；在双混合格予气模型上建立的格子b o l t z m a n n 多相多组 分模型吲；在c m n s t e n 提出模型基础上建立模拟自由表面流的格子b o l t z m a r m 多相多组 分模型【5 1 】；t o l k e1 5 2 提出的不同毫与性不同密度的不相溶的格子b o l t 珊a 腑模型并且应用 于多孔介质的多组分模拟：l u o 和g 埘m 4 j j 【5 3 侧严格地从多尺度和分子运动论推出二元 流体混合模型，把不溶与互溶结合在一个模型基础上，等等 1 4 研究意义与本文工作 黄金分割( g o l d e ns e c t i o n ) 是一种数学上的比例关系它具有严格的比例性、艺 术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。应用时一般取1 6 1 8 ，就像圆周率在应用时 取3 1 4 一样。正是生活和应用过程中广泛存在的这个神密数字，驱使我们在研究混合 边界对流体行为产生影响的基础上，研究当混合边界的比是黄金分割点时，边界对流 体的混合效果是否达到最佳状态 格子b o l t , a n a n n 方法作为一种介观的流体计算方法，采用粒子来描述现实世界的 物质，粒子分布在均匀规则的网格上，时间也被离散为均匀的时间步。随着微机电系 统的飞速发展，人们对微尺度下流动和传热过程的需要与日俱增。格子b o l 七m u m n 方 法的提出为分析微流动和传热问题的解决提供了一种有效工具本文工作如下：首 先，对格子b o l t z m a n n 方法的发展历史、基本原理和研究进展作了简要的介绍：其 次，肘格子b o l t z m a n n 方法的不同边界( 包括混合边界) 进行分析；再次，讨论混合 边界对流体的运动行为产生的影响；最后是结论和展望。 7 第2 章格子b o l t t _ m a n n 原理及实现 在流体力学领域存在着两种传统的研究思想：白顶向下和自底向上前者采用 偏微分方程，对现实世界中的宏观现象进行连续的描述，典型的就是n a v i o r - s t o k e s 方 程方法。而自底向上的思想是从微观角度出发，用分子( 或粒子) 来描述流体系统，所有 的分子均遵循牛顿运动定律，建立分子动力学方程。介于以上两种思想之间，格子 b o l t z m a n n 方法被认为是一种介观的方法【5 5 】。它采用粒子来描述现实世界的物质，粒 子分布在均匀的规则网格节点上，时间也被离散为均匀的时间步。从格子b o l t z m a n n 方法出发，可以在一定条件下推导n a v i e r - s t o k e s 方程f 5 6 】。由于格子b o l t z a n a n n 方法也 采用粒子来描述物质，它也具有分子运动学方法的优点。 2 1n a v i c r - s t o k c s 方程 n a v i e r - s t o k e s 方程是一组描述液体和空气等流体物质的方程。这些方程建立了流体 粒子动量的改变率( 加速度) 和液体内部的压力变化、耗散粘滞力( 类似于摩擦力) 及重力之间的关系。这些粘滞力产生于分子的相互作用，n a v i e f - s t o k e s 方程描述作用于 液体任意给定区域的力的动态平衡。 n a v i e r - s t o k e s 方程依赖微分方程来描述流体的运动。和代数方程不同，它不寻求建 立所研究变量( 譬如速度和压力) 的关系，而是建立这些量的变化率或通量之间的关 系。用数学术语来讲，这些变化率对应于变量的导数。这样，最简单情况( 零粘滞度 的理想流体) 的n a v i e r - s t o k e s 方程表明加速度( 速度的导数，或者说变化率) 是和内部 压力的导数成正比的。 对于给定物理问题的n a v i e r - s t o k e s 方程的解，必须用微积分的帮助才能取得。实用 上，只有最简单的情况才能用这种方法解答，而它们的确切答案是已知的。这些情况 通常设计稳定态( 流场不随时间变化) 的非湍流，其中流体的粘滞系数很大或者其速 度很小( 小的忍数) 。对于更复杂的情形，例如厄尔尼诺这样的全球性气象系统或机 翼的升力，n a v i e r - s t o k e s 方程的解必须借助计算机。 2 1 1 基本假设： 在解释n a v i e r o s t o k e s 方程的细节之前，首先，必须对流体作几个假设。首先流体是 连续的，它不包含内部空隙，不包含雾状粒子的聚合。其次，所有涉及到的场，全部 是可微的，例如压强、速度、密度、温度等等。 该方程从质量、动量和能量守恒的基本原理导出。对此，必须考虑一个有限的任 意体积，称为控制体积，在其上这些原理很容易应用。该有限体积记为q ，而其袭面 记为a q 。该控制体积可以在空间中固定，也可能随着流体运动。 2 1 2 连续性方程 质量的守恒写作： 等m ( 艘) = o 在不可压缩流体的情况p 不是时间或是空间的函数，方程可简化为： v 搿= 0 动量守恒写作： a ( p u ) + v ( p u 一) = e p f 其中p 是流体的密度，u o u 是一个张量，q 代表张量积。 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 户尝冉r 十p f ( 2 4 ) r = 巨弓三 _ _ 瞄； 芝p 毫p 童p 旺s ， 9 其中盯是法向约束，而f 是切向约束。 价与流体粒子上的法向力的积分为0 。 再加上连续性方程： 丝+ 刃：0 d t 迹口k + 4 0 + 在流体出于平衡态时为0 ，这等 ( 2 6 ) 对于处于平衡态的液体，r 的迹是3 p 。其中p 是压强。最后，我们可以得到： p d u = 一v p + v 婀+ p f ( 2 7 ) d t 其中吼是r 的非对角线部分 这些方程是不完整的，要对它们进行完备化，毖须对9 l 的形式作一些假设。例如 在理想流体的情况下f 分量为0 ，用于完备方程组的方程是状态方程。再如。压强可以 主要是密度和温度的函数。要求解的变量是速度的各个分量：流体密度、静压力和温 度。流场假定为可微并连续，使得这些平衡得以用偏微分方程表达。这些方程可以转 化为涡度和流函数这些次变量的威尔金森方程组。解依赖于流体的性质( 例如粘滞度 、比热，和热导率) ，并且依赖于所研究区域的边界条件。r 的分量是流体的一个无 穷小元上的约束。它们代表垂直和剪切约柬。r 是对称的，除非存在非零的自旋密度 。所谓非牛顿流体，就是其中该张量没有特殊性质使得方程豹特殊解出现的流体 2 1 4 午啵流1 奉 在牛顿流体中，如果下面假设成立： 隆等一秒_ 眩鼬 p ( 鲁+ v 盥) = , o f - 印+ ( 血十；v c v 硼) c 2 p ( 詈+ 瞎 _ 朋一考+ ( 雨0 2 u , + j 1 丽0 2 v , 旺 其中是液体的粘滞度。公式采用了简化书写，对角标使用了爱因斯坦求和的约定， 分别为： i o p ( 詈+ 却塞+ u 万o u + 口罢) = 一塞+ 去l 否o u l 2 一；c v 仞) p 【百栅瓦 万+ 口瓦j 。一言+ 否l 否一j 水山jl + 号 岛+ 警) + 鲁 ( 罢+ 警) c z t t ， p(丝+甜警+u考+国韵=_一多+导(2万auat 上3c v 忉) l 缸 却出j，却勿i i 勿 j l + 兰 p ( 号；+ 詈) + 丢 ( 考+ 警 c 2 - z ， ，( 警+ ”署+ u 考+ 国署 = 毛一罢+ 妄p ( z 警一詈忉 ，【百棚百石切面j 2 毛一言+ 瓦2 瓦一j 【v 山j l 质量守恒： + 丢 ( 罢+ 罢) + 旦 ( 署+ 詈) c 2 ， 竺+ 型+ 必+ 必：0 8 t瓠 匆 犰 能量守恒： 户陪+ 鲁+ c ，考+ 国老 = ( 丢( a 罢) + 茜( a 号) + 毫( 名罢) 户【瓦石 万+ 国瓦j 2 【石p 。石j + 万r 万j + 云l 办西j j 其中 一p ( v d ) + 矛o + p t 玩+ m 脚俐+ ( 剀+ ( 警+ 笥 + ( 考+ 警) 2 + 罡+ 警) 2 一詈( 罢+ 万o u + 警) 假设是一个理想气体： p ：c 。t 一旦 p 以上是一个6 个未知数( 材，p ，t ，p ，p ) 的系统。 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 2 1 5 不可压缩流体 其n a v i e r - s t o k e s 方程为 = 1 即+ ，刃2 脚+ ( 2 1 8 ) l 。e u t e 。急薪茹 g , u a 埘a o r a l 这是一个动量守恒方程。质量守恒为： v 即= 0 ( 2 1 9 ) 其中，对不可压缩牛顿流体来说，只有对流项( c o n v e c “y e 蛔m s ) 为非线性形式对流加